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Analisis estructural

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. UNIV]ERSIDAD AUTONO¡4A
TOMAS FRIAS
INGENIERIA CIVIL
ANAI,I§$ N§TNUüIUNAI,
APUNTIS Y PNOBI,IMA§
clll 204
fng. Nelson áonzález Villanueva
R.N.r. 5277
Potosí,"2007
APU¡rls§ y Pluulel¡¡as uÉ E§lluu(uta5 nlPgE§latlcs
CAP.1 rlflrRoDuccroN
1.1 CONCSPTO DE ESTRÜCTI'RA SIPTRESTATICA
Una estructura hiperestática es aquella en 1a cua1, las
ecuaciones de 1a estática en el plano o en eI espacio, no son
suficientes para determinar 1as reacciones en 1os aPoyos o
las fuerzas internas en una sección cualquiera'
En e1 ca.so cie '7igas en e1 plano:
ESTRUCTU8A ISOSTÁTICA ESTRUCTURA HIPERESTATIC¿
Ec. EstáEica = 3
Incógnitas = 3
Redundanies = 0
Para marcos en eI Plano:
Ec est,ática = 3
Incógnitsas = 4
Redundantses = 1
ESTRUCTURA ISOSTÁTICA
Ec. Estálica = 3
Incógnitas = 3
RedundanEes = 0
ESTRUCTUR.A. HIPERESTATICA
Ec esEáti.ca = 3
IncógniE,as = 6
Redundantes = 3
L.2 CONCEPTO DE }ÍUDO COIflITNUO
Para anali-zar estructuras hiperestáticas se deben utilizar,a1 margen de las ecuaciones de la estáticas, otras que
permi-tan estabr-ecer las deformaciones (rotacionales y
traslacionales) de sus elementos constituyentes y utilizardichas defo¡maciones como expresiones a. .on,putitiriaua.
En toda estructura se presentan zonas donde las barras que 1a
componen se unen entre si de forma r-orc1i: j r-:a (hcrrnigón
armado) o a travé.s de dispositivos de unión con posibrliciaci
de rotación (estructuras de madera o metá'r i cas) . E"tu.u zonas
de uni-ón se denominan nudos.'
APUnIUS y lIUUtet[as uc ESUUUtUt᧠n¡petE§rauks
Los estudios realizados en Resistencia de plateri-ares muestran
que las barras someti_das a cargas externas, sufren
deformaciones rotaciona-les y tra.slaci-ona1es.
Las ddformaciones rotaciona.l-es de un nudo continuo se
consideran, sin error apreciabl e, como rotaciones
ortogonales, 1o cual significa que los ejes de cada uaa de
1as barras que concurren aI nudc, giran un ángu1o similar.
lng. N. González V. OZOOZ
APU[ttrs y ptuuterua§ uc tr§uuutuf ᧠nt!.JcrE5(aIES
L.2 CONCEPTO DE NI'DO CONEINUO
Para analizar estructuras hiperestáticas se deben utilizar,
al margen de 1as ecuaciones de la estáticas, otras que
permitan establecer las deformaciones (rotacionales y
traslacionales) de sus elementos constituyent_es y utilizar
dichas deformaciones como expresiones de comp.atibilidad.
En toda estructura se presentan zonas donde las barras que 1a
componen se unen eatre sí de forma :r.orcli:i r:a (hcrrnigón
armado) o a travé.s de dispositivos de unión con posibii-idaci
de roiación (estructuras de madera o m.etáricas). Estas zonas
de unión se denorninan nudos.
Los estudios realizados en Resistencia de llateriales muestran
que las barras sometidas a cargas externas, sufren
deforrnaciones rotacional-es y tra.slacional-es.
Las ddformaci-ones rotacionales de un nudo continuo se
consideran, sin error apreciabl e, como rotaciones
ortogonales, Lo cual significa que los ejes de cada una de
1as barras que concurren al nudc, giran ue ángulo similar.
l"S Ñ=or,zález V. O 200?
^puilrtss
y pruurErilas uE E§Íuulura§ nrfJcrcJ(auG§
1;3 GRJADOS DE LIBERTAD
La posibilidad de traslación o rotación de un punto
componente de una estructura se denomj-na grado de libertad.
En el pl-ano, los grados de libertad de ufr' punto son dos:
traslación y rotación; pudiendo descomponerse 1a traslación
en do,s direccibnes,
En eI espacj-o, un punto puede trasladarse en tres direcciones
(x,y,z) y puede rotar también en tres direcciones (alrededor
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z
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en el plano
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L.4 GEOMETRTA DE ESTRUCTI'RAS
Las estructuras se encuentran constitui-das por elementos que
euentan con dimensiones, siendo ellas longitud, altura y
espesor, Por eIIo deben ser consideradas como elementos
tridimensionales; sin embargo, para efectos de idealización,
se l-as consideran representadas por 1a longitud de los ejes
de los elementos,
LAS
AWll(6 y frma¡Eni C H.r¡r.-as n.tEEEtr,A
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ad,ESTRUCTURA R§¡I,
ESÍRUCTI'RA REAL
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1.5 c¿RilcrERrsrrcAs epouárnrcas DE r,As sEccroNEs
En e1 análisis estructurar se define como sección transváisar.
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  • 2. APU¡rls§ y Pluulel¡¡as uÉ E§lluu(uta5 nlPgE§latlcs CAP.1 rlflrRoDuccroN 1.1 CONCSPTO DE ESTRÜCTI'RA SIPTRESTATICA Una estructura hiperestática es aquella en 1a cua1, las ecuaciones de 1a estática en el plano o en eI espacio, no son suficientes para determinar 1as reacciones en 1os aPoyos o las fuerzas internas en una sección cualquiera' En e1 ca.so cie '7igas en e1 plano: ESTRUCTU8A ISOSTÁTICA ESTRUCTURA HIPERESTATIC¿ Ec. EstáEica = 3 Incógnitas = 3 Redundanies = 0 Para marcos en eI Plano: Ec est,ática = 3 Incógnitsas = 4 Redundantses = 1 ESTRUCTURA ISOSTÁTICA Ec. Estálica = 3 Incógnitas = 3 RedundanEes = 0 ESTRUCTUR.A. HIPERESTATICA Ec esEáti.ca = 3 IncógniE,as = 6 Redundantes = 3
  • 3. L.2 CONCEPTO DE }ÍUDO COIflITNUO Para anali-zar estructuras hiperestáticas se deben utilizar,a1 margen de las ecuaciones de la estáticas, otras que permi-tan estabr-ecer las deformaciones (rotacionales y traslacionales) de sus elementos constituyentes y utilizardichas defo¡maciones como expresiones a. .on,putitiriaua. En toda estructura se presentan zonas donde las barras que 1a componen se unen entre si de forma r-orc1i: j r-:a (hcrrnigón armado) o a travé.s de dispositivos de unión con posibrliciaci de rotación (estructuras de madera o metá'r i cas) . E"tu.u zonas de uni-ón se denominan nudos.' APUnIUS y lIUUtet[as uc ESUUUtUt᧠n¡petE§rauks Los estudios realizados en Resistencia de plateri-ares muestran que las barras someti_das a cargas externas, sufren deformaciones rotaciona-les y tra.slaci-ona1es. Las ddformaciones rotaciona.l-es de un nudo continuo se consideran, sin error apreciabl e, como rotaciones ortogonales, 1o cual significa que los ejes de cada uaa de 1as barras que concurren aI nudc, giran un ángu1o similar. lng. N. González V. OZOOZ
  • 4. APU[ttrs y ptuuterua§ uc tr§uuutuf ᧠nt!.JcrE5(aIES L.2 CONCEPTO DE NI'DO CONEINUO Para analizar estructuras hiperestáticas se deben utilizar, al margen de 1as ecuaciones de la estáticas, otras que permitan establecer las deformaciones (rotacionales y traslacionales) de sus elementos constituyent_es y utilizar dichas deformaciones como expresiones de comp.atibilidad. En toda estructura se presentan zonas donde las barras que 1a componen se unen eatre sí de forma :r.orcli:i r:a (hcrrnigón armado) o a travé.s de dispositivos de unión con posibii-idaci de roiación (estructuras de madera o m.etáricas). Estas zonas de unión se denorninan nudos. Los estudios realizados en Resistencia de llateriales muestran que las barras sometidas a cargas externas, sufren deforrnaciones rotacional-es y tra.slacional-es. Las ddformaci-ones rotacionales de un nudo continuo se consideran, sin error apreciabl e, como rotaciones ortogonales, Lo cual significa que los ejes de cada una de 1as barras que concurren al nudc, giran ue ángulo similar. l"S Ñ=or,zález V. O 200?
  • 5. ^puilrtss y pruurErilas uE E§Íuulura§ nrfJcrcJ(auG§ 1;3 GRJADOS DE LIBERTAD La posibilidad de traslación o rotación de un punto componente de una estructura se denomj-na grado de libertad. En el pl-ano, los grados de libertad de ufr' punto son dos: traslación y rotación; pudiendo descomponerse 1a traslación en do,s direccibnes, En eI espacj-o, un punto puede trasladarse en tres direcciones (x,y,z) y puede rotar también en tres direcciones (alrededor de Ios ejes x,y,z), contándose por consiguiente con seis grados de libertad. z LTres grados de libertad en el plano Seis grados de libertad en el espacio L.4 GEOMETRTA DE ESTRUCTI'RAS Las estructuras se encuentran constitui-das por elementos que euentan con dimensiones, siendo ellas longitud, altura y espesor, Por eIIo deben ser consideradas como elementos tridimensionales; sin embargo, para efectos de idealización, se l-as consideran representadas por 1a longitud de los ejes de los elementos, LAS
  • 6. AWll(6 y frma¡Eni C H.r¡r.-as n.tEEEtr,A "r+ Eqt trt ad,ESTRUCTURA R§¡I, ESÍRUCTI'RA REAL ESTRUCTURA REAL ESTRUCTSR;A, IDEATTZSDA ESTRUCTI'RA TDEALTZADA ESTRUCfl'RA IDEALIZADA 1.5 c¿RilcrERrsrrcAs epouárnrcas DE r,As sEccroNEs En e1 análisis estructurar se define como sección transváisar. de un elemento al área de ra sección que se enc*entra definida perpendicularmente a su eje longitudinal. P I El eje mostrado en la sección transversal, corresponde al eje respecto del cual se produce la rotación por flexión. I i Eg
  • 7. ApuÍrltss y P¡uulEltlas ue Esuuutulas nlpclcstauq§ 1.5 EQUIVATENCIA 1 lb = 0.45359 kp 1 lb = 4.44818 N DE UNIDADES I kP = I'9966 N 1 kP = 2'264530 ,O 1N = 0.22481 1 1 N = 0.101972 tb kp 1 N/m = 0.101972 kp/m 1N/m = 0.06852247 lb/pie 1kp/m = 9.8066 N/m 1lb/pie = f4F.Qa72$)5o i'¡i¡rt 1 kp i cmz = 2048.172138 lb / Pie2 1 kp / cm2 = 14.2?341755 lb ti¡2 iPa = I N/m2 1 Pa = 0.00000001 O1972kp I mm2 1 Pa = 0.00001019721412kp t crnz 1 Pa = 0.02088565 lb / pie2 1 Pa = 0.0000145039235 lb / in2 I kPa = 0.098066 kp t cm2 'l kPa = O.OOOOI 01972 kp / mm2 , I kPa = 0.01019721412 kP/on- 1 kPa = 20.88564984 lb lpie2 1 kPa = 0.145039235 lb / in2 l MPa = 1N/mm2 ) 1 MPa = 0.1019721412 kP / mm- 1 MPa = 10.19721412kp I cm2 1 MPa = 145.039235 lb / in2 l GPa = 1kN/mm2 1 GPa = 1O'l.97214'l2kp/mm2 1 GPa = 101g7.21412kp / cm2 1 GPa = 20885649.84 lb tpiez 1 GPa = 145039.235 lb / in2 T.7 PROPIEDADES DE f,OS MAIERIATES Los materiales utilizados en la construcción Presentan caracteristicas particulares frente a solicitaciones de tracción, compresión, flexión, corte, torsión y temperatura' Estas caracteristicas son estudiadas con deLalle en materias como Resistencia de Nlaterial.gs..-y Materiales de construcción, y.se verifican a través de experimentación en laboratori'o'
  • 8. APUIttsS y ptuuttsiltas qs E§uGUrás ntpEtE§lduk§ ¿ d cá é d dq d é eé d PROP:3D}DES FÍSICAS DE üOS U¡TERIAIJES MATERIAL E G c Kplcm psi GPa Kp/m Psi Gtr¡ 1 t'c 1 t'F Acero laminado en cal¡enie (0.2 9á de carbono) 2.,l x 10- 30 x '106 2C0 8.4 x l0' 12 x 10- 82 ,l1.7x10-6 6.5 x 1o-5 Acero laminado en fríoro ram¡nado en frio i (0.2%ciecarbon;) | soxto" I ,.,..-' | )oo I oo' 6.5 x Acero laminado en calienle (0.8 % de carbono) 2.'l x 10' 30 x 10" 200 8.4 x 10- 12x,.6 82 '!j.l x 10-6 Hierro forjado 1.99 x 10" 27 x 1Q6 ls0 7.03 x 10o 10 x to6 69 12 x 10'6 6.7 x 10€ Hierro colado maleable 1.77 x 10" 25 x 106 173 8.79 x l0e 12.5 x l06 86 1 1.8 x 10€ 6.6 x 10{ Cobre de fundición 9.14 x 10 l3 x 106 90 4.22 x 1Ar 6 x to6 16.7 x 10 6 9.3 x l0€ Cobre estirado en frío 1.12 x 10 17x 1co 1't0 4.22 x'lo- 6 6 x 10 16.7 x 10-6 9.3 x 1o-5 A¡uminio de fundición (99 % de a,umin¡o) 7.03 x'10" 10 x 106 2.81 x 10s 6 4x10 23.1 x 10-6 12.8 x'10-6 Magnesio lroquelado 4.55 x l0e 6.5 x 106 45 1.76 x 10- 2.5 x 106 26.1 x 10-6 14.5 x 10-6 Latón de fundición (60% cobre, 40o/o zioc) 9.14 x 10" 13 x lo5 3.52 x 10o 5 x 1co ls.7 x 10'6 lo.4 x 10-6 Bronce (90% cobre, 10% sstaio) 8.44 x l0r l2 x 106 83 4.60 x 10' l8 x 10'6 10 x 10-6 Hormigón 2.18 x 105 3.1 x 106 25-30 9.9 x 1 0-6 5.5x10- Madera 1 .12 - 1.43 x 't0 1.6 - 2 x lo6 't1 - 14 5.50 x 1O- 5.8x10- .E 3.2x10- Gran¡io 5.1 x 10- 7.3 x lo6 50 Duralu..ninio 8.44 x 10o 12 x 106 óJ 2.70 x l0o lng. N. González V. @ 200,
  • 9. APUiltCS y PrUurgrila§ UC ESUUUIUTa§ nrPgC5UU€5 1.8 BARRAS PRIS}4ÁTTCAS Y NO PRIS},ÍÁIICAS Las barras prismáticas son aquellas transversal constante a los largo barras también reciben eI nombre constante - EARR§, PRISMATICA Las barras no prismáticas varian su sección largo de su extensión, esta variación puede lineal-, parabólica o de otro tipo. gue de de mantienen su sección su extensión, estas barras de inercia transversal a 1o ser escalonada, BARRA NO PRIS}'IATICA ESCAIONADA BARRA NO PRISMATICA LINEAI B.ARRA NO PRIS¡,ÍATICA PARABOI.ICA 1. 9 ESTRUCTI'RAS TRASI,ACIONATES EI efecto de las cargas externas, variaciones en su geometria (sección transversaf) y eI asentami-ento de apoyos, originan sobre las estructuras desplazamientos en algunas dj-recciones, 1os cuales definen a e1la como una estructura traslacional.
