Mat 8u1-111113222359-phpapp02

UNIDAD 1
Octavo Grado - Matemática 55
Objetivos de la unidad:
Realizarás operaciones con los números reales y la raíz cuadrada,
aplicarás sus propiedades para solucionar problemas de la vida
diaria, valorando el aporte de los demás.
Interpretarás la realidad, valorando el lenguaje algebraico de los
polinomios y propondrás soluciones a problemáticas económicas y
sociales, a través de los productos notables.
Operaciones con
números reales y
polinomios
MATEMÁTICA
Unidad 1

56 Matemática - Octavo Grado
Descripción del Proyecto
En esta unidad profundizarás tus conocimientos sobre los conjuntos numéricos
y nociones de álgebra, iniciados en séptimo grado, que aplicarás en diferentes
situaciones cotidianas, por ejemplo, calculando áreas y volúmenes de figuras y cuerpos
geométricos.
Al finalizar la unidad trabajarás en un proyecto de la vida real, que está relacionado con
áreas y por lo tanto con polinomios.
Números
reales
Racionales Irracionales
se dividen en
estudiarás
Propiedades Operaciones
de
Suma Resta Multiplicación División
Polinomios
estudiarás
Grado OperacionesValor numérico
de
Multiplicación
entre ellos
Productos
notables
Suma Resta

Lección 1
Motivación
Primera Unidad
Indicadores de logro:
Determinarás y explicarás el origen de los números
irracionales, valorando su unidad práctica.
Mostrarás seguridad al graficar los números irracionales en la
recta numérica.
Resolverás con perseverancia ejercicios aplicando los
números irracionales.
Determinarás y explicarás los números reales valorando su
utilidad en la vida cotidiana.
Ubicarás gráficamente con precisión los números reales en la
recta numérica.
Rosa y Ángela midieron la longitud de la circunferencia y el diámetro, del borde
de un vaso.
Las medidas que tomaron son:
Longitud de la circunferencia = 24.66 cm
Diámetro = 7.85 cm
Ellas encontraron la razón entre estas dos medidas obteniendo:
2466
785
31414012
.
.
. .......=
¿Qué número te recuerda el resultado?
Números irracionales y reales
Observa los siguientes números:
3 1
3
1
3
3
5
06
5
8
0625
2
3
0666÷ = = = = =, . , . , . 66
5
11
0454545..., .=
Se han escrito en la forma
a
b
con a y b números enteros
y b ≠ 0.
¿Cómo son los decimales que se obtienen?
Ahora encuentra con tu calculadora 2 y el valor de π
Seguramente obtuviste los resultados:
2 = 1.414213562…
π = 3.141592654…
¿Cómo son los decimales obtenidos?
Estos números no son decimales exactos ni periódicos,
como los anteriores, ya que algunos matemáticos han
calculado muchas cifras y observado que no tienen
período alguno. Por tanto no se pueden escribir de la
forma
a
b
ya que no son números racionales. A estos
números les llamamos números irracionales y los
denotamos por Q’.
Entonces tienes que los números irracionales son los
números que tienen parte decimal no periódico y
también aquellos que no se pueden expresar como el
cociente de dos números enteros.
Números Irracionales

UNIDAD 1
El número π (letra griega pi) se utiliza en algunas
fórmulas de perímetros, áreas y volúmenes. Recordarás
que para calcular el perímetro de una circunferencia la
fórmula es:
C = π d ó C = 2 π r
El número π (pi) es la relación que hay entre la longitud
de una circunferencia (C) y su diámetro (d), es decir:
π =
Longitudde lacircunferencia
Longituddeldiámeetro
=314159265. ...
En el ejemplo de motivación el valor de π,
c
d
no es
exacto ya que las medidas son aproximadas.
Ejemplo 1
Aplicando el número irracional π , encuentra la
longitud de la siguiente circunferencia que tiene 23 cm
de diámetro.
Uno de los matemáticos de la antigüedad que estudió
los números irracionales fue Pitágoras y lo hizo
midiendo la diagonal de un cuadrado cuyo lado mide 1.
Recordarás, que un triángulo es triángulo rectángulo,
cuando uno de sus ángulos mide 90º, es decir, cuando
tiene un ángulo recto.
Observa el cuadrado al trazar una diagonal, se forma un
triángulo rectángulo.
Solución:
C = π d
C = 3.14159265... (23cm) = 72.2566309… cm
Generalmente, medidas como la anterior no se expresan
con todos los decimales, sino con dos decimales.
El resultado aproximado es C = 72.26 cm
23 cm
1
2
1
Punto de apoyo
Recuerda que para aproximar a las décimas, se
hace así:
Mayor o igual a 5, se aumenta 1 al decimal anterior.
7.55  7.6
Menor que 5, se deja igual el decimal anterior.
7.54  7.5
Es decir:
d2
= 12
+ 12
= 2
Aplicas teorema de Pitágoras
Luego d = 2 = 1.414213…
¿Qué otros ejemplos de números irracionales puedes
escribir?
Utiliza una calculadora y encuentra 3 6 7, , y
Los resultados anteriores son del mismo tipo que el de
2 , por lo tanto, son números irracionales.
En general, si m es un número natural o cero y n es un
número natural n ≥ 2. Entonces:
Es un número natural o cero, si la raíz
es exacta.
mn

 

Es un número irracional, si la raíz no
es exacta.

UNIDAD 1
Al igual que los números racionales, los números irracionales también se pueden ubicar
en la recta numérica. Veamos como representar 2 .Necesitas utilizar una regla y un
compás.
Sobre la recta numérica, partiendo de cero, dibuja un triángulo rectángulo, cuyos lados
que forman el ángulo recto midan 1, el otro lado medirá 2 ; luego, con un compás
llevas la medida de 2 , a la recta numérica, a partir de cero.
En la recta numérica anterior representastes los números irracionales y te diste cuenta
que siguen un orden lógico, así como los números racionales y los números enteros.
Notas que se cumple una de las siguientes condiciones:
a b< , a b> ó a b=
Entonces decimos que el conjunto de los números irracionales es un conjunto
ordenado.
1. Determinacuálesdelossiguientesnúmerossonracionalesycuálessonirracionales.Siesnecesario,
utilizaunacalculadora.
a)
2
3
c) − π e) −
12
3
g) 36
b) 4 d) 5 f) 7 h) 18
2. ¿Cuáleslalongitudquerecorrelaruedadeuncarroaldarunavueltacompleta,siseconocequeel
diámetromide22cm?
Actividad 1
Ubicaenlarectanumérica: 3 5 6 7, , y
Actividad 2
Propiedades de los números irracionales
Representación de los números irracionales Q´
en la recta numérica
10
5
55
17.5
21.5
25.5
29.5
33.5
41.5
2
4
6
8
10
0 1 2 321.4142
1
-1
1 2 3 4
2
-2
3
-3
4
-4

UNIDAD 1
¿Cuántos números irracionales existen entre 2.236067977... y 2.236067978...?
Observa la recta numérica que construiste, notarás espacios donde encontrarás
algunos de estos números:
2.2360679771..., 2.2360679772..., 2.2360679773..., 2.2360679774..., 2.2360679775...
2.2360679776..., 2.2360679777..., 2.2360679778..., 2.2360679779..., 2.23606797791...
¿Qué puedes concluir?
Entre dos números irracionales diferentes, existe un número infinito de números
irracionales.
Por esta razón, se dice que los números irracionales es un conjunto numérico denso.
El conjunto de los números irracionales también cumple la propiedad de ser un
conjunto infinito.
Son el conjunto numérico que resulta de unir los
números racionales y los números irracionales se
denota así:
Q  Q' = 
El rectángulo anterior representa a los números reales.
1.Entrecadaparejadenúmerosirracionalescolocaalmenostresnúmerosirracionalesqueestén
contenidosentreellos:
a) 18 _____ 20 b) 5 ______ 6 c) π ______ 12
2.Escribeentrecadaparejaelsímbolo>,<ó=,segúncorresponda:
a) 5 _______ 5 b) 20 _____7 c)
7
2
______ π
Actividad3
Los números reales
Q' Q

UNIDAD 1
1. Dadolossiguientesnúmeros,determinacuálesnúmerossonracionalesycuálesirracionales:
a) –3.2515769 d) −5
3
5
g) 12 j) −
1
3
m) 93
p) 0.80 s) −
2
9
b) 0.416666… e) 9 h) 0 k) 0.175 n) 2π q)
1
7
t) 100
c) 0.7777… f)
12
3
i) 33 l) 83
o) 0.666... r) 7 u) 1253
Propiedades de los números reales
Recuerda que Q  Q´ =  , representa los números reales.
Es decir, que la unión de ambos conjuntos numéricos, forman el conjunto de los
números reales.
Como Q es infinito y Q´ también es infinito, esto nos dice que los números Reales
son infinitos.
También observamos, que entre dos números irracionales, existe un número infinito
de números irracionales. Igual, entre dos racionales cualesquiera, existe un número
infinito de racionales. A partir de esto, decimos que los números reales son densos.
Y si comparamos dos números reales, a y b podemos obtener una de las siguientes
condiciones:
a < b, b < a ó a = b
Lo que significa que los números reales  , es un conjunto numérico ordenado.
Actividad 4

UNIDAD 1
-8 - 7 - 6 - 5 - 4 - 3 -2 - 1 0 1 2
-3
- 1.5
- 2 -1
—
2
−1 1
—
4
2 3 410-4
- 0.5 2 2.8 π
0
−
+
Representación geométrica de los números reales 
Cuando estudiaste los números racionales, aprendiste que a cada uno de ellos le
corresponde un punto en la recta numérica.
¿Lo recuerdas?
Esto mismo sucede con los números irracionales desarrollado en las páginas anteriores.
Como el conjunto de los números reales  , resulta de unir los números racionales y
los números irracionales, a todo número real le corresponde también un punto en la
recta numérica.
Con base a lo anterior, podemos afirmar que a todo punto de la recta, le corresponde
un único número real, de ahí que también se le llama recta de los números reales.
Ahora, presentamos algunos números reales en la recta numérica:
Tú puedes colocar otros, hazlo.
Para ubicar números en la recta, es conveniente que primero ubiquemos el origen
que se designó con el número cero. Los puntos de la recta a la derecha del origen se
identifican como los números reales positivos  +
y los puntos que están a la izquierda
del origen son los números reales negativos  −
. Observa:
Utilizando la recta numérica, coloca los números −2 y −8, observa:
−8 es menor que −2
−8 está ubicado a la izquierda de −2
Veamos este otro ejemplo, en la siguiente recta coloca los números −4.5 y 3.5
3.5 es mayor que −4.5
3.5 está ubicado a la derecha de −4.5
¿Qué puedes concluir?
Que al observar dos números en la recta numérica, el que se encuentra a la derecha de
otro, siempre será mayor.
- 4.5 0 3.5

