Geometría 1ºeso

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geometría descriptiva de 1ºeso

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Geometría 1ºeso

  1. 1. GEOMETRÍA 1ºESO IES JOSÉ ISBERT. DPTO. MATEMÁTICAS
  2. 2. Ies José Isbert – Dpto. matemáticas 2 PUNTO, RECTA Y PLANO • PUNTO • El punto es la entidad básica de geometría. Carece de dimensiones, es decir no tiene largo, ni ancho ni espesor. Es el lugar de la recta, del plano o del espacio al que es posible asignar una posición. • RECTA • La recta se puede definir como la sucesión de puntos alineados en una misma dirección. Tiene longitud, pero no tiene ni anchura ni espesor. • SEMIRECTA • Una semirecta es cada una de las dos partes en que queda dividida una recta por un punto. Tiene principio, pero no fin. • SEGMENTO • Es la parte de una recta limitada por dos puntos, A y B. Se representa por AB. • PLANO • Es una superficie tal que una recta que tenga dos puntos comunes con ella está contenida totalmente en la misma.
  3. 3. 3 Punto Recta Plano P r π Segmento A B Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  4. 4. 4 POSICIONES DE DOS RECTAS • Dos rectas del plano pueden cortarse o no en un punto común. Si es así se llaman secantes. • De todas las rectas secantes entre sí un caso particular muy importante es cuando forman un ángulo de 90º, en cuyo caso se llaman perpendiculares. • Si dos rectas no se cortan entre sí es que son paralelas. • Un caso particular de rectas paralelas es cuando son coincidentes. r s r s r s r=s Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  5. 5. 5 MEDIATRIZ DE UN SEGMENTO • Es la recta perpendicular a él y que pasa por su punto medio. • Construcción • Desde los extremos del segmento AB se trazan arcos del mismo radio, r. • Dichos arcos se cortarán entre sí en dos puntos. • Uniendo dichos dos puntos de corte tendremos la mediatriz del segmento. r r A B Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  6. 6. 6 • El ángulo es la región del plano limitado por dos rectas que se cortan. • El vértice es el punto común de las dos rectas. • Los lados de un ángulo son las semirrectas que lo forman. • Los ángulos se miden en grados sexagesimales. • Un grado es lo que mide el ángulo que resulta de dividir un ángulo cuyos lados son perpendiculares, en 90 partes iguales y tomar una de ellas. • Se representa por º. • 1º = 60’ (minutos) • 1’ = 60” (segundos) 0º 270º 180º 90º 360º α ÁNGULO EN EL PLANO Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  7. 7. 7 • TRANSPORTADOR • El transportador es un semicírculo graduado que se utiliza para medir ángulos. Está graduado de grado e grado, y en ambos sentidos. • Un ángulo es también la región del espacio limitada por dos planos que se cortan. Una pared y el suelo de una habitación forman un ángulo de 90º. α MEDIDA DE ÁNGULOS Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  8. 8. 8 EXPRESIÓN COMPLEJA E INCOMPLEJA • EXPRESIÓN COMPLEJA E INCOMPLEJA DE ÁNGULOS • Una medida de ángulos se puede escribir como expresión compleja cuando se indican grados (º), minutos (‘) y segundos (“). • Ejemplo: 2º 21’ 14” • Una medida del ángulo se puede escribir como expresión incompleja cuando se indica sólo en una unidad. • Ejemplo: 2’24º • Ejemplo: 214’ • Ejemplo: 1234” • PASO DE EXPRESIÓN COMPLEJA A INCOMPLEJA Y VICEVERSA • Se multiplica por 60, o se divide entre 60 según proceda. Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  9. 9. 9 • Ejemplo_1 • Pasar 2º 32’ a segundos (“). • 2º = 2 x 60 = 120’ • 120’ = 120 x 60 = 7200” • 32’ = 32 x 60 = 1920” • 7200” + 1920” = 9120” • Luego 2º 32’ = 9120” • Ejemplo_2 • Pasar 5º 3’ 12” a minutos (‘) • 5º = 5 x 60 = 300’ • 3’ = 3’ • 12” = 12 / 60 = 0,2’ • 300’ + 3’ + 0,2’ = 303,20’ • Luego 5º 3’ 12” = 303,20’ Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  10. 10. 10 • Ejemplo_3 • Pasar 324’ a grados (º), minutos (‘) y segundos (“). • 324’ = 324 / 60 = 5,40º = 5º + 0,4º • 0,4º = 0,4 x 60 = 24’ • Luego 324’ = 5º 24’ • Ejemplo_4 • Pasar 3,125º a grados (º), minutos (’) y segundos (“). • 3,125º = 3º + 0,125º • 0,125º = 0,125 x 60 = 7,5’ • 7,5’ = 7’ + 0,5’ • 0,5’ = 0,5 x 60 = 30” • Luego 3,125º = 3º 7’ 30” Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  11. 11. 