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3.
Ana Marı́a Albornoz
R. 3 lı́m x→1 (x − 1)(x2 + x + 1) (x − 1) 3 p (7 + x3)2 + 2 3 √ 7 + x3 + 4) − (x − 1)(x + 1) (x − 1)( √ 3 + x2 + 2) = lı́m x→1 ((x2 + x + 1) 3 p (7 + x3)2 + 2 3 √ 7 + x3 + 4) − (x + 1) ( √ 3 + x2 + 2) = 1 + 1 + 1 4 + 4 + 4 − 2 2 + 2 = 3 12 − 2 4 = 1 4 − 2 4 = − 1 4 12) lı́m x→∞ p (x + m)(x + n) − x Racionalizando queda: lı́m x→∞ p (x + m)(x + n)−x p (x + m)(x + n) + x p (x + m)(x + n) + x = lı́m x→∞ (x + m)(x + n) − x2 p (x + m)(x + n) + x = lı́m x→∞ x2 + (m + n)x + mn − x2 p (x + m)(x + n) + x = lı́m x→∞ (m + n)x + mn p x2 + (m + n)x + mn + x Dividiendo por la potencia más grande de x, que es x2 queda: lı́m x→∞ (m + n) + mn x q 1 + (m+n) x + mn x2 + 1 = (m + n) + 0 √ 1 + 0 + 0 + 1 = m + n 2 13) lı́m x→2 1 2 − x − 3 8 − x3 = lı́m x→2 1 2 − x − 3 (2 − x)(4 + 2x + x2) = lı́m x→2 4 + 2x + x2 − 3 (2 − x)(4 + 2x + x2) = lı́m x→2 x2 + 2x + 1 (2 − x)(4 + 2x + x2) = 4 + 4 + 1 0 = ∞ 14) lı́m x→1 2 8x2 − 1 6x2 − 5x + 1 = 1 0 = ∞ lı́m x→1 2 8x2 − 2x − 1 6x2 − 5x + 1 = lı́m x→1 2 (2x − 1)(4x + 1) (3x − 1)(2x − 1) = lı́m x→1 2 4x + 1 3x − 1 = 2 + 1 3 2 −1 = 3 1 2 = 6 15) lı́m x→∞ 3x4 − 2x + 1 3x2 + 6x − 2 Dividiendo por la potencia más grande de x que es x4 queda: lı́m x→∞ 3 − 2 x3 + 1 x4 3 x2 + 6 x3 − 2 x4 = 3 0 = ∞ 16) lı́m x→0 √ x2 + 4 − 2 √ x2 + 9 − 3 = lı́m x→0 √ x2 + 4 − 2 √ x2 + 9 − 3 √ x2 + 4 + 2 √ x2 + 4 + 2 √ x2 + 9 + 3 √ x2 + 9 + 3 = lı́m x→0 (x2 + 4 − 4)( √ x2 + 9 + 3) (x2 + 9 − 9)( √ x2 + 4 + 2) = lı́m x→0 (x2 )( √ x2 + 9 + 3) (x2)( √ x2 + 4 + 2) =
4.
Ana Marı́a Albornoz
R. 4 lı́m x→0 √ x2 + 9 + 3 √ x2 + 4 + 2 = √ 0 + 9 + 3 √ 0 + 4 + 2 = 3 + 3 2 + 2 = 6 4 = 3 2 17) lı́m x→4 √ 1 + 2x − 3 x − 4 = lı́m x→4 √ 1 + 2x − 3 x − 4 √ 1 + 2x + 3 √ 1 + 2x + 3 = lı́m x→4 1 + 2x − 9 (x − 4)( √ 1 + 2x + 3) = lı́m x→4 2x − 8 (x − 4)( √ 1 + 2x + 3) = lı́m x→4 2(x − 4) (x − 4)( √ 1 + 2x + 3) = lı́m x→4 2 √ 1 + 2x + 3 = 2 6 = 1 3 18) lı́m x→∞ 3x + x 3x − 2x Primero calcularemos lı́m x→∞ x 3x usando el teorema del Sandwich. Sabemos que 3x ≥ x3 Para x > 3 Por lo tanto x 3x ≤ x x3 además x 3x ≥ 1 3x por lo que podemos afirmar que: 1 3x ≤ x 3x ≤ x x3 ⇒ 1 3x ≤ x 3x ≤ 1 x2 Aplicando lı́mite lı́m x→∞ 1 3x ≤ lı́m x→∞ x 3x ≤ lı́m x→∞ 1 x2 ⇒ 0 ≤ lı́m x→∞ x 3x ≤ 0 Por lo que lı́m x→∞ x 3x = 0 Dividiendo el limite que queremos calcular por 3x queda: lı́m x→∞ 3x + x 3x − 2x = lı́m x→∞ 1 + x 3x 1 − 2x 3x = lı́m x→∞ 1 + x 3x 1 − 2 x 3x = lı́m x→∞ 1 + 0 1 − 2(0) = 1 19) lı́m x→∞ 3 √ x2 + 1 x − 2 Dividiendo por la potencia más grande de x que es x queda: lı́m x→∞ 3 q x2 x3 + 1 x3 x x − 2 x = lı́m x→∞ 3 q 1 x + 1 x3 1 − 2 x = 0 1 = 0 20) lı́m x→∞ 2x2 + 1 3 √ x7 + 2x Dividiendo por la potencia más grande de x que es x7/3 queda: lı́m x→∞ 2x2 x7/3 + 1 x7/3 3 q x7 x7 + 2x x7 = lı́m x→∞ 2 x1/3 + 1 x7/3 3 q 1 + 2 x6 = 0 1 = 0 21) lı́m x→0 √ x2 + a2 − a √ x2 + b2 − b = lı́m x→0 √ x2 + a2 − a √ x2 + b2 − b √ x2 + a2 + a √ x2 + a2 + a √ x2 + b2 + b √ x2 + b2 + b = lı́m x→0 (x2 + a2 − a2 )( √ x2 + b2 + b) (x2 + b2 − b2)( √ x2 + a2 + a) = lı́m x→0 x2 ( √ x2 + b2 + b) x2( √ x2 + a2 + a) = lı́m x→0 √ x2 + b2 + b √ x2 + a2 + a = √ b2 + b √ a2 + a = 2b 2a = b a
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