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Diseño de Canales: Método Clásico y Método Moderno
I. INTRODUCCIÓN
En la actualidad y en nuestro medio se hacen uso para el diseño de canales de
ecuaciones antiguas pero aún útiles, que son aplicables a la zona del flujo rugoso
(Turbulencia plena). Entre tales ecuaciones tenemos: La fórmula de Chezy, Kutter,
Bazin, Manning, etc. Siendo la fórmula de Manning la que más destaca por su
aplicación práctica.
Trabajos más recientes desarrollados en la década del 1930 y basados en el
análisis de la fórmula de Darcy, pueden utilizarse para cubrir la zona de flujo
hidráulicamente liso y la zona de flujo en transición así como el flujo en la zona rugosa
utilizando las fórmulas empíricas o el diagrama de Moody para la determinación del
factor de fricción´'"f"
Finalmente diremos que mediante la fórmula de Darcy se enfoca el diseño de
canales en su forma general; puesto que puede aplicarse para cualquiera de las tres
zonas de flujo; convirtiéndose de esta manera en la fórmula moderna para el "Diseño
de Canales".
II. GENERALIDADES
II.1 BASE TEÓRICA
1. CANALES
Son estructuras de conducción, que conducen los fluidos líquidos por acción de
la gravedad, pudiendo ser abiertos o cerrados, pero a presión constante, pues la
superficie libre del líquido está en contacto con la atmósfera.
Los canales pueden ser naturales (ríos o arroyos) o artificiales, es decir aquellos
construidos por el hombre (Geometría o formas definidas: sección triangular.
rectangular, trapezoidal, etc.)
2. TIPOS DE FLUJO EN CANALES
La clasificación de flujo en un canal depende de la variable de referencia que se
tome, así tenemos.
2.1. Flujo Permanente y No Permanente.
Esta clasificación obedece a la utilización del tiempo como variable. El flujo
es permanente si los parámetros (tirante, velocidad, área, etc.) no cambian
con respecto al tiempo, es decir, en una sección del canal, en todos los
tiempos los elementos del flujo permanecen constantes. Matemáticamente
se puede representar:
0; 0; 0;
Y v A
etc
t t t
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂
Si los parámetros cambian con respecto al tiempo el flujo se llama no
permanente, es decir:
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 2
0; 0; 0;
Y v A
etc
t t t
∂ ∂ ∂
≠ ≠ ≠
∂ ∂ ∂
2.2. Flujo Uniforme y Variado:
Esta clasificación obedece a la utilización del espacio como variable, El flujo
es uniforme si los parámetros (tirante, velocidad, área, etc.) no cambiar con
respecto al espacio: es decir, en cualquier sección del canal los elementos
del flujo permanecen constantes. Matemática mente se puede representar:
0; 0; 0;
Y v A
etc
L L L
∂ ∂ ∂
= = =
∂ ∂ ∂
Si los parámetros varían de una sección a otra. el flujo se llama no uniforme
o variado, es decir
0; 0; 0;
Y v A
etc
L L L
∂ ∂ ∂
≠ ≠ ≠
∂ ∂ ∂
El flujo variado se puede a su vez clasificar en gradual y rápidamente
variado.
El flujo gradualmente variado se puede es aquel en el cual los parámetros
cambian en forma gradual a lo largo del canal; como es el caso de una
curva de remanso producida por la intersección de una presa en el cauce
principal elevándose el nivel del agua por encima de la presa, con efecto
hasta varios kilómetros aguas arriba de la estructura.
El flujo rápidamente variado es aquel en el cual los parámetros varían
instantáneamente en una distancia muy pequeña, como es el caso del salto
hidráulico.
2.3. Flujo Laminar y Turbulento.
El comportamiento de flujo en un canal está gobernado principalmente por
efectos de las fuerzas viscosas y de gravedad con relación a las fuerzas de
inercia internas del flujo. Con relación al efecto de la viscosidad, el flujo
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 3
puede ser laminar, de transición o turbulento, en forma semejante al flujo en
conductos forzados; la importancia de la fuerza viscosa se mide a través del
número de Reynolds definido en este caso como:
: 4e
VD
R pero D R
υ
= =
Entonces
( )4
:e
V R
R
υ
=
Donde:
R = radio medio hidráulico de la sección, en m.
V = Velocidad media en la misma, en m/s
υ = Viscosidad cinemática del agua. en m2
/s,
En los canales se han comprobado resultados semejantes a los de los tubos
por lo que, respecto a este criterio de clasificación y para propósitos
prácticos, en el caso de un canal, se tiene:
Flujo Laminar para Re < 575
Flujo de Transición para 575 ≤ Re ≤ 1000
Flujo Turbulento para Re > 1000
En la mayoría de los canales el flujo laminar ocurre muy raramente debido a
las dimensiones relativamente grandes de los mismos y a la baja viscosidad
cinemática del agua.
2.4. Flujo Crítico, Subcrítico y supercrítico.
Con relación al efecto de la gravedad, el flujo puede ser crítico, subcrítico y
supercrítico, la importancia de la fuerza de gravedad se mide a través del
número de Froude (F), que relaciona fuerzas de inercia de velocidad, con
fuerzas gravitatorias, el cual se define como.
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 4
(2.4.1)
V
F
gD
=
Donde:
V = Velocidad media de la sección, en m/s.
g = Aceleración de la gravedad, en m2
/s
D = Tirante medio de la sección, en m.
De acuerdo al número de Froude el flujo puede ser
Flujo subcrítico si F < 1
Flujo Critico si F = 1
Flujo supercrítico si F > 1
3. FLUJO UNIFORME
El flujo es uniforme si los parámetros (tirante. velocidad, área, etc.) no cambian
con respecto al espacio, de lo cual se desprende que, las características
Profundidad, área transversal, velocidad y caudal en cada sección del canal
deben ser constantes. además la línea de energía, la superficie libre del agua y
el fondo del canal deben ser paralelos, es decir la pendiente de la línea de
energía, la pendiente de la superficie libre del agua y la pendiente del fondo del
canal son iguales.
Llamando:
SE = pendiente de la línea de energía
Sw = pendiente de la superficie libre del agua
So = pendiente del fondo del canal
Se Tiene
E W OS S S S= = =
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 5
Una de las condiciones para que se desarrolle un flujo uniforme en un canal, es
que la pendiente sea pequeña, por lo que los tirantes normales se tornan iguales
a los verticales.
Y = tirante vertical
d = tirante normal
Del gráfico se tiene:
cosY d α=
Si " "α es pequeño, entonces, cos α ≅ 1, luego:
Y = d
El flujo uniforme es, para cualquier propósito práctico, también permanente ya
que el flujo impermanente y uniforme no existe en la naturaleza.
Las condiciones ligadas al flujo uniforme y permanente se llaman normales. Ahí
los términos tirante, normal, velocidad normal, pendiente normal, etc.
Usualmente se considera que el flujo en canales y ríos es uniforme. Sin
embargo, la condición de uniformidad es poco frecuente y debe entenderse que
únicamente porque los cálculos para flujo uniforme son relativamente sencillos y
porque estos aportan soluciones satisfactorias, se justifica esta simplificación,.
Para la deducción de la fórmula general para el flujo uniforme, consideremos un
tramo de un canal. de longitud “L” de sección cualquiera como se ilustra en la
figura.
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 6
Mediante el balance de fuerzas que ocurren en el elemento fluido no sometido a
acciones de aceleración se tiene:
xF φ=∑
F W sen α= (3.1)
Donde:
;W volumenγ= ∀ ∀=
y AL∀=
Es decir:
W ALγ= (3.2)
Además: sen Sα = (3.3)
Sustituyendo (3.2) y (3.3) en (3.1) resulta:
F ALsγ= (3.4)
La fuerza de fricción externa “F” también puede expresarse como
0 tF Aτ= (3.5)
Donde:
.tA P L= ; At = área tangente
p = perímetro mojado
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 7
Y ( )2
0 0;
8
F
vτ ρ τ= = esfuerzo cortante en la pared, obtenido de la ecuación de
Darcy.
Luego en (3.5):
2
. .
8
f
F v p Lρ= (3.6)
Igualando (3.4) y (3.6) se tiene:
2
8
f
AL S v pLγ ρ= (3.7)
Donde:
;
A
R
p
= R = radio medio hidráulico
Y gγ ρ=
En (3.7)
2
8
f
g R S vρ ρ=
De donde:
8
. .
g
V R S
f
= (3.8)
La expresión (3.8) constituye la fórmula de la velocidad para flujo uniforme;
siendo “f ” el factor de fricción, que en términos generales depende del número
de Reynolds “Re” y de la rugosidad relativa del conducto " / "Rε , es decir
Si: ( ), /ef R Dφ ε= ;
Donde para el caso de canales, se considera D = 4 R (3.9)
Conocemos que para el flujo en tuberías, para número de Reynolds elevados y
factores de rugosidades grandes, el factor de fricción “f” es independiente del
número de Reynolds y sólo depende del factor de rugosidad (zona de flujo
rugoso), es decir:
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 8
( )f φ ε=
Esto ocurre en muchos flujos en canales que usualmente se encuentran en la
práctica por consiguiente puede decirse que:
8g
C
f
= = Función del factor rugosidad (3.10)
4. FLUJO TURBULENTO
En la mayoría de los canales se presenta el flujo turbulento; en cambio el
régimen laminar ocurre muy raramente debido a las dimensiones relativamente
grandes de los mismos y a la baja viscosidad cinemática del agua.
En la sección 2.3 puede notarse que para propósitos prácticos el flujo turbulento
en canales ocurre parea números de Reynolds, superiores a 1000.
En el flujo turbulento para tuberías, existen ciertos criterios que pueden aplicarse
al flujo de canales, tales como:
*.
4 :
V
v
ε
< Zona de flujo hidráulicamente liso
*.
4 100 :
V
v
ε
≤ ≤ Zona de flujo de transición (4.1)
*.
100 :
V
v
ε
> Zona de flujo rugoso
Donde: V* = velocidad de corte = 0 / gRSτ ρ = (4.2)
ε = rugosidad promedio
ν = viscosidad cinemática del agua
El diagrama de Moody y las fórmulas semiempíricas utilizados en tuberías para
calcular el factor de fricción también son aplicables en el flujo de canales, razón
por la cual recordaremos tales expresiones para el caso del flujo turbulento.
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 9
Para la zona de flujo hidráulicamente liso, se pueden aplicar fórmula de Blasius
si
5
10eR <
0,25
0,316
Re
f = (4.3)
Si
5
R 10e > es preferible aplicar la fórmula de Von Karman
eR1
2log
2,51
f
f
 