  • 10. APU¡rttsS y fJtuutEiltirs uE ESUUUiUa§ n¡pctcsrau€§ 1.10 TEORIA GENERAL DE BARRAS SOMETTDAS A FT'ERZA NOR!4AL Para barras sometiCas a fuerzas normales que originanesfuerzos l_nternos que no superar e1 l_imite álástico, sepresentan deformaciones rongitudin"l." _- ;" -iL""io., ocompresión iguales a: I;=¡r I IE.Ai donde: 1.11 TEORTA GENERJA]- TA}¡GENCIAI,ES dx +----------r- FT llrlv I t l-l '-r- i I "-.il-r ^ Módulo de elasticidad área de 1a sección transversal DE ELEMENTOS SO},ETIDOS A II'ERZAS é é, e e U e é € é € € e é I vl Por la Ley de además: ent.onces: Aislando un trozo de barra sometida a flexión, el V esfuezo originado para ..... fuezas tangenciales es: dy V.S l.b flooke: donde: r = G.7 tr u-- 2.(1 + ¡r) _ V.S G.t.b 1 G ,=dY dY r-di dvv: Kr !- dx ' G.A V.S A.S V G.t.b t.b G.A donde: k.=4-l' l.b lng. N. González V. @ 2007
  • 11. A¡JUilrES y PrUorCilras uÉ csuuutula§ nlPeltssEr¡k5 donde: L.I2 TEORIA GENERAI FLECTORES Aplicando momentos flectores en el eje de las barras: k1 = coeficiente de forma. (depende de'la seCción transversal). k1 = 1.2 para secciones rectangulares kr = f9 Dara secc¡ones c¡rculares '9 k1 = 1 Para secciones WF G = módulo de elasticidad a cortante A = área de la sección transversal !r = módulo de Poisson DE ELEMENTOS SOMETIDOS A MOME}CTOS a barras, se produce curvatura M( Aislando un trozo de bana somet¡da a Rexión, el esfuer¿o or¡g¡nado para esta solicitación es: t= Por Ia Ley de Hooke: o E M l.b M_1 E'l p M = moménto f1éqtor.... ,.i.: ... ,.: E = módulo'de elasticidad. I = momento estático de segundo orden. de_ dx donde: además:
  • 12. APUilteS y pf uutgttEs ug EStruqtuta5 ntpctesrauÉs 1.13 TEORIA GENERJAT DE ELEMENTOS SOMEÍIDOS A TORSION Aplicando momentos torsores a barras de sección transversal circular, en 1as cuales no se produce alabeo: ( E q q q q q q q ( ( { ( ( { { q f t{ { q q I tII T q II I t Aislando una sección sometida a torsión, el esfuezo originado para esta solicitación es: a=rd0 l Id0 ¡ Y=r' ' a=vdx I dx ,) do: T.dx G.J t = G'y T G.J tdO 'GdxPor ]a Ley de Hooke: además: donde: de r.-dx L_ moÍ'.ento torsor. módulo de el-asticidad a cortante. momento de i-nercia torsional de 1a sección transversal respecto del eje y. módulo de Poisson lng. N. González V. @ 2007 - 10
  • 13. ApurtES y ptuutcil¡a5 ug tr§t¡uutura§ ntptstB§tdrrÉs Valores de1 momento torsional secc:.on: .f para diferentes formas de Sección circu].ar: Sección eliptica: Sección triangu!-ar eguilátera: Sección rectangr.rlar : @1" I.r= *.aa I I 32 I |l-'---.------'---l l- a'.b' I I a2+02 | rÍifEa{4rz '2b Jz" donde: hJ," f-:+;l I a t:::.:.:::.:.:.:.:.:.:l:.:.:.:::::t:::::::.: I I .-..*-.t!-*..Ji I +_---E+ l- _ ^Z- 3 ,'-1? 3,,,iu É "'n#,
  • 14. Apunrc§ y Pruurcfilé5 uc Esuuutula§ n¡Pcltr§talluas CAP. 2 TRABAiIO Y ENERGIA 2.L §OtICITACIONES EN ELEMEI{TOS ESTRUCTURA],ES Cuando se aplican cargas sobre cuerpos elástj-cos, se originan en el1os esfuerzos internos tales como tracción, compresión, corte, flexión y torsión, según los planos en 1os que actúen dichas solicitaciones internas. E1 gráfico adjunto muesEra esEas solicitaciones: e"T 2.2 TR;A3AJO Al actuar una fuerza constante originar sobre e1la un movimiento por eI desplazamiento 6, genera un mediante la expresión: F sobre una partÍcu1a y de traslación determinado trabajo /(externo) definido F----------+o--.. w = F.6 + dvq = F.d6 -+-----------t- 6 Cuando actúa un momento constante M sobre una particula y origina sobre ella un movimiento de rotación definido por e1 ángulo de rotación 0, origina un trabajo externo definido por: ¡¡ (o,,:.... / 6 I,I = 'M. 0 dW = M.d0
  • 15. ^PUil(tsS y P¡Uurelila5 Ur trSUUUtUra§ nrPErtsSHUgS 2.2 -L TR,LB.EJO EXTERNO DE UNA EUERZA NORMAI, Aplicando una fuerza gradual P sobre una barra prismática, se origina una deformación A determinada por 1a Ley de Hooke a través de Ia relación: EI trabajo exLerno originado por esta fuerza es: PL a=- +EA we = J e.oa w" = tEA.¡.a¡ =El 12 = áL 2L p=El oI EAA A f;t;I (rey de C].al}eyron) I I I l 1 1 i 2,2.2 TR,A3A.'O EXTERNO DE UNA FUERZA TANGENCIAT l"ü d v v=9 A v k.x - E1 t,rabajo exLerno es: We =J V'AY *" = }H y oy = e-:l ,'=?Y ; lng. N. González V. @ 2007
  • 16. Alruiltcs y ptuutEt¡¡a§ uc trSuuutula§ nrpetc§ta§(z§ i;J;;l2l 2.2.4 TELABA.'O EXTERNO DE I'N MOMENTO TORSOR 2.2.3 TRABAiIO EXTERNO DE Generalizando 1as fuerzas normales, e1 trabajo externo T'N MOMENTO FLECTOR tr-t M=-'.0x trabajo externo es: .- We = J ff4.Oe A w" = i E--L.e.ae =El.e2 - E'l'€ e J x x x' 2 T = G'J.e x EI trabajo externo es: We = J f.Oe w" = ?9-{ e .de = 9:¿. e2 - G'J'e . e áx x x z deducciones para un elemento cortantes, momentos flectores se determina mediante: sometido a y torsores, ,| We = 7.I N.A+V¿.2+V¡ .x+M* :g, a¡¡..0¿ +T.0y I
  • 17. AFTUiltCS y lIUUtCtItaJ ue trsüUUtUtA§ ntpErE§tát¡G§ 2.3 ENERCTA DE DEFOR!,IACION En el- estudio de Ia energ:ia, se establece que ella no se pierde, sino que se transforma; en el caso de un elemento sometiCo a un sistema general de fuerzas, e1 trabajo Ce todas 1as fuerzas se transforma en energia interna de deftrmación. Esfuerzos normales: Considerando un elemento e1ástico diferenci-al : W:U Para esfuerzos normales: we = 1'P'6 2 además,o"=? 3 p=Gn.A ^t =r- = A- e.L deformación es: u =1(or,.A) (r,L) L 2 on. E. L. A Siendo V=A.L (volumendelelemgnto): U= 1 o..r., considerando ]as tres d.i¡nensiones der elemento diferencial: dUonx dUonr dUom 1 2 1 2 1 2 onx. gx. dx ony. Ey. dx onz . tz. dx dy dz dy dz dy dz
  • 18. AfJUil(CS y ptUU|CIta5 Ue E§uuututaS ntpctestauɧ La energia total de deformación para esfuerzos normales será.: dU:dU6n**dUonvldUo.z O, : I I G.*.r* r ony.ey+ onz,rz ] dx dy dz u = i llf "",.'6x * 6nv'€y* or,,'e, I dv Esfuerzos tang'enciales : Para fuerzas tangenciales: Considerando un elemento e1ástico diferenci-al : W:U P1ano x-y: uyx - l,xy x P ^vx t=rxydxdz Av* = y*, dy 1 owe=- 2 por otra parte: dx.dz , :A'*rxY ¡trr trabajo externo será: 1- dwe = 1r,,.. dx dz y.... dv 1 i'"-Y T*Y dx dy dz
  • 19. AfJUlrtcs y pluulÉilras (lc Esuuurul᧠nlPslcstauE§ Considerando las tres dimensiones de} elemento { I { ( { -t ( I { { ( { I il 1 { I ! { { { { { I ( I ( ( { { ! { { dU du = it duirxy = : f* T* dx dy dz duirr, = ] fy, Ty" dx dy dz duir*, = ] a*, ^l*, c--: di. dz ," escribirse de otra forma, ello Ley generalizada de Hooke, 1a sonetido a esfuerzos normal-es Y diferencial: La energía total de deformación para esfuerzos tangenciales será: - dUir*y + dUilr, + CUil*, 7* T* + xy, Ty, * a*, T*, I dx dY cz IJ= 1 2 fff,t", ^{xy * ayz Ty. + rxz Yxzl dv Si ahora determinamos la elemento sometido tanto a La energia total interna diferencial se obtiene su¡r'ando energia total d'e deformación Para u= esfuerzos normales y tangenciales: a lmacenada por ambos efectos: eI elemento Esta expresión también Puede se consigue recurriendo a Ia cual se aplica a un el-emento i IIf Gnx rx + ony Ey + on, t. I ., - t fJJ,t*v Y*v + rvz^lvz+ rxz Yxzl dv u= tangenciales:
  • 20. APU¡rtE§ y ptuutc[tas uE ESUuututa§ ntpcr€§ra[a5 Esfuerzos norma]-es: Según el eje x: Según el donde: donde: donde: on* ty=-p e.:-$ 6ny "y ¡1 t*:-Fty 6, = -lr Ey tx ex e]e y: z eJe z on, ¿_ - I- E*:-PEz Ey: -$Ez il,j ! l
  • 21. <I4 4é G J G G J G G C J C ó * t'* ta C j J J j c J J rj r¡ C J 3 C Txy ,xy tr Txz 4' _- lxz- G ay. _ ---(JTr" AuuiltES y PtuulHlES us E§uucturás ntPerEsrauES Esfuerzos taagencfales : Según plano xy: A I I x segúl plano xz: lng. N. González V. @ 2007
  • 22. APU|ltEs y PluulEllla§ uc ESUUUrUlaS nlpElts§tétlG§ Sumando las defornaciones producldas por los esfuerzos en Ias tres direcciones: I o.* - !t( ory + o., )) I ony - F( on* + on, ) J I o., - F( o.* + on, )J Txy Y"v=T 1y, Tv, = -€ f*, T*.: T 1 -E 1 1 =t t8 gy gz Reemplazando las deformaciones unitarias longitudinales y las deformaciones angulares por cortantes en 1a expresión general de energia interna se obtiene una expresión que permite expresar }a energia interna del elemento en función de las component.es de toáos 1os esfuerzos que actúan sobre él ' La expresiones de energia interna de deformación por esfuerzos normales y tangenciales' se evalúan, mediante integrales triples, 1o cual, representa integrales de volumen e" fá fegión Linitada por eI elemento que se analiza' ":fff c2nx. + c2 ¡1y + c2 n7 - 2Y(o ¡xony * o onz + onxonz **y+4y+r2u 1¿v
  • 23. A[ruIttss y ptuutcillir§ ue csuuurutas nt¡Jete§táuua§ 2.4 ENERGIA DE DEFORI,ÍACIóN EN BARRAS La energía interna se puede determinar para 1os casos máscomunes de solicitación áe ta "iá"ll"a. manera: 2.4.1 Barras sometid.as a fuerza norma]- ,| Uru=j.e a ::> dui{=i.,-.cl Por la Ley de Hooke: fuerza tangencial u, =*r., =) duy =1y.6, Por 1a Ley d.e Hooke: or=H* oa==!..0' o2 u¡¡ =fr..o u" =i ou¡¡ = ]ur.ce Hooke: a ¡nomanto flector u¡, = ]M e Por la Ley de' ( r-------¡) , ds do = -!t ¿. EI PE, ¡ I D "^2duN = áP . E;o' = 7ff o. 2.4.2 Barras sometidas a l,I dy 2.4.3 Barras sometiCas or, =*u.g#"=**á f ,. uv = JlIv' .ds ,* =lrh o' aunr=*u#0.=j$0.
  • 24. A¡JUnttss y lruurBilras uc cstluotu¡a5 nlfJelc5tau€s 2.4.4 Barras sometidas momento torsor ¿ur =-1'r' r d.=t'f10.2 G.J 2 G.J La energia total de deformación es: UT=IT,2 Por 1a u., : t p2't " " 2.E.4 .o + ¿ur=1r.¿e,2 Lgi de Hooke: de= T ds G.J -2 Ur=[ ' ds. J 2.G.J u=[ P2 ¿.*[k1 'V2d.*f M2 d.*[ T.',0, - )2.E.A r2.G.A rz.E.l J2.G.J De acuerdo a} tipo de solicitación que actúa estudiadas, se pueden efectuar 1as siguientes prácticas: sobre las barras consideraciones En armaduras, predominan las fuerzas normales, consecuencia Ia energia interna es: predominan l-as por flexi-ón, en solicitaciones consecuencia: uM : f-u1 o,
  • 25. Apuf rrES y PruurEilla§ us E§Uuululas nlPettssEUGs En ménsulas cortas o voladizos, predominan 1as originadas Por tangenciales (cortantes), Por el10: d N Ll!E}s§,, Predominan r¡nsecuencia: solicitaciones los esfuerzos f kl'V2 .¿. J 2.G.A kr : factor de forma Ias solicitaciones por torsión, en --2u,=J*ro' EL::.'.;;r'+ se presentan dos casos: cuando eI arco es plano (rebajado) predomina Ia flexión y cuando el arco es peraltado predominan la flexión y fuerza normal: I I / l' O.2 Arco pJano: u, : ffi.u" 0.2 Arco pera ttado: , = f,$ o, * J-N1'6. f L- f. -L lng. N. Gonzáiez V. @ 2007 -23 -
  • 26. ApuiltE§ y PruulElf la§ uc E§uuulula§ nlPclts§raue5 Ejemplo: Encontrar e1 factor de rectangular. forma para una sección La Ley de Hooke para cortante indica: El esfuerzo cortante por flexión es: . V'S,. '=kó, 1 t2 V2 .S* : z o= zsV;./- de giro se define mediante la t.rabajo externo se puede escribir -t Sr2 . V2 - (71; b" ) z'c'e .G El trabajo externo para fuerza cortante se determina a través de la expresión de ClaPeYron: 9le: 1 --f-v2' Por otra parte, eI radio 2lrelación r-=Á entonces el como: v2'sr2 We= 2.G.A-12 'lr.br2 f,re = k1 r$l donde k1 un coeficiente que caracteriza Ia desuniformidad de Ia distribución de tensiones tangenciales en. 1a sección transversal de Ia barra y que depende de la forma geométrica de elIa.
