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FUNCIONES
TRIGONOMÉTRICAS
Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo
rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil
interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que
tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los
catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda.
La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos. Lo
importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo.
Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la
proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la propiedad
de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre un único valor
(razón) relacionado con una determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo
tanto se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica.
Funciones Trigonométricas:
Seno y la denotaremos por Sen(a)
Coseno y la denotaremos por Cos(a)
Tangente y la denotaremos por Tan(a)
Cotangente y la denotaremos por Cot(a)
Secante y la denotaremos por Sec(a)
Cosecante y la denotaremos por Csc(a)
Sistema Sexagesimal
El Sistema Sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide
en 60 unidades de orden inferior, e s decir, es un sistema de numeración en base 60.
Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos.
1 h 60 min 60 s
1º 60' 60''
Razones Trigonométricas
El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones
seno, coseno y tangente, del ángulo, correspondiente al vértice A, situado en el centro
de la circunferencia.
El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el
cateto opuesto sobre la hipotenusa.
El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la
hipotenusa,
La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el
cateto adyacente,
Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para
30º, 45º y 60º
1.4. Cálculo de valores de las funciones trigonométricas
para 30º, 45º y 60º
Las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo implican un ángulo recto, es
decir, un ángulo con una medida de 90º. Considera un triángulo equilátero cuya
longitud de sus lados es igual a dos unidades. Ahora, por ser éste equilátero, la
amplitud de sus ángulos son congruentes cuya medida es de 60º.
Al cortar dicho triángulo equilátero exactamente por la mitad, corta la longitud del
lado exactamente a la mitad y la amplitud del ángulo exactamente a la mitad, por lo
que se obtienen los siguientes dos triángulos rectángulos cuyas medidas son las
siguientes:
La longitud del lado faltante lo obtienes a través del teorema de Pitágoras.
c2 = a2 + b2
a2 = c2 – b2
a2 = (2)2 – (1)2
a2 = 4 – 1 = 3
a = √3
Sus respectivas razones trigonométricas correspondientes son:
Ahora, considera un triángulo isósceles, la propiedad de los ángulos isósceles señala
que al poseer dos lados iguales, los ángulos opuestos a dichos lados también son
Iguales.
Si dicho triángulo es un triángulo rectángulo y al mismo tiempo isósceles, la medida
de los ángulos y lados queda determinada bajo las siguientes características:
Como la suma de los ángulos internos de un
triángulo es igual a 180º entonces, como ya
tienes uno de 90º y dos iguales, tienes algo
de la forma: 180º ‐ 90º = 2x, despejando y
realizando las operaciones necesarias
obtienes que x = 45º, dicho valor
corresponde a la amplitud de cada uno de
los ángulos congruentes en el triángulo
rectángulo isósceles. Como observas en la
imagen, falta determinar un lado del
triángulo el cual corresponde al valor de la
hipotenusa, pero, con la ayuda del
teorema de Pitágoras es fácil que obtengas
su valor.
c2 = a2 + b2
c2 = (1)2 + (1)2
c2 = 1 + 1 = 2
c = √2
Sus respectivas razones
trigonométricas son:
Obtén el valor de las razones
trigonométricas
recíprocas para el ángulo de 45º.
Ejemplo:
Con la tabla de valores obtenidos anteriormente resuelve el siguiente triángulo
rectángulo:
1) Calcula la medida de los catetos del siguiente triángulo rectángulo.