=  ÷ ÷
 
(4.4)
Para la zona de flujo de transición, puede utilizarse la ecuación de Colebrook:
e
1 2,51
2log
3,71 RDf f
ε 
= − + 
  
(4.5a)
ó
e
1 9,35
1,14 2log
3,71 RDf f
ε 
= − + 
  
(4.5b)
Para la zona de flujo rugoso, f no depende del número de Reynolds, de manera
que al considerar la ecuación (4.5b) significa que ( )/ 9,35/ eD R fε >>
obteniéndose así la ecuación de Nikuradse.
1
1,14 2log
Df
ε 
= −  ÷
 
(4.6)
Además se presenta la ecuación de Swamee – Jain, la cual es válida para
ciertos intervalos de valores de /Dε y Re los cuales cubren la mayor parte de la
zona de transición:
2
0,9
e
0,25
5.74
3,7 R
f
Log
D
ε
=
      
+   ÷ ÷
      
(4.7)
La cual es válida para los rangos
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 10
3 8
6 2
5 10 Re 10
10 10
x
D
ε− −
≤ ≤
 
≤ ≤ 
 
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 11
FÓRMULAS CLÁSICAS EN EL DISEÑO DE CANALES
5.1. Fórmula de Chezy
La fórmula se originó en 1768 cuando el ingeniero Francés Antoine Chezy
recibió el encargo de diseñar un canal para el suministro de agua a París
Las experiencias realizadas por Chezy le permitieron establecer la primera
fórmula del flujo uniforme, para el cálculo de la velocidad media en un
conducto, la cual se expresa:
.V C R S= (5.1.1)
Que comparada con la ecuación (8) resulta
8g
C
f
= (5.1.2)
Donde:
V = velocidad media del canal, m/s
C = coeficiente de Chezy que depende de las características del
recubrimiento y de la naturaleza de las paredes.
R = radio medio hidraulico en m
S = pendiente del canal
5.2. Fórmula de kutter
Esta fórmula fue presentada en 1869 por el Ingeniero suizo Kutter, quién
basado en sus experiencias estableció que para pendientes mayores que
0,0005 el valor del coeficiente “C” está dado por:
100 R
C
m R
=
+ (5.2.1)
Luego:
100 R
V RS
m R
=
+
(5.2.2)
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 12
Donde:
V = velocidad media, en m/s
R = radio medio hidráulico, en m
M = coeficiente de rugosidad que depende de la naturaleza de las
paredes del canal
5.3. Fórmula de Bazin
Henry Bazin en 1897 de acuerdo a sus experiencias presentó en el sistema
métrico, la siguiente expresión parea evaluar el coeficiente “C” de
Chezy.
87
1
γ
=
+
C
R
(5.3.1)
Luego:
87
1
V RS
R
γ
=
+ (5.3.2)
Donde
V = velocidad media, m/s
R = radio medio hidráulico, m
S = pendiente del canal
γ = coeficiente que depende de las características de rugosidad de las
paredes.
Los siguientes valores de γ fueron determinados por Bazin:
γ = 0,06 para paredes de plancha metálica, cemento liso o madera
cepillada.
γ = 0,16 para paredes de ladrillo, madera sin cepillar
γ = 0,046 para ustedes de mampostería
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 13
γ = 0,85 para canales en tierra de superficie muy regular
γ = 1,30 para canales en tierra ordinarios
γ = 1,75 para canales en tierra muy rugosos, cubiertos con maleza
y cantos rodados
5.4. Fórmula de Manning
En el año de 1889 el Ingeniero Irlandés Robert Manning presentó una
fórmula cuyo uso se ha extendido a casi todas las partes del mundo.
Proviene de considerar en la fórmula de Chezy un coeficiente C igual a:
1/ 61
C R
n
=
Como:
V C RS=
Entonces:
1/ 6 1/ 2 1/ 21
V R R S
n
=
2 / 3 1/ 21
V R S
n
=
El caudal, mediante la fórmula de Manning es:
2 / 3 1/ 21
.Q AR S
n
=
Donde:
Q = Caudal o gasto, en m3
/S
n = Coeficiente de rugosidad de la pared
A = área hidráulica de la sección transversal en m2
R = radio medio hidráulico, en m
S = pendiente del canal
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 14
TABLA Nº 01
Valores Promedio del n de Manning y la rugosidad ε
Material n , piesε , mε
Asfalto
Ladrillo
Canal en concreto pulido
Sin pulir
Tubo de concreto
Tierra buena condición
Malezas y Piedras
Tubo de Hierro fundido
Hierro forjado
Acero corrugado
Remachado
Madera cepillada
0,016
0,016
0,012
0,015
0,015
0,025
0,035
0,015
0,015
0,022
0,015
0,012
0,018
0,0012
0,0032
0,0080
0,0080
0,12
0,8
0,0051
0,0051
0,012
0,0012
0,0032
0,0054
0,0037
0,001
0,0024
0,0024
0,037
0,240
0,0016
0,0016
0,037
0,0037
0,001
5. Fórmula moderna en el Diseño de Canales
Hasta ahora hemos considerado las fórmulas clásicas, que son aplicables a la
zona del flujo rugoso; sin embargo trabajos más recientes desarrollados en la
década de 1930 y basados en las experiencias de Darcy, puede utilizarse para
cubrir la zona de flujo hidráulicamente liso y la zona de flujo en transición así
como en la zona rugosa utilizando el diagrama de Moody o de fórmulas
empíricas para el factor de fricción “f”
Recordando que la fórmula general de la velocidad para el flujo uniforme es:
8 8
. .
g g
v R S RS
f f
= = (6.1)
Como .Q V A=
Entonces:
8g
Q A RS
f
= (6.2)
Que es la fórmula moderna para el diseño de canales o fórmula de Darcy por
contener al factor de fricción “f”
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 15
Donde:
Q = Caudal, en m3
/S
A = área hidráulica de la sección transversal, en m2
g = aceleración de la gravedad, en m/s2
f = factor de fricción (adimensional)
R = radio medio hidráulico, en m
S = pendiente del canal
III. DISEÑO DE CANALES
III.1. MÉTODO MODERNO
Aplicando la Fórmula de Darcy
El procedimiento consiste en calcular primero f. Luego determinamos la
velocidad mediante la expresión (6.1):
=
8
. .
g
V R S
f
Se calcula el número de Reynolds del flujo utilizando la expresión (2.3.1):
( )
ν
=
4
e
V R
R
Con este número de Reynolds Re y con la relación de rugosidad relativa
ε ε=/ / 4D R , se calcula “f” con las fórmulas empíricas de Colebrook modificada.
Si este f no coincide con el cálculo original, se continua con una segunda
iteración, utilizando el f que se calculó.
Se procede de esta forma hasta que se alcanza buena concordancia entre el f
insertado y el calculado.
Si desean utilizarse ecuaciones para calcular f, debe conocerse en que zona del
flujo se está. Para flujo en tuberías existen los siguientes criterios que pueden
aplicarse al flujo en canales.
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 16
* .
4 :
V ε
ν
< Zona de flujo hidráulicamente
*
4 100 :
V ε
ν
≤ ≤ Zona de flujo de transición (6.3)
*
100 :
V ε
ν
> Zona de flujo rugoso
Donde:
V*
=
velocidad de corte = gRS
ε = rugosidad promedio
ν = viscosidad Cinemática del agua
Conocida la zona de flujo, el coeficiente f puede determinarse por ecuaciones
que son análogas a las presentadas para el flujo en tuberías.
Allí tenemos que:
Para la zona de flujo hidráulicamente liso podemos aplicar la fórmula de Blasius,
si Re < 105
= 0,25
0,316
e
f
R
(6.3)
Si Re > 105
es recomendable la ecuación de Von Karman.
 
