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Determinante

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DETERMINANTE.
Sea A una matriz cuadrada el determinante de A, es una escalar(número),
asociado a la matriz A, se denota Det(A) o |𝐴|.
DETERMINANTE de una matriz 2x2,
Sea A = (
𝑎11 𝑎12
𝑎21 𝑎22
) det (A) = |𝐴| = a11a22 – a21a12 Ejemplo.
|
8 5
−3 6
| = 8.6 – 5(-3) = 48 + 15 = 63
DETERMINANTE de orden 3x3
|𝐴|= |
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|= a11|
𝑎22 𝑎23
𝑎32 𝑎33
| - a12|
𝑎21 𝑎23
𝑎31 𝑎33
| + a13|
𝑎21 𝑎22
𝑎31 𝑎32
|
Desarrollo del determinante de la matriz 3x3 por los menores de la primera fila.
EJEMPLO.
|
1 −3 −5
−3 4 1
5 1 −2
| = 1|
4 1
1 −2
| – (-3)|
−3 1
5 −2
| + (-5)|
−3 4
5 1
|
= 1(-8-1) +3(6-5) – 5 ( - 3 – 20 ) = -9 + 3 + 115 = 109.
Otra forma(método) diferente para calcular un determinante de orden 3x3 es
mediante la ley de Sarrus.
|
𝑎11 𝑎12 𝑎13
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
|= (a11a22a33 + a21a32a13 + a23a12a31) – (a31a22a13 + a21a12a33 +
a23a32a11).
a11 a12 a13 a11 a12 0 a11 a12 a13
a21 a22 a23 a21 a22 a21 a22 a23
a31 a32 a33 a31 a32 a31 a32 a33
a11 a12 a13
a22 a21 a22
EJEMPLO.
|
1 2 3
−3 1 5
2 1 −4
| = 1(1)(-4) + (-3)(1)(3) + 2(2)(5) – [ 3(1)(2) + 5(1)(1) +
(-4)(2)(- 3)] = -4 -9 + 20 – 6 – 5 -24 = - 28
MENOR COMPLEMENTARIO. ADJUNTO (COFACTOR).
Sea A = [a1 j]nxn se llama menor complementario o simplemente menor de la
matriz A al determinante de orden n – 1 formado al eliminar de A la fila i y la
columna j, se denota |𝑀𝑖𝑗| . El menor |𝑀𝑖𝑗| acompañado de su signo se llama el
cofactor o Adjunto del elemento ai j y se denota por Ai j = (-1)i + j
|𝑀𝑖𝑗|
El determinante de A es igual a la suma de los elementos de una línea (filas o
columnas) por sus respectivos Adjuntos.
a11 a12 a13 a14 . . . .. . a1n
a21 a22 a23 a24 . . . . . . a2n
A = a31 a32 a33 a34 . . . . . . a3n
. . . . . . . . . . . . . ..
an1 an2 an3 an4 . . . . . .ann nxn
|𝐴|= ai 1Ai1 + ai 2 Ai 2 + ai 3 Ai 3 + . . .+ ai nAi n Fila i
|𝐴|= a1 j A1 j + a2 j A2 j + a3 j A3 j + . . .+ a n jAn j columna j EJEMPLOS.
1. |
2 −1 3 −2
0 1 3 2
−1 2 1 4
0 1 3 2
|= 2(-1)1 + 1
|
1 3 2
2 1 4
1 3 2
| + (-1) (-1)1 + 2
|
0 3 2
−1 1 4
0 3 2
|
+ 3 (-1) 1 + 3
|
0 1 2
−1 2 4
0 1 2
| + (-2)(-1) 1 + 4
|
0 1 3
−1 2 1
0 1 3
|
= 2(1) (0) + (-1)(-1)(0) + 3(1)(0) + (-2)(-1)(0) = 0 Fila 1
2. |
3 0 1 2
6 −2 −5 4
−1 0 2 4
3 0 −2 1
| = (-2)(-1)2 + 2
|
3 1 2
−1 2 4
3 −2 1
| = -2 (1) ( 30 + 13 -8 )
= -2(35) = - 70 por columna 2, los demás componentes son ceros.
PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES.
