INICIACIÓ A L’ÀLGEBRA

Expressions algèbriques
• Una expressió algèbrica és una sèrie de
lletres que representen nombres (valors
que no coneixem).
• En el llenguatge matemàtic s’utilitzen
moltes vegades les lletres com a substituts
dels nombres.
• Cal tenir present:
– Les lletres més utilitzades són: x i y ,
s’anomenen incògnites
– El signe x el substituirem per un .

Exemples d’expressions
algèbriques
• La diferència de dos nombres:
a –b
• El triple d’un nombre:
3. x
• El quadrat d’un nombre:
a2
• El cub de la suma de dos nombres :
(a + b)3

Exercicis
Escriu les expressions algèbriques
corresponents a les següents frases:
- Un nombre més quinze:
- Deu menys el doble d’un nombre:
- El quadrat d’un nombre més el seu doble:
- La suma d’un nombre i el triple d’un altre:
- La meitat d’un nombre:
- Les tres quartes parts d’un nombre:
- Setanta-tres mil·lèsimes d’un nombre:

Solucions a l’exercici
- Un nombre més quinze: x + 15
- Deu menys el doble d’un nombre: 10 – 2a
- El quadrat d’un nombre més el seu doble: y2 + 2y
- La suma d’un nombre i el triple d’un altre: a + 3b
- La meitat d’un nombre: a/2
- Les tres quartes parts d’un nombre: 3b/4
- Setanta-tres mil·lèsimes d’un nombre: 0,073 x

Més exercicis
- El sou d’en Pere més 150€
- El triple del sou d’en Pere menys 500€
- El doble dels diners d’en Joan més 75€
- El quàdruple d’una quantitat
- El doble d’una quantitat més la tercera
part d’aquesta quantitat:
- El resultat de dividir 200 entre el triple
d’una quantitat:

Solucions
- El sou d’en Pere més 150€: x + 150
- El triple del sou d’en Pere menys 500€: 3x - 500
- El doble dels diners d’en Joan més 75€: 2y + 75
- El quàdruple d’una quantitat: 4x
- El doble d’una quantitat més la tercera part
d’aquesta quantitat: 2x + x/3
- El resultat de dividir 200 entre el triple d’una
quantitat: 200 / 3y

Igualtat
El triple d’un nombre més quatre unitats
és igual a 10

Exercicis amb igualtats
- El doble de la meva edat coincideix amb el
triple de la teva:
- La quantitat x augmentada en 50 unitats és
igual al doble de la quantitat de z
- La suma de dos nombres és 210
- La diferència de dos nombres desconeguts
és 210:
- Si restem 15 al doble d’un nombre obtenim
el mateix resultat que si dividim aquest
nombre entre 3:

Solucions
- El doble de la meva edat coincideix amb el
triple de la teva: 2x = 3y
- La quantitat x augmentada en 50 unitats és
igual al doble de la quantitat de z: x + 50 =
2z
- La suma de dos nombres és 210: x + y = 210
- La diferència de dos nombres desconeguts
és 210: x – y = 210
- Si restem 15 al doble d’un nombre obtenim
el mateix resultat que si dividim aquest
nombre entre 3: 2x -15 = x/3

Valor numèric
El valor numèric d’una expressió algèbrica
és el nombre obtingut en substituir les
lletres que hi apareixen per nombres
determinats.
3x + 1
• Si x = 2 3 . 2 + 1 =7
• Si x = 0 3.0+1=3
• Si x = -1 3 . (-1) + 1 = -3 + 1 = -2
1 3 3+ 2 5
• Si x = ½ 3. + 1 = + 1 = =
2 2 2 2

Termes
Anomenem terme d’una expressió algèbrica cada bloc de
nombres i lletres separats pels signes de suma o resta
3 3
3x − 5 x + x + 3x 2 y
2
2
3 3
En aquesta expressió tenim 4 termes: 3 x,−5 x , x , 3 x 2 y
2
2
Cada terme pot tenir dues parts: coeficient i part literal