UNIDAD 1
1. Graficaunarectanuméricaycolocalossiguientesnúmerosreales.
− 4,
3
5
, 7 , 1, 6.5, − 2,
1
8
, 18 y 3.1
2. Escribeelsímbolo>,<,=,entrecadaparejadenúmeros.
a) 3.36 3. 63 d) −8 2
b)
1
2
1
5
e) 2 2
c) −9 −15 f) 4 π
3. Representaenlarectanuméricadieznúmerosirracionales.
Resumen
Elconjuntodelosnúmerosreales,estáformadoporlaunióndetodoslosnúmerosdecimales
exactos,periódicosynoperiódicos;esdecirquetodonúmerorealpuedeanalizarsepor
mediodesupartedecimal.
Losnúmerosrealessepuedenrepresentarenlarectanumérica.Atodopuntodelarectale
correspondeunúniconúmeroreal.Yatodonúmeroreallecorrespondeunúnicopuntode
larectanumérica.
Q  Q´= 
Propiedadesdelosnúmeros 
  Infinito
Ordenado
Denso
Actividad 5

UNIDAD 1
Autocomprobación
Desde tiempos antiguos, los egipcios y
babilonios, sabían de la existencia de la relación
entre la longitud de una circunferencia cualquiera
y la longitud de su diámetro. Esta relación es
representada en la actualidad por π y se lee pi.
Pero, fueron los egipcios quienes alcanzaron una
mejor aproximación de π , que plasmaron en la
pirámide de Gizeh. La relación que existe entre la
mitad del perímetro de la base y la altura de esa
pirámide es el valor que ellos asignaban a π .
Elpardenúmerosrealesquecumpleconla
relación“<”entreelprimeroyelsegundoes:
a)
11
8
, 3 c) π , 5
b) 2, 4− d) 5, 25
4 Sibrepresentaunnúmerorealysetieneque
b>0,delossiguientesnúmeroselquerepresenta
abes:
a) −1 c) −
3
5
b) 0 d)
3
5
2
Unejemplodenúmeroirracionales:
a) 0.444…
b) 11
c) 2.16666…
d) –1.6875
1 3 Unapropiedaddelosnúmerosirracionaleses:
a) Discreto
b) Tiene un primer elemento
c) Discontinuo
d) Ordenado
Soluciones1.b. 2.d. 3.d. 4.a.
π Y LOS EGIPCIOS

Primera Unidad
Con los números reales podemos realizar operaciones
de suma y resta. Los siguientes ejemplos ilustran.
Ejemplo 1
René compró el día lunes
1
2
litro de leche y el martes
3
4
litro de leche. ¿Cuántos litros compró en total?
Efectúa:
1
2
+
3
4
Solución:
Para encontrar la suma de
1
2
+
3
4
, dibujamos la recta
numérica. Partimos de 0, nos desplazamos
1
2
a la
derecha, partiendo de esta posición nos movemos
3
4
siempre a la derecha, llegamos a
5
4
.
Esto se debe a que
1
2
=
2
4
y
2
4
+
3
4
=
5
4
R: En total René compró
5
4
litros de leche.
Ejemplo 2
Rosa tiene 2.5 litros de gaseosa y regala 2 litros.
¿Qué cantidad de gaseosa le queda?
Solución:
La operación es 2.5 − 2.0, esto también puede
escribirse como: 2.5 + (−2.0)
Utilizando la recta numérica, nos movemos, a partir de
cero, 2.5 unidades hacia la derecha. Desde este punto,
nos movemos 2 unidades hacia la izquierda, llegando
a 0.5
Así es que 2.5 + (−2) = 0.5
Resolverás problemas con seguridad utilizando operaciones
combinadas de números reales y signos de agrupación
Operaciones con números reales
Lección 2
María tiene ahorrado $35.65 y su papá le regala $42.75.
¿Cuánto tiene en total?
Solución:
Para resolver tienes que recordar la suma de números decimales.
Es decir 35.65 + 42.75
Al efectuar la operación se tiene: 35.65
+ 42.75
78.40 El total es $ 78.40
Suma y resta de números reales
1– —4
1—4
2—4
3—4
6—4
7—4
0 1 2
1 3 5
— + — = —
2 4 4
1—2
3—4+
5—4
2.5
- 0.5 0 0.5 1 1.5 2.52
Motivación

UNIDAD 1
Ejemplo 3
Ahora efectúa: −
2
3
+ −




4
3
Solución:
Utilizando la recta numérica: A partir de 0, nos
movemos 2
3
hacia la izquierda, desde este punto, nos
movemos
4
3



 hacia la izquierda, llegando a −2. Los
dos movimientos son a la izquierda porque ambos
números son negativos.
Entonces: −
2
3
+ −




4
3
= − 2
Aplica las reglas de la suma y efectúa:
a) −15 + (− 23) =
b) − +
5
6
7
12
=
Propiedades de la suma
de números reales
Juana para su cumpleaños se come
1
8
de su pastel y
reparte entre sus amigas los
3
4
. ¿Qué cantidad del pastel
se comieron?
5
- —
3
4
- —
3
- 1 2
- —
3
1
- —
3
1
—
3
2
—
3
- 2 0 1
4
- —
3
2
- —
3
Observa
Reglas para sumar.
1. Para sumar dos
números reales con el
mismo signo:
Se suman sus valores
absolutos.
Se determina el signo
de la suma:
a) Si ambos signos son
positivos, la suma es
positiva
b) Si ambos signos son
negativos, la suma es
negativa
2. Para dos números
reales de signo
diferentes:
Se restan sus valores
absolutos, el menor
del mayor.
El signo de la suma es
el signo del sumando
que tenga el valor
absoluto mayor.
La operación a realizar es
3
4
+
1
8
y al efectuarla se
obtiene
3
4
1
8
7
8
+ =
R: Se comieron
7
8
del pastel.
Ejemplo 4
Efectúa: 2 + 0
Solución:
- 1 0 1
2 0+
2 2 3
A partir de cero te mueves hacia la derecha hasta 2
y luego, no realizas ningún otro movimiento, porque
al agregar 0, no se efectúa desplazamiento, o sea que te
quedas en 2 . Es decir que 2 + 0 = 2
Ejemplo 5
Pedro tiene $0.69 y su hermano $0.25. ¿Cuánto tienen
en total?
Solución:
Pedro realiza la siguiente operación 0.69 + 0.25 = 0.94 y
su hermano 0.25 + 0.69 = 0.94
Observa que llegan a la misma respuesta, es decir que
tienen $0.94

UNIDAD 1
Ejemplo 6
Siempre en la recta numérica efectúa 5 + (– 5)
Solución:
Después de dibujar en la recta, partiendo de 0, te
desplazas 5 unidades hacia la derecha, partiendo de este
puntotedesplazas5unidadesalaizquierda,llegandoa0.
O sea que 5 + (– 5) = 0
Ejemplo 7
Marina tiene 12 libros en su biblioteca, su hermana le
regala 9 y su tía 7. ¿Cuántos libros tiene en total?
A partir de los ejemplos anteriores podemos observar las
propiedades de la suma con números reales.
En general para todo a, b, y c ∈  se cumple:
a + b ∈  Propiedad de cierre o clausura
a + b = b + a Propiedad conmutativa
a + (b + c) = (a + b) + c Propiedad asociativa
a + 0 = 0 + a = a Propiedad del elemento
identidad de la suma es "0"
a +( − a) =(− a) + a = 0 Propiedad del inverso aditivo
a) Al sumar primero los
que le regalaron:
12 + (9 + 7)
12 + 16
28
b) Al sumar en el orden
en que se los regalaron:
(12 + 9) + 7
21 + 7
28
Solución:
Si efectuamos la suma tenemos:
- 1 0 1 2 3 4 5 6
5
-5
a) Verificalaspropiedadesconmutativayasociativautilizando
lossiguientesnúmeros:

1
2
,
3
4
y
5
8
b) Raúlestápintandosucasa,elviernespintólos
2
5
elsábado
1
3
¿Quépartedelacasahapintado?
c) Elbaestáahorrandoparacomprarunpasteleldíadesu
cumpleaños;laprimerasemanaahorró$2.15;lasegunda
$1.90ylatercera$3.34.¿Cuántohareunidoentotal?Utiliza
lapropiedadasociativaparasuresolución.
Actividad 1
Solución:
Si a ganar le asignamos un signo positivo, perder será
negativo porque es lo contrario.
La operación a efectuar es −8 – 4
− 8 − 4 = −12
R: Jorge perdió 12 chibolas en total.
Ejemplo 8
Por la mañana Jorge jugó
a las chibolas y perdió 8.
Por la tarde, volvió a jugar
y perdió 4. ¿Cuántas
chibolas perdió en total?
Observa que llegamos al mismo resultado.
R: Marina tiene 28 libros en total.

UNIDAD 1
Solución:
Deuda, se representa con signo negativo (–); por lo
tanto, para averiguar su deuda debes efectuar:
(–2.75) (7) ¿Cuál es el resultado?
(–2.75) (7) = – 19.25.
R: Doña María debe $19.25.
Ejemplo 13
Si se efectúa: −



 −




5
7
2
3
¿Qué resultado obtienes?
Solución: −



 −




5
7
2
3
=
10
21
Observa que los ejemplos anteriores aplica lo siguiente:
a) El producto de dos
números reales que tienen
el mismo signo es positivo.
  (+) × (+) = +
(−) × (−) = +
b) El producto de dos
números reales de distinto
signo es negativo.
  (+) × (−) = −
(−) × (+) = −
Ejemplo 9
Efectúa: −
2
5
–
3
10

Solución: −
2
5
–
3
10
= −
7
10
Ejemplo 10
Efectúa: –6 – (–8)
Desde los primeros años de estudio aprendiste
cómo multiplicar números positivos, ya sea enteros,
fraccionarios o decimales.
Ejemplo 11
Roxana compra 8
cuadernos, si cada uno
tiene un precio de $3.45,
¿cuánto tiene que pagar?
1. Resuelvelassiguientessituaciones:
a) UnvehículosaliendodeSanSalvador,viajahaciaeloriente,despuésderecorrer86km,giraparadesplazarsehaciaelponientey
recorre120km.¿Aquédistanciadelpuntodepartidaseencuentraelvehículo?
b) UngrupodejóvenesdecidenescalarelvolcándeSantaAna.Primero,suben30m;después25m,luegodescienden12m;después
suben18myporúltimobajan23m.¿Aquédistanciadelpiedelvolcánseencuentranlosjóvenes?
Actividad2
Multiplicación de números reales
En general, la resta se define así:a − b = a + (− b)
Solución:
La operación planteada es –6 – (–8) esto equivale a
sumar el opuesto de −8, que es 8.
Es decir: – 6 – (–8) = −6 + 8 = 2
Solución:
La operación a realizar es 3.45 × 8
Al operar se tienen que 3.45 × 8 = 27.60.
R: Roxana tiene que pagar $27.60
Ejemplo 12
A doña María, le llegan a comprar 7 de sus clientes y no
tiene cambio, entonces a cada uno le queda debiendo
$2.75 ¿Cuánto debe doña María?

