CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N2                                           5.1. IntroducciónUna ecuación ...
y  Φx,C1 ,C 2                  5.3. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenLa ecuación lineal general de seg...
Las relaciones (1) y (2) se pueden combinar de la forma siguiente. Si y1 , y 2 son dos soluciones de laecuación anterior c...
Calculemos y 2 , y  y sustituyamos en la ecuación diferencial, se tiene entonces                    2                  ...
1. La ecuación característica tiene dos raíces           reales distintas. Sean r1 y r2 estas raíces, por tantoy1  e r 1 ...
5.7. Ecuaciones de segundo orden no homogéneasSea la ecuación diferencial lineal                                          ...
Es decir                                     es una solución de la ecuación diferencial:       ( )     ( ) ( )            ...
Como y1, y2 son soluciones de la ecuación homogénea, los términos entre paréntesis son cero, con lo cual setiene          ...
Sean y1…….y n soluciones de la ecuación homogénea. Entonces se verifica1. y1 + y2 +………y n es una solución de la homogénea2...
Por tanto se tiene y =y h + y p                   5.13. Ecuación homogénea con coeficientes constantesSea la ecuación dife...
P n (x)                    El 0 es una raíz del polinomio                     x s Pn (x)                             Cara...
La ecuación diferencial se transforma en                                       dp             dp                          ...
y  C 1 e x  C 2 e 2x                                           e x C 1  e x C 2  0                                    ...
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Solución particular de la completa, para ello ensayamos una solución del tipo y p  a x 2  b x  cSolución general de la ...
Ensayo una solución del tipo: y p2  K x 2 e xDe donde obtenemos y p2  2 x 2 e x                                        ...
K2          2                                          y  K1x2          ex  x   2                                ...
Ecuación característica rr  1r  2   rr  1  3 r  8  0                                              r3  2 r2 ...
Solución particular de la completa                                                                            - 10        ...
Por tanto, y p = y p1+y p2       1Para     sen 3 x ensayamos soluciones del tipo: A sen 3 x+ B cos 3 x, obteniéndose la so...
16. Resolver la ecuación diferencial y4y13 y  sen x  e             5                                                 ...
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Ecuaciones Diferenciales de orden n

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  1. 1. CAPITULO 5. ECUACIONES DIFERENCIALES DE ORDEN N2 5.1. IntroducciónUna ecuación diferencial de segundo orden es una expresión matemática en la que se relaciona una funcióncon sus derivadas primera y segunda. Es decir, una expresión del tipo ( )La ecuación anterior se dice escrita en forma normal cuando tenemos: ( ) 5.2. Reducción de ordenEste método consiste en reducir el problema de resolver una ecuación diferencial de segundo orden aun problema de resolver una o más ecuaciones diferenciales de primer orden. Casos a considerar5.2.1. Ecuaciones que no contienen la variable y. Sea la ecuación ( )=0. Haciendo ,se deduce . Por tanto la ecuación diferencial dada se transforma en la ecuación diferencial deprimer orden f x,p, p  0Resolviendo esta ecuación se obtiene p, de donde finalmente, se tiene y   px dx  y  Φx,C1 ,C 2 5.2.2. Ecuaciones que no contiene la variable x. Sea la ecuación ( )=0. Haciendo ,se tiene d y dp dy dp y   p dx dy dx dyLa ecuación dada se transforma en  dp  f  y ,p, p   0   dy  Resolviendo esta ecuación se obtiene p, de donde posteriormente se obtiene 1