11 • BISECTRIZ DE UN ÁNGULO • Recta que partiendo del vértice cortan el ángulo en dos iguales. • BISECTRICES DE UN TRIÁNGULO • Son tres, pues un triángulo tiene tres ángulos interiores. • Se cortan en un único punto llamado INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita (interior), tangente a los tres lados. Bisectriz α α/2 α/2 Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  12. 12. 12 Construcción de la bisectriz Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  13. 13. 13 • ÁNGULOS • Dos rectas perpendiculares forman un ángulo de 90º. • Decimos entonces que forman un ángulo recto. • Un ángulo es agudo si es menor de 90º • Un ángulo es obtuso si es mayor de 90º • Un ángulo es llano si su medida es de 180º. • Un ángulo es completo si su medida es de 360º • Un ángulo es convexo si su medida está entre 0º y 180º • Un ángulo es cóncavo si medida está entre 180º y 360º Clasificación Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  14. 14. 14 • ÁNGULOS ENTRE SÍ • Dos ángulos son COMPLEMENTARIOS si suman 90º. • Dos ángulos son SUPLEMENTARIOS si suman 180º. • Dos ángulos se llaman OPUESTOS POR EL VÉRTICE si tienen el vértice común y los lados de uno son prolongación de los lados del otro. Clasificación α α αβ β β α + β = 90º α + β = 180º α = β Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  15. 15. 15 • Un ángulo de 90º se llama ángulo … • recto. • Un ángulo de 40º se llama ángulo … • agudo. • Un ángulo de 105º se llama ángulo … • obtuso. • Un ángulo de 180º se llama ángulo … • llano. • Un ángulo de 75º , o de 135º, se llama ángulo … • convexo. • Un ángulo de 150º , o de 300º , se llama ángulo … • Cóncavo. • Un ángulo de 179º se llama ángulo … • obtuso. • Un ángulo de 10º se llama ángulo … • agudo. Ejemplos Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  16. 16. 16 • Dos ángulos de 10º y 80º se llaman ángulos … • complementarios. • Dos ángulos de 45º y 135º se llaman ángulos … • suplementarios. • Dos ángulos de 10º y 20º se llaman ángulos … • agudos. • Dos ángulos de 110º y 70º se llaman ángulos … • suplementarios. • Dos ángulos de 200º y 300º se llaman ángulos … • cóncavos. • Dos ángulos de 89º y 1º se llaman ángulos … • complementarios. • Dos ángulos de iguales y convexos … • No son obligatoriamente opuestos por el vértice. Ejemplos Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  17. 17. 17 SECANTE CORTA A RECTAS PARALELAS • Los ángulos que se forman al cortar una recta secante a dos rectas paralelas son iguales o suplementarios. • Ángulos internos • Son el C, D, E y F • Ángulos externos • Son el A, B, G y H • Ángulos alternos • Son el C y E, el D y F, el A y G, y el B y H • Ángulos correspondientes. • Son el A y E, el B y F, el D y H, y el C y G • Ángulos conjugados. • Son el C y F, el D y E, el A y H, y el B y G. A E C D B F G H t r s A = C = E = G ,, B = D = F = H A+D = B+C = F+G = E+H = 180º A+B = C+D = E+F = G+H = 180º Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  18. 18. 18 ÁNGULOS DE LADOS PARALELOS • Si dos ángulos tienen los lados paralelos y dirigidos en el mismo sentido, los ángulos son iguales. • Si dos ángulos tienen los lados paralelos y están dirigidos en sentido contrario, los ángulos son iguales. • Si dos ángulos tienen los lados paralelos y uno de ellos está dirigido en sentido contrario, los ángulos son suplementarios. α α α α α 180º - α Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  19. 19. 19 • La suma de los ángulos interiores de un triángulo es de 180º. • La suma de los ángulos interiores de un polígono es: • S=180°· (n – 2) , donde n es el número de lados. EJEMPLOS • Triángulo S=180º.(3 – 2)= 180º • Cuadrilátero S=180º.(4 – 2)= 360º • Pentágono S=180º.(5 – 2)= 540º • Hexágono S=180º.(6 – 2)= 720º A = 60º B = 80º C = 40º Ángulos interiores de un triángulo Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  20. 20. 20 POLÍGONOS • POLÍGONO • Un polígono es la región del plano limitada por una línea poligonal cerrada. • Un polígono es regular si tiene sus ángulos y lados iguales. De lo contrario es irregular. • ELEMENTOS DE UN POLÍGONO REGULAR • Centro: punto interior que está a igual distancia de todos los vértices. • Radio: Segmento que une el centro con un vértice. El centro y el radio del polígono son también de la circunferencia circunscrita. • Apotema: segmento perpendicular que va desde un lado hasta el centro del polígono • Ángulo central: ángulo comprendido entre dos radios consecutivos • Ángulo interno: ángulo comprendido entre dos lados consecutivos Línea poligonal abierta Línea poligonal cerrada Polígono regular Ies José Isbert – Dpto. matemáticas Apotema Radio Centro
