Ordenar lista recursivamente

Ing. Mary Lopez
Programacion II
Iterar es Humano Recursividad es Divino
Universidad Autónoma Gabriel Rene Moreno
FICCT
Semestre I/2018

Ing. Mary Dunnia López
Contenido
Introducción1
Principios de la Inducción Completa2
Estrategias para Procesos Recusivos3
Ejercicios4

Definición
- Es una Técnica que
permite que una
función se llame a
si misma.
Recursividad
Definition
- Un algoritmo es
recursivo si al estar
encapsulado en una
función es llamado
desde la misma
función por lo menos
1 vez.
Recursión va ligado a repetición

1.1 Validez del algoritmo recursivo
Caso Base
• Evita que el
algoritmo sea
infinito.
• El problema puede
resolverse sin tener
que hacer uso una
nueva llamada a si
mismo.
Al menos
2 elementos
Paso Recursivo
 Relaciona el
resultado del
algoritmo en base a
los resultados de
casos mas simples.
 Se hacen llamadas a
la misma función
pero cada vez mas
próximas al caso
base.

1.2 Utilidad de la Recursividad
Un Funcion
se llama
a si misma
Codificación
simple y
corta
Existe una
sobrecarga
asociada con
las llamadas a
sub algoritmos
Algoritmo Recursivo
Por que usar ?

1.3 ¿Cuándo usar recursividad?
 Es una técnica potente de programación que permite resolver
problemas complejos en forma simple elegante y clara.
 Sin Embargo:
 Sera la ultima solución a intentar en caso que los procesos
iterativos no funcionen.
 El uso de recursividad únicamente cuando no haya solución
iterativa.
 Si analizamos en el caso factorial
 Existen algoritmos complejos se codifican mas fácil mediante
métodos recursivos.
RECURSIVO
Int Factorial (int n )
{
If (n==0) return (1);
Return (n*Factorial (n-1));
}
//Almacena : datos y direcciones
ITERATIVO:
{
Int a, res = 1;
For(a=1; a<=n; a++ )
res = res*a;
return (res);
}
//Almacena solo datos

1.4 Tipos de recursividad
 Simple  Si cumple que tiene una sola
llama a si misma. Se lo puede convertir
en algoritmo iterativo. Por ejemplo: El
factorial.
 Multiple --> Varias llamadas a si misma
por ejemplo: Fibonacci
 Anidada --> Es cuando alguna
llamada recursiva recibe como
parámetro a una llamada recursiva,
su complejidad en término de
llamadas recursivas resultará mucho
más difícil de calcular
 Cruzada --> son algoritmos donde una
función provoca una llamada a si misma
de forma indirecta, a través de otras
funciones.
int par (int n){
if( n==0)
return (1);
else
return (impar(n-1));
}
int impar (int n){
if( n==0)
return (0);
else
return (par (n-1));
}

La caída de dominós en cadena ilustra la idea del principio de
inducción: si el primer domino cae, y si cualquiera al caer hace
caer al siguiente, entonces todos caen. (Tomado del libro
Discrete mathematics" de K. Rosen)

 Para entender recursividad se debe conocer un poco de los tipos
inductivos, aplicando la inducción matemática.
Un tipo inductivo es aquel que tiene una cantidad variable de elementos, y
que si cierta condición se cumple para un elemento, entonces es posible
demostrar que se cumple para todos los demás.
 Si en una fila muy larga de personas alguien dice un secreto a otra esta
automáticamente se lo dice a la persona que está a lado de ella.
¿Se enterarán entonces todas las personas de la fila del secreto contado?
 Una primer persona se lo dice a la segunda, esta al recibir el mensaje se lo dice
a la tercera, esta se lo dirá a la cuarta y así sucesivamente hasta llegar al final de
la fila. Luego la propiedad se cumple para todos los que estén en la fila.
 El principio de inducción completa parte de un esquema proposicional
¿ Qué es esquema proporcional ?

