SlideShare una empresa de Scribd logo
1 de 3
Marc Martí Sabaté
EL SÒLID RÍGID

Durant tota la nostra educació hem après aquelles expressions i càlculs que ens faciliten
l'enteniment dels cossos que ens envolten. No obstant això, la cinemàtica i la dinàmica
de l'educació secundària resolen per simplificar els cossos a punts únics de massa m,
quan sabem amb certesa que això no és així. Per això, la mecànica del sòlid rígid és el
següent pas en el camí per comprendre el funcionament del nostre univers, des del
moviment de les baldufes fins al dels cossos celestes.

El sòlid rígid és un conjunt de punts de l'espai que es mouen de manera que no s'alteren
les distàncies entre ells, sigui quina sigui la força actuant. L'exemple més clar seria el de
la baldufa. Hi ha dos tipus de sòlid rígid: el sòlid rígid discret, format per un conjunt
finit de partícules cadascuna amb la seva massa, i el sòlid rígid continu, format per
infinites partícules.
La massa del primer es calcula de la següent manera: M= Σ(i=1, N) m
La massa del segon es calcula així: M= ∫(v) ρ dV

Al seu torn, el sòlid rígid pot desenvolupar diferents moviments: de rotació, de
translació, o tots dos alhora.

En aquest tipus de moviments, és important conèixer el centre de masses, que és un
punt que es comporta com una partícula material on es concentra tota la massa del
sistema de partícules, i el seu vector porsición es defineix com:

R(CM)= (∑(i=1,N) R·m)/ (∑(i=1,N) m)

Un altre concepte important és el moment d'inèrcia: quan un sòlid rígid descriu
trajectòries circulars a la mateixa velocitat angular, les energies de les partícules són
diferents, perquè depenen de les distàncies respectives a l'eix. El moment d'inèrcia té en
compte aquesta anomalia: I= m· r2
Si tenim en compte els dos tipus de sòlid rígid descrits anteriorment, obtenim dues
fórmules derivades de la primera:
Discret: I= ∑(i=1,N) m· r2
Continu: I= ∫(v) r2 dm
A més d'això, el moment d'inèrcia depèn també de la geometria del sòlid.

El moment d'una força indica la com varia la rotació d'un cos, i és a la rotació el que la
força és a la translació. Es calcula de la següent manera: M= I α
El moment angular d'un sòlid rígid es calcula així: L= Iω
Derivant el moment angular pel temps, s'obté el moment de força:
dL/ dt= I· dω/dt= I·α= M
El teorema de la conservació del moment angular diu que si el moment de les forces
exteriors aplicades al sòlid és nul (M = 0), llavors el moment angular (L) es manté
constant.
El moment angular (L) en ser una magnitud constant, ens ajuda a calcular les equacions
del moviment d'aquests sòlids. La seva equació per a un moment donat és la següent:
L0= ∫(v) ρ(r0·v0) dV
- R0 i v0 són la posició i la velocitat respecte a O. r (r) és la densitat en cada punt

El teorema de Steiner estableix que el moment d'inèrcia d'un sistema respecte a un
qualsevol és igual al moment d'inèrcia respecte d'un eix paral · lel al primer que passi
pel seu centre de Masses més el producte de la massa total al quadrat pel quadrat de la
distància (d) que els separa: I= I0 + m·d2

El teorema de les figures planes diu que si es prenen tres eixos perpendiculars (x, i, z)
entre sei, de manera que dos d'aquests es troben en el pla de la figura, el moment
d'inèrcia respecte a l'eix perpendicular a la figura és igual a la suma dels moments
d'inèrcia respecte als altres dos eixos: Iz= Ix + Iy



Les equacions de cinemàtica del sòlid rígid són les següents:
Qualsevol punt del sòlid rígid pot posar-se en funció del centre de masses:

rP = rC + R
rc és el radi des de l'observador al centre de masses, i R és la distància entre el punt i el
centre de gravetat.
Prenent r com un punt del sòlid, i r0 com un punt de referència:

r(t,r0)= rc(t)+r(t,r0)=rc(t)+ A(t)r0


t és el temps
rc és la posició de referència del sòlid
A (t) és l'orientació, expressada mitjançant una matriu

Si derivem l'r en funció del temps, ens surt la velocitat:

V(t,r0)= vc(t)+ w(t)·R(t,r0)= vc(t)+ w(t)· (r(t,r0)-yc(t))= vc(t)+w(t)·A(t)y0

R és la posició de la partícula respecte al punt de referència del cos (r0) al llarg del
temps amb una orientació variable.

