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ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Algebra
INDICE – I BIMESTRE
Introducción ............................................ 77
Operaciones combinadas en N............... 81
Operaciones combinadas en Q............... 85
Potenciación I .......................................... 87
Potenciación II......................................... 93
Radicación I ............................................ 95
Radicación II ........................................... 99
Operaciones combinadas con potenciación
y radicación .......................................... 101
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 2
¿Qué conoces acerca del origen de la palabra Álgebra?
El matemático árabe Abuadala Mohamed Ibn Musa, más comunmente llamado
ALJUARIZMI, después de estudiar en la India y asimilar la ciencia hindú, escribe su famoso
libro "AL DJABR W'AL MUKABALA" que quiere decir "Transposición y Reducción de
términos semejantes". Al principio esta nueva disciplina se designó con el nombre
completo de la obra de Aljuarizmi, pero ya en el siglo XVI se suprimía la segunda parte
para llamar simplemente "Al djabr", o sea Álgebra, a la teoría de las ecuaciones.
¿Quién fue el principal forjador del Álgebra moderna?
PACCIOLI (1445 - 1519)
Estuvo muy ligado al arte y a la técnica
renacentista italiana; en 1494 publica su
monumental obra "Summa de Aritmética, Álgebra y
Geometría", en la cual vuelca cuidadosa y
detalladamente todo el conocimiento matemático
hasta entonces
desarrollado, y cuya rápida difusión fue el
inicio de un nuevo florecimiento del Álgebra.
Paccioli también se adelantó con esta obra a dar una visión de los progresos que en los
siglos posteriores se llegarían a hacer.
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 3
SIMBOLOGÍA ALGEBRAICA
SÍMBOLO SIGNIFICADO
× • ( ); ;
( ) ; [ ] ; { }
M(x;y) = 2xy2
P(x) = x + 2x + 12
x
Operadores de la multiplicación.
Operadores de la división.
Operador radical.
Signos de agrupación: paréntesis, corchetes y
llaves, respectivamente.
Monomio de variables "x" e "y".
Polinomio de variable "x".
Variable, es decir letra que puede tomar varios
valores.
Para todo.
Diferente.
EJERCICIOS
Utilizando los operadores de multiplicación y división, efectuar:
* La multiplicación de 3 por 8 * La división de 14 entre 2
se escribe: 3 × 8 = 24 se escribe: 14 2 = 7
3 . 8 = 24 14 : 2 = 7
(3 × 8) = 24
Completa según los ejemplos anteriores:
I. La multiplicación de 5 por 7 A. La división de 35 entre 5
se escribe: _______ = _______ se escribe: _______ = _______
_______ = _______ _______ = _______
_______ = _______ _______ = _______
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 4
II. La multiplicación de 9 por 8 B. La división de 48 entre 6
se escribe: _______ = _______ se escribe: _______ = _______
_______ = _______ _______ = _______
_______ = _______ _______ = _______
III. La multiplicación de 6 por 9 C. La división de 63 entre 7
se escribe: _______ = _______ se escribe: _______ = _______
_______ = _______ _______ = _______
_______ = _______ _______ = _______
Completar según el ejemplo:
• M(x;y;z) = 3x4y5z4a • P(x;y) = -7x6y5
Las variables son: x; y; z Las variables son: x; y
El coeficiente es: 3a El coeficiente es : -7
I. R(a;b;c) = 7a6b9c7 II. Q(m;n;p) = -4m7n3p2
Las variables son: _______ Las variables son: _______
El coeficiente es : _______ El coeficiente es : _______
III. F(x;y) = 31x4y8a IV. S(x;y) = 2abx9y12
Las variables son: _______ Las variables son: _______
El coeficiente es : _______ El coeficiente es : _______
V. P(y) = 7y7 + ay6 VI. R(z) = bz9 + 7z5 - 3z
Las variables son: _______ Las variables son: _______
Los coeficientes son: _______ Los coeficientes son: _______
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 5
REGLAS DE OPERACIÓN
Caso 1: Sin signos de agrupación
a. Primero se resuelven las potencias y raíces a la vez.
b. Segundo se resuelven las multiplicaciones y divisiones a la vez.
c. Por último se resuelven las adiciones y sustracciones a la vez.
Ejemplo:
1.
3 + 2 × 5 -4 100
2
+ 9
=+ - + 2.
3 × 2 + 25 53
+
+ =
Caso 2: Con signos de agrupación
a. Primero se resuelven las operaciones que se encuentran dentro del signo de
agrupación más interno, hasta que desaparezcan todos estos signos.
b. Luego se procede como en el caso anterior (caso 1)
{ [ (
3º 2º 1º
) ] }
Ejemplo:
1.
2(5 + 3) + 5(9 - 7)
2( ) + 5( )
_____ + _____ =
2.
3(5 - 1) - [14 2]
3( ) - _____
_____ - _____
_____ - _____ =
2
2
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 6
¡AHORA, HAZLO TÚ!
A. Resolver:
a. 3 + 2 - 4 - 1 =
b. 7 - 3 + 6 - 2 + 8 =
c. 11 - 4 + 13 - 2 - 6 + 3 =
d. 19 + 15 - 18 - 10 + 4 - 7 + 9 =
e. 32 - 19 + 43 - 18 + 35 - 53 =
B. Resolver:
a. 56 8 + 6 + 3 = k. 10 5 + 4 - 16 8 - 2 + 4 4 - 1 =
b. 16 - 3 + 5 × 8 l. 6 × 5 × 4 20 + 20 5 4 =
c. 3 + 6 - 18 9 = m. 6 × 5 + 4 - 8 4 × 2 × 3 - 5 + 16 4 - 3 =
d. 7 × 6 2 + 18 = ñ. 9 + 5 - 4 + 3 - 8 + 5 × 3 - 20 4 × 3 =
e. 24 - 18 6 × 8 = o. 40 5 × 5 + 6 2 × 3 + 4 - 5 × 2 10 =
f. 24 6 - 2 + 2 =
g. 2 × 3 + 5 × 8 =
h. 16 - 10 + 3 - 81 9 =
i. 50 + 15 5 × 3 - 9 3 × 4 + 6 × 4 6 =
j. 4 × 5 - 3 × 2 + 10 5 - 4 × 2 =
C. Completar en lenguaje matemático según convenga:
1. Seis veces nueve menos cuatro veces cinco.
__________________________________________________________
2. Nueve veces ocho más cinco veces siete.
__________________________________________________________
Recuerda resolver de
izquierda a derecha.