  • 27. ^PUiltE§ y PtUUtEiltáS Us E§UUCIUra§ ntpqc§tauE§ Ejempl.o: Encontrar eI factor de forma k1 para una seccj.óo rectangular maciza. v .f ,l I hl ,l o2 t, = fl--'¡ ,-dA ' 'Y 9i!22 donde: Sx = momento estático de primer orden r = radio de giro I = momento de inercia del área bx = ancho de 1a fibra consj.derada En este caso particular: h sx=u 1!-y) o.+=f,r$-rrt, o=* ; zh2 12 eI factor de forma k1 se determina integrando la expresión dentro de La región definida por 1os limites: bbhhx = - 2 , x = Z, Y = - 2, y : , 12 12 f-,=-l { { { { n" lng. N. González V. @ 2007
  • 28. AIJUI¡tss y IJluulclllas uE EsUUCtUlas nlpElts§tatl*S EjempJ.o: e interiores b6 x hs- Encontrar el factor de forma k1 para una secqlon rectangular hueca de dimensiones exteriores b x h v I bo:bo ai) +---j-------+- ]----¿--# b¡b ;; Para Ias dA1 = 5.'6, alas: bx =b h ; h I + hol :llt I ' "'I' hol -;l T -dv I' lx sr = !rf -v2r Para el alma: dA2=(b-be)dY ; by =(b-bo) ^ bh2 -boho2 b -bo ..2 "2=-----l-, h *,=4r? lx' ho 2 *,*-,"'._-e__ h xr=4 r 'r r*-r'r'| ¿ 4 ,' .+ rx o6 f ,¡n2 -!ono2 _b -!o ,272 ¿v*f #b-bo)'d,l ó (b - bo)' '{ -v2aYl ho dy*b-;bo Í-o 2 Resolviendo las integrales: bo Denominando: ffi =- Y b- Sección rectangular donde: Sección rectangular donde: I bo= ho .bDo:1, m:p= 1 m=D=-'2 ho n .hno=i i 0= kt=L'2 + kr = 1.548
  • 29. ^puiltE§ y PluulEllla§ uc Est¡usula§ ñlPelEsEu(jus Ejeaplo: Hallar la energia interna por flexión y fuerzas tangenciales para Ia viga cargada con carga concentrada y determinar la deflexión en el punto B' 8T Energía j.nterna por flexión: 6.0 --+ . ,M¿ ui :J¡fr.4s en el corte: M = -8x 8T ,(# Energia interna 8T ' L-* ---* r-8.x2) . ur.ra lu 2304 -r-.6¡ | : -El z1l 6El to por cortante: ui =¡S'os en eI corte: V = 8 6 a ^ 16 rri :"1 ki'(8)2."" - 64'k1'x3 | - rsz'rr J zoa 2GA lo GA 0 6 ui:J 0 La energia interna total (energia,de deformación) será: Para hall-ar la trabajo externo 2304 192,k1l!¡ = -! EI GA deflexión en eI punto B, determinamos efeciuado por Ia fuerza en ese punto, asi: 8T e1 lng. N. ?4^B
  • 30. APUlltE§ y Pluultlllas UC E§uuutulaS nlpclc§láuq5 Por f]-exión: Por e1 PrinciPio 1 .-. W. : - (u) -2 de conservación 4Aa energia: ^i= de la We:Ui 2304 4 ae :-ET- = Por fuefzas Eangenciales (cortantes) : W.: l tal ao 2- :4ae Por el princiPio de conservación de 1a energia: We:Ui , a 192.k1 GA Si Ia viga en estudio rectangular constante de E : 2. 1.107 'rlm2 Y módulo A = 0.30'0.60 = 0.18 m2 una sección transversal un móduIo de elasticiciad = 8.4 . 106 T,/m2 : GA= 1.512'1067 Et =1.134.105Tm2 tuviese 30 x 60 cm, de corte G I = 0.30'-(9.60)3 = 0.0054 m4 Las energias internas para cada solicitación serán: Por Elexión: Por Cortante: 2304 -=o.o2o3174Tm 1.134.10" 192 1 - =o.ooo1269Tm 1 .512 . 1ob Ui =0.0204443Tm Ui= Ui= Energia interna total:
  • 31. Apuilte§ y Pruulelllas uE Esuuutulas nlFElE§lauG§ De Ios resul-taCos encontramos energfia interna: 1os sigui-entes Porcentajes de Solicitación Ui t Elexión 0.0203174 99 38 Cortanl:.e 0 . 00012 69 o .62 Totai 0.0204443 100 . 00 En este caso se deiermina que 1a energia j-nterna por fuerzas tangenciales es irsi cni'. 1.:¡::'e i:':ri¡ - --. -.:-¿y'-- -¡"""":ldl por flexión, por ello en 1a mayoria .cie los casos se Ia desprecia. En otros casos esta energia puede ser iBportante. Las deformaciones en e1 punto B serán: q q q q € q q q q q q q q q q q q q q q T q T T T f ¡ I Por Flexión: ^B:- j76-=0.005079 rn : 1.134.10- Pcr cortante: Ao: 48 = =0.000032 m = - 1.512.100 La deformación total: ^B : 5.08 + 0.03 De 1os resultados encontramos los siguientes energia interna: 5. 08 mrn 0.03 mm = 5.11 mm porcentajes de Solicitación As t Flexión 0 . 00507 9 99.38 Cortante 0.000032 0 .62 Total 0.005111 100. 00 En este caso particular se determina que }a deformación por flexión es mucho mayor en comparación con 1a' defor¡nación originada por corte, por ello en 1a mayoría de 1os casos se desprecia Ia deformación por cortante. E3enplo: Hallar 1a energia de deformación Por flexión para la viga cargada con carga concentrada y determinar Ia deflexión en eI punto B. 10 r-' rM2 Energia interna: ,t :J 2r, O" en el corte: M = -10 m_ a-- 3.0 -------------+ ,Mr-- -X ----+ 10 T-* ) lng. N- González V. @ 2007
  • 32. APUlItts y ptoutuf Es uE ESUUqUtaS n!¡ESEIES Ejemplo: Hal}ar 1a energia de deformación Por flexión para'-}a-t'iq" '--cargada con carga concentrada y determinar Ia deflexión en el punto B' cM2 Energia interna:. uí =J,r, Ot1o T-' +_- 3.0 ------------+ 10 T-, ft¡l- ) en eI corte: ._x ___-f f ui=J c:!r' .o* = H l: +ó -' ro 3 . 0 --------f 8T I vL---J i-..+ M.= -IU i. -.. . .. : :' -4. Para hallar Ia rotación en eI punto B' determj-namos e} trabajo externo "f.ti"t¿" por la fuerza en ese punto' asi: 10 ) (10)-^B=50e Por el Prj-nciPio de conservación de Ia energia: We : Ui 1 w^=-'2 50e=# AI igual que en caso anterior fuerza cortante, sin embargo flexión Pura, las fuerzas deformación también será nula' Ejemplo: HaIIar la energia de deformación Por fuerzas cortantes para la viga sometj-da a carga concentrada y determinar Ia deflexión en el punto B puede efectuarse análisÍs L., este caso, tratándose cortantes son nulas Y por Ld Enersia j.nterna: ur =JS'os en el corte¡ V = B -
  • 33. 3 ui =f 0 ,3 kr't8l2 64tr''i- _ñ;_ ox = _7ffi_ i _ ,o Para hallar 1a trabaio exte=no <iefle:<iór, en efeclu:Jc 5;or eI Purlto B, de-'ernir'a:rcs ia íuer¿a en ese P''Irrio, asi: Pcr e1 !-rin:lpio cte conservación Ce = L¡i ':ó k1 GA E jenplo: Deterainar La ene'rgia por fuerza nor:nal acumula en sistena' ccnsiderar Af = 5 a ri2 = 6 puigz y 1a iongit':ci ci¿ las barras 10 pies ' que::..;+ Fu19- t i/? }IAB ,^o - .. -' - t 30" -," I i .a NBc ^kó 10' ¡! - ^^q¡.;3 ¡¡.r.a . sen t 'Áa I'lpL- . cos tlr,. ' sert ; Ns,: ^^O ?no -o 300 300+
  • 34. Aputrtcs y Pluulclllas ut Estlugtula§ nlPslsstauH5 Barra Barra La energia total Ejesplo: EjemgJ.o: AB: u* = rN1 L, = U: :',! ='T', 2'E'A 2'E'5 E Bc : ,* = $'! = t^o i'^o = o3o 2,E.A 2.E.8 E de deformación es: HaIlar la flexión. 16r Hallar la energia del fuerzas tangenciales. 16r energÍa de1 sistema considerando Tomando en cuenta que ds = 5 d0 sistema considerando las en el corte: M: - l-6(5)'senO: - fi :^ ,r. _ f 8oz .sen'o'(5) ¿6 : 4ooo'¡ J 2EI EI 0 Tomando en cuenta que ds = 5 d0 I I ! s'j.¡4-l en el corte: V = 16 cosO ,l ui = j*,.19' :":1'otdt=l!%:Ú 0 ':íeid0 ::.. i a:. ! .--...-....-.-l
  • 35. ¿ r!i = lu.t"¡ 0 162 .cos2 o (5) ,. - 160'k1 '; 2GA GA Ejenplo: Iiallar ia energÍ a ie1 Íuer-zas nc:;:.ai¿s, fue=uas sis--e=a ccnsid¿ra¡:ic ^..1-r. z---r 1., il ¿:i.:-¡i :¿ú--:v'-' r 20' Tor:lendo en cuenEa cue: cis = r - ciü e: eI ccrte: ¡; - -20 seri0 tr : ! gC,5Q i"i - lul r serrO I I ¡ Dfr, liornal: ...,...0 d0'::. Co!tante: l{órni¿nt,o: l; .1 r'", = ?(:?0-r-t*1qi¿2 rldil = -1t0:i ?="nru.oo = :?-'-1 -'r J 2EA :EA J EA 0C ñÍ "r u,, = ?..ki:(1-l -c.cs!----------------l? r <r0 - aY? k:i I ?"o.ro ci6 = lg-il ki-r -r'-J :GA :GA I GA 0fJ Ílf 'aa ,,^, = ?(:,1 r.senü)- r._0 = *cl.13 fr"nz,.¿¿= 5c'n r3 -rv¡ J :El :.=l I El 0 -- 0 La enerEla to¿al- es l-a siil¡.a cie f"s tres c,b:+ai(ies, 5C; r' 50.x.k,.r 50; 13 Ui =U,.¡+Uy+U¡.1 =-ElÁ-"-6A--= il Si el- ar-co tierle sección t:l:ánsversal rectani''r1ar (kr - 1^' 2 ) 10 ,< 30 c;r., un r.Ódulc de elastj-cr'lacl E = 2.1'10' T/m' 'J nócurc ce ccrte G = B .i.loo i/^2; F. = 0.10 . 0.30 = 0.03 m2 q q q q q q q q q ,t q t un irg. N. Gcn:áez V. @ 2007 ; GA = 2.52 105 T
  • 36. ^yurrrE§ y Prugrc¡ié) uc E§(¡ul(qtas n¡pEtÉStduks r (o) U¡ Uy I4.r U tóta1 3 .00 0.000748 0.08r 0.002244 o.25*, 0.897s98 99.6't 0.9005590 100.00* 2.00 0.000499 0.19* 0. 0014 96 0.56* 0.2659s5 99.26r 0.267950 100.00* 1.00 0.000249 0. ?3* 0.000?48 2.18t 0 .033244 97.09r 0.034242 100.00* 0.50 0.000125 2.681 0.000374 8.04t 0.004156 89.293 0 . 004 654 100.00* 0.10 0.000025 18.75t 0.000075 56.25% 0.000033 25 . 00r 0.000133 100.00t 0 .05 0.000012 23.08r 0.000037 69.23*, 0.000004 7.69i 0.000054 100.00* Ejemplo: Hallar la energia totaL del sistema. Por proporcionalj_dad de triángulos:m f¡ ft h+m m +dv I;l- lrrr- h+m-y m h.r. IIT - - 't2-t1 fc-fi . h.I¡ |-----:_.t--y, n f2-11 UN=J u^, = P2 'h " 2n.E.q.r2
  • 37. ApuilrÉs y Pluultsltta§ uE cÚt¡u(lulas nl¡'glE§rarss p2.n2 UN =-------- "2nÉ(r2-rfi' th dv Jg;12't1 ,*=;Éh Ejemplo: Halfar 1a energia para Ia barra AB, total de deformación elástica sin consi-derar 1a barra BC' x 1-----F T Las solicitaciones internas Para Cortante: Momento flector: Momeato torsor: AffiGr Ia barra AB son: V=P M:-Px T=Pa ,v=t¿s{.o*=! É' ,r=i#o*={# ,.='J#o*=*# Energia Por Energia Por cortante: flexión: Energia Por torsión: La energia total de deformación elástica es: u=u¡,1 +uv+ur
  • 38. Ejetuplo: Determinar Ia energia interna mostrada consj-derando que las están dadas por eI estado tensionaL una constante. La sección tlene 1as longitud de la barra es L. para l_a barra solicitaciones ony=.zrdondekes dimensiones b,h y la i i.. L.i,:i|,: ¡"..., j.: ji# - l-. 12.L.b.h3 24.E h -.- -. v / L----------J El estado tensional- refleja que 1os esfuerzos se producen porflexión' utilizando 1a exprlsión que reraciona ár potencialde ta ba=a en función de 1as tensiones ii;;-;";ializada deHooke) : -2u= [:!¿-6yJ 2.E ^/) ¡ ^ta u = fll k¿ 'z¿'dz'dt'dx JJJ 2'E -b/2 o -h/2 Ejemplo: Ha1lar Ia energia total de deformacÍón barra contenida en uñ plano horizontal. z de la
  • 39. Apuilres y [ruulcillas uc csuuuut᧠nrPsrs§taüEs G q Iq q c é 4q á ! q G C q C ! q q {E G G G G G (É G q G G á I ¡ € VNT 1800 :-8 0 54 18 0 36 Tramo Origea LÍmlEes !,f DC D 0-3 -18x CB C 0-2 -18x BA B 0 - 4 -18(3+x) EnergÍa por f,qerza uormal: A1 no existir ning"una soliciE,ación por fuerza normal, Ia energÍa acumulada para est,a solicit.ación es nu1a. UN=0 EnergÍa por f1exlón: 3. 324.x2 2, 3%* ¿**} gz¿.(g+x)2 axuM=J ,Er 'dx+J 2Er '^*J -- 2E:¡ ,r=TF ,, 2¡324.9 ,...4t3!!d* '. = J zo¡ o'* J- zc.r -^ .. 5508 ljr=-.GJ de deformación eIástica Energía por corte: u., =t ki.324 dx+t k1.324 dx+t kr.324 o* 'dzGA d2GA d2GA u., _ 1458.kl 'GA Energía por Eorsión: La energía toEal será: lng. N. González V. @ 2007 €
  • 40. ApuiltE§ y ptuuttsilta§ ue trSuuututa§ ntrJetEstáuE5 Ejemplo: Ha11ar 1a energia un arco de raCio 4 total del sistema formado por m contenido en el plano x-y. de '' _ __':1:::::::::::::: "::::- '_ _"_'_' ....:::::::..^i::::;'."-" - ....... "' -"'¡ y -" ^kN¿ Sobre el plano x-y Momento flector: Cortante Momento torsor: Por fLexión: =-BsenOFJ T )." =4d0 '"=f B(1 - cosO) /1 (-B sen0)'(q)a0 2Et 32¡ EI 0 x/2 I r,(g)2ralao üv= l:=,o 4 krzr LrA Por cortante:
  • 41. Apu[rcs y pruulerilas us ESUucrutas ntpErESrauG§ Por flexión: Por cortante: Por torsión: (-8 sea0)t(a)ae ry - 2EI uv: /2 Ur= k1(8)2(4)de ------zGE- l-8 (1-cos0)12(a)og 32 (3a-B) ----GJ-- las energiias 32 ¡r -Ef- _ 4krn GA J0 j ZG¿ es 1a suma deL:- ..,:ergia total de deformación obtenidas: U:U*+Uv+Ur rT _ 4'k1 .r.32.r,32(3r-8) GA EI GJ En este problema, Ia energia por fuerza normal es nul-a. 2.5 LEYES DE RECTPROCIDAD 2.5.1 Ley de Betti.- Esta Ley se refiere al trabajo reciproco de las fuerzas. EI trabajo de un sistema de fuerzas gradual "Pi" debiCo a los desplazamj-entos que en sus puntos de aplicación le produce otro sistema de fuerzas giradual "Pj", es igual a1 trabajo de 1as fuerzas gradua!-es deI segundo sistema debidc a 1a aplicación gradual del prim.er sj-stema de fuerzas". a) Aplicando eI sistema gradual de fuerzas 'tPi't sobre 1a vj-ga, se origina un trabajo igual a: 1 Wi = Z. Pi . §i lng. N. González V. @ 2007 (Trabajo real)
  • 42. AputtttsS y Ptuurcilras uc c§uuululas nlPtsrcsr¿uÉs vrj P: .6j (Trabajo real) . Aij (Trabajo virtual)$I,. = Pr efectuado por ambos sistemas de fuerzas 1 2 E1 trabajo total graduales será: w= 1 w :Z- Pi ,6;. i.l= + $I. =.) L) 'Pr '6j + gradual Sli + 1 +z Pi 'aij de fuerzas "Pj ", e1 wj:1 Z P:'61 (Trabajo real) Aplicando a continuaci-ón mantenj-endo aplicado eI será: D. D.!1 de fuerzas gradual "Pi", fuerzas "Pj ", e1 trabajo P:" - 6i (Trabajo real) 'Ajr (Trabajo virtual) eI sistema sistena de Ili Jr =1'.;¿ =P. EI trabajo total efectuado por ambos sistemas de fuerzas graduales será: t^]= wj* *1 z 1 z I^]= 'Pi'6t w. + t¡l-.¡ Jr .P, .6- + P, ,4,..) ) r rJ 6i Ajl lng. N. González V. @ 2007
  • 43. lPU¡ttEs y ptuuteiltas qB rsr¡uurutas ntpEtr§tau(as E1 trabajo total efectuado graduales será: por ambos sistemas de fuerzas w=Illj+[rli+W¡i [,¡=1.pi.5i +1.pj.6: * 2Z El trabajo total no depende del orden cargas graduales, en consecuencia ambos es decir: 'lr á.tt.¡, É.Pi.6j + pr.aij =i.rr.u, Pi,^ij : Pi*Aii 2.5.2 Ley de Maxwell Es un caso particular sistemas de fuerzas son de la Ley de iguales ( pi = Pi:Pr:¡> P*^ij = p*A1t P. ..^.,¡ r_J de aplicáción de 1as trabajos son iguales, ,l *á.ri.6j + pi.Aij Betti, en Pi ). la eue, O4pos