R0 és la posició de la partícula respecte al punt de referència del cos en l'orientació de
referència inicial.

W és la velocitat angular
V és la velocitat total
Vc és la velocitat de translació respecte al seu punt de referència

El moviment general d'un sòlid rígid és la composició d'un moviment de translació del
centre de masses i d'un moviment de rotació al voltant d'un eix que passa pel centre de
masses.
• En el moviment de translació, tots els punts del sòlid es mouen en trajectòries paral ·
leles. La velocitat d'un punt del sòlid és la mateixa que la velocitat del centre de masses.
• En el moviment de rotació al voltant d'un eix que passa pel centre de masses, la
velocitat d'un punt del sòlid és proporcional la ràdio de la circumferència que descriu, i
la seva adreça és tangent a aquesta circumferència.

El tensor d'inèrcia d'un sòlid rígid es defineix com un tensor simètric de segon ordre tal
que la forma quadràtica construïda a partir del tensor i la velocitat angular W dóna
l'energia cinètica de rotació:




Erot = ½ I· ω 2


Si reescrivim l'equació del moment lineal utilitzant els termes del tensor d'inèrcia ens
queda:




El treball que realitzen els moments de força que actuen sobre el sòlid rígid són igual a
la variació de l'energia de rotació:
W = ½ I· ω 2 – ½ I · ω 02


Aquesta petita taula ens ajudarà a comparar l'estudi d'una partícula puntual i un sòlid
rígid:

Puntual                                      Sòlid rígid
x                                            ϕ
v                                            ω
a                                            α
m                                            I= ∑i m·r2
p                                            L= r x p
F                                            M= r x F
F= m·a                                       M= I· α
F= dp/dt                                     M= dL/dt
P=m·v                                        L= I·ω
W= F· d                                      W= M· ϕ
Ec= ½ m · v2                                 Ec= ½ I · ω2

Más contenido relacionado

Destacado

Parnais
ParnaisParnais
Parnaiswarum
 
Capitulo i disposiciones generales
Capitulo i disposiciones generalesCapitulo i disposiciones generales
Capitulo i disposiciones generalesIsidorogg
 
French Scrum User Group : Adopter l'agilité par les usages
French Scrum User Group : Adopter l'agilité par les usagesFrench Scrum User Group : Adopter l'agilité par les usages
French Scrum User Group : Adopter l'agilité par les usagesXavier Warzee
 
Curriculum vitae 2013_MacKenzie Underwood
Curriculum vitae 2013_MacKenzie UnderwoodCurriculum vitae 2013_MacKenzie Underwood
Curriculum vitae 2013_MacKenzie UnderwoodMacKenzie Underwood
 
Modélisation, environnements sémantiques et Web de données
Modélisation, environnements sémantiques et Web de donnéesModélisation, environnements sémantiques et Web de données
Modélisation, environnements sémantiques et Web de données chessmu
 
Tipo estereotipo. Javier Martínez
 Tipo estereotipo. Javier Martínez Tipo estereotipo. Javier Martínez
Tipo estereotipo. Javier Martínezluciasn
 
Optimización del paciente con dolor complejo
Optimización del paciente con dolor complejo Optimización del paciente con dolor complejo
Optimización del paciente con dolor complejo Oliver Arteaga
 
Cartographie des institutions du Libre
Cartographie des institutions du LibreCartographie des institutions du Libre
Cartographie des institutions du Libreperrick
 
Presentacion docentes upc
Presentacion docentes upcPresentacion docentes upc
Presentacion docentes upcIsidorogg
 
Guillaume Mazain (Videology) - Télé et vidéo : la grande convergence - Ma...
Guillaume Mazain (Videology)  - Télé et vidéo : la grande convergence - Ma...Guillaume Mazain (Videology)  - Télé et vidéo : la grande convergence - Ma...
Guillaume Mazain (Videology) - Télé et vidéo : la grande convergence - Ma...Viuz
 
Comunicación en el matrimonio
Comunicación en el matrimonioComunicación en el matrimonio
Comunicación en el matrimonioRigoberto Morales
 