1. Si cada uno de los elementos de una fila ( o columna) es igual a cero, el valor
del determinante es cero.
|
4 0 −3
2 0 5
−1 0 6
| = 0
2. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su
transpuesta.
|𝐴| = |𝐴𝑡|
3. Si dos filas (0 columnas) de un determinante son intercambiados, el signo del
determinante que da cambiado.
|
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
| = - |
𝑔 ℎ 𝑖
𝑑 𝑒 𝑓
𝑎 𝑏 𝑐
|
4. Si un determinante tiene dos filas (o columnas) iguales, el determinante vale
cero.
|
6 −3 6
5 7 5
3 9 3
| = 0
5. Si cada uno de los elementos de una fila (o columna) de un determinante se
multiplica por el mismo número k, el valor del determinante queda multiplicado
por k.
|
𝑎 𝑏 𝑐
𝑘𝑑 𝑘𝑒 𝑘𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
| = k |
𝑎 𝑏 𝑐
𝑑 𝑒 𝑓
𝑔 ℎ 𝑖
|
6. El valor de un determinante no cambia si a los elementos de cualquier fila (o
columna) se le suman k veces los correspondientes elementos de cualquier otra
fila (o columna). fi→fi + kfj ( no bfi + kfj)
|
−1 3 4
4 2 −3
2 1 3
| = |
−1 3 4
1 11 9
2 1 3
| la fila 2 se le suma 3 veces la fila 1.
7. Si en un determinante una fila (o columna) se multiplica por otra el valor del
determinante es cero.
|
2 −3 1
3 −2 5
−6 9 −3
| = 0 La fila 3 es – 3 veces la fila 1
8. Si A es triangular, entonces su determinante es igual al producto de sus
elementos de la diagonal principal.
|
2 −5 7
0 −6 4
0 0 5
| = 2(-6)(5) = -60 |
3 0 0
4 7 0
0 5 6
| = 3(7)(6) = 126
Calcular el valor de los siguientes determinantes utilizando si es posible las
propiedades.
1. |
1 2 −3 4
3 4 −7 6
5 6 −7 5
−8 −9 1 2
| = |
1 2 −3 4
0 −2 2 −6
0 −4 8 −15
0 7 −23 34
| = 1 |
−2 2 −6
−4 8 −15
7 −23 34
|
f2→f2-3f1, f3→f3-5f1, f4→f4 + 8f1, columna 1
= - 2 |
1 −1 3
−4 8 −15
7 −23 34
| = - 2 |
1 −1 3
0 4 −3
0 −16 13
|= - 2.1|
4 −3
−16 13
|= -2 (4) = -8
f2→f2 + 4f1, f3→f3 – 7f1
2. |
1 2 3 4
0 −2 1 2
0 1 1 3
0 4 −3 2
| = |
−2 1 2
1 1 3
4 −3 2
| = |
0 3 8
1 1 3
0 −7 −10
|= -|
3 8
−7 −10
|
f1→f1+2f2, f3→f3-4f2
= - ( - 30 + 56 ) = - 26
3. |
1 1 1
𝑥 𝑦 𝑧
𝑥2
𝑦2
𝑧2
| = |
1 0 0
𝑥 𝑦 − 𝑥 𝑧 − 𝑥
𝑥2
𝑦2
− 𝑥2
𝑧2
− 𝑥2