  21. 21. 21 • Sea P un punto cualquiera de la superficie de un polígono cualquiera. • Desde el punto P trazamos rectas a cada uno de los vértices del polígono. • El polígono queda dividido en triángulos, tantos como número de lados tenga. • Los ángulos centrales de un polígono suman siempre 360º. • Los ángulos de cada triángulo en que se descompone suman siempre 180º Ángulos centrales de un polígono P Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  22. 22. 22 Tipos de polígonos • SEGÚN EL NÚMERO DE LADOS • Lados = 3 • TRIÁNGULOS • Lados = 4 • CUADRILÁTEROS • Lados = 5 • PENTÁGONOS • Lados = 6 • HEXÁGONOS • Lados = 7 • HEPTÁGONOS • Lados = 8 • OCTÓGONO • ETC. • SEGÚN LOS ÁNGULOS INTERIORES • Todos los ángulos interiores son convexos, menores de 180º. • POLÍGONO CONVEXO • Algún ángulo interior es cóncavo, mayor de 180º. • POLÍGONO CÁNCAVO Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  23. 23. 23 TRIÁNGULOS Polígono de 3 lados Polígono de 6 lados Polígono de 10 lados • DEFINICIÓN: • Un triángulo (TRI-ángulo) es un polígono que presenta tres ángulos. • Un polígono como mínimo presenta siempre tres ángulos y en consecuencia tres lados. • Un polígono presenta siempre el mismo número de vértices que de lados. Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  24. 24. 24 Clasificación por sus lados: ESCALENO ISÓSCELES EQUILATERO 3 lados desiguales 2 lados iguales 3 lados iguales b = 4 a = 5 c = 6 b = 6 a = 6 c = 4 b = 4 a = 4 c = 4 CLASIFICACIÓN Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  25. 25. 25 Clasificación por sus ángulos: ACUTÁNGULO RECTÁNGULO OBTUSÁNGULO Los tres ángulos agudos Un ángulo recto Un ángulo obtuso A = 50º < 90º B = 60º < 90º C = 70º < 90º A = 50º B = 40º C = 90º C = 20º A = 40º B = 120º > 90º Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  26. 26. 26 1. Para que se pueda formar un triángulo se necesita siempre que la suma de dos lados sea superior al tercer lado. En caso contrario nunca se podrá cerrar el triángulo 2. La suma de los ángulos internos de un triángulo vale siempre 180° 3. En un triángulo isósceles la altura siempre pasa por la mitad del lado desigual 4. A mayor ángulo interno, se le opone mayor lado Propiedades de los triángulos Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  27. 27. 27 • MEDIATRICES.- Rectas perpendiculares a un lado y que pasan por el punto medio de dicho lado. Corte único de las mediatrices: CIRCUNCENTRO, que es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo. • BISECTRICES.-Rectas que partiendo del vértice parten el ángulo en dos iguales. Corte único de bisectrices: INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita (interior), tangente a los tres lados. • ALTURAS.- Rectas perpendiculares a los lados y que parten del vértice opuesto a cada uno de ellos. Corte único de alturas: ORTOCENTRO. • MEDIANAS.- Rectas que van del vértice al punto medio del lado opuesto. Dividen el triángulo en dos regiones de igual área. Corte único de medianas: BARICENTRO, que es el centro de gravedad del triángulo RECTAS NOTABLES DE UN TRIÁNGULO Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  28. 28. 28 Mediatrices B MEDIATRICES: Rectas que cortan perpendicularmente a cada lado de un triángulo por su punto medio. Se cortan en un punto llamado Circuncentro, que es el centro de la circunferencia circunscrita ( que pasa por los tres vértices ). A C a c b C Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  29. 29. 29 Medianas A C B a c b MEDIANAS: Rectas que van del vértice al punto medio del lado opuesto. Generan dos triángulos de igual área. Se cortan en un único punto llamado Baricentro, que es el centro de gravedad del triángulo. G Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  30. 30. 30 Medianas A C B a c b G RELACCIÓN DE ÁREAS: Una mediana cualquiera divide al triángulo en dos triángulos de igual área (cada uno de ellos de área la mitad que el triángulo original). Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  31. 31. 31 Alturas A C B a c b ALTURAS: Rectas perpendiculares a cada lado y que pasan por el vértice opuesto . Se cortan en un punto llamado Ortocentro. O Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  32. 32. 