UNIDAD 1
Propiedades En simbolos Ejemplos
Cierre o clausura ab ∈ R
3
4
3
5
9
20
× =
Conmutativa ab = ba
(−5)(2.3) = (2.3) (−5 )
− 11.5 = −11.5
Asociativa a (b c) = (ab) c
Efectúa: (−2.4) (−7.3) (6)
[(−2.4) (−7.3)] (6) = (−2.4) [(−7.3)(6)]
(17.52)(6) = (−2.4) (−43.8)
105.12 = 105.12
Elemento identidad (a) (1) = (1) (a) = a 3 × 1=3, 1 × 5=5, −4 × 1= −4
Elemento inverso
multiplicativo
(a) (
1
a
) = (
1
a
) (a) = 1,
con a ≠ 0
3
1
3
1
1
5
5 1



 = ( ) =,
Distributiva del producto
sobre la suma
a (b + c) = ab + ac
Efectúa 5 (4 + 7) y (5 × 4) + (5 × 7)
5 (4 + 7) = (5 × 4) + (5 × 7)
5 × 11 = 20 + 35
55 = 55
Propiedades del producto de números reales
La multiplicación así como la suma, cumple con ciertas propiedades. En general para a, b y c ∈ 
Resuelve las siguientes situaciones:
Ejemplo 14
Rocío, tiene la mitad de una sandía y la quiere repartir
en partes iguales, entre 6 de sus amigas. ¿Qué parte de la
sandía le tocará a cada una?
Solución:
Plantea la operación:
1
2
÷ 6
Ahora recuerda cómo efectuar esta operación:
1
2
÷ 6 =
1
2
×
1
6
=
1
12
R: A cada una le tocará
1
12
de la sandía.
División de números reales
Ejemplo 15
Cinco hermanos deben $755.76. Ellos pagarán partes
iguales ¿cuánto cancelará cada uno?
Solución:
La operación a realizar es −755.75 ÷ 5
Al efectuarla se obtiene que:
− 755.75 ÷ 5 = −755.75 ×
1
5
= − 151.15
R: Cada uno pagará $ 151.15

UNIDAD 1
Casos de particular importancia
a) ¿A qué es igual
0
8
?
Partiendo de lo anterior tenemos que 0 ÷ 8 =?
¿Qué número multiplicado por 8 resulta cero? 8 × _ = 0
Solo 0, es decir que 0 ÷ 8 = 0 porque 8 × 0 = 0
Entonces:
0
8
= 0
b) Qué sucede con 15 ÷ 0; o sea:
15
0
Si
15
0
= x, entonces (0) (x) = 15 ¿Cuál es el valor de “x”?
Como 0, multiplicado por cualquier número es 0,
entonces; no existe solución para 15
0
c) ¿A qué es igual
0
0
?
Ejemplo 16
Efectúa: a) – 24 ÷
5
6
b) – 72.48 ÷ – 6.25
Solución:
a) – 24 ÷
5
6
= – 24 ×
6
5
= −
144
5
b)
−
−
7248
625
.
.
=11.5968
Signos de agrupación
Como la suma y la multiplicación son operaciones
asociativas, cuando tenemos expresiones como esta:
3 + 5 + 2, están perfectamente determinadas y podemos
operar agrupando así: 3 + ( 5 + 2 ) = 3 + 7 = 10
Pero si tenemos la expresión 5 + 8 × 4 y efectuamos:
Primero la suma: Primero la multiplicación:
5 + 8 × 4 = 5 + 8 × 4 =
13 × 4 = 52 5 + 32 = 37
¿Cuál es el resultado correcto?
Para evitar confusiones, cuando hay más de una
operación se debe respetar la jerarquía de las
operaciones.
Cuando se quiere establecer el orden en que se tiene
que realizar las operaciones, utilizamos los signos de
agrupación, como paréntesis ( ), corchetes [ ] y llaves { }
  (+) ÷ (+) = +
(−) ÷ (−) = +
  (+) ÷ (−) = −
(−) ÷ (+) = −
a) El cociente de dos números
reales que tienen el mismo
signo es positivo.
b) El cociente de dos números
reales de distintos signo
es negativo.
Efectúalassiguientesoperaciones:
a)
3
4



 ÷
5
8



 d) 0.876 ÷ 0.15
b) 87 ÷ 2 e) – 6.75 ÷ – 3
c) 146 ÷ 3 f) 123 ÷ − 4
Actividad3Observa
Que a y b son números reales y b ≠ 0. La operación
división se denota por a ÷ b y se define como a 1
b
Observa
La jerarquía de las operaciones es: primero se efectúan
las multiplicaciones o divisiones, luego las sumas
o restas.
Al dividir 0 entre cualquier número real diferente
de cero el resultado es cero (0)
Al dividir cualquier número entre cero el resultado
es indeterminado o indefinido.
Observa
En los ejemplos anteriores se cumple:

UNIDAD 1
Ejemplo 17
Efectúa: 3 + [8 – (3 × 4) + (9 + 2) + 7] – 12
Solución:
Como hay varios signos de agrupación, comenzaremos con los interiores.
3 + [8 – (6 × 4) + (9 + 2) + 7] – 12 = 3 + [8 – (24) + (11) + 7] – 12
= 3 + [8 – 24 + 11 + 7] – 12
= 3 + [2]−12
= 5 − 12
= − 7
Ejemplo 18
Efectúa: − {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + (9 ÷ 3 + 5) – 2 × 4] −1}
Solución:
– {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + (9 ÷ 3 + 5) – 2 × 4] –1} = − {8 + 4 – [5 × 6 + 2 + 8 – 2 × 4] –1}
= – {8 + 4 – [30 + 2 + 8 – 8] –1}
= − {8 + 4− [32] −1}
= − {8 + 4− 32 −1}
= −{−21}
= 21
Observa
Al suprimir los signos de agrupación
que están precedidos del signo
+, se dejan las cantidades con su
respectivo signo pero si están
precedidos por el signo "–" se cambia
el signo a dichas cantidades.
a) Uncomitéqueorganizaunafiestanecesita3globosporcada
unadelas8mesas.Necesitantambién21globosporcadauna
delas4paredesdelsalón.Paraotradecoraciónnecesitan15
globosyotrapersonasolicita10globosmás.¿Cuántosglobos
necesitanentotal?
Efectúalassiguientesoperaciones:
b) 3×4+{8+7–[5×4+3–12÷2+(4–2×5)]}
c) –4+7–{6×2+8+(4×5–9+3)–15}+2
Actividad 4 Resumen
Enestalecciónestudiastelasoperacionesaritméticasaplicadas
enlosnúmerosrealesyalgunasdesuspropiedades,asícomola
utilizacióndelossignosdeagrupación.
Propiedades Suma Multiplicación
Cierre o clausura si si
Conmutativa si si
Asociativa si si
Propiedades Suma Multiplicación
Distributiva no si respecto a la suma
Elemento identidad 0 1
Elemento inverso −a 1
a

UNIDAD 1
Los modernos algoritmos de cálculo fueron
posibles gracias a la introducción de los
números árabes y la notación decimal
posicional. Los números árabes, basados en la
aritmética, fueron desarrollados por los grandes
matemáticos indios Aryabhatta, Brahmagupta
y Bhaskara I. Aryabhatta ideó la notación
posicional, dando diferente valor a un número
dependiendo del lugar ocupado, y Brahmagupta
añadió el cero al sistema numérico indio.
Brahmagupta desarrolló la moderna suma, resta,
multiplicación y división, basadas en los
números arábigos.
1.b. 2.a. 3.c. 4.b. Soluciones
Autocomprobación
Efectúa:
3+8–5×4+7–6÷3
a) – 4
b) 4
c) 8.3
d) 0
2
1 DoñaBertatiene$2.20yloreparteentresus4
hijos.¿Cuántoletocaacadauno?
a) $ 0.54
b) $0.55
c) $0.054
d) 55
3 Eldíadesucumpleaños,aRosaleregalanunpastel,
comparteconsusamigaslos
2
5
delpastel,consus
hermanos
2
10
y
1
4
consusvecinos.¿Quécantidadde
pastelsecomieron?
a)
5
10
c)
17
20
b)
5
20
d)
8
10
4 Efectúa:40−15÷5−(3×7+4−20)
a) 24
b) 32
c) − 32
d) 0
SISTEMAS NUMÉRICO INDIO Y LAS OPERACIONES

Primera Unidad
Motivación
Identificarás, determinarás y explicarás el grado absoluto y
relativo de un polinomio con seguridad.
Resolverás problemas aplicando el valor numérico
con confianza.
Resolverás con seguridad sumas y restas de polinomios que
contienen signos de agrupación.
Polinomios
Lección 3
a) Los elementos de un monomio son coeficientes y variables.
Monomio Coeficiente Variables
−6 a5
b2
c3
−6 a5
b2
c3
0.14 m−1
n3
0.14 m−1
n3
x2
y 1 x2
y
b) Un polinomio es la suma o resta de dos o más monomios.
Así:
2
3
5 8 273 2 2 3 3
m n m n m x y+ − − +, sonpolinomios.
Identifica los elementos del monomio: 3x3
y.
Ahora, determina el exponente de x y el de y.
Al sumar los exponentes de ambas variables
obtenemos 4. Este número define el grado absoluto
del monomio.
Los exponentes de las variables x e y determinan el
grado relativo respecto a cada una de ellas.
Entonces tenemos que el monomio 3x3
y es de cuarto
grado absoluto y el grado relativo respecto a “x” es tercer
grado y respecto a “y” es de primer grado.
A continuación identificarás el grado absoluto y relativo
en polinomios.
Ejemplo 1
3x + 2x2
y + 7x3
y2
Solución:
Seguramente, lo primero que hiciste fue encontrar el
grado absoluto de cada término así.
3x + 2x2
y + 7x3
y2
Grado 1 Grado 3 Grado 5
Grado absoluto y relativo de un monomio y de un polinomio
Diremos que el polinomio es de quinto grado.
Porque, el grado absoluto de un polinomio está dado por
el mayor grado absoluto de sus términos.
Para el grado relativo con respecto a sus variables,
tomarás el mayor valor de los exponentes de esa variable.
Así con respecto a x es de grado tres y con respecto a y es
de grado dos.