  • 44. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas CAP.3 PRINCIPIO DEL TRABAJO VIRTUAL 3.1 CONSERVACIóU OP LA ENERGIA Est,ablecidos 1os procedimientos para determinar e1 trabajo producido por una solicitación externa aplicada sobre un cuerpo y Ia energiÍa j-nterna acumulada ..por dicho cuerpo, veremos cómo de pueden aplj-car dichos procedimienEos .para esLablecer desplazamientos y rotaciones de un punto de una estructura Ej emplo : Hallar e1 desplazami-ento flexión del punE.o donde se Aislando p somet.ida verti.cal debido aplica 1a carga P. un trozo de viga a flexión: el trabajo M=-Px, y 1a energía interna de deformación es: .M2ds LrP2 ,) . P2L3 LT1 = l- = l-X-.dX= - r z1t d2El 6El EI trabajo externo de 1a fuerza es: w" = 1.p.¡ 2 Por eI principio de Ia conservación de 1a energia, externo y Ia energia interna son iguales, asi: 1p¡ - P2t-3 2 6El Se observa que Ia solución deI problema es directa y que Ia aplicación deI procedimiento se limita solo a algunos problemas, Do pudiendo generalizarse para otro tipo de cargas, e1Io debj-do a que solo se puede utilizar una ecuación de t.rabajo para 1a viga. PL3 3Et lng. N. González V. @ 2007
  • 45. = € . q q q q a ó 4 G G G 1, q q q q q C G G G) G C q C C G IG til ffi llr tI ti ll' lt i H I i i t Apuntes y problemas de Estructuras H,perestát¡cas 3.2 PRINCIPIO DEt TRABA.]O VIRTUAI E1 principio de1 Erabajo virtual fue desarrol-Iado por 'Juan Bernculli en L7L7 y también es conocido con eI nombre de Método de la Carga UniEaria. A1 igual que oEros métodos de cáIcu1o para estructuras hi-peresEáEicas, se basa en e1 principio de 1a conservación de 1a energía (We = Ui), de esta manera permiE.e establecer un medio general para obtener un desplazamiento o rotación cie a1gún punto de una estructura. 1o) Si sobre un cuerpo deformable aplicamos una serie de cargas externas P, elJ.as se transmiten a 1a estructura, originando 1a aparición de fuerzas internas u. 2") Es necesario que 1as cargas exEernas P y 1as fuerzas inlernas u queden relacionadas por ecuaciones de equilibrio. 3o) Las cargas P, en sus puntos de aplicación, origin:n desplazamientos externos A y 1as cargas internas rr originan desplazamientos internos 6 en cada punto de carga j.nterna. 4') Los desplazamientos e:.:ternos y los desplazamientos internos deben estar relacionados entre si por ecuaciones de conpatibilidad de desplazamientos. EI principio de Erabajo y energía esEablece. '"':-oE Trabajo de 1as cargas ext.ernas = P, A Trabajo de 1as cargas internas = u - 6 Por e1 principio de conservación de la energÍa, e1 t.rabajo que efectúan las cargas externas es igual a1 t.rabajo de 1as cargas in"ernas, cumpliéndose que: »P'^ = Xu.6 Estudiando un cuerpo sometido a cargas externas reales P, suponiendo gue los soportes del cuerpo no pueden contar con pcsibilidad de desplazamienlo, pero que eI material puede deformarse de manera irrest.rict,a más allá de su 1Ímite elást.ico: lng. N. González V. @ 2007
  • 46. Apuntes y problemas de Estructuras H¡perestát¡cas Como ninguna de 1as cargas externas actúa directamente sobre el punto A y menos en l-a dirección A, e1 desplazamiento A puede ser determinado colocando sobre el cuerpo primero una fuerza ficticia Pt actuando en Ia misma direcci-ón A (por conveniencia se escoge para 1a fuerza fictÍcia un valor unitario P'= 1). §sta fuerza Pr se denomina fuerza virtual, para indicar que el}a no es real (es imaginarj-a). Esta carga virtual genera una elemento representativo. Trabajo externo Trabajo interno carga virtual interna u en un Como resultado de esas cargas, el cuerpo y el elemento experimentarán un desplazamiento virtual debido a las fueza P'. Una vez que se aplican las cargas virtuales P' y que el cuerpo está sometido a las cargas reales, el punto A se desplaza una magnitud A, ocasionando que el elemento se deforme una magnitud dL. Como consecuencia de ello, la fueza virtual externa P' y las cargas virtual interna u viajan a los largo de A Y dL respectivamente y efectúan una trabajo virtual externo sobre el cuerpo y un'trabajo virtual interno sobre el elemento iguales a: (sobre eI cuerpo) (sobre e1 elemento) 1'a u.dL lng. N. González V. @ 2007 -44-
  • 47. Apuntes y problemas de Estructuras H¡perestáticas Por e1 principio de conservación de Ia energ:ía, e1 trabajo virtual externo es igual a1 trabajo interno ejecutado sobre todos 1os element,os de1 cuerpo, en consecuencia: cargas virtuales ttYV 1.^ =Eu.diAA lrdesplazamientsos reales donde: P' = 1 = carga virtual unitaria, que actúa según la dirección A u = carga virtual interna, que actÚa sobre el elemento en la dirección dL. A = desplazam¡ento externo origioado por las cargas reales. dL = deformación interna del elemento causada por las cargas reales. I 1. (3 .1) (3.2) uniEario en ese punto. Este momento concentrado orig:ina una carga virt,ual interna u0 en uno de los elementos del cuerPo' suponiendo gue 1as cargas reales deforman aI elemento en una magnitud dL, Ia rotación 0 puede enconErarse a partir de 1a ecuación dei trabajo virtual: cargas virtuales Si el anáIisis se cenEra rotacional o pendiente <ie esLructura, se aPlicará desplazamienE.os reales en determinar el desPlazaniento 1a tangenEe en un Punto de r¡na un mo¡¡.eato viríuaT tft dé walor I 0 =Xug.dIJ rt M' = 1 = momento v¡rtual un¡tario, que actúa según la dirección 0 ue = carga virtual interna, que actúa sobre el elemento en la d¡recc¡ón dL a = desplazamiento rotacionai externo or¡ginado por las cargas reales' dL = deformación ¡nterna del elemento causada por las cargas reales'
  • 48. Apuntes y problemas de Estructuras H¡perestáticas 3.3 TRABAJO VIRrUAJ, APLÍCADO A AR¡,ÍADURAS Las armaduras principalmente están sometidas a fuerzas normales, aunque también pueden estar sometidas a efectos provenientes de cambios de temperatura y defectos de fabricación. 3.3.1 EI'ECTO DE ETIERZAS NOR},Í¡ILES Las fuerzas normales actúan sobre una alargamiento o acortamiento, en función tracción o compresión. Para eI caso g:eneral de una barra eIástica, determina mediante la Ley de Hooke, barra originando que eIlas sean de 1a deformación se donde: ^' - N'L E.A entonces Ia expresión de1 trabajo virtual queda en 1a forsa: (3 .3) donde: 'l = carga unitaria virtual externa que actúa sobre el nudo de la armadura, en la dirección A estipulada. n = fueza normal virtual interna en el miembro de la armadura, causada por la carga virtual unitaria externa. A = desplazamiento externo del nudo, causado por las cargas reales en la armadura. § = fueza normal interna en la barra de una armadura, causada por las cargas reales. | = longitud del elemento. f = módulo de elasticidad lineal del mater¡al fi = área de la sección transversal del elemento. 3.3.2 E¡'ECTOS DE TEMPER;§,TURA Cuando los miembros de una armadura están sometidos a canücios de temperatura, modifican su longitud mediante 1a expresión: l,l=;!.r! I | "l j__i lng. N. González V. @ 2007 AL=oLAT -46-
  • 49. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas en consecuencia Para determinar e1 desplazamiento de un nudo específico de una armadura, la expresión de1 trabajo virLual puede ser escrita en 1a siguiente forma: 1.4= rn.cr.L.AT (3.4) donde: | = carga un¡taria v¡rtual externa que actúa sobre el nudo de la armadura, en la dirección A estipulada. n = fueza normal virtual interna en el m¡embro de la armadura, causada por la carga virtual unitaria externa. ^ = desplazamiento externo del nudo, causado porel cambio de temPerature. c! = coeficiente de dilatación térmica del material. | = longitud del elemento. AT = variación de temPeratura. 3.3.3 EFECTOS DE ERRORES DE FABRICACION Si los miembros de una armadura presentsan defecEos & fabricación referidos a su longiE'ud o Por razones construcEivas se desea lograr combeo (flechas o conEraflechas) durante eI funeionamiento de 1a armadura, e1 anáIisis deI desplazamienEo de nudos específicos se logra a Eravés de La expresión de trabajo virtual siguiente: (3.5) doade: 'l = n= ^= c[= AL= I t.l = In.AL I l-l carga unitaria virtual externa que actúa sobre el nudo de la armadura, en la dirección A estipulada. fueza normal virtual interna en el miembro de la armadura, causada por la carga virtual unitaria externa. desplazamiento externo del nudo, causado por el error de fabricación. coeficlente de dilatación térmica del material' variación de longitud del miembro, respecto del tamaño estipulado. lng. N. González V. @ 2007 -47
  • 50. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestát¡cas Ejemplo: El análisis se considerando eI considerando una hacia abajo. efectúa bajo efecto de las carga vj-rtual Hallar eI deéplazamiento vertical del nudo 1a armadura de 1a figura, considerando 29,000 ksi l) Bde §= ,. I t dos situaciones, Ia primera cargas reales y Ia segunda Pr: 1K actuando en eI nudo B, a) Fuerzas reales (N) t¿ 15" JU Los resultados de ambos aná1isis tabla: b) E¡erzas virtuales (n) L 1'' se muestran en la siguiente lng. N. González V. @ 2007
  • 51. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestát¡cas en consecuencia para determinar e1 desplazamiento de un nudo específico de una armadura, 1a expresión de1 t.rabajo wirEual puede ser escriEa en la siguiente forma: 1'A= In.cr.L.lT (3.4) donde: | = carga unitaria virtual externa que actúa sobre el nudo de la armadura, en la dirección ^ estipulada. n = fueza normal virtual interna en el miembro de la armadura, causada por la carga virtual un¡taria externa' ^ = desplazamiento externo del nudo, causado por el cambio de temPeratura. cr = coeficiente de dilatación térmica del material. l- = longitud del elemento. AT = variación de temperatura. 3.3.3 EFECTOS DE ERRORES DE FABRICACION si 1os miembros de una armadura presentan defectsos de fabricación referidos a su longiE,ud o por razone§¡ constructivas se desea lograr combeo (flechas o contraflechas) duranEe eI funcionamiento de 1a armadura, eI análisis de1 desplazamiento de nudos especÍficos se logra a través de 1a expresión de Erabajo virtual siguienEe: (3. s) donde: t- n= ^= (l= AL= I r.n = rn.aL I l-l carga unitaria virtual externa que actúa sobre el nudo de la armadura, en la dirección A estipulada. fueza normal virtual interna en el m¡embro de ¡a armadura, causada por la carga virtual unitaria externa' desplazamiento externo del nudo, causado por el error de fabricación. coeficiente de dilatación térmica del material. variación de longitud del miembro, respecto del tamaño estipulado. lng. N. González V. @ 2007 -47 -
  • 52. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas Ejemplo: E1 análisis se considerando e1 considerando una hacia abajo. efectúa bajo efecto de 1as carga virtual Hallar eI deéplazamiento vert.i.cal del nudo B de la armadura de 1a figura, considerando B = 29,000 ksi 15 l( 20R D 7.z', 30k 7.2', I I s4 I I la-i- 7.z'. 38 dos situaciones, 1a primera carqas reales y la segunda Pr: 1K actuando en el nudo B, Fuerzas reales (N) 15 k 2ok ^^kJÓ Los resultados de ambos análisis tabla: b) Fuerzas virtuales (n) 1k se muestran en 1a siguiente E B c F lng. N. González V. @ 2007
  • 53. Apuntes y probtemas de Estructuras H¡persstáticas Traao N n L A NNL/A kips k].ps inch inch2 k2linch AB 69.3333 0.8889 86.40 8.00 665.60 Br 6B.UUUU 0.4444 86.40 8.00 326.40 CD 6U.UOUU o.4444 86.40 8.00 326.40 AE -86.6667 -1.1111 '108.00 10.00 1C40.00 BE 37.0000 0.6667 64. 8.00., 1 BF 1.6667 0.5556 108.00 8.00 12.50 CF 30.0cc0 0.,.-rCr10 ñ4.AC I ?.00 108-00 r - -lu.uñ 0.00 )F -85.0000 -0.5556 ¡ lñ nñ szz¿aEF -69.3333 -0.8889 86.40 't0.00 Aplicando 1a exPresión del k 1r I = 3613.18 trabajo vj-rtual: 361 3.1 IAD " 29000 AB, = 0.1246 inch = 0.32 cm = 3.20 mm I Ejeurplo: Ha11ar eI desplazamiento vertsical del ando B & Ia armadura de Ia figura, si las barras ¿'1 cordón inferior sufren un cambio de Eerq)eratura de L:lt'F- considerar Gg = 0.000006 1,/"F ,rl^ E1 aná1isis se efeeEúa bajo dos siEuaciones, Ia primera tomando en cuenta 1as cargas reales y 1a segunda considerando 1a carga virtual P'= 1 k actuando en B. -é, é Cq C, G C G, C G á 4 G If q {r ={t ; ¡ q q q q q q q ( ( ( ( ( { It a) Fuerzas reales (N) b) FuerzaE virtuales (n)
  • 54. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestát¡cas Tramo N n L ^r noL^T kips kips inch r k ' inch AB 0.000 0.8889 86.40 't 20.00 0.055296 BC 0.000 0.4444 86.40 120.00 o.o27648 CD 0.000 0.4444 86.40 120.00 o.o27648 AE 0.000 1.1111 108.00 0 0 BE 0.000 0.6667 64.80 0 o BF 0.000 0.5556 't08.00 o, 0 CF 0.000 0.0000 64.80 0 0 DF 0.000 -0.5556 108.00 0 0 EF 0.000 -0.8889 86.40 0 0 t = 0.110592 k.inch Aplicando la expresj-ón del trabajo virtual: 1K'AB' =0.110592 AB, = g.116592 inch = 0.2809 cm = ,;;;l Ejemplo: Hal-lar eI desplazamiento vertical- del nudo B de Ia armadura Ce la figura, si 1a barra BE es 0.20" más corta de los establecido en 1a geometria real de la estructura. ,.1 ^tl7.2' El aná1isis de Ia armadura la primera tomando en cuenta Ia segunda considerando una eI nudo B,, hacia abaio. a) Fuerzas reales (N) 7.2' se efectúa bajo dos situaciones, el efecto de 1as cargas reales Y carga vj-rtua1 P'= 1 k actuando en b) Euerzas virtuaLes (n) 7.2', lng. N. González V. @ 2007
