DISTRIBUCIÓN GAMMA (Α, Β)Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuasco...
•   Altura a la que se inician las precipitaciones; sucede de forma mas habitual precipitaciones    iniciadas a una altura...
Como ya se ha indicado, la expresión de la distribución Gamma incluye la propia función Gamma,que para valores enteros de ...
En estadística la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dosparámetros       =αy       = 1/β ...
3.- ∫ -∞ a + ∞ f(x)dx =1Por tanto, para nuestro caso particular de la Distribución Gamma:1.- f(x) es siempre > 0 ya que á ...
1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.M...
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Distribucion 1 gamma

  1. 1. DISTRIBUCIÓN GAMMA (Α, Β)Es una distribución adecuada para modelizar el comportamiento de variables aleatorias continuascon asimetría positiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidad de sucesos a laizquierda de la media que a la derecha. En su expresión se encuentran dos parámetros, siemprepositivos, (α) y (β) de los que depende su forma y alcance por la derecha, y también la funciónGamma (Г) responsable de la convergencia de la distribución. Los parámetros de la distribuciónEl primer parámetro (α) sitúa la máxima intensidad de probabilidad y por este motivo en algunasfuentes se denomina la forma de la distribución: cuando se toman valores próximos a ceroaparece entonces un dibujo muy similar al de la distribución exponencial. Cuando se tomanvalores mas grandes de ((α) el centro de la distribución se desplaza a la derecha y va apareciendola forma de una campana de Gauss con asimetría positiva. Es el segundo parámetro (β) el quedetermina la forma o alcance de esta asimetría positiva desplazando la densidad de probabilidaden la cola de la derecha. Para valores elevados de (β) la distribución acumula más densidad deprobabilidad en el extremo derecho de la cola, alargando mucho su dibujo y dispersando laprobabilidad a lo largo del plano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima de densidad deprobabilidad se va reduciendo; de aquí que se le denomine escala. Valores mas pequeños de (β)conducen a una figura más simétrica y concentrada, con un pico de densidad de probabilidadmas elevado.Una forma de interpretar (β) es “tiempo promedio entre ocurrencia de un suceso”.Relacionándose con el parámetro de la Poisson como β=1/λ. Alternativamente λ será el razón deocurrencia λ=1/β. La expresión también será necesaria más adelante para poder llevar a cabo eldesarrollo matemático.Relación con otras distribucionesSi se tiene un parámetro α de valores elevados y β pequeña, entonces la función Gammaconverge con la distribución normal. De media, y varianza. Cuando y β la distribución Gammaes exactamente la distribución exponencial con parámetro (α=1). Cuando la proporción entreparámetros es entonces la variable aleatoria se distribuye como una Chi-cuadrado con grados delibertad. Si α=1, entonces se tiene la distribución exponencial negativa de parámetro λ=1/β.Ventajas De esta forma, la distribución Gamma es una distribución flexible para modelizar las formas dela asimetría positiva, de las más concentradas y puntiagudas, a las más dispersas y achatadas.Como ejemplos de variables que se comportan así:• Número de individuos involucrados en accidentes de tráfico en el área urbana: es más habitual que la mayoría de partes abiertos den la proporción de 1 herido por vehículo, que otras proporciones superiores.