| = |
𝑦 − 𝑥 𝑧 − 𝑥
𝑦2
− 𝑥2
𝑧2
− 𝑥2|
c2→c2 – c1, c3→c3- c1
= |
𝑦 − 𝑥 𝑧 − 𝑥
(𝑦 + 𝑥)(𝑦 − 𝑥) (𝑧 − 𝑥)(𝑍 + 𝑥)| = (y – x)( z – x)|
1 1
𝑦 + 𝑥 𝑧 + 𝑥
|
c2→c2 – c1
= (y – x )(z – x )|
1 0
𝑦 + 𝑥 𝑧 − 𝑦
| = (y – x)(z – x)(z – y)
4. |
|
1 2 3 4 5
2 3 4 5 1
3 4 5 1 2
4 5 1 2 3
5 1 2 3 4
|
| = |
|
1 2 3 4 5
0 −1 −2 −3 −9
0 −2 −4 −11 −13
0 −3 −11 −14 −17
0 −9 −13 −17 −21
|
|=
f2→f2-2f1, f3→f3-3f1 f3→f3-2f2, f4→f4-3f1
f4→f4-4f1, f5→f5-5f1 f5→f5-9f2
|
|
1 2 3 4 5
0 −1 −2 −3 −9
0 0 0 −5 5
0 0 −5 −5 10
0 0 5 10 60
|
| = - |
|
1 2 3 4 5
0 −1 −2 −3 −9
0 0 −5 −5 10
0 0 0 −5 5
0 0 5 10 60
|
| =
f3 ↔ f4 f5→f5 + f3
- |
|
1 2 3 4 5
0 −1 −2 −3 −9
0 0 −5 −5 10
0 0 0 −5 5
0 0 0 5 70
|
|= − |
|
1 2 3 4 5
0 −1 −2 −3 −9
0 0 −5 −5 10
0 0 0 −5 5
0 0 0 0 75
|
|=
f5→f5 + f4
= - (1)(-1)(-5)(-5)(75) = 1875
5. Determinar el valor de x
|
𝑥 + 2 −5
4 𝑥 − 7
|= 0, (x+2)(x-7) + 20 = x2
– 5x + 6 = ( x – 3 )(x – 2) = 0
x – 3 = 0, x = 3, x – 2 = 0, x = 2
6. Resolver para x
|
𝑥 − 1 −2 2
−1 𝑥 −2
−1 −1 𝑥 − 1
| = 0 = |
𝑥 − 1 −2 0
−1 𝑥 𝑥 − 2
−1 −1 𝑥 − 2
| = (x – 2 )|
𝑥 − 1 −2 0
−1 𝑥 1
−1 −1 1
|=
c3→c3 + c2 f2→f2 – f3
(x – 2 )|
𝑥 − 1 −2 0
0 𝑥 + 1 0
−1 −1 1
|= (x – 2 )|
𝑥 − 1 −2
0 𝑥 + 1
|= (x- 2)(x-1)(x+1) = 0
x – 2 = 0, x = 2, x – 1 = 0, x = 1, x + 1 = 0 , x = - 1.
7. Resolver para x
|
𝑥 + 3 −1 1
5 𝑥 − 3 1
6 −6 𝑥 + 4
|=0=|
𝑥 + 2 −1 1
𝑥 + 2 𝑥 − 3 1
0 −6 𝑥 + 4
|=(x+2)|
1 −1 1
1 𝑥 − 3 1
0 −6 𝑥 + 4
|
c1→c1+ c2 c2→c2 + c3
= (x + 2) |
1 0 1
1 𝑥 − 2 1
0 𝑥 − 2 𝑥 + 4
|= (x+2)(x-2)|
1 0 1
1 1 1
0 1 𝑥 + 4
|=
c3→c3 – c1
(x+2)(x-2)|
1 0 0
1 1 0
0 1 𝑥 + 4
| = (x+2)(x-2)(x+4) = 0
x+2 = 0, x = -2 , x – 2 = 0, x= 2, x +4 = 0, x = - 4
8. Resolver para x
|
𝑥 + 3 2
𝑥 𝑥 + 1
|= 3, |
𝑥 + 3 2
𝑥 𝑥 + 1
| = (x+3)(x+1) – 2x = x2
+ 4x + 3 – 2x = 3
x2
+ 4x – 2x + 3 – 3 = 0, x2
+ 2x = x(x+2) = 0. x = 0, x + 2 = 0, x = - 2
REGLA DE CRAMER
En la expresión matricial AX = B, donde A es cuadrada (nxn). La solución
general de este sistema es:
𝑋𝐼 =
∆𝑋𝑖
∆𝑆
Donde ∆S es el determinante de la matriz A y ∆𝑋𝑖 es aquel
determinante que se obtiene al remplazar en la columna i, por la columna de los
términos independientes.