  • 55. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas Los resultados se muestran en 1a siguienEe tabla: E =-0.1111 k-inch Apli-cando Ia expresión del trabajo virtual: 1k'AB* =-0'1111 ,/.ide: Tra.[lo }I n ^r n Ar, kiDs kips inch k. inch AB 0.00 u.566v 0 .00 0 BC U. UU o.4444 0.00 0 CD u. uu 0 .4444 o.00 0 AE 0 .0u -1.1111 o. o0 0 DT U. UU o.6667 U. UU 0 BF 0 .00 u.555b -0.20 -0.1L11 CF o.00 0,0000 o.00 0 DF 0.00 -u.555b 0.00 0 EF U. UU -o.8889 0.00 0 ae, = -6.11f inch = -0.2822 "n't = -*rnl 3.4 TRABAJO VIRTUAL API.ICADO A MARCOS Y VIGAS :-,llosmarcosyvigaspredorni-nanlassolicitacicnespor flexión. de esta forma, si- nuestro obietivo es determirrar eI desplazamiento ^ del punto A, debemcs aplicar u:ra carga viriual unitaria en ese punto, según 1a dirección del desplazamiento que deseamos determinar. Los marcos y vigas principalmente están someLidos a flexión' aunque también pueden estar sometidas a efectos provenienEes de cambios de temperatura y defectos de fabricación' '# xdx CARGA REAL I MOMENTO REAL ¡-) * _L.-i lx CARGA VIRTUAL MOMENTO VIRTUAL
  • 56. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas donde: M = momento flector originado por 1as cargas reales ' m = momento flector originado por Ia carga virtual' EI trabajo externo efectuado por 1a carga virtual es: 1.^ EI .trabajo interno m es: efectuado por el momento virtual unitario ¡n'd0 Además, en flexión donde: 'l = m= ¿= ffi= E-L- l= m do : *'Md* EI ae:üas =EI Aplicando eI principio de conservación de 1a energia: lrle = Wi entonces: ¡ffI 'M 1.4= l-.dxJ E.I (3. 6) carga un¡taria virtual externa que actúa sobre la viga o marco, en la dirección ^ estipLrlada. momento v¡rtual interno en la v¡ga o marco, en función de x, y que se origina por la carga virtual unitaria externa. desplazamiento externo del punto, causado por las cargas reales sobre la viga o marco. momento interno en la viga o marco, en función de x, causado por las cargas reales. módulo de elasticidad del material. momento estático de segundo orden de la sección transversal' respecto del eje neutro. (momento de inercia). para determinar 1a rotación angular 0 de Ia tangente trazada a un punto de 1a viga o marco, se aplica un momento virtual unitario en ese punto, según la dirección de 1a rotación que se desea determi_nar, obteniéndose un momento mo en ese punto. lng. N. Goñzález V. @ 2007
  • 57. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas '4 ..d0: : ,)* rns d0 : '9j[ a* Ia enerqia: 1 I 1 t rr.=-1 +- x ---+ CARCA REAL 1 MOLÍETflTO REAL C¿RCA VIRTUAL MOMENEO /IRTUAI, externo efectuado por e1 momento virtual es: 1.0 interno efectuado por e1 momento virtual unitario El trabajo EI trabajo r0 es: Además, en Aplicando Ejemplo: ug.d0 ao : -14- ax =E.t flexión: eI principio de conservación de We = Wi, entonces: q Frecha, M(ffi M= Encontrar Ia flecha B. (El=cte) . 1'o = ['o'M.o*J E.I 12--o x 2' (3.7) y rotación de1 extrem.o libre ¡ng. N. González V. @ 2007 -53-
  • 58. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestát¡cas x .(-o't-1'q'*21 ¿dx EI L - q.fr3.o* z1l ) o 1 me f ).q = -1- +-x---+1" r3 q .j "2.d*= Q'r 2EI J 6EI o 1AB: Ejenplo: Flecha: M C _ q.L4 8El L J o q12 Arrgulo: M f*trtrtrm M : -79x | x ----r L (-1).t-*.q *21 1eB: I ='¡ o*= o F-"=-ql 1a flecha yEncontrar (EI=cte) . rotación P 0<x<b: M:-Px b<x<L: M=-Px de1 punto B. P I v +-x-J CB: BA: 1 ,l I o - t- x ----t 1 ae : Jtol (-I'*1.0, 0 CB: 0 < x S b: m = 0 BA: b<x<L: *:-(x-b) I rr-ur.r-p.rl P2t3 - lj--------.!Y= - .l E.t 6El 0 P -14 b.L2 b3. Ae = EJiT--z 'o ' _+__ a ----f---- b ---------+
  • 59. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas AngrrJ-o: 1oe E1 trabajo de EI trabajo de Por eI además, I lr ftr --;7- +_x_t : ltol.t-t.rl.o* ó Er * l(-,r.(-p.r).0* - á E'l CB: BA: 0<xl b<xS m0=0 me= -l- p2r-3 6Er 3.5 TRABA.'O VIRTUAT PASA ELEME}TTOS SOMETIDOS A E'T'ERZA rA}¡GENCIAI. Para un elemento sometido a fuerzas tangenciales, se apliea una fuerza tangencial virtual unitaria, en eI punto donde se desea determinar dicha magnitud, entonces: una una fuerza tangencial vj-rtua1 es: 1.4 fuerza tangencial interna v es: v. dy análisis de fuerzas tangenciales: dy= k!v-V.ó( ,. G.A eI principio de conservación de Ia energia fle : IIi: 1.¿ = [ k1 '''V .d, J G.A (3.8) 3.6 TR,ABAJO VfRTUA], PARA ELEME}flTOS SOMETIDOS A TORSION Para un elemento sometido a torsi-ón, se aplica una momento torsor virtual unitario, en' eI punto donde se desea determinar dicha rnagnitud, entonces: El trabajo de una momento vj-rtual unitario es: 1.4 E1 trabajo de un momento torsor interno t es: t,d0 Por el análisis de momentos torsores: d0 = tl .O*, además,J G.J por el principio de conservación de Ia energía t¿,le : Ui: lng. N. GonzálezV. @2007
  • 60. Apuntes y problemas de Estructuras H¡Perestát¡cas T1 3.7 TRABAi,ovIRruAI,PeRjA'ELEME}f,tossoMETIDosAcAI{BIoDE TEMPERASIIRA cuando es necesario analizar 1a variación de temperatura a través de1 cuerpo de una barra, se puede establecer un d.iagrama de temperaturas, un perfil de temperaturas y un diagrama de desplazamientos de Ia siguiente manera: (Tr > Tz) -+------|-+-xdx r-- T1 -------+ I'Íz h tm? h z tm - AT* = T1+T2.---2- Tt-T2 2 AL = G AT^ dx, entonces ao = 2'o'aTm.d* h Aplicando una carga virtual unitaria en el punto donde buscamos determinar eI desplazamiento, o un momento virtual unitario donde se busca la rotación, se generarán momentos virtuales m y ¡nO en eI Punto donde se localiza el elemento de Iongitud dx. EI Teorema de Castigliano será para ambos casos: DIAGRAMA DE TEMPERATURAS Además, la deformación lineal de longitud dx sometida a AL o" =|.ee DIAGRAMA DE DESPLAZAMIENTOS que sufre una fibra cualquiera cambio de temPeratura ATr es: d0 = cr ATm dx, de donde: 1.¿= 13Jr-"-^Ir-.6" r.e= 1?-ro s-^Irr.6t h ¿ (3.10) (3.11) +- TZ ------r ATm
  • 61. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas 3.8 TEORE!,IA DE CASTIGLIANO Si sobre un cuerPo elástico- actúa u:i sistema' de "n" fuetzas, e1las originan que el cuerPo sufra deicrmaci;aes traducidas en desPlazamieotos Y rotaciones. Para una fuerza arbitraria Pi, la Ley de Clapeyron nos indica que el trabajo externo originado por dicha fuerza es: 1_. vte = -- Pi 'Ai Para todo eI sistema de íuerzas, e1 trabajo total Por otra parte, e1 principio de conservación de Ia energia establece que e1 trabajo externo es igual a la enerEia interna de deformación: será: +Pn^nl r¡t^ = = Ui u:1 f p, A, + P2 Lz + .... + P1 A, + Pn-r An-t + Pn An lu : á, 11 a1 - E2 "2 ' -1 -t -r¡-t ¡¡-r 4, Para materiales elásticos, Ia fuerza es proporcional a 1a é' deformación, pudiendo escribir esta relación como' A, D.a A, =; é =1 i ) ^ ] ¿ | nz 1 ii u: i[Pr2 + Pr? + + P,2 + Pn-r2 + Pn2 ) A 2K l¡ :É
  • 62. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas derivando respecto de }a carga Pi: AU == t 0 + 0 + .... + 2 Pi + 0 EP¡ ?:o'+ 0 l: 2q 2k (3. 12) 3.8.1 APLICACIóN A ARMADT'RJ§,S La energia de deformación se determina por la expresión: .. N2t u=- 2EA ^ = *,*, = # *,*'r = $ rcr^^» ¿=rll-.r9[r.r-"EA 'AP' La derivada pazcíal de La'energía ínterna de ürn cuerpo. respecüo de una fuerza cuaTqaíera, es ígual al desplazaníento del punto de aplicacíón de dicha fue¡za, (3-13) 3.A.2 apr,rcac¡óN A VIGAS Y La energia de deformación se !,ÍARCOS determj-na por 1a expresión: u:J*0, ^ = + f Y'='l =r-==¡a *1u2¡.ox = i$r$r o, aP J 2.E.1 2.8.1¿ .M .AM A - l_.Í- J E.I 'AP lng. N. González V. @ 2007 (3. 14)
  • 63. Apuntes y problemas de Esbualras H¡perestáticas o=Jfrt*ra- Si desea determlnar rotación: 3.8.3 APLIC{CIóN A VIGAS Y MARCOS IA}IGENCIAI.ES (3.15) SOMEIIDOS A II'ERZAS (3.17) e= f.!4-.r4r.J E.I 'EM' La energía de deforrnación se determina por 1a expresión: (3.16) 3.8.4 APTICACIó}¡ E BARRAS SOMETIDAS A TORSIóN La errergia de deformación se determina por Ia expresión: u = [k'V2 ¿'¿ 2GA ^=#i#*{r3* $rv2r o,=iS<Sr * ¡ = [ k1 'V .ráVl.a, J G .A 'EP' *2 u = fl.ox'2GJ a,tZ 1 a=-t:dx =t-.3(T2).dx= [ T taTl.o, AP'z,G,J '2.G J EP' G.J'AP' I 'l I { t { I { ( ( I { ( { ( { lng. N. González V. @ 2007
  • 64. Apuntes y problemas de Estructuras H¡perestáticas Ejemplo: Tramo CB: Tramo BA: I"t:-x2-Mt Apr 1 I áMr Ha1lar fa rotación originada por flexi-ón en el punto C. (nl:cte). 12.O " (ffi)", .,TTTTTUWN, f--/. u1M ) ¡r, M : -6(x coscr) + 1.5 - M1 EM_ =_1 Olvl l o2 .X i ec:JE 0 13 a**J 0 6 (x coscr) + 1.5 dx EI lng. N. González V. @ 2007
  • 65. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperesláticas Ejemplo: Encontrar la deformación vertical total para e1 arco de radio r contenido en el plano x-y, sometido a carga uniformemente distribuida por unidad de longitud de valor 6 f/.. z ^ ir e1 plann :::::.|;,!¿ En este caso, primeramente debemos encontrar Ia posición del centro de gravedad de 1a carga, bajo el ángulo 0. Coasiderando queds=rdc': Resultante: dR = gds : R= 6. 0 f.0 r dcr r.du = 6 r 0 Momentos axíales: dMy: x dR = r seng. 6 r.dc¿: 6 12 senu.dcr e lc M.. = 16 r- senc¿ . dq = 6 r2 YJ dMx = y dR = r cosu,.6 r.da = 6 r 0 t" NI = 16 12 coscr.dcr = 6 r2ÁJ 0 ( 1-cos0) 2 coss. da senO lng. N. González V. @ 2007
  • 66. Apuntes y problemas de Estructuras H¡perestáticas 7 M* = 6 12 coscr. dcr = 6 r2 senO Con estas expresiones encontramos: - 612(l-cos0) .l-cos0.x= ' '=r(-) 610 e - 6r2sen0 -sene. V= ore =r( , ) Analizando en planta: -xcoso= r.(1-;oto) ^ -0-coso.. -senu : f .l-_-] '0í : AM ;:=fSeDU dY dli aP=L ,*=r(1-cos0)at determinan de Ia ,=ysenO v=4-ycos0-x Las solicitaciones serán entonées: Momento flectors M = 6 r2(1-cos0) + p r sen0 Cortante V=6r0+p Momento torsor: T = 6 x2(0-sen0) + p r(l-cosg) Las deflexiones en e1 extremo libre se siguiente manera: Por flexión: Por torsión: ÍU¿ 6sNr: J 0 por cortante: ouu='l2rr o't'r't'oe - 6.13.sen0'(1-cosg).r.d0 : 3.14 EI 2.4674011 . .12 GA *_- - "(2128. (0-seno).(1-cos0).4.d0 _ -Br-¿ * : lng. N. González V. @ 2007 0.3258084468 .r4
  • 67. si no se res ul t acos efec-rúa ',.:n anáIisis nu::réricc, ie es clificulccsa, por e11o asunj'remos E=2. 1'10'T/:n- G = 8.4 ' 10' T/¡:1- b = 0.20 ra h = 0.30 n r = C.00C45 !r''l : A = U.Ub rn r- - i ) - -i'A J = 0.00065 ma coir.paraciór de los si-guientes E (n) 6s en llJir. F]"exión (t) Carta::t.e (ri Torsióir (t) Total (s) í,ñ 191.11?74 63.85 0.44C41 0.'1.1 1i1.,39177 JO,U i 31 0.73807 100.00 an 25.71425 63.69 0.1 5362 0.39 11.50027 35.9? 40.37317 100.00 1.0 0.31746 61.75 3.43 0.1 7902 34.82 0.51410 100.00 0.5 0.01s84 ÁÁ óo 0.004.í1 14.43 0.01 1 19 31.57 0.0112 100.00 0.1 0.00003 14.05 00ci 3 78',Jz 0.000c2 7.92 0.00023 100.cc La ciefcrnacióa to-tal C:L p"rn:c anali'zado es la su¡rLa CQ 1as ciefornaciones obt,en:-ias ¡-';ia cacia iipo Cr: esfuerzo' üu=t5r,',+E.-+6", De es|.a rleneía para un arco lcn ra(iio cie 3 meL]:os, 6B = 25.?1 + 0.16 + fi.50 q E e E ¡ q I ¡ T T I { q E ( f{ lng. ¡,¡. González V. @ 2007 -bJ-
  • 68. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas Ejearplo: Determinar 1a flecha en el centro de 1a viga si 1a temperaEura en 1a parte superior es Tr = 45oF, 1a temperaEura en Ia parte inferior de 1a viga es Í2 = 115oF Y e1 coeficiente de dilaEación de1 material es 6.8 * 10-6 17'¡r I a-# T l:l - 0.5 0.5 ,_ = T1 +T2 _ 45+115 _ rO ,,fr__ 2 _ 2 , 1zg 2.]x.a.aT¡¡ 1'Ac' - I '- ""0'* 0 integrando y sustituyendo valores 20' - 0lx 10<x < 10: < )o. 1 2 1 m= '110-x) 2', - Tr-Tr 115-45"-- '- =35 120 2.1(lo-x).o.trm I ¿ .d, Jh 0 en 1as mismas unidades: Acr=0.8568" =rrr;l Ejemplo: Determinar 1as reacciones en Ia viga si eI apoyo B sufre un asenE.ami,enEo de 5 cm hacia abajo. Tomar como módulo de elasticidad E = 2.5'106 X/mz y momenLo de inerci? I = 0.0045 ma. /4. R _A_ l -.m 77772 10.0 diagrama de deformación 8.0 T1 = 45'F T2 = 115'F #, lng. N. González V. @ 2007
  • 69. :resiárces Asuiiencic comc reiurciance 1a reacció:: en el a-§cljo !x,9- 0 La energia <ie Ia ex¡-,resión: u= Por el Primer teorena AU ¡.- : -e:.iz 1 I x S 1i;: I'Í,=-)r.2:< Y q l):S 8: i'!^=-X.:<-9 deforr:ración i:-iEerna a = -x f Iexi ór obe<lece a ,úi : 12800.. - t.a 243í,Í L:':l . -{: -^. dHe._: ¿'lir Á¡ai,r^ ¡ 'i'l',= ¿,* * ti'.!i ¿* J ^,ir J i:i <ie Castiglianc: 1q 9*, ,, a, ?rl,x2 *2 16ooc -B= l-8'=-, ¿;a-l ür -¿¡=:-:--¡;rad H d Er 2,!3Er 2850Cr^---Y- - 243r.i. El factor: EI = 11250 Tn:, sustiiLlyen3o "'alores: 288C0 ü.u5 =-.x)243.11250 I_------;l lx. = 4.?s 'I lng. N. Gonzále¿ V. @ 2007 J {¡
  • 70. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticás Ejemplo: Determinar las reacciones para Ia viga sde sección constante sometida a carga uniforme de valor g = 3 T/¡n si e1 apoyo B sufre un asenLamienLo de 5 c¡n hacia abajo. Tomar 1os siguientes valores como módulo de elasLicidad E = 2.5'106 T/az e I = 0.0045 m{. 't0.0 diagrama de deformación Ag .-71722 "'"'.-...-.... #.m Asumiendo como redundante 1a reacción en eI apoyo B: 3 T/m 8.0 4 21 --X¡ 9' l,a energía de def ormación obedece a la expresión: X2 5 2'l - -X.9' interna debido a flexión 10 u= j 0 lulr2 d**t[ ,r'.0- zEt d 2Er Por eI Primer Eeorema de Castigliano: ¿A=#" dxz 10 rvrr.(+) a vz.(*l ¿n= [ o^2 dx+ [ o^2 dx -d Er d Er lng. N. González V. @ 2007