=   
 
1 Re
2
2,51
f
Log
f
(6.5)
Para la zona de flujo de transición, puede utilizarse una modificación de a
ecuación de Colebrook (4.5b)
1 30
2,16 2
Re
Log
Rf f
ε 
= − + ÷ ÷
 
(6.6)
Finalmente en la zona de flujo rugoso donde ( )ε >>/ 30 / ReR f en la ecuación
anterior, se tiene:
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 17
ε 
= −  
 
1
2,16 log
Rf
(6,7)
III.2. MÉTODO CLÁSICO
Aplicando la fórmula de Manning
El procedimiento consiste en agrupar en un solo miembro de la fórmula de
Manning, los valores conocidos y en el otro las variables que estarán en fundón
del tirante normal y cuyo valor podría determinarse a través de un proceso de
tanteos o por otro método que se crea conveniente.
Simbólicamente el procedimiento a seguir es el siguiente:
De la fórmula de Manning, se tiene:
= 2 / 3 1/ 21
Q AR S
n
Los valores conocidos para el diseño: Q, n, S y Z
Los valores desconocidos son: A, R, Y, T y P.
Luego agrupando los valores conocidos, tenemos:
2 / 3
1/ 2
Qn
AR
S
=
Como A y R son funciones del tirante “Y”
Entonces:
( )/1/ 2
Qn
f y
S
=
El valor normal “Y” puede determinarse por tanteos
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 18
EJEMPLOS E APLICACIÓN
1. A través de un canal rectangular de concreto pulido, fluye un caudal de 5 m3
/s de
agua; a una temperatura de 20° C; el canal tiene una plantilla de 2m y una
pendiente del 1,6 °/ºº
Determine el tirante normal:
a) Aplicando el método clásico
b) Aplicando el método moderno
Solución
Aplicando el método clásico:
De la fórmula de Manning se tiene:
= 2 / 3 1/ 21
Q AR S
n
O bien:
= 2 / 3
1/ 2
.Q n
AR
S
(1)
Donde:
Q = 5m3
/s
n = 0,012
S = 0,0016
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 19
b
Y
Q = 5 m3
/s
b = 2 m
S = 1,6 °/ºº = 0,0016
T = 20 °C; υ = 1,007 x 10-6
m2
/s
n = 0,012
ε = 0,001 m
Y = ?
A = by = 2y
= = = =
+ + +
2
2 2 2 1
A by y y
R
P b y y y
Sustituyendo valores en (1):
( )
γ
γ
 
=  
+ 
2 / 3
1/ 2
5 0,012
2
10,0016
x
y
( )
=
+
5 / 3
2 / 3
0,75
1
Y
y
Resolviendo por tanteos resulta:
= 1,15Y m
c) Aplicando el método moderno
Asumimos f = 0,02 para determinar la velocidad V
 
= =  
 
1/ 2
8Q g RS
V
A f
( ) ( )
1/ 2
8 9,8 0,0016
15
2 0,02
y
y
y
  
  +  =
 
 
  
(1)
3
0,9965
1
y
y
=
+
Resolviendo por tanteos, resulta:
Y = 1,32 m
= =
5
1,89 /
2
V m s
y
Determinamos eR /y E R
( ) ( ) ( )
6
1,89 4 1,32/ 1 1,324
R
1,007 10
e
V R
xυ −
 + = =
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 20
= 6
4,271 10eR x
( )
0,001
/ 0,00176
1,32/ 1 1,32
Rε = =
+
Ahora corregimos el valor de f aplicando la ecuación modificada de Colebrook:
 
= − +  
 
6
1 30
2,16 2 0,00176
4,271 10 0,02
Log
f x
= 0,0171f
Calculamos el nuevo valor de “Y”
En (1)
( ) ( ) ( )( ) +
=  
  
1/ 2
8 9,8 0,0016 / 15
2 0,0171
y y
y
+
3
Y
0,8520=
1 Y
Resolviendo por tanteos:
= 1,24Y m
Verificamos el valor de f
= = =
5
2,016 /
2
Q
V m s
A y
( )
( )
ν
= = +
4
2,016 4 1,24 /1 1,24e
V R
R x x
= 6
4,433 10eR x
( )
0,001
/ 0,00181
1,24/ 1 1,24
Rε = =
+
 
= − + 
 
6
1 30
2,16 2 0,00181
4,433 10 0,0171
Log
f x
= 0,0172f
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 21
Como este valor es muy próximo al f = 0,0171, entonces daremos por aceptado el
valor de “Y” obtenido anteriormente es decir:
= 1,24Y m
Ahora determinamos a que zona pertenece el flujo; para ellos utilizaremos la
expresión (6.3)
( ) ( ) ( )*
6
9,8 1,24/ 1 1,24 0,0016 0,001.
1,007 10
V gRS
x
ε ε
υ υ −
 + 
= =
*
92,5 100
V ε
υ
= < : Zona de flujo de transición
Luego la fórmula de Manning no es aplicable en esta zona así mismo para este
problema el tirante obtenido por el método clásico es un 7,25% menor con con
respecto al método moderno.
2. Se desea construir un canal de concreto pulido y de sección trapezoidal con talud
z = 1,5 para evacuar las aguas pluviales. El caudal de diseño es de 600 lps, la
plantilla 0,8 m, la pendiente 1º/ºº y la temperatura del agua 20° C
Determine el tirante normal:
a) Aplicando el método clásico
b) Aplicando el método moderno
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 22
b
Q = 0,6 m3
/s
b = 0,8 m; z = 1,5
S = 1 °/.. = 0,001
T = 20 °C; ν = 1,007 x 10-6
m2
/s
n = 0,012
ε = 0,001 m
Y = ?
Y
1
z
a) Aplicando el método clásico.
De la fórmula de Manning, se tiene
= 2 / 3 1/ 21
Q AR S
n
Ó bien: = 2 / 3
1/ 2
Qn
AR
S
Donde:
( ) ( )
3
0,6 /
0,012
0,001
0,8 1,5
Q m s
n
S
A b zY Y Y Y
=
=
=
= + = +
( )
( )
( )
1/ 2
2
0,8 1,5
0,8 3,62 1
b zY Y Y YA
R
P Yb Y z
+ +
= = =
++ +
Sustituyendo valores en (1):
( )
( ) ( ) ( ) = + + + 
2 / 3
1/ 2
0,6 0,012
0,8 1,5 0,8 1,5 / 0,8 3,6
0,001
x
Y Y Y Y Y
( )
[ ]
5 / 3
2 / 3
0,8 1,5
0,2277
0,8 3,6
Y Y
Y
 + =
+
Resolviendo por tanteos resulta:
= 0,40Y m
b) Aplicando el Método Moderno
Asumimos f = 0,02 para determinar la velocidad
= =
8Q g
V RS
A f
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1/ 2
8 9,8 0,001 0,8 1,5 / 0,8 3,60,6
0,8 1,5 0,02
Y y y
Y Y
  + + =  
+   
(1)
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 23
( ) +
 =
+
3
0,8 1,5
0,0918
0,8 3,6
Y Y
Y
Resolviendo por tanteos, resulta:
= 0,42Y m
( )
0,6
1 /
0,42 0,8 1,5 0,42
Q
V m s
A x
= = =
+
Determinamos /eR y Rε
( ) ( ) ( ) ( )
ν −
 + + = = 6
1 4 0,8 1,5 0,42 0,42/ 0,8 3,6 0,424
1,007 10
e
x xV R
R
x
= 6
1,032 10eR x
( ) ( ) ( )
0,001
/
0,42 0,8 1,5 0,42 / 0,8 3,6 0,42
R
x x x
ε =
+
/ 0,00384Rε =
Corregimos el Valor de f, aplicando la ecuación modificada de Colebrook
6
1 30
2,16 0,00384
1,032 10 0,02
Log
f
 
= − + ÷ ÷+ 
0,0207f =
Calculamos el nuevo valor de y
En (1)
( )
( ) ( ) ( ) ( )
1/ 2
8 9,8 0,001 0,8 1,5 / 0,8 3,60,6
0,8 1,5 0,0207
y y
Y Y
  + + =  
+   
( )
3
0,8 1,5
0,0951
0,8 3,6
Y Y
Y
 + =
+
Resolviendo por tanteos
= 0,42Y m
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 24
Verificando el valor de f
( )
0,6
1 /
0,42 0,8 1,5 0,42
Q
V m s
A x
= = =
+
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6
1 4 0,8 1,5 0,42 0,42/ 0,8 3,6 0,424
1,007 10
e
x xV R
R
xν −
 + + = =
= 6
1,032 10eR x
( ) ( )
0,001
/
0,42 0,8 1,5 0,42 / 0,8 3,6 0,42
R
x x x
ε =
+
/ 0,00384Rε =
Aplicamos la ecuación modificada de Colebrook, para verificar f
6
1 30
2,16 0,00384
1,032 10 0,0207
Log
f
 