Tenim la següent expressió algèbrica:
a2 -2·a·b + 5
Tenim els següents termes: a2 , -2·a·b , 5
a2 ⇒ coeficient =1 ; part literal= a2
-2·a·b ⇒ coeficient= -2; part literal=a·b
5 ⇒ coeficient= 5
S’anomenen termes semblants els que tenen la
mateixa part literal
-0,5·x3·y2·z5 i 2x3·y2·z5 Són expressions
que tenen termes semblants, és a dir
tenen la mateixa part literal

Sumes i restes d’expressions
algèbriques
La suma i la resta d’expressions algèbriques,
només es poden sumar i restar els termes
semblants.
Procediment:
- Es sumen o resten els coeficients dels
termes semblants.
- Es deixa la mateixa part literal
2a + 4a = a+a+a+a+a+a = 6a
5x – 2x = 3x
2a + 3b + 3a - b= 5a + 2b

Exemple de suma i resta
Redueix la següent expressió algèbrica:
4·x + 8·x·y + 5 + x – 2·x·y – 3 + 3·x=
Busquem els termes semblants i sumem o restem
segons el signe que tingui el terme:
• 4x ; x ; 3x  4x + x + 3x =8x
• 8xy ; -2xy  8xy -2xy = 6xy
• 5 ; -3  5-3 =2
Per tant,
4·x + 8·x·y + 5 + x – 2·x·y – 3 + 3·x = 8x + 6xy+ 2

Multiplicació d’expressions
algèbriques
La multiplicació d’una expressió algèbrica sempre
es pot efectuar encara que els termes no siguin
semblants.
Procediment:
• Multiplicarem els signes tenint en compte la
regla dels signes
• Multiplicarem els coeficients
•Multiplicarem la part literal
– Recordatori: xm · xn = xm+n

Exemples de multiplicacions
3a · 4a =
4x2·2x=
4x · 5y3 =
-5x3 · 2x2=
2x · 3x4 · 10x3=
-3xy · (-5y) =
10 y2 . 15 xy2 =
2 2

Solució a l’exercici
3a · 4a = 12a2
4x2·2x= 8x3
4x · 5y3 = 20 xy3
-5x3 · 2x2= -10x5
2x · 3x4 · 10x3= 60x8
-3xy · (-5y) = +15xy2
10 y2 . 15 xy2 = 150 xy4
2 2 4

Propietat distributiva
Encara que no hi hagi el signe de multiplicació,
quan tenim un nombre davant d’un parèntesis, està
multiplicant als termes de dins els parèntesis.
Exemples:
4 (x + 5y) = 4x + 20y
a (b + c) = a·b + a·c
a (b - c) = a·b - a·c
2x (3x +x) = 6x2 + 2x2

Practica la propietat
distributiva
2 (x2 – 2x – 3)=
- 2x(x-4y) =
x (3x-5) =
4x (x-1) + 3x (2-x2)=
2x(x-5) - x2(1-2x2) =
2x (x – 5y) - xy(5x-4) =
3y(2y3-y2+4) + 4y2(y2 – 2y +1) =

Solució a l’exercici
2 (x2 – 2x – 3)= 2x2 – 4x – 6
- 2x(x-4y) = -2x2 + 8xy
x (3x-5) = 3x2 - 5x
4x (x-1) + 3x (2-x2)= 4x2 + 4x + 6x – 3x3= 4x2 + 10x – 3x3
2x(x-5) - x2(1-2x2) = 2x2 - 10 x –x2 + 2x4 = x2 - 10 x + 2x4
2x (x – 5y) - xy(5x-4) = 2x2 -10 xy - 5x2y - 4xy =
2x2-14 xy - 5x2y
3y(2y3-y2+4) + 4y2(y2 – 2y +1) =
6y4 – 9y3 + 12y + 4y4 – 8y3 + 4y = 10y4 – y3 + 16y

Factor comú
El factor comú és l’inversa de la propietat
distributiva
5·a +5·b = 5 · (a + b)
x + x2 = x · (1 + x)
3x +3y + 3z = 3 ( x + y + z)
6bx + 6by = 6b ( x + y)