Réponse immunitaire innée chez la drosophile 2007
Réponse immunitaire innée chez la drosophile 2007Réponse immunitaire innée chez la drosophile 2007
Réponse immunitaire innée chez la drosophile 2007Indoumady Baskara
 
Meetup mini conférences AFUP Paris Deezer Janvier 2017
Meetup mini conférences AFUP Paris Deezer Janvier 2017Meetup mini conférences AFUP Paris Deezer Janvier 2017
Meetup mini conférences AFUP Paris Deezer Janvier 2017Alexis Von Glasow
 
Le Yachtde Greg Norman
Le Yachtde Greg NormanLe Yachtde Greg Norman
Le Yachtde Greg NormanSeverus Prime
 

Destacado (20)

Parnais
ParnaisParnais
Parnais
 
Capitulo i disposiciones generales
Capitulo i disposiciones generalesCapitulo i disposiciones generales
Capitulo i disposiciones generales
 
French Scrum User Group : Adopter l'agilité par les usages
French Scrum User Group : Adopter l'agilité par les usagesFrench Scrum User Group : Adopter l'agilité par les usages
French Scrum User Group : Adopter l'agilité par les usages
 
Présentation du BEP CSS
Présentation du BEP CSSPrésentation du BEP CSS
Présentation du BEP CSS
 
Malabar
MalabarMalabar
Malabar
 
Press reviews
Press reviewsPress reviews
Press reviews
 
Curriculum vitae 2013_MacKenzie Underwood
Curriculum vitae 2013_MacKenzie UnderwoodCurriculum vitae 2013_MacKenzie Underwood
Curriculum vitae 2013_MacKenzie Underwood
 
Modélisation, environnements sémantiques et Web de données
Modélisation, environnements sémantiques et Web de donnéesModélisation, environnements sémantiques et Web de données
Modélisation, environnements sémantiques et Web de données
 
Tipo estereotipo. Javier Martínez
 Tipo estereotipo. Javier Martínez Tipo estereotipo. Javier Martínez
Tipo estereotipo. Javier Martínez
 
Gab
GabGab
Gab
 
Optimización del paciente con dolor complejo
Optimización del paciente con dolor complejo Optimización del paciente con dolor complejo
Optimización del paciente con dolor complejo
 
Cartographie des institutions du Libre
Cartographie des institutions du LibreCartographie des institutions du Libre
Cartographie des institutions du Libre
 
Presentacion docentes upc
Presentacion docentes upcPresentacion docentes upc
Presentacion docentes upc
 
Guillaume Mazain (Videology) - Télé et vidéo : la grande convergence - Ma...
Guillaume Mazain (Videology)  - Télé et vidéo : la grande convergence - Ma...Guillaume Mazain (Videology)  - Télé et vidéo : la grande convergence - Ma...
Guillaume Mazain (Videology) - Télé et vidéo : la grande convergence - Ma...
 
Comunicación en el matrimonio
Comunicación en el matrimonioComunicación en el matrimonio
Comunicación en el matrimonio
 
calentamiento global
calentamiento globalcalentamiento global
calentamiento global
 
Réponse immunitaire innée chez la drosophile 2007
Réponse immunitaire innée chez la drosophile 2007Réponse immunitaire innée chez la drosophile 2007
Réponse immunitaire innée chez la drosophile 2007
 
Para ser feliz
Para ser felizPara ser feliz
Para ser feliz
 
Meetup mini conférences AFUP Paris Deezer Janvier 2017
Meetup mini conférences AFUP Paris Deezer Janvier 2017Meetup mini conférences AFUP Paris Deezer Janvier 2017
Meetup mini conférences AFUP Paris Deezer Janvier 2017
 
Le Yachtde Greg Norman
Le Yachtde Greg NormanLe Yachtde Greg Norman
Le Yachtde Greg Norman
 

Similar a Sòlid rígid (20)