= − +  + 
0,0207f =
Luego el tirante calculado y = 0,42 m es el correcto.
Determinamos a que zona pertenece el flujo, y de acuerdo a la expresión (6.3)
se tiene:
( ) ( ) ( ) ( )*
6
9,8 0,42 0,8 1,5 0,42 / 0,8 3,6 0,42 0,001.
1,007 10
x x xV
x
ε
ν −
+ +
=
*
76,186 100
V ε
ν
= < : Zona de flujo de transición.
En este caso la fórmula de Manning no es aplicable; así mismo para nuestro
ejemplo, el tirante obtenido por el método clásico es un 4,76% menor con
respecto al método moderno.
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 25
3. Para conducir 500 lps Se debe diseñar una alcantarilla con tubería de concreto y
con una pendiente del 1°/ºº. Por seguridad el tirante debe ser el 90% de diámetro de
la tubería y la temperatura del agua 20° C. Determine el tirante:
a) Aplicando el método clásico
b) Aplicando el método moderno
Solución
a) Aplicando el método clásico
La ecuación de Manning, para hallar el caudal es:
2 / 3 1/ 21
.Q AR S
n
= =
Ó bien:
2 / 3
1/ 2
.Q n
AR
S
= (1)
Donde:
Q = 0,5 m3
/s
n = 0,015
S = 0,001
Además para Y/D = 0,90 se obtiene:
2
2
0,7445 0,7445
A
A D
D
= ⇒ =
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 26
Q = 0,5 m3
/s
Y
D
=0,90
S = 0,001
n = 0,015
ε = 0,0024 m.
Y = ?
0,2980 0,2980
R
R D
D
= ⇒ =
Sustituyendo valores en (1)
( )
( )( )
2 / 32
1/ 2
0,5 0,015
0,7445 0,2980
0,001
x
D D=
8 / 3
0,2372 0,3322 D=
( )
8 / 3
3 / 8
0,7140
0,7140
0,8813
0,88
D
D
D
D m
=
=
=
=
Luego el tirante es:
0,90
0,90 0,88
0,792
0,79
Y D
Y x
Y
Y m
=
=
=
=
b) Aplicando el método moderno:
Asumimos f = 0,02 para luego determinar la velocidad V
8Q g
V RS
A f
= =
( ) ( ) ( )
2
8 9,8 0.001 0,29800,5
0,020,7445
D
D
= (1)
5
0,3861
0,8267
0,83 .
D
D
D m
=
=
=
El tirante es:
0,90
0,90 0,83
0,747
0,75
Y D
Y x
Y
Y m
=
=
=
=
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 27
Entonces:
( )
2
0,5
0,97 /
0,7445 0,83
A
V m s
Q
= = =
Determinemos R /e y E R
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6
4 0,97 4 0,2980 0,83
1,007 10
e
V R
R
v x −
= =
6
0,953 10eR x=
( ) ( )
0,0024
/ 0,01074
0,2980 0,75
Rε = =
Corregimos el valor de “f” aplicando la ecuación modificada de Colebrook
6
1 30
2,16 0,01074
0,953 10 0,02
Log
f x
 
= − +  
 
0,0270f =
Calculamos el nuevo valor de “Y”
En (1)
( ) ( ) ( )
1/ 2
2
8 9,8 0,001 0,29800,5
0,02700,7445
D
D
 
=  
 
5
0,5212 D=
0,88 .D m=
El tirante es:
0,90 0,88
0,79
Y x
Y m
=
=
Verificamos el valor de f:
( )
2
0,5
0,87 /
0,7445 0,88
Q
V m s
A
= = =
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 28
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
6
4 0,87 4 0,2980 0,88
1,007 10
e
V R
R
xν −
= =
6
0,906 10eR x=
( ) ( )
0,0024
/ 0,00915
0,2980 0,88
Rε = =
6
1 30
2,16 2 0,00915
0,906 10 0,0270
Log
f x
 
= − +  
 
10,0259 intn nf f f nueva eraccion−= ⇒ ≠ ⇒ 0,783 0,02594y f= ⇒ =
Luego el tirante calculado y = 0,79 m es el correcto, redondeado.
( ) ( ) ( )*
6
9,8 0,2980 0,88 0,001 0,0024
1,007 10
x xV
x
ε
ν −
=
*
120,82 100 :
V ε
ν
= > Zona de flujo rugosa.
En este caso si es aplicable la fórmula de Manning y Vemos que por ambos
métodos hemos obtenido el mismo tirante: y = 0,79 m.
4. ANÁLISIS COMPARATIVO DE RESULTADOS
SECCIÓN CANAL
TIRANTE NORMAL METROS ERROR (%)
MANNING DARCY
Rectangular 1,15 1,24 7,26
Trapezoide 0,40 0,42 4,76
Circular 0,79 0,79 0,00
Se puede notar que los errores del 7,26% y 4,76% son considerables y esto
debido a que el flujo se encuentra dentro de la zona de transición; donde no es
aplicable la fórmula de Manning, sin embargo en el tercer caso no se encontró error
y esto se justifica puesto que para tal caso el flujo se encuentra en la zona rugosa,
donde si es aplicable la fórmula Manning.
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 29
IV. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES
CONCLUSIONES
1. Cuando el flujo se encuentra en la zona rugosa, las desviaciones de los
resultados obtenidos por los dos métodos Clásico y Moderno son coincidentes,
sin embargo cuando el flujo se halla en otra región como la zona de transición,
las desviaciones son mayores y esto se debe a que para tal caso la formula de
Manning no es aplicable.
2. La fórmula de Darcy es aplicable para el diseño Moderno de Canales, ya
que resuelve el problema en su forma general; puesto que considera las tres
zonas del flujo turbulento: listo, transicional y rugoso.
RECOMENDACIONES
1. Para el diseño de canales debe aplicarse la formula de Darcy
además de tener en cuenta el factor de resistencia dinámico, también considera
la zona donde está el flujo turbulento.
2. Difundir la fórmula de Darcy para el diseño de canales, tratando
de esta manera que este proyecto de investigación sirva como elemento de
ampliación de conocimientos de lo que tradicionalmente se enseña en la
hidráulica de canales.
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 30
REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS
1. AZEVEDO-ACOSTA. Manual de Hidráulica. 6ta. Ed. Editorial Harla-México. 1975.
578pp
2. BECERRIL, Enrique. Hidromecánica. Editorial Dossat, S.A. Madrid. España. 1960.
659pp.
3. BINDER C., Raymond. Mecánica de fluidos. 1era. Ed. Editorial Trillas. México 1978.
494pp
4. CACERES NEIRA, ALEJANDRO. Problemas de Hidráulica. Tomo 2. Universidad
Nacional de Ingeniería. Lima-Perú. 392pp.
5. DALLY-HARLEMAN. Dinámica de los fluidos. Editorial Trillas. México. 1980. 512pp.
6. DOMÍNGUEZ S. FRANCISCO JAVIER. Hidráulica. 5ta. Ed. Editorial Universitaria.
Chile 1978. 773pp.
7. FRENCH, RICHARD H. Hidráulica de Canales Abiertos. Editorial Mc. Graw-Hill.
México. 1978. 724pp.
8. GILES, RANALDS V. Mecánica de los Fluidos e Hidráulica. Editorial Mc. Graw-Hill.
New York. 260.
9. HANSEN. Fluid Mechanics. Editorial Wiley & Sons .Inc. USA. 1985. 575pp.
10. HUGHES, William. Dinámica de los fluidos. Editorial. Mc. Graw, Hill. New York. 260pp.
11. KING-BRATER. Manual de Hidráulica. 1era. Ed. Editorial UTEHA. México. 1981.
536pp.
12. KING-WISLER-WOODBURN. Hidráulica. 2da ed. Editorial Trillas. New York 1985.
354pp.
13. MATAIX P., Claudio. Mecánica de fluidos Maquinas Hidráulicas. 2da. Ed. Editorial
Harla. México. 1986. 660pp.
14. NEKRASOV-FABRICANT-KECHERGUIN. Problema de Hidráulica. Editorial MIR.
Moscú. 200pp
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 31
15. PIZARRO C., Humberto. Hidráulica. Parte 1ra. Publicación Nº. 47. Universidad
Nacional Agraria “La Molina”. 1976. 392pp.
16. ROCA VILA, R. Introducción a la Mecánica de los Fluidos. 1ra. Edición.- 2da.
Reimpresión. Editorial Limusa. México. 1987. 498pp.
17. RUBIO SAN JUAN, I. Elementos de Hidráulica General y aplicada con Motores
Hidráulicos. 5ta. Edición.- 3ra. Reimpresión. Editorial Labor S.A. España. 1972. 631pp
18. SHAMES, Irwing. La Mecánica de los Fluídos. Editorial Mc. Graw. Hill. New York 1980.
592pp.
19. SOTELO AVILA, Gilberto. Hidráulica General. Volumen I. 1ra ed. 10ava.
Reimpresión. Edit. Limusa. México 1989. 564pp.
20. STREETER, Víctor L, Mecánica de los Fluídos. Editorial Mc. Graw-Hill. Mexico 1975.
747pp.
21. TRUEBA CORONEL, Samuel. Hidráulica. 19ava. Impresión. Editor. C.E.C.S.A.
MÉXICO 1981. 454PP.
22. VEN TE CHOW. Hidráulica de Canales Abiertos. 2da. Ed. 1983 633pp.
23. VILLÓN B., Máximo. Hidráulica de Canales. 2da. Editorial Horizonte Latinoamericano
S.A. Lima-Perú. 1985. 376pp.
MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 32