UNIDAD 1
Para encontrar el área sustituimos el valor de x en la
expresión dada, Así:
3x2
= 3(15)2
= 3(225) = 675
El área es de 675 cm2
Evaluar una expresión algebraica significa hallar el valor
numérico, mediante la sustitución del valor asignado a la
variable.
Dadoslossiguientespolinomios,indicasugradoabsolutoysu
gradorelativoconrespectoacadaunadesusvariables.
a) 3 4 85 3
x x x− + −
b) 4 7 85 4 3 4
a b a b ab− −
c)
1
3
7
8
5
9
8 7 5 6 4
m m n m n+ −
Escribeunejemplode:
d) Polinomio cuyo grado absoluto sea 10.
e) Binomio de primer grado absoluto.
f) Trinomio de cuarto grado absoluto y de tercer
grado respecto a x.
Ejemplo 2
Encuentra el grado absoluto y relativo del polinomio:
8 7
1
2
1
3
6 5 4 3
x x x x− + −
Solución:
El grado absoluto es 6 y el relativo es 6 porque sólo hay
una variable, no especificamos respecto a que variable lo
hemos encontrado.
Valor numérico
A Mario le interesa saber cuál es el área de una tira de
papel; si está dada por 3x2
y además el valor de x es
de 15 cm.
Actividad1 Observa
La variable representa un valor numérico
cualquiera que pertenece a los números reales.
Ejemplo 3
Evaluar la expresión: –8x5
y2
para x = – 3, y = 3?
Solución:
Al encontrar su valor numérico tenemos:
(– 8)(–3)5
(3)2
= (–8) (–243) (9) = 17496
Ejemplo 4
Encuentra el valor numérico de la expresión:
3 2 33 2 2
x x y xy+ − para x y=− =−2 1,
Solución:
Sustituimos los valores asignados a las variables:
3 2 33 2 2
x x y xy+ − = 3(–2)3
+ 2(–2)2
(–1) – 3 (–2) (–1)2
= 3(-8) + 2 (4) (–1) – 3 (–2) (1)
= –24 – 8 + 6
= –26

UNIDAD 1
Ejemplo 5
¿Podrías evaluar la siguiente expresión?
2 3 72 2
a b ab a+ − Para a b=− =3 2,
Solución:
2 3 7 2 3 2 3 3 2 7 3
72 1
2 2 2 2
a b ab a+ − = −( ) ( ) + −( )( )− −( )
= − 88 21
75
+
=
Evalúalassiguientesexpresionespara:
a=–2,b=3,m=–1,n=2,p=4yx=1
a) amp–5bx
b) 3a2
bx3
+7m2
np
c) 6b2
m3
–7n2
px5
d) 7ab+5m5
n2
–8px
e) 2 8 8ab mn px− +
f) 9 8 52 4 2 3 5
m x a p b m− −
Suma de polinomios
Los siguientes ejemplos te ilustrarán la forma de sumar
polinomios.
Ejemplo 6
Encuentra una expresión algebraica para el perímetro de
la figura dada.
Solución:
Para encontrar el perímetro de una figura geométrica se
suman las longitudes de todos sus lados.
Entonces, en nuestro caso, tendríamos que:
x + (2x) + (x + 1) + (x + 2) = (x + 2x + x + x) + (1 + 2)
= 5x + 3
Ejemplo 7
Efectúa: (2x2
+ 3x) + (3x2
– 5x + 4)
Solución:
Agrupa los términos semejantes:
(2x2
+ 3x) + (3x2
– 5x + 4) = (2x2
+3x2
) + (3x – 5x) + 4
= 5x2
+ (–2x) + 4
= 5x2
– 2x + 4
Otra forma puede ser escribir un polinomio debajo del
otro. Colocando los términos semejantes en la misma
columna. Así para el ejemplo anterior tenemos:

2 3
3 5 4
5 2 4
2
2
2
x x
x x
x x
+
− +
− +
Ejemplo 8
Suma:
1
2
1
4
5
6
1
6
3
8
1
3
3 2 3 2
m m m m m m+ +− −con
Solución:

1
2
1
4
5
6
1
6
3
8
1
3
4
6
1
8
3
6
3 2
3 2
3 2
m m m
m m m
m m m
+
+
−
−
− −
Para expresar el resultado debemos simplificar las
fracciones, y se obtiene:

2
3
1
8
1
2
3 2
m m m− −
x
x +1
2x
x + 2
Actividad 2

UNIDAD 1
Ejemplo 9
Suma los siguientes polinomios:
7a2
– 9a3
+ 5a – 4; 8 + 2a3
– a; 3a3
+ 2 – 6a – 4a2
Solución:
Al observar los polinomios dados, te das cuenta en cada uno que el orden de la parte
literal es diferente, entonces lo primero que debes hacer es ordenarlo, ya sea en forma
ascendente o descendente respecto al exponente.
En este caso, podrías ordenar en forma descendente respecto a la variable a es decir,
que el exponente de a vaya disminuyendo así:
– 9a3
+ 7a2
+ 5a – 4
2a3
– a + 8
3a3
– 4a2
– 6a + 2
– 4a3
+ 3a2
– 2a + 6
Ejemplo 10
Suma 0.25m3
n – 0.4m2
n + 0.7mn3
; 0.19mn3
+ 0.86m2
n – 0.68m3
n
Solución:
0.25m3
n – 0.4m2
n + 0.7mn3
– 0.68m3
n + 0.86m2
n + 0.19mn3
– 0.43m3
n + 0.46m2
n + 0.89mn3
Efectúalassiguientessumasdepolinomios:
a) 7x + 5x3
– 6x4
; 5 + 3x3
+ 4x + 8x4
b) a5
+ 3a2
+ 2a; 6a3
– 5a4
+ 3a; a4
– 8a2
– 4a5
–2a3
c) 7b3
– c3
; 7c3
– 9bc; 4b3
+ 2b – 5bc
d) 8m4
n + 3m2
n3
– 7mn4
; 6n5
– 7m4
n + mn4
– 3m2
n3
e)
4
9
3
8
5
6
3
4
7
3
2
3
3 2 2 2 2
y x y x y x y x y y+ − + −;
Actividad3

UNIDAD 1
Resta de polinomios
Observa los siguientes rectángulos:
Perímetro de A: 6x + 2
Perímetro de B: 4x + 6
Encuentra la diferencia del perímetro del rectángulo de la figura A y el rectángulo de la
figura B?
6 2 4 6x x+( )− +( )
Elimina los signos de agrupación y utiliza la ley de los signos, entonces obtienes:
Relaciónalo con la resta de números reales, puedes ver que es una suma del minuendo
con el inverso aditivo del sustraendo.
Ejemplo 11
De 8a5
b – 5a4
b2
resta 5a5
b + 3a4
b2
Solución:
(8a5
b – 5a4
b2
) – (5a5
b+3a4
b2
)
Elimina los paréntesis:
8a5
b – 5a4
b2
– 5a5
b – 3a4
b2
= 3a5
b – 8a4
b2
Utiliza el mismo proceso que en la suma, colocarlo uno debajo del otro, así:
8a5
b – 5a4
b2
→ Minuendo.
–5a5
b – 3a4
b2
→ Inverso aditivo del sustraendo .
3a5
b – 8a4
b2
→ Diferencia.
Ejemplo 12
Resta 13xy4
+ 5x2
y3
– 9x3
y2
de 6xy4
– 7x2
y3
+ 5x3
y2
Solución:
¿Cuál es el minuendo y cuál es el sustraendo?
El polinomio que está después de la palabra “de” indica el minuendo.
Ahora realizamos la operación: 6xy4
– 7x2
y3
+ 5x3
y2
–13xy4
– 5x2
y3
+ 9x3
y2
–7xy4
– 12x2
y3
+ 14x3
y2
Observa que a todos los términos del sustraendo se les cambia de signo.
6x + 2 - 4x - 6 = 2x - 4
A
2x + 1
x
x + 3
Bx

UNIDAD 1
Escribe la siguiente expresión algebraica suprimiendo el
signo de agrupación: 4 5 3 2x y x y+ + −( ). Observa que
el paréntesis está precedido por el signo +, entonces:
4 5 3 2 4 5 3 2x y x y x y x y+ + −( )= + + −
Al operar se tiene:
4 5 3 2 4 5 3 2x y x y x y x y+ + −( )= + + −
= +7 3x y
Ahora mira este otro ejemplo:
¿Cómo simplificas ?
3 5 2 3 4 9x x y x y x y+ − − +( )− + 
Suprime signos de agrupación:
3 5 2 3 4 9 3 5 2 3 4 9x x y x y x y x x y x y x y+ − − +( )− + = + − − − − +[ ]
== + − − − − +



3 5 2 3 4 9x x y x y x y
=− −4 5x y
Primero suprimes el paréntesis y luego el corchete. Es decir de adentro hacia fuera.
a) Resta 05 075 06 083 055 0163 2 3 2
. . . . . .x x x x x x− + − +de
b) Resta a ab a b a b a a b ab a b4 3 2 2 3 4 2 2 3 3
15 20 18 5 18− + − − − −de
c) De
3
4
1
2
5
6
1
2
3
4
2
3
3 2 3 2
m m m m m m− + − +resta
d) De 3 8 5 7 6 31 2 3 1 2 3
x x x x x xm m m m m m+ + + + + +
− + − +resta
Actividad4
Ejemplo 13
De:
3
5
1
2
5
8
7
10
3
8
3
4
6 5 4 6 5 4
m m m m m m+ − − −resta
Solución:

3
5
1
2
5
8
7
10
3
8
3
4
1
10
7
8
1
8
6 5 4
6 5 4
6 5
m m m
m m m
m m
+ −
− + +
− + + mm4
Observa
Si los signos de agrupación están precedidos por el
signo más, se suprime, dejando los términos con
su respectivo signo. Pero si el signo es menos, al
suprimirlo, los términos que estaban encerrados
cambian de signo.
Signos de agrupación en expresiones algebraicas

UNIDAD 1
Ejemplo 14
Simplifica: 5 8 6 43 2 3
a a a+ − −( )
Solución:
El signo de agrupación va precedido del signo +
5 8 6 4 5 8 6 4
8 4
3 2 3 3 2 3
3 2
a a a a a a
a a
+ − −( )= + − −
=− + −
Ejemplo 15
Simplifica: 2 5 6m n m n+ − −( )
Solución:
El signo de agrupación está precedido del signo −:
2 5 6 2 5 6
3 7
m n m n m n m n
m n
+ − −( )= + − +
=− +
Simplificalassiguientesexpresionesalgebraicas:
a) m m mn n mn m mn2 2 2 2
7 5 4+ − −( )+ − +( )− − −( ){ }
b) 3 5 3 6x x y x y y x− − + − + − +( )− +{ }
c) − − + − + −( )+ −[ ]+ −7 4 3 2 5 8 2 7a a a a a
d) 8 3 4 9 6 5 2b b b b− + − −( )+ −[ ]
Actividad 5
Resumen
Tantoenmonomioscomoenpolinomiospodemosencontrarelvalorabsolutoyrelativo,lomismo
quesuvalornuméricodeacuerdoalvalorasignadoparacadavariable,sihaysignosdeagrupación
sedebensuprimir.Parasuprimirsignosdeagrupaciónesimportantetomarencuentaelsignoque
loprecede,sielsignoes“+”,lostérminosqueestáncontenidosnocambiansusigno,perosielsigno
es“–”,entonceselsignodecadatérminocambiayparareducirlaexpresiónsedebetomarencuenta
quesólosepuedensumarorestarlostérminossemejantes.