  2. 2. y  Φx,C1 ,C 2  5.3. Ecuaciones diferenciales lineales de segundo ordenLa ecuación lineal general de segundo orden puede escribirse en la forma estándar yPx yQx y  Rx En la cual P(x) , Q(x) , R(x) son funciones conocidasTeorema 1.De existencia y unicidad para el problema del valor inicial Sean P, Q, R funcionescontinuas en un intervalo I y sea x 0  I . Sean y 0 , y 0 dos números reales cualesquiera. El problema delvalor inicial y Px yQx y R x  , yx 0   y 0 , yx 0   y 0tiene solución única definida en I 5.4. Ecuaciones diferenciales lineales homogéneas de segundo ordenLa ecuación lineal general de segundo orden yPx yQx y  Rx es homogénea , si R(x) = 0 , xI y Px y Qx y  0Teorema 2. Sean y1 , y 2 soluciones de la ecuación lineal homogénea en un intervalo I. Entonces severifica1. y1  y 2 es una solución en I2. Para cualquier constante c, c y1 es una solución en I 2
  3. 3. Las relaciones (1) y (2) se pueden combinar de la forma siguiente. Si y1 , y 2 son dos soluciones de laecuación anterior c1 y1 c 2 y 2 es una solución para dos constantes cualesquieraDefinición 1. Las soluciones y1 , y 2 son linealmente dependientes en un intervalo I si existen dosnúmeros reales no todos nulos tales que c1 y1+c2 y2 =0Si la relación anterior solamente se verifica si c1=c2 =0 entonces y1, y2 son linealmente independientes.Las soluciones y1, y2 forman un sistema fundamental de soluciones si son linealmente independientesTeorema 3. Estudio del wronskiano para la independencia linealSea la ecuación homogénea de segundo orden ( ) ( ) , y sean y1, y2 soluciones de laecuación diferencial dada en el intervalo I . Se demuestra que si el Wronskiano de [y1 , y2] que viene dadopor el determinante y1 x  y 2 x  W y1 ,y 2   y1 x  y 2 x  es distinto de cero , entonces y1 , y2 son linealmente independientesTeorema 4. Sean y1, y2 soluciones independientes de: ( ) ( ) en un intervalo I. Sedemuestra que toda solución de la ecuación diferencial es de la forma y = c1 y1+c2 y2, siendo c1 ,c 2constantes. La combinación lineal: c1 y1+c2 y2 es la solución general de la ecuación diferencial si y1 , y2son linealmente independientes . Esta solución contiene todas las posibles soluciones de la ecuacióndiferencial5.4.1. Obtención de una segunda solución a partir de una solucion conocida. Sea la ecuación linealhomogénea de segundo orden ( ) ( )Supongamos que se conoce una solución y1 de la ecuación diferencial. Se trata de buscar una segundasolución linealmente independiente de la forma y2(x)= u(x) y1(x) 3
  4. 4. Calculemos y 2 , y  y sustituyamos en la ecuación diferencial, se tiene entonces 2    y 1 u  2y 1  Py 1 u y   Py 1  Qy 1 u 0 1   Como y1  Py1  Qy1  0 . La nueva ecuación diferencial será u  y1  2y1  Py1 u  0 Haciendo , la ecuación diferencial dada se transforma en  2y   p  1 P p  0  y   1 Ecuación lineal de donde obtenemos p. A continuación se calcula u en función de p, con lo cualy2(x)= u(x) y1(x) es una solución de la ecuación diferencial original, siendo y1 , y2 linealmenteindependientes ya que u(x) no es constante. Por tanto y1, y2 forman un conjunto fundamental desoluciones de la ecuación original. La solución general es de la forma y = c1 y1+ c2 y2 5.5. Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantesEsta ecuación es de la forma ( )Supongamos q (x) = 0. Esta ecuación tiene siempre soluciones del tipo exponencial de la forma y= e r x . Lasustitución de esta solución en la ecuación diferencial nos da r 2 a r be r x  0Como e rx 0, x, se tiene que . Esta ecuación se llama ecuación característica de laecuación diferencial. Las raíces dan valores de r para los cuales e r x es una solución de la ecuación.Estas raíces son  a  a 2  4b r 2Las raíces pueden ser: Dos raíces reales distintas. Una raíz real doble. Raíces complejas conjugadas 4
  5. 5. 1. La ecuación característica tiene dos raíces reales distintas. Sean r1 y r2 estas raíces, por tantoy1  e r 1 x , y 2  e r 2 x son soluciones de la ecuación diferencial. Estas soluciones son linealmenteindependientes en cualquier intervalo por ser el wronskiano 0 , luego y1 ,y2 forman un conjuntofundamental de soluciones, por tanto la solución general de la ecuación homogénea es y c1 e r x1 c 2 e r 2 x 22. La ecuación característica tiene dos raíces reales iguales. En este caso: a -4 b=0. Una solución de esta a  xecuación diferencial es: y  e 2 Para obtener una segunda solución buscamos soluciones de la forma : ( ) ( ) . La solución general de la ecuación diferencial será a  x yx   c1 c 2 x e 23. La ecuación característica tiene dos raíces complejas conjugadas. En este caso: a2 - 4 b< 0 . Sean a 4b a 2 m   , n . 2 2Las raíces son: r1= m +i n, r2= m – i n . La solución general de esta ecuación diferencial será: y= e m x (C1 cos n x+ C2 sen n x) 5. 6. Ecuación diferencial de EulerEsta ecuación es de la forma , x >0Para resolver esta ecuación se hace el cambio t = L x , con lo cual la ecuación diferencial dada setransforma en la ecuación de coeficientes constantes ( ) 5
  6. 6. 5.7. Ecuaciones de segundo orden no homogéneasSea la ecuación diferencial lineal ( ) ( ) ( ) (1)Teorema 5. Sean y1, y2 un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea y sea y p unasolución cualesquiera de la ecuación (1). Entonces toda solución de la ecuación (1) es de la forma y  c1 y1  c 2 y 2  y pPor tanto el teorema nos dice que conocemos todas las soluciones de la ecuación dada, si podemoshallar un conjunto fundamental de soluciones de la ecuación homogénea junto con una soluciónparticular cualesquiera de la ecuación no homogéneaLa ecuación ( ) ( ) , es la ecuación homogénea asociada de la ecuación (1)La solución c1 y1+c2 y2 la denotamos por y h. La solución es la solución general de laecuación diferencial 5.8. Principio de superposiciónSea la ecuación diferencial ( ) ( ) ( )Siendo R(x) la suma de un numero finito de funciones R(x)= f1(x)+f2(x) +…….+f n(x)y supongamos que podemos hallar una solución particular y j de cada uno de los problemas ( ) ( ) ( )Se demuestra que la suma de estas soluciones particulares es una solución particular de ( ) ( ) ( ) 6
