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Probabilidad
Conceptos previos
Experimento aleatorio: experimentos en los cuales los
resultados no son esencialmente los mismos a pesar de que
las condiciones sean aproximadamente idénticas. Por
ejemplo: lanzar un dado.
Espacio muestral: se designa con la letra S, consiste en
todos los resultados de un experimento aleatorio, en el
ejemplo anterior (1,2,3,4,5,6) y cada uno de los resultados
se denomina punto muestral.
Suceso: es un subconjunto de A del espacio muestral.
El concepto de probabilidad
En cualquier experimento aleatorio siempre hay
incertidumbre sobre si un suceso ocurrirá o no. Como
medida de la probabilidad con la que podemos esperar
que un suceso ocurra se asigna un numero entre 0 y 1.
Si estamos seguros que ocurrirá decimos que su
probabilidad es del 100% o 1, pero si estamos seguros
que no ocurrirá decimos que su probabilidad es 0.
Enfoque clásico o a priori
La probabilidad se calcula como el numero de casos
favorables sobre el número de casos posibles.
Ejemplo: si deseamos obtener una cara en un
lanzamiento de una moneda, tenemos un caso
favorable de un total de casos posibles, por lo tanto la
probabilidad es 1/2= 0,5
Enfoque de frecuencias relativas
a posteriori
Si después de repetir varias veces un experimento un
suceso ocurre h veces y tengo un n muy grande
entonces la probabilidad se calcula como: h/n
Enfoque axiomático
Axioma 1: para cada suceso A, la probabilidad de
ocurrencia es:
0≤P(A)≤1
Axioma 2: para el espacio muestral S, la probabilidad
es P(S) = 1
Axioma 3: para cualquier número de sucesos
mutuamente excluyentes A1, A2, A3 es P(A1)+P(A2)…
Probabilidad condicional
Estudia la probabilidad de un evento A teniendo
información en cuanto a la ocurrencia de otro evento B,
es la probabilidad que ocurra A sabiendo que ha ocurrido
B (A/B).
Ejemplo: calcular la probabilidad de que salga un as,
sabiendo que la carta es negra
P (as/negra): P(as/negra)/P(negra)= (2/52)/(26/52)=2/26
Edad Ford Renault Volkswa
gen
Fiat Otra Total
30 o
meno
r
12 9 21 19 4 65
31 a
40
25 18 13 15 14 85
41 a
50
27 31 8 22 12 100
51 o
mas
15 27 14 26 8 90
Total 79 85 56 82 38 340Probabilidad simple o marginal: probabilidad que la persona
seleccionada tenga entre 31 y 40 años , (85/340).
Probabilidad conjunta: probabilidad que la persona haya elegido
marca Renault y tenga entre 41 y 50 años, (31/340).
Probabilidad condicional: sabiendo que la persona ha manifestado
su preferencia por Volkswagen, ¿cuál es la probabilidad de que sea
menor a 30 años?, (21/56).
Distribución binomial (probabilidad discreta)
Se utiliza cuando las observaciones son independientes
unas de otras y cada observación se puede clasificar
como un éxito o fracaso.
Ejemplo: sacar bolsas blancas o negras, sacar cara o
cruz.
El cálculo se puede realizar mediante la fórmula o a
través de la tabla de distrib. Binomial.
Si buscamos en la tabla la probabilidad de que X sea
menor o igual que 2 sabiendo que la probabilidad de
éxito es p= 0,30 con una muestra de 7 elementos ,
resulta que dicha probabilidad es la suma de los
Probabilidad
Distribución de Poisson (probabilidad
discreta)
Esta probabilidad se usa para estimar la probabilidad de
que un suceso ocurra cierto número de veces en un
determinado espacio de tiempo.
Ejemplo: número de personas en ocupar un cajero
automático en cada hora.
También se puede utilizar para aproximar la distribución
binomial en las situaciones en que el n es muy grande y
p es muy pequeña.
continuación
Ejemplo: obtener la probabilidad de obtener
exactamente una llanta defectuosa en una muestra de
20, si el 8% de las llantas fabricadas en una planta
están defectuosas.
-Calculo el lambda: 20.0,08= 1,6
-Siendo x=1
Probabilidad
Distribución hipergeométrica
Se ocupa al igual que la distrib. Binomial del número de
éxitos en una muestra de n observaciones.
Mientras que la probabilidad p de éxito es constante en todas
las observaciones de un experimento binomial y el resultado
de cualquier observación es independiente de cualquier otro,
en el experimento hipergeométrico el resultado es afectado
por las observaciones previas.
Ejemplo:
-Binomial: miro una carta y la devuelvo al mazo.
-Hipergeométrico:los datos se extraen sin reemplazo en una
población finita. Ej. Miramos una carta y no la devolvemos al
mazo.
continuación
Ejemplo: de seis empleados, tres han permanecido en la
compañía por cinco o más años. Si de este grupo de
seis se elige aleatoriamente a cuatro empleados, la
probabilidad de que exactamente dos de ellos tengan
una antigüedad de cinco años o más:
Aplico la fórmula con números conbinatorios.
Distribución normal
Se aplica en variables contínuas.
Es el modelo matemático por excelencia, se utiliza para
aproximar la binomial y otras distribuciones, es la base
de la inferencia estadística.
Probabilidad
Curva normal estandarizada
Fórmula:
Ejemplo:
En una fábrica el tiempo que le toma a un trabajador
ensamblar una pieza esta distribuido nomalmente con
media= 50 y desvío de 7.
¿Cuál es la probabilidad de que un obrero pase entre 50 y
57 segundos ensamblando una pieza?
-primero debo trazar la gráfica, luego convierto la escala
usando la fórmula.
