a n Jiu. ‘ «JA. 
INHTHIW)

ur.  ¡tmnuztou sccuunauu
A RITNQURIRA I

LECCIÓN INAUGURAL DO CURSO 2007/2008
NO IES A XUNQUEIR...
ando a dirección do
Instituto me invitou
a participar nesta
sesión pasei un tempo
considerando cal sería o
mellor tema a t...
O alumnado ten a impresión de
que as Matemáticas xa están ai den-
de sempre e que son unha especie de
revelación que foi d...
Por outra banda o feito de ana-
lizar a xerarquia das operacións de
cada modelo concreto de calcula-
dora leva a debates m...
Por unha banda os números ro-
manos utilizan letras como cifras e
basean o número que expresan nun
principio aditivo das l...
De cada paso gardábase rexis-
tro nas taboíñas de arxila.  Con este
procedemento de cálculo elabora-
ron rexistros para us...
Rompeuse un colar

mentres xogaban dous numerados
Unhaflada das perlas soltouse

A sexta parte caeu ao chan

A quinta parte...
Os escritores árabes foron
adaptando a grafía hindú á árabe. 
A Europa chegou a influencia dos
árabes oeeidentais a través...
O uso das cifias e o cálculo “a
pluma” foise estendendo pero con-
vivindo co ábaco pois había un pun-
to de desconfianza.  A...
De Historias e de números
Próxima SlideShare
Cargando en…5
×

De Historias e de números

1.921 visualizaciones

Publicado el

Lección inaugural curso 2007/2008. De Historias e de números. Antonio Couso. IES A Xunqueira I.

Publicado en: Educación
0 comentarios
0 recomendaciones
Estadísticas
Notas
  • Sé el primero en comentar

  • Sé el primero en recomendar esto

Sin descargas
Visualizaciones
Visualizaciones totales
1.921
En SlideShare
0
De insertados
0
Número de insertados
1.370
Acciones
Compartido
0
Descargas
1
Comentarios
0
Recomendaciones
0
Insertados 0
No insertados

No hay notas en la diapositiva.