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 7
3. El cuádruplo de seis aumentado en el duplo de once.
__________________________________________________________
4. El triple de doce disminuido en el duplo de nueve.
__________________________________________________________
5. El séxtuplo de trece disminuido en el triple de veinte.
__________________________________________________________
JERARQUÍA - SÍMBOLOS DE COLECCIÓN
Observación:
Recuerda resolver primero aquellas operaciones combinadas que se encuentran más al
interior de los signos de colección.
Importante:
{ }[ ])(
1º2º3º
• Ejemplo 1:
{[(5 + 6 - 7) + (7 - 2 + 10)] + 10 - 3}
{[ 4 + 15 ] + 10 - 3}
"se suprime paréntesis"
"se suprime corchetes"
{19 + 10 - 3} "se suprime llaves"
26
• Ejemplo 2:
30 {(15 - 6) 3 + (18 - 3) 5} "se suprime paréntesis"
30 { 9 3 + 15 5}
30 { 3 + 3 } "se suprime llaves"
30 6
5
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 8
¡AHORA, HAZLO TÚ!
• Resolver las siguientes operaciones combinadas.
a. (5 × 6 + 3) + 7 × 8 Rpta. 89
b. 64 8 × 3 - (48 2 + 1 - 1) Rpta. 0
c. {5 + (8 × 3 6) - 7} Rpta. 2
d. 17 - 10 + {14 - 3 + (5 × 8 20)} Rpta. 20
e. {55 11 + 66 11 + (77 11 - 11)} Rpta. 7
f. [44 11 + 7] + [88 11 × 5] Rpta. 51
g. 40 + [25 - (3 + 2)] Rpta. 60
h. 60 + [(4 + 2) - 5] Rpta. 61
i. 150 - [(5 - 1) - (4 - 3)] Rpta. 147
j. 250 + [(7 - 2) + (4 - 1) + (3 - 2)] Rpta. 259
k. 450 - {6 + [4 - (3 - 1)]} Rpta. 442
l. 520 + {8 - 3 + [9 - (4 + 2 - 1)]} Rpta. 529
m. (150 - 5) - {14 + (9 - 6 + 3)} Rpta. 125
n. 500 - {6 + [(14 - 6) - (7 - 2) + (4 - 1)]} Rpta. 488
ñ. (30 - 20) 2 + (6 × 5) 3 + (40 - 25) (9 - 6) Rpta. 20
o. [(9 - 4) 5 + (10 - 2) 4] + 9 × 6 18 + 2 Rpta. 8
p. (9 + 3)5 - 2 (3 - 2) + 8 × 6 4 2 + 5 Rpta. 69
q. [15 + (8 - 3)5] [(8 - 2) 2 + 7] Rpta. 4
r. 9[15 (6 - 1) - (9 - 3) 2] Rpta. 0
s. 30 {(15 - 6) 3 + (18 - 3) 5} Rpta. 5
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 9
Observación
Para resolver operaciones combinadas en Q se sigue las mismas reglas que para resolver
operaciones combinadas en N, solo que esta vez se usarán números fraccionarios.
• Ejemplo 1: Resolver • Ejemplo 2: Resolver
1
2
+
3
2
- 1
1
2
4
2
- 1
1
2
+
×
4
2
3
2
-
1
2
1
4
-
3
4
+5 3
1
4
-
3
4
1 2
+ + + +
× × × ×
21
4
-
15
4
+
5
4
+
11
4
6
4
+
16
4
22
4
=
11
2
=
1
2
5
• Ejemplo 3: Resolver • Ejemplo 4: Resolver
3
4
+ 1
2
+
1
3
- 1
4
2 × 3 + 4 × 1
4 × 2
+
4 × 1 - 3 × 1
3 × 4
6 + 4
8
+
4 - 3
12
10
8
+ 1
12
12 × 10 + 8 × 1
8 × 12
120 + 8
96
=
128
96
4
3
=
4
3
= 1
1
3
3
5
1
9
3
8
9
16
×
1
3
1
15
3
8
16
9
×
1
1
2
3
1
15
2
3
1
15
×
3
2
=
1
10
1
5
=
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 10
¡AHORA, HAZLO TÚ!
