1. FUNDAMENTOS DE
MATEMÁTICA FINANCIERA
Curso de Preparación y Evaluación de Proyectos

2. Temario
ILPES
Temario
EVALUACIÓN DE PROYECTOS :
• Ciclo Introducción
de vida Matemáticas Financieras
Flujo de Fondos
•Identifi- Criterios de Decisión
cación VAN
TIR
•Diagnós- Otros
tico
•Evaluación

3. ILPES
MATEMÁTICA FINANCIERA
Temario Temario
• Ciclo  Valor del dinero en el tiempo
de vida  Valor futuro y valor actual
•Identifi-  Tasas de interés compuesta y simple
cación  Anualidades
•Diagnós-  Inflación y tasas de interés
tico
•Evaluación

4. ILPES
Valor del dinero en el tiempo
Corresponde a la rentabilidad que un agente
Temario económico exigirá por no hacer uso del dinero
en el periodo 0 y posponerlo a un periodo
futuro
• Ciclo
 Sacrificar consumo hoy debe compensarse en el futuro.
de vida
 Un monto hoy puede al menos ser invertido en el banco
•Identifi- ganando una rentabilidad.
cación
La tasa de interés (r) es la variable requerida para
determinar la equivalencia de un monto de dinero en dos
•Diagnós-
periodos distintos de tiempo
tico
La sociedad es un participante más que también tiene
•Evaluación preferencia intertemporal entre consumo e inversión
presente y futura.

5. ILPES
Valor del dinero en el tiempo ...continuación...
Ejemplo
Temario Un individuo obtiene hoy un ingreso (Y0) de $1.000 por una sola
vez y decide no consumir nada hoy. Tiene la opción de poner el
dinero en el banco.
• Ciclo
a) ¿Cuál será el valor de ese monto dentro de un año si la tasa
de vida rentabilidad o de interés (r) que puede obtener en el banco es de
10% ?
•Identifi-
cación 1.000 * (0,1) = 100 (rentabilidad)
100 + 1000 = 1.100 (valor dentro de un año)
•Diagnós-
tico
Si r = 10%
•Evaluación Periodo 0 Periodo 1
(Año 0) (Año 1)
$1.000 $1.100

6. ILPES Valor del dinero en el tiempo ...continuación
b) ¿ Cuál sería el monto final disponible para consumir dentro de un
año si consume $200 hoy ?
Temario
1.200
Si : 1.100
 Sólo hay 2 periodos 1.000
• Ciclo  Ingreso sólo hoy (Y 0 =1.000) (200, 880)
800
de vida  Puede consumir hoy o en un año
1
(C 0 , C 1 ) 600 (500, 550)
Periodo
•Identifi-  Rentabilidad exigida por no 400
cación consumir hoy: r=10%
200
(800, 220)
•Diagnós- Entonces 0
tico C 1 = (Y 0 – C 0 )*(1+r)
0
200
300
700
800
100
400
500
600
900
1.000
Per iodo 0
•Evaluación Si C 0 =200,
C 1 =(1000-200)*1,1= 880
Consumo total= 200 + 880 = 1.080

7. ILPES
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
VALOR
Temario FUTURO
Año: 0 1
Sólo 1 periodo VA VF
• Ciclo
de vida VF = VA * (1 + r ) Donde:
r = tasa de interés
•Identifi- Año: 0 1 2 3
cación VA VF
Si son 3 periodos
•Diagnós-
VF = VA * (1 + r )(1 + r )(1 + r ) = VA(1 + r )
3
tico
VF = VA * (1 + r )
•Evaluación n
Caso General:

8. Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
ILPES ...continuación...
VALOR
Año: 0 1
Temario ACTUAL
Caso 1 periodo VA VF
VF
VA =
• Ciclo (1 + r ) Donde:
r = tasa de interés
de vida
Año: 0 1 2 3
•Identifi-
VA VF
cación
Caso 3 periodos
VF VF
•Diagnós- VA = =
tico (1 + r ) * (1 + r ) * (1 + r ) (1 + r ) 3
•Evaluación VF
VA =
Caso General:
(1 + r ) n

9. ILPES
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
...continuación...
Ejemplo VF :
Temario
a) Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%.
¿Cuál será su valor al final del tercer año?
• Ciclo
de vida Año 0: 1.000
Año 1: 1.000 * (1+0,12) = 1.120
•Identifi- Año 2: 1.120 * (1+0,12) = 1.254
cación Año 3: 1.254 * (1+0,12) = 1.405
•Diagnós-
tico Alternativamente:
VF= 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405
•Evaluación

