1. Konsep Dasar Pendugaan Parameter
• Pendugaan parameter adalah mempersoalkan tentang bagaimana cara
menduga atau menguji hipotesis tentang parameter populasi yang
belum diketahui, dengan contoh acak dan hitung peluang.
• Dugaan tehadap parameter populasi dapat berupa titik atau selang.
• Kelakuan populasi yang akan ditinjau disini hanyalah mengenai
parameter populasi dan sampel yang digunakan adalah sampel acak.
Data dari sampel dianalisis, dihitung, dan diperoleh nilai-nilai statistik
ini kita simpulkan bagaimana parameter bertingkah laku.
• Jadi harga parameter yang sebenarnya tetapi tak diketahui itu akan
ditaksir berdasarkan statistik sampel yang diambil dari populasi yang
bersangkutan.
• Parameter populasi yang akan ditaksir dan akan diuraikan ini
terutama adalah : rata-rata, simpangan baku dan proporsi.
Back Next

2. • Secara umum parameter populasi diberi simbul θ (baca theta) jadi θ
bisa berupa rata-rata μ simpangan baku α, proporsi Π dan sebagainya.
Jika θ yang tidak diketahui harganya diduga oleh θ maka θ dinamakan
penaksir. Jelas diinginkan θ = θ tetapi ini hanya merupakan suatu
keinginana yang ideal sifatnya, kenyataan yang terjadi adalah :
1. menaksir θ oleh θ terlalu tinggi
2. menaksir θ oleh θ terlalu rendah.
• Kedua ini jelas tidak diinginkan oleh peneliti karena kita mengiginkan
penaksir yang baik.
Back Next

3. Pendugaan Parameter
Penduga dikatakan terbaik apabila memiliki ciri-ciri sebagai berikut:
•Tak bias (unbiasedness)
Suatu penduga dapat dikatakan tak bias apabila nilai harapan dari
penduga tersebut adalah sama dengan nilai parameter yang diduga.
Seperti:
E()=μ
E (s) = ơ
E (þ) = p
•Efisiensi (efficiency)
Jika ada beberapa penduga tak bias, maka penduga yang
mempunyai ragam terkecil merupakan penduga yang paling efisien. Jadi
makin kecil ragam suatu penduga maka penduga tersebut makin efisien.
Next
Back

4. • Kecukupan (surfficiency)
Suatu penduga selain tak bias dan efisien masih ada kriteria lain yaitu
bahwa penduga tersebut harus mengandung semua informasi tentang
parameter populasi atau dengan kata lain penduga tersebut harus
mempunyai syarat kecukupan.
Dalam hal ini median dan modus bukanlah penduga yang
berkecukupan karena hanya mencakup satu nilai pada pertengahan
data yang telah diurutkan atau nilai yang mempunyai frekuensi
tertinggi.
• Konsistensi (consistency)
Suatu penduga dikatakan konsisten apabila jumlah kuadrat galatnya
mendekati nol kalau ukuran contoh mendekati tak hingga.
Back Next

5. Cara-cara menduga/menaksir
Menduga μ
Secara umum penduga μ adalah X denagn rumus
= n
X = (∑ Xi) / n
i= 1
• Penduga/titik taksiran untuk sebuah parameter μ misalkan harganya akan
berlainan tergantung pada harga X yang didapatkan dari sample yang diambil.
Karena orang sering merasa kurang yakin atau kurang percaya atas hasil
penduga macam ini. Sebagai gantinya dipakai interval pendugaan atau selang
taksiran yaitu menduga suatu parameter diantara batas-batas dua harga denagn
tingkat kepercayaa yang telah ditentukan.
•Jika koefisien kepercayaan dinyatakan dengan α maka besarnya 0<α< 1. harga
∂ yang digunkana tergantung pada persoalan yang dihadapi dan keyakinan
peneliti. Namun yang biasa digunakan ialah 0,95 atau 0,99.
Back Next