Z1: (50-50)/7= 0
Z2: (57-50)/7=1
Por medio de la tabla se observa que el área bajo la curva
es de 0,3413
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  • 2. Conceptos previos Experimento aleatorio: experimentos en los cuales los resultados no son esencialmente los mismos a pesar de que las condiciones sean aproximadamente idénticas. Por ejemplo: lanzar un dado. Espacio muestral: se designa con la letra S, consiste en todos los resultados de un experimento aleatorio, en el ejemplo anterior (1,2,3,4,5,6) y cada uno de los resultados se denomina punto muestral. Suceso: es un subconjunto de A del espacio muestral.
  • 3. El concepto de probabilidad En cualquier experimento aleatorio siempre hay incertidumbre sobre si un suceso ocurrirá o no. Como medida de la probabilidad con la que podemos esperar que un suceso ocurra se asigna un numero entre 0 y 1. Si estamos seguros que ocurrirá decimos que su probabilidad es del 100% o 1, pero si estamos seguros que no ocurrirá decimos que su probabilidad es 0.
  • 4. Enfoque clásico o a priori La probabilidad se calcula como el numero de casos favorables sobre el número de casos posibles. Ejemplo: si deseamos obtener una cara en un lanzamiento de una moneda, tenemos un caso favorable de un total de casos posibles, por lo tanto la probabilidad es 1/2= 0,5
  • 5. Enfoque de frecuencias relativas a posteriori Si después de repetir varias veces un experimento un suceso ocurre h veces y tengo un n muy grande entonces la probabilidad se calcula como: h/n
  • 6. Enfoque axiomático Axioma 1: para cada suceso A, la probabilidad de ocurrencia es: 0≤P(A)≤1 Axioma 2: para el espacio muestral S, la probabilidad es P(S) = 1 Axioma 3: para cualquier número de sucesos mutuamente excluyentes A1, A2, A3 es P(A1)+P(A2)…
  • 7. Probabilidad condicional Estudia la probabilidad de un evento A teniendo información en cuanto a la ocurrencia de otro evento B, es la probabilidad que ocurra A sabiendo que ha ocurrido B (A/B). Ejemplo: calcular la probabilidad de que salga un as, sabiendo que la carta es negra P (as/negra): P(as/negra)/P(negra)= (2/52)/(26/52)=2/26
  • 8. Edad Ford Renault Volkswa gen Fiat Otra Total 30 o meno r 12 9 21 19 4 65 31 a 40 25 18 13 15 14 85 41 a 50 27 31 8 22 12 100 51 o mas 15 27 14 26 8 90 Total 79 85 56 82 38 340Probabilidad simple o marginal: probabilidad que la persona seleccionada tenga entre 31 y 40 años , (85/340). Probabilidad conjunta: probabilidad que la persona haya elegido marca Renault y tenga entre 41 y 50 años, (31/340). Probabilidad condicional: sabiendo que la persona ha manifestado su preferencia por Volkswagen, ¿cuál es la probabilidad de que sea menor a 30 años?, (21/56).
  • 9. Distribución binomial (probabilidad discreta) Se utiliza cuando las observaciones son independientes unas de otras y cada observación se puede clasificar como un éxito o fracaso. Ejemplo: sacar bolsas blancas o negras, sacar cara o cruz. El cálculo se puede realizar mediante la fórmula o a través de la tabla de distrib. Binomial. Si buscamos en la tabla la probabilidad de que X sea menor o igual que 2 sabiendo que la probabilidad de éxito es p= 0,30 con una muestra de 7 elementos , resulta que dicha probabilidad es la suma de los
  • 11. Distribución de Poisson (probabilidad discreta) Esta probabilidad se usa para estimar la probabilidad de que un suceso ocurra cierto número de veces en un determinado espacio de tiempo. Ejemplo: número de personas en ocupar un cajero automático en cada hora. También se puede utilizar para aproximar la distribución binomial en las situaciones en que el n es muy grande y p es muy pequeña.
  • 12. continuación Ejemplo: obtener la probabilidad de obtener exactamente una llanta defectuosa en una muestra de 20, si el 8% de las llantas fabricadas en una planta están defectuosas. -Calculo el lambda: 20.0,08= 1,6 -Siendo x=1
  • 14. Distribución hipergeométrica Se ocupa al igual que la distrib. Binomial del número de éxitos en una muestra de n observaciones. Mientras que la probabilidad p de éxito es constante en todas las observaciones de un experimento binomial y el resultado de cualquier observación es independiente de cualquier otro, en el experimento hipergeométrico el resultado es afectado por las observaciones previas. Ejemplo: -Binomial: miro una carta y la devuelvo al mazo. -Hipergeométrico:los datos se extraen sin reemplazo en una población finita. Ej. Miramos una carta y no la devolvemos al mazo.
  • 15. continuación Ejemplo: de seis empleados, tres han permanecido en la compañía por cinco o más años. Si de este grupo de seis se elige aleatoriamente a cuatro empleados, la probabilidad de que exactamente dos de ellos tengan una antigüedad de cinco años o más: Aplico la fórmula con números conbinatorios.
  • 16. Distribución normal Se aplica en variables contínuas. Es el modelo matemático por excelencia, se utiliza para aproximar la binomial y otras distribuciones, es la base de la inferencia estadística.
  • 19. Ejemplo: En una fábrica el tiempo que le toma a un trabajador ensamblar una pieza esta distribuido nomalmente con media= 50 y desvío de 7. ¿Cuál es la probabilidad de que un obrero pase entre 50 y 57 segundos ensamblando una pieza? -primero debo trazar la gráfica, luego convierto la escala usando la fórmula. Z1: (50-50)/7= 0 Z2: (57-50)/7=1 Por medio de la tabla se observa que el área bajo la curva es de 0,3413