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  • 1. Diseño de Canales: Método Clásico y Método Moderno I. INTRODUCCIÓN En la actualidad y en nuestro medio se hacen uso para el diseño de canales de ecuaciones antiguas pero aún útiles, que son aplicables a la zona del flujo rugoso (Turbulencia plena). Entre tales ecuaciones tenemos: La fórmula de Chezy, Kutter, Bazin, Manning, etc. Siendo la fórmula de Manning la que más destaca por su aplicación práctica. Trabajos más recientes desarrollados en la década del 1930 y basados en el análisis de la fórmula de Darcy, pueden utilizarse para cubrir la zona de flujo hidráulicamente liso y la zona de flujo en transición así como el flujo en la zona rugosa utilizando las fórmulas empíricas o el diagrama de Moody para la determinación del factor de fricción´'"f" Finalmente diremos que mediante la fórmula de Darcy se enfoca el diseño de canales en su forma general; puesto que puede aplicarse para cualquiera de las tres zonas de flujo; convirtiéndose de esta manera en la fórmula moderna para el "Diseño de Canales". II. GENERALIDADES II.1 BASE TEÓRICA 1. CANALES Son estructuras de conducción, que conducen los fluidos líquidos por acción de la gravedad, pudiendo ser abiertos o cerrados, pero a presión constante, pues la superficie libre del líquido está en contacto con la atmósfera. Los canales pueden ser naturales (ríos o arroyos) o artificiales, es decir aquellos construidos por el hombre (Geometría o formas definidas: sección triangular. rectangular, trapezoidal, etc.)
  • 2. 2. TIPOS DE FLUJO EN CANALES La clasificación de flujo en un canal depende de la variable de referencia que se tome, así tenemos. 2.1. Flujo Permanente y No Permanente. Esta clasificación obedece a la utilización del tiempo como variable. El flujo es permanente si los parámetros (tirante, velocidad, área, etc.) no cambian con respecto al tiempo, es decir, en una sección del canal, en todos los tiempos los elementos del flujo permanecen constantes. Matemáticamente se puede representar: 0; 0; 0; Y v A etc t t t ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ Si los parámetros cambian con respecto al tiempo el flujo se llama no permanente, es decir: MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 2
  • 3. 0; 0; 0; Y v A etc t t t ∂ ∂ ∂ ≠ ≠ ≠ ∂ ∂ ∂ 2.2. Flujo Uniforme y Variado: Esta clasificación obedece a la utilización del espacio como variable, El flujo es uniforme si los parámetros (tirante, velocidad, área, etc.) no cambiar con respecto al espacio: es decir, en cualquier sección del canal los elementos del flujo permanecen constantes. Matemática mente se puede representar: 0; 0; 0; Y v A etc L L L ∂ ∂ ∂ = = = ∂ ∂ ∂ Si los parámetros varían de una sección a otra. el flujo se llama no uniforme o variado, es decir 0; 0; 0; Y v A etc L L L ∂ ∂ ∂ ≠ ≠ ≠ ∂ ∂ ∂ El flujo variado se puede a su vez clasificar en gradual y rápidamente variado. El flujo gradualmente variado se puede es aquel en el cual los parámetros cambian en forma gradual a lo largo del canal; como es el caso de una curva de remanso producida por la intersección de una presa en el cauce principal elevándose el nivel del agua por encima de la presa, con efecto hasta varios kilómetros aguas arriba de la estructura. El flujo rápidamente variado es aquel en el cual los parámetros varían instantáneamente en una distancia muy pequeña, como es el caso del salto hidráulico. 2.3. Flujo Laminar y Turbulento. El comportamiento de flujo en un canal está gobernado principalmente por efectos de las fuerzas viscosas y de gravedad con relación a las fuerzas de inercia internas del flujo. Con relación al efecto de la viscosidad, el flujo MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 3
  • 4. puede ser laminar, de transición o turbulento, en forma semejante al flujo en conductos forzados; la importancia de la fuerza viscosa se mide a través del número de Reynolds definido en este caso como: : 4e VD R pero D R υ = = Entonces ( )4 :e V R R υ = Donde: R = radio medio hidráulico de la sección, en m. V = Velocidad media en la misma, en m/s υ = Viscosidad cinemática del agua. en m2 /s, En los canales se han comprobado resultados semejantes a los de los tubos por lo que, respecto a este criterio de clasificación y para propósitos prácticos, en el caso de un canal, se tiene: Flujo Laminar para Re < 575 Flujo de Transición para 575 ≤ Re ≤ 1000 Flujo Turbulento para Re > 1000 En la mayoría de los canales el flujo laminar ocurre muy raramente debido a las dimensiones relativamente grandes de los mismos y a la baja viscosidad cinemática del agua. 2.4. Flujo Crítico, Subcrítico y supercrítico. Con relación al efecto de la gravedad, el flujo puede ser crítico, subcrítico y supercrítico, la importancia de la fuerza de gravedad se mide a través del número de Froude (F), que relaciona fuerzas de inercia de velocidad, con fuerzas gravitatorias, el cual se define como. MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 4
  • 5. (2.4.1) V F gD = Donde: V = Velocidad media de la sección, en m/s. g = Aceleración de la gravedad, en m2 /s D = Tirante medio de la sección, en m. De acuerdo al número de Froude el flujo puede ser Flujo subcrítico si F < 1 Flujo Critico si F = 1 Flujo supercrítico si F > 1 3. FLUJO UNIFORME El flujo es uniforme si los parámetros (tirante. velocidad, área, etc.) no cambian con respecto al espacio, de lo cual se desprende que, las características Profundidad, área transversal, velocidad y caudal en cada sección del canal deben ser constantes. además la línea de energía, la superficie libre del agua y el fondo del canal deben ser paralelos, es decir la pendiente de la línea de energía, la pendiente de la superficie libre del agua y la pendiente del fondo del canal son iguales. Llamando: SE = pendiente de la línea de energía Sw = pendiente de la superficie libre del agua So = pendiente del fondo del canal Se Tiene E W OS S S S= = = MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 5
  • 6. Una de las condiciones para que se desarrolle un flujo uniforme en un canal, es que la pendiente sea pequeña, por lo que los tirantes normales se tornan iguales a los verticales. Y = tirante vertical d = tirante normal Del gráfico se tiene: cosY d α= Si " "α es pequeño, entonces, cos α ≅ 1, luego: Y = d El flujo uniforme es, para cualquier propósito práctico, también permanente ya que el flujo impermanente y uniforme no existe en la naturaleza. Las condiciones ligadas al flujo uniforme y permanente se llaman normales. Ahí los términos tirante, normal, velocidad normal, pendiente normal, etc. Usualmente se considera que el flujo en canales y ríos es uniforme. Sin embargo, la condición de uniformidad es poco frecuente y debe entenderse que únicamente porque los cálculos para flujo uniforme son relativamente sencillos y porque estos aportan soluciones satisfactorias, se justifica esta simplificación,. Para la deducción de la fórmula general para el flujo uniforme, consideremos un tramo de un canal. de longitud “L” de sección cualquiera como se ilustra en la figura. MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 6
  • 7. Mediante el balance de fuerzas que ocurren en el elemento fluido no sometido a acciones de aceleración se tiene: xF φ=∑ F W sen α= (3.1) Donde: ;W volumenγ= ∀ ∀= y AL∀= Es decir: W ALγ= (3.2) Además: sen Sα = (3.3) Sustituyendo (3.2) y (3.3) en (3.1) resulta: F ALsγ= (3.4) La fuerza de fricción externa “F” también puede expresarse como 0 tF Aτ= (3.5) Donde: .tA P L= ; At = área tangente p = perímetro mojado MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 7
