3. Raó i proporcionalitat
S’anomena raó de nombres a i b (b≠0) , el
quocient d’aquests dos nombres
a
b
Exemple: Per cada 100 grams de farina hi van
ous
En efectuar el quocient de les raons anteriors,
obtenim sempre el mateix resultat = 25
La igualtat anterior s’anomena proporció
Es llegeix 100 és a 4 com 200 és a 8
4. Proporció numèrica
Una proporció numèrica és una igualtat entre dues raons
numèriques
a c
a·d b·c
b d
Exemple _ 1 :
4 12
4x
7
x
Exemple _ 2 :
7·12
x
7·12
4
21
x
5
25
10 x 5·5
x
2 .5
5 10
10
Exemple _ 3 : no _ coneixem _ 2 _ termes
3
x
x
48
48·3 x
2
x
144
12
9. Proporcionalitat directa
La Sandra fa feina per hores donant classes particulars
Per cada hora que treballa li paguen 20 €. Quant li
pagaran si treballa 2h? I si treballa 3h? I 4h?
•
Com que les magnituds (temps-diners) són directament
proporcionals, es compleix que:
•
El nombre 20 s’anomena constant o raó de proporcionalitat
10. Representació gràfica
Podem representar gràficament els
valors.
Eix de les abscisses (x) temps
Eix ordenades (y) metres
Temps (s) Metres (m)
2
10
4
20
6
30
8
40
10
50
En representar en un sistema de
coordenades els valors dues magnituds
directament proporcionals, sempre
obtenim una recta que passa per
l’origen de coordenades (0,0)
11. Regla de tres directa
Quan tenim tres nombres coneguts i ens falta trobar el
quart nombre, sabent que són proporcionals utilitzarem
la REGLA DE TRES DIRECTA
Exemple:
Si 4 entrades del cine ens han costat 8€, quant ens
costaran 10 entrades?
12. Regla de tres directa
He comprat 30 llapis per 7,50€. Quant em costaran si
en compro 46?
14. Magnituds inversament
proporcionals
Dues magnituds són inversament proporcionals, si en
multiplicar un valor d’una de les magnituds per una
constant, el valor de l’altra queda dividit per la mateixa
constant
Exemple:
Les magnituds velocitat –
temps són magnituds
inversament proporcionals.
Quan multipliquem (o en
dividim) una per un nombre,
l’altra queda multiplicada (o
dividida ) pel mateix nombre.
16. Regla de tres inversa
(inversament proporcional)
Un grup de 23 alumnes han participat en un concurs i han guanyat un
premi de 1400€, si haguessin participat 14 alumnes, quants euros
s’haguessin repartit?
17. Exemples de magnituds
inversament proporcionals
10 nàufrags tenen menjar per 30 dies. Si només
hi ha un nàufrag, per quants dies tindrà menjar?
10·30=1· x
x=300 dies
Si un cotxe va a 60km/h i triga 5 hores a fer una
distància. Quant trigaria si anés a 20km/h?
60·5=20·x
x= 15 hores
Treballant 3 hores cada dia s'acaba un treball en
6 dies . Si treballem 2 hora cada dia, quants dies
trigarem?
3·6=2·x
x=9 dies
19. Problemes
1. 1.Un cotxe circulant a 90 km/h ha tardat 12 hores en
realitzar un viatge. Quant temps tardarà en el mateix
trajecte a una velocitat de 80 km/h? Solució: 13,5h
2. 6 fotocopiadores tarden 6 hores en realitzar un gran
nombre de còpies, quant temps tardarien 4 fotocopiadores en realitzar el mateix treball? Solució: 9h
3. En repartir una quantitat d’euros entre 7 persones cada
una rep 12 euros. Quant rebrien si el repartiment es fes
entre 6 persones? Solució: 14€
20. Proporcionalitat composta
Una activitat de proporcionalitat composta relaciona més de dues
magnituds que poden ser directament o inversament proporcionals.
Para resoldre una activitat de proporcionalitat composta es fa de
manera ordenada amb el procediment de reducció a la unitat.
1r - es deixa fixa la 2ª magnitud, i es relaciona la 1ª amb la 3ª
2n - es deixa fixa la 1ª magnitud, i es relaciona la 2ª amb la 3ª
21. Problemes
Cinc aixetes omplen un dipòsit de 10 m3 en 5 hores. Quant
trigaran en omplir un dipòsit de 8 m3 dues aixetes iguals a les
anteriors?
Amb 12 quilos de pinso 9 conills mengen durant 12 dies. Quants
dies trigaran 4 conills en menjar 8 quilos de pinso?
Per construir 4 cases iguals en 30 dies fan falta 60 paletes.
Quants paletes es necessitaran per construir 6 cases en 90
dies?
Per imprimir uns fullets, 9 impressores han funcionat 8 hores
diàries durant 40 dies. Quants dies tardaran en imprimir el
mateix treball 6 impressores funcionant 10 hores diàries?
