Unitat 3:
Equacions amb una incògnita

Llenguatge algebraic
• Una expressió algèbrica és una sèrie de lletres
que representen nombres (valors que no
coneixem).
• En el llenguatge matemàtic s’utilitzen moltes
vegades les lletres com a substituts dels
nombres.
• Cal tenir present:
– Les lletres més utilitzades són: x i y , s’anomenen
incògnites

Exemples d’expressions
algèbriques
- Un nombre més quinze:
- Deu menys el doble d’un nombre:
- El quadrat d’un nombre més el seu doble:
- La suma d’un nombre i el triple d’un altre:
- La meitat d’un nombre:
- Les tres quartes parts d’un nombre:
- Setanta-tres mil·lèsimes d’un nombre:

Exemples d’expressions
algèbriques
- Un nombre més quinze: x + 15
- Deu menys el doble d’un nombre: 10 – 2a
- El quadrat d’un nombre més el seu doble: y2 + 2y
- La suma d’un nombre i el triple d’un altre: a + 3b
- La meitat d’un nombre: a/2
- Les tres quartes parts d’un nombre: 3b/4
- Setanta-tres mil·lèsimes d’un nombre: 0,073 x

Valor numèric
El valor numèric d’una expressió algèbrica és el nombre
obtingut en substituir les lletres que hi apareixen per
nombres determinats.
3x + 1
Si x = 2 3 . 2 + 1 =7
Si x = 0 3.0+1=1
Si x = -1 3 . (-1) + 1 = -3 + 1 = -2
Si x = ½
1 3 3 2 5
3. 1 1
2 2 2 2

Termes, coeficient i part literal
Anomenem terme d’una expressió algèbrica cada bloc de
nombres i lletres separats pels signes de suma o resta
2 3 3
3x 5 x x 3x 2 y
2
En aquesta expressió tenim 4 termes:
Cada terme pot tenir dues parts: coeficient i part literal

Operacions amb expressions
algèbriques
Sumes i restes:
La suma i la resta d’expressions algèbriques,
només es poden sumar i restar els termes
semblants.
Procediment:
- Es sumen o resten els coeficients dels termes
semblants.
- Es deixa la mateixa part literal
2a + 4a = a+a+a+a+a+a = 6a
5x – 2x = 3x
2a + 3b + 3a - b= 5a + 2b

Operacions amb expressions
algèbriques
La multiplicació o la divisió d’una expressió
algèbrica sempre es pot efectuar encara que
els termes no siguin semblants.
Procediment:
• Multiplicarem o dividirem els signes tenint en
compte la regla dels signes
• Multiplicarem o dividirem els coeficients
• Multiplicarem o dividirem la part literal
– Recordatori: xm · xn = xm+n
– Recordatori: xm : xn = xm-n

Exemples de multiplicacions
3a · 4a =
4x2: 2x=
4x · 5y3 =
-5x3 · 2x2=
2x · 3x4 · 10x3=
15xy2 · (-5y) =
10 y2 : 15 xy2 =
2 2

Solucions
3a · 4a = 12a2
4x2:2x= 2x1
4x · 5y3 = 20 xy3
-5x3 · 2x2= -10x5
2x · 3x4 · 10x3= 60x8
15xy2 · (-5y) = -75xy3
10 y2 : 15 xy2 = 20 x-1
2 2 30

Propietat distribuiva
Encara que no hi hagi el signe de multiplicació,
quan tenim un nombre davant d’un parèntesis,
està multiplicant als termes de dins els
parèntesis.
Exemples:
4 (x + 5y) = 4x + 20y
a (b + c) = a·b + a·c
a (b - c) = a·b - a·c
2x (3x +x) = 6x2 + 2x2

Multiplicació
(5x+11)·(x3+2x2+4) = 5x4 + 10x3+20x+11x3+22x2+44 =
5x4 +21x3 +22x2 +44

Factor comú
El factor comú és l’inversa de la propietat
distributiva
5·a +5·b =
x + x2 =
3x +3y + 3z =
6bx + 6by =
2x4 +12x3+18x=
12x3 -3x=
12x3 +12x2+3x-1=

Factor comú
El factor comú és l’inversa de la propietat
distributiva
5·a +5·b = 5 · (a + b)
x + x2 = x · (1 + x)
3x +3y + 3z = 3 ( x + y + z)
6bx + 6by = 6b ( x + y)
2x4 +12x3+18x= 2x ( x3 + 4x2 + 9)
12x3 -3x= 3x (4x2 - 1)
12x3 +12x2+3x-1= no puc