  • 8. Y ( )2 0 0; 8 F vτ ρ τ= = esfuerzo cortante en la pared, obtenido de la ecuación de Darcy. Luego en (3.5): 2 . . 8 f F v p Lρ= (3.6) Igualando (3.4) y (3.6) se tiene: 2 8 f AL S v pLγ ρ= (3.7) Donde: ; A R p = R = radio medio hidráulico Y gγ ρ= En (3.7) 2 8 f g R S vρ ρ= De donde: 8 . . g V R S f = (3.8) La expresión (3.8) constituye la fórmula de la velocidad para flujo uniforme; siendo “f ” el factor de fricción, que en términos generales depende del número de Reynolds “Re” y de la rugosidad relativa del conducto " / "Rε , es decir Si: ( ), /ef R Dφ ε= ; Donde para el caso de canales, se considera D = 4 R (3.9) Conocemos que para el flujo en tuberías, para número de Reynolds elevados y factores de rugosidades grandes, el factor de fricción “f” es independiente del número de Reynolds y sólo depende del factor de rugosidad (zona de flujo rugoso), es decir: MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 8
  • 9. ( )f φ ε= Esto ocurre en muchos flujos en canales que usualmente se encuentran en la práctica por consiguiente puede decirse que: 8g C f = = Función del factor rugosidad (3.10) 4. FLUJO TURBULENTO En la mayoría de los canales se presenta el flujo turbulento; en cambio el régimen laminar ocurre muy raramente debido a las dimensiones relativamente grandes de los mismos y a la baja viscosidad cinemática del agua. En la sección 2.3 puede notarse que para propósitos prácticos el flujo turbulento en canales ocurre parea números de Reynolds, superiores a 1000. En el flujo turbulento para tuberías, existen ciertos criterios que pueden aplicarse al flujo de canales, tales como: *. 4 : V v ε < Zona de flujo hidráulicamente liso *. 4 100 : V v ε ≤ ≤ Zona de flujo de transición (4.1) *. 100 : V v ε > Zona de flujo rugoso Donde: V* = velocidad de corte = 0 / gRSτ ρ = (4.2) ε = rugosidad promedio ν = viscosidad cinemática del agua El diagrama de Moody y las fórmulas semiempíricas utilizados en tuberías para calcular el factor de fricción también son aplicables en el flujo de canales, razón por la cual recordaremos tales expresiones para el caso del flujo turbulento. MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 9
  • 10. Para la zona de flujo hidráulicamente liso, se pueden aplicar fórmula de Blasius si 5 10eR < 0,25 0,316 Re f = (4.3) Si 5 R 10e > es preferible aplicar la fórmula de Von Karman eR1 2log 2,51 f f   =  ÷ ÷   (4.4) Para la zona de flujo de transición, puede utilizarse la ecuación de Colebrook: e 1 2,51 2log 3,71 RDf f ε  = − +     (4.5a) ó e 1 9,35 1,14 2log 3,71 RDf f ε  = − +     (4.5b) Para la zona de flujo rugoso, f no depende del número de Reynolds, de manera que al considerar la ecuación (4.5b) significa que ( )/ 9,35/ eD R fε >> obteniéndose así la ecuación de Nikuradse. 1 1,14 2log Df ε  = −  ÷   (4.6) Además se presenta la ecuación de Swamee – Jain, la cual es válida para ciertos intervalos de valores de /Dε y Re los cuales cubren la mayor parte de la zona de transición: 2 0,9 e 0,25 5.74 3,7 R f Log D ε =        +   ÷ ÷        (4.7) La cual es válida para los rangos MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 10
  • 11. 3 8 6 2 5 10 Re 10 10 10 x D ε− − ≤ ≤   ≤ ≤    MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 11
  • 12. FÓRMULAS CLÁSICAS EN EL DISEÑO DE CANALES 5.1. Fórmula de Chezy La fórmula se originó en 1768 cuando el ingeniero Francés Antoine Chezy recibió el encargo de diseñar un canal para el suministro de agua a París Las experiencias realizadas por Chezy le permitieron establecer la primera fórmula del flujo uniforme, para el cálculo de la velocidad media en un conducto, la cual se expresa: .V C R S= (5.1.1) Que comparada con la ecuación (8) resulta 8g C f = (5.1.2) Donde: V = velocidad media del canal, m/s C = coeficiente de Chezy que depende de las características del recubrimiento y de la naturaleza de las paredes. R = radio medio hidraulico en m S = pendiente del canal 5.2. Fórmula de kutter Esta fórmula fue presentada en 1869 por el Ingeniero suizo Kutter, quién basado en sus experiencias estableció que para pendientes mayores que 0,0005 el valor del coeficiente “C” está dado por: 100 R C m R = + (5.2.1) Luego: 100 R V RS m R = + (5.2.2) MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 12
  • 13. Donde: V = velocidad media, en m/s R = radio medio hidráulico, en m M = coeficiente de rugosidad que depende de la naturaleza de las paredes del canal 5.3. Fórmula de Bazin Henry Bazin en 1897 de acuerdo a sus experiencias presentó en el sistema métrico, la siguiente expresión parea evaluar el coeficiente “C” de Chezy. 87 1 γ = + C R (5.3.1) Luego: 87 1 V RS R γ = + (5.3.2) Donde V = velocidad media, m/s R = radio medio hidráulico, m S = pendiente del canal γ = coeficiente que depende de las características de rugosidad de las paredes. Los siguientes valores de γ fueron determinados por Bazin: γ = 0,06 para paredes de plancha metálica, cemento liso o madera cepillada. γ = 0,16 para paredes de ladrillo, madera sin cepillar γ = 0,046 para ustedes de mampostería MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 13
  • 14. γ = 0,85 para canales en tierra de superficie muy regular γ = 1,30 para canales en tierra ordinarios γ = 1,75 para canales en tierra muy rugosos, cubiertos con maleza y cantos rodados 5.4. Fórmula de Manning En el año de 1889 el Ingeniero Irlandés Robert Manning presentó una fórmula cuyo uso se ha extendido a casi todas las partes del mundo. Proviene de considerar en la fórmula de Chezy un coeficiente C igual a: 1/ 61 C R n = Como: V C RS= Entonces: 1/ 6 1/ 2 1/ 21 V R R S n = 2 / 3 1/ 21 V R S n = El caudal, mediante la fórmula de Manning es: 2 / 3 1/ 21 .Q AR S n = Donde: Q = Caudal o gasto, en m3 /S n = Coeficiente de rugosidad de la pared A = área hidráulica de la sección transversal en m2 R = radio medio hidráulico, en m S = pendiente del canal MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 14
  • 15. TABLA Nº 01 Valores Promedio del n de Manning y la rugosidad ε Material n , piesε , mε Asfalto Ladrillo Canal en concreto pulido Sin pulir Tubo de concreto Tierra buena condición Malezas y Piedras Tubo de Hierro fundido Hierro forjado Acero corrugado Remachado Madera cepillada 0,016 0,016 0,012 0,015 0,015 0,025 0,035 0,015 0,015 0,022 0,015 0,012 0,018 0,0012 0,0032 0,0080 0,0080 0,12 0,8 0,0051 0,0051 0,012 0,0012 0,0032 0,0054 0,0037 0,001 0,0024 0,0024 0,037 0,240 0,0016 0,0016 0,037 0,0037 0,001 5. Fórmula moderna en el Diseño de Canales Hasta ahora hemos considerado las fórmulas clásicas, que son aplicables a la zona del flujo rugoso; sin embargo trabajos más recientes desarrollados en la década de 1930 y basados en las experiencias de Darcy, puede utilizarse para cubrir la zona de flujo hidráulicamente liso y la zona de flujo en transición así como en la zona rugosa utilizando el diagrama de Moody o de fórmulas empíricas para el factor de fricción “f” Recordando que la fórmula general de la velocidad para el flujo uniforme es: 8 8 . . g g v R S RS f f = = (6.1) Como .Q V A= Entonces: 8g Q A RS f = (6.2) Que es la fórmula moderna para el diseño de canales o fórmula de Darcy por contener al factor de fricción “f” MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 15