Camp gravitatori
Camp gravitatoriCamp gravitatori
Camp gravitatori
 
Tema 5 forces
Tema 5 forcesTema 5 forces
Tema 5 forces
 
Cinemàtica 1r batx
Cinemàtica 1r batxCinemàtica 1r batx
Cinemàtica 1r batx
 
Cinemàtica 1r batx
Cinemàtica 1r batxCinemàtica 1r batx
Cinemàtica 1r batx
 
Cinemàtica mcua
Cinemàtica mcuaCinemàtica mcua
Cinemàtica mcua
 
Cinemàtica 1r BATX
Cinemàtica 1r BATXCinemàtica 1r BATX
Cinemàtica 1r BATX
 
ORBITALS ATÒMICS
ORBITALS ATÒMICS ORBITALS ATÒMICS
ORBITALS ATÒMICS
 
Tema1 dinamica
Tema1 dinamicaTema1 dinamica
Tema1 dinamica
 
1r BATX.dinamica.ppt
1r BATX.dinamica.ppt1r BATX.dinamica.ppt
1r BATX.dinamica.ppt
 
Cinematica.pdf
Cinematica.pdfCinematica.pdf
Cinematica.pdf
 
Cinemàtica: 1r batxillerat.
Cinemàtica: 1r batxillerat.Cinemàtica: 1r batxillerat.
Cinemàtica: 1r batxillerat.
 
Ones
OnesOnes
Ones
 
T1 c continu (1)
T1 c continu (1)T1 c continu (1)
T1 c continu (1)
 
Dinàmica
DinàmicaDinàmica
Dinàmica
 
Tema 8 treball i energia
Tema 8 treball i energiaTema 8 treball i energia
Tema 8 treball i energia
 
Màquines Simples I Mecanismes
Màquines Simples I MecanismesMàquines Simples I Mecanismes
Màquines Simples I Mecanismes
 
Maquines Simples I Mecanismes (Mecanica)
Maquines Simples I Mecanismes (Mecanica)Maquines Simples I Mecanismes (Mecanica)
Maquines Simples I Mecanismes (Mecanica)
 
Cat re fisquim4eso_001
Cat re fisquim4eso_001Cat re fisquim4eso_001
Cat re fisquim4eso_001
 
Moviment ondulatori
Moviment ondulatori Moviment ondulatori
Moviment ondulatori
 
Solucionari fq eso4
Solucionari fq eso4Solucionari fq eso4
Solucionari fq eso4
 

Más de Mariló Limo

Cruciverba et altera
Cruciverba et alteraCruciverba et altera
Cruciverba et alteraMariló Limo
 
"El Covid 19 y nosotros" de Jesús Pérez Espinosa
"El Covid 19 y nosotros" de Jesús Pérez Espinosa"El Covid 19 y nosotros" de Jesús Pérez Espinosa
"El Covid 19 y nosotros" de Jesús Pérez EspinosaMariló Limo
 
Unas palabras j-perez
Unas palabras j-perezUnas palabras j-perez
Unas palabras j-perezMariló Limo
 
Recepta per Halloween
Recepta per HalloweenRecepta per Halloween
Recepta per HalloweenMariló Limo
 
Símbols de Halloween
Símbols de HalloweenSímbols de Halloween
Símbols de HalloweenMariló Limo
 
Mariló Limo Escura - Nènies a un germà 1996
Mariló Limo Escura - Nènies a un germà 1996Mariló Limo Escura - Nènies a un germà 1996
Mariló Limo Escura - Nènies a un germà 1996Mariló Limo
 
Dones en literatura
Dones en literaturaDones en literatura
Dones en literaturaMariló Limo
 
Avís Biblioteca IES Matilde Salvador
Avís Biblioteca IES Matilde SalvadorAvís Biblioteca IES Matilde Salvador
Avís Biblioteca IES Matilde SalvadorMariló Limo
 
2013 Mencion Especial ESDELIBRO IES Matilde Salvador
2013 Mencion Especial ESDELIBRO IES Matilde Salvador2013 Mencion Especial ESDELIBRO IES Matilde Salvador
2013 Mencion Especial ESDELIBRO IES Matilde SalvadorMariló Limo
 
3r premicompitalia2013
3r premicompitalia20133r premicompitalia2013
3r premicompitalia2013Mariló Limo
 
De Tarracone Exhibitio Photographica
De Tarracone Exhibitio PhotographicaDe Tarracone Exhibitio Photographica
De Tarracone Exhibitio PhotographicaMariló Limo
 
Dossier cuina romana
Dossier cuina romanaDossier cuina romana
Dossier cuina romanaMariló Limo
 
Naixement de la literatura llatina
Naixement de la literatura llatinaNaixement de la literatura llatina
Naixement de la literatura llatinaMariló Limo
 