32 Bisectrices A C B a c b BISECTRICES: Rectas que dividen en dos el ángulo correspondiente al vértice del que parte. Se cortan en un punto llamado INCENTRO, que es el centro de la circunferencia inscrita ( dentro del triángulo y tocando a sus lados ). IA/2 A/2 Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  33. 33. 33 TRIÁNGULO: PERÍMETRO Y SUPERFICIE h C a c b Ies José Isbert – Dpto. matemáticas • El perímetro de un triángulo es igual a la suma de sus tres lados • El área de un triángulo es igual al lado base por la altura dividido entre dos. Si cogemos dos triángulos iguales y los superponemos convenientemente vemos que se forma un romboide cuya superficie es igual a la base por la altura. Luego, un triángulo vale la mitad que ese romboide P = a + b + c S = b ·h / 2
  34. 34. 34 CUADRILÁTEROS • CUADRILÁTEROS Son polígonos de cuatro lados. Pueden ser cóncavos o convexos • CLASIFICACIÓN: Por el paralelismo de sus lados 1. PARALELOGRAMOS, lados paralelos dos a dos. Cuadrado. Tiene iguales los cuatro lados y los cuatro ángulos. Rectángulo. Tiene iguales los cuatro ángulos. Rombo. Tiene iguales los cuatro lados. Romboide. Tiene lados iguales dos a dos. 2. TRAPECIOS, dos lados paralelos. Trapecio isósceles. Tiene iguales los lados no paralelos. Trapecio rectángulo. Tiene dos ángulos rectos. Trapecio escaleno. No tiene ángulos rectos, y son desiguales los lados no paralelos. 3. TRAPEZOIDES, no tienen lados paralelos. A destacar un caso particular, la cometa, que tiene sus lados iguales dos a dos, y sus diagonales perpendiculares. Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  35. 35. 35 CUADRILATEROS CONVEXOS Cuadrado Rectángulo Rombo Romboide Trapecios Trapezoides Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  36. 36. 36 PARALELOGRAMOS • Un paralelogramo es un cuadrilátero que tiene los lados opuestos paralelos dos a dos. • Los paralelogramos tienen los lados opuestos iguales. • Los paralelogramos tienen los ángulos opuestos iguales. • Las diagonales se cortan en su punto medio. • Las diagonales de un cuadrado son iguales y son perpendiculares. • Las diagonales de un rectángulo son iguales y no son perpendiculares. • Las diagonales de un rombo no son iguales pero son perpendiculares. • Las diagonales de un romboide no son iguales ni son perpendiculares. Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  37. 37. 37 • Cuadrilátero que tiene los cuatro lados y ángulos iguales a 90º. • Sus diagonales son iguales y perpendiculares: d=d’ • Dos lados contiguos con la diagonal forman un triángulo rectángulo. • Por Pitágoras: d=d’ = √( l2 + l2 ) = √2.l2 = l.√2 • El perímetro de un cuadrado vale cuatro veces el lado: P=4.l • La superficie es igual al lado al cuadrado: S = l² l l l l d d’ d = l.√2 CUADRADO P = 4.l Ies José Isbert – Dpto. matemáticas S= l²
  38. 38. 38 b h • Cuadrilátero que tiene los cuatro lados paralelos e iguales dos a dos. • Los cuatro ángulos interiores son iguales a 90º. • Las diagonales son también iguales: d=d’. • Las diagonales, al cortarse, no forman un ángulo recto. • Dos lados contiguos con la diagonal forman un triángulo rectángulo. • Por Pitágoras: d=d’ = √( b2 + h2 ) • El perímetro es el doble de la suma de su largo y su ancho: P=2.b+2.h • Su superficie es igual a la base por su altura S = b · h d = √( b2 + h2 ) b h d’ d RECTÁNGULO P = 2.b + 2.h Ies José Isbert – Dpto. matemáticas S = b ·h
  39. 39. 39 • Cuadrilátero que tiene los cuatro lados iguales y paralelos dos a dos. • Sus ángulos son iguales dos a dos. • Sus diagonales son siempre distintas y perpendiculares. • Un lado con las semidiagonales forman un triángulo rectángulo. • Por Pitágoras: l = √ * (D/2)2 + (d/2)2 ] • Su perímetro vale cuatro veces el lado: P= 4·l • Su superficie es igual a la mitad del producto de sus diagonales: S = ½ · D· d l l ll D d ROMBO d/2 D/2 Ies José Isbert – Dpto. matemáticas L = √ * (D/2)2 + (d/2)2 ] P = 4.l S=1/2· D·d
  40. 40. 40 Los lados y ángulos son iguales y paralelos dos a dos. • Sus diagonales son distintas, cortándose en su punto medio, nunca forman un ángulo recto. • La altura, el lado oblicuo y la proyección de dicho lado, p, forman un triángulo rectángulo. • Por Pitágoras: l = √ (h2 + p2) • El perímetro es el doble de la suma de la base más el lado oblicuo: P=2.b+2.l • Su superficie es igual a la base por la altura (no por el lado oblicuo) b l l h b d’ d b l l h b ROMBOIDE p Ies José Isbert – Dpto. matemáticas l = √( p2 + h2 ) P = 2.b + 2.l S = b ·h