6. • Jadi pendugaan θ yang dimaksud adalah :
P(A < θ <B) = α
P: peluang yang diiginkan
A: batas bawah pendugaan
B:batas atas pendugaan
θ: parameter yang diduga
α: koefisien kepercayaan pendugaan
• Perumusan ini berarti bahwa peluang θ terletak diantara nilai A dan B
sebesar α. Dalam penelitian A dan B dihitung harganya berdasarkan
data sampel maka A dan B merupakan bilangan tetap. Maka
perumusan diatas berarti kita merasa percaya sebesar α bahwa
parameter θ akan ada didalam interval ( A,B).
Back Next

7. Aplikasi Pendugaan Parameter
• Pendugaan rata-rata μ
Misalkan kita mempunyai suatu populasi berukuran N dengan rata-rata μ dan
simpangan baku α. Dari populasi ini parameter rata-rata μ akan diduga dengan .
untuk keperluan ini kita mengambil sample sebesar n dan hitung rata-ratanya ( ) jika
data berasal dari populasi yang menyebar normal dan α diketahui maka :
P ( – Z 1/2α α/√n < μ < + Z1/2α α/√n) =α
Disini Z1/2α nilainya diambil dari tabel normal baku untuk peluang ½ α. Jadi interval
kepercayaan parameter μ sebesar α adalah :
– Z1/2α α/√n<μ< +Z1/2α α/√n
Atau
± Z1/2α α/√n
Back Next

8. Dalam penelitian /kenyataan parameter α tidak diketahui,sehingga interval
kepercayaan parameter μ sebesar α menjadi
– t ½ α s/√n < μ < X + t 1/2α s/√n
Atau
± t 1/2α s/√n
Dimana t 1/2α nilainya diambil dari tabel t dan s dicari dengan rumus:
n _
(X - X )2
∑_______
τ = SD = i =1
(n − 1)
Jika ukuran sample berhingga yaitu sebesar N yakni (n/N) > 5% maka:
s N−n s N−n s N −n
X − t1 / 2α < X + t1 / 2α Χ − t 1 / 2α
n N −1 n N −1 atau n N −1
Back Next

9. • Pendugaan proporsi Π
Populasi binomial berukuran N dimana terdapat proporsi Π untuk suatu peristiwa
yang terdapat didalam populasi tersebut. Bila di dalam sampel acak berukuran n
diambil dari populasi itu.
Sehingga interval kepercayaannya dengan pendekatan normal dengan n cukup besar
menjadi :
Dengan p = x/n dan q = 1 – p sedangkan Z1/2γ adalah bilangan z didapat dari daftar
normal baku untuk peluang 1/2γ.
Contoh :
Misalkan kita ingin menaksir da berapa persen anggota masyarakat berumur 15 tahun
ke atas yang termasuk golongan A. untuk ini sampel acak berukuran n = 1200
diambil yang menghasilkan 504 tergolong kategori A.
Persentase golongan A dalam sampel =
Back Next

10. Jika ditaksir ada 42% anggota masyarakat berumur 15 tahun ke atas yang termasuk
golongan A maka dalam hal ini telah digunakan titik taksiran. Untuk menentukan
95% interval kepercayaan parameter Π maka rumus diatas dapat digunakan
Dengan p = 0,42 ; q = 0,58 ; dan Z0,475 = 1,96 maka
Atau 0,39 < Π < 0,45
Kita merasa yakin bahwa persentase anggota masyarakat yang termasuk golongan A
akan ada dalam interval 39% dan 45%.
Next
Back

11. • Pendugaan Simpangan Baku / Ragam
Untuk menaksir varians dari sebuah populasi sampel varians s 2 berdasarkan sampel
acak berukuran n perlu dihitung dengan rumus:
Ternyata bahwa varians s2 adalah penaksir tak bias untuk varias Ơ2. Akan tetapi
simpangan baku s bukan penaksir tak bias untuk simpangan baku Ơ2. Jadi titik
taksiran s untuk Ơ2 adalah bias.
Jika populasinya berdistribusi normal dengan varians Ơ2 maka 100 γ % interval
kepercayaan untuk Ơ2 ditentukan dengan menggunakan distribusi chi-kuadrat.
Rumusnya adalah:
Dengan n = ukuran sampel sedangkan X21/2 ( 1 + γ) dan X21/2 ( 1 - γ) didapat dari daftar
Chi kuadrat p = ½(1+γ) dan p = ½(1-γ) dengan dk = (n-1)
Next
Back