A. Resolver:
1. 4
1
2
1
4
1
2
1
6. 3
1
2
1
4
1
2
1
5
1
2
1
2. 6
1
3
1
6
1
3
1
7. 10
1
5
1
10
1
5
1
3. 4
1
5
1
5
1
4
1
8. 10
5
2
1
10
3
2
1
4. 3
1
2
1
3
1
2
1
9. 4
1
3
1
3
1
4
1
5. 6
1
5
1
6
1
5
1
10. 5
3
3
2
3
1
5
3
B. Resolver:
1. 3
1
5
1
7
1
R. 35
1
1
9. 2
1
7
1
9
2
R. 63
46
2. 7
3
5
3
9
3
3
2
R. 7
3
1
10. 35
1
2
3
7
3
R. 2
135
3. 4
1
5
4
3
2
4
1
3
R. 4
3
5
11. 4
1
3
1
3
1
2
1
R. 7
3
1
4. 9
2
3
9
1
23
9
3
7
9
1
15
R. 3
2
27
12. 30
7
2
1
3
1
5
2
R. 7
5
2
5. 5
4
3
5
3
4
5
2
2
5
1
3
R. 5
3
1
13. 24
1
3
1
2
1
4
1
R. 1
6. 3
1
2
1
7
1
3
R. 42
13
2
14. 3
2
2
1
2
R. 1
7. 7
2
4
1
3
2
5
3
R. 420
307
15. 2
9
9
7
1
R. 1
8. 7
5
4
3
2
7
5
2
2
1
R. 4
15
16. 5
18
5
2
4
R. 1
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 11
CONCEPTO:
Es una multiplicación repetitiva de un mismo número, una cantidad limitada de veces.
DEFINICIÓN:
a = a . a . a . . . am
"m" factores
; m 1; m N
El resultado: am = se denomina potencia
De donde:
onenteexpm
basea
* Ejemplos:
a. 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243 d. 24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16
b. 43 = 4 . 4 . 4 = 64 e. 63 = 6 . 6 . 6 = 216
c. 52 = 5 . 5 = 25 f. 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32
A) Expresa lo siguiente:
* Seis elevado al cuadrado : ___________
* Ocho elevado al cuadrado : ___________
* "x" elevado al cuadrado : ___________
* Cuatro elevado al cubo : ___________
* Cinco elevado al cubo : ___________
* Nueve elevado al cubo : ___________
* Tres elevado a la cinco : ___________
* Cinco elevado a la seis : ___________
* "x" elevado a la cuatro : ___________
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 12
EXPONENTE NULO (Definición):
a = 10 ; a 0
* 30 = 1 *
1
7
5
0
*
2 3 = 20
¿por qué?
* 1)22( 0
* (1001)0 = 1
B) Completar, desarrollando las potencias.
Recuerda:
Las siguientes potencias son las más utilizadas
en el curso. Por lo que reciben el nombre
de "notables".
20 = ____ 21 = ____ 22 = ____ 23 = ____ 24 = ____
25 = ____ 26 = ____ 27 = ____ 28 = ____ 29 = ____
210 = ____ 30 = ____ 31 = ____ 32 = ____ 33 = ____
34 = ____ 35 = ____ 40 = ____ 41 = ____ 42 = ____
43 = ____ 44 = ____ 50 = ____ 51 = ____ 52 = ____
53 = ____ 54 = ____ 60 = ____ 61 = ____ 62 = ____
63 = ____ 70 = ____ 71 = ____ 72 = ____ 73 = ____
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 13
80 = ____ 81 = ____ 82 = ____ 83 = ____ 90 = ____
91 = ____ 92 = ____ 93 = ____ 100 = ____ 101 = ____
102 = ____ 103 = ____ 112 = ____ 122 = ____ 132 = ____
142 = ____ 152 = ____ 162 = ____ 172 = ____ 182 = ____
192 = ____ 202 = ____ 252 = ____ 302 = ____ 402 = ____
C) Reduce cada ejercicio según el ejemplo:
1. A = 34 + 23 + 40 + 5 2. B = 22 + 32 + 42
= 81 + 8 + 1 + 5
= 95
3. C = 500 + 30 + 20 + 1 4. D = 63 - 27 + 32
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 14
PROPIEDADES:
1. Producto de potencias de igual base:
a . a = am n m + n "Resulta la misma base y el exponente
final es la de los exponentes
iniciales".
suma
*
243 = 3 = 3 . 3 . 3 . 3 . 35
= 3 = 3 . 3 = 35 3 2 3 + 2
3 . 3 = 33 2 5
Completa:
* 43 . 42 = 45 * 73 . 72 = 75
* 29 . 212 = ______ * 78 . 78 = ______
* 32 . 37 = ______ * 113 . 116 = ______
* 39 . 310 . 312 = ______ * 25 . 23 . 24 = ______
2. División de potencias de igual base:
a
a
m
n
"Resulta la misma base y el exponente
final es la de los exponentes
iniciales".
diferencia
= am - n
; a 0
*
325
2
5
55
5
5
*
4
6
9
9
*
3
7
4
4
*
1
3
8
8
Observa el siguiente ejemplo:
164
4
4
4
4
4.4
4.4.4
D 2
13
15
76
2310
76
2310
Ahora reduce lo siguiente:
99
1234
5.5
5.5.5
G
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 15
PARTE PRÁCTICA
1. Expresar como potencia cada caso:
a.

veces30
6.......6.6.6
b.

factores18
m......m.m.m
c.

factores20
4........4.4.4
d.
  
veces13
2............2.2.2
2. Efectúa adecuadamente en tu cuaderno cada caso:
a. 3]4457123[E 0
b. F = 40 + 30 + 20 + 10
c. G = 32 + 3 + 30 d. A = 20 + 21 + 22 + 23
e. B = 15 + 32 + 23 f. B = 15 + 32 + 23
f. C = 43 + 42 - 4 + 1 g. X = 53 + 43 - 33 - 23
H. W = 63 - 72 + 32 - 52
3. Expresar como potencia indicada cada caso:
a. A = 43 . 42 . 45
b. B = (13)3 (13)6 (13)0
c. C = (3)0 (3)1 (3)2 (3)3 . . . . . (3)10
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 16
4. Reducir cada caso:
a.
157
905020
4
4.4.4
X
b.
168
86424
2.2
2.2.2.2.2
Y
c.
610
792
6.6
6.6.6
Z
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 17
1. Potencia de un producto:
(ab) = a . bn n n
a. 83 = [4(2)]3 = 43 . 23
b. 63 . 73 = {6(7)}3 = 423
c. x5 . y5 = (xy)5
2. Resolución de ecuaciones exponenciales:
Usaremos el criterio de "igualdad por comparación".