Más de Mariló Limo (20)

Cruciverba et altera
Cruciverba et alteraCruciverba et altera
Cruciverba et altera
 
"El Covid 19 y nosotros" de Jesús Pérez Espinosa
"El Covid 19 y nosotros" de Jesús Pérez Espinosa"El Covid 19 y nosotros" de Jesús Pérez Espinosa
"El Covid 19 y nosotros" de Jesús Pérez Espinosa
 
Unas palabras j-perez
Unas palabras j-perezUnas palabras j-perez
Unas palabras j-perez
 
Recepta per Halloween
Recepta per HalloweenRecepta per Halloween
Recepta per Halloween
 
Símbols de Halloween
Símbols de HalloweenSímbols de Halloween
Símbols de Halloween
 
Mariló Limo Escura - Nènies a un germà 1996
Mariló Limo Escura - Nènies a un germà 1996Mariló Limo Escura - Nènies a un germà 1996
Mariló Limo Escura - Nènies a un germà 1996
 
Dones en literatura
Dones en literaturaDones en literatura
Dones en literatura
 
Avís Biblioteca IES Matilde Salvador
Avís Biblioteca IES Matilde SalvadorAvís Biblioteca IES Matilde Salvador
Avís Biblioteca IES Matilde Salvador
 
2013 Mencion Especial ESDELIBRO IES Matilde Salvador
2013 Mencion Especial ESDELIBRO IES Matilde Salvador2013 Mencion Especial ESDELIBRO IES Matilde Salvador
2013 Mencion Especial ESDELIBRO IES Matilde Salvador
 
3r premicompitalia2013
3r premicompitalia20133r premicompitalia2013
3r premicompitalia2013
 
Optica
OpticaOptica
Optica
 
Cordes
CordesCordes
Cordes
 
Cern
CernCern
Cern
 
20130220174214351
2013022017421435120130220174214351
20130220174214351
 
De Tarracone Exhibitio Photographica
De Tarracone Exhibitio PhotographicaDe Tarracone Exhibitio Photographica
De Tarracone Exhibitio Photographica
 
Dossier cuina romana
Dossier cuina romanaDossier cuina romana
Dossier cuina romana
 
Naixement de la literatura llatina
Naixement de la literatura llatinaNaixement de la literatura llatina
Naixement de la literatura llatina
 