10. ILPES
Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
...continuación
Ejemplo VA:
Temario
b) Si en cuatro años más necesito tener $ 3.300 y la tasa de
interés anual es de 15%.
• Ciclo ¿Cuál es el monto que requiero depositar hoy para lograr la meta?
de vida
Año 4: 3.300
•Identifi- Año 3: 3.300 / (1+0,15) = 2.869,6
cación Año 2: 2.869,6 / (1+0,15) = 2.495,3
Año 1: 2.495,3 / (1+0,15) = 2.169,8
•Diagnós- Año 0: 2.169,8 / (1+0,15) = 1.886,8
tico
Alternativamente:
•Evaluación VA= 3.300 / (1+0,15)4 = 1.000 / 1,749 = 1.886,8

11. Valor futuro (VF) y valor actual (VA)
ILPES ...continuación
Ejemplos VF y
Temario VA:
Caso especial
c) Si los $1.000 de hoy equivalen a $1.643 al final del año 3.
• Ciclo ¿Cuál será la tasa de interés anual relevante?
de vida
•Identifi- VF= 1.000 * (1+r)3 = 1.643
cación (1+r)3 = 1,64 1+r = 1,18
(1+r) = (1,64)1/3 r = 0,18
•Diagnós-
tico
•Evaluación

12. Tasas de interés compuesta y simple
ILPES
Tasa de interés compuesta
Temario Corresponde al mismo concepto asociado a la conversión de un
valor actual (VA) en un valor final (VF) y viceversa.
El monto inicial se va capitalizando periodo a periodo, así por
• Ciclo
ejemplo, luego del primer periodo se suma el capital más los
de vida
{
intereses ganados y este total es el que gana intereses para un
segundo periodo.
•Identifi- VF = Monto capitalizado (valor final)
cación VA = Inversión inicial (valor actual)
•Diagnós-
VF = VA * (1 + r ) n r = tasa de interés del periodo
n = número de períodos
tico (1+r) n : Factor de capitalización
•Evaluación
VA =
VF
(1 + r ) n { 1
(1+r) n : Factor de descuento

13. Tasas de interés compuesta y simple
ILPES ...continuación...
Tasa de interés
Temario simple
Concepto poco utilizado en el cálculo financiero, es de fácil
obtención, pero con deficiencias por no capitalizar la inversión
periodo a periodo.
• Ciclo
El capital invertido es llevado directamente al final sin que se
{
de vida
capitalice periodo a periodo con los intereses ganados
•Identifi- VF = Monto acumulado (valor final)
cación VA = Inversión inicial (valor actual)
VF = VA * (1 + r * n) r = tasa de interés del periodo
•Diagnós- n = número de períodos
tico (1+r*n) : Factor acumulación
simple
VF
{
•Evaluación
VA = 1
(1+ r * n ) (1+r*n) : Factor descuento simple

14. Tasas de interés compuesta y simple
ILPES ...continuación...
Ejemplo tasa interés compuesta versus tasa interés
Temario simple
Si se tiene $1.000 hoy y la tasa de interés anual es de 12%.
¿Cuál será su valor al final del tercer año?
• Ciclo Con tasa interés compuesta:
de vida
C = 1.000 * (1+0,12)3 = 1.000 * 1,4049 = 1.405
Intereses ganados:
•Identifi- 1000 1120 1254 1405 Año 1: $ 120
cación Año 2: $ 134
1+r 1+r 1+r Año 3: $ 151
•Diagnós-
tico Con tasa interés simple:
C = 1.000 * (1+0,12*3) = 1.000 * 1,36 = 1.360
•Evaluación
1000 1360 Intereses ganados:
Año 1: $ 120
1+r*3 Año 2: $ 120
Año 3: $ 120

15. Tasas de interés compuesta y simple
...continuación
ILPES
Tasa de interés
Temario equivalente una tasa de interés anual r a , la tasa de
Si se tiene
interés mensual equivalente r m , puede ser calculada
• Ciclo usando las siguientes expresiones:
de vida
1
•Identifi-
cación
Con interés compuesto:
r m = ( 1 + ra ) 12
−1
= ra
•Diagnós-
tico
Con interés simple:
r m 12
•Evaluación
Este ejemplo se hace extensivo a cualquier unidad de
tiempo.