Ejemplos:
a. Hallar "x" en: b. Hallar "x" en:
3x = 34 . 32 . 35 155
1010
x
5.5
5.5
2
3x = 34 + 2 + 5 155
1010
x
5
5
2
3x = 311 x = 11
20
20
x
5
5
2
2x = 50 2x = 1 x = 0
c. Indicar el valor de "x" en:
513 = 33 . 17x
(3 . 17)3 = 33 . 17x
33 . 173 = 33 . 17x x = 3
"Si las bases son iguales
los exponentes también
son iguales".
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 18
PARTE PRÁCTICA
1. Hallar "x" en cada caso:
a.
10
235
x
4
4.4.4
8
b.
9
1032
2
2.2.2
x
c. (24)2 = (12)2.2x
d. 5
43210
x
5
5.5.5.5.5
5
e. 8x = 43
f. 2x = 102 + 102 - 142
g. x5 = (18)5 . (6)5
h. x20 = 54 . 56 . 510
i. 72x = 73 . 710 . 77
j.
120
2.5.3.5.2
25.1.8.5.3
11 0
37826
203710
3x
2. Reducir en cada caso:
a.
15
710
14
105
18
20
3
3.3
4
4.4
7
7
E
b. F = (17)2 - (13)2 + 83 - 52 + 150
c. G = (20027 - 19805)0 + ( )0 + 1; ( = 3,14159.....)
d.
8
)11(
15105)531(
H
7
2
232
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 19
Raíz enésima de un número
Dados un número real "a" y un número natural "n", se llama raíz enésima del número "a",
al número "x" tal que elevado a la potencia enésima dé por resultado "a".
a = x
n
si: x = an
; n 2
de donde:
radicaloperador
)realnúmero(raízx
índicen
radicandoobasea
81 = 3
4
raíz
radicando
índice
operador matemático
radical
La raíz cuarta de 81 es 3, ya que: 34 = 81.
Ejemplos:
* 5125
3
53 = 125
* 327
3
debido a que: 33 = 27
* 216
4
debido a que: 24 = 16
* 232
5
debido a que: 25 = 32
* 21024
10
debido a que: 210 = 1024
* 14196 debido a que: 142 = 196
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 20
"La radicación es la operación inversa
a la potenciación".
"Si en el índice del operador radical no aparece ningún número, se sobre entiende que es
el dos (2). Es decir: raíz cuadrada".
9 raíz cuadrada de 9 = ______
3
512 raíz cúbica de 512 = ______
5
3125 raíz quinta de 3125 = ______
PROPIEDADES
1. Raíz de un producto: 2. Raíz de un cociente:
n n n n
B
An
B
A
• 6
3.2
27.8)27)(8(
333
• 2
2
4
16
256
16
256
4
4
4
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 21
¡AHORA, HAZLO TÚ!
A. Hallar cada una de las raíces:
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 22
B. En tu cuaderno reduce adecuadamente cada expresión:
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 23
• Exponente fraccionario:
x
m
n
= x
mn
; m n ; n 2N
*
4 34
3
xx
* 2888
33 13
1
* 41616 2
1
* 9333 250
100
50 100
* 444 20
20
20 20 nn
x = x x > 0
¡AHORA, HAZLO TÚ!
A. Representa cada raíz usando exponente fraccionario:
a.
3 5
4
b.
7
2
c.
4 3
x
B. Representa cada expresión mediante radicales:
a. 7
1
2
b. 5
2
3
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 24
c. 11
2
x
C. Considerando la definición del exponente fraccionario y lo estudiado en Radicación I,
desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios:
1. 169196
36100
A
2.
3
362366B
3.
7 73 32
235C 4.
50 10040 12030 60
432D
5.
33
3
8125
44927
E
6. 2519636F
7. 36563G 8.
53
33
3264
27125
H
9.
97
100
46
47
30
32
3
3
6
6
5
5
I
10.
3
4
441625
121225
J
D. Efectuar los siguientes ejercicios:
1. Si: 6
1
5
1
By
5
4
3
1
2
1
A
indicar el valor de "x", si: B
A
x
2. Si:
33
512y;729x
indicar el valor de:
022
)xy(yxE
E. Hallar "x" en:
148
6395
x
2.8
2.8.2.8
64
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 25
POTENCIACIÓN - RADICACIÓN
Para poder realizar en forma correcta los ejercicios de este capítulo, debemos tener muy
en cuenta las reglas de las operaciones combinadas. Recordando que la potenciación es
una multiplicación y la radicación es su operación inversa; por lo tanto poseen la misma
jerarquía.
Hay que respetar las siguientes reglas:
1º Se desarrollan las multiplicaciones, divisiones, radicales y potencias si estos son
directos para su aplicación.
2º Recuerda, los radicales se aplican sobre un número. Por lo que "primero" hay que
reducir el radicando.
3º Luego se reducen las sumas y restas, respetando los signos.
4º Si existiesen paréntesis y/o corchetes, se reducen desde los más internos hacia los
más externos.
5º Si no existiesen signos de agrupación se desarrolla de izquierda a derecha.
Ejemplo:
2
77
5
3
24
21481
1213
E
44
79
1127
E
5
818
16
16
E 5
5
3981E
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 26
¡AHORA, HAZLO TÚ!
A. Reduce en tu cuaderno cada caso:
ALGEBRA – 6º grado de Primaria
Página 27
11. 648
043
K
3
222
12.