De Historias e de números

  1. 1. a n Jiu. ‘ «JA. INHTHIW) ur. ¡tmnuztou sccuunauu A RITNQURIRA I LECCIÓN INAUGURAL DO CURSO 2007/2008 NO IES A XUNQUEIRA 1 DE PONTEVEDRA DE HISTORIAS E DE NÚMEROS ANTONIO COUSO GÓMEZ
  2. 2. ando a dirección do Instituto me invitou a participar nesta sesión pasei un tempo considerando cal sería o mellor tema a tratar na mi- ña intervención. Decidinme por facer unha descrición do meu traballo na aula pois tratar algún tema espe- cificamente matemático podería precisar de lapis, papel e calculadora e coido que non sería moi popular entre todos os asistentes. A ensinanza das Mate- máticas aos estudiantes de Secundaria atopa dificul- tades comúns ás outras materias que son inherentes ao desenvolvemento per- soal do alumnado actual e ás súas capacidades. Estas , _ 7 capacidades e a idade temperá da súa incorporación aos Institutos obrigáronme, pois xa acumulo cer- ta veterania, a cambiar o enfoque e os recursos didácticos do meu tra- ballo. En canto ás Matemáticas pre- séntanse, ademais, particula- ridades que fan que os nosos mo- zos se sigan enfrentando a elas con aprehensión. A súa habilidade no manexo de teclados, mandos e pantallas ten ocasión de practicar- se no teléfono móbil, reproducto- res mp3-mp4, DVD, consolas, cal- culadoras, ordenadores e televisores e dálles unha soltura na práctica da asimilación de procesos, análise de imaxes-e velocidade de reacción, que debemos enfocar para conseguir que ese gran acceso á información pase a ser coñecemento consolidado e que os procesos non queden den- tro dos aparellos electrónicos unha vez que son apagados. Outra carac- teristica é o carácter competitivo e a satisfacción pola consecución de obxectivos que se manifesta nas no- sas clases cando chegan a un bo re- sultado ou trazan un plan para a re- solución dun problema.
  3. 3. O alumnado ten a impresión de que as Matemáticas xa están ai den- de sempre e que son unha especie de revelación que foi dada ós homes nun máxico momento da súa evolu- ción, que son algo abstracto e total- mente rematado e que se non sabe todo sobre elas é porque ainda non chegou a estudialas o suficiente. Para lograr un cambio nesta percep- ción acostumo a usar nas miñas clases certas pautas que tratan de amosar aos estudiantes que as Matemáticas son algo vivo, feito por persoas c que polo tanto ten interese que penetre- mos no seu estudio con dúas axudas moi útiles. Unha son os materiais a utilizar e Outra a consulta da historia das Matemáticas concretada nos fei- tos máis destacados e nas biografias dos matemáticos máis importantes. Os materiais que propoño nas clases pertencen ao entorno do alumnado: contas que lles son pró- xímas, os folletos publicitarios, noti- cias de prensa, as etiquetas da súa roupa, os resultados dos deportes, botes de conservas c bebidas, mesas e Outros elementos da aula, ladrillos, pezas do pavimento, recortes en car- tón, puzzles. .. e as actividades con eles culminan en saídas fóra da aula para que descubran a presenza das matemáticas noutros ámbitos. 2 Algunhas veces no Instituto, co- mo son pesar con precisión nos labo- ratorios, medir elementos dos edifi- cios e patio, e outras veces, cos gru- pos máis implicados danse paseos matemáticos pola cidade cunha te- mática acordada previamente: núme- ros, formas xeométricas. .. Anécdotas: invítoos a que visi- ten a praza de Méndez Núñez e busquen inscricións con números ro- manos, na Glorieta de Compostela a fonte dos nenos presenta un banco que e’ un estupendo exemplo de sec- tor de coroa circular, en moitas rúas hai abondosos exemplos de bolardos que son corpos xeométricos perfec- tos, ... Nos materiais tamén hai que in- cluir as calculadoras, ferramenta im- prescindible no traballo diario da au- la, "polo que ten de liberador de cál- culos aborrecidos, e de axuda na pre- cisión evitando erros. É necesario que os alumnos e alumnas coñezan os mecanismos elementais do cálculo pero non ten obxecto que as opera- cións nun problema, por exemplo de xeometria, consuman todo o esforzo e acaben esfumando o resultado bus- cado. O que non saiba Matemáticas non vai adiantar nada ainda que teña a mellor calculadora do mercado.