16. Anualidades
ILPES
Considere un flujo (F1) (anualidad) por montos iguales
que se paga al final de todos los años por un período de
Temario
tiempo n a una tasa r
• Ciclo Año: 0 1 2 3 n-1 n
de vida Flujos
Actualizados: F1 F1 F1 F1 F1
F1
•Identifi- (1+r)
cación F1
(1+r) 2
•Diagnós- F1
tico (1+r) 3
F1
•Evaluación (1+r) n-1
F1
(1+r) n

17. Anualidades ...continuación...
ILPES
El Valor Actual de esa anualidad (F1) que implica la
Temario suma de todos esos flujos actualizados al momento 0 se
define como:
• Ciclo 1 1 1
VA = F *
1 +F *
1 + ... + F *
1 =
de vida (1 + r ) (1 + r )
2
(1 + r )
n
•Identifi-
cación (1 + r ) n −1
= F1 *
•Diagnós- r * (1 + r ) n
tico
1 − (1 + r ) −n
•Evaluación
VA = F1 *
r

18. ILPES
Anualidades ...continuación...
Como contrapartida al valor actual de un flujo se tiene:
Temario
El Valor Final de una anualidad (F1) que implica la suma
de todos esos flujos llevados al periodo n y se define
• Ciclo como:
de vida
n n −1
VF = F * (1 + r )
1 + F * (1 + r )
1 + ... + F =
1
•Identifi-
cación
•Diagnós- (1 + r ) n −1
tico VF = F1 *
r
•Evaluación

19. ILPES
Anualidades ...continuación...
Ejemplo anualidad:
Temario Suponga usted pagó cuotas mensuales de $250.000 por la
compra de un auto durante 2 años (24 meses) a una tasa de 1%
mensual.
• Ciclo ¿ Cuál fue el valor del préstamo?
de vida
•Identifi- 1 − (1 + 0,01) −24
cación VA = 250.000 * = 3.186.508
0,01
•Diagnós-
tico
•Evaluación

20. ILPES
Anualidades ...continuación...
Ejemplo anualidad:
Temario
Suponga usted trabajará durante 30 años, su cotización en la
AFP será de $20.000 mensuales, si la AFP le ofrece una
rentabilidad mensual de 0,5%
• Ciclo
de vida ¿ Cuál será el monto que tendrá su fondo al momento de
jubilar?
•Identifi-
cación
(1 + 0,005) 360 −1
VF = 20.000 * = 20.090.301
•Diagnós- 0,005
tico
•Evaluación

21. ILPES
Anualidades ...continuación...
Ejemplo anualidad:
Suponga usted comprará una casa que vale hoy $20.000.000 y
Temario
solicita al banco un crédito por el total del valor a 15 años plazo
(180 meses). La tasa de interés es de 0,5% mensual.
• Ciclo ¿ Cuál deberá ser el valor del dividendo mensual ?
de vida
•Identifi- 1 − (1 + r ) −n r
Si: VA = F1 * Entonces: F1 = VA *
cación
r 1 − (1 + r ) −n
•Diagnós-
tico
0,005
•Evaluación Así: F1 = 20.000.000 * −180
= 168.771
1 − (1,005)

22. ILPES
Anualidades ...continuación...
Perpetuidad
Temario Considérese un flujo (F1) (anualidad) por montos iguale
que se paga a perpetuidad.
Perpetuidad corresponde a un periodo de tiempo
• Ciclo suficientemente grande para considerar los flujos finale
de vida como poco relevantes dado que al descontarlos al año
son insignificantes.
•Identifi-
cación El Valor actual de esa anualidad se define como:
•Diagnós- F1
tico VA =
r
•Evaluación

23. ILPES
Anualidades ...continuación
Ejemplo perpetuidad:
Temario Suponga usted es de esos afortunados que decide jubilar a
los 50 años y recibirá una renta vitalicia de $50.000
mensuales hasta que muera. La tasa de interés relevante es
• Ciclo de 1% mensual y la empresa que le dará la renta supone una
de vida “larga vida” para usted (suponen podría llegar a los 90, o tal
vez 95 o porqué no 100 años).
•Identifi-
¿ Cuál es el valor actual del fondo que la empresa debe tener
cación
para poder cubrir dicha obligación?
•Diagnós- En rigor, usando la fórmula de
tico valor actual de una anualidad (no
50.000 perpetua) se tendría:
•Evaluación
VA = = 5.000.000 Si vive 90 años: VA=$ 4.957.858
0,01 Si vive 95 años: VA=$ 4.976.803
Si vive 100 años: VA=$ 4.987.231
Todos muy cercanos a $5 millones