23
223
31000
542
L
13. 1662006125121M 003
14. 5
1
4
1
5
1
4
1
N

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Algebra 6o grado Primaria

  • 1. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Algebra INDICE – I BIMESTRE Introducción ............................................ 77 Operaciones combinadas en N............... 81 Operaciones combinadas en Q............... 85 Potenciación I .......................................... 87 Potenciación II......................................... 93 Radicación I ............................................ 95 Radicación II ........................................... 99 Operaciones combinadas con potenciación y radicación .......................................... 101
  • 2. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 2 ¿Qué conoces acerca del origen de la palabra Álgebra? El matemático árabe Abuadala Mohamed Ibn Musa, más comunmente llamado ALJUARIZMI, después de estudiar en la India y asimilar la ciencia hindú, escribe su famoso libro "AL DJABR W'AL MUKABALA" que quiere decir "Transposición y Reducción de términos semejantes". Al principio esta nueva disciplina se designó con el nombre completo de la obra de Aljuarizmi, pero ya en el siglo XVI se suprimía la segunda parte para llamar simplemente "Al djabr", o sea Álgebra, a la teoría de las ecuaciones. ¿Quién fue el principal forjador del Álgebra moderna? PACCIOLI (1445 - 1519) Estuvo muy ligado al arte y a la técnica renacentista italiana; en 1494 publica su monumental obra "Summa de Aritmética, Álgebra y Geometría", en la cual vuelca cuidadosa y detalladamente todo el conocimiento matemático hasta entonces desarrollado, y cuya rápida difusión fue el inicio de un nuevo florecimiento del Álgebra. Paccioli también se adelantó con esta obra a dar una visión de los progresos que en los siglos posteriores se llegarían a hacer.
  • 3. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 3 SIMBOLOGÍA ALGEBRAICA SÍMBOLO SIGNIFICADO × • ( ); ; ( ) ; [ ] ; { } M(x;y) = 2xy2 P(x) = x + 2x + 12 x Operadores de la multiplicación. Operadores de la división. Operador radical. Signos de agrupación: paréntesis, corchetes y llaves, respectivamente. Monomio de variables "x" e "y". Polinomio de variable "x". Variable, es decir letra que puede tomar varios valores. Para todo. Diferente. EJERCICIOS Utilizando los operadores de multiplicación y división, efectuar: * La multiplicación de 3 por 8 * La división de 14 entre 2 se escribe: 3 × 8 = 24 se escribe: 14 2 = 7 3 . 8 = 24 14 : 2 = 7 (3 × 8) = 24 Completa según los ejemplos anteriores: I. La multiplicación de 5 por 7 A. La división de 35 entre 5 se escribe: _______ = _______ se escribe: _______ = _______ _______ = _______ _______ = _______ _______ = _______ _______ = _______
  • 4. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 4 II. La multiplicación de 9 por 8 B. La división de 48 entre 6 se escribe: _______ = _______ se escribe: _______ = _______ _______ = _______ _______ = _______ _______ = _______ _______ = _______ III. La multiplicación de 6 por 9 C. La división de 63 entre 7 se escribe: _______ = _______ se escribe: _______ = _______ _______ = _______ _______ = _______ _______ = _______ _______ = _______ Completar según el ejemplo: • M(x;y;z) = 3x4y5z4a • P(x;y) = -7x6y5 Las variables son: x; y; z Las variables son: x; y El coeficiente es: 3a El coeficiente es : -7 I. R(a;b;c) = 7a6b9c7 II. Q(m;n;p) = -4m7n3p2 Las variables son: _______ Las variables son: _______ El coeficiente es : _______ El coeficiente es : _______ III. F(x;y) = 31x4y8a IV. S(x;y) = 2abx9y12 Las variables son: _______ Las variables son: _______ El coeficiente es : _______ El coeficiente es : _______ V. P(y) = 7y7 + ay6 VI. R(z) = bz9 + 7z5 - 3z Las variables son: _______ Las variables son: _______ Los coeficientes son: _______ Los coeficientes son: _______
  • 5. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 5 REGLAS DE OPERACIÓN Caso 1: Sin signos de agrupación a. Primero se resuelven las potencias y raíces a la vez. b. Segundo se resuelven las multiplicaciones y divisiones a la vez. c. Por último se resuelven las adiciones y sustracciones a la vez. Ejemplo: 1. 3 + 2 × 5 -4 100 2 + 9 =+ - + 2. 3 × 2 + 25 53 + + = Caso 2: Con signos de agrupación a. Primero se resuelven las operaciones que se encuentran dentro del signo de agrupación más interno, hasta que desaparezcan todos estos signos. b. Luego se procede como en el caso anterior (caso 1) { [ ( 3º 2º 1º ) ] } Ejemplo: 1. 2(5 + 3) + 5(9 - 7) 2( ) + 5( ) _____ + _____ = 2. 3(5 - 1) - [14 2] 3( ) - _____ _____ - _____ _____ - _____ = 2 2
  • 6. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 6 ¡AHORA, HAZLO TÚ! A. Resolver: a. 3 + 2 - 4 - 1 = b. 7 - 3 + 6 - 2 + 8 = c. 11 - 4 + 13 - 2 - 6 + 3 = d. 19 + 15 - 18 - 10 + 4 - 7 + 9 = e. 32 - 19 + 43 - 18 + 35 - 53 = B. Resolver: a. 56 8 + 6 + 3 = k. 10 5 + 4 - 16 8 - 2 + 4 4 - 1 = b. 16 - 3 + 5 × 8 l. 6 × 5 × 4 20 + 20 5 4 = c. 3 + 6 - 18 9 = m. 6 × 5 + 4 - 8 4 × 2 × 3 - 5 + 16 4 - 3 = d. 7 × 6 2 + 18 = ñ. 9 + 5 - 4 + 3 - 8 + 5 × 3 - 20 4 × 3 = e. 24 - 18 6 × 8 = o. 40 5 × 5 + 6 2 × 3 + 4 - 5 × 2 10 = f. 24 6 - 2 + 2 = g. 2 × 3 + 5 × 8 = h. 16 - 10 + 3 - 81 9 = i. 50 + 15 5 × 3 - 9 3 × 4 + 6 × 4 6 = j. 4 × 5 - 3 × 2 + 10 5 - 4 × 2 = C. Completar en lenguaje matemático según convenga: 1. Seis veces nueve menos cuatro veces cinco. __________________________________________________________ 2. Nueve veces ocho más cinco veces siete. __________________________________________________________ Recuerda resolver de izquierda a derecha.