  4. 4. Por outra banda o feito de ana- lizar a xerarquia das operacións de cada modelo concreto de calcula- dora leva a debates moi interesan- tes na aula para " ’ a establecer a propiedade distributiva ou o uso das parénteses. O tema da calculadora da pé a falar na aula dos mecanismos que tive- ron, en todas as épocas e culturas, para facer mais doado o cálculo operacional como rela- tarei na segunda parte da miña participación nesta sesión inaugural s: do curso. En canto á historia das Mate- máticas e ao seu uso como ferra- menta didáctica nas aulas hai va- rios aspectos que acostumo a des- tacar. Un deles é a presentación de traballos feitos polo alumnado re- lativos á biografia dos matemáti- cos máis importantes con atención á época na que viviron, ámbito xe- ográfico no que transcorre a súa vida, obras máis destacadas e ou- tros aspectos da ciencia con refe- rencia á súa obra. Así penso que se vai creando un ámbito histórico e xeográfico en referencia á nosa cultura, apréciase a contribución ao desenvolvemento das Matemá- ticas e da historia do razoamento e márcanse unhas referencias cultu- rais para a xuventude actual sina- lando que a magnitude da mente é independente da época e que houbo vida antes dos ordenadores. Tamén é interesante a relación coas outras materias do currículo do alumnado evitando compartimen- tos estancos. Anécdota: os meus alumnos de 2° ESO, despois de traballaren coas figuras de Tales ou Pitágoras, tiñan que consultar os datos re- lativos a Euler e un deles preguntoume se ese tamén era grego. .. As Matemáticas existiron, e existen, nun medio social e humano e son, en tódalas sociedades un in- grediente básico da cultura. A outra utilización que fago da historia nas aulas de Secundaria é o relato das liñas xerais dalgúns con- ceptos__ou ramas das Matemáticas. Como exemplo voume deter na ex- posición do concepto de número, mellor dito, das cifras que a cotío utilizamos. 0 alumnado manexa dous tipos de cifras, os números romanos e os árabes-hindús. Estes dous tipos dan pé a consi- derar que corresponden a dous sis- temas de numeración con dous fun- damentos totalmente diferentes.
  5. 5. Por unha banda os números ro- manos utilizan letras como cifras e basean o número que expresan nun principio aditivo das letras empre- gadas na escrita. Este sistema non permite realizar cálculos con facili- dade tendo que recorrer á ábacos e táboas de calcular ou i‘ ' ' i mesas co seu taboleiro marcado con liñas nas que cada unha re- presentaba unha poten- cia de dez e nas que cada cantidade viña representada por tantas fichas idénticas como unidades habia de cada orde correspondente. Este sistema romano era análogo ao grego que tamén usaba táboas de cálculo simi- lares. Por certo, anque agora estou a falar de cifras, números e sistemas numéricos, a cultura grega e a súa contribución á xeometría son outro referente que me guía na utilización da historia das Matemáticas. Aínda así é inevitable facer a referencia ás expresións “elevar ao cadrado ou ao cubo” utilizadas para as potencias de expoñente dous e tres e que non son máis que herdanzas do concepto grego de que 3 x 3 pódese pensar como a área dun cadrado de lado tres e que 2 x 2 x 2 sería o volume dun cubo de aresta 2. As cifras árabes ou hindús per- mítennos expresar números que co- rresponden a sistemas numéricos 4 i ULACEEÏISÉB «<2»- = T='—'-= "—r""“. ¿r: :;__. .' " ---L-- distintos. Expresamos números con base decimal e sesaxesimal. Incluso ás veces utilizamos a ducia como ba- se dun sistema fondamente enraizado na compra e venta diaria de ovos, pasteis ou vaixelas. O sistema sesa- xesimal é o que nos permite contar o tempo en segundos, minutos e horas e tamén a medida dos ángulos máis utilizada cos segundos, minutos e graos. Pois ben, este sistema sesaxesimal ten a súa orixe, hai máis de cinco mil anos, na cultura sumeria, no territorio do actual Iraq, que usaba unha base de sesenta coa decena como auxiliar. Este sistema de base sesenta em- pezou sendo utilizado só como rexis- tro para memorizar cantidades pero á hora de realizar os cálculos usaban fichas dc arxila con marcas que sim- bolizaban os diferentes ordes de uni- dades na súa numeración. Cada orde riña un modelo: esferas cun burato, esferas, conos con burato, conos, bo- las pequenas e conos pequenos. As operacións realizábanse colocando tantas fichas de cada orde como fose necesario, no transcurso da opera- ción repetianse esas fichas, se o nú- mero acadaba o correspondente a unha unidade superior púñase unha peza desa orde máis alta e retirában- se as pezas de valor inferior.