12. Contoh:
Sebuah sampel acak berukuran 30 telah diambil dari sebuah populasi yang
berdistribusi normal dengan simpangan baku ơ. Dihasilkan harga statistik s2
= 7,8 dengan koefisien kepercayaan 0,95 dan dk = 29 maka daftar chi
kuadrat didapat:
X20,975 = 45,7 dan X20,025 = 16,0
Diperoleh
Atau 4,95 < < 14,14
Interval taksiran untuk simpangan baku ơ adalah
2,23 < ơ < 3,75
Kita merasa 95% percaya bahwa simpangan baku ơ akan ada dalam interval yang
dibatasi oleh 2,23 dan 3,75
Back Next

13. • Pendugaan Selisih Rata-rata
Misalkan kita mempunyai dua buah populasi kedua-duanya berdistribusi normal.
Rata-rata dan simpangan bakunya masing-masing μ1 dan ơ1 Untuk populasi kesatu,
μ2 dan ơ2 untuk populasi kedua. Dari masing-masing populasi secara independen
diambil sampel acak dengan ukuran n1 dan n2. Rata-rata dan simpangan baku dari
sampel-sampel itu berturut-turut 1, s1 dan 2, s2 akan ditaksir selisih rata-rata
(μ1-μ2)
Jika kedua populasi normal itu mempunyai ơ1 dan ơ2 = ơ dan besarnya diketahui
maka 100 γ % interval kepercayaan untuk (μ1-μ2) ditentukan oleh rumus:
Dengan Z1/2γ didapat dari daftar normal baku dengan peluang 1/2γ
Dalam hal ơ1 = ơ2 = ơ tetapi tidak diketahui besarnya pertama-tama dari sampel –
sampel kita perlu tentukan varians gabungannya, dinyatakan dengan s 2 , dengan
rumus:
Back Next

14. Interval kepercayaan ditentukan dengan menggunakan distribusi student. Rumus
untuk 100 γ %. Interval kepercayaan (μ1-μ2) adalah:
Untuk populasi normal dengan ơ1≠ ơ2 dilakukan pendekatan dengan memisalkan
s1 = ơ1 dan s2 = ơ2 untuk sampel acak berukuran cukup besar. Rumus interval
kepercayaannya ditentukan oleh:
Back Next

15. • Pendugaan Selisih Proporsi
Kita mempunyai dua populasi binom dengan parameter untuk peristiwa yang sam
masing-masing Π1 dan Π2. Dari populasi ini secara independen masing-masing
diambil sebuah sampel acak berukuran n1 dari populasi kesatu dan n2 dari populasi
kedua. Proporsi untuk peristiwa yang diperhatikan dari sampel-sampel itu adalah p1
= x1/n1 dan p2/n2 dengan x1 dan x2 menyatakan banyaknya peristiwa yang
diperhatikan yang didapat dalam sampel kesatu dan kedua. Akan ditentukan interval
taksiran untuk ( ). Untuk ini digunakan pendekatan oleh distribusi normal asalkan
n1 dan n2 cukup besar. Rumus yang digunakan untuk interval kepercayaan 100 γ %
selisih ( ) adalah:
Dengan q1 = 1 - p1 , q2 = 1 – p2 dan Z1/2γ didapat dari daftar normal baku dengan
peluang 1/2γ.
Back Next

16. • Pendugaan Rasio Dua ragam
Jika s12 dan s22 merupakan ragam contoh acak bebas berukuran n1
dan n2 yang masing-masingnya dipilih dari populasi normal maka
selang kepercayaan (1-α) 100% bagi rasio dua ragam populasi normal
tersebut adalah:
Fa/2 (v1,v2) dan Fa/2 (v1,v2) merupakan nilai sebaran f dengan derajat
bebas.
v1 = n1 – 1 dan v2 = n2 - 1 sebelah kanannya terdapat luas a/2
Back Next