  • 71. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas 0 I x I 10: I 0 l x I 8: El factor EI M.=27x-!x" ,-!*2' g- 2 u^= z7x-9x, ,-!r2-2 áMr 4J=--X lXZ 9 8M¡ 5 : -=--x 'oxzg 't6000.- 7000 12800.. 5t20 --Y^ X^ -- 243Et - 3Et 243E1 - 3Er 3200 -. 12120 ^B =zliix2- 3Er = 11250 Tm-, sustituyendo valores: o.o5 = 32oo xr-g27.11250 ' 11250 xz = 39'83 r (hacia arriba) lng. N. González V. lD 2007
  • 72. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas CAP.4 METODO DE I,AS FUERZAS 4.1 DESCRIPCION GENERAL DEL METODO Este método basa su enfoque en la determinación de las fuerzas y momentos en los apoyos de Ia estructura (redunCantes), o de 1as fuerzas internas en cualquier punto de la estructura, de la siguiente manera: Estructura rea]. x1 -ii, *' 6zz I x1 6er ESÍRUCTUMBASICA ESTRUCTUR.ABASICA + CARGAS + I'REDUNDANTE x2 Estructura básica (2t 6rz ESTRUCTUMBASICA E§TRUCTURABASICA + 2'REDUNDANfE + s'REDUNDANTE (1) + 6:z ¡zoI 6 x2 r! --LU lng. N. Goirzález V. @ 2007 -68-
  • 73. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas Por compatibilidad de deformaciones en e1 apoyo A: 6¡r=o 6v:o 0=0 6ro + 6rr xr + 612 x2 6zo + 6zr xr + E2Z x2 6¡o + 6¡r xr + 632 x2 611 xl + 6n xz + 6r: 6Zr 1<r + 622 x2 + 6z: 6ar xr + 6¡z x2 + 633 en forma matricial: (4.1) + 613 x3':0 LlI e¿: +633x3-0 x:=-6ro x¡=-6zo x:=-6¡o I ) t6itl.Ix1J = t-6io] donde: [6ij] = maEriz de flexibilidad .In.! 'fn.i 6i.i= I . rds 14.2)¿JJEI [xiJ = vecE,or de fuerzas redundantes t-6io] = vector de términos de carga , 6io= JPo" (4.3) tng. N. González V. @ 2007 ' oY ' :"lti: l I Il ] 6r, 6r, 6r, I 6,',. [3:l
  • 74. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas Ejemplo: Encontrar 1as reacciones vi-ga con EI constante. para La siguiente ]__ 10, ro' t tl rF;T,_;+i*,IY 111 22 6zo+622x2:0 Grado de 12Wpie hiperestaticidad = 1 12 Upie ta ecuación de compatibilidad es: TRAMO ORIGEN LIMITE Mo a2 AB CB A 0-1 0 0- 10 90x ) -bx 30x -rtX -Lax x2 6ro - Jucr2-.6s 6rz = P¿.0'JEI Término de carga: - 1o(e0.x-0.x2¡.(-**, r0(ao.x) (-].x) 7500 6..=t dx+Í 2 {x:--- óE'óErE.l Término de la matriz de flexibilidad: 6". = ,?n*,r' o** ,lr-l,r' o* _ 5oo + 5oo _ é E, ó Et 6.E.t 6.E.t Planteando l-a ecuación de compatibilidad: 5000 12500 E.t E'l 500 3€.1 12500 500 --+-X, = U EI EI lng. N. González V. @ 2007 = Elr.-rl
  • 75. Apuntes y problemas de Estructuras H¡perestáticas Encontrar las fuerzas en considerando solamente fiexión' x3 x2 Términos de carga: los apoyos, EjenPlo: ,rffir= +-- ! ----------r Grado de hiPerestaticidad - 1 .'ry.'ryN' 6ro = IM"iu.ü = iÉ+l1.dx= o 6zo = fte ,a.0, - 1t-* q-fl t'l o,= - i'-r-1¡ 0 E:o = Jun.r" ¿- = iÉ+P9 o,.= - 311¡ Términos de la matriz de flexibilidad: 6rr = 1C.o*= 9, 6rz = JrLrZ'6¡= s; 6r¡ = JrLrS-'6¡: I 6zr: Jra il-'¿¡: g 6zz= 1$n-= ljo,. = * x2
  • 76. Apuntes y problemas de Estructuras H¡perestát¡cas 6z:: Jrnern3-.dx: iá,- = *0 f 6g, : Js3-ra.ox: j* o- = *0 ^ ,*^2 L, d* L ó¡¡ : JÉ' o': JE.¡ = e.r 0 6¡, = Jr3-r1-.6¡: g ) 0xr+ 0xr+ 0 i:.:g I 324t - L L oL I 0 x, + :¡rxz * 2., x: = - áer I - L' L oL4 | 0 X, + -X? + Xa = - :-- I ' 2Er - Er - 6Er ) ^L - v 1-X" = -q-L x3 =- #r"' Resolver eI pórtj-co considerando solo flexión. 8r Br Ejemplo: 4.00 ESTRUCTURA BASICA + CARGAS -# 3.00 6.00 Estructura real nInx1=1 x2=L x3=1 ESTRUCTURA BASICA ESTRUCTURA BASICA ESTRUCTURA BASICA + 1'REDUNDANTE + 2'REOUNDANTE + 3" REDUNDANTE Estructura básica lng. N. González V. @ 2007
  • 77. Apuntes y problemas de Estruciuras H¡perestáticas TR,A¡'IO ORIGEN T,TMITES I MO m. Itrc Itr1 BE ED DC l^a B E D 0-4 0-6 0-3 o-Á 1 6 6 ) 0 0 -8x -)a x 4 4 A-v 0 6+x q 1 1 1 1 Térainos de carga: I 6r.o = flb-rl-'a, = lCe ti'dx=-H 0 L 6zc = ¡l¿to'm2 .0, = j(-9:I§:-')..6, = -#J E.r d 6El E'r I 6¡o = fUe''3-'d, = lClD'd*= -* 0 férminos <ie la matriz de flexibilidad: 6rr: is *:j*.'.i;*,-.j"=, *.is.-')'- o*=* 2 6c ex' 6rz : Jrr-ra.ox =iH ,,.11§1" o-.1-=P o,=* Er:: flr-r3-.0¡:já r-.i# r,.J# o-*Je_,.' o-=¿1 6zr.: flrl-'6x= ¡r, =fr 6zz = 1,21.a-:J4 *+Il9g:E.l J 6.E.1 0 tl§-rli..,,.if, o, =#J 6.E.t 0 41 81 J2.E. 0 6z: = jra jg-'ox:ukh o'*tJE*'o'.t h o'=#
  • 78. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas 6¡r : Jrngjrnl.dx: ar, : * 6¡z : Irngi-m2-.dx: Sr3 = 7fr xt* xt* xt* + + + xr = -1.46 r x2 = 2.54 r x3 = 2'33 r -5.21 +- -1.46 6:: : F¿ 0,.: i*.i*.j,h.i*=;i El sistema formado es: 56 63 18 63.0 x, 202.5 x2 24.75 x, 183 x3 = 24.75 x, = 7.5 X3 = L20 480 54 -5.21 2.54 lng. N. González V. @ 2007 -74 -
  • 79. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticás Ejeoplo: Resolver e1 arco flexión. gk circular considerando solo Por si.metria: AY:gY:4 Además:ds:5d0 I I ,^, iIL "///Z/¿ I 4 .nx3=1 TRLMO ORIGE¡¡ TIMITES Mo a1 tn3 AB A 0-r.l? 20 (1-cosO) 5 senO BC B nl2-r 20 (1+coso) 5 senO 1
  • 80. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas 6ro : nf 20.(1 - cosel.fs.sene). (s) . do + i2o.(r 1 c"se).(s.s . do 9 r/2 [--- 5ñl [5r, I Téroinos de carg,a: l I - 6¡o : P&jrn3-.ds tl2 oro = 'J zo ' tr - 'otel ' «sl . 0, * ,i3L$ff2.oe [",*tI oro :- =., I Términog de J.a matriz de flexi.bi1.idad: ¡ xl2 6rr = 1$ or-"[zs''*le tsl on. iru =:l'r-O.*= ,ná,iu 0 n/2 ttl2 -- . 1r 6¡:: Jrl-r3-.65 .or.,ia*#9 or=# 6:r: Jrn3jnf .ds: ¡r, =# 6r. = P31.0, =J E,I ¡12- Í_ J * o'*"#* o'= +#
  • 81. Apuntes y problemas de Estructuras H¡perestát¡cas EI sistema formado es: 196.35 xl 50.00 x1 + 20 x3= + 15.?1 x3 = - 500.00 - tt{.L6 ^ --kxr = - J'bl x3 = 4,42k-Pi" 3.67 -----+i .. . . + 442 4.00 Ejemplo: Resolver el pórtico con variable, considerando el efecto de flexión, considerando estructura es b = 0.6 pies. 1a viga CD de inercia para la estructura solo que el .espesor de la 6.00 +--f--i- 2.00 8.00 Estructura !ea1 lng. N. González V. @ 2007
  • 82. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas (0) EST. BASICA + CARGAS Términos de carga: x1 =l (1) EST. BASICA + I. REDUNOANTE t x2='l dx.i##* x3=1 Q' (3) EST, BASICA EST. BASICA + 2" REDUNOANTE + 3. REDUNDANTE 6,,:l!!r#*= tj 6ro: - ¡,0 = J&#Eo-:[;#fiffi0, - i*#*=,, ^ 413.2381 153600 154013.2381 ürn : - ---=---¿U E E E o,o:J&cpo-='j;ff{*q o- - iu#i.,, 6:o = 44.4444 15360 15404.4444 - 481x - B) o.oo0o5 -(x +10)3E 266.6667 46080 46346.6667 E :TR;H¡.IO ORIGEN LIMITES I MO llrl B, ID.3 BE ED DC .A B E D 0- 6 0- I B-10 0- 6 0.00625 0 . 00005 (x+10 ) 0 . 00005 (x+10 ) 0. 00 625 3 3 0 ñ -B (x-8 ) -16 x 6 6 6-x 0 .x x 10 1 t_ 1 1 ¡.0:¡ñ6"*.¿ -78 -
  • 83. Apuntes y problernas de Estructuras H¡perestát¡cas Términos de Ia maEriz de flexibilidad: ) - 6.. = {mf-¿r= JEI 211.1111 + E u',= I-# " . ]tt#r.n* . T.,-#;E * . ]## o, .. 11520 Orr= ----=- + E 2488.8890 + E 28800 30300 +-=_EE C, C C, d, G, c é, C c c c 35.1852 2880¿ - f _.EE. 2880 o.-¡J = E 6210...=_ E 471.4078 -------.=- E 8 6rz= [---- 6* -. d, + J0.00005(x +10)oE § 1 185.1850 314.8148¿_L¿EE - 6,, _ [*, *, d* EI c c 30300 oz¡.= Ó:.2 = E 2 6.. = [rz-¿.x JEI 8-t10"0 6.- = l' *' = .¿r* f *'¿¿ I a ülo,oooos(x + 1o)rE ¿f o.oooos«* + r0)3E 'dx . J*i# * e 891.5389 o^^=_+ E 11520 25740 EE u,, = i-uu*.,.i-rfo .". jrdr* *.]**';r.,. 414.8148 +- E v. @ 2007 :i, ! a. ;l L
  • 84. Apuntes y problemas de Estruc{uras H¡perestáticas .dx + 0.00005(x + l0)3E _ 1995 E * - ]*#*..' b [----]g- d, I 0.00625E d +l5.15 -6zs: J%Po,. ^ 197.5308 52.4691 -¿r E E 6210 - 6¡r:6r:= E 9850 - 6¡z= 6:¡= r 10 .ox + J I 960 E - 6¡¡: 6:¡ : 6:: : El sist 2 ['. d* JEI 68 [--]-. ¿' * [-----]- jo ooozse -" jo.oooosix + ro)3e 960 69.1358 5.8642 EEE ema formado es: 25740 x, + 30300 x, 30300 x, + 931 62.9461 x2 6210 x, + 9850 x2 + 62L0 ,<3 + 9850 x3 + 1995 x3 I 46346 .6667 154013.2381 15404.4444 X1 = 3'99 ^ xz = 5'15 k *, : -r't.85 k-Pl" 3.99 Ing. N. González V. @ 2007
  • 85. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáücás CAP. 5 METODO DEL TRABAiTO MINIMO 5.1 DESCRIPCIóN GENERAL DEL METODO Es conocido también como Segundo Teorema de Castsigliano o Método de Menabrea y su aplicación esEá destinada a Eodo tsipo de estructuras hiperestáticas EsEe mét,odo basa su enfoque en Ia determinación de Ias fuerzas y momenEos en 1os apoyos de la estructura (redundantes), o en cualquier punto de fa estructura, de 1a siguiente manera: 1o) Dada Ia esErucEura, se reconocen e1 número 1as fuerzas desconocidas como redundantes. crado de hi.perestaticidad = 3 lr ^ ESTRUCTI'RA REJAI, ;.4Tí x2é INCóGNXTAS : REACCIONES Se eligen y denominan las redundantes (x1, x2, x3) Se determj,nan los fuerzas normales, momentos, cortantes, etc, en función de las fuerzas redundantes, cargas externas y geometria (Iongitudes) N = fr(xi, P, s) y = fr(x1 , P, S) y = fr(x1, P, S) X1 INCOGNIT¡S: FUERZAS INTERNAS 2o, 30) lng. N. González V. @ 2007 -82-
  • 86. Apuntes y problemas de Estructuras Hip€restáticás 4 o ) Por 1as conCici-ones de Teorema de Castigliano: borde y aplicando eI Primer ( ( T T I T q e II ( q q I I I I I I I I I ( { { { { { { áu =o , 6u =o' oxz . áU =o' áXs y debído a que 1a energía interna de deformación es: áu =0,áXr óu =0,oA2 u = [ N2 d.* [k1'V2¿.* f M2d.* f-É0,r 2EA r 2GA r 2El r 2GJ JStfrr.. . f $tffr.. f $tffn.. Jfr tfrr. = o I N r áN u.*[klvr áV u.*f Mr dM u.*f T ( 6T )d"=oJ EA'AX2'. r GA'AX2' r EJ|'AXz' ¿ GJ'AX2' #=., l*,#)o'. iS(#E'.i!}(#ro'. Jfrt4r*¡" = o 5.2 CONSIDERACIONES PR¡CTICAS Dependiendo de1 tipo de solicitación inEerna a 1a cual esEá sometida una esEructura, 1as expresiones obtenidas se pueden aplicar bajo Ias siguientes consideraciones prácEicas: - Para vigas y marcos, predomina e1 efecEo de flexi6n. o. - Para arcos, considerando su clasificación, predominan los efectos de noraal y flexlón. - Para armaduras, predomirra eI efecto de fuerza no¡:nal . lng. N. González V. @ 2007
  • 87. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas 5.3 APTICACION A VIGAS EJ emplo : Considerando eI efecEo reacciones (EI=cte. ) de flexión, ealcular Ias x2 M = xz.x - 2 x2 Aplicando eI principio del someEidos a flexión: trabajo mÍnimo ds=dx para elementos EM oxz f^r,#, 9=o EI 6¡(X2 .x - 2.x2).(x)'ox x2 (72) - 648 = o *".1*':gr it gl = o 'd E.r d E'l Ej emplo: Considerando el efecto reacciones (EI=cte. ) de flexión, calcular 1as t- M = Xz.x AM axz- ^ q3 6L 4Tlm t- lng, N. González V. @ 2007 ds=dx -84-
  • 88. Apuntes y problernas de Estructuras H¡perestáticas Aplicando el principio deI sometidos a flexión: L (xz .x - + ,3¡.1,.¡.d, J--v 0 -', x' rÉl - e '15'' : n Ejeoplo: Considerando e1 efecto reacciones (EI=cte. ) trabajo minimo para elementos -,i+ *i+=. de flexión, calcul_ar las 0<x(b,' a<xó; A,I oxz A.l -= h+v ox2 P L ------------+- M = Xr.x M = Xz . (b+x)-Px 3 x2 ; ds:dx ; ds:cix -, i* ** *r.ltoyr' o,- 'i+p.x = o *r 1$,*r, rr$r-r$»-, rr*r.t4, reo *r=S.e.l,
  • 89. Apuntes y prob¡emas de Estructuras H¡perestát¡cas Determinar 1as reacciones para 1a siguiente escructura, considerando ftrexión y cambio brusco l -fx2 M = Xz.x - 2 x2 :+ Aplicando e1 prÍncipÍo de1 someLidbs a flexión: EJ emplo: de inercia. f (.xz .* - z.12) tr) . o* ó El +- x A-¡,1 &=x ; ds=dxox2 trabajo mínimo para elementos lu.r 6M l. d' = o J 'lXz' El * !(xz.*-2.12) (r).0* = o i B E.l *,.!r2.0, _ !*3 o" _ oL ) tr.| J E-l 0 -' 0 -' 64 -X^ - 128 + J Ej emplo : Determinar 1as reacciones para la siguienLe estrucLura, considerando solo flexión y cambi-o gradual (l-ineal) de la .altura de l-a barra. 19_ X- _ 55 = 0 3' 4f lm 4Tlm lng. N. González V. @ 2007 N2
  • 90. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestát¡cas M: Xz.x - 2 xZ ApJ-icando e1 principio sometidos a flexión: Integrando: ad + :-:x , Cis=dx Olr2 de1 traba j o minimo par.a elementos l, «#r $=0, En este caso, el ¡nomento de inercia no es constante y varia con la al-tura de acuerdo a Ia siguiente expresión: l_ b t2x+123 12' 24 !(xz.*-z 12).(*).dx = ol=.b- 2x+12 o n'(^l-::rt x2 (0.085184) - 0.06833769 = 0 E je:npIo: cuadrá t i co Determinar es tructura, (parabólico) xz = B.a2 r Ias reacciones para la siguiente consj-derando solo flexión y cambio de l-a altura de Ia barra. 6.00 ^2L'! = Az.X - ¿ X =) Aplicando e1 principio del sometidos a flexión: EM :.- =x ; cls:dxdx2 trabajo minimo para elementos 4Tlñ lng. N. González V. @ 2002 [n¡.r aM l. d* = o r '1Xz' El
  • 91. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas En este caso. e1 momento de inercia no con la altura de acuerdo a la siguiente es constante y varía expres ión: Integrando: x2 ,_ b rx+36r3 12', 72 i«xa:=f)-t-l.o- : o 0 _. t_)" 12',72 (0.000454s1) - 0.0034't222: o Comparando los resultados medi-ante la representación gráfica de los diagramas momentos: 10.13 6.98 23.88 4 Ílm 8.02 26.16 4 Ílm Ul I Df/t l 2.0 4.0 I lng. N. González V. @ 2007
  • 92. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas 5.4 APTICACION A PORTICOS Ejemplo: Considerando flexión ..r"o.rt.u. para el siguiente marco. 1as reacciones q q q q q G G d G { { { f; q q dü { q X1 Tra¡Io Orige Linites I M N/dxt ÁlAr/?¡a, DC D 0-5 - Xrx -x Xt'x¿ CB 0-6 1 /-5Xr-2x-+12x -5 25X1 + lQ¡12-60,« AB A 0-5 1 - Xlx -x Xl'x Aplicando el principio deI trabajo minimo para elenentos sometidos a flexión: 5o 2 [xL]'.¿* + J E.I 0 250 -., X, + 150 Jratffr $=o 6¡1ru.x, + 10.x2 - 60.x) J--; ¡-= ox = o 0 Xr+'120-1080=0 Xr = 1.54 ? lng. N. González V. @ 2007