  6. 6. De cada paso gardábase rexis- tro nas taboíñas de arxila. Con este procedemento de cálculo elabora- ron rexistros para uso escolar e comercial. Moitas de estas taboí- ñas consérvanse no Museo Arque- olóxico de Istambul onde recen- temente tiven ocasión de admirar, emocionado, unha táboa de multi- plicar con catro mil anos de anti- güidade. Tamén se conservan desa época, entre outros moitos resultados, rexistros de temas pitagóricas, e dicir, tríos de números que tomados como medi- das dos lados forman triángulos rectángulos. Nesas taboíñas aprécianse as cifras de tipo cuneifonne que basicamente eran un cravo vertical para as unidades e un cravo horizontal para as decenas. O sistema decimal, coas súas cifras, o principio posicional e o cero é unha magnífica herdanza recibida dos árabes que o aprende- ron na India. Os árabes, na súa ex- pansión dende o século VI], coñe- ceron os sistemas grego, coas súas letras e o principio aditivo, e babi- lonio, pero tamén coñeceron o sis- tema hindú e pronto se decataron das súas vantaxes. No norte da India, no século V, establecéronse os principios fundamentais do noso actual sís- tema. Nesa rexión do mundo usa- ban, dende varios séculos antes, unhas cifras que eran as antecesoras das que hoxe utilizamos pero ainda non tiñan o cero. Pero houbo unha característica que propiciou a súa aparición e foi a ansia de expresión das grandes cantidades que empre- gaban os astrónomos hindús. Na súa escrita inicial dicían algo como “cinco unidades, catro decenas e cinco centenas” ou “catro unidades, baleiro, sete centenas e seis millares”. Ese “baleiro” pasou a ser “cero” e posteriormente xa non se dicían nin unidades, nin decenas e só era “tres, dous, cinco” para expresar o que nos diríamos quiñentos vínte e tres. De tódolos xeitos ler o número mil douscentos doce seria “dous, un, dous, un” e iso parecíalles moi monótono na expre- sión oral e para evitalo tiñan varias palabras para referirse a cada unha das cifras. Deste xeito cando un as- trónomo quería expresar unha canti- dade moi elevada sacaba a relucir a súa faceta de poeta e redactaba unha frase coas palabras das cifias e asi éralle moi doado lembrar o valor sen erro. Pero na escrita estaban as cifras correspondentes. Ese gusto pola expresión poética, moitos dos tratados científicos estaban redacta- dos en poesía, fai que se recollan enunciados dos problemas moi cu- riosos, como no caso seguinte:
  7. 7. Rompeuse un colar mentres xogaban dous numerados Unhaflada das perlas soltouse A sexta parte caeu ao chan A quinta parte quedou no leito Un terzo foi salvado pola moza A décima parte o benamado recolleu E con seis perlas o fio quedou Dime lector cantas perlas riña o colar dos benavenrurados. Para os seus cálculos usaban un ábaco de columnas ou liñas debuxado en area lina. Pero en vez de marcar con pedriñas ou fichas anotaban as cifras de cada paso intermedio pois era moi doado borrar na area o resultado anterior. Esta repetición de operacións fixo abandonar a anotación das liñas pois copiando na orde precisa as cifras xa non facían falta raias. Este era o principio da posición. A columna baldeira foi anotada por un punto que por razóns deseoñecidas foise escribindo cun pequeno círculo: na- cía o cero. Tiña nacido o sistema de numeración decimal que usamos hoxe en día. En poucos anos os sabios da zo- na desenvolveron o cálculo coas ei- fras obtendo regras sinxelas para as seis operacións fundamentais: suma, 6 resta, multiplicación, división, eleva- ción a potencia e extracción de raí- ces. Os procedementos están recolli- dos na obra do matemático e astró- nomo Brahmagupta no ano 628. ln- cluso manexa “bens, débedas e nada” para distinguir positivos, negativos e o cero. Os árabes, na súa expansión, re- copiaban todas as obras gregas, filo- sóficas, cientificas ou literarias que puideron atopar. Coñeceron así a ma- ior parte do saber clásico e traduci- rono, engadindo anotacións e comentarios. Produciron deste xeito unha síntese do rigor do sistema grego