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Semana 2 Sesión 1


Dinámica del cuerpo rígido
 Posición, velocidad y aceleración angular. Aceleración
tangencial y centrípeta. Energía rotacional. Momento de
                          inercia.




                          Física 1
Cuerpo rígido
•   Es un sistema de partículas que
    interactúan entre sí, pero cuyas
    posiciones     relativas permanecen
    constantes en el tiempo.

•   Todo cuerpo rígido posee un centro de          →
    masas, el cual describe un movimiento
    de traslación debido a la acción de las
                                                   F1   →
                                                        F2
    fuerzas externas que actúan sobre él.

•   Dicho movimiento se rige por las leyes
    de Newton.


                →
              d P CM    →
                     = ∑Fi                    →
                                              F3
                dt
Rotación de cuerpos rígidos
•   Un cuerpo rígido se define como aquel
    que no es deformable . O sea, en el que
    las distancias entre todos sus pares de
    partículas permanecen constantes.         Posición
                                               final

•   Al rotar, el cuerpo rígido realiza un
    movimiento circular que puede ser                    θ (t )
    descrito usando el concepto de
    velocidad angular, ω.                                         Posición
                                                                   inicial
                     ∆θ (t )
            ωmed   =
                      ∆t
                dθ (t )
             ω=
                 dt
                       rad
              [ ω] =
                        s
Ejemplo 9.1 Cálculo de la velocidad angular
•   El volante del un motor de automóvil
    sometido a prueba recorre una posición
    angular que está dada por:

                  θ ( t ) = 2, 0t 3
                                                          θ (t ) = 2, 0t 3
•   El diámetro del volante es de 0,36 m. a)
    Calcule el ángulo θ, en radianes y grados, en
    t1=2,0 s y t2 = 5,0 s. b) Calcule la distancia que
    una partícula en el borde se mueve durante
    ese intervalo. c) Calcule la velocidad angular
    media, en rad/s y en rpm, entre t1=2,0 s y t2 =
    5,0 s. d) Calcule la velocidad angular
    instantánea a los t = t2 = 5,0 s.
    θ1 = 16 rad = 920°
    θ1 = 250 rad = 14 000°                                   dθ
                                                         ω=      = 6, 0t 2
    s = rθ = ( 0,18 ) ( 250 − 16 ) m = 42 m                   dt
          ∆θ                                             ω = 150 rad/s
    ω=       = 78 rad / s = 740 rev / min
          ∆t
Dirección de la velocidad angular
Aceleración angular constante
•   La aceleración angular es la rapidez de
    cambio de la velocidad angular.

                     dω
                  α=
                     dt
•   En el caso de que la aceleración angular
    es constante, antiderivando, se puede
    hallar la expresión de la velocidad
    angular.
              ω (t ) = ω0 + α t
•   Antiderivando la expresión de la
    velocidad angular se tiene la expresión
    de la posición angular.

                              1
          θ (t ) = θ 0 + ω0t + α t 2
                              2
Ejemplo 9.3 Rotación con aceleración angular constante
•    El disco de una película de DVD se
     está deteniendo. La velocidad angular
     del disco en t = 0 es de 27,5 rad/s y su
     aceleración angular constante es de
     -10,0 rad/s2. Una línea PQ en la                        ω = 27 ,5 + ( −10 ,0)( 0 ,300 ) = 24 ,5 rad/s

     superficie del disco está a lo largo del
     eje +x en t = 0. a) ¿Qué velocidad
     angular tiene el disco en t = 0,300 s? b)
     ¿Qué ángulo forma la línea PQ con el
     eje +x en ese instante?