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Determinante

  • 1. DETERMINANTE. Sea A una matriz cuadrada el determinante de A, es una escalar(número), asociado a la matriz A, se denota Det(A) o |𝐴|. DETERMINANTE de una matriz 2x2, Sea A = ( 𝑎11 𝑎12 𝑎21 𝑎22 ) det (A) = |𝐴| = a11a22 – a21a12 Ejemplo. | 8 5 −3 6 | = 8.6 – 5(-3) = 48 + 15 = 63 DETERMINANTE de orden 3x3 |𝐴|= | 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 |= a11| 𝑎22 𝑎23 𝑎32 𝑎33 | - a12| 𝑎21 𝑎23 𝑎31 𝑎33 | + a13| 𝑎21 𝑎22 𝑎31 𝑎32 | Desarrollo del determinante de la matriz 3x3 por los menores de la primera fila. EJEMPLO. | 1 −3 −5 −3 4 1 5 1 −2 | = 1| 4 1 1 −2 | – (-3)| −3 1 5 −2 | + (-5)| −3 4 5 1 | = 1(-8-1) +3(6-5) – 5 ( - 3 – 20 ) = -9 + 3 + 115 = 109. Otra forma(método) diferente para calcular un determinante de orden 3x3 es mediante la ley de Sarrus. | 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 |= (a11a22a33 + a21a32a13 + a23a12a31) – (a31a22a13 + a21a12a33 + a23a32a11). a11 a12 a13 a11 a12 0 a11 a12 a13 a21 a22 a23 a21 a22 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a31 a32 a31 a32 a33 a11 a12 a13 a22 a21 a22
  • 2. EJEMPLO. | 1 2 3 −3 1 5 2 1 −4 | = 1(1)(-4) + (-3)(1)(3) + 2(2)(5) – [ 3(1)(2) + 5(1)(1) + (-4)(2)(- 3)] = -4 -9 + 20 – 6 – 5 -24 = - 28 MENOR COMPLEMENTARIO. ADJUNTO (COFACTOR). Sea A = [a1 j]nxn se llama menor complementario o simplemente menor de la matriz A al determinante de orden n – 1 formado al eliminar de A la fila i y la columna j, se denota |𝑀𝑖𝑗| . El menor |𝑀𝑖𝑗| acompañado de su signo se llama el cofactor o Adjunto del elemento ai j y se denota por Ai j = (-1)i + j |𝑀𝑖𝑗| El determinante de A es igual a la suma de los elementos de una línea (filas o columnas) por sus respectivos Adjuntos. a11 a12 a13 a14 . . . .. . a1n a21 a22 a23 a24 . . . . . . a2n A = a31 a32 a33 a34 . . . . . . a3n . . . . . . . . . . . . . .. an1 an2 an3 an4 . . . . . .ann nxn |𝐴|= ai 1Ai1 + ai 2 Ai 2 + ai 3 Ai 3 + . . .+ ai nAi n Fila i |𝐴|= a1 j A1 j + a2 j A2 j + a3 j A3 j + . . .+ a n jAn j columna j EJEMPLOS. 1. | 2 −1 3 −2 0 1 3 2 −1 2 1 4 0 1 3 2 |= 2(-1)1 + 1 | 1 3 2 2 1 4 1 3 2 | + (-1) (-1)1 + 2 | 0 3 2 −1 1 4 0 3 2 | + 3 (-1) 1 + 3 | 0 1 2 −1 2 4 0 1 2 | + (-2)(-1) 1 + 4 | 0 1 3 −1 2 1 0 1 3 | = 2(1) (0) + (-1)(-1)(0) + 3(1)(0) + (-2)(-1)(0) = 0 Fila 1