Exercicis de factor comú
Nivell 1 Nivell2
3x2 - 5x= 5x2 - 10=
4x2 + 4x= 4x2 + 9x=
6x – 6x3= 3x – 6x3=
x2 - 2x4= 6x2-2x4=
2x2 - 10 x= 2x2-10 xy=
5x2y + 4xy= 12x2y + 15xy2=
4x2 - 4x - 6= 4x2 - 4x -6=
2x2-10 xy= 6y4 – 9y3 + 12y=
2x3y3 – x2y2 + 2xy= 2x3y3 – x2y2 + 2xy=

Solució
Nivell 1 Nivell 2
3x2 - 5x= x (3x-5) 5x2 - 10= 5 (x2-2)
4x2 + 4x= 4x (x-1) 4x2 + 9x= x (4x + 9)
6x – 3x = 3x (2-x )
3 2 3x – 6x3= 3x (1 - 2x2)
x - 2x = x (1-2x )
2 4 2 2 6x2 - 2x4= 2x2 (3-x2)
2x - 10 x= 2x(x-5)
2 2x2-10 xy= 2x (x – 5y)
5x y + 4xy= xy(5x-4)
2 12x2y + 15xy2= 3xy (x-y)
4x - 4x - 6= 2(2x -2x-3)
2 2 4x2 - 4x -6= 2 (x2 – 2x – 3)
2x2-8xy= 2x(x-4y) 6y4 – 9y3 + 12y= 3y(2y2-y2+4)
2x3y3 – x2y2 = x2 y2 (2xy-1) 2x3y3–x2y2+x3y2=xy(2xy-1+x)

Equacions
Anomenen equació a la igualtat d’una expressió
algebraica on apareixen lletres que representen
nombres desconeguts.
Incògnites: lletres que hi apareixen
Solució: valor de la incògnita
x+6=10 ⇒ Quin nombre sumat a 6 dóna 10? 4
3x=18 ⇒ Quin nombre multiplicat per 3 dóna 18? 6
x = 9 ⇒ Quin nombre dividit per quatre dóna 9? 36
4

Equacions equivalents
Dues equacions són equivalents quan tenen la
mateixa solució
2x + 30 =50
2x + 30 – 30 = 50 -30 ⇒ 2x = 20
2x + 30 = 50 i 2x=20 són equacions equivalents

Resolució d’equacions
Per resoldre equacions:
- Agrupa els termes semblants
7x +7 + x -21 = 35 +15
8x – 14 = 50
- Transformar l’equació on quedi els termes amb
l’incògnita amb una banda de la igualtat i l’altra banda
els termes sense incògnites
8x – 14 +14 = 50 +14
8x = 64
- Aïllar la incògnita
8x = 64 ⇒ x = 8
8 8

Resolució d’equacions
Per resoldre equacions:
- Agrupa els termes semblants
7x +7 + x -21 = 35 +15
8x – 14 = 50
- Transformar l’equació on quedi els termes amb
l’incògnita amb una banda de la igualtat i l’altra banda
els termes sense incògnites
8x – 14 = 50
8x = 50 + 14
8x = 64
- Aïllar la incògnita
8x = 64 ⇒ x = 64 ⇒ x= 8
8

Practiquem la resolució
d’equacions
x = 10 – 4 +6
x + 5 =13
x – 2 =8
2x = 12
x =8
2
3x + 4 =28
7x -2 =5 + 3x
-x = 4 - 6

Pas a pas – sumes i restes
El què està sumant, passa a l'altre costat de l'igual
restant.
El què està restant, passa sumant darrere de l'igual.

Pas a pas – multiplicacions i
divisions
El què està multiplicant, passa a l'altre lloc de l'igual
dividint.
El què està dividint, passa a l'altre lloc de l'igual multiplicant.