22. Repartiment directament
proporcionals
Es vol repartir una quantitat de forma directament
proporcional
Si el valor inicial és més gran, li correspondrà una quantitat
més gran
Procediment:
1.Sumar els valors inicials de cada una de les parts
2.Dividir la quantitat a repartir entre la suma obtinguda
3.Multiplicar el quocient obtingut pels valors inicials de cada
una de les parts
23. Exemple de repartiment
directament proporcional
Exemple:
Tenim 3 amics que han comprat respectivament: 2DVDs,
3DVDs i 5DVDs. Han pagat la factura de 120€. Quant ha
de pagar cadascú
1.2+3+5=10
2.120/10=12€
3.1. AMIC 1: 12€x2=24€
3.2. AMIC2: 12€x3=36€
3.3. AMIC3: 12€x5=60€
L’amic que ha comprat 2DVDs ha de pagar 24€, el que ha
comprat 3DVDs 36€ i el que ha comprat 5DVDs ha de
pagar 60€
24.
25. Exercicis de repartiment
directament proporcional
Cinc concursants participen en una competició en la que han
de trobar objectes en el fons d’una piscina. Per ordre
d’actuació aconsegueixen respectivament 8, 12, 13, 7 i 10
objectes. El premi de la prova consisteix en 150 punts
repartits deforma proporcional als objectes que trobin.
Quants punts corresponen a cada participant?
Tres socis van posar en marxa un negoci aportant, 5000
euros el primer, 25000 euros el segon i 20000
euros el tercer. El primer any s’obtenen 60000 euros de
benefici, com se’ls han de repartir?
26. Repartiment inversament
proporcionals
Es vol repartir una quantitat de forma inversament
proporcional
Si el valor inicial és més gran, li correspondrà una quantitat
menor en el repartiment.
1.Es calcula els inversos dels valors inicials
2.Sumar els inversos dels valors inicials
3.Dividir la quantitat a repartir entre la suma obtinguda
4.Multiplicar el quocient obtingut pels valors inicials de
cada una de les parts
29. 22.Tres amics es reparteixen una pizza de forma
inversament proporcional als seus pesos que són
respectivament 60, 72 i 90 quilograms. Quina part de
pizza s’ha de menjar cadascú?
23. Un professor lliura una relació de 86 exercicis a
quatre alumnes per repartir-se’ls amb la condició que
cada u en resolgui una quantitat inversament proporcional
a les qualificacions obtingudes en un examen. Les
qualificacions han estat 2, 4, 5 i 8. Quants exercicis ha de
resoldre cadascú?
31. Percentatges
Un percentatge o tant per cent (%) és una
proporció expressada com una quantitat de cada
100 unitats
El 15% dels tirs llançats han entrat. Significa que 15 tirs
de cada 100 han entrat. I el 15% de 600?
34. Augments percentuals
Un augment és una quantitat que s'afegeix a un valor
determinat
Hi ha dos mètodes per fer càlculs d’augment percentual
1.Pas a pas
2.Directament. Calcular l’índex de variació (I.V.)
Exemple: El preu d’una bicicleta era de 240 euros. A aquest
preu se li ha d’afegir el 16% d’ IVA. Quin és el preu final?
35.
36. Disminucions percentuals
Una disminució és una quantitat que restem a un valor
determinat
Hi ha dos mètodes per fer càlculs de disminució
percentual
1.Pas a pas
2.Directament. Calcular l’índex de variació (I.V.)
Exemple: El preu d’un ordinador era de 1200 euros, però
m’han fet un 15% de descompte. Quin és el preu final?
41. Interès simple
Quan ingressem una quantitat a un banc, al cap d’un temps ens
tornen la quantitat ingressada incrementada en un interès abonat
pel banc.
Els interessos produïts són directament proporcionals al capital
ingressat i al temps.
I= c · i · n
Conceptes:
Capital inicial (c): És la quantitat inicial que s’ingressa o
es presta.
Interès (I). Són els interessos produïts.
Interès unitari (i): És l’interès que proporciona el banc
Anys (n): Anys que ha durat l’operació bancària
42. Exemple 1 - interès simple
Una entitat financera ofereix un 4,5% anual pel dipòsit
d’un capital. Si disposem de 13500€, quin interès ens
produirà al cap de 3 anys?
Pas a pas:
Calculem l’interès en una any:
4,5% de 13500 = 0,045 · 13500 = 607,5€
En tres anys:
607,7 · 3 = 1822,5€
Fórmula:
I = c · i ·n
I = 13500 · 0.045 · 3 =1822,5€
43.
44. Exemple 3 - interès simple
Ens queden per pagar 1500€ d’un préstec que venç al cap
de 90 dies. Si el tipus d’interès és del 10% anual, quant
ens descomptaran si el paguem avui mateix? Quant hem
de pagar?
90 dies= 90:365= 0,247 anys
Calculem els interessos que hauríem de pagar per 90
dies (0,247 anys)
I= c · i ·n
I = 1500 · 0,1 · 0,247 = 37€
La quantitat que hauríem de pagar= 1500 – 37 = 1463€