  • 3. 2. | 3 0 1 2 6 −2 −5 4 −1 0 2 4 3 0 −2 1 | = (-2)(-1)2 + 2 | 3 1 2 −1 2 4 3 −2 1 | = -2 (1) ( 30 + 13 -8 ) = -2(35) = - 70 por columna 2, los demás componentes son ceros. PROPIEDADES DE LOS DETERMINANTES. 1. Si cada uno de los elementos de una fila ( o columna) es igual a cero, el valor del determinante es cero. | 4 0 −3 2 0 5 −1 0 6 | = 0 2. El determinante de una matriz cuadrada es igual al determinante de su transpuesta. |𝐴| = |𝐴𝑡| 3. Si dos filas (0 columnas) de un determinante son intercambiados, el signo del determinante que da cambiado. | 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 | = - | 𝑔 ℎ 𝑖 𝑑 𝑒 𝑓 𝑎 𝑏 𝑐 | 4. Si un determinante tiene dos filas (o columnas) iguales, el determinante vale cero. | 6 −3 6 5 7 5 3 9 3 | = 0 5. Si cada uno de los elementos de una fila (o columna) de un determinante se multiplica por el mismo número k, el valor del determinante queda multiplicado por k. | 𝑎 𝑏 𝑐 𝑘𝑑 𝑘𝑒 𝑘𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 | = k | 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 ℎ 𝑖 |
  • 4. 6. El valor de un determinante no cambia si a los elementos de cualquier fila (o columna) se le suman k veces los correspondientes elementos de cualquier otra fila (o columna). fi→fi + kfj ( no bfi + kfj) | −1 3 4 4 2 −3 2 1 3 | = | −1 3 4 1 11 9 2 1 3 | la fila 2 se le suma 3 veces la fila 1. 7. Si en un determinante una fila (o columna) se multiplica por otra el valor del determinante es cero. | 2 −3 1 3 −2 5 −6 9 −3 | = 0 La fila 3 es – 3 veces la fila 1 8. Si A es triangular, entonces su determinante es igual al producto de sus elementos de la diagonal principal. | 2 −5 7 0 −6 4 0 0 5 | = 2(-6)(5) = -60 | 3 0 0 4 7 0 0 5 6 | = 3(7)(6) = 126 Calcular el valor de los siguientes determinantes utilizando si es posible las propiedades. 1. | 1 2 −3 4 3 4 −7 6 5 6 −7 5 −8 −9 1 2 | = | 1 2 −3 4 0 −2 2 −6 0 −4 8 −15 0 7 −23 34 | = 1 | −2 2 −6 −4 8 −15 7 −23 34 | f2→f2-3f1, f3→f3-5f1, f4→f4 + 8f1, columna 1 = - 2 | 1 −1 3 −4 8 −15 7 −23 34 | = - 2 | 1 −1 3 0 4 −3 0 −16 13 |= - 2.1| 4 −3 −16 13 |= -2 (4) = -8 f2→f2 + 4f1, f3→f3 – 7f1 2. | 1 2 3 4 0 −2 1 2 0 1 1 3 0 4 −3 2 | = | −2 1 2 1 1 3 4 −3 2 | = | 0 3 8 1 1 3 0 −7 −10 |= -| 3 8 −7 −10 | f1→f1+2f2, f3→f3-4f2 = - ( - 30 + 56 ) = - 26