Productes notables
Quadrat d’una suma (a + b)2 Demo
El quadrat d’una suma és igual el quadrat del
primer, més el quadrat del segon més el doble
del primer pel segon
(a + b)2 = a2 + b2 + 2·a·b
Quadrat d’una diferència (a - b)2 Demo
El quadrat d’una diferència és igual el quadrat
del primer, més el quadrat del segon menys el
doble del primer pel segon
(a - b)2 = a2 + b2 - 2·a·b

Productes notables
Suma per diferència (a + b) · ( a – b)
El producte d’una suma per diferència és igual al
quadrat del primer menys el quadrat del segon.
(a + b) · ( a – b) = a2 - b2

Resolució d’equacions sense
parèntesis:
Passos a seguir per resoldre equacions
Exemple: 3x + 1 = -x + 9
• Agrupem a un costat els termes que portin x i a l’altre
costat els termes independents (termes sense x)
– Per passar d’un costat a l’altra de la igualtat canviarem els
termes de signe
3x + 1 = -x + 9
3x + x = +9 - 1
• Reduïm els termes semblants
4x = 8
• Aïllem la incògnita
x = 8/4
• Obtenim el resultat
x=2

Exercicis
a) x+3=5
b) x–4=8
c) x – 12 -3 =10
d) 2x + 6 = x + 10
e) 3x – 5 = 2x + 1
Enllaç per practicar
Un cop tenim el resultat hem de fer la
comprovació.

Resolució d’equacions amb
parèntesis:
Passos a seguir per resoldre equacions amb parèntesis:
Exemple: 2(x – 2) + 3(x-3) = 2 – 2(2x -1) +13
• Suprimim els parèntesis
2x – 4 + 3x - 9 = 2 – 4x + 2 +13
• Agrupem a un costat els termes que portin x i a l’altre
costat els termes independents (termes sense x)
2x + 3x +4x = 2 + 2 +13 +4 + 9
• Reduïm els termes semblants
9x = 30
• Aïllem la incògnita
x = 30/9
• Obtenim el resultat
x = 10/3

Resolució d’equacions amb
denominadors
Passos a seguir per resoldre equacions amb parèntesis:
x x
1
4 3
Multipliquem els dos membres pel mínim comú múltiple dels dos
denominadors m.c.m. (3, 4) =12
x x
12· 12. 1
4 3
12 x 12x
12
4 3
3 x 4 x 12
3x 4 x 12
x 12
x 12

Resolució de problemes
Lectura atenta En sumar 37 al doble d’un nombre,
de l'enunciat obtenim 97. De quin nombre es tracta?
Elecció de la Nombre que no coneixem =x
incògnita
Plantejament 2 x + 37 = 97
de l’equació
Resolució de 2x= 97 – 37
l’equació 2x = 60  x=60/2=30
Resposta El nombre és 30
Comprovació 2· 30 +37 = 60+37=90 Correcte!

Resolució de problemes
Lectura atenta Un pare té 33 anys i el seu fill 8. Al cap de
de l'enunciat quants anys l’edat del pare serà el doble
que la del seu fill?
Elecció de la Anys que transcorren =x
incògnita Ara: pare=33 i fill=8
x anys: pare = 33 + x fill= 8 + x
Plantejament de 33 + x = 2 . (8 + x)
l’equació
Resolució de 33 + x = 16 +2x
l’equació -x = 16-33  x=17
Resposta Al cap de 17 anys
Comprovació 33+17=50 i 2·(8+17)= 2·25=50 Correcte!

Resolució de problemes
Lectura atenta Un ciclista recorre la distància que separa dues
de l'enunciat ciutats en tres etapes. Primer recorre un terç del
trajecte; en la segona, un quart i en la tercera, els 35
km restants. Quants km separen les dues ciutats?
Elecció de la km totals entre les dues ciutats =x
incògnita 1ª etapa 1/3·x
2ª etapa ¼·x
3ª etapa 35 km
Plantejament de x x
l’equació 35 x
3 4
Resolució de x x
l’equació 12 ·
3 4
35 12 · x
Resposta 84km
Comprovació 1/·84+ ¼·84 +35 = 28+21+35= 84 Correcte!