  41. 41. 41 • Un trapecio es el cuadrilátero que tiene dos lados ( bases) paralelos, otros dos lados no paralelos, y por altura la distancia entre bases. La base mayor se designa por “B” y la base menor por “b”. Las diagonales pueden o no ser iguales o perpendiculares. • Hay tres tipos de trapecios: Rectángulos, isósceles y escalenos. • PROPIEDAD • Si unimos dos trapecios, como en la figura, se forma un romboide. De esta propiedad podemos obtener la fórmula de su área. TRAPECIOS b B h B b b B l l ’ Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  42. 42. 42 • TRAPECIO ISÓSCELES • Es aquel en que los dos lados no paralelos son IGUALES. • Se podría decir que es la parte de un triángulo isósceles que queda entre su base y una recta paralela a dicha base. • En el trapecio isósceles la semidiferencia de las bases, la altura y el lado oblicuo forman un triángulo rectángulo. • Por ello se puede determinar la altura conociendo las bases y el lado oblicuo; o también se puede determinar el lado oblicuo conociendo las bases y la altura. b B l l h Por el Teorema de Pitágoras: l = √ (h2 + [ ( B – b ) / 2 ]2 ) l = lado oblicuo = hipotenusa. TRAPECIO ISÓSCELES Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  43. 43. Apuntes Matemáticas 1º ESO 43 B b En el triángulo rectángulo que se resalta, por el Teorema de Pitágoras: l = √ ( h2 + ( B – b )2 )h TRAPECIO RECTÁNGULO • TRAPECIO RECTÁNGULO • Es aquel en que uno de los lados no paralelos es perpendicular a las bases, formando dos ángulos rectos. • En él la diferencia de las bases, la altura y el lado oblicuo forman un triángulo rectángulo. l’=h B – b l El perímetro es la suma de sus cuatro lados: P = B + b + h + l Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  44. 44. Apuntes Matemáticas 1º ESO 44 • Es aquel cuadrilátero que no tiene ningún par de lados paralelos. • Un caso particular de trapezoide es la cometa, donde las diagonales son perpendiculares (como el rombo o el cuadrado) y los lados iguales dos a dos. Ello hace que se forme un triángulo rectángulo, y por consiguiente se pueda utilizar el teorema de Pitágoras para su construcción. TRAPEZOIDE ESPECIAL: LA COMETA d Ies José Isbert – Dpto. matemáticas P = 2.L + 2.l S = ½· (D · d)D l L
  45. 45. Apuntes Matemáticas 1º ESO 45 Teorema de Pitágoras. • En un triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de cuadrados de los catetos. • a2 = b2 + c2 a b c Los triángulos sagrados de los agrimensores egipcios ya empleaban los triángulos de lados 3,4 y 5 y de 5,12 y 13 nudos para hallar ángulos rectos. Tres números enteros que verifiquen el Teorema de Pitágoras se dice que forman una terna pitagórica. Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  46. 46. Apuntes Matemáticas 1º ESO 46 Cálculo de la hipotenusa • En un triángulo rectángulo, los catetos miden 3 y 4 cm. Hallar la hipotenusa. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • a2 = 32 + 42 • a2 = 9 + 16 • a2 = 25  Hipotensa a = √25 = 5 cm • En un triángulo rectángulo, los catetos miden 5 y 12 cm. Hallar la hipotenusa. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • a2 = 52 + 122 • a2 = 25 + 144 • a2 = 160  Hipotensa a = √169 = 13 cm a b c Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  47. 47. Apuntes Matemáticas 1º ESO 47 Cálculo de los catetos • En un triángulo rectángulo un cateto mide 8 cm y la hipotenusa mide 10 cm. Hallar el otro cateto. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • De donde: c2 = a2 – b2 • c2 = 102 – 82 • c2 = 100 – 64 • c2 = 36  Cateto c = √36 = 6 cm • En un triángulo rectángulo un cateto mide 21 cm y la hipotenusa mide 29 cm. Hallar el otro cateto. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • De donde: c2 = a2 – b2 • c2 = 292 – 212 • c2 = 841 – 441 • c2 = 400  Cateto c = √400 = 20 cm a b c Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  48. 48. Apuntes Matemáticas 1º ESO 48 Cálculo de los catetos • En un triángulo rectángulo un cateto mide 9 cm y la hipotenusa mide 41 cm. Hallar el otro cateto. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • De donde: c2 = a2 – b2 • c2 = 412 – 92 • c2 = 1681 – 81 • c2 = 1600  Cateto c = √1600 = 40 cm • En un triángulo rectángulo un cateto mide 35 cm y la hipotenusa mide 37 cm. Hallar el otro cateto. • Por el T. de Pitágoras: a2 = b2 + c2 • De donde: c2 = a2 – b2 • c2 = 372 – 352 • c2 = 1369 – 1225 • c2 = 144  Cateto c = √144 = 12 cm a b c Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  49. 