co aspecto práctico hindú. Acadouse un progreso notable da aritmética, da álxebra, da xeometría, da trigonometría e da as- tronomia. Por citar un nome senlleiro desa idade de ouro hai que falar de A]- -. Khuwarizmi que viviu en Bagdad de 780 a 850, autor de dúas obras fun- damentais pola súa transccndencia: unha relativa á aritmética onde ex- plica a numeración hindú e as opera- cións, que tivo tanta difusión en Eu- ropa que o nome do autor se conver- teu en sinónimo do sistema que pa- sou a denominarse algoritmo; a outra obra dedicouse á resolución de ecua- cións, precisamente a primeira pala- bra do seu título “aljabr” deu nome á álxebra.
  8. 8. Os escritores árabes foron adaptando a grafía hindú á árabe. A Europa chegou a influencia dos árabes oeeidentais a través de Es- paña. Un manuscrito español, da- tado no ano 976, recolle estas ci- fras, este é o primeiro rexistro en Europa da súa grafía. Este coñecemento precisou va- rios séculos para ser aceptado pois na Idade Media ainda era moi for- te a tradición romana. ao redor do ano 1000 Gerbert de Aurillac, que foi nomeado papa co nome de Silvestre II, coñeeeu en España, no mosteiro de Ripoll, as cifras e o cálculo e empezou a ensinalo en Francia pero atopouse cunha gran resistencia. Case que o único que conseguiu foi que no ábaco de fichas en vez de poñer tres fichas iguais se puxera unha cun tres escrito. Os calculistas da época murmuraban que Gerbert fora un alquimista e un bruxo que tratando cos sarracenos fixe- ra un pauto co demo. Tan grave era a acusación que en 1648 a autoridade pontificia autorizou a apertura da súa tumba para facer eomprobacións. Nos séculos XlIl e XIV a grafía era practicamente xa como a actual. Mesmo Guttenberg coa invención da imprenta no ano i440 non cambiou nada substancia]. A piques de eomczar o Renace- mento seguiase co cálculo con fi- chas na mesa ou táboa pero era tan complicado que os calculistas pare- cian seres sobrenaturais (algo ainda queda hoxe en día: “o rapaz suspen- de varias pero leva un sete en ma- temáticas”). Leonardo de Pisa, co- ñecido como Fibonacci, visitou África e á volta, en 1202, redactou un tratado que explicaba as regras do cálculo, o Liber Abaci ou Trata- do do Ábaco, pero malia o seu título facía os cálculos na area sen utilizar nin táboas, nin ábacos, nin fichas.
  9. 9. O uso das cifias e o cálculo “a pluma” foise estendendo pero con- vivindo co ábaco pois había un pun- to de desconfianza. Aínda hoxe o ministro de facenda inglés recibe o nome de “Chanceler do Taboleiro” pois o taboleiro ou “exchequer” era a táboa coa que os funcionarios bri- tánicos facían os seus cálculos. A Revolución Francesa puxo fm ao asunto prohibindo o uso do ábaco pennitindo que o cálculo e a ciencia moderna puidesen desenvolverse sen trabas. Como conclusión quero destacar que as cifras actuaís son unha autén- tica linguaxe universal, como ben sabemos os Profesores na atención ao alumnado estranxeiro presente nas nosas aulas, e que todo tipo de máquinas de calcular, dende as me- cánicas de Pascal, as electrónicas de Von Newman foron posibles gracias ao seu uso. A notación que hoxe utilizamos non precisa só de cifras, os demais símbolos foron establecidos paulati- namente e algúns nomes e datas dan un referente histórico á linguaxe ma- temática. Por exemplo, os exipcios e os babilonios usaban fraccións pero a raia horizontal aparece cos árabes mentres que a coma decimal débese ao holandés Snellius a principios do século XVII. A notación simbólica literal, eo seu “x” débese a Francisco Victe no 1591, sendo perfeccionada por Des- 8 cartes en 1637. Os signos “+” e “-“ foron usados por primeira vez en 1489 polo escribán alemán Ricardo Widman. O signo “= ” foi creado en 1557 polo inglés Robert Recorde, o “<” e “>” en 1631 por Thomas Ha- rriot, o signo “x” a principios do XVIl por Wiliamm Oughtred e o símbolo de raíz foi introducido en 1525 pro Christolf Rufolflí. «Así remata unha moi breve histo- ria do noso sistema numérico que no seu desenvolvemento non atopa no- mes e datas moi concretos pero que quere recalcar que a intelixencia é universal e que o progreso ten cabida no acervo cultural, mental e colecti- vo da humanidade. Moitas grazas pola súa atención. Pontevedra 19 de setenzbm de 2007.

×