24. Inflación y tasas de interés
ILPES
Inflación:
Aumento sostenido en el nivel general de precios.
Temario
Normalmente medido a través del cambio en el
IPC
• Ciclo En presencia de inflación (π) , la capacidad de compra o
de vida poder adquisitivo de un monto de dinero es mayor hoy que en
un año más.
•Identifi-
cación
Periodo 0 Periodo 1
(Año 0) (Año 1)
•Diagnós-
$100 $100
tico
Si π = 25%
•Evaluación

25. ILPES
Inflación y tasas de interés ...continuación...
La tasa de interés (conocida como tasa nominal) deberá
incorporar:
Temario
A. La rentabilidad exigida para hacer indiferente un monto
ahora o en el futuro (valor dinero en el tiempo) (tasa real)
• Ciclo
B. Diferencial que cubra la inflación y mantenga el poder
de vida
adquisitivo (tasa inflación)
•Identifi-
cación
La ecuación que relaciona las tasas nominal y real ,
es conocida en la literatura con el nombre de igualdad
•Diagnós- de Fischer:
tico
(1 + i ) = (1 +π ) * (1 + r ) Donde i = tasa de interés nominal
•Evaluación r = tasa de interés real
B A π = Tasa de inflación

26. ILPES
Inflación y tasas de interés ...continuación...
RESUMEN:
2 conceptos: * Costo de oportunidad (tasa interés real)
Temario * Poder adquisitivo (inflación)
Paso 1: Valora costo de oportunidad, tasa de interés de
• Ciclo 10%
de vida Si r = 10%
Año 0 Año 1
•Identifi-
cación $1000 $1100
•Diagnós-
Paso 2: Valora costo de oportunidad y además;
tico Mantiene poder adquisitivo, inflación de 25%
•Evaluación Si π = 25%
Año 1 Año 1
$1100 $1375

27. Inflación y tasas de interés
...continuación...
ILPES
Temario
Ejemplo:
• Ciclo Si tengo $ 500 y un banco me ofrece una tasa de interés
de vida nominal anual del 37,5% y me encuentro en una economía
donde la inflación es del 25% anual .
•Identifi-
cación ¿ Cuál es la tasa real correspondiente ?
¿ Cuánto es mi capital nominal al final del año ?
•Diagnós-
tico
•Evaluación

28. Inflación y tasas de interés
...continuación...
ILPES
Si: ( 1 + i ) = ( 1 + π ) * ( 1 + r )
Temario
Donde π=0,25 y i =0,375
• Ciclo
Entonces: (1+0,375) = (1+0,25)*(1+r)
de vida
(1+r) = 1,1
r = 10%
•Identifi-
cación
Si el capital inicial es C0 = $ 500
•Diagnós-
tico Entonces: C1 = C0*(1+i)
= 500*(1,375)
•Evaluación C 1 = $ 687,5

29. Inflación y tasas de interés
ILPES ...continuación
Nota importante
Temario
La evaluación de proyectos utiliza tasas de
• Ciclo
interés reales y por tanto flujos reales , de
de vida
esta forma se evita trabajar con inflaciones
•Identifi- que normalmente tendrían que ser estimadas
cación a futuro con el consiguiente problema de
incertidumbre.
•Diagnós-
tico
•Evaluación

30. ILPES
Inflación
Temario Ejemplo: Inflactar
Si costos de inversión de un proyecto formulado en el año 2001 son
$7.000 millones pero éste será ejecutado a partir de enero del 2003.
• Ciclo
de vida Se deberá actualizar (inflactar) dicho costo según variación en Indice
de Precios al Consumidor (IPC):
•Identifi- Si: IPC promedio 2001 = 108,67
cación IPC promedio 2002 = 111,38
•Diagnós- Así: Costot = Costot −1 * (1 + cambioIPC )
tico
IPC t
CambioIPC = −1
IPC t −1
•Evaluación
111 , 38
Costo t
=7 .
000 * (1 +( − 1 ) =7.174,6
108 , 67

31. ILPES
Inflación
Ejemplo: Deflactar
Temario Si costos de inversión de un proyecto formulado en el año 2002 son
$15.000 millones pero se necesita saber cual habría sido su costo
real en el año 2001
• Ciclo Se deberá deflactar dicho costo según variación en Indice de Precios al
de vida Consumidor (IPC):
Si: IPC promedio 2001 = 108,67
•Identifi- IPC promedio 2002 = 111,38
cación
Así: Costot = Costot −1 * (1 + cambioIPC )
•Diagnós- Costot
tico Costot −1 =
(1 + cambioIPC )
•Evaluación IPC t
CambioIPC = −1
15 . 000
IPC t − 1 Costo t −1
= =14.635
111 , 38
(1 +( − 1)
108 , 67