  7. 7. Es decir es una solución de la ecuación diferencial: ( ) ( ) ( ) 5.9. Método de variación de los parámetrosSea la ecuación diferencial ( ) ( ) ( ) (2)P(x), Q(x) , R(x) son funciones continuas en un intervalo I . Supongamos que podemos hallar dossoluciones linealmente independientes y1 , y2 de la ecuación homogénea, el método de variación de losparámetros intenta obtener una solución particular de la ecuación dada en la forma y p= u(x) y1(x)+ v(x) y2(x)Se necesitan dos ecuaciones para calcular u(x) y v(x). Para ello vamos a operar en la ecuación (2) de lasiguiente forma y p u y1 vy 2 uy1 vy 2 Por otra parte de u y v exigimos que deben satisfacer la ecuación uy1  vy 2  0 (3)     Ahora bien y p  u y 1 v y 2 uy 1 vy 2 . Por tanto la ecuación y   Px y p  Qx y p  R x  pse transforma en uy1  vy 2  u y1  vy   Pu y1  vy 2  Q u y1  vy 2   R(x)   2 Esta ecuación se puede escribir como uy1  Py1  Qy1 vy  Py 2  Qy 2 uy1  vy 2  R x    2  7
  8. 8. Como y1, y2 son soluciones de la ecuación homogénea, los términos entre paréntesis son cero, con lo cual setiene uy1 vy 2  R x   (4)De las ecuaciones (3 y 4) se tiene y1 u  y 2 v  0  y1 u  y 2 v REl determinante de los coeficientes es distinto de cero por ser el wronskiano [y1,y2]  0 , al ser y1,y2linealmente independientes . Por tanto 0 y2 y1 0   R y 2 y2 R y 1 R y1 R u   v   W W W WPosteriormente se calculan u y v. Finalmente se obtiene y p=u(x) y1(x)+ v(x) y2(x) 5.10. Ecuaciones diferenciales de orden nDefiniciones. Se define el problema del valor inicial de la ecuación diferencial lineal de orden n de laforma ( ) (x) ( ) yx 0   y 0 , y x 0   y 0 ,...........y n 1 x 0   y 0 1 nSiendo a1(x)….a n(x) funciones continuas en un intervalo abierto I. Este problema tiene solución única en I 5.11. Ecuación lineal homogénea de orden nSea la ecuación diferencial lineal homogénea de orden n ( ) (x) ( ) 8
  9. 9. Sean y1…….y n soluciones de la ecuación homogénea. Entonces se verifica1. y1 + y2 +………y n es una solución de la homogénea2. c y i es una solución para cualquier numero cPrueba del Wronskiano. Sean y1 ,.........y n soluciones de la ecuación diferencial ( ) (x)en un intervalo abierto I . Entonces se verifica1. W(x)= 0 xI o bien W(x)0 xI2 .y1 , y2 ,………y n son linealmente independientes en I si y solo si W(x0)0 para algún x0 en ITeorema 6. Sean y1, y2,………y n soluciones linealmente independientes de ( ) (x)en un intervalo abierto I .Entonces c1y1 +……+c n y n es la solución general de la ecuación diferencialhomogénea. 5.12. Ecuación lineal no homogénea de orden nSea la ecuación lineal no homogénea ( ) (x) ( )y sea y p cualquier solución de ( ) (x) ( )Sean y1,………y n soluciones linealmente independientes de la ecuación homogénea. Cualquier soluciónde la ecuación no homogénea se puede escribir en la forma y =c1y1+c2y2+……..+c n y n + y p 9
  10. 10. Por tanto se tiene y =y h + y p 5.13. Ecuación homogénea con coeficientes constantesSea la ecuación diferencial lineal de orden n con coeficientes constantesSupongamos que y=e r x es una solución de la ecuación diferencial, al sustituir en dicha ecuación se tiene e r x ( r n+a1 r n-1+……+a n-1 r +a n )=0La ecuación característica adopta la forma . Esta ecuación tiene n - rxraíces, para cada raíz r de esta ecuación, e es una solución de esta ecuación. 5.14. Método de los coeficientes indeterminadosSea la ecuación diferencial no homogénea de coeficientes constantes: ( ) (5)La solución general de esta ecuación diferencial es y h + y p . Por tanto necesitamos obtener unasolución particular y p de la ecuación (5). Para aplicar el método de los coeficientes indeterminados lafunción f(x) ha de ser una suma algebraica de funciones tipo f i(x)= e a x [P n cos b x+ Q m (x) sen b x]Donde a , b R y P n (x) , Qm(x) son polinomios de grado n y m respectivamente . Por tanto, para cadauna de las funciones f i (x) se busca una solución particular tal y como se indica en la tabla siguiente enfunción de la forma de f i (x)Forma de f i (x) Raíces del polinomio Forma de la solución Característico. Particular siendo: k= Max [m, n]P n (x) El 0 no es una raíz del Polinomio característico. Pn x   10