  2. 2. • Altura a la que se inician las precipitaciones; sucede de forma mas habitual precipitaciones iniciadas a una altura baja, que iniciadas a gran altitud.• Tiempo o espacio necesarios para observar X sucesos que siguen una distribución de Poisson.• - Distribución de la finura de fibras de lana: la mayoría presentan una menor finura que unas pocas fibras más gruesas.InconvenientesProblemas en la complejidad de algunos cálculos, especialmente respecto a la función Gammacuando el parámetro ƒ¿ es un valor no entero. También problemas de calculo en la estimación delos parámetros muestrales. Ambos inconvenientes se pueden abordar satisfactoriamente conordenador. Para valorar la evolución de la distribución al variar los parámetros se tienen lossiguientes gráficos. Primero se comprueba que para α=1 la distribución tiene similitudes con laexponencial.Si ahora se hace variar el parámetro alfa:Y para valores altos de α y pequeños de β, se observa la convergencia con la normal:
  3. 3. Como ya se ha indicado, la expresión de la distribución Gamma incluye la propia función Gamma,que para valores enteros de alpha se ha demostrado que Г(α) = Г(α – 1) ! En este caso ladistribución Gamma se conoce como “distribución de Erlang”.En general la función Gamma se la puede encontrar de la forma siguiente:converge absolutamente, esta integral puede ser extendida a todo el plano complejo excepto a losenteros negativos y al cero.Si n es un entero positivo, entonceslo que nos muestra la relación de esta función con el factorial. De hecho, la función Gammageneraliza el factorial para cualquier valor complejo de n.Quizá el valor más conocido de la función Gamma con argumento no negativo esLa cual puede obtenerse haciendo z = 1 / 2 en la fórmula de reflexión o en la fórmula de duplicación,usando la relación de la función Gamma con la función beta dada más abajo con x = y = 1 / 2.En general, para valores impares de n se tiene: (n: impar)donde n!! denota al doble factorial. Algunos valores de la función Gamma:La familia de variables aleatorias Gamma son utilizadas frecuentemente para modelizarexperimentos aleatorios en los que interviene una magnitud temporal, y especialmente, comoveremos, surgen relacionadas con procesos de Poisson, donde α > 0 y β > 0
  4. 4. En estadística la distribución gamma es una distribución de probabilidad continua con dosparámetros =αy = 1/β cuya función de densidad para valores esAquí es el número e y es la función gamma. Para valores aquella es (el factorial de ). En este caso - por ejemplo para describir un procesode Poisson - se llaman la distribución Erlang con un parámetro .El valor esperado y la varianza de una variable aleatoria X de distribución gamma sonA continuación se muestran funciones de densidad de distribuciones Gamma para distintos valoresespecíficos de α = k, 1/β = ϴ.Función de densidad de una variable Г(k = α, 1/β = ϴ)La distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en laocurrencia de un evento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable quemide el tiempo transcurrido hasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gammacon parámetros α > 0 (escala) y β > 0 (forma). Se denota Gamma (α, β).Como toda función de densidad, debe cumplir una serie de propiedades que citamos acontinuación.1.- f(x) . 0 para toda x R2.- f(x) ha de ser integrable sobre cualquier intervalo [a,b] incluido en R
  5. 5. 3.- ∫ -∞ a + ∞ f(x)dx =1Por tanto, para nuestro caso particular de la Distribución Gamma:1.- f(x) es siempre > 0 ya que á y â deben ser siempre positivos.2.- f(x) es siempre integrable sobre [a,b]Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración deelementos físicos (tiempo de vida).Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, esmuy utilizada en las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemploen una consulta médica “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).Ejemplo 1Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una ciertaintervención quirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetrosα =0,81 y β =7,81, calcúlese:
  6. 6. 1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.Media 9,6420Varianza 11,9037El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10 años.Ejemplo 2.Suponga que cierta pieza metálica se romperá después de sufrir dos ciclos de esfuerzo. Si estosciclos ocurren de manera independiente a una frecuencia promedio de dos por cada 100 horas.Obtener la probabilidad de que el intervalo de tiempo se encuentre hasta que ocurre el segundociclo.a. Dentro de una desviación con respecto del tiempo promedio.b. A más de dos desviaciones por encima de la media.Solución:X: Lapso que ocurre hasta que la pieza sufre el segundo ciclo de esfuerzo ,en horas.Y: Número de ciclos / 100 horas ----Y ~P( =2) E(Y) = 2Y: Número de ciclos / hora ---------Y~P( =0.02) E(Y) = 0.02 =X ~ G(2, 0.02)

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