  • 16. Donde: Q = Caudal, en m3 /S A = área hidráulica de la sección transversal, en m2 g = aceleración de la gravedad, en m/s2 f = factor de fricción (adimensional) R = radio medio hidráulico, en m S = pendiente del canal III. DISEÑO DE CANALES III.1. MÉTODO MODERNO Aplicando la Fórmula de Darcy El procedimiento consiste en calcular primero f. Luego determinamos la velocidad mediante la expresión (6.1): = 8 . . g V R S f Se calcula el número de Reynolds del flujo utilizando la expresión (2.3.1): ( ) ν = 4 e V R R Con este número de Reynolds Re y con la relación de rugosidad relativa ε ε=/ / 4D R , se calcula “f” con las fórmulas empíricas de Colebrook modificada. Si este f no coincide con el cálculo original, se continua con una segunda iteración, utilizando el f que se calculó. Se procede de esta forma hasta que se alcanza buena concordancia entre el f insertado y el calculado. Si desean utilizarse ecuaciones para calcular f, debe conocerse en que zona del flujo se está. Para flujo en tuberías existen los siguientes criterios que pueden aplicarse al flujo en canales. MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 16
  • 17. * . 4 : V ε ν < Zona de flujo hidráulicamente * 4 100 : V ε ν ≤ ≤ Zona de flujo de transición (6.3) * 100 : V ε ν > Zona de flujo rugoso Donde: V* = velocidad de corte = gRS ε = rugosidad promedio ν = viscosidad Cinemática del agua Conocida la zona de flujo, el coeficiente f puede determinarse por ecuaciones que son análogas a las presentadas para el flujo en tuberías. Allí tenemos que: Para la zona de flujo hidráulicamente liso podemos aplicar la fórmula de Blasius, si Re < 105 = 0,25 0,316 e f R (6.3) Si Re > 105 es recomendable la ecuación de Von Karman.   =      1 Re 2 2,51 f Log f (6.5) Para la zona de flujo de transición, puede utilizarse una modificación de a ecuación de Colebrook (4.5b) 1 30 2,16 2 Re Log Rf f ε  = − + ÷ ÷   (6.6) Finalmente en la zona de flujo rugoso donde ( )ε >>/ 30 / ReR f en la ecuación anterior, se tiene: MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 17
  • 18. ε  = −     1 2,16 log Rf (6,7) III.2. MÉTODO CLÁSICO Aplicando la fórmula de Manning El procedimiento consiste en agrupar en un solo miembro de la fórmula de Manning, los valores conocidos y en el otro las variables que estarán en fundón del tirante normal y cuyo valor podría determinarse a través de un proceso de tanteos o por otro método que se crea conveniente. Simbólicamente el procedimiento a seguir es el siguiente: De la fórmula de Manning, se tiene: = 2 / 3 1/ 21 Q AR S n Los valores conocidos para el diseño: Q, n, S y Z Los valores desconocidos son: A, R, Y, T y P. Luego agrupando los valores conocidos, tenemos: 2 / 3 1/ 2 Qn AR S = Como A y R son funciones del tirante “Y” Entonces: ( )/1/ 2 Qn f y S = El valor normal “Y” puede determinarse por tanteos MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 18
  • 19. EJEMPLOS E APLICACIÓN 1. A través de un canal rectangular de concreto pulido, fluye un caudal de 5 m3 /s de agua; a una temperatura de 20° C; el canal tiene una plantilla de 2m y una pendiente del 1,6 °/ºº Determine el tirante normal: a) Aplicando el método clásico b) Aplicando el método moderno Solución Aplicando el método clásico: De la fórmula de Manning se tiene: = 2 / 3 1/ 21 Q AR S n O bien: = 2 / 3 1/ 2 .Q n AR S (1) Donde: Q = 5m3 /s n = 0,012 S = 0,0016 MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 19 b Y Q = 5 m3 /s b = 2 m S = 1,6 °/ºº = 0,0016 T = 20 °C; υ = 1,007 x 10-6 m2 /s n = 0,012 ε = 0,001 m Y = ?
  • 20. A = by = 2y = = = = + + + 2 2 2 2 1 A by y y R P b y y y Sustituyendo valores en (1): ( ) γ γ   =   +  2 / 3 1/ 2 5 0,012 2 10,0016 x y ( ) = + 5 / 3 2 / 3 0,75 1 Y y Resolviendo por tanteos resulta: = 1,15Y m c) Aplicando el método moderno Asumimos f = 0,02 para determinar la velocidad V   = =     1/ 2 8Q g RS V A f ( ) ( ) 1/ 2 8 9,8 0,0016 15 2 0,02 y y y      +  =        (1) 3 0,9965 1 y y = + Resolviendo por tanteos, resulta: Y = 1,32 m = = 5 1,89 / 2 V m s y Determinamos eR /y E R ( ) ( ) ( ) 6 1,89 4 1,32/ 1 1,324 R 1,007 10 e V R xυ −  + = = MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 20
  • 21. = 6 4,271 10eR x ( ) 0,001 / 0,00176 1,32/ 1 1,32 Rε = = + Ahora corregimos el valor de f aplicando la ecuación modificada de Colebrook:   = − +     6 1 30 2,16 2 0,00176 4,271 10 0,02 Log f x = 0,0171f Calculamos el nuevo valor de “Y” En (1) ( ) ( ) ( )( ) + =      1/ 2 8 9,8 0,0016 / 15 2 0,0171 y y y + 3 Y 0,8520= 1 Y Resolviendo por tanteos: = 1,24Y m Verificamos el valor de f = = = 5 2,016 / 2 Q V m s A y ( ) ( ) ν = = + 4 2,016 4 1,24 /1 1,24e V R R x x = 6 4,433 10eR x ( ) 0,001 / 0,00181 1,24/ 1 1,24 Rε = = +   = − +    6 1 30 2,16 2 0,00181 4,433 10 0,0171 Log f x = 0,0172f MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 21
  • 22. Como este valor es muy próximo al f = 0,0171, entonces daremos por aceptado el valor de “Y” obtenido anteriormente es decir: = 1,24Y m Ahora determinamos a que zona pertenece el flujo; para ellos utilizaremos la expresión (6.3) ( ) ( ) ( )* 6 9,8 1,24/ 1 1,24 0,0016 0,001. 1,007 10 V gRS x ε ε υ υ −  +  = = * 92,5 100 V ε υ = < : Zona de flujo de transición Luego la fórmula de Manning no es aplicable en esta zona así mismo para este problema el tirante obtenido por el método clásico es un 7,25% menor con con respecto al método moderno. 2. Se desea construir un canal de concreto pulido y de sección trapezoidal con talud z = 1,5 para evacuar las aguas pluviales. El caudal de diseño es de 600 lps, la plantilla 0,8 m, la pendiente 1º/ºº y la temperatura del agua 20° C Determine el tirante normal: a) Aplicando el método clásico b) Aplicando el método moderno MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 22 b Q = 0,6 m3 /s b = 0,8 m; z = 1,5 S = 1 °/.. = 0,001 T = 20 °C; ν = 1,007 x 10-6 m2 /s n = 0,012 ε = 0,001 m Y = ? Y 1 z
  • 23. a) Aplicando el método clásico. De la fórmula de Manning, se tiene = 2 / 3 1/ 21 Q AR S n Ó bien: = 2 / 3 1/ 2 Qn AR S Donde: ( ) ( ) 3 0,6 / 0,012 0,001 0,8 1,5 Q m s n S A b zY Y Y Y = = = = + = + ( ) ( ) ( ) 1/ 2 2 0,8 1,5 0,8 3,62 1 b zY Y Y YA R P Yb Y z + + = = = ++ + Sustituyendo valores en (1): ( ) ( ) ( ) ( ) = + + +  2 / 3 1/ 2 0,6 0,012 0,8 1,5 0,8 1,5 / 0,8 3,6 0,001 x Y Y Y Y Y ( ) [ ] 5 / 3 2 / 3 0,8 1,5 0,2277 0,8 3,6 Y Y Y  + = + Resolviendo por tanteos resulta: = 0,40Y m b) Aplicando el Método Moderno Asumimos f = 0,02 para determinar la velocidad = = 8Q g V RS A f ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1/ 2 8 9,8 0,001 0,8 1,5 / 0,8 3,60,6 0,8 1,5 0,02 Y y y Y Y   + + =   +    (1) MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 23
  • 24. ( ) +  = + 3 0,8 1,5 0,0918 0,8 3,6 Y Y Y Resolviendo por tanteos, resulta: = 0,42Y m ( ) 0,6 1 / 0,42 0,8 1,5 0,42 Q V m s A x = = = + Determinamos /eR y Rε ( ) ( ) ( ) ( ) ν −  + + = = 6 1 4 0,8 1,5 0,42 0,42/ 0,8 3,6 0,424 1,007 10 e x xV R R x = 6 1,032 10eR x ( ) ( ) ( ) 0,001 / 0,42 0,8 1,5 0,42 / 0,8 3,6 0,42 R x x x ε = + / 0,00384Rε = Corregimos el Valor de f, aplicando la ecuación modificada de Colebrook 6 1 30 2,16 0,00384 1,032 10 0,02 Log f   = − + ÷ ÷+  0,0207f = Calculamos el nuevo valor de y En (1) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1/ 2 8 9,8 0,001 0,8 1,5 / 0,8 3,60,6 0,8 1,5 0,0207 y y Y Y   + + =   +    ( ) 3 0,8 1,5 0,0951 0,8 3,6 Y Y Y  + = + Resolviendo por tanteos = 0,42Y m MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 24