 Una proposición es una oración de la que se puede decir que es falso o
verdadero.
 En esta oración figura una variable, la cual al ser reemplazada por un
valor de su dominio la convierten en una proposición:
P1[x] = “Dos es mayor que x", x E {1,2,3,4}
P2[n] = n < 2 , n E {3,4,5,6,7}
P3[n] = “La suma de los primeros n números
naturales es igual al producto de N
por su sucesor dividido entre dos", n E |N
P4[n] = 1+2+3+…+n= n*(n+1)/2, n E |N
2.1 Esquema proposicional

2.2 El primer PIC
 Sea P[n] un esquema proposicional sobre los Naturales, se puede demostrar
que P[n] es válido si se logra probar que:
 P[1] es verdadero  Es el primer valor del dominio
 Suponiendo que P[n-1] (hipótesis) es verdadero  Todas las
proposiciones menos una. La penúltima proposición
 Probar que P[n] también es verdadero
 Caso Base.  Es el proceso para el primer valor de la variable de
recursión. Por lo general:
• Si es una lista  Lista vacía
• Debe ser la nada, lo vacío, lo nulo  0
• Algún otro número  1
 Caso General  Es el proceso que hace lo que se necesita, por lo que
se lo utiliza pero con un valor menos (P[n-1]).

2.3 El Segundo PIC en recursión
 Caso Base.  Debe resolver el problema para los primeros m valores
del dominio de la variable de recursión.
 Caso General  Es el proceso hace lo que se necesita, pero lo hace
para K (P[k]) , usando éste proceso debe hacer que funcione para N
(P[n]).
• Para k=n-1  M=1 (se necesita mínimo un caso base)
• Para k=n-2  M=2 (se necesita al menos 2 casos base)
Sea P[n] un esquema proposicional sobre los Naturales, se puede
demostrar que P[n] es válido si se puede probar que:
a) P[1]^P[2] ^.. ^P[m]  Es verdadero
b) Suponiendo P[k] (hipótesis)  Es verdadero. Donde m<k<n
c) Probar que P[n] también lo es.

 Dos estrategias de resolución de problemas recursivos:
 Divide y vencerás : Divide el problema de tamaño n en problemas más
pequeños cada uno de los cuales es similar al original pero de menor tamaño.
• Si se llega a una solución de los sub-problemas, se podrá construir de forma
sencilla una solución al problema general.
• Cada uno de esos sub-problemas se podrá resolver de forma directa (caso base)
o dividiéndolos en problemas más pequeños mediante la recursividad.
 Backtracking = Fuerza Bruta = Vuelta Atras. Divide la solución en pasos,
en cada uno de los cuales hay una serie de opciones que ha que probar de
forma sistemática. En cada paso se busca una posibilidad o solución o
solución aceptable.
• Si se encuentra una solución valida pasa a decidir el paso siguiente.
• Si no se encuentra una solución aceptable, se retrocede hasta la última solución
aceptable encontrada y se elige una opción distinta a la anterior. La
recursividad se utiliza para poder retroceder hasta encontrar una solución
aceptable.
• Ejemplos: Juegos de tablero, laberintos, etc.

3.1 Definición de Procesos Recursivos
1. ¿Cuál es la variable de recursión?
 Es lo primero que hay que identificar
 Indica cuantas veces se repite la acción principal del proceso.
2. ¿Cuál es el dominio de la variable de recursión?
• El conjunto de números naturales de 0 a N.
3. Caso Base Resolver el problema para el primer valor del dominio de la
variable de recursión (Definido en el Paso 2)
4. Paso Recursivo  Si ya existe un proceso que hace lo que se necesita, en
este paso se lo LLAMA disminuyendo o aumentado el numero de elementos
N para que se acerque al CASO BASE. Este paso debe completar lo que
falte.

3.2 Resolución de Procesos Recursivos
Resolución de problemas recursivos. Para hallar la solución
recursiva a un problema podemos hacernos tres preguntas:
1. ¿Cómo se puede definir el problema en términos de uno o más ?
• Problemas más pequeños del mismo tipo que el original.
2. ¿Qué instancias del problema harán de caso base?
• Conforme el problema se reduce de tamaño, se alcanzará el caso base
3. ¿Cómo se usa la solución del caso base para construir una solución
• Alcanzado el caso base, determinar como ahora lograr la solución
final.