  11. 11. P n (x) El 0 es una raíz del polinomio x s Pn (x) Característico de multiplicidad s P n (x) e a x (a real) El número a no es una raíz del e a x Pn (x) Polinomio característico.P n (x) e a x (a real) El número a es raíz del polinomio x s e a x Pn x   Característico de multiplicidad s Pn x  cos bx  Pn x cos bx  Los números i b no son Q m x sen bx Q  x sen bx m Raíces del polinomio característico  P x  cos bx    Pn x cos bx  e a x n  Q x  sen bx    i b son raíces del polinomio eax     Q x sen b x   m   m  Característico de multiplicidad s  Pn x cos bx    Pn cos bx  e  ax  Q x sen bx   a  ib Son raíces del polinomio x e   s ax   Q sen bx   m   m  Característico de multiplicidad sDonde Pn  A 0  A1 x  .........  A k x k  Q   B 0  B1 x  .........  B k x k nSon polinomios de coeficientes a determinar cuyo grado k, es el máximo entre los valores m y n.Observación: Este método no es aplicable a una ecuación del tipo: y’’-y = Tang x Ejercicios resueltos1. Integrar la ecuación diferencial: y  y   3  Ly dp dy dpEcuación diferencial en la que falta la x: Cambio: y  p  y   y dy dx dy 11
  12. 12. La ecuación diferencial se transforma en dp dp  p 2 Ly   2   Ly dy dy p 1 1  y Ly  y  C 1   y Ly  y  C 1 p dy dx   dx   y Ly  y  C dy 1 3 2 1 2 x  C1y  C2  y  y Ly 4 22. Integrar la ecuación diferencial y3 y2 y  e sen x xa) Ensayando una solución particularb) Hallando la integral general de la incompleta y aplicando el método de variación de los parámetrosSolución de la homogénea r2  3r  2  0  r  2 ,r  1 yH  C1 e2 x  C2 e xPara hallar integral general, ensayamos una solución particular de la completa y p  e x a cos x  b sen xSustituyendo en la ecuación diferencial se tiene 1 1  y p  e x  cos x  sen x  2 2 Solución general de la ecuación diferencial ex y  C1 e2 x  C2 ex  cos x  sen x 2b) Método de variación de los parámetros 12
  13. 13. y  C 1 e x  C 2 e 2x e x C 1  e x C 2  0 e x C 1  2 C 2 e x  e x sen x 0 ex e x sen x 2 ex C  1 x  sen x , C 2  e x sen x ex e ex 2 ex C 1  cos x  K 1  cos x  sen x  C 2  e  x    K2  2   y  cos x  K 1  e x    e x cos x  sen x  K  e 2 x  2   2   y  cos x  K 1  e x    e x cos x  sen x  K  e 2 x  2   2  1 x y  K1 ex  K2 e2x  e (cos x  sen x) 2 y3. Integrar la ecuación diferencial y  4 x 2 y  4 x 2 sen x 2 xConociendo dos soluciones de la incompleta y 1  sen x 2 , y 2  cos x 2Integral de la incompleta o homogénea y  C 1 sen x 2  C 2 cos x 2Apliquemos el método de variación de los parámetros C 1 sen x 2  C 2 cos x 2  0  C 1  2 x sen x 2 cos x 2   2   2 x cos x C 1  2 x C 2 sen x  4 x sen x  C 2  2 x sen 2 x 2 2 2 2   13
  14. 14. sen 2 x 2 C1   K1 2  x 2 sen x 2 cos x 2 C2    K2 2 2Integral general sen 3 x 2 x2 sen x 2 cos 2 x 2 y  K 1 sen x 2  cos x 2  K 2 cos x 2  2 2 24. Integrar la ecuación diferencial y y  x cos xa) A través del método generalb) Conociendo una solución particular de la incompleta y 1  e  xa) Solución de la homogénea y H  C 1  C 2 e xSolución particular de la completa, ensayo una solución del tipo y p  a x  bsen x  c x  d cos xSolución general de la ecuación diferencial 1 1 1  y  C 1  C 2 e x   x   sen x   x  1  cos x 2 2  2 b) y(x)= u (x) e –xSustituyendo en la ecuación diferencial y, y’, y’’ se obtiene u u  e x x cos xHaciendo u’=p , se obtiene la ecuación diferencial lineal pp  e x x cos xCuya solución es p  e x x sen x  cos x  K 1 De donde se obtiene 14