  • 25. Verificando el valor de f ( ) 0,6 1 / 0,42 0,8 1,5 0,42 Q V m s A x = = = + ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 1 4 0,8 1,5 0,42 0,42/ 0,8 3,6 0,424 1,007 10 e x xV R R xν −  + + = = = 6 1,032 10eR x ( ) ( ) 0,001 / 0,42 0,8 1,5 0,42 / 0,8 3,6 0,42 R x x x ε = + / 0,00384Rε = Aplicamos la ecuación modificada de Colebrook, para verificar f 6 1 30 2,16 0,00384 1,032 10 0,0207 Log f   = − +  +  0,0207f = Luego el tirante calculado y = 0,42 m es el correcto. Determinamos a que zona pertenece el flujo, y de acuerdo a la expresión (6.3) se tiene: ( ) ( ) ( ) ( )* 6 9,8 0,42 0,8 1,5 0,42 / 0,8 3,6 0,42 0,001. 1,007 10 x x xV x ε ν − + + = * 76,186 100 V ε ν = < : Zona de flujo de transición. En este caso la fórmula de Manning no es aplicable; así mismo para nuestro ejemplo, el tirante obtenido por el método clásico es un 4,76% menor con respecto al método moderno. MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 25
  • 26. 3. Para conducir 500 lps Se debe diseñar una alcantarilla con tubería de concreto y con una pendiente del 1°/ºº. Por seguridad el tirante debe ser el 90% de diámetro de la tubería y la temperatura del agua 20° C. Determine el tirante: a) Aplicando el método clásico b) Aplicando el método moderno Solución a) Aplicando el método clásico La ecuación de Manning, para hallar el caudal es: 2 / 3 1/ 21 .Q AR S n = = Ó bien: 2 / 3 1/ 2 .Q n AR S = (1) Donde: Q = 0,5 m3 /s n = 0,015 S = 0,001 Además para Y/D = 0,90 se obtiene: 2 2 0,7445 0,7445 A A D D = ⇒ = MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 26 Q = 0,5 m3 /s Y D =0,90 S = 0,001 n = 0,015 ε = 0,0024 m. Y = ?
  • 27. 0,2980 0,2980 R R D D = ⇒ = Sustituyendo valores en (1) ( ) ( )( ) 2 / 32 1/ 2 0,5 0,015 0,7445 0,2980 0,001 x D D= 8 / 3 0,2372 0,3322 D= ( ) 8 / 3 3 / 8 0,7140 0,7140 0,8813 0,88 D D D D m = = = = Luego el tirante es: 0,90 0,90 0,88 0,792 0,79 Y D Y x Y Y m = = = = b) Aplicando el método moderno: Asumimos f = 0,02 para luego determinar la velocidad V 8Q g V RS A f = = ( ) ( ) ( ) 2 8 9,8 0.001 0,29800,5 0,020,7445 D D = (1) 5 0,3861 0,8267 0,83 . D D D m = = = El tirante es: 0,90 0,90 0,83 0,747 0,75 Y D Y x Y Y m = = = = MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 27
  • 28. Entonces: ( ) 2 0,5 0,97 / 0,7445 0,83 A V m s Q = = = Determinemos R /e y E R ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 4 0,97 4 0,2980 0,83 1,007 10 e V R R v x − = = 6 0,953 10eR x= ( ) ( ) 0,0024 / 0,01074 0,2980 0,75 Rε = = Corregimos el valor de “f” aplicando la ecuación modificada de Colebrook 6 1 30 2,16 0,01074 0,953 10 0,02 Log f x   = − +     0,0270f = Calculamos el nuevo valor de “Y” En (1) ( ) ( ) ( ) 1/ 2 2 8 9,8 0,001 0,29800,5 0,02700,7445 D D   =     5 0,5212 D= 0,88 .D m= El tirante es: 0,90 0,88 0,79 Y x Y m = = Verificamos el valor de f: ( ) 2 0,5 0,87 / 0,7445 0,88 Q V m s A = = = MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 28
  • 29. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 4 0,87 4 0,2980 0,88 1,007 10 e V R R xν − = = 6 0,906 10eR x= ( ) ( ) 0,0024 / 0,00915 0,2980 0,88 Rε = = 6 1 30 2,16 2 0,00915 0,906 10 0,0270 Log f x   = − +     10,0259 intn nf f f nueva eraccion−= ⇒ ≠ ⇒ 0,783 0,02594y f= ⇒ = Luego el tirante calculado y = 0,79 m es el correcto, redondeado. ( ) ( ) ( )* 6 9,8 0,2980 0,88 0,001 0,0024 1,007 10 x xV x ε ν − = * 120,82 100 : V ε ν = > Zona de flujo rugosa. En este caso si es aplicable la fórmula de Manning y Vemos que por ambos métodos hemos obtenido el mismo tirante: y = 0,79 m. 4. ANÁLISIS COMPARATIVO DE RESULTADOS SECCIÓN CANAL TIRANTE NORMAL METROS ERROR (%) MANNING DARCY Rectangular 1,15 1,24 7,26 Trapezoide 0,40 0,42 4,76 Circular 0,79 0,79 0,00 Se puede notar que los errores del 7,26% y 4,76% son considerables y esto debido a que el flujo se encuentra dentro de la zona de transición; donde no es aplicable la fórmula de Manning, sin embargo en el tercer caso no se encontró error y esto se justifica puesto que para tal caso el flujo se encuentra en la zona rugosa, donde si es aplicable la fórmula Manning. MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 29
  • 30. IV. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES CONCLUSIONES 1. Cuando el flujo se encuentra en la zona rugosa, las desviaciones de los resultados obtenidos por los dos métodos Clásico y Moderno son coincidentes, sin embargo cuando el flujo se halla en otra región como la zona de transición, las desviaciones son mayores y esto se debe a que para tal caso la formula de Manning no es aplicable. 2. La fórmula de Darcy es aplicable para el diseño Moderno de Canales, ya que resuelve el problema en su forma general; puesto que considera las tres zonas del flujo turbulento: listo, transicional y rugoso. RECOMENDACIONES 1. Para el diseño de canales debe aplicarse la formula de Darcy además de tener en cuenta el factor de resistencia dinámico, también considera la zona donde está el flujo turbulento. 2. Difundir la fórmula de Darcy para el diseño de canales, tratando de esta manera que este proyecto de investigación sirva como elemento de ampliación de conocimientos de lo que tradicionalmente se enseña en la hidráulica de canales. MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 30
  • 31. REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS 1. AZEVEDO-ACOSTA. Manual de Hidráulica. 6ta. Ed. Editorial Harla-México. 1975. 578pp 2. BECERRIL, Enrique. Hidromecánica. Editorial Dossat, S.A. Madrid. España. 1960. 659pp. 3. BINDER C., Raymond. Mecánica de fluidos. 1era. Ed. Editorial Trillas. México 1978. 494pp 4. CACERES NEIRA, ALEJANDRO. Problemas de Hidráulica. Tomo 2. Universidad Nacional de Ingeniería. Lima-Perú. 392pp. 5. DALLY-HARLEMAN. Dinámica de los fluidos. Editorial Trillas. México. 1980. 512pp. 6. DOMÍNGUEZ S. FRANCISCO JAVIER. Hidráulica. 5ta. Ed. Editorial Universitaria. Chile 1978. 773pp. 7. FRENCH, RICHARD H. Hidráulica de Canales Abiertos. Editorial Mc. Graw-Hill. México. 1978. 724pp. 8. GILES, RANALDS V. Mecánica de los Fluidos e Hidráulica. Editorial Mc. Graw-Hill. New York. 260. 9. HANSEN. Fluid Mechanics. Editorial Wiley & Sons .Inc. USA. 1985. 575pp. 10. HUGHES, William. Dinámica de los fluidos. Editorial. Mc. Graw, Hill. New York. 260pp. 11. KING-BRATER. Manual de Hidráulica. 1era. Ed. Editorial UTEHA. México. 1981. 536pp. 12. KING-WISLER-WOODBURN. Hidráulica. 2da ed. Editorial Trillas. New York 1985. 354pp. 13. MATAIX P., Claudio. Mecánica de fluidos Maquinas Hidráulicas. 2da. Ed. Editorial Harla. México. 1986. 660pp. 14. NEKRASOV-FABRICANT-KECHERGUIN. Problema de Hidráulica. Editorial MIR. Moscú. 200pp MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 31
  • 32. 15. PIZARRO C., Humberto. Hidráulica. Parte 1ra. Publicación Nº. 47. Universidad Nacional Agraria “La Molina”. 1976. 392pp. 16. ROCA VILA, R. Introducción a la Mecánica de los Fluidos. 1ra. Edición.- 2da. Reimpresión. Editorial Limusa. México. 1987. 498pp. 17. RUBIO SAN JUAN, I. Elementos de Hidráulica General y aplicada con Motores Hidráulicos. 5ta. Edición.- 3ra. Reimpresión. Editorial Labor S.A. España. 1972. 631pp 18. SHAMES, Irwing. La Mecánica de los Fluídos. Editorial Mc. Graw. Hill. New York 1980. 592pp. 19. SOTELO AVILA, Gilberto. Hidráulica General. Volumen I. 1ra ed. 10ava. Reimpresión. Edit. Limusa. México 1989. 564pp. 20. STREETER, Víctor L, Mecánica de los Fluídos. Editorial Mc. Graw-Hill. Mexico 1975. 747pp. 21. TRUEBA CORONEL, Samuel. Hidráulica. 19ava. Impresión. Editor. C.E.C.S.A. MÉXICO 1981. 454PP. 22. VEN TE CHOW. Hidráulica de Canales Abiertos. 2da. Ed. 1983 633pp. 23. VILLÓN B., Máximo. Hidráulica de Canales. 2da. Editorial Horizonte Latinoamericano S.A. Lima-Perú. 1985. 376pp. MECÁNICA DE FLUIDOS II INGº CARLOS ADOLFO LOAYZA RIVAS 