Dimensionnement des sections en flexion simple à l'état limite de service - ELS - avec et sans armature comprimée - calcul de l'ouverture de fissures

1. Chapitre VI
Poutre en flexion simple – Etat Limite
de Service (ELS)
1. Hypothèses
2. Section rectangulaire
Marwan SADEK 1
2. Section rectangulaire
3. Section en T
4. Ouverture de fissures

2. Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
INTRODUCTION (SECTION 7 – EC2-1-1)
 Limitation des contraintes (Acier et Béton)
 Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 2
 Limitation des flèches (SBA2)

3. H1) Principe de Navier-Bernoulli : au cours des déformations, les sections
droites restent planes (Champ de déformation linéaire dans la section)
H2) La résistance du béton tendu est négligée
H3) un groupe de barres disposées en plusieurs lits est équivalent à une barre
unique située au C.D.G du groupe
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
 HYPOTHÈSES
Marwan SADEK 3
H4) Pas de glissement relatif entre acier et béton - Adhérence parfaite entre
l’acier et le béton
H5) Les matériaux ont des comportement élastiques linéaires :  = E.
Coefficient d’équivalence e

4. Coefficient d'équivalence effectif
(noté n dans les précédentes règles françaises)
 La valeur généralement obtenue est bien supérieure à celle des anciennes
règles françaises (BAEL, n=15)
 Coefficient d’équivalence (EC2 / Règles professionnelles)
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La France (recommandations
professionnelles) propose de
minorer e sous comb. ELS carac.

5.  Note 1 :
Sous action de courte durée uniquement, on retient un coefficient e= Es/Ecm
 Note 2 :
La maîtrise de fissuration est généralement réalisée en combinaison
 Quasi-permanente pour les bâtiments
 fréquente pour les ponts (selon ANF NF EN 1992-2-NA)
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 fréquente pour les ponts (selon ANF NF EN 1992-2-NA)
Si une grande précision n’est pas
nécessaire, on pourra retenir
e= 15
 Note 3 :

6.  Limitation des contraintes (Acier et Béton)
Béton Acier
ELS Caractéristique c  0,6.fck (pertinent) s  0,8.fck
ELS quasi permanent c  0,45.fck , sinon fluage non linéaire Maîtrise de fissuration
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7.  Combinaison Caractéristique
"il peut être pertinent" de limiter les contraintes de compression
c  0.6 fck , pour les Classes XD, XF et XS
 Note 1: ce n’est pas une obligation comme en BAEL
 Note 2 : Aucune limitation pour les classes X0, XC
Contrainte de compression dans le béton c
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 Note 2 : Aucune limitation pour les classes X0, XC
 Combinaison quasi-permanente (surtout précontrainte)
si c  0.45 fck  fluage linéaire
Sinon fluage non-linéaire

8.  sous combinaisons Caractéristique
s  0.8 fyk
 Contrainte de traction dans l’acier
Afin d’éviter des déformations inélastiques, une fissuration ou des flèches
inacceptables
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 Note : s  1fyk si la contrainte est provoquée par une déformation imposée

9. Section rectangulaire – Calcul ELS
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(e=n )

10. Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
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Inertie équivalente – section homogénéisée
I = b.x3/3 + n As′ (x–d′)² + n As (d–x)²
 Note : On néglige l’inertie des aciers par rapport à leur propre CDG

11.  Contraintes sous M
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 Contraintes sous Mser
c = K.x Béton comprimé
s= n.K. (d – x) Acier tendu As
 Acier comprimé A’s ’s= n.K. (x – d’)
(K=Mser / I)

12. Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
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 Forces internes
 Béton comprimé Fc = c.b.x/2 = K.b.x²/2
 Acier tendu As Fs=As.s= n.K. As .(d – x)
 Acier comprimé A’c F’s=A’s.’s= n.K. A’s(x – d’)

13. Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
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 Equilibre des forces :
 Position de l’axe neutre x=?
b x² / 2 + n.(As + A’s ).x – n (As.d + A’s .d’)=0

14.  Cas particulier – sans armature comprimée
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I = b.x3/3 + n As (d–x)²

15. 1) Problème 1: As, A’s connues Vérification des contraintes
 Position de l’axe neutre x
 Inertie de la section homogénéisée
Calcul détaillé :
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 Inertie de la section homogénéisée
 Calcul des contraintes dans le béton et l’acier
 Comparaison avec les valeurs limites

16. Vérification rapide en utilisant les tableaux (Thonier 2012)
(Sans armature comprimée A’s=0)
 Valeurs limite c correspondant à une contrainte limite du béton c = 0.6 fck
 Valeurs limite s correspondant à une contrainte limite dans l’acier s = 0.8 fyk
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 Des tableaux de vérification et de dimensionnement rapides sont également fournis dans Perchat (2013)

17. 2) Problème 2 :
 Contrainte de compression dans le béton vérifiée c  c
 Contrainte de traction dans l’acier dépassée s  s
Détermination de la nouvelle valeur de As = ? (A’s = 0 )
 On fait travailler la nouvelle section à s
 Inconnus : As, x, c
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 Inconnus : As, x, c

18.  Eq 1 - Equilibre des forces
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Fc = c.b.x/2 = Fs = As .s
 Eq 1 - Equilibre des forces
 Eq 2 - Equilibre des moments
Mser = Fc .(d-x/3) = c.b.x/2 .(d-x/3)
 Eq 3 - Diagramme de contraintes (linéaire)
c / x = (s / n ) / (d-x)

19.  = Mser / (b.d²)
 = x / d
 3 équations à trois inconnus
On obtient une équation de 3ème degré en 
On pose
Résolution par itérations successives
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Résolution par itérations successives

20. Utilisation de tableaux (Thonier 2012)
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21. 3) Problème 3 :
La contrainte de compression dans le béton est dépassée c  c
 2 possibilités :
a) Changer les dimensions de la section du béton
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ou
b) Introduire des armatures comprimées

22. 3a) Changer les dimensions de la section du béton b, h
 On fait travailler les 2 matériaux à leurs limites maximales c et s
 La position de l’axe neutre est connue
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Pourc = 0.6 fck , on obtient :

23. 3b) introduction de A’s,
?? Inconnus : As, A’s,  ??
 On fait travailler les 2 matériaux à leurs limites maximales c et s
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24. 3b) Introduction de A’s
2 sections fictives
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 Le moment repris par le béton comprimé (c = 0.6 fck) :

25. 3b) introduction de A’s,
 Le moment repris par A’s (ou A2) :
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26. 3b) introduction de A’s,
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27. Section en T – Calcul ELS
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28.  Axe neutre
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 Inertie homogénéisée
c = K.x
s= n.K. (d – x)
 K= Mser / I

29.  Note :
 En principe, si on trouve x<hf , l’axe neutre est dans la table, on est
amené au calcul d’une section rectangulaire
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 En général , on néglige la résistance du béton situé entre 0.8 x et x,
on pourra donc considérer que l’axe neutre est dans la table lorsque
x 1.25 hf (Thonier 2012)

30. Section en T – Calcul de l’armature
 Si la contrainte dans l’acier est dépassée, il faudra recalculer la section
d’armature As. Si l’axe neutre est dans la nervure, le calcul est relativement
complexe. On pourra calculer As en prenant une formule approchée
conservatrice pour le bras de levier
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 Dans cette formule on suppose que le béton est suffisant pour
reprendre l’effort de compression, ce qui est généralement le cas (A’s = 0)

31. MAÎTRISE DE LA FISSURATION
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32. Fissuration
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(Perchat 2013)

33.  Limites des ouvertures admises par l’Eurocode 2 (ELS quasi-permanent)
 Modifications apportées par l’Annexe nationale française
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34. Maîtrise de fissuration- sans calcul direct (ELS quasi-permanent)
- Les éléments dont les fissures sont dues principalement aux charges et
respectant les dispositions du Tableau 7.2N ou 7.3N peuvent être dispensées de
calcul direct (tableau 7.2 N uniquement en cas de fissures dues à des déformations
gênées)
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
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ou
 Les conditions données par ces tableaux sont très défavorables pour le
dimensionnement. Il est recommandé d’avoir recours au calcul de fissures.