  15. 15. dy  e x x sen x  e x cos x  K 1 e x dxDe donde se obtiene 1 y  K 1  K 2 e x  sen x  2 cos x  x sen x  x cos x 25. Sea la ecuación diferencial de coeficientes variables x  1yx y y  x  .1 e 2 2xSe conocen dos soluciones particulares de la ecuación incompleta y 1  x , y 2  e xAplicar el método de variación de las constantes para obtener la integral general de la completaSolución: y  C 1 x  C 2 e x C 1 x  C 2 e x  0 C 1  C 2 e x  x  1 e 2 xSistema en C 1 , C 2 , que resolvemos por Cramer C 1  e 2 x , C 2  x e xIntegrando obtenemos C1, C2 e2x C 1    e 2 x dx    K1 2 C 2   xe x dx  e x x  1  K 2   e2x Solución general y       K 1 x  e x x  1  K 2 e x  2  1 2x y  K1x  K 2 ex  e x  e2x 26. Integrar la ecuación diferencial y3 y2 y  4 x 2y hallar una solución particular que pase por el origen , tal que la tangente en el tenga pendiente y 0  1Solución de la homogénea y  C 1 e 2 x  C 2 e x 15
  16. 16. Solución particular de la completa, para ello ensayamos una solución del tipo y p  a x 2  b x  cSolución general de la completa: y  C1 e 2 x  C2 e x  2 x2  6 x  7Calculemos ahora una solución particular con las condiciones dadas y(0)  0  C 1  C 2  7    C 1  2 , C 2  9 y (0)  1  C 2  2 C 1  6Solución particular: y(x)  2 e 2 x  9 e x  2 x 2  6 x  77. Integrar la ecuación diferencial y y  x e xSolución de la homogénea y H  C 1 cos x  C 2 sen xPara calcular una integral particular de la completa, ensayamos una solución del tipo y p1  a x  b e xSolución general de la ecuación diferencial 1 1 y G  C 1 cos x  C 2 sen x   x   e x 2 2 x8. Integrar la ecuación diferencial y2 y y  e sen x  4 e xSolución de la homogénea y h  C 1  C 2 xe xSolución particular de y2 y y  e  x sen x x xEnsayo una solución del tipo y p1  e a sen x  e b cos x e xDe donde se obtiene y p1  4 cos x  3 sen x 25Solución particular de y2 y y  4 e x 16
  17. 17. Ensayo una solución del tipo: y p2  K x 2 e xDe donde obtenemos y p2  2 x 2 e x exIntegral general y  e x C 1 x  C 2   (4 cos x  3 sen x)  2 x 2 e x 259. Integrar la ecuación diferencial de coeficientes variables x y2 y  x e obteniendo previamente 2 3 xuna solución particular de la incompleta de la forma y  x m . Calculemos a continuación una soluciónparticular tal que para y(1) = 0 e y’(1)=1Solución:Veamos primeramente la solución de la homogéneaSustituyendo y, y’, y’’ en la ecuación homogénea m 1  2   x 2 mm  1 x m 2  2 x m  0   m 2  1 C2 yh  C1 x2  xMétodo de variación de los parámetros para calcular la solución particular de la completa 1  C 1 x 2  C 2 0  x  ex  x3 ex   C1  ; C 2   1 x  3 3 2 C1 x  C2 2  e x x   ex ex C1  3  K1 ; C2  3  x 3  3 x 2  6 x  6  K 2  ex   ex 1   K1  x2   y   3   x 3  3 x 2  6x  6  K 2  x   3   Solución general 17
  18. 18. K2  2  y  K1x2   ex  x   2 x  x Integral particular  y1  0  K 1  K 2  e 1  2  2    y 1 (1)  1  2 K 1  K 2  e  eIntegral particular 1  e 2 1  2 e   2  y x   ex  x   2 3 3x  x 10. Integrar la ecuación diferencial y y  x cos xSolución de la homogénea y  C 1  C 2 e  xSolución particular de la completa 1 1 1 y p  a x  bsen x  c x  dcos x  a  ,b  , c  ,d  1 2 2 2Solución general 1 y  C 1  C 2 e x  sen x  x sen x  x cos x  2 cos x 2 x11. Integrar la ecuación diferencial 1  x3 y(1  x) 2 y1  x y8 y  1  x2La ecuación diferencial es de Euler. Hacemos el cambio L(1+x)=t  (1+x)=e t , de donde se obtiene (1+x) y’= y’(t) ; (1+x)2 y’’=y’’(t) - y’(t) (1+x)2 y’’’=y’’’(t) – b2 y’’(t)+b1 y’(t) b 2  r(r  1)....(r  n  1) 18