    ω = 27, 5 + ( −10, 0 ) ( 0, 300 ) = 24, 5 rad/s
                                  1
    θ = 0 + ( 27, 5 ) ( 0, 300 ) + ( −10, 0 ) ( 0, 300 )
                                                         2

                                  2
    θ = 7,80 rad = 447° = 1, 24 rev
Aceleraciones tangencial y centrípeta
•   Como la velocidad tangencial se         •   Por otro lado, la aceleración centrípeta
    relaciona con la velocidad angular.         o radial también se puede expresar a
                                                través de la velocidad angular.

    v = rω
                                                           v2
                                                      ac =          ac = r ω 2
                                                            r
•   La aceleración tangencial también se    •   El módulo de la aceleración de la
    relaciona con la aceleración angular.
                                                partícula se calcula por:


                                                         a = a t2 + a c2
    at = rα
Ejemplo 9.4
•   Un lanzador de disco gira el disco un
                                              a t = r α = 40,0 m/s 2
    círculo de radio 80,0 cm. En cierto
    instante, el lanzador gira con una        a c = ωr 2 = 80,0 m/s 2
    rapidez angular de 10,0 rad/s y la
    rapidez angular está aumentando a
    razón de 50 rad/s2. Calcule las          a = a t2 + a c2 = 89, 4 m/s 2
    componentes de la aceleración
    tangencial y centrípeta del disco y la
    magnitud de la aceleración.
Energía del movimiento rotacional
•   Si suponemos que un cuerpo rígido es                   1
    un conjunto de partículas, cada una               K i = mi vi2
    girando con velocidad angular ω                        2
    alrededor del eje fijo en z, entonces la
    energía cinética de una de las partículas
    será:




                                                               1
                                                  K = ∑ K i = ∑ mi vi2
•   La energía cinética total será la suma de                  2
    las energías cinéticas de las partículas; y
                                                      1
    como todas giran con la misma rapidez          K = ( ∑ mi ri2 ) ω 2
    angular, la expresión final será:                 2
Momento de inercia
•   La cantidad entre paréntesis se conoce   •   Si un cuerpo tiene un gran momento de
    como momento de inercia para un              inercia, es difícil ponerlo a girar si está
    conjunto discreto de partículas, I:          en reposo o es difícil frenarlo si está en
                                                 movimiento. Por esta razón, I también
              I = ∑ mi ri 2                      se denomina inercia rotacional.
                                             •   ¿En qué caso es mas fácil girar el
                                                 aparato?
•   Para un cuerpo con un eje de rotación
    dado y una masa total dada, cuanto
    mayor sea la distancia del eje a las
    partículas que constituyen el cuerpo,
    mayor será el momento de inercia.
•   El momento de inercia es una medida
    de la resistencia que presentan
    todos los cuerpos a cambiar su
                                             •   En función de I, la energía K total de
    estado de rotación. Así pues, un
    cuerpo que tenga un mayor momento            un cuerpo rígido será.
                                                                   1 2
    de inercia presentará una mayor                           K=     Iω
    resistencia a cambiar su estado de                             2
    rotación.
Ejemplo 9.7
•   Un ingeniero está diseñando una pieza
    mecánica formada por tres conectores
    gruesos unidos por puntales ligeros
    moldeados. a) ¿Qué momento de
    inercia tiene este cuerpo alrededor de
    un eje que pasa por el punto A y es
    perpendicular al plano del diagrama? b)
    ¿Y alrededor de un eje coincidente con
    la varilla BC? c) Si el cuerpo gira sobre
    el eje que pasa por A y es perpendicular
    al plano del diagrama, con rapidez I =  ( 0,30 ) ( 0 ) 2 + ( 0,10 ) ( 0, 50 ) 2 + ( 0, 20 ) ( 0, 40 ) 2  kg ×m 2
    angular ω = 4,0 rad/s, ¿qué energía                                                                     
    cinética tiene?                           I = 0,057 kg ×m 2

                                                      I =  ( 0,30 ) ( 0,40 ) + ( 0,10 ) ( 0 ) + ( 0, 20 ) ( 0 )  kg ×m 2
                                                                             2                2                 2
                                                                                                                 
                                                      I = 0,048 kg ×m 2
                                                            1
                                                      K = ( 0,057 ) ( 4,0 ) J = 0,46 J
                                                                           2