UNIDAD 1
Autocomprobación
La palabra Álgebra procede del árabe y significa
restauración y reducción. De esta manera
se denominó a la forma extraña de escribir
matemáticamente con letras y números, puesto
que una misma magnitud puede añadirse o
sustraerse de una igualdad de dos cosas y por
otra parte, podemos reducir el número de cosas
siempre que sea posible.
Los babilonios escribían sus letras y signos con
unos punzones sobre tablas de barro que luego
cocían para que no se perdiera lo escrito. Algunas
de esas tablas se han encontrado recientemente
y nos han permitido saber lo listos que eran
nuestros antepasados de Babilonia.
Soluciones
Elgradoabsolutoyrelativorespectoaxdelaexpresión
8 7 32 5 3 6 4 7
x y x y x y+ − respectivamentees:
a) 7 y 4
b) 11 y 4
c) 11 y 7
d) 7 y 7
4
3
2
1 Alevaluarlaexpresión 3 5 23 2 3 2
m n m n mn− +
para m =−2 y n =3 loqueseobtienees:
a) −522
b) 522
c) −648
d) 630
Resta 6 8 7 25 3 2 3 4
a b a b ab b− − + de
3 6 2 54 3 2 5 3
b a b a b ab+ − +
a) − + + +8 14 125 3 2 3 4
a b a b ab b
b) − + − −8 14 125 3 2 3 4
a b a b ab b
c) 4 2 12 55 3 2 3 4
a b a b ab b− + −
d) − + + +4 2 2 55 3 2 3 4
a b a b ab b
Alefectuar
3 7 5 4 6 62 3 2 3
x x x x+ −( )+ − +( ) resulta:
a) x x3
1− +
b) − + −x x3
1
c) 7 13 113
x x− −
d) 13 7 113 2
x x+ −
1.c. 3.b. 2.d. 4.a.
¿DE DÓNDE VIENE LA PALABRA ÁLGEBRA?

Primera Unidad
Motivación
Resolverás problemas aplicando las propiedades de los
exponentes enteros, con seguridad y confianza.
Demostrarás confianza al resolver problemas aplicando la
multiplicación de polinomios.
Potencia de exponentes enteros y
multiplicación de Polinomios
Lección 4
Una señora tiene varias bolsas con naranjas, en la primera
tiene 2, en la segunda el doble de la primera, en la tercera el
doble de la segunda, en la cuarta el doble de la tercera y en
la quinta el doble de la cuarta, ¿cuántas naranjas tiene en la
quinta bolsa?
¿Qué planteamiento realizarías?
Podría ser el siguiente:
Primera = 2
Segunda = 2 × 2
Tercera = 2 × 2 × 2
Cuarta = 2 × 2 × 2 × 2
y en la quinta = 2 × 2 × 2 × 2 × 2 que es 25
= 32
R: Tiene 32 naranjas en la quinta bolsa.
Esto mismo es aplicable en algebra. Por ejemplo:
m m m m m m5
= . . . .
5 factores
a) (24
)(32
) = (2 × 2 × 2 × 2)(3 × 3)
= 16 × 9
= 144
b) 34
= × × × =
c) (−5)3
= × × =
d) 71
=
Potencias de exponentes enteros
En Aritmética estudiaste lo que es una potencia y las
leyes de los exponentes.
Observa y completa:
En general:
a = a. a. a. a. a..... a
n
{
n factores
Donde:
exponente
an
base

UNIDAD 1
Ejemplo 2
Efectúa: a a4 2
( )( )
Solución:
a a a a a a a a aaaaaa4 2
( )( )=( )( ) = ( ). . . . =a6
4 2 4 + 2 = 6 factores
factores factores
Observa
Al efectuar
a
a
m
n
para a ≠0 , se tiene am n−
Para dividir potencias de la misma base, diferente
de cero, se escribe la misma base y se restan
sus exponentes.
Ejemplo 3
Aplica la propiedad y efectúa:
a) (m5
) (m3
)
b) (b7
) (b−4
)
Solución:
(m5
) (m3
) = m5+3
= m8
(b7
) (b−4
) = b7+(-4)
= b3
Ejemplo 4
El profesor de matemática invita a sus estudiantes a
redactar problemas utilizando potencias.
María comparte el de ella y dice así:
En un canasto hay 28
naranjas y se tiene que repartir
entre 26
estudiantes. ¿Cuántas naranjas le corresponde a
cada uno?
Solución:
La operación a realizar es: 28
÷ 26
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2
2 2 2
8
6
2
=
× × × × × × ×
× × × × ×
= × =
8 − 6 = 2 factores
Es decir que:
2
2
2 2 4
8
6
8 6 2
= = =−
R: A cada uno le tocan 4 naranjas.
Veamos ahora que sucede cuando el exponente del
divisor es mayor que el dividendo.
x x
Ejemplo 1
Un cubo tiene una arista
de longitud x .
¿Cuál es el volumen?
Propiedades con exponentes
Para darle solución al ejemplo 1, recordamos que el
volumen del cubo se encuentra multiplicando el valor de
la arista tres veces, es decir:
x x x x. .= 3
3 factores
Observa
En general:
a a am n m n
. = +
Para multiplicar potencias que tienen la misma base,
se escribe la misma base y se suman sus exponentes.
Los siguientes ejemplos te ilustrarán las propiedades con
exponentes.
Teniendo en cuenta que:
an
= a.a....a
 
n veces
(3)(3)(3)(3)(3) = (3)5
= 243
(3)3
(3)2
= (3)3 + 2
(27)(9) = (3)5
243 = 243

UNIDAD 1
Ejemplo 5
Efectúa:
x
x
2
6
Solución:
x
x
x x
x x x x x x x x x x x
2
6 4
1 1
= = =
.
. . . . . . . .
Y si aplicas la propiedad:
a
a
a
m
n
m n
= −
Tienes:
x
x
x x
2
6
2 6 4
= =− −
por lo tanto:
1
4
4
x
x= −
Observa este caso:
Ejemplo 6
Efectúa: 33
÷ 33
Solución:
3 3
3
3
3 3 3
3 3 3
1
1
13 3
3
3
÷ = =
× ×
× ×
= =
También podemos decir que:
3
3
27
27
1
3
3
= =
Al aplicar la propiedad de dividir potencias de la misma
base tenemos:
3
3
3 3
3
3
3 3 0
= =−
¿Qué concluyes? Toda cantidad elevada a la cero es igual
a uno.
Observa
En general para : a ≠0 a0
1=
Aplica esta conclusión y efectúa.
m
m
7
7
= y y4 4
=
Ejemplo 7
Encuentra: 23
× 33
Solución:
2 3 2 2 2 3 3 3 8 27 2163 3
× = × ×( ) × ×( )= × =
3 factores 3 factores
La base 2 y la base 3 están elevadas al mismo exponente
por lo que se puede escribir así:
23
× 33
= (2 × 3)3
= 63
= 6 × 6 × 6 = 216
Esto significa que 23
× 33
= (2 × 3)3
= 216
Observa
El exponente negativo resulta cuando el exponente
del numerador es menor que el exponente del
denominador:
a
a
a
m
n
m n
= −
Y podemos decir que: a
a
n
n
−
=
1
Observa
En general: ab a bn n n
( ) =
÷
Verifica las siguientes igualdades:
a b ab xy x y mnp m n p
a b c
5 5 5 6 6 6 8 8 8 8
= ( ) = ( ) =
+( )[ ]−
( ) ; ; ;
22 2 2 2 2 2 2 2 2
3 3 9= +( ) ( ) = =− −
a b c xy x y x y;

UNIDAD 1
Ejemplo 8
Encuentra:
5
7
3




Solución:
5
7
5
7
5
7
5
7
3



 =











 ==
× ×
× ×
=
5 5 5
7 7 7
5
7
3
3
Entonces:
5
7
5
7
3 3
3



 =
Ejemplo 9
Efectúa:
m
n




5
Solución:
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n
m
n



 =


















5

 = =
m m m m m
n n n n n
m
n
. . . .
. . . .
5
5
Entonces:
m
n
m
n



 =
5 5
5
Ejemplo 10
Efectúa:
3
2
3
ab
mn




Solución:
3
2
3
2
27
8
3 3 3 3
3 3 3
3 3
3 3
ab
mn
a b
m n
a b
m n



 = =
Ejemplo 11
Rosa tiene limones en un canasto . Su hijo que estudia octavo grado dice que son
(24
)2
limones. ¿Sabes tú cuántos limones tiene Rosa?
Solución:
Aplicando los conocimientos sobre potencias, tenemos:
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 24 2 4 4
( ) = × = × × ×( ) × × ×( )= × =16 16 256
¿Cuántas veces hemos multiplicado el 2 por sí mismo? Se verifica que son 8 veces.
Entonces: 2 2 24 2 4 2 8
( ) = =×
= 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 × 2 = 256
R: Rosa tiene 256 limones.
Ejemplo 12
Efectúa:
2
3
4 2
4
m n−



Solución:
2
3
16
81
4
4 4 2 4 16 8


 ( ) ( ) =− −
m n m n
Observa
En general : a am n mn
( ) =
Observa
En general:
a
b
a
b
n n
n



