9. distribuciones continuas

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9. distribuciones continuas

  1. 1. DISTRIBUCIONES CONTINUAS LEONARDO LÓPEZ C. ECONOMIA ESTADISTICA COMPUTARIZADA PARALELO: 261
  2. 2. VARIABLE ALEATORIA CONTINUAUna variable aleatoria X es continua si su función de distribución es unafunción continua.En la práctica, se corresponden con variables asociadas conexperimentos en los cuales la variable medida puede tomar cualquiervalor en un intervalo: mediciones biométricas, intervalos de tiempo,áreas, etc.Diremos que una variable aleatoria X continua tiene una distribuciónabsolutamente continua si existe una función real f, positiva eintegrable en el conjunto de números reales, tal que la función dedistribución F de X se puede expresar como
  3. 3. VARIABLE ALEATORIA CONTINUAEsperanza Matemática o valor esperado de la variable aleatoria serepresenta por E(X) y se calcula, en el caso continuo, mediante lafórmula:Gráficamente, la esperanza de una variable aleatoria continua coincidecon el centro de gravedad del área encerrada entre la función dedensidad y el eje OX.
  4. 4. VARIABLE ALEATORIA CONTINUAVarianzaSe representa por Var(X)=σ2 y se calcula, en el caso continuo, mediantela fórmula:
  5. 5. VARIABLE ALEATORIA CONTINUADe manera intuitiva podemos decir que dos variables aleatorias sonindependientes si los valores que toma una de ellas no afectan a los de la otrani a sus probabilidades.Si queremos una definición algo más formal, basta con que recordemos quedos sucesos son independientes si la probabilidad de la intersección es igual alproducto de probabilidades, aplicando esta definición a sucesos deltipo X ≤ a tenemos la definición siguiente:Diremos que dos variables aleatorias X e Y son independientes si y sólo si P(X ≤ a ∩ Y ≤ b) = P(X ≤ a) · P(Y ≤ b) = FX(a) · FY(b)A la función F(x, y) = P(X ≤ a ∩ Y ≤ b) se la conoce como la función dedistribución conjunta de X e Y.Como consecuencia inmediata de la independencia de X e Y, se cumple losiguiente: P(a < X ≤ c ∩ b < Y ≤ d) = P(a < X ≤ c) · P(b < Y ≤ d)
  6. 6. DISTRIBUCIÓN NORMALEsta distribución, en su versión más simple N(0;1), fue introducida por primeravez por De Moivre en 1733 como aproximación de la distribución binomial.Posteriormente, Laplace y Gauss la hallaron empíricamente estudiando ladistribución de los errores de medición, y tras sus trabajos se convirtió en ladistribución más utilizada.
  7. 7. DISTRIBUCIÓN EXPONENCIALEn estadística la distribución exponencial es una distribución deprobabilidad continua con un parámetro λ > 0 cuya función de densidad es:Su función de distribución es:donde e es una constante.El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X con distribuciónexponencial son:
  8. 8. DISTRIBUCIÓN CHI CUADRADOEsta distribución surge cuando se desea conocer la distribución de la suma delos cuadrados de variables independientes e igualmente distribuidas condistribución Normal.
  9. 9. DISTRIBUCIÓN T DE STUDENTEn probabilidad y estadística, la distribución t (de Student) es una distribuciónde probabilidad que surge del problema de estimar la media de una poblaciónnormalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño.Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Student para ladeterminación de las diferencias entre dos medias muestrales y para laconstrucción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias dedos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población yésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.
  10. 10. DISTRIBUCIÓN T DE STUDENT La distribución t de Student es la distribución de probabilidad del cociente donde: Z tiene una distribución normal de media nula y varianza 1 V tiene una distribución chi-cuadrado con grados de libertad Z y V son independientes Si μ es una constante no nula, el cociente es una variable aleatoria que sigue la distribución t de Student no central con parámetro de no-centralidad μ.
  11. 11. DISTRIBUCIÓN T DE STUDENTLa media muestral.Sigue una distribución normal de media 0 y varianza 1.La Varianza es:Error estándar de la media:Intervalo de Confianza:
  12. 12. DISTRIBUCIÓN F Usada en teoría de probabilidad y estadística, la distribución F es una distribución de probabilidad continua. También se la conoce como distribución F de Snedecor (por George Snedecor) o como distribución F de Fisher-Snedecor. Una variable aleatoria de distribución F se construye como el siguiente cociente: ,donde U1 y U2 siguen una distribución chi-cuadrado con d1 y d2 grados de libertad respectivamente, y U1 y U2 son estadísticamente independientes. La distribución F aparece frecuentemente como la distribución nula de una prueba estadística, especialmente en el análisis de varianza.
  13. 13. DISTRIBUCIÓN BETAEl valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X condistribución beta son:Un caso especial de la distribución beta con a = 1 y b = 1 esla distribución uniforme en el intervalo [0, 1].Para relacionar con la muestra se iguala E[X] a la media y V[X] a lavarianza y de despejan a y b.

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