Toma cualquiera de las razones
trigonométricas y obtén el valor número
de la función trigonométrica como sigue:
Por ejemplo:
Si tomas la función sen 45º = a/ c,
obtienes:
Despejas a = c sen 45º
Obtienes el valor de sen a = c (0.7071)
Sustituyes “c” a = (8) (0.7071)
Simplificas: a = 5.6568
Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente

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Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente

  • 1. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS Cada par de lados homólogos (que se ubican en la misma posición) de un triángulo rectángulo cuyos ángulos sean iguales serán proporcionales. Para que sea más fácil interpretar lo que se está explicando el típico triángulo de catetos de 3 cm y 4 cm, que tendrá su hipotenusa de 5 cm (Pitágoras). Dibujemos otros dos triángulos donde los catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda. La proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos. Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo. Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de unicidad y la propiedad de completitud (para cada par de lados homólogos existe siempre un único valor (razón) relacionado con una determinada [existe y es única] amplitud angular), por lo tanto se establece una función, a las que llamaremos trigonométrica. Funciones Trigonométricas: Seno y la denotaremos por Sen(a) Coseno y la denotaremos por Cos(a) Tangente y la denotaremos por Tan(a) Cotangente y la denotaremos por Cot(a) Secante y la denotaremos por Sec(a) Cosecante y la denotaremos por Csc(a) Sistema Sexagesimal El Sistema Sexagesimal es un sistema de numeración en el que cada unidad se divide en 60 unidades de orden inferior, e s decir, es un sistema de numeración en base 60. Se aplica en la actualidad a la medida del tiempo y a la de la amplitud de los ángulos. 1 h 60 min 60 s 1º 60' 60'' Razones Trigonométricas El triángulo ABC es un triángulo rectángulo en C; lo usaremos para definir las razones seno, coseno y tangente, del ángulo, correspondiente al vértice A, situado en el centro de la circunferencia. El seno (abreviado como sen, o sin por llamarse "sĭnus" en latín) es la razón entre el cateto opuesto sobre la hipotenusa. El coseno (abreviado como cos) es la razón entre el cateto adyacente sobre la hipotenusa,
  • 2. La tangente (abreviado como tan o tg) es la razón entre el cateto opuesto sobre el cateto adyacente, Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30º, 45º y 60º 1.4. Cálculo de valores de las funciones trigonométricas para 30º, 45º y 60º Las funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo implican un ángulo recto, es decir, un ángulo con una medida de 90º. Considera un triángulo equilátero cuya longitud de sus lados es igual a dos unidades. Ahora, por ser éste equilátero, la amplitud de sus ángulos son congruentes cuya medida es de 60º. Al cortar dicho triángulo equilátero exactamente por la mitad, corta la longitud del lado exactamente a la mitad y la amplitud del ángulo exactamente a la mitad, por lo que se obtienen los siguientes dos triángulos rectángulos cuyas medidas son las siguientes: La longitud del lado faltante lo obtienes a través del teorema de Pitágoras. c2 = a2 + b2 a2 = c2 – b2 a2 = (2)2 – (1)2 a2 = 4 – 1 = 3 a = √3
  • 3. Sus respectivas razones trigonométricas correspondientes son: Ahora, considera un triángulo isósceles, la propiedad de los ángulos isósceles señala que al poseer dos lados iguales, los ángulos opuestos a dichos lados también son Iguales. Si dicho triángulo es un triángulo rectángulo y al mismo tiempo isósceles, la medida de los ángulos y lados queda determinada bajo las siguientes características: Como la suma de los ángulos internos de un triángulo es igual a 180º entonces, como ya tienes uno de 90º y dos iguales, tienes algo de la forma: 180º ‐ 90º = 2x, despejando y realizando las operaciones necesarias obtienes que x = 45º, dicho valor corresponde a la amplitud de cada uno de los ángulos congruentes en el triángulo rectángulo isósceles. Como observas en la imagen, falta determinar un lado del triángulo el cual corresponde al valor de la hipotenusa, pero, con la ayuda del teorema de Pitágoras es fácil que obtengas su valor.
  • 4. c2 = a2 + b2 c2 = (1)2 + (1)2 c2 = 1 + 1 = 2 c = √2 Sus respectivas razones trigonométricas son: Obtén el valor de las razones trigonométricas recíprocas para el ángulo de 45º. Ejemplo: Con la tabla de valores obtenidos anteriormente resuelve el siguiente triángulo rectángulo: 1) Calcula la medida de los catetos del siguiente triángulo rectángulo. Toma cualquiera de las razones trigonométricas y obtén el valor número de la función trigonométrica como sigue: Por ejemplo: Si tomas la función sen 45º = a/ c, obtienes: Despejas a = c sen 45º Obtienes el valor de sen a = c (0.7071) Sustituyes “c” a = (8) (0.7071) Simplificas: a = 5.6568