 = Para b ≠ 0

UNIDAD 1
Multiplicación de polinomios
Iniciemos recordando la multiplicación de monomios.
Observa el siguiente rectángulo:
Aplicalaspropiedadesdelosexponentessegúncorrespondaencadacasoyencuentraelresultado:
a)
x
y
5
2
0



 c) xy( )−3
e)
b
b
7
5
g) 3 2
0
x y−( ) i)
a
m
3 2
6
2
( )







b) m m4 5
. −
d) x y a+( ) 
3
f)
3
5
a−
h)
a
a
3
2
5
−



 j)
5 2
3 7
3
×
×




Actividad 1
Multiplicación de monomio
por polinomio
Ejemplo 13
Carlos tiene una pintura de forma rectangular con las
dimensiones que aparece en el dibujo y quiere calcular el
área que cubrirá en la pared.
¿Cuál es su área?
Sabes que A = bh (base por altura)
Al sustituir por los valores que tiene el rectángulo dado,
tenemos que:
A = (2x)(x)
Procedemos a multiplicar los coeficientes con su
respectivo signo:
(2 × 1) = 2
Luego la parte literal:
x . x = x2
Entonces resulta que: (2x)(x) = 2x2
R: Su área es 2x2
unidades cuadradas.
Solución:
El área del rectángulo se calcula así A = bh
Planteando la operación: A = (3x + 2) (2x)
Observarás que son expresiones algebraicas que
conocemos como monomios y polinomios.
Para realizar la operación, multiplica el monomio por
cada uno de los términos del polinomio, luego suma
algebraicamente los productos resultantes así:
A =(3x + 2)(2x) = (3x) (2x) + (2) (2x) = 6x2
+ 4x
R: El área de la pintura es 6x2
+ 4x unidades cuadradas.
2x
x
2x
3x + 2

UNIDAD 1
Multiplicación de polinomio
por polinomio
Ahora que ya sabes multiplicar monomio por
polinomio, podrás efectuar polinomio por polinomio
siguiendo el mismo proceso.
Ejemplo 17
Un pedazo de cartón tiene las dimensiones que
aparecen en el dibujo, encuentra su superficie.
Ejemplo 14
Efectúa: −( ) −( )5 6 72 3 2
a a a
Solución:
−( ) −( )= −( )( )+ −( ) −( )
=− +
5 6 7 5 6 5 7
30
2 3 2 2 3 2 2
5
a a a a a a a
a 335 4
a
Ejemplo 15
Efectúa: (4x5
− 7x4
+ 3x3
) (2x3
)
Solución:
4 7 3 2
4 2 7 2 3
5 4 3 3
5 3 4 3 3
x x x x
x x x x x
− +( )( )
=( )( ) ( )( ) (
=
+ − + ))( )
= + −( )+
= − +
2
8 14 6
8 14 6
3
8 7 6
8 7 6
x
x x x
x x x
Ejemplo 16
Multiplica: 3 5 62 1 3 2
x y x y x ya b a b a b+ + + +
− − por −2 2 3
x y
Solución:
Por
3 5 6
2
2 1 3 2
2 3
x y x y x y
x y
a b a b a b+ + + +
− −
−
−− + ++ + + + + +
6 10 124 4 5 5 2 3
x y x y x ya b a b a b
Efectúalassiguientesmultiplicaciones:
a) m m n mn n5 2 2 3
6 8 2 5− − + − por 4 4
mn
b) 3 2 5 8 6 27 6 5 4 3
b b b b b− + + − + por −7 4
b c
c) − + −+ + +
2 3 51 2 1
a b a b a bx x x x x
por 3 2 3
a bx x
d) x x y x y x5 4 2 3 2
7 6 3+ − − por −5 2 3
x y
e) 02 3 2
. b c por 03 075 0536 2 5 3 4 4
. . .b c b c b c+ −
Actividad2
Observa
Para multiplicar un polinomio con un monomio, se
multiplica cada uno de los términos del polinomio
por el monomio.
Solución:
A = bh
En este caso es: A x x= −( ) +( )3 3 4
Para realizar la operación coloca los polinomios en
forma vertical y aplica la propiedad distributiva:
por
x
x
−
+
3
3 4
3 9
4
2
x x−
+ xx
x x
−
− −
12
3 5 122
3 3x x −( )→
4 3x −( )→
3x 4
x −3

UNIDAD 1
Ejemplo 18
Multiplica: 5 4 6 2
a a− + por 2 3 42 3
a a a− +
Solución:
Nota que los polinomios no están ordenados, entonces
primero se deben ordenar, en general se hace en forma
descendente, es decir de mayor a menor exponente:
Por 6 5 4
3 2 4
18 15 12
12 10 8
2
3 2
5 4 3
4 3
a a
a a a
a a a
a a a
+ −
− + +
− − +
+ −+ 22
3 2
24 20 1+ a a+ − 66
18 3 46 12 165 4 3 2
a
a a a a a− − + + −
− + −( )3 6 5 43 2
a a a
2 6 5 42 2
a a a+ −( )
4 6 5 42
a a a+ −( )
Ejemplo 19
Efectúa: 4 6 8 4 6 52 5 4 3 2
x x x x x x−( ) − − +( )
Solución:
La multiplicación cumple con ser conmutativa, podemos
cambiar el orden de los factores:
8 4 6 5
4 6
32 1
5 4 3 2
2
7
x x x x
x x
x
− − +
−
− 66 24 20
48 24 36 30
6 5 4
6 5 4
x x x
x x x
− +
− + + − xx
x x x x
3
7 6 4 3
32 64 0 56 30− + + −
por
Efectúalassiguientesmultiplicaciones:
a)
2
3
1
5
1
3
x y x y−



 +




b) 5 4 32
ab b a ab+( ) −( )
c) m m m2
3 2 2 5− +( ) −( )
d) 7 4 3 8 62
x x x−( ) − − +( )
e) 3 5 6 8 2 7 53 2 2
y y y y y− + −( ) − +( )
f) 2 8 7 3 52 1 2 2 2 3 3 1 3 2 3 3
m m m m m mx x x x x x+ + + − − −
− +( ) − + +( ))
Observa
Proceso:
Se multiplica cada uno de los términos del segundo
polinomio por todos los términos del primero,
colocando los productos de modo que los términos
semejantes queden en columna para facilitar la suma.
Resumen
Para a b R m n Z, , ,∈ ∈ secumplenlassiguientesleyesde
losexponentes,paralaspotenciasqueesténdefinidas:
a) a a am n m n
. = +
d) a b abm m m
=( )
b)
a
a
a
m
n
m n
= −
si a ≠0 e)
a
b
a
b
m m
m



 =
c) a am n mn
( ) =
Punto de apoyo
0-2
y 00
no esta definido. En general 0n
con “n”
negativo o cero no está definido es indeterminado.
− − − +6 8 4 6 55 4 3 2
x x x x x( )
4 8 4 6 52 5 4 3 2
x x x x x( )− − +
Por lo tanto el resultado es: 32x7
− 64x6
+ 56x4
− 30x3
Actividad 3

UNIDAD 1
Autocomprobación
1.d. 2.a. 3.d. 4.c. Soluciones
Efectúaelproducto 3 4 85 4 3
x x x− + por 2 8x −
Elresultadoes:
a) 6 28 646 5 3
x x x+ +
b) 5 15 20 166 5 4 3
x x x x+ + −
c) 6 32 48 646 5 4 3
x x x x− + −
d) 6 20 646 5 3
x x x+ −
4 Bertatiene3x+5y–4mangos,siMaríatiene
4xveceslosquetieneBerta.Laexpresiónque
representalacantidaddemangosquetienees:
a) 12 20 162
x xy x+ −
b) 12 5 42
x y+ −
c) 12 20 162
x xy x+ +
d) 3 5 16x y x+ −
2
Sidesarrollasaplicandopropiedades
6
10
2 2










obtienes:
a) 36
100
c)
9
25
b)
162
625
d)
1296
10 000,
1
En 1982 G.H. Nesselman, para estudiar el desarrollo
histórico de la notación algebraica, dividió su
evolución en tres períodos: álgebra retórica, álgebra
sincopada y álgebra simbólica.
En el álgebra simbólica se encuentra nuestro
simbolismo actual. El matemático francés Fracois
Viete, propuso en su obra In artem analyticam
isagoge, publicada en 1591, los principios
fundamentales del álgebra, usar letras vocales
para representar variables y consonantes para
constantes, desarrollando con esta nomenclatura los
algoritmos algebraicos. La costumbre actual de usar
las últimas letras del alfabeto para variables y las
primeras para constantes fue introducida por otro
matemático francés René Descartes en 1637.
3 Siefectúas 5 53 4
m m( ) ÷( ) elresultadoes:
a) 5 7
m( ) c)
1
5 1
m( )−
b) 5m d)
1
5m
DESCARTES Y EL ÁLGEBRA
René Descartes

Primera Unidad
Motivación
Deducirás, explicarás y aplicarás los productos notables.
Productos notables
Lección 5
José tiene una fotografía de forma cuadrada cuyos lados miden x + y,
quiere saber cuál es el área de la superficie.
Como recordarás para encontrar el área de un cuadrado multiplicas
lado por lado, en nuestro caso:
x y x y x y+( ) = +( ) +( )2
Lo cual corresponde geométricamente al área de un cuadrado.
x y x y x y+( ) =( )( )2
+ + y al efectuar la operación:

por
x y
x y
x xy
xy y
+
+
+
+ +
2
2
x xy y2 2
2+ +
Esto significa que: x y x xy y+( ) = + +
2 2 2
2
A esto se le llama cuadrado de la suma de dos términos.
Observa las siguientes figuras:
Observa
El cuadrado de la suma de dos términos es
igual a:
El cuadrado del primer término más el doble
producto del primero por el segundo más el
cuadrado del segundo término.
x y y
El cuadrado de la suma de dos términos

UNIDAD 1
Ejemplo 1
Encuentra el producto de 3 2 2
m n+( ) aplicando la regla del cuadrado de la suma de
dos términos:
Solución:
3 2 2
m n+( ) = 3 2
m( ) + 2 3 2m n( )( ) + 2 2
n( )
Cuadrado de
la suma de dos
terminos
Cuadrado
del 1º
Doble producto
del 1º por el 2º
Cuadrado
del 2º
= 9 12 42 2
m mn n+ +
Ejemplo 2
Escribe el resultado de:
1
5
2
3
2 3
2
m n+