  • 5. 3. | 1 1 1 𝑥 𝑦 𝑧 𝑥2 𝑦2 𝑧2 | = | 1 0 0 𝑥 𝑦 − 𝑥 𝑧 − 𝑥 𝑥2 𝑦2 − 𝑥2 𝑧2 − 𝑥2 | = | 𝑦 − 𝑥 𝑧 − 𝑥 𝑦2 − 𝑥2 𝑧2 − 𝑥2| c2→c2 – c1, c3→c3- c1 = | 𝑦 − 𝑥 𝑧 − 𝑥 (𝑦 + 𝑥)(𝑦 − 𝑥) (𝑧 − 𝑥)(𝑍 + 𝑥)| = (y – x)( z – x)| 1 1 𝑦 + 𝑥 𝑧 + 𝑥 | c2→c2 – c1 = (y – x )(z – x )| 1 0 𝑦 + 𝑥 𝑧 − 𝑦 | = (y – x)(z – x)(z – y) 4. | | 1 2 3 4 5 2 3 4 5 1 3 4 5 1 2 4 5 1 2 3 5 1 2 3 4 | | = | | 1 2 3 4 5 0 −1 −2 −3 −9 0 −2 −4 −11 −13 0 −3 −11 −14 −17 0 −9 −13 −17 −21 | |= f2→f2-2f1, f3→f3-3f1 f3→f3-2f2, f4→f4-3f1 f4→f4-4f1, f5→f5-5f1 f5→f5-9f2 | | 1 2 3 4 5 0 −1 −2 −3 −9 0 0 0 −5 5 0 0 −5 −5 10 0 0 5 10 60 | | = - | | 1 2 3 4 5 0 −1 −2 −3 −9 0 0 −5 −5 10 0 0 0 −5 5 0 0 5 10 60 | | = f3 ↔ f4 f5→f5 + f3 - | | 1 2 3 4 5 0 −1 −2 −3 −9 0 0 −5 −5 10 0 0 0 −5 5 0 0 0 5 70 | |= − | | 1 2 3 4 5 0 −1 −2 −3 −9 0 0 −5 −5 10 0 0 0 −5 5 0 0 0 0 75 | |= f5→f5 + f4 = - (1)(-1)(-5)(-5)(75) = 1875 5. Determinar el valor de x | 𝑥 + 2 −5 4 𝑥 − 7 |= 0, (x+2)(x-7) + 20 = x2 – 5x + 6 = ( x – 3 )(x – 2) = 0 x – 3 = 0, x = 3, x – 2 = 0, x = 2 6. Resolver para x
  • 6. | 𝑥 − 1 −2 2 −1 𝑥 −2 −1 −1 𝑥 − 1 | = 0 = | 𝑥 − 1 −2 0 −1 𝑥 𝑥 − 2 −1 −1 𝑥 − 2 | = (x – 2 )| 𝑥 − 1 −2 0 −1 𝑥 1 −1 −1 1 |= c3→c3 + c2 f2→f2 – f3 (x – 2 )| 𝑥 − 1 −2 0 0 𝑥 + 1 0 −1 −1 1 |= (x – 2 )| 𝑥 − 1 −2 0 𝑥 + 1 |= (x- 2)(x-1)(x+1) = 0 x – 2 = 0, x = 2, x – 1 = 0, x = 1, x + 1 = 0 , x = - 1. 7. Resolver para x | 𝑥 + 3 −1 1 5 𝑥 − 3 1 6 −6 𝑥 + 4 |=0=| 𝑥 + 2 −1 1 𝑥 + 2 𝑥 − 3 1 0 −6 𝑥 + 4 |=(x+2)| 1 −1 1 1 𝑥 − 3 1 0 −6 𝑥 + 4 | c1→c1+ c2 c2→c2 + c3 = (x + 2) | 1 0 1 1 𝑥 − 2 1 0 𝑥 − 2 𝑥 + 4 |= (x+2)(x-2)| 1 0 1 1 1 1 0 1 𝑥 + 4 |= c3→c3 – c1 (x+2)(x-2)| 1 0 0 1 1 0 0 1 𝑥 + 4 | = (x+2)(x-2)(x+4) = 0 x+2 = 0, x = -2 , x – 2 = 0, x= 2, x +4 = 0, x = - 4 8. Resolver para x | 𝑥 + 3 2 𝑥 𝑥 + 1 |= 3, | 𝑥 + 3 2 𝑥 𝑥 + 1 | = (x+3)(x+1) – 2x = x2 + 4x + 3 – 2x = 3 x2 + 4x – 2x + 3 – 3 = 0, x2 + 2x = x(x+2) = 0. x = 0, x + 2 = 0, x = - 2 REGLA DE CRAMER En la expresión matricial AX = B, donde A es cuadrada (nxn). La solución general de este sistema es: 𝑋𝐼 = ∆𝑋𝑖 ∆𝑆 Donde ∆S es el determinante de la matriz A y ∆𝑋𝑖 es aquel determinante que se obtiene al remplazar en la columna i, por la columna de los términos independientes.
  • 7. Si en el sistema AX= B se tiene: A. Si |𝐴| ≠ 0, entonces el sistema tiene solución única. B. Si |𝐴| = 0 y algún ∆𝑋𝑖 ≠ 0, el sistema es incompatible, no tiene ninguna solución. C. Si |𝐴| = 0 y ∆𝑋𝑖 = 0, para todo i, entonces el sistema tiene un número infinito de soluciones. Ejemplos. Resolver por la regla de Cramer los siguientes sistemas. 1. 