  • 93. 4llm 1.54 --+ t t-12 1.54 l2 EjempJ-o: 1as reaccionesConsiderando flexión encontrar para ef siguiente marco. 207 1.50 6.00 X2 Tramc Orígen Límites I M EM a& EM ex2 AB BC A B 0-6 1 2 - Xr.'x -5 Xr+Xz. x-20x-30 -x 0 x Aplicando e1 principi.o de1 trabaj o minimo para efeme;rtos sometidos a flexiÓn: |.¡¡.rl[1. d* = o J 'aXl' El 1vrtffr*=o z V. 6 2007
  • 94. a-ri:',1 't't¿ !l : Apuntes y problemas de Estruauás H¡p€restát¡cas [l',t.rffil.d*=or 'áX2' El Primera redundante: u1xf't'-.0- + Jzs'xr-s'xz'-.roo .o-:0 00 350 v¿" - 45 Xz : -1350 3', (1) Seg'unda redundante: (-5.Xt + Xz .x - 20 .x - 30).(x) 2.8.1 6 J 0 dx =0 Resolviendo eI sistema: -45 Xl + 36 X2 : 990 -L.8627 25 .1724 T T 25.1724 lng. N. González V. @ 2007
  • 95. Apuntes y problemas de Estructuras H¡perestát¡cas i ü =ta 4' a a a dt ft á ñt il { it a rt Ü =} =ta a rt a É r} ? r, i) {' r, {, il a e EJ emplo : Determinar 1as reacciones considerando flexión. 6.00 para e1 marco, =0 Tramo Origen Límites I M ctvl ax1 EM ax, AB bL A B 0-5 U-t) l- 2 - Xr,x -5 Xr+Xz.x-2Ox-30- 2x2 -5 Aplicando e1 principio de1 trabajo mÍnimo para el-ementos someEicios a flexión: 2 frvr ri[l,d* =oJ 'cxt' E¡ lu.r ¡M l. dt = o |axz' El Primera redundante z q^ I.Xl ''' ¿' J EI 0 6 r25.Xt -5. Xe .x +100.x -150 +10.x2t I I L dv r 2.E.1 0 350 : x, - 45 Y.. = -1710 (1) J lno. N. González V. @ 2007 -
  • 96. Apuntes y problemas de Estructuras Hip€restáticas Segunda redundanle: (-5.Xt +Xz.x-20.x-30).(x).0, : O 2.8.1 I= 19J: = 22.soo 72 1.5 x 3.6 = 5.4 Diagrama Ce momentos 6 I 0 X, '+ 72 X, = 2628 At = -!'lL¡¿ ix, = ,t.1034 r 5 .5 APLICACIóN A ESTRUCTTIRAS ESPECIAI,ES 3 Ejemplo: Una .vj.ga de madera (E = 250.000 kp,/cmz) tsiene ' longitud de 7.2 m, una sección de 10 x 30 cm y sopcrta una carga concentrada de 3 T aplicada en eI centro. -90 (2) ^TJ I v 5.40 T m En esas condiciones, M= 4 cm T 0/' ' 3.60 ' 3.60 I :-wmilffilffinruw- e1 esfuerzo máximo por flexi.ón es: Yqo-oo..3o = ¡oo kp/cm2 22500 2 - lng. N. González V. @ 2007
  • 97. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas La flecha debajo 1a carga es: 3000 .?2 03 = 4.15 cmYc= 48x250000.22500 E1. esfuerzo que se. presenta en .la zona máÉ sol.icitada .por f lexión (punto medio de 'La'.viga) supera .a1 .admisible (o*á* = 240 kp/cm2) en un 508; Dé .Ia .misma.'forma se .puede:'determinar gue la flecha.en el.punto medio.de la viga'supera a Ia-flecha admisible (faam= L/soo = 720/4oo = 1.88 cm) en un L20.7 ?. En consecuencia nos planEeamos 1a tarea de reducir ambas magnitudes, para e1lo . introduciremos un puntual de,madera de 5 x 4 cm. y a1 mismo tiempo, para'lograr que e1 puntal trabaje conjuntamente 1a viga, uLilizaremos un tensor de acero de 5,/8,', dispuesLos de 1a siguiente manera; 4.+ D77, I I 1.50 + Viga: E = 250.000 kp,/cm2 b/h = 1ol30 cm A = 300 cm2 I = 22.500 cm4 Puntal Ep = zso.ooo kp/cm2 b/h = 5/s cm Ap = 20 c*2 - Cab1e, Ec = 2. 100. o0O kp,/cm2 $ = 15 mm' Ac=2cm2 .. Xp ^a= - " 2.sen« 3.60 X6 "P X6 Xp I "l ol*ix' I Xp xp *t*-- I -.n *" "l)--:-{.:lD lng. N. González V. @ 2007
  • 98. -i ' ;. : - : ; ':. ¡prJ¡tes i problemas de Estructuras Hiperestát¡cas Por e1 procedimiento de1 Trabajo Minimo, consi-derando r_os efectos de ftexión sobre Ia viga y fuerzas axiáIes sobre eI puntal y 1as dos porciones de cabl-e: . M ,AM. l-.(-).ds+ )r El 'ax' u Deterininando, por tramosr las fuerza .normal: 1 $«Sr,- : o sol-lcitaciones de flexión y Tramo Oriqien Línites M At/axp N N/Axp AC A 0-3.6 3-Xp 2 x 2 BC B 0-3.6 s-Xp 2 x 2 DC D 0- 1.5 -Xp 1 'lrJ A 0-3.9 Xp 2 sencr 1 2 ser¡a BD B 0-3.9 Xp 2 sena 1 2 senc AB 0-7.2 Xp cotcr 2 cot c 2 Aplicando 1a expresión del trabajo mínimo: 6^ -:.1= *.l.orn2.- XP . 1 s.90 + *o ..,.r0**o'"o,o.cotc.3.6- Elá 2 2 -'. - 2.senu 2.sena EcAc ' EpAp ' ""' Z '-z EA ,7.775 13.182 13.182 13.182... 23.328 t Er *E"fu-aoo;+ * )xP= a (0.01.3824 + 0.003186 + 0.0003 + 0..0001382) xp = O.4t4:.2 donde: ., ^ ^^^ T xp: ¿.Jó3 y X. = 3.098 r nueva condición de carga que soporta Ia viga se ahora: de lng. N. González V. @ 2007
  • 99. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas E1 nuevo esfuerzo por flexión.será por flexión y compresión: 111000 30 2860 22500 2 300 ahora la suma deI esfuerzo 83.5 kp,/cm2 E1 momento flect.or máximo en Ia viga es: 1 M =:'.8-2.383)'7.20= 1.11 r-m 4 1.'t1 v Ia rtecha en et punto c es: ," = (?9ol;=1t=1tl]3=o=t = o tu cm 48.250000.22500 EI esfuerzo que soporta cada una de 1as porciones de1 tensor de acero es: 3098 "" = -f = l-549 kP,/cm2 (tracción) ;-l!-r9!rl=oA EA'óX' E1 esfuerzo que soporta e1 puntal de madera es: 2383 "o : lo = 119' 2 kP/cm2 (comPresión) Nota: A1 resolver esLrucLuras hiperestáticas, deben comprobarse las Lensiones de trabajo de los materiales, elIas no deben superar 1os valores admisibles. Cuando e11o ocurre, deben modificarse 1as dimensiones de l-os elementos auxiliares (puntal y t.ensores) hasta conseguir que 1os esfuerzos de Lrabajo no superen a los admisibles. 5.5 API,ICACIóN A RETICULADOS En e1 esLudio de retj-culados hiperestáticos se reconocen l"as redundantes como reaccj-ones en los apoyos o fuerzas inLernas en 1as barras. E1 Método deI Trabajo Mínimo consist.e en expres ión: aplicar 1a lng. N. González V. @ 2007
  • 100. Apuntes y problemas de Eslructuras Hiperestát¡cas EJemplo: Determinar las fuerzas en 1as barras de1 reticulado tomandó en cuenEa eI mismo material y que 1os valores del área de cada barra están indicados entre paréntesis y se expre"ar, "a, a*'. El reticulado cuenta con un grado e1Io adoptaremos como redundante ]a esta manera efectuaremos e1 anáIisis de hisperestaticidad, Por fuerza en Ia barra AD, de de la siguiente manera: 10-x lng. N. González V. O 2007 5 - 1.333 X 5 - 1.333 X
  • 101. Apuntes y problemas de Estrucluras H¡perestáticas Tramo N AN :-aix L A AN Nx(:-)x dx L EA AD X 1 6.00000 60 0.1000 x DF 1.6667 X 1.6667 6.25000 45 0.3858 X DE 1.3333 X l alaa 5.00000 Jb .0.2469 X EF 10 0 3.75000 27 0 BF, 6.25 -'t.6667 X 1.6667 3.75000 45 -0.868'l + 0.2315 X CF -8.0039 0 4.80234 45 0 CE 1.3333 X 1.3333 3.00000 Jb 0.1481 X BC 6.25 0 6.00000 54 0 Sumando Ia expresión correspondiente al método: I: -o.8681 + 1.1123 X -0.868l +L.7123 x=0 x : 0.7804 r ( tracción) Sustituyendo X : 0.7804 fuerzas en Las barras todas las barras. T en la coJ-umna correspondiente a l-as (columna N) hallamos las fuerzas en 0.7804 9.2196 0.7804 lng. N. González V. @ 2007 3.959s 3.9s95
  • 102. ;:i:'- : ;::t_ Ilrl ,:. ' r. Apuntes y problemas de Estrucluras Hiperestát¡cas EJemplo: Determinar 1as reacciones barras de1 reticulado tomando maEerial y gue las áreas son 60 cm2. pI Trabajo MÍnimo y 'fuérzás:r en las en cuenta e1 mismo 3.0 EI reticulado es estáticamente indeterminado exteriormente debido a que existe una reacción superabundante, adoptando como redundanLe Ia reacción en D. 3.03.03.03.0 E1 Método deI expresión: consiste en apLicar 1a tru.ráNl.L =oP 'AX'E.A lng, N. González V. @ 2007
  • 103. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas Tramo N AN Ax L aNLNx(-)x- OX EA AB 5.4000 - 0.3000 x -0.30 3.00 60 -0.081 + 0.004500 x BC -0 60 300 bt, -0.324 + 0.018000 x CD 10_8000 - 0.6000 x -0.60 3.00 60 -0.324 + 0.018000 x DE 3 6t]f]f) - o ¿5no x .0.45 3.00 60 . -0.081 + 0.010125 X EF 3.6000 - 0.4500 x -0.45 3.00 60 -0.081 + 0.010125 X AG -9 (]0(}u + 0 5t]uo x 0.50 5.00 60 -0.375 + 0.020833 X BG -0.40 4.00 60 -0.192 + 0.0'10667 X BH -g 0000 + 0.5000 x 0.50 5.00 60 -0.375 + 0.020833 X CH 0 4.00 60 0.000 DH -6 0000 - 0.5000 x -0.50 5.00 60 0.250 + 0.020833 X DI 0 0 4.00 60 0.000 DJ 6.0000 - 0.7500 x -o 75 5.O0 60 -0.375 + 0.046875 X EJ 0 0 4.00 60 o.000 FJ -6.0000 - 0.7500 x -0.75 5.00 60 -0.375 + 0.046875 GH -5 4000 + 0 3000 x 0.30 300 60 -0.081 + 0.004500 x HI 7_2000 + 0.9000 x 0.s0 3.00 60 -0.324 + 0.004500 x IJ 7.2000 + 0.9000 X 0.90 3.00 .60 -0.324 + 0.004500 x Sumando 1a expresj-ón correspondiente aI método: I : -3.062 + 0.313167 x -3.062+0.313167X:0 x : 9.78 r (hacia arriba) Sustltuyendo X:9.?B r en Ia colunna correspondiente a las fuerzas en 1as barras (colunna N) hallamos fas fuerzas en tocias 1as barras y por estática encontraremos Ias reacciones restantes. 5,7 APLICACIóN A ARCOS En eI estudio de arcos indeterminados se efectúa un recuento de las incógnitas que se presentan y en dependencia de e11o se determina el grado de hiperestaticidad de la estructura. Luego se escogen l-as redundantes y se plantean fas expresiones correspondient.es a las solicitaciones estudiadas y qLre tienen efecto sobre el comportamiento de Ia estructura. lng. N. González V. @ 2007
  • 104. ::.--;----,-. -.._-'.' Apuntes y problemas de Estructurás Hiperestáticas Ej emplo: valor 20 x 60 cn, se .utiliza un tensor de acero de diámetro 2 cm. jl 'i Considerando : solamenEe e1.'- efecto de flexión e¡t determinar la fuerza .que ,'acEúa en 'el ' tensor cuando una carga concenErada P,= i6t .r, su cúspide' I I b Las reacciones pueden determinarse sin dificultad pero rio aÉ4 las fuerzas internas, en consecuencia eI arco es indeterminado interiormente. Escogiendo como redundante la fuerza en el tensor y -aplicando Ia &presión de1 Lraba j o rnÍnima para ef ectos de f lexión y fuerza normal: b 31 3r - 101 - lng. N. González V. @ 2007 Para rigidizar.un arco de acero de radio 5.00 m, sección transversal rectangular consEanEe de eI arco, se aplica 5.0 x
  • 105. Apuntes y problemas de Estrucluras Hiperestát¡cas Tramo M 4,, ax N A'l =-dx ds AB arco 15(1-cos0)-5 xsen0 -5 senO 0 0 5de AB tensor 0 0 1 dx EI j 0 -375 .sen0 .(1 - cos 0) n 1- 10 do+125.X. p9I-$6¡¡ f !l=o d Er dEA 750 196.3495 .. 10 -:=.¡--r-i-IJ-.X+ - .X = 0 EI EI EA dondeE:módulode inercia de1 arco y A tensor: elasticidaci de1 es el área de ]a material, f momento de sección transversal del A = 3.14 .10-a cm2 I : 3.6 .10 ' cm' luego: X: 2.4r 5.8 ANTILOS DELGADOS Se def ine con1.o ani ll-o delgado a una estructura plana cuyas dimensiones longj-tudinales son mucho mayores a las dimensiones-de su sección transversal. En estas condiciones geométricas, 1os anillos principalmente trabajan a flexión y es suficiente considerar cono redundantes }os momentos flectores. GeneralmenLe Ios anil-Ios son geométricamente simétricos y si se encuentran sometidos a cargas simétricas, en las secciones donde coinciden l-os ejes de simetria se consideran las fuerzas cortantes nulas y solo se consideran como redundantes l-as fuerzas normales y los momentos fl-ectores. lng. N. González V. @ 2007 102
  • 106. i"1r.1{r:!..1':¡ EJenplo: Estudiar e1 anilLo plano delgado de La figura considerando EI = cte " Cortando eL anil-Lo- a 1o largo del eje x, se determina que al no exisLir cargas horizontales, 1as cortantes en esa dirección son nulas y las fuerzas normales en ambos exLremos P son iguales a ;, Ias redundant.es serán los momentos flegtores I x1 . Aprovechando 1a simetrÍa trabajaremos considerando 1a cuarta parEe de1 anillo, tomando eI extremo superior como empotrado y eI extremo inferior libre. EI momento flector en un punto D de abscisa r tx" y ordenada ry" es: ib i 1 P_t- AM _ = _1 dxr lng. N. González V. @ 2007
  • 107. Apuntes y pfoblemas de Estructuras Hipereslát¡cas Aplicando la expresión de trabajo minimo para flexión: Ir *r*!t"-x)lds = 0 Simplificando: En esta expresión se detectan dos análisis de centroides de lineas: integrales conocidas por e1 [."o [:.-0 x1 fo. * U Pa 2 -: 2 Asi ]a integral 1." - s , es Ia longitud de arco de1 anilLo. mientras que 1a integral estático de primer orden representa e1 momento i" a. rc de1 arco de anill-o respecto de1 eje "y" jx.ds Despejando f a redundante: x, :l¡-a--¿1 Jo' La rel-ación entre eI momento estático de prj-mer orden respecto del eje "y" y la longitud se define como coordenada del cent::oide de ]a finea respecto del eje t'x ", fa redunciante X1 se determina a través de 1a exp::esión: P Xr= [x,_-a]-2 Si eI anilIo fuese eliptico con semieje mayor a = 2 m, semieje menor, b = 6 m. y carga P = 20Í, Ia coordenada X.: 1 . 64 4 m. , entonces : lng. N. González V. @ 2007 104
  • 108. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas X:. - 10(l-.644 - z) = -3.56 r-^ Si e1 anillo es circular donde r coordenada X" : 1.9099 m., enLonces: xl : 15(1.9099 - 3) = 3. 56 10 :3m.yP=30r, -16. 3s r-^ 1a Si el anillo dimensiones de fuese un m.yse .P r6.ss Y 15 cuadrado cuyas diagonales tj.enen encuentra sometido a carga de 3T. Para una linea rect.ar X" = 1 rn. En consecuencia: y : 1 q t] - ).r1 + 1t 1.50' "' t.J "l. r.t ¡ 1's Y 4 3 lng. N. González V. @ 2007 1.5