  19. 19. Ecuación característica rr  1r  2   rr  1  3 r  8  0 r3  2 r2  4 r  8  0Que se corresponde con la ecuación diferencial homogénea y (t)  2 y (t)  4 y(t)  8 y  0La ecuación diferencial completa será et  1 y (t)  2 y (t)  4 y(t)  8 y  e2tSolución de la homogénea y(t)  C 1 e 2 t  C 2 cos 2 t  C 3 sen 2 t 1Solución particular y 1  K 1 e  t  K 1   15 1Solución particular y 2  K 1 e 2 t  K 1  32Solución general 1 t 1 2 t y(t)  C 1 e 2 t  C 2 cos 2 t  C 3 sen 2 t - e  e 15 32Deshaciendo el cambio t = L (1+x) 1 L(1  x) 1 2 L(1  x) y(x)  C 1 e 2 L(1  x)  C 2 cos 2 L(1  x)  C 3 sen 2 L1  x  - e  e 15 32 1 1 y(x)  C 1 (1  x) 2  C 2 cos L(1  x) 2  C 3 sen L1  x  - 3  151  x  321  x 212. Resolver la ecuación diferencial y9y  10 x sen 2 xSolución de la homogénea y  C 1 e 3 x  C 2 e 3 x 19
  20. 20. Solución particular de la completa - 10  40 y p  a x  b sen 2 x  c x  d cos 2 x  a  , b  0 , c  0 ,d  13 169Solución general 10 40 y  C 1 e 3 x  C 2 e 3 x  x sen 2 x  cos 2 x 13 16913. Resolver la ecuación diferencial y3 y2 y  x  x e 2  3xSolución de la homogénea yh  C1 ex  C2 e 2 xSolución particular de la completa  yp  a x2  b x  c e3x Ensayando esta solución se tiene 1  y p   x 2  x  1 e 3 x 2 Solución general de la completa 1  y  C 1 e x  C 2 e 2 x   x 2  x  1 e 3 x 2 14. Resolver la ecuación diferencial y4 y4 y  cos 2 x sen xSolución de la homogénea y  C 1  C 2 xe 2 xSolución particular de la completa, para ello se pone el producto cos 2 x sen x de la forma siguiente: 1 cos 2 x sen x  sen 3 x  sen x 2 20
  21. 21. Por tanto, y p = y p1+y p2 1Para sen 3 x ensayamos soluciones del tipo: A sen 3 x+ B cos 3 x, obteniéndose la solución 2 5 6 y p1  sen 3 x  cos 3 x 338 169 1Para  sen x ensayamos soluciones del tipo: A sen x + B cos x , obteniéndose la solución 2 3 2 y p2   sen x  cos x 50 25Solución general: 5 6 3 2 y  C 1 x  C 2  e 2 x  sen 3x  cos 3 x  sen x  cos x 338 169 50 2515. Resolver la ecuación diferencial y3 y2 y  sen 2 x sen xSolución de la homogénea y  C1 e x  C2 e2 xSolución particular de la completa, para ello se pone el producto cos 2 x sen x de la forma siguiente: 1 sen 2 x sen x  cos x  cos 3 x 2Por tanto, y p = y p1+y p2 1Para cos x ensayamos soluciones del tipo: a cos x + b sen x 2 1Para  cos 3 x ensayamos soluciones del tipo: a cos 3 x + b sen 3 x 2Solución general 3 1 9 7 y  C1 ex  C2 e3x  sen x  cos x  sen 3 x  cos 3 x 20 20 260 260 21
  22. 22. 16. Resolver la ecuación diferencial y4y13 y  sen x  e 5 3xSolución de la homogénea y  e 2 x (C 1 cos 3 x  C 2 sen 3 x)Solución particular de la completa, para ello se pone el producto cos 2 x sen x de la forma siguiente: 1 sen 2 x sen x  cos x  cos 3 x 2Solución particular, y p = y p1+y p2 + y p3Para yp1 ensayamos soluciones del tipo y p1  a sen 3 x  b cos 3 xPara yp2 ensayamos soluciones del tipo y p2  k e 3 xPara yp3 ensayamos soluciones del tipo y p3  kSolución general de la ecuación diferencial 3 1 1 5 y  e 2 x C 1 cos 3 x  C 2 sen 3 x  sen x  cos x  e 3 x  40 40 10 13 22
  23. 23. 23
  24. 24. 24

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