35.  Maîtrise de fissuration- sans calcul direct (ELS quasi-permanent)
 Terme correcteur des diamètres proposés en fonction des enrobages
a) si la fissuration est due à une flexion
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Marwan SADEK 35
b) si la fissuration est due à une traction
kc = 0.4 (en flexion simple)
hcr: hauteur de la zone tendue avant la fissuration, comme approximation
on pourra retenir hcr = 0.5 h en flexion simple

36. Dans le cas des dalles en béton armé ou précontraint dans les bâtiments, sollicitées
à la flexion sans traction axiale significative, aucune disposition particulière n'est
nécessaire pour la maîtrise de la fissuration lorsque l'épaisseur totale de la dalle
n'excède pas 200 mm et que les spécifications de 9.3 sont respectées (dispositions
constructives relatives aux dalles pleines)
 Maîtrise de fissuration- sans calcul direct
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Marwan SADEK 36

37.  Maîtrise de fissuration- sans calcul direct (ANF Ponts NF EN 1992-2-NA)
En remplacement des valeurs tabulées très pénalisantes définies ci-dessus, la
France propose dans son Annexe Nationale sur les ponts la méthode suivante :
1. l’espacement des armatures est inférieur à 5 (c + /2) ;
2. la contrainte σs dans les aciers passifs ne dépasse pas 1000.wk sous la
combinaison d’Action fréquente pour des éléments ou parties d’éléments
 Eléments en flexion (face comprimée et face tendue)
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Marwan SADEK 37
combinaison d’Action fréquente pour des éléments ou parties d’éléments
fléchis.
(Méthode testée par le SETRA, Paillé 2009)
σs ≤ 1000.wk (σs est exprimée en MPa et wk en mm)

38.  Maîtrise de fissuration - sans calcul direct (ANF Ponts)
la deuxième condition (2.) devient :
σs ≤ 600.wk (au lieu de 1000.wk)
 Cas des sections soumises à une traction
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Marwan SADEK 38
pour des éléments ou parties d’éléments entièrement tendus
(combinaison fréquente)

39.  Armature minimale (maîtrise de fissuration)
 Act : aire du béton tendu juste avant formation de la première fissure
Act = 0,5.b.h (pour une section rectangulaire bh)
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 39
 fct,eff = fctm
 k = 1 pour les âmes de hauteur h  300 mm ou les membrures de largeur au
plus égale à 300 mm
 k = 0.65 pour les âmes de hauteur h  800 mm ou les membrures de largeur au
moins égale à 800 mm

40.  Armature minimale (maîtrise de fissuration)
Pour les sections rectangulaires et les âmes des poutres en T ou en caisson
 k1 = 1 en flexion simple
 h* = Min[h,1m]
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 40
 h* = Min[h,1m]
 c : contrainte moyenne du béton s’exerçant sur la partie de section considérée
c = Ned/Ac (=0 en flexion simple)
kc=0.4 (en flexion simple)
Note : pour une section rectangulaire en flexion simple, le pourcentage minimale pour la maîtrise de
fissuration est moins exigent que celui de la non fragilité. On peut donc se dispenser de le vérifier.