Exercicis
Soluciona les equacions
x + 2x + 2x = 50
5x = 50
x = 50 = 10
5
4x + 18 = 4
4x = 4 – 12
4x = -1
x=-1
4

Exercicis
Soluciona les següents equacions:
2x + 4x = 24
5x − 3x = 8
7x + x = 56
9x + 3x – x = 22
3x − 2x + 8x = 27
4x + 6x = 100
11x − x − 2x = 8
x + x + x = 18
9x − 2x − 7 x = 51
6x − 2x + 8x = 60
9x − 4x = 45
20x − 13x = 56

Exercicis d’equacions
5x + 2 = 42 resultat x=8
9x - 4 = 18 + 7x resultat x= 11
x + 3 + x - 4x = 51 resultat x= -24
5 + 5x = -10 x + 80 resultat x= 5
4x + 6 + x + 3x = 46 – 2x resultat x= 4
2a +15 + 3a = a -25 resultat a=-10
105 = 13x -64 resultat x= 13
85 = 65 – 4x resultat x=-5
x =4 resultat x=100
25

Anem més enllà
5(x + 1) - 2 (x + 1) = 2 (x – 5) + 3 (x - 1)
Apliquem la propietat distributiva:
5x + 5 - 2x - 2 = 2x – 10 + 3x - 3
Agrupem termes:
3x + 3 = 5x -13
Sumem o restem segons convingui:
3x - 5x = - 13 - 3
-2x = -16
2x=16
x = 16
2
x= 8

Resolució de problemes
Cal seguir els següents passos:
- Triar la incògnita
- Plantejar l’equació
- Resolució de l'equació
- Comprovar la coherència del resultat

Exemple 1
En comprar un ordinador ens han fet un descompte de 180€.
En total ens ha costat 710€. Quants euros valia l’ordinador
sense el descompte?
Incògnita: x ⇒ import de l’ordinador sense descompte
Equació ⇒ x – 180 = 710
x (preu ordinador) – 180€ (descompte)= 710€ (preu pagat)
Resolució:
x -180 =710
x = +180 +710
x = 890
Preu original de l’ordinador: 890€
Comprovació: En efecte, si el preu de l’ordinador i restem el
descompte, obtenim el preu pagat: 890 – 180 = 710

Exemple 2
Calcula dos nombres enters consecutius en què la seva
suma sigui 27.
Incògnita: x ⇒ un nombre
x + 1 ⇒ el nombre consecutiu
Equació ⇒ x + (x +1) = 27
Resolució:
x + (x +1) = 27
x + x + 1 =27
2x =27 -1
2x = 26 x=13
El nombre serà el 13 i el seu consecutiu el 14
Comprovació: Si sumem 13 + 14 en dóna 27

Exemple 3
Un terreny rectangular té una superfície de 600 m2, i un
costat fa 30 m. Quant fa l’altre costat del terreny?
Incògnita: x ⇒ costat desconegut
Equació ⇒ 600= 30 · x 600 m2
Àrea= costat · costat
Resolució: 30 m
600 = 30x
-30x = -600
30x = 600
x = 600/30
x = 20
Costat desconegut = 20 m
Comprovació: En efecte, si multipliquem 30·20=600

Àrees i perímetres
Rectangle:
A=b·a
P = a + a + b + b = 2a + 2b
Quadrat:
A = a · a = a2
P = a + a + a + a = 4a

Àrees i perímetres
Romboide:
A=a·h
P = a + b + a + b = 2a +2b
Rombe:
A = D1 · D2
2
P = a + a + a + a = 4a

Àrees i perímetres
Triangle:
A=b·h
2
Ptriangle escalè = a + b + c
Ptriangle isòcels = a + a + b = 2a + b
Ptriangle equilater = a + a + a = 3a

Àrees i perímetres
Trapezi:
A = (c + a ) · h
2
P=a+b+c+d

Problemes d’àrees i
perímetres
Si sabem que el perímetre d’un quadrat és de 20m. Quant
val el costat del quadrat?
Solució: 5m
Calcula quant mesura el perímetre d’un triangle equilàter,
si sabem que la seva altura és 6 i la seva àrea 24m2?
Solució: 8m de costat i el perímetre 24m
L’amplada d’un rectangle és 5 unitats més que la seva
alçada. Sabent que el perímetre és de 50m. Quant val la
seva alçada?
Solució: 10m