Solución:
1
5
2
3
1
5
2
1
5
2
3
2 3
2
2
2
2 3
m n m m n+



 =



 +







 +




2
3
3
2
n
Cuadrado de
la suma de dos
términos
Cuadrado
del 1º
Doble producto
del 1º por el 2º
Cuadrado
del 2º
= + +
1
25
4
15
4
9
4 2 3 6
m m n n
Ejemplo 3
Escribe el desarrollo de: 2 54 3 2 2
x y x y+( )
Solución:
2 5 2 2 2 5 54 3 2 2 4 2 4 3 2 3 2
x y x y x y x y x y x y+( ) =( ) ( )( ) (+ + ))
= + +
2
8 2 7 3 6 4
4 20 25x y x y x y
Efectúaeldesarrollodelossiguientescuadrados:
a) x3 2
5+( ) d) 2 32 3 2
x y+( ) g)
2
3
3
5
3 2
2
m n m n+




b) 3 45
22
a b+( ) e)
3
5
1
3
2 2
2
a b+



 h) x ya a+2 1 2
+( )+
c) 5 23 2 2 3 2
m n m n+( ) f)
1
9
2
3
2
2
x y−
+



 i) Escribeeláreadeun
cuadradocuyolado
mide 4 3x +
Actividad1

UNIDAD 1
Ejemplo 4
Efectúa:
3 62 2
x y−( )
Solución:
3 6 3 2 3 6 6
9 36 36
2 2 2 2 2 2
4 2
x y x x y y
x x y y
−( ) =( ) − ( )( )+( )
= − + 22
Ejemplo 5
Efectúa:

3
4
1
6
5 4
2
a a−




Solución:
3
4
1
6
5 4
2
a a−



 = − +2
3
4
3
4
1
6
1
6
5
2
5 4
a a a a












44
2





=
9
16
6
24
1
36
10 9 8
a a a− +
Hay una fracción
que se puede
simplificar
=
9
16
1
4
1
36
10 9 8
a a a− +
Rosa tiene un lienzo de tela de forma cuadrada, cuyos
lados miden "x". Lo quiere para cubrir un espacio
también cuadrado, pero el lienzo de tela es más grande,
por lo que decide cortar una parte, si la parte que corta
es "y"; entonces el lienzo medirá x − y, ¿cuál es su área?
Solución:
Rosa encuentra el área efectuando el producto:
x y x y x y−( ) = −( ) −( )2
por
x y
x y
x xy
xy y
−
−
−
− +
2
2
x xy y2 2
2− +
Esto significa que:
(x − y)2
= x2
− 2xy + y2
Cuadrado de
la diferencia de
dos terminos
Cuadrado
del 1º
Doble
producto del
1º por el 2º
Cuadrado
del 2º
R: El área del lienzo de tela es x2
− 2xy + y2
Ahora, geométricamente tenemos:
Encuentraeldesarrollodelossiguientescuadrados:
a) 3
1
4
2
a b−



 d) 2 71 2 2
a bx y+ −
−( )
b) 6 52 3 2 2
x y x y−( ) e) 7 83 2 4 3 2
m n m n−( )
c)
1
3
1
5
5 4
2
a b a b−



 f) 5 8 2 2
x ya b a b+ +
−( )
Actividad 2
yx - y
yx-y
y (x − y) y²
(x − y)²
y(x-y)
x
y
Al observar las áreas se tiene:
(x − y)2
= x2
− 2y(x − y) − y2
Verifica que el resultado es el mismo obtenido
anteriormente.
El cuadrado de la diferencia de dos términos

UNIDAD 1
Ejemplo 6
Desarrolla: 3 2 3
m n+( )
Solución:
3 2 3
m n+( ) = 3 3
m( ) + 3 3 22
m n( ) ( ) + 3 3 2 2
m n( )( ) + 2 3
n( )
Cubo de la suma
de dos términos
Cubo del 1.º Tres por el cuadrado
del 1.º por el 2.º
Tres por el 1.º por
el cuadrado del 2.º
Cubo del 2.º
= 27m3
+ 54 m2
n + 36mn2
+ 8n3
Ejemplo 7
Efectúa utilizando la regla:
2
3
1
2
4 5
3
x y+




2
3
1
2
4 5
3
x y+



 =
2
3
4
3
x



 + 3
2
3
1
2
4
2
5
x y







 + 3
2
3
1
2
4 5
2
x y







 +
1
2
5
3
y



Cubo de la suma
de dos términos
Cubo
del 1.º
Tres por el cuadrado
Tres por el 1º por
el cuadrado del 2.º Cubo del 2.º
=
8
27
12
18
6
12
1
8
12 8 5 4 10 15
x x y x y y+ + +
=
8
27
2
3
1
2
1
8
12 8 5 4 10 15
x x y x y y+ + +
x + y
El cubo de la suma de dos términos
Asociando los dos primeros factores tienes:
x y x y x y+( ) = +( ) +( )3 2
. Y como ya sabes que
x y x xy y+( ) = + +
2 2 2
2 entonces faltaría que
multipliques por x y+( ). Así:
x y x xy y x y+( ) = + +( ) +( )3 2 2
2 o sea:
por
x xy y
x
2 2
2+ +
+ y
x x y xy3 2 2
2+ +
+ + +
+ +
x y xy y
x x y xy
2 2 3
3 2
2
3 3 22 3
+ y
De acuerdo con la ilustración, para encontrar
el volumen del cubo tienes:
x y x y x y x y+( ) = +( ) +( ) +( )3
Observa
El cubo de la suma de dos términos es igual a: el cubo del primer término, más tres veces
el producto del cuadrado del primer término por el segundo, más tres veces el primer
término por el cuadrado del segundo, más el cubo del segundo término.

UNIDAD 1
Roberto tiene una caja de forma cúbica que mide de arista x.
La quiere introducir en otra de la misma forma pero es más pequeña, entonces decide cortarle a cada
dimensión "y" unidades. ¿Cuál es el volumen de la caja más pequeña?
Algebraicamente esto corresponde a:
x y x y x y−( ) = −( ) −( )3 2
x y x xy y x y−( ) = − +( ) −( )3 2 2
2
Por
x xy y
x y
x x y xy
2 2
3 2 2
2
2
− +
−
− +
− + −x y xy y2 2 3
2
x x y xy y3 2 2 3
3 3− + −
Compara con el cubo de la suma, ves que la diferencia son sus signos, entonces tenemos que:
x y−( )3
= x3 − 3 2
x y + 3 2
xy − y3
Cubo de la
diferencia de
dos términos
Cubo del 1.º Tres por el
cuadrado del
1.º por el 2.º
Tres por el 1.º por
el cuadrado del 2.º
Cubo del 2.º
R: El volúmen de la caja más pequeña es (x3
−3x2
y + 3xy2
−y3
) unidades cúbicas.
Encuentraelresultadoaldesarrollarelcuboqueseindicaencadaexpresión:
a) 2 3
a b+( ) c)
1
3
1
2
2 3
3
m n+



 e) 4 25 4 3
m n+( )
b) 3 2 3
x y+( ) d) 5 22 2 3
x y xy+( ) f) 2 3 2 3
m nx x
+( )
Ejemplo 8
Desarrolla: 4 52 3 3
a b+( )
Solución:
4 5 4 3 4 5 3 4 5 52 3 3 2 3 2 2 3 2 3 2 3
a b a a b a b b+( ) =( ) + ( ) ( )+ ( )( ) +(( )
= + + +
3
6 4 3 2 6 9
64 240 300 125a a b a b b
Observa
El cubo de la diferencia de dos términos es igual a:
El cubo del primer término, menos tres veces el
producto del cuadrado del primero por el segundo,
más tres veces el primero por el cuadrado del
segundo, menos el cubo del segundo.
Actividad 3
El cubo de la diferencia de dos términos

UNIDAD 1
Ejemplo 9
Desarrolla:
1
3
2
5
3 2
3
m n−




Solución:
1
3
2
5
3 2
3
m n−



 =
1
3
3
3
m



 − 3
1
3
3
2
m




2
5
2
n



 + 3
1
3
3
m




2
5
2
2
n



 −
2
5
2
3
n




1
3
2
5
3 2
3
m n−



 =
1
27
2
15
4
25
8
125
9 6 2 3 4 6
m m n m n n− + −
Ejemplo 10
Desarrolla: 2 3 3
a b−( )
Solución:
2 3 2 3 2 3 3 2 3 3
8
3 3 2 2 3
3
a b a a b a b b
a
−( ) =( ) − ( ) ( )+ ( )( ) −( )
= −336 54 272 2 3
a b ab b+ −
Cubo de la
diferencia de
dos términos
Cubo del 1.º Tres por el cuadrado
Tres por el 1.º por el
cuadrado del 2.º
Cubo del 2.º
Son Productos de la forma: x y x y+( ) −( )
Encontremos este producto:
x y
x y
x xy
xy y
x
+
−
+
− −
2
2
2
− y2
por
Encuentraelresultadoaldesarrollarelcuboqueseindicaencadaexpresión:
a) 3 45 4 3 2 3
x y x y−( ) c) 2 5
3
a am n
−( ) e)
3
5
2
7
7 6
3
b c−




b)
1
3
3
4
3
m n−



 d) 7 53 2 4 3
m n mn−( ) f) x ya b b c+ +
−( )
3
Ejemplo 11
Efectúa el producto: 3 2 3 2x y x y−( ) +( )
Solución:
3 2 3 2 3 2
9 4
2 2
2 2
x y x y x y
x y
−( ) +( )=( ) −( )
= −
Actividad4
Observa
El producto de la suma de dos términos por su
diferencia, x y x y+( ) −( ) es igual a la diferencia de
los cuadrados de ambos términos. Es decir: x y2 2
−
El producto de la suma de dos términos por su diferencia

UNIDAD 1
Resumen
Ejemplo 12
Efectúa el producto:
1
2
2
3
1
2
2
3
3 2 3 2
a b a b−



 +




Solución:
1
2
2
3
1
2
2
3
1
2
2
3
3 2 3 2 3
2
2
a b a b a b−



 +



 =



 −




= −
2
6 41
4
4
9
a b
Ejemplo 13
Encuentraelproductode: 2 3 2 31 2 1 2
x y x ym m m m+ − + −
+( ) −( )
Solución:
2 3 2 3 2 31 2 1 2 1 2 2
x y x y x ym m m m m m+ − + − + −
+( ) −( )=( ) −( )22
2 1 2 2 2 2 2 4
4 9 4 9= − = −+( ) −( ) + −
x y x ym m m m
Encuentraelresultadodelossiguientesproductos
indicados:
a) 5 3 5 3a b a b+( ) −( )
b) 3 4 3 45 4 5 4
x y x y−( ) +( )
c)
1
2
1
6
1
2
1
6
m n m n+



 −




d) 2 7 2 74 5 2 4 5 2
a b a b a b a b−( ) +( )
e)
3
4
2
5
3
4
2
5
2 3 2 3
a b a b+



 −




f) 2 3 2 32 1 2 1
m n m nx x x x
−( ) +( )+ +
Actividad 5
Nombre Expresión Regla
El cuadrado de la suma
de dos términos.
x y x xy y+( ) = + +
2 2 2
2
El cuadrado de la suma de dos términos es igual a: el
cuadrado del primer término más el doble producto
del primero por el segundo más el cuadrado del
segundo término.
El cuadrado de la
diferencia de dos
términos.
x y x xy y−( ) = − +
2 2 2
2
El cuadrado de la diferencia de dos términos es igual
a: el cuadrado del primer término menos el doble
producto del primero por el segundo más el cuadrado
del segundo término.
El cubo de la suma de
dos términos.
x y x x y xy y+( ) = + + +
3 3 2 2 3
3 3
El cubo de la suma de dos términos es igual a: el cubo
del primer término más tres veces el producto del
cuadrado del primero por el segundo, más tres veces el
primero por el cuadrado del segundo más el cubo
del segundo.
El cubo de la diferencia
de dos términos.
x y x x y xy y−( ) = − + −
3 3 2 2 3
3 3
El cubo de la diferencia de dos términos es igual a: el
cubo del primer término menos tres veces el producto
del cuadrado del primero por el segundo más tres veces
el primero por el cuadrado del segundo menos el cubo
del segundo.
El producto de la suma
de dos términos por su
diferencia.
a b a b a b+( ) −( )= −2 2 El producto de la suma de dos términos por su
diferencia es igual a la diferencia de los cuadrados de
ambos términos.