  • 109. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestát¡cas Con las fuerzas redundantes determinadas medi-ante e1 procedi,miento descrit,o, se pueden obtener los diagramas de momenlos flectores, que en est.e caso.corresponde al gráfico siguiente. Ejemplo: Estudiar e1 anj.lIo plano delgado de fa figura considerando EI = ite. que se encuentra someticio a carga interior uniforme q. Cortando e1 aniIlo a 1o largo de1 eje de simet.ría xt se determina que las cargas horizontales se equilibran internament.e, por e11o 1as cortantes en esa dirección son nulas y 1as fuerzas normales en ambos extremos son iguales aI valor qa, quedando como redundantes Los moment.os flecL.ores X1. Aprovechando 1a simetrÍa trabajaremos consirierando 1a cuarta parte del anil1o, tomando e} extremo súperi-or como empotrado y e1 extremo inferior libre. Además las cargas equivalentes a carga normal lng. N. González V. @ 2007
  • 110. :.¡;:,., ":'. 1' ::g:.!: . ':¡:: 'i'r::r '.";'r.: i,r' .''': .::;.',..." l'' :t - epunted"y problemas de Estruc{uras Hiperestáticas B o. qffi EI momento flector en un punto D de abscisa rrx'r y ordenada try" es: AM i --: i/Xr flexión: M: -Xr- Qa(a-x)+ Aplicando la exPresión 1o(.-x)2 + Lor' 2 '' 2 -' de trabajo rninimo Para ,*--r- qa(a-x)+]rru-*t' *l qy2 I (-1)ds : 0 qa ¡uo" - 'o 2ds:o '*o')ds:o En esta expresión se detectan también integrales conocidas por el análisis cte centroides y momentos de inercia de lineas: Asi la integral tid" = s , es la longitud de arco del anilIo. ü -1 SS xl [t" * qu' lor - qa [,,at - ]'JoJOJO¿ 1 f'2. 1 i-rqJo"o.-rqJoY Sinplificando: sss ¡rtr 1 ,l 1 l.x, rocs + iw' "ods - ;o 'o{* qu' fa, * 'o lng. N. González V. @ 2007
  • 111. Apuntes y problemas de Estruciuras H¡perestáticas s mientras que la integral [{*, * yr¡¿" repr.esenta e1 momento t -' estático de segundo orden del arco de ani110 respecto de 10sejes "x-y", denomi-nado también moment.o polar de inercia deuna Línea. s !{*z *v2) xl =g¡-e--=-¿,¡ - Ir^, i::"'á1:'".:$:.i:-?:'i::':,'J".1,:J::.",:":::*:_r"J"i:::.deternina a L-ravés de 1a expresión: Despejando la redund.ante: Si e1 ani11o fuese dimensiones de 4 m. y de 9 T/m, eI análisis forma: al un cuadrado cuyas diagonales tienen se encuenLra sometido a carga uniforme procedente se encamina de Ia siguiente Y - q rrP 2's rr-t- En 1a solución de este problema tomamos 1a rama deI anillocomprendida en e1 primer cuadrante, adecuando 1a LeorÍadeducida y 1os result.ados del anáIisis de cenLroides ymomentos de inercia de Iíneas encontramos 1as siguientesexpresiones: lng. N. conzáiez V. @ 2007
  • 112. -1 _ : a :i Apuntes y problemas de Estruciurás Hiperestáticas '= G C G G ó G G j j c q t G Para una llnea recta, e1 momento llnea recta respecto.de los ejes de polar de inercia .para referencia es: _ 2^1, 3 P3 _ 1.6.,1, 3 Iongitud =i2 ¿!¿ En consecuencl-a ,'1 :16,5 4.5 (-+2^i2 2) = - 4gr-m E jernp).o: Considerando solamente el- efecto de flexión 1os arcos, cieterminar 1as reacciones. en lng. N. González V. @ 2007 - 109 -
  • 113. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestát¡cas La cantidad de reacciones existentes els cinco; de 1as cuales 1as reacciones horizontales no pueden determinarse directamente, en consecuencia 1a estructura es indeterminada exteriormente. 1, Escogiendo como redundant.e. -l-as reac.ciones. hJrizontales en 1os apoyos, las , cualesr debido a -Ia inexistencia de cargas externas, son iguales: i Tramo Or¡gen Limites M AM ax ds AC A 0-n 90(1-cos0)-'180 + X 3sen0 3sene , 3ds BC B 0-¡ -X1seno 1 senO 1 1d0 I 0 270.senO'(1 - ios 0) - 540.sen0 + X'9'sen20 2.8.1 .3.de+ *.|sen2o.de=o d Er 810 3240 ., 27.¡r ,, 27'¡r +,.-+^.-=U E.t E.l 4.E.1 2.8.1 x = 35.56 r lng. N. González V. @ 2007
  • 114. É Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas 5.9 APOYOS EI,ASTICOS. RESORTES Un resorte (muelle) esta constituido por un alambre arrollado sobre un núc1eo circular. Los resortes son di-.spositivos que se deforman ante 1a presencia de fuerzas de tracción o compresión, mientras el diámetro de1 alambre es mayor, mayor es su- rigidez. .J I P La relación entre la fuerza apiicada sobre eI rescrte (p) , la deforroación originada (A) es: = Itsl i l= E e e e e e e e e E e E t 5 C C G C C é C é d é é G G ú c J j q I^ Donc-le: P A 1, P = k,A fuerza aplicada sobre eI resorte defor¡ración longitr-rdinal ciel resorte constante del resorte En esL::Lrctr-rras, f os resortes se utilizan cono amortiguraCores de fas deformaciones de Llna estructura, en este caso Los resortes reciben 1a cienoninación cie "apoyos e7ásticos,,. Paia e<:os casos, 1a expr:esión general del método del Trabajo l"linimc es: J$rffr.. J*#,#r'.' j}i,#x.. ifr rfrr,.f = o lng. N. Gonzálaz V. @ 2007
  • 115. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas Para el caso de estructuras con elementos rectos' en las que solamente se considera el efecto de flexión, la expresión del Trabajo Minimo será: donde: EjempJ.o. Si en su rigidez k y momentos Una viga carga de extremo B = 5000 kp,/m, de madera de 3.5 T,/m y tiene se apoya sobre determinar fos Xt= 1- _ tI.r![r ¿, * 11 = o JEI 'áXl ' k fuerza de interacción e1 resorte constante deI resorte entre la estructura y 20 x 30 cm soporta una una longi-tud de 3.0 m. un resorte eIástico de diagramas de cortantes En el extremo deformable, €o redundante. 3.5 T/m B, el resorte consecuencia 1a funcj-ona como una apoyo estructura presenta una Tomando origen en el punto B: M:Xzx* 1 ?( ., dtvl AM oxz 3.5 T/m lng. N. González V. @ 2007 - A. 'J Á 112 -
  • 116. Apli.cando 1a expresión del ?rabajo Minimo: I xz.12 _r.zs.13 ¿, * x2-=s 0t'K Considerando que EI = 1125 T m2 y k = l I - 35.4375 1 1121^2--1irs +sooX2=o Efectuando una comparación en e1 gue eI apoyo B fuese 500 T,/m entre eI caso estudiacio indeformables: y e1 caso 3.5 Tim 1rf5@ .f-- | +- x --19.10 1.40 l_e.10 | o, ------ _ , ¿.o, ----t---l t '+o 3.5 T/m 3.s372@ ffiel+_- 6'5625 3.9J7s t---.-6.5625 | CI=---_| - *_,.u -__j-I75 3.9375 I 1.55 ,.rrrrf -:;z 2.21 -113-
  • 117. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestáticas De Ia comparación siguiente: En e1 segundo caso Ag = Q , : 0.28 mm E jemplo.' Una viga carga de resorte de rigidez k: entre ambos casos establecemos 1o - Cuando e1 apoyo B es indaformab1e, J.a reacción en é1 es mayor. - S1 momento negativo en A es lra,yor cuando B : se desplaza verticalmente - EI. momento positiVo,eni e1. tra.Eo r"r 1r"yo= .cuando eI ,apoyo B .no -se 'desplaza, -.. 81.-punto de momento: máximo positivo .está más alejado deJ- apoyo A cuando el- apoyo se desplaza. en er primer caso ¿a=I1 =o.ooo28 m 5UUU de madera de 30 x 5 T/m, en e] punto B 5000 T,zm. Determinar 60 cm soporta una se apoya sobre un las reacciones. 5 T/m Escogiendo como redundante la fuerza en ef resorte (apoyo e1ástico) 5 T/m o^Lt- B 6.0 m Ay=25-0.4X2 Cy=25-0.6X2 Tramo AB: 2 4.0 m 2 1U x + AM axz 3 M = ?q. w - ñ ¿ . V^ . v :til M.(:r¡ = 0.16.X2 x'axz' lng. N. González V. @ 2007
  • 118. tf'j '"' ..' : : ; l:1;: . :- . . . -Apuntes y problemas de Estruc{uras Hipeiestáticas Tra.mo CB: M :'25.x - 0.6.X2.x - 2.5.x2 13.68 28.3.t e1ástico, sufre 8.01 una deformación hacia AM , =- --0.6x. oA2 1.5x3M.(*91= 0.36.x2 *2 - ts *2 *'oxz' Aplicando 1a expresión del Trabajo l"llnimo: iry6r*f o so'x, .*' js.r' *t.s.*t ox+f = o Considerando que EI = 13500 T *2 y k = 5000 T/ur ffit, 1.s2.x2-t2o+32a) +-J- (t.6l.xz-320+e6) *¡#*, = 0 11.52 ,, 396 7.68 .. 224 I fus00 ^2 - 13s00 ' 13s00 nz - t s500 * Eooo xz = o Co¡ilo e1 apoyo debajo cie vaior Bes as = 39'31= o.oos7 m = 5.7 mm- 5000 l-----:t I x2=2831 'I 5 T/m N. González V. @ 2007
  • 119. Apuntes y problemas de Estructuras H¡perestáticas CAP 6 METODO DE I,A PENDIENTE - DESVTACION 6.1 INTRODUCCTON Este método fue originar-mente presentado en er.año 1.915 por er profesor G. A, Maney y es conocido también con el- nombre de Método de 3-a .Defozmación..Angu],ar; su aplicación está destinada a la obtención de "oii.itu ciones internas en estructuras indeterminadas, ya sean estas vigas continuas o pórti-cos formados por barras rectilíneas. E] aná1isis de estas estructuras se enfoca considerando como incógnitas 1as rotaciones angulares de ros nudos y sus desplazamientos transversales; con estas magnitudes pueden ser determinado,s 1os momentos flectores en cada cabeza de barra. Antes de obtener 1as ecuaciones fundamentares que rigen elmétodo, centraremos nuestra atención en .a.oad*. argunos procedimientos de cá1curo para det.erminar fas rotaciones angulares y desplazamientos transversales de 10s extremos de barras rectilíneas prismáticas (sección constante) . conocemos l-a existencia de varios procesos para efectuar este trabajo, sin embargo escog:eremos aquel que resulte sencillo y práctico en su aplicación; entonces de todos efl-os utilizaremos ef Método de fa viga conjugada por su facir-idad de r,ranejo. E1 método escogido utiliza fos diagramas de momentos reales como cargas elásticas reducidas sobie Ia viga conjugada;1a fuerza cortante en argún punto de esta vi_ga corresponde a -r-a deformación angular en er- mismo punto de laviga real y 1os momentos flectores a los desjlazamientos transversales respectivamente. En consecuencia utirlzaremos r-as bases de] métocio para cafcular ef momento que se origina en ef extremo ,,j,, y farotación angular def extremo *i,r cuando se aplica un momento t'tij en el extremo "i" de una barra articulada - em,orradarIi- j , de Iongitud ,'L,r y sección const.ante. (f iq. 1) r.----------.--'-_---L i lng. N. González V. @ 2007 (fis.1)
  • 120. Apuntes y problemas de Estrucluras Hiperestáticas Las condiciones de apoyo muestran que: - En eI extremo "j', Ia rotación angular -'Los desplazamientos transversales son Por consiguiente, .Ia viga conjugada y correspondientes a este,caso se muestran +-_-.-_ L _._-_____¡ Por IMi : A1¡ = 0; cie donde: Aplicancio ta ecuación ae (fis .2) 1r-.rUt 1r--1r. 2 'Et'3 2 equilibrio IFy = 6, ,H,-i r r$r es nula (0j : nulos lAij 1ás cargas en l-a fíq.2 0) Aii = 0). e1ásticas M¡j EI lEr.?u = o El ' 3 (6.1) obtenemos: 1 0i =:.12 clespe j ando 0i : Reemplazando (L) en lv1;¡ -M;; 0i = -r---l- ¡ 2.El (2) obtenemos: O¡= MÜ .L q .trt Iit;; = -a-E] g 1L (6 .2) (6.3) (6. 4) o tanüién:
  • 121. f Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestátic€s La expresión (1) permite calcular el momento en e1 extremo It j It cuando se apl j-ca un momento Mij en e1 extremo trirr ! ]a expresión (3) determina 1a rotación angular deI extremo rri,, en funcj-ón del momento aplicado y 1a expresión l4) permite calcular el momento que r se origina cuando eI extremo i sufre una rotación angular 0i dada. No debe. perderse de vista 7a adopción de signos p.ara .Ios momentos y rotacíones angwTares, En nugstro . aná-Lisis adopt.amos que todo sentído de rotacíón horaria es positivo. E1 anál-isis anterior puede inverso mostrado en Ia fig extremo "i" es Mii. I.r- aplicarse análogamente af problema .3, donde e1 momento aplicado en el- ¡lij 0r=o (fiq.3) Ai=A;:0 i"lij 2 M¡i jct .. aLt ^ lvlii = -.ui Lr (6.s) (6.6) t6.7) Cuando ]os extremos de .la barra son perfectamente empotrados y se origina un clesplazamiento transversal del extremo j cuya magnitucl es A (fig.4), en anüos extremos se originan momentos flectores reactivos, eJ-1os pueden determinarse a trawés del método de la viga conjugada de la sigul-ente manera: a. - M¡l L ")- 4a Ing. N. González V. @ 2007
  • 122. .,...'.;.-'.-,...',,..:.,.:.'.,j]jiJ:'.;.].' :;"c. ¡ri¡!".;"a ;e !&&r-'t.*1<4di:+.¿ -i-."-*-4 ---_--l - I Apuntes y problema§ de Eslructuras Hiperestát¡cás tvt¡(ffii .:.:..:. .l:. .::::::: ::::::{l) M¡¡ L _-{_ 0i:o 0:=o I*, 1^ Er (fis.a) Por »Fy = 0: de donde: Por >Mj = ^i de donde: r.tHr-} .,Tfro r,rii = Mii = Y^ o.l, ,Pr, ,3r L-i L rSr I L=o l'',,,-$-tl'l (6.8) (5. s) La expresión (B) m.uestra que fos momentos. originaCos ¡ror un descenso de apoyo, son igrrales en valo¡ y signo. f.a e¡presión(9) perrnite calcul-ar el valor numérico cie dichos momentos en función de ]as caracteristicas geométricas y mecánicas de rabar::a y de la magnitud del desplazamiento de] extrerno ,,j,,. El signo (-) de fa ecuación (9) indica que el sentido real de ]os momentos reactivos en.r-os extremos de ra barra i-j es contra¡io aI asumido. si es e-L apoyo t'irr e1 que sufre un descenso de rnagnitud a, ios momentos reactivos en los extremc.s serán tfitr. Sl r poE aralogÍa: ^I a-- M;; (6.10)
  • 123. Apuntes y problemas de Estructuras Hiperestálicas como aplicación de 1as ecuaciones deducidas,' analizaremos cuatro ejemplos referidos a una viga prismática cuya longitud es de 3.O0 m, de material con un módulo de Lfast¡_áiaaa es E = 2OOOOO kp/oo2 y sección constante bxh =.20 x 60 crn. EjempJ.o 1. horario M = Determinacj_ón de la rotación angular del extremo izquierdo i cuando se aplica en él un momento 3. 6 T-m. T- rT - De (3): 0i = M=3.6r'm(ffi2, .V, ?! qo' - 1 c .. ¡,4 4 1r - J,b x 10-cm' 2-los *3,6 *705 : 1,2 3,6 105 .300 -- = 0.000375 4 .-t,2 . LOt 0 1o10 kp,/cm2 rad (horar.ia) Ejemplo 2. Determinación del extremc izquierdo horaria 0i = 0.0005 radianes. momento que apl-icado en el i que origina una rotación De ec. (4) : 1 .'1 .2 . 7010 M = '- -- .0.000s 300 M = 480000 kp.crn = 4.8 T. m (horario) log. N. González V. @ 2007 120 -