  • 7. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 7 3. El cuádruplo de seis aumentado en el duplo de once. __________________________________________________________ 4. El triple de doce disminuido en el duplo de nueve. __________________________________________________________ 5. El séxtuplo de trece disminuido en el triple de veinte. __________________________________________________________ JERARQUÍA - SÍMBOLOS DE COLECCIÓN Observación: Recuerda resolver primero aquellas operaciones combinadas que se encuentran más al interior de los signos de colección. Importante: { }[ ])( 1º2º3º • Ejemplo 1: {[(5 + 6 - 7) + (7 - 2 + 10)] + 10 - 3} {[ 4 + 15 ] + 10 - 3} "se suprime paréntesis" "se suprime corchetes" {19 + 10 - 3} "se suprime llaves" 26 • Ejemplo 2: 30 {(15 - 6) 3 + (18 - 3) 5} "se suprime paréntesis" 30 { 9 3 + 15 5} 30 { 3 + 3 } "se suprime llaves" 30 6 5
  • 8. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 8 ¡AHORA, HAZLO TÚ! • Resolver las siguientes operaciones combinadas. a. (5 × 6 + 3) + 7 × 8 Rpta. 89 b. 64 8 × 3 - (48 2 + 1 - 1) Rpta. 0 c. {5 + (8 × 3 6) - 7} Rpta. 2 d. 17 - 10 + {14 - 3 + (5 × 8 20)} Rpta. 20 e. {55 11 + 66 11 + (77 11 - 11)} Rpta. 7 f. [44 11 + 7] + [88 11 × 5] Rpta. 51 g. 40 + [25 - (3 + 2)] Rpta. 60 h. 60 + [(4 + 2) - 5] Rpta. 61 i. 150 - [(5 - 1) - (4 - 3)] Rpta. 147 j. 250 + [(7 - 2) + (4 - 1) + (3 - 2)] Rpta. 259 k. 450 - {6 + [4 - (3 - 1)]} Rpta. 442 l. 520 + {8 - 3 + [9 - (4 + 2 - 1)]} Rpta. 529 m. (150 - 5) - {14 + (9 - 6 + 3)} Rpta. 125 n. 500 - {6 + [(14 - 6) - (7 - 2) + (4 - 1)]} Rpta. 488 ñ. (30 - 20) 2 + (6 × 5) 3 + (40 - 25) (9 - 6) Rpta. 20 o. [(9 - 4) 5 + (10 - 2) 4] + 9 × 6 18 + 2 Rpta. 8 p. (9 + 3)5 - 2 (3 - 2) + 8 × 6 4 2 + 5 Rpta. 69 q. [15 + (8 - 3)5] [(8 - 2) 2 + 7] Rpta. 4 r. 9[15 (6 - 1) - (9 - 3) 2] Rpta. 0 s. 30 {(15 - 6) 3 + (18 - 3) 5} Rpta. 5
  • 9. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 9 Observación Para resolver operaciones combinadas en Q se sigue las mismas reglas que para resolver operaciones combinadas en N, solo que esta vez se usarán números fraccionarios. • Ejemplo 1: Resolver • Ejemplo 2: Resolver 1 2 + 3 2 - 1 1 2 4 2 - 1 1 2 + × 4 2 3 2 - 1 2 1 4 - 3 4 +5 3 1 4 - 3 4 1 2 + + + + × × × × 21 4 - 15 4 + 5 4 + 11 4 6 4 + 16 4 22 4 = 11 2 = 1 2 5 • Ejemplo 3: Resolver • Ejemplo 4: Resolver 3 4 + 1 2 + 1 3 - 1 4 2 × 3 + 4 × 1 4 × 2 + 4 × 1 - 3 × 1 3 × 4 6 + 4 8 + 4 - 3 12 10 8 + 1 12 12 × 10 + 8 × 1 8 × 12 120 + 8 96 = 128 96 4 3 = 4 3 = 1 1 3 3 5 1 9 3 8 9 16 × 1 3 1 15 3 8 16 9 × 1 1 2 3 1 15 2 3 1 15 × 3 2 = 1 10 1 5 =
  • 10. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 10 ¡AHORA, HAZLO TÚ! A. Resolver: 1. 4 1 2 1 4 1 2 1 6. 3 1 2 1 4 1 2 1 5 1 2 1 2. 6 1 3 1 6 1 3 1 7. 10 1 5 1 10 1 5 1 3. 4 1 5 1 5 1 4 1 8. 10 5 2 1 10 3 2 1 4. 3 1 2 1 3 1 2 1 9. 4 1 3 1 3 1 4 1 5. 6 1 5 1 6 1 5 1 10. 5 3 3 2 3 1 5 3 B. Resolver: 1. 3 1 5 1 7 1 R. 35 1 1 9. 2 1 7 1 9 2 R. 63 46 2. 7 3 5 3 9 3 3 2 R. 7 3 1 10. 35 1 2 3 7 3 R. 2 135 3. 4 1 5 4 3 2 4 1 3 R. 4 3 5 11. 4 1 3 1 3 1 2 1 R. 7 3 1 4. 9 2 3 9 1 23 9 3 7 9 1 15 R. 3 2 27 12. 30 7 2 1 3 1 5 2 R. 7 5 2 5. 5 4 3 5 3 4 5 2 2 5 1 3 R. 5 3 1 13. 24 1 3 1 2 1 4 1 R. 1 6. 3 1 2 1 7 1 3 R. 42 13 2 14. 3 2 2 1 2 R. 1 7. 7 2 4 1 3 2 5 3 R. 420 307 15. 2 9 9 7 1 R. 1 8. 7 5 4 3 2 7 5 2 2 1 R. 4 15 16. 5 18 5 2 4 R. 1
  • 11. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 11 CONCEPTO: Es una multiplicación repetitiva de un mismo número, una cantidad limitada de veces. DEFINICIÓN: a = a . a . a . . . am "m" factores ; m 1; m N El resultado: am = se denomina potencia De donde: onenteexpm basea * Ejemplos: a. 35 = 3 . 3 . 3 . 3 . 3 = 243 d. 24 = 2 . 2 . 2 . 2 = 16 b. 43 = 4 . 4 . 4 = 64 e. 63 = 6 . 6 . 6 = 216 c. 52 = 5 . 5 = 25 f. 25 = 2 . 2 . 2 . 2 . 2 = 32 A) Expresa lo siguiente: * Seis elevado al cuadrado : ___________ * Ocho elevado al cuadrado : ___________ * "x" elevado al cuadrado : ___________ * Cuatro elevado al cubo : ___________ * Cinco elevado al cubo : ___________ * Nueve elevado al cubo : ___________ * Tres elevado a la cinco : ___________ * Cinco elevado a la seis : ___________ * "x" elevado a la cuatro : ___________