UNIDAD 1
Autocomprobación
Las fórmulas son expresiones algebraicas
que mediante la utilización de las propiedades
conmutativa y distributiva de los números reales,
nos permiten obtener las relaciones que generan
las operaciones de suma, resta, multiplicación,
división, potenciación, etc.
No se sabe con certeza quien las descubrió,
sin embargo algunas culturas antiguas ya las
utilizaban, por ejemplo los babilonios, en sus
tablillas, con escritura cuneiforme, aparecen
algunas como:
a b a ab b+( ) = + +2 2 2
2
a b a b a b+( ) −( )= −2 2
4 Efectua 03 07 03 072 2 2 2
. . . .m n m n−( ) +( )
a) 009 0494 4
. .m n−
b) 09 0494 4
. .m n−
c) 09 494 4
. .m n−
d) 009 0492 2
. .m n−
2 52 4 3
a b+( ) esiguala:
a) 8 120 750 1256 4 4 2 8 12
a a b a b b+ + +
b) 6 30 30 1256 4 4 2 8 12
a a b a b b+ + +
c) 8 60 150 1256 4 4 2 8 12
a a b a b b+ + +
d) 6 60 150 1256 4 4 2 8 12
a a b a b b+ + +
2
3 Alefectuar 3 5
2
x y−( ) seobtiene:
a) 9x2
– 30xy – 25y2
b) 9x2
– 25y2
c) 9x2
– 8xy + 25y2
d) 9x2
– 30xy + 25y2
1
1
2
1
3
2
x y+



 esiguala:
a)
1
4
1
6
1
9
2 2
x xy y+ + c)
1
4
1
3
1
9
2 2
x xy y+ +
b)
1
4
1
9
2 2
x y+ d)
1
4
1
3
1
6
2 2
x xy y+ +
1.d. 2.c. 3.c. 4.a. Soluciones
LAS FÓRMULAS Y EL ÁLGEBRA

Solucionario
Lección 1
Actividad 1
1. a) Racional d) Irracional g) Racional
b) Racional e) Racional h) Irracional
c) Irracional f) Irracional
2. C = πd = 3.1416 (22 cm) = 69.12 cm
Actividad 3
2. a) 5 5> b) 20 7< c)
7
2
>π
Actividad 4
a) Racional f) Racional k) Racional
b) Racional g) Irracional l) Racional
c) Racional h) Racional m) Irracional
d) Racional i) Irracional n) Irracional
e) Racional. j) Racional o) Racional
Actividad 5
2. a) 336 363. .< b)
1
2
1
5
> c) − >−9 15
d) − <8 2 e) 2 2> f) 4>π
Lección 2
Actividad 1
a)
11
15
b) $7.39
Actividad 2
a) 34 km b) 38 m
Actividad 3
a)
6
5
b) 43.5 c) 48.66666….
d) 5.84 e) 2.25 f) −30.75
Actividad 4
a) 133 globos. b) 16 c) –14
Lección 3
Actividad 1
1. a) Grado absoluto : 5o
Grado relativo respecto a x: 5o
b) Grado absoluto: 7o
Relativo respecto a a: 5o
y respecto a b : 4º
c) Grado absoluto: 12o
.
Relativo respecto a m, 8º y respecto a n : 5º
Actividad 2
a) –7 b) 92 c) –166
d) –94 e) 6 f) 4
Actividad 3
a) 2 8 11 54 3
x x x+ + +
b) − − + − +3 4 4 5 55 4 3 2
a a a a a
c) 11 2 14 63 3
b b bc c+ − +
d) m n mn n4 4 5
6 6− +
e)
9
8
3
2
2
3
4
9
2 2 3
x y xy y y+ − +
Actividad 4
a) 033 02 0443 2
. . .x x x+ −
b) 17 25 33 2 2 3
a b a b ab− −
c)
1
4
1
4
1
6
3 2
m m m+ +
d) − − ++ + +
4 2 21 2 3
x x xm m m
Actividad 5
a) − + −5 7 42 2
m mn n c) 8 17a −
b) − +x y7 d) b +8

Solucionario
Lección 4
Actividad 1
1. a) 1 b) m−1
c) x y− −3 3
d) x y a+( )3 3
e) b2
f) 3 5
a g) 1 h)
a
a
a
15
10
25
−
=
i)
a
m
12
12
j)
5 2
3 7
125 8
27 343
1000
9261
3 3
3 3
×
×
=
×
×
=
Actividad 2
a) 4 24 32 8 206 4 3 5 2 6 7 4
m n m n m n mn mn− − + −
b) − + − − + −21 14 35 56 42 1411 10 9 8 7 4
b c b c b c b c b c b c
c) − + −+ + + +
6 9 153 3 1 3 1 4 3 2 4 1
a b a b a bx x x x x x
d) − − + +5 35 30 157 3 6 5 5 4 4 3
x y x y x y x y
e) 006 015 01069 4 8 5 7 6
. . .b c b c b c+ −
Actividad 3
a)
2
9
3
5
1
5
2 2
x xy y+ −
b) 20 15 4 32 2 2 3 2
a b a b ab ab− + −
c) 2 11 19 103 2
m m m− + −
d) − − + −21 44 74 243 2
x x x
e) 6 31 62 83 86 405 4 3 2
y y y y y− + − + −
f) − + + − ++ − + −
39 59 2 21 25 5 1 5 1 5 2 5 2
m m m m mx x x x x
Lección 5
Actividad 1
a) x x6 3
10 25+ + b) 9 24 1610 5 2 4
a a b b+ +
c) 25 20 46 4 5 5 4 6
m n m n m n+ +
d) 4 12 94 2 3 6
x x y y+ +
e)
9
25
2
5
1
9
4 2 2 4
a a b b+ + f)
1
81
4
27
4
9
4 2 2
x x y y− −
+ +
g)
4
9
4
5
9
25
6 2 5 2 4 2
m n m n m n+ +
h) x x y ya a a a2 4 2 1 2 2
2+ + + +
+ + i) 16 24 92
x x+ +
Actividad 2
a) 9
3
2
1
16
2 2
a ab b− +
b) 36 60 254 2 5 3 6 4
x y x y x y− +
c)
1
9
2
15
1
25
10 2 9 2 8 2
a b a b a b− +
d) 4 28 492 2 1 2 2 4
a a b bx x y y+ + − −
− +
e) 49 112 646 4 7 5 8 6
m n m n m n− +
f) 25 80 642 2 2 4 2
x x y ya b a b a b a b+ + + +
− +
Actividad 3
a) 8 12 63 2 2 3
a a b ab b+ + +
b) 27 27 96 4 2 2 3
x x y x y y+ + +
c)
1
27
1
6
1
4
1
8
6 4 3 2 6 9
m m n m n n+ + +
d) 125 150 60 86 3 5 4 4 5 3 6
x y x y x y x y+ + +
e) 64 96 48 815 10 4 5 8 12
m m n m n n+ + +
f) 8 36 54 273 2 2 4 6
m m n m n nx x x x x x
+ + +
Actividad 4
a) 27 108 144 6415 12 13 10 11 8 9 6
x y x y x y x y− + −
b)
1
27
1
4
9
16
27
64
3 2 2 3
m m n mn n− + −
c) 8 60 150 1253 2 2 3
a a a am m n m n n
− + −+ +
d) 343 735 525 1259 6 7 8 5 10 3 12
m n m n m n m n− + −
e)
27
125
54
175
36
245
8
343
21 14 6 7 12 18
b b c b c c− + −
f) x x y x y ya b a b b c a b b c b c3 3 2 2 2 2 3 3
3 3+ + + + + +
− + −
Actividad 5
a) 25 92 2
a b− d) 4 498 2 10 4
a b a b−
b) 9 1610 8
x y− e)
9
16
4
25
4 6
a b−
c)
1
4
1
36
2 2
m n− f) 4 94 2 2
m nx x
− +

Proyecto
Un dueño de finca era aficionado a la matemática. Al morir deja de herencia su finca a
sus cuatro hijos. Les dice que las dimensiones de la finca son (3x + 2y) en cada uno de
sus lados. Les pide a sus hijos que:
a) Expresen el área de la finca en función de x e y.
b) Calculen el área de la finca dado que x = 2.5 km, y = 3.0 km
c) Repartan el terreno de tal manera que al primero le corresponda 5x2
, al segundo
le corresponda 10xy, al tercero 4y2
, y al cuarto (4x2
+ 2xy).
d) ¿Estarías de acuerdo con la repartición anterior, sabiendo que x = 2.5 km
y = 3.0 km?
e) Si no estás de acuerdo con la repartición anterior, ¿cómo lo harías tú?

Recursos
Aguilera Liborio Raúl, Matemática Octavo grado. Talleres Gráficos UCA, San
Salvador, El Salvador, 2007, 219p
Aponte Gladis, Pagán Estela, Fundamentos de Matemática Básica, Editorial
Addison Wesley, 1ª Edición. México 1998, 482p.
Carpinteyro Vigil Eduardo, Sánchez Hernández Rubén, Álgebra, Publicaciones
Cultural, 1ª Edición, México 2002 622p.
Fuenlabrada De la Vega Samuel, Matemática I, Aritmética y Álgebra, Editorial
McGraw-Hill, 1ª Edición. México 1994, 281p.
Mendoza William y Galo de Navarro Gloria, Matemática 8º grado, UCA
Editores, 2ª edición. San Salvador, El salvador, 2003, 419p
Rees Paul K, Sparks Fred W, Álgebra, Editorial McGraw-Hill, 1ª Edición. México
1991, 626p.

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