3.3 Pasos para crear un AR
Escriba un «IF»
a. caso Base  Donde la función no se llama a si misma.
Simple = No se necesita llamada recursiva (no hay
repetición) Tal vez deba almacenar el resultado en una
variable.
Escriba un «ELSE»
a. Paso Recursivo  Donde la función se llama a si misma
Es la próxima entrada/estado
Esta deberá aproximarse cada vez mas al caso base
Asuma que la llamada recursiva funciona:
a. Pregúntese que hace el algoritmo?
b. Pregúntese como ayuda en la solución del problema ?

3.1.4 Base Para escribir el AR
IF (pregunta por el caso base) {
//Caso Base
} else {
// Paso Recursivo
}

Ejemplo 1: Factorial Recursivo
 Definición recurrente de la función factorial n!
Si n=0 1  Caso Base
N! =
Si n>=1 n*(n-1)!  Paso recursivo
3! = 3 · (3-1)!
= 3 · 2! = 3 · 2 · (2-1)!
= 3 · 2 · 1! = 3 · 2 · 1 · (1-1)!
= 3 · 2 · 1 · 0! = 3 · 2 · 1 · 1
= 6

Ejemplo 1: Factorial Recursivo
ITERATIVO:
{
Int ¡, res = 1;
For(¡=1;¡<=n;¡++ )
res = res*¡;
return (res);
}
RECURSIVO:
{
If (n==0) return (1);
Return (n*Factorial (n-1));
}
Conclusión: un programa recursivo puede ser menos eficiente que uno
iterativo en cuanto a uso de memoria y velocidad de ejecución.

N es 3
FACTORIAL 3* FACTORIAL (2)
Retorno 6
N es 2
Retorno 2
N es 1
Retorno 1
N es 0
FACTORIAL 1
Retorno 1
FACT FACTORIAL (3)
Ciclo del Factorial Recursivo

Cree su propio algoritmo recursivo que retorne
el factorial de un número N.

void ConBin(TStringGrid *Grid,int n,int i,int &j){
int a;
if(n==0) {
Grid->ColCount=i;
j=0;
} else{
ConBin(Grid,(n/2),i+1,j);
Grid->Cells[j][0]=n%2;
j=j+1; }
}
Conversión de un numero en base 10 a sistema Binario.
Practica 2: Convertir a Binario
void GetBin(TStringGrid *Grid,int num){
int j=0;
ConBin(Grid,num,0,j);
}

1. ¿Cómo se puede definir el problema en términos de más
problemas?
En una lista de N elementos, se realiza la búsqueda entre los
elementos de la izquierda, si el elemento es menor que el central, o
de la derecha, si el elemento es mayor que el central.
- Cuando se encuentra el elemento  Este es igual que el
elemento central de la lista.
Llegar a una lista de un único componente.
Si el elemento central es el buscado, el elemento está en la posición
central. Si el elemento central no es el buscado, el elemento no está.
Conforme el problema se reduce de tamaño. Se alcanzará el caso
base.
En cada paso se va reduciendo la lista, al elegir la parte izquierda o
la parte derecha. Llegará un momento en que se pueda llegar a
buscar el elemento en una lista de un único componente.
Practica 2: Busqueda Binaria

Practica 2: Búsqueda Binaria
void busq_bin(int inicio, int final, vector <int> &cadena, int x) {
bool flag = false; int medio;
while((inicio <= final) && (! flag)) {
medio = (inicio + final) / 2;
if (x > cadena[medio]) inicio = medio + 1;
else if(x < cadena[medio]) final = medio - 1;
else flag = true;
}
if(flag)
cout << "Elemento encontrado en la posicion " << medio << endl;
else cout << "El elemento no esta en la lista" << endl;
}

Practica 2: Búsqueda Binaria
bool busqbin(int cadena[], int inicio, int final, int x){
static bool flag; bool res;
if(inicio > final)
return false;
else {
int m = (inicio + final)/2;
if(x < cadena[m])
res = busqbin(cadena, inicio, m-1, x);
else
if(x > cadena[m])
res = busqbin(cadena, m+1, final, x);
else
flag = true;
}
return flag;
}
/*Nota: Si se encuentra devuelve true, sino false*/