  • 12. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 12 EXPONENTE NULO (Definición): a = 10 ; a 0 * 30 = 1 * 1 7 5 0 * 2 3 = 20 ¿por qué? * 1)22( 0 * (1001)0 = 1 B) Completar, desarrollando las potencias. Recuerda: Las siguientes potencias son las más utilizadas en el curso. Por lo que reciben el nombre de "notables". 20 = ____ 21 = ____ 22 = ____ 23 = ____ 24 = ____ 25 = ____ 26 = ____ 27 = ____ 28 = ____ 29 = ____ 210 = ____ 30 = ____ 31 = ____ 32 = ____ 33 = ____ 34 = ____ 35 = ____ 40 = ____ 41 = ____ 42 = ____ 43 = ____ 44 = ____ 50 = ____ 51 = ____ 52 = ____ 53 = ____ 54 = ____ 60 = ____ 61 = ____ 62 = ____ 63 = ____ 70 = ____ 71 = ____ 72 = ____ 73 = ____
  • 13. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 13 80 = ____ 81 = ____ 82 = ____ 83 = ____ 90 = ____ 91 = ____ 92 = ____ 93 = ____ 100 = ____ 101 = ____ 102 = ____ 103 = ____ 112 = ____ 122 = ____ 132 = ____ 142 = ____ 152 = ____ 162 = ____ 172 = ____ 182 = ____ 192 = ____ 202 = ____ 252 = ____ 302 = ____ 402 = ____ C) Reduce cada ejercicio según el ejemplo: 1. A = 34 + 23 + 40 + 5 2. B = 22 + 32 + 42 = 81 + 8 + 1 + 5 = 95 3. C = 500 + 30 + 20 + 1 4. D = 63 - 27 + 32
  • 14. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 14 PROPIEDADES: 1. Producto de potencias de igual base: a . a = am n m + n "Resulta la misma base y el exponente final es la de los exponentes iniciales". suma * 243 = 3 = 3 . 3 . 3 . 3 . 35 = 3 = 3 . 3 = 35 3 2 3 + 2 3 . 3 = 33 2 5 Completa: * 43 . 42 = 45 * 73 . 72 = 75 * 29 . 212 = ______ * 78 . 78 = ______ * 32 . 37 = ______ * 113 . 116 = ______ * 39 . 310 . 312 = ______ * 25 . 23 . 24 = ______ 2. División de potencias de igual base: a a m n "Resulta la misma base y el exponente final es la de los exponentes iniciales". diferencia = am - n ; a 0 * 325 2 5 55 5 5 * 4 6 9 9 * 3 7 4 4 * 1 3 8 8 Observa el siguiente ejemplo: 164 4 4 4 4 4.4 4.4.4 D 2 13 15 76 2310 76 2310 Ahora reduce lo siguiente: 99 1234 5.5 5.5.5 G
  • 15. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 15 PARTE PRÁCTICA 1. Expresar como potencia cada caso: a.  veces30 6.......6.6.6 b.  factores18 m......m.m.m c.  factores20 4........4.4.4 d.    veces13 2............2.2.2 2. Efectúa adecuadamente en tu cuaderno cada caso: a. 3]4457123[E 0 b. F = 40 + 30 + 20 + 10 c. G = 32 + 3 + 30 d. A = 20 + 21 + 22 + 23 e. B = 15 + 32 + 23 f. B = 15 + 32 + 23 f. C = 43 + 42 - 4 + 1 g. X = 53 + 43 - 33 - 23 H. W = 63 - 72 + 32 - 52 3. Expresar como potencia indicada cada caso: a. A = 43 . 42 . 45 b. B = (13)3 (13)6 (13)0 c. C = (3)0 (3)1 (3)2 (3)3 . . . . . (3)10
  • 16. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 16 4. Reducir cada caso: a. 157 905020 4 4.4.4 X b. 168 86424 2.2 2.2.2.2.2 Y c. 610 792 6.6 6.6.6 Z
  • 17. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 17 1. Potencia de un producto: (ab) = a . bn n n a. 83 = [4(2)]3 = 43 . 23 b. 63 . 73 = {6(7)}3 = 423 c. x5 . y5 = (xy)5 2. Resolución de ecuaciones exponenciales: Usaremos el criterio de "igualdad por comparación". Ejemplos: a. Hallar "x" en: b. Hallar "x" en: 3x = 34 . 32 . 35 155 1010 x 5.5 5.5 2 3x = 34 + 2 + 5 155 1010 x 5 5 2 3x = 311 x = 11 20 20 x 5 5 2 2x = 50 2x = 1 x = 0 c. Indicar el valor de "x" en: 513 = 33 . 17x (3 . 17)3 = 33 . 17x 33 . 173 = 33 . 17x x = 3 "Si las bases son iguales los exponentes también son iguales".