                                                            2
Ejercicio
•   Considere una molécula agua que gira
    en el plano xy alrededor del eje z. El eje
    pasa por ese centro de la molécula de
    oxígeno. Si d = 9,57 x 10-11 m y cada
    átomo de hidrógeno tiene una masa de
    1,0 u y el de oxígeno 16,0 u, determine
    la energía cinética de la molécula si se
    sabe que el conjunto rota con una
    velocidad angular de 4,60 x 1012 rad/s.
    Considere que los átomos son puntos
    materiales.
•   1 u = 1,66 × 10-27 kg

    I = ( mO ) ( 0 ) + 2 ( m H ) ( d )
                    2                    2




          1
    K=      ( 2m H d ) ω 2 = m H d ω 2 = 3, 36 ×10 −12 J
          2
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Momento de inercia

  • 1. Semana 2 Sesión 1 Dinámica del cuerpo rígido Posición, velocidad y aceleración angular. Aceleración tangencial y centrípeta. Energía rotacional. Momento de inercia. Física 1
  • 2. Cuerpo rígido • Es un sistema de partículas que interactúan entre sí, pero cuyas posiciones relativas permanecen constantes en el tiempo. • Todo cuerpo rígido posee un centro de → masas, el cual describe un movimiento de traslación debido a la acción de las F1 → F2 fuerzas externas que actúan sobre él. • Dicho movimiento se rige por las leyes de Newton. → d P CM → = ∑Fi → F3 dt
  • 3. Rotación de cuerpos rígidos • Un cuerpo rígido se define como aquel que no es deformable . O sea, en el que las distancias entre todos sus pares de partículas permanecen constantes. Posición final • Al rotar, el cuerpo rígido realiza un movimiento circular que puede ser θ (t ) descrito usando el concepto de velocidad angular, ω. Posición inicial ∆θ (t ) ωmed = ∆t dθ (t ) ω= dt rad [ ω] = s
  • 4. Ejemplo 9.1 Cálculo de la velocidad angular • El volante del un motor de automóvil sometido a prueba recorre una posición angular que está dada por: θ ( t ) = 2, 0t 3 θ (t ) = 2, 0t 3 • El diámetro del volante es de 0,36 m. a) Calcule el ángulo θ, en radianes y grados, en t1=2,0 s y t2 = 5,0 s. b) Calcule la distancia que una partícula en el borde se mueve durante ese intervalo. c) Calcule la velocidad angular media, en rad/s y en rpm, entre t1=2,0 s y t2 = 5,0 s. d) Calcule la velocidad angular instantánea a los t = t2 = 5,0 s. θ1 = 16 rad = 920° θ1 = 250 rad = 14 000° dθ ω= = 6, 0t 2 s = rθ = ( 0,18 ) ( 250 − 16 ) m = 42 m dt ∆θ ω = 150 rad/s ω= = 78 rad / s = 740 rev / min ∆t
  • 5. Dirección de la velocidad angular
  • 6. Aceleración angular constante • La aceleración angular es la rapidez de cambio de la velocidad angular. dω α= dt • En el caso de que la aceleración angular es constante, antiderivando, se puede hallar la expresión de la velocidad angular. ω (t ) = ω0 + α t • Antiderivando la expresión de la velocidad angular se tiene la expresión de la posición angular. 1 θ (t ) = θ 0 + ω0t + α t 2 2
  • 7. Ejemplo 9.3 Rotación con aceleración angular constante • El disco de una película de DVD se está deteniendo. La velocidad angular del disco en t = 0 es de 27,5 rad/s y su aceleración angular constante es de -10,0 rad/s2. Una línea PQ en la ω = 27 ,5 + ( −10 ,0)( 0 ,300 ) = 24 ,5 rad/s superficie del disco está a lo largo del eje +x en t = 0. a) ¿Qué velocidad angular tiene el disco en t = 0,300 s? b) ¿Qué ángulo forma la línea PQ con el eje +x en ese instante? ω = 27, 5 + ( −10, 0 ) ( 0, 300 ) = 24, 5 rad/s 1 θ = 0 + ( 27, 5 ) ( 0, 300 ) + ( −10, 0 ) ( 0, 300 ) 2 2 θ = 7,80 rad = 447° = 1, 24 rev