2x1 – 3x2 = 7 ∆S = | 2 −3 3 5 |= 10 + 9 = 19, ∆𝑥1 = | 7 −3 1 5 |= 35+3=38 3x1 + 5x2 = 1 ∆x2 = | 2 7 3 1 | = 2 – 21= - 19 x1 = ∆𝑋1 ∆𝑆 = 38 19 = 2, x2 = ∆𝑋2 ∆𝑆 = −19 19 = -1 Solución x1 = 2, x2 = - 1 2. 3x1 – x2 + 2x3 = -1 2x1 + x2 – x3 = 5 x1 + 2x2 + x3 = 4 ∆S = | 3 −1 2 2 1 −1 1 2 1 | = 3(3) + 1(3) + 2(3) = 18 ∆𝑥1= | −1 −1 2 5 1 −1 4 2 1 | = -1(3) + 1(9) + 2(6) = 18 ∆x2 = | 3 −1 2 2 5 −1 1 4 1 | = 3(9) + 1(3) + 2(3) = 36 ∆𝑥3 = | 3 −1 −1 2 1 5 1 2 4 | = 3(-6) + 1(3) - 1(3) = -18 x1 = ∆𝑋1 ∆𝑆 = 18 18 = 1, x2 = ∆𝑋2 ∆𝑆 = 36 18 = 2, x3 = ∆𝑥3 ∆𝑆 = −18 18 = -1 Solución; x1 = 1, x2 = 2, x3 = - 1
  • 8. 3. 2x1 – 3x2 + x3 = 5 x1 + 2x2 – x3 = 7 6x1 – 9x2 + 3x3 = 4 ∆S = | 2 −3 1 1 2 −1 6 −9 3 | = 0 ∆𝑥1= | 5 −3 1 7 2 −1 4 −9 3 | = 5(-3) + 3(25) +1(-71) = -11 Como ∆S = 0 y ∆𝑥1 = - 11≠ 0, entonces el sistema no tiene solución. 4. x1 – 4x2 + 3x3 = 2 2x1 + 6x2 – 5x3 = - 1 2x1 – 8x2 + 6x3 = 4 ∆S = | 1 −4 3 2 6 −5 2 −8 6 | = 0 ∆𝑥1= | 2 −4 3 −1 6 −5 4 −8 6 | = 0 ∆𝑥2 = | 1 2 3 2 −1 −5 2 4 6 | = 0 ∆𝑥3= | 1 −4 2 2 6 −1 2 −8 4 | = 0 Como todos los ∆𝑥𝑖 = 0, el sistema tiene infinitas soluciones. 5. – 3x1 + 4x2 – 2x3 = 5 2x1 – 5x2 + x3 = - 1 4x1 + 3x2 – 2x3 = 2 ∆S = | −3 4 −2 2 −5 1 4 3 −2 | = -3(7) - 4(-8) - 2(26) = - 41 ∆𝑥1= | 5 4 −2 −1 −5 1 2 3 −2 | = 5(7) - 4(0) - 2(7) = 21 ∆x2 = | −3 5 −2 2 −1 1 4 2 −2 | = -3(0) - 5(-8) - 2(8) = 24 ∆𝑥3 = | −3 4 5 2 −5 −1 4 3 2 | = -3(-7) - 4(8) + 5(26) = 119
  • 9. x1 = ∆𝑋1 ∆𝑆 = 21 −41 = - 21 41 , x2 = ∆𝑋2 ∆𝑆 = 24 −41 = - 24 41 , x3 = ∆𝑥3 ∆𝑆 = 119 −41 = - 119 41 Solución; x1 = - 21 41 , x2 = - 24 41 , x3 = - 119 41 ACTIVIDAD. A. Calcular los siguientes determinantes: 1. | −4 7 5 2 5 2 6 −8 9 | 2. | 1 −2 3 0 2 1 −2 0 3 2 4 7 6 −3 −2 0 | 3. | 3 0 1 2 6 −2 −5 4 −1 0 2 4 3 0 −2 1 | 4. | 1 0 −2 5 2 −1 0 4 −3 2 2 3 0 1 −5 4 | 5. | 3 −1 0 3 0 4 3 2 −1 3 0 4 2 −3 3 7 | 6. | −2 6 4 0 5 −2 3 0 0 1 −1 3 1 5 4 2 | B. Resolver los siguientes sistemas utilizando la regla de Cramer. 7. x1 – 2x2 + x3 = 2 8. 3x1 – 4x2 + x3 = 18 2x1 + 3x2 – x3 = 3 - 2x1 + 2x2 + 3x3 = - 7 -3x1 + x2 + 4x3 = – 15 4x1 – 2x2 + x3 = 17 9. 2x1 – 4x2 + 2x3 = - 3 10. – 2x1 + 3x2 – 5x3 = -11 4x1 + 2x2 – 3x3 = - 16 x1 + 2x2 – 3x3 = - 3 -2x1 + x2 – 4x3 = -1 4x1 – 3x2 + x3 = 19 11. 3x1 – 2x2 + 4x3 = 46 12. 3x1 – x2 + 2x3 = - 1 x1 + 4x2 – 3x3 = - 29 2x1 + x2 – x3 = 5 -2x1 + x2 + 2x3 = 3 x1 + 2x2 + x3 = 4 13. 2x1 – 5x2 + 2x3 = -17 14. -2x1 – 5x2 + 2x3 = 12 -3x1 + 5x2 + 4x3 = 25 5x1 + 2x2 + 3x3 = 23 5x1 – 4x2 + 2x3 = - 20 2x1 – 6x2 - 4x3 = 2