Ejercicio 1: Numeros
int ConvBin(Cardinal num){
int res=0;
if (num==0) {
res=0;
}else{
res=res+ConvBin(num/2)*10 + num%2;
}
return res;
}
 Convertir a binario
• Caso base  Si el numero a convertir es cero retonra cero
• Paso Recursivo  Si es mayor que cero intenta operaciones
ConvBin(num/2)*10 + num%2

Ejercicio 2: Cadenas
String InvCad(String cad){
String res;
if(cad.Length()==1){
return cad;
}else{
res=InvCad(cad.SubString(1,cad.Length()-1));
res=cad.LastChar()+res;
return res;
}
}
 Invertir una cadena
• Caso base  si la longitud de la cadena es 1 retorna la cadena
• Paso Recursivo  Si es mayor que 1, se intenta seguir retrocediendo hasta el
Primer caracter. Para luego al devolver la pila ir concatenando cada caracter

Serie de Fibonacci.
• Sucesión de números naturales en la que a partir del término 2 de la serie, cada número
(número de Fibonacci) es la suma de los dos anteriores:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, …
• El problema de calcular el número n de la serie se puede resolver de forma iterativa.
Ejercicio 3: Fibonacci
void main()
{
using namespace std;
double a, b, c;
a=0;
b=1;
cout<<"The Fibonacci Sequence!"<<endl<<endl;
cout<<a<<"t"<<b<<"t";
for(int count = 3; count<=20; count++) {
c=a+b;
cout<<c<<"t";
a=b;
b=c;
if(count % 5 == 0)
cout<<endl;
}
}

Serie de Fibonacci. recursiva
 El problema del cálculo del número n de la serie de. Fibonacci también admite una definición
recursiva.
Si n = 0 => Fib (n) = 0 Si n = 1 => Fib(n) = 1 Si n > 1 Fib(n) = Fib(n-1) + Fib(n-2)
int fibonaci(int num){
if(num<3){
return 1;
}else{
int x=fibonaci(num-1);
int y=fibonaci(num-2);
return x+y;
}
}
String num=InputBox("Enesimo termino Serie Fibonaci","Itroduzca un numero",0);
int val=StrToInt(num);
int res=fibonaci(val);
ShowMessage(res);
Ejercicio 3: Fibonacci

Ejercicio 3: Fibonacci Vent-Desv
• Para la llamada Fibonacci(5) el número de llamadas a realizar sería de 15.
• Un algoritmo iterativo con variables locales que almacenaran los cálculos
parciales sería más eficiente.
• Sólo necesitaría n iteraciones para calcular Fibonacci(n)

Ejercicio 4 : Vectores
Convertir un numero Entero a Binario.
void ConBin(TStringGrid *Grid,int n,int i,int &j){
int a;
if(n==0) {
Grid->ColCount=i;
j=0;
} else{
ConBin(Grid,(n/2),i+1,j);
Grid->Cells[j][0]=n%2;
j=j+1; }
}
void GetBin(TStringGrid *Grid,int num){
int j=0;
ConBin(Grid,num,0,j);
}

Ejercicio 5 : Matrices
void __fastcall TForm1::Rizo1Click(TObject *Sender){
int num=StrToInt(InputBox("Matriz 1","Introduzca Nro. de filas y columnas","1" )) ;
Grid1->RowCount=num;
Grid1->ColCount=num;
Grid1->FixedRows=0;
Grid1->FixedCols=0;
int mfil=num-1; int mcol=0;
MatrizS5(Grid1,0,0,mfil,mcol);
}
Generar la siguiente matriz

void MatrizS5(TStringGrid *Grid,int posf,int posc,int &max,int &min){
if ( posc>max) {
posc=min;
posf=posf+1;}
if(posf>max){
max=max-1;
min=min+1;
posf=min;
posc=min; }
if(min<max+1){
if(posf==max || posf==min || posc==max || posc==min)
Grid->Cells[posc][posf] =max+1;
if(posf==max || posf==min)
posc=posc+1;
else if(posc==min)posc=max; else posc=posc+1;
MatrizS5(Grid,posf,posc,max,min);
}
}

Para entender la recursividad, primero se
ha de entender la recursividad.
(anónimo)

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