1.
Marc Martí Sabaté
EL SÒLID RÍGID
Durant tota la nostra educació hem après aquelles expressions i càlculs que ens faciliten
l'enteniment dels cossos que ens envolten. No obstant això, la cinemàtica i la dinàmica
de l'educació secundària resolen per simplificar els cossos a punts únics de massa m,
quan sabem amb certesa que això no és així. Per això, la mecànica del sòlid rígid és el
següent pas en el camí per comprendre el funcionament del nostre univers, des del
moviment de les baldufes fins al dels cossos celestes.
El sòlid rígid és un conjunt de punts de l'espai que es mouen de manera que no s'alteren
les distàncies entre ells, sigui quina sigui la força actuant. L'exemple més clar seria el de
la baldufa. Hi ha dos tipus de sòlid rígid: el sòlid rígid discret, format per un conjunt
finit de partícules cadascuna amb la seva massa, i el sòlid rígid continu, format per
infinites partícules.
La massa del primer es calcula de la següent manera: M= Σ(i=1, N) m
La massa del segon es calcula així: M= ∫(v) ρ dV
Al seu torn, el sòlid rígid pot desenvolupar diferents moviments: de rotació, de
translació, o tots dos alhora.
En aquest tipus de moviments, és important conèixer el centre de masses, que és un
punt que es comporta com una partícula material on es concentra tota la massa del
sistema de partícules, i el seu vector porsición es defineix com:
R(CM)= (∑(i=1,N) R·m)/ (∑(i=1,N) m)
Un altre concepte important és el moment d'inèrcia: quan un sòlid rígid descriu
trajectòries circulars a la mateixa velocitat angular, les energies de les partícules són
diferents, perquè depenen de les distàncies respectives a l'eix. El moment d'inèrcia té en
compte aquesta anomalia: I= m· r2
Si tenim en compte els dos tipus de sòlid rígid descrits anteriorment, obtenim dues
fórmules derivades de la primera:
Discret: I= ∑(i=1,N) m· r2
Continu: I= ∫(v) r2 dm
A més d'això, el moment d'inèrcia depèn també de la geometria del sòlid.
El moment d'una força indica la com varia la rotació d'un cos, i és a la rotació el que la
força és a la translació. Es calcula de la següent manera: M= I α
El moment angular d'un sòlid rígid es calcula així: L= Iω
Derivant el moment angular pel temps, s'obté el moment de força:
dL/ dt= I· dω/dt= I·α= M
El teorema de la conservació del moment angular diu que si el moment de les forces
exteriors aplicades al sòlid és nul (M = 0), llavors el moment angular (L) es manté
constant.
El moment angular (L) en ser una magnitud constant, ens ajuda a calcular les equacions
del moviment d'aquests sòlids. La seva equació per a un moment donat és la següent:
L0= ∫(v) ρ(r0·v0) dV

2.
- R0 i v0 són la posició i la velocitat respecte a O. r (r) és la densitat en cada punt
El teorema de Steiner estableix que el moment d'inèrcia d'un sistema respecte a un
qualsevol és igual al moment d'inèrcia respecte d'un eix paral · lel al primer que passi
pel seu centre de Masses més el producte de la massa total al quadrat pel quadrat de la
distància (d) que els separa: I= I0 + m·d2
El teorema de les figures planes diu que si es prenen tres eixos perpendiculars (x, i, z)
entre sei, de manera que dos d'aquests es troben en el pla de la figura, el moment
d'inèrcia respecte a l'eix perpendicular a la figura és igual a la suma dels moments
d'inèrcia respecte als altres dos eixos: Iz= Ix + Iy
Les equacions de cinemàtica del sòlid rígid són les següents:
Qualsevol punt del sòlid rígid pot posar-se en funció del centre de masses:
rP = rC + R
rc és el radi des de l'observador al centre de masses, i R és la distància entre el punt i el
centre de gravetat.
Prenent r com un punt del sòlid, i r0 com un punt de referència:
r(t,r0)= rc(t)+r(t,r0)=rc(t)+ A(t)r0
t és el temps
rc és la posició de referència del sòlid
A (t) és l'orientació, expressada mitjançant una matriu
Si derivem l'r en funció del temps, ens surt la velocitat:
V(t,r0)= vc(t)+ w(t)·R(t,r0)= vc(t)+ w(t)· (r(t,r0)-yc(t))= vc(t)+w(t)·A(t)y0
R és la posició de la partícula respecte al punt de referència del cos (r0) al llarg del
temps amb una orientació variable.
R0 és la posició de la partícula respecte al punt de referència del cos en l'orientació de
referència inicial.
W és la velocitat angular
V és la velocitat total
Vc és la velocitat de translació respecte al seu punt de referència
El moviment general d'un sòlid rígid és la composició d'un moviment de translació del
centre de masses i d'un moviment de rotació al voltant d'un eix que passa pel centre de
masses.
• En el moviment de translació, tots els punts del sòlid es mouen en trajectòries paral ·
leles. La velocitat d'un punt del sòlid és la mateixa que la velocitat del centre de masses.

3.
• En el moviment de rotació al voltant d'un eix que passa pel centre de masses, la
velocitat d'un punt del sòlid és proporcional la ràdio de la circumferència que descriu, i
la seva adreça és tangent a aquesta circumferència.
El tensor d'inèrcia d'un sòlid rígid es defineix com un tensor simètric de segon ordre tal
que la forma quadràtica construïda a partir del tensor i la velocitat angular W dóna
l'energia cinètica de rotació:
Erot = ½ I· ω 2
Si reescrivim l'equació del moment lineal utilitzant els termes del tensor d'inèrcia ens
queda:
El treball que realitzen els moments de força que actuen sobre el sòlid rígid són igual a
la variació de l'energia de rotació:
W = ½ I· ω 2 – ½ I · ω 02
Aquesta petita taula ens ajudarà a comparar l'estudi d'una partícula puntual i un sòlid
rígid:
Puntual Sòlid rígid
x ϕ
v ω
a α
m I= ∑i m·r2
p L= r x p
F M= r x F
F= m·a M= I· α
F= dp/dt M= dL/dt
P=m·v L= I·ω
W= F· d W= M· ϕ
Ec= ½ m · v2 Ec= ½ I · ω2