  • 18. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 18 PARTE PRÁCTICA 1. Hallar "x" en cada caso: a. 10 235 x 4 4.4.4 8 b. 9 1032 2 2.2.2 x c. (24)2 = (12)2.2x d. 5 43210 x 5 5.5.5.5.5 5 e. 8x = 43 f. 2x = 102 + 102 - 142 g. x5 = (18)5 . (6)5 h. x20 = 54 . 56 . 510 i. 72x = 73 . 710 . 77 j. 120 2.5.3.5.2 25.1.8.5.3 11 0 37826 203710 3x 2. Reducir en cada caso: a. 15 710 14 105 18 20 3 3.3 4 4.4 7 7 E b. F = (17)2 - (13)2 + 83 - 52 + 150 c. G = (20027 - 19805)0 + ( )0 + 1; ( = 3,14159.....) d. 8 )11( 15105)531( H 7 2 232
  • 19. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 19 Raíz enésima de un número Dados un número real "a" y un número natural "n", se llama raíz enésima del número "a", al número "x" tal que elevado a la potencia enésima dé por resultado "a". a = x n si: x = an ; n 2 de donde: radicaloperador )realnúmero(raízx índicen radicandoobasea 81 = 3 4 raíz radicando índice operador matemático radical La raíz cuarta de 81 es 3, ya que: 34 = 81. Ejemplos: * 5125 3 53 = 125 * 327 3 debido a que: 33 = 27 * 216 4 debido a que: 24 = 16 * 232 5 debido a que: 25 = 32 * 21024 10 debido a que: 210 = 1024 * 14196 debido a que: 142 = 196
  • 20. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 20 "La radicación es la operación inversa a la potenciación". "Si en el índice del operador radical no aparece ningún número, se sobre entiende que es el dos (2). Es decir: raíz cuadrada". 9 raíz cuadrada de 9 = ______ 3 512 raíz cúbica de 512 = ______ 5 3125 raíz quinta de 3125 = ______ PROPIEDADES 1. Raíz de un producto: 2. Raíz de un cociente: n n n n B An B A • 6 3.2 27.8)27)(8( 333 • 2 2 4 16 256 16 256 4 4 4
  • 21. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 21 ¡AHORA, HAZLO TÚ! A. Hallar cada una de las raíces:
  • 22. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 22 B. En tu cuaderno reduce adecuadamente cada expresión:
  • 23. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 23 • Exponente fraccionario: x m n = x mn ; m n ; n 2N * 4 34 3 xx * 2888 33 13 1 * 41616 2 1 * 9333 250 100 50 100 * 444 20 20 20 20 nn x = x x > 0 ¡AHORA, HAZLO TÚ! A. Representa cada raíz usando exponente fraccionario: a. 3 5 4 b. 7 2 c. 4 3 x B. Representa cada expresión mediante radicales: a. 7 1 2 b. 5 2 3
  • 24. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 24 c. 11 2 x C. Considerando la definición del exponente fraccionario y lo estudiado en Radicación I, desarrolla en tu cuaderno los siguientes ejercicios: 1. 169196 36100 A 2. 3 362366B 3. 7 73 32 235C 4. 50 10040 12030 60 432D 5. 33 3 8125 44927 E 6. 2519636F 7. 36563G 8. 53 33 3264 27125 H 9. 97 100 46 47 30 32 3 3 6 6 5 5 I 10. 3 4 441625 121225 J D. Efectuar los siguientes ejercicios: 1. Si: 6 1 5 1 By 5 4 3 1 2 1 A indicar el valor de "x", si: B A x 2. Si: 33 512y;729x indicar el valor de: 022 )xy(yxE E. Hallar "x" en: 148 6395 x 2.8 2.8.2.8 64
  • 25. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 25 POTENCIACIÓN - RADICACIÓN Para poder realizar en forma correcta los ejercicios de este capítulo, debemos tener muy en cuenta las reglas de las operaciones combinadas. Recordando que la potenciación es una multiplicación y la radicación es su operación inversa; por lo tanto poseen la misma jerarquía. Hay que respetar las siguientes reglas: 1º Se desarrollan las multiplicaciones, divisiones, radicales y potencias si estos son directos para su aplicación. 2º Recuerda, los radicales se aplican sobre un número. Por lo que "primero" hay que reducir el radicando. 3º Luego se reducen las sumas y restas, respetando los signos. 4º Si existiesen paréntesis y/o corchetes, se reducen desde los más internos hacia los más externos. 5º Si no existiesen signos de agrupación se desarrolla de izquierda a derecha. Ejemplo: 2 77 5 3 24 21481 1213 E 44 79 1127 E 5 818 16 16 E 5 5 3981E
  • 26. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 26 ¡AHORA, HAZLO TÚ! A. Reduce en tu cuaderno cada caso:
  • 27. ALGEBRA – 6º grado de Primaria Página 27 11. 648 043 K 3 222 12. 23 223 31000 542 L 13. 1662006125121M 003 14. 5 1 4 1 5 1 4 1 N