41.  Armature de peau (maîtrise de fissuration)
 Cas des poutres de hauteur > 1 m
L’eurocode 2 impose de disposer des armatures de peau sur le parement de la poutre, à
l’intérieur des cadres , dans la partie tendue (en dessous de l’axe neutre)
k =0.4 en flexion simple, 1 en traction pure ; k=0.5 ;  = f
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 41
peau = As / Act = 0.2 fctm / fyk en flexion
 peau = As / Act = 0.5 fctm / fyk en traction pure
kc=0.4 en flexion simple, 1 en traction pure ; k=0.5 ; s = fyk
 Diamètres et espacements sont à disposer selon les tableaux 7.2N et 7.3N (ci-
avant), avec une contrainte de traction de l’acier égale à la moitié de celle
estimée pour les aciers de flexion

42.  Armature de peau (maîtrise de fissuration)
Note 1 : Cas de gros diamètres ( 32 mm)
l’Eurocode prévoit de mettre des armatures longitudinales
de peau dans la zone tendue en dehors des cadres.
Ces armatures sont soumises aux Annexes nationales,
et n’ont pas été retenus par la France.
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 42
Note 2 : Cas de ponts
Comme l’Eurocode ne dit rien sur les poutres de hauteur > 1 m, la France impose,
dans l’Annexe nationale de la partie Ponts, de disposer dans les poutres de
grande hauteur des armatures de peau une section minimale dans le sens de la
fibre moyenne, d’au moins 3 cm² par mètre de paroi perpendiculaire à la direction
de ces armatures sans pouvoir être inférieure à 0,10 % de la section droite de la
poutre.
Pour les poutres situées en classe d’exposition XD et XS il y a lieu de disposer au
moins 5 cm² par mètre de paroi perpendiculaire à la direction de ces armatures.

43.  Largeur de fissures
‘Tirant’ BA de section droite Ac ou zone de béton
entourant les armatures d’une poutre fléchie
assimilable à un tirant
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 43
Etat homogène non fissuré :

44. Aspect théorique
L’ouverture moyenne wm d’une fissure peut être déterminé en calculant l’allongement
moyen d’une armature par rapport à l’allongement du béton sur la longueur comprise
entre deux fissures :
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
 Largeur de fissures
Marwan SADEK 44
 Note : Le lecteur pourra consulter l’ouvrage de Paillé 2009, ou Perchat 2013 pour
plus de détails sur l’aspect théorique de l’ouverture de fissures.

45.  Calcul de l’ouverture des fissures wk
Aspect réglementaire
a) Espacement des barres adhérentes < 5(c+/2) [cas de poutres en général]
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
 Largeur de fissures
Marwan SADEK 45
k1 = 0,8 pour la barres HA, 1,6 pour des aciers effectivement lisses
k2 = 0,5 en flexion, 1 en traction pure
k3 = 3,4 Cette valeur a été invalidée par la France pour les
enrobages forts  Prendre 3,4*(25/c)2/3 si c > 25 mm (AN, M. Cortade)

46. hc,eff =Min[2,5.(h – d) ; h/2 ;(h – x)/3]
x : distance de la fibre supérieure à l’axe neutre
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 46
 : diamètre des barres (à remplacer par eq si plusieurs diamètres)

47. Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 47
s : contrainte dans les aciers sous combinaison quasi-permanente (G + 0,3Q) en supposant la
section fissurée
kt = 0,4 pour un chargement de longue durée, 0,6 pour une courte durée

48. b) Espacement des barres adhérentes > 5(c+/2) [cas de dalles en général]
Introduction / Hypothèses 2. Section rectangulaire 3. Section en T 4. Maîtrise de la fissuration
Marwan SADEK 48
Max des 2 valeurs

49. Exercices
 Section rectangulaire sans armature comprimée :
 Calcul As ELU
Vérification ELS
 Section rectangulaire avec armature comprimée :
 Calcul As ELU
49
M. SADEK
 Calcul As ELU
 Vérification ELS
Maîtrise de la fissuration
 Utilisation des tableaux
 Méthode utilisée pour les ponts
 Calcul de l’ouverture des fissures