  • 8. Aceleraciones tangencial y centrípeta • Como la velocidad tangencial se • Por otro lado, la aceleración centrípeta relaciona con la velocidad angular. o radial también se puede expresar a través de la velocidad angular. v = rω v2 ac = ac = r ω 2 r • La aceleración tangencial también se • El módulo de la aceleración de la relaciona con la aceleración angular. partícula se calcula por: a = a t2 + a c2 at = rα
  • 9. Ejemplo 9.4 • Un lanzador de disco gira el disco un a t = r α = 40,0 m/s 2 círculo de radio 80,0 cm. En cierto instante, el lanzador gira con una a c = ωr 2 = 80,0 m/s 2 rapidez angular de 10,0 rad/s y la rapidez angular está aumentando a razón de 50 rad/s2. Calcule las a = a t2 + a c2 = 89, 4 m/s 2 componentes de la aceleración tangencial y centrípeta del disco y la magnitud de la aceleración.
  • 10. Energía del movimiento rotacional • Si suponemos que un cuerpo rígido es 1 un conjunto de partículas, cada una K i = mi vi2 girando con velocidad angular ω 2 alrededor del eje fijo en z, entonces la energía cinética de una de las partículas será: 1 K = ∑ K i = ∑ mi vi2 • La energía cinética total será la suma de 2 las energías cinéticas de las partículas; y 1 como todas giran con la misma rapidez K = ( ∑ mi ri2 ) ω 2 angular, la expresión final será: 2
  • 11. Momento de inercia • La cantidad entre paréntesis se conoce • Si un cuerpo tiene un gran momento de como momento de inercia para un inercia, es difícil ponerlo a girar si está conjunto discreto de partículas, I: en reposo o es difícil frenarlo si está en movimiento. Por esta razón, I también I = ∑ mi ri 2 se denomina inercia rotacional. • ¿En qué caso es mas fácil girar el aparato? • Para un cuerpo con un eje de rotación dado y una masa total dada, cuanto mayor sea la distancia del eje a las partículas que constituyen el cuerpo, mayor será el momento de inercia. • El momento de inercia es una medida de la resistencia que presentan todos los cuerpos a cambiar su • En función de I, la energía K total de estado de rotación. Así pues, un cuerpo que tenga un mayor momento un cuerpo rígido será. 1 2 de inercia presentará una mayor K= Iω resistencia a cambiar su estado de 2 rotación.
  • 12. Ejemplo 9.7 • Un ingeniero está diseñando una pieza mecánica formada por tres conectores gruesos unidos por puntales ligeros moldeados. a) ¿Qué momento de inercia tiene este cuerpo alrededor de un eje que pasa por el punto A y es perpendicular al plano del diagrama? b) ¿Y alrededor de un eje coincidente con la varilla BC? c) Si el cuerpo gira sobre el eje que pasa por A y es perpendicular al plano del diagrama, con rapidez I =  ( 0,30 ) ( 0 ) 2 + ( 0,10 ) ( 0, 50 ) 2 + ( 0, 20 ) ( 0, 40 ) 2  kg ×m 2 angular ω = 4,0 rad/s, ¿qué energía   cinética tiene? I = 0,057 kg ×m 2 I =  ( 0,30 ) ( 0,40 ) + ( 0,10 ) ( 0 ) + ( 0, 20 ) ( 0 )  kg ×m 2 2 2 2   I = 0,048 kg ×m 2 1 K = ( 0,057 ) ( 4,0 ) J = 0,46 J 2 2
  • 13. Ejercicio • Considere una molécula agua que gira en el plano xy alrededor del eje z. El eje pasa por ese centro de la molécula de oxígeno. Si d = 9,57 x 10-11 m y cada átomo de hidrógeno tiene una masa de 1,0 u y el de oxígeno 16,0 u, determine la energía cinética de la molécula si se sabe que el conjunto rota con una velocidad angular de 4,60 x 1012 rad/s. Considere que los átomos son puntos materiales. • 1 u = 1,66 × 10-27 kg I = ( mO ) ( 0 ) + 2 ( m H ) ( d ) 2 2 1 K= ( 2m H d ) ω 2 = m H d ω 2 = 3, 36 ×10 −12 J 2
  • 14. Fin de la presentación