49. 49 Reconocimiento de triángulos • Sea un triángulo de lados a, b y c, donde a es el lado mayor. • Si a2 = b2 + c2  El triángulo es RECTÁNGULO. • Tiene un ángulo recto (90º) opuesto al lado a. • Si a2 < b2 + c2  El triángulo es ACUTÁNGULO. • Los tres ángulos son menores de 90º. • Si a2 > b2 + c2  El triángulo es OBTUSÁNGULO. • Tiene un ángulo obtuso, mayor de 90º, el opuesto al lado a. a a a b c b c b c A=90º A<90º A>90º Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  50. 50. 50 • Ejercicios • 1.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 7, 5 y 10 cm respectivamente?. • Resolución • El mayor, 10, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. • Como a2 = b2 + c2  102 = 72 + 52  100 = 49 + 25  100 = 74  100 > 74 • Como 100 > 74 es un triángulo obtusángulo. • 2.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 60, 11 y 61 cm respectivamente?. • Resolución • El mayor, 61, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. • Como a2 = b2 + c2  612 = 602 + 112  3721 = 3600 + 121  • Efectivamente 3721 = 3721, luego es un triángulo rectángulo. • 3.- ¿Qué tipo de triángulo es aquel cuyos lados miden 10, 11 y 12 cm respectivamente?. • Resolución • El mayor, 12, deberá ser la hipotenusa si es un triángulo rectángulo. • Como a2 = b2 + c2  122 = 112 + 102  144 = 121 + 100  144 = 221  144 < 121 • Como 144 < 121 es un triángulo acutángulo. Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  51. 51. Apuntes Matemáticas 1º ESO 51 • Ejemplo_1 • Al construir un marco para una ventana rectangular, un carpintero mide el largo y la diagonal, que le dan 8 dm y 10 dm respectivamente. ¿Qué tiene que medir el alto para que el marco esté bien hecho?. • Como la ventana ha de ser un rectángulo, se debe cumplir el Teorema de Pitágoras: • a2 = b2 + c2  102 = 82 + h2  • h2 = 100 – 64  • h2 = 36  h = 6 dm debe medir. • La otra solución de la ecuación, h = - 6 cm • Es imposible porque sólo hay longitudes positivas. Problemas de Pitágoras 10 cm h 8 cm Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  52. 52. Apuntes Matemáticas 1º ESO 52 • Ejemplo_2 • Una escalera mide 13 m de larga. La colocamos inclinada sobre una pared, de modo su base está separada 5 m de la pared. • ¿Qué altura alcanza la escalera en estas condiciones?. • Como pared y el suelo forman un ángulo de 90º, podemos aplicar el Teorema de Pitágoras: • a2 = b2 + c2  132 = 52 + h2  • 169 = 25 + h2  • h2 = 169 – 25 = 144 • h = √144 = 12 m alcanza la escalera. • La otra solución, - 12 m , no vale. Problemas de Pitágoras 13 m h 5 m Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  53. 53. Apuntes Matemáticas 1º ESO 53 • Ejemplo 1 • Hallar la diagonal de un cuadrado de 15 cm de lado. • d= l.√2 = 15.√2 m. • Ejemplo 2 • Hallar el lado de un cuadrado cuya diagonal mide √2 cm. • d= l.√2  √2 = l.√2  Aplicando la Regla del Producto: • √2 / √2 = l • l = 1 cm • Ejemplo 3 • Hallar el área de un cuadrado cuya diagonal mide 5. √2 cm. • d= l.√2  5.√2 = l.√2  Aplicando la Regla del Producto: • 5.√2 / √2 = l  5 = l • l = 5 cm • Y ahora ya se puede calcular el área al conocer el valor del lado: • A = l2 = 52 = 25 Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  54. 54. Apuntes Matemáticas 1º ESO 54 • Ejemplo_4 • Hallar el lado, el perímetro y la diagonal de un cuadrado sabiendo que su área vale 49 cm2 • Calculamos el lado al tener el área: • A = l2  l = √A = √49 = 7 cm • Calculamos la diagonal al conocer el lado: • d = l.√2  d = 7.√2 cm • Calculamos el perímetro: • P = 4.l = 4.7 = 28 cm • Ejemplo_5 • Hallar el lado, el área y la diagonal de un cuadrado sabiendo que su perímetro mide 20 cm • Calculamos el lado para poder hallar el área y la diagonal: • P = 4.l  l = P / 4 = 20 / 4 = 5 cm • A = l2  A = 52 = 25 cm2 • d = l.√2  d = 5.√2 cm Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  55. 55. Apuntes Matemáticas 1º ESO 55 • Ejemplo 1 • Hallar la diagonal de un rectángulo de lados 3 y 4 cm. • Por Pitágoras: • d= √( b2 + h2 ) = √( 32 + 42 ) = √25 = 5 cm • Ejemplo_2 • En un rectángulo la base mide 5 cm y la diagonal mide 13 cm. Hallar el perímetro y el área. • Necesitamos conocer la altura. • Por Pitágoras: • d2 = b2 + h2  h2 = d2 – b2 • h2 = 132 – 52 = 169 – 25 = 144 • h = √144 = 12 cm • Hallamos el perímetro al conocer la base y la altura: • P= 2.b+2.h = 2.5+2.12 = 10+24 = 34 cm • Hallamos el área al conocer la base y la altura: • A= b.h = 5.12 = 60 cm2 Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  56. 