De bello gallico
De bello gallicoDe bello gallico
De bello gallico
 
Apolo y dafne
Apolo y dafneApolo y dafne
Apolo y dafne
 
L’índia
L’índiaL’índia
L’índia
 

Sòlid rígid

  • 1. Marc Martí Sabaté EL SÒLID RÍGID Durant tota la nostra educació hem après aquelles expressions i càlculs que ens faciliten l'enteniment dels cossos que ens envolten. No obstant això, la cinemàtica i la dinàmica de l'educació secundària resolen per simplificar els cossos a punts únics de massa m, quan sabem amb certesa que això no és així. Per això, la mecànica del sòlid rígid és el següent pas en el camí per comprendre el funcionament del nostre univers, des del moviment de les baldufes fins al dels cossos celestes. El sòlid rígid és un conjunt de punts de l'espai que es mouen de manera que no s'alteren les distàncies entre ells, sigui quina sigui la força actuant. L'exemple més clar seria el de la baldufa. Hi ha dos tipus de sòlid rígid: el sòlid rígid discret, format per un conjunt finit de partícules cadascuna amb la seva massa, i el sòlid rígid continu, format per infinites partícules. La massa del primer es calcula de la següent manera: M= Σ(i=1, N) m La massa del segon es calcula així: M= ∫(v) ρ dV Al seu torn, el sòlid rígid pot desenvolupar diferents moviments: de rotació, de translació, o tots dos alhora. En aquest tipus de moviments, és important conèixer el centre de masses, que és un punt que es comporta com una partícula material on es concentra tota la massa del sistema de partícules, i el seu vector porsición es defineix com: R(CM)= (∑(i=1,N) R·m)/ (∑(i=1,N) m) Un altre concepte important és el moment d'inèrcia: quan un sòlid rígid descriu trajectòries circulars a la mateixa velocitat angular, les energies de les partícules són diferents, perquè depenen de les distàncies respectives a l'eix. El moment d'inèrcia té en compte aquesta anomalia: I= m· r2 Si tenim en compte els dos tipus de sòlid rígid descrits anteriorment, obtenim dues fórmules derivades de la primera: Discret: I= ∑(i=1,N) m· r2 Continu: I= ∫(v) r2 dm A més d'això, el moment d'inèrcia depèn també de la geometria del sòlid. El moment d'una força indica la com varia la rotació d'un cos, i és a la rotació el que la força és a la translació. Es calcula de la següent manera: M= I α El moment angular d'un sòlid rígid es calcula així: L= Iω Derivant el moment angular pel temps, s'obté el moment de força: dL/ dt= I· dω/dt= I·α= M El teorema de la conservació del moment angular diu que si el moment de les forces exteriors aplicades al sòlid és nul (M = 0), llavors el moment angular (L) es manté constant. El moment angular (L) en ser una magnitud constant, ens ajuda a calcular les equacions del moviment d'aquests sòlids. La seva equació per a un moment donat és la següent: L0= ∫(v) ρ(r0·v0) dV
  • 2. - R0 i v0 són la posició i la velocitat respecte a O. r (r) és la densitat en cada punt El teorema de Steiner estableix que el moment d'inèrcia d'un sistema respecte a un qualsevol és igual al moment d'inèrcia respecte d'un eix paral · lel al primer que passi pel seu centre de Masses més el producte de la massa total al quadrat pel quadrat de la distància (d) que els separa: I= I0 + m·d2 El teorema de les figures planes diu que si es prenen tres eixos perpendiculars (x, i, z) entre sei, de manera que dos d'aquests es troben en el pla de la figura, el moment d'inèrcia respecte a l'eix perpendicular a la figura és igual a la suma dels moments d'inèrcia respecte als altres dos eixos: Iz= Ix + Iy Les equacions de cinemàtica del sòlid rígid són les següents: Qualsevol punt del sòlid rígid pot posar-se en funció del centre de masses: rP = rC + R rc és el radi des de l'observador al centre de masses, i R és la distància entre el punt i el centre de gravetat. Prenent r com un punt del sòlid, i r0 com un punt de referència: r(t,r0)= rc(t)+r(t,r0)=rc(t)+ A(t)r0 t és el temps rc és la posició de referència del sòlid A (t) és l'orientació, expressada mitjançant una matriu Si derivem l'r en funció del temps, ens surt la velocitat: V(t,r0)= vc(t)+ w(t)·R(t,r0)= vc(t)+ w(t)· (r(t,r0)-yc(t))= vc(t)+w(t)·A(t)y0 R és la posició de la partícula respecte al punt de referència del cos (r0) al llarg del temps amb una orientació variable. R0 és la posició de la partícula respecte al punt de referència del cos en l'orientació de referència inicial. W és la velocitat angular V és la velocitat total Vc és la velocitat de translació respecte al seu punt de referència El moviment general d'un sòlid rígid és la composició d'un moviment de translació del centre de masses i d'un moviment de rotació al voltant d'un eix que passa pel centre de masses. • En el moviment de translació, tots els punts del sòlid es mouen en trajectòries paral · leles. La velocitat d'un punt del sòlid és la mateixa que la velocitat del centre de masses.
  • 3. • En el moviment de rotació al voltant d'un eix que passa pel centre de masses, la velocitat d'un punt del sòlid és proporcional la ràdio de la circumferència que descriu, i la seva adreça és tangent a aquesta circumferència. El tensor d'inèrcia d'un sòlid rígid es defineix com un tensor simètric de segon ordre tal que la forma quadràtica construïda a partir del tensor i la velocitat angular W dóna l'energia cinètica de rotació: Erot = ½ I· ω 2 Si reescrivim l'equació del moment lineal utilitzant els termes del tensor d'inèrcia ens queda: El treball que realitzen els moments de força que actuen sobre el sòlid rígid són igual a la variació de l'energia de rotació: W = ½ I· ω 2 – ½ I · ω 02 Aquesta petita taula ens ajudarà a comparar l'estudi d'una partícula puntual i un sòlid rígid: Puntual Sòlid rígid x ϕ v ω a α m I= ∑i m·r2 p L= r x p F M= r x F F= m·a M= I· α F= dp/dt M= dL/dt P=m·v L= I·ω W= F· d W= M· ϕ Ec= ½ m · v2 Ec= ½ I · ω2