56. Apuntes Matemáticas 1º ESO 56 • Ejemplo_5 • En un rectángulo la altura mide 21 cm y la base mide 20 cm. Hallar la diagonal, el perímetro y el área. • Perímetro = 2b + 2h = 2·20 + 2·21 = 40 + 42 = 82 cm • La diagonal, aplicando el T. de Pitágoras, al conocer los dos catetos será: • d2 = b2 + h2 • d2 = 202 + 212 = 400 + 441 = 841 cm2 • d = √841 = 29 cm • El área valdrá: • A= b.h • A = 20.21 = 420 cm2 Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  57. 57. 57 POLÍGONOS REGULARES: PERÍMETROS Y ÁREAS • El perímetro de un polígono regular es igual al número de lados por la longitud de un lado. P = n · l • El área de un polígono regular es igual al perímetro por la apotema dividido por 2. S = P · apot / 2 Si te fijas, puedes descomponer cualquier polígono regular desde el centro del polígono en tantos triángulos isósceles como lados tiene. La superficie de un triángulo es l ·apot /2 Ahora bien, como tienes tantos triángulos como lados, debes multiplicar por el número de lados y como sabes P = n · l Ies José Isbert – Dpto. matemáticas Apotema l P = n · l S = P · apot / 2
  58. 58. Apuntes Matemáticas 1º ESO 58 CIRCUNFERENCIA • CIRCUNFERENCIA • Una circunferencia es una línea curva, cerrada y plana cuyos puntos están a la misma distancia (equidistan) de un punto interior llamado centro. • ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA • Centro: • Punto interior tal que la distancia del mismo a cualquier punto de la circunferencia es la misma. • Radio: • Segmento que une el centro con cualquier punto de la circunferencia. • Diámetro: • Segmento que, pasando por el centro, une dos puntos de la circunferencia. • El diámetro es el doble del radio. O R D A P B Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  59. 59. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO 59 CIRCUNFERENCIA • ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA • Cuerda: • Segmento que une dos puntos de la circunferencia. • El diámetro es la mayor de las cuerdas. • Arco: • Parte de la circunferencia comprendida • entre dos puntos. • Semicircunferencia: • Media circunferencia. Cada una de las • partes en que un diámetro divide a una circunferencia. • LONGITUD DE UNA CIRCUNFERENCIA L = 2.π.r Arco A B Cuerda Semicircunferencia Diámetro O
  60. 60. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO 60 CÍRCULO Y SECTOR CIRCULAR r r • CÍRCULO • Es la parte del plano limitada por una circunferencia. • El centro y el radio del círculo son el centro y el radio de la circunferencia. Superficie: S = π.r2 • SECTOR CIRCULAR • Es la parte del círculo comprendida entre dos radios y el arco correspondiente. • Su superficie es el área de un círculo multiplicado por el ángulo central (α) y dividido por 360º S = π·r²·α/360 O O α
  61. 61. @ Angel Prieto Benito Apuntes Matemáticas 1º ESO 61 • CORONA CIRCULAR • Es la superficie plana que se encuentra entre dos círculos concéntricos ( de mismo centro). • El círculo mayor de radio R. • El círculo menor de radio r. Su superficie es la de un círculo grande menos un círculo pequeño. S = πR² - πr² = π (R² -r²) • SEGMENTO CIRCULAR Es la parte del plano comprendida entre una cuerda y el arco de circunferencia correspondiente. Su superficie es la correspondiente a un sector circular menos un triángulo isósceles. r R CORONA CIRCULAR r r A BArco
  62. 62. Apuntes Matemáticas 1º ESO 62 Ángulo central • ÁNGULO CENTRAL • El ángulo central de una circunferencia es el que tiene el vértice en el centro. • En la figura grande el ángulo central, α, es de 60º. El arco correspondiente AB es también de 60º , aunque en longitud mide 5 cm. • En la figura pequeña el ángulo central, α, es de 60º. El arco correspondiente AB es también de 60º , pero en longitud mide 2 cm. • • Dos arcos pueden tener la misma medida angular (en º sexagesimales), pero distintas longitudes ( en metros). α α A B A B Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  63. 63. Apuntes Matemáticas 1º ESO 63 Ángulo inscrito • ÁNGULO INSCRITO • Un ángulo inscrito en una circunferencia es el que tiene su vértice en la circunferencia y sus lados son secantes. • La medida de un ángulo inscrito es la mitad del ángulo central correspondiente. • En la figura, el ángulo inscrito ABD vale 30º, pues el ángulo central correspondiente AOD vale 60º. • Lo mismo vale el ángulo inscrito ACD, o sea 30º, al tener el mismo ángulo central. • En una circunferencia pues hay infinitos ángulos inscritos que tienen el mismo valor. A C OB D Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  64. 64. Apuntes Matemáticas 1º ESO 64 Ángulo inscrito en una semicircunferencia • Ángulo inscrito en una semicircunferencia • El ángulo CAB abarca un arco de 180º (parte de abajo, invisible, de la circunferencia). • Por lo tanto, al ser el ángulo inscrito la mitad, resulta ser de 90º siempre. O C A B 90º 180º A’ Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  65. 65. Apuntes Matemáticas 1º ESO 65 • Poliedros • Son cuerpos sólidos limitados por polígonos. • En todos ellos se cumple el TEOREMA DE EULER: • CARAS + VERTICES = ARISTAS + 2 POLIEDROS Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  66. 66. Apuntes Matemáticas 1º ESO 66 POLIEDROS REGULARES • Un poliedro es regular si todas sus caras son polígonos regulares e iguales y en todos sus vértices concurren el mismo número de caras o de aristas. • Hay cinco: • Tetraedro, formado por cuatro triángulos equiláteros. • Cubo, formado por seis cuadrados. • Octaedro, formado por ocho triángulos equiláteros. • Dodecaedro, formado por doce pentágonos. • Icosaedro, formado por veinte triángulos equiláteros. • Se les conoce con el nombre de sólidos platónicos en honor a Platón. • Platón asigna el fuego al tetraedro , la tierra al cubo , el aire al octaedro , el agua al icosaedro y el universo al dodecaedro. • • Son especialmente importantes por sus propiedades, belleza y presencia en la vida real. Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  67. 67. Apuntes Matemáticas 1º ESO 67 TETRAEDRO • Tiene 4 caras iguales. • Cada cara es un triángulo equilátero. • Presenta 4 vértices, y en cada vértice se forma un ángulo triedro. • Tiene 6 aristas, y por tanto en cada arista confluyen dos semiplanos, habiendo seis ángulos diedros. • Se cumple el Teorema de Euler: • C+V = A+ 2 • 4+4=6+2 Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  68. 68. Apuntes Matemáticas 1º ESO 68Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  69. 69. Apuntes Matemáticas 1º ESO 69 HEXAEDRO O CUBO • Tiene 6 caras iguales. • Cada cara es un cuadrado • Presenta 8 vértices, y en cada vértice se forma un ángulo triedro. • Tiene 12 aristas, y por tanto en arista confluyen dos semiplanos, habiendo doce ángulos diedros. • Se cumple el Teorema de Euler: • C+V = A+ 2 • 6+8=12+2 Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  70. 70. Apuntes Matemáticas 1º ESO 70Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  71. 71. Apuntes Matemáticas 1º ESO 71 OCTOEDRO • Tiene 8 caras iguales. • Cada cara es un triángulo equilátero. • Presenta 6 vértices, y en cada vértice se forma un ángulo tetraedro. • Tiene 12 aristas, y por tanto en arista confluyen dos semiplanos, habiendo doce ángulos diedros. • Se cumple el Teorema de Euler: • C+V = A+ 2 • 8+6=12+2 Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  72. 72. Apuntes Matemáticas 1º ESO 72Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  73. 73. Apuntes Matemáticas 1º ESO 73 DODECAEDRO • Tiene 12 caras iguales. • Cada cara es un pentágono. • Presenta 20 vértices, y en cada vértice se forma un ángulo triedro. • 12 caras x 5 lados/cara: 3 caras/vértices= 20 vértices • Tiene 30 aristas, y por tanto en arista confluyen dos semiplanos, habiendo treinta ángulos diedros. • Se cumple el Teorema de Euler: • C+V = A+ 2 • 12+20=30+2 Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  74. 74. Apuntes Matemáticas 1º ESO 74Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  75. 75. Apuntes Matemáticas 1º ESO 75 ICOSAEDRO • Tiene 20 caras iguales. • Cada cara es un triángulo equilátero. • Presenta 12 vértices, y en cada vértice se forma un ángulo pentadiedro. • 20 caras x 3 lados/cara: 5 caras/vértices= 12 vértices • Tiene 30 aristas, y por tanto en arista confluyen dos semiplanos, habiendo treinta ángulos diedros. • Se cumple el Teorema de Euler: • C+V = A+ 2 • 20+12=30+2 Ies José Isbert – Dpto. matemáticas
  76. 76. Apuntes Matemáticas 1º ESO 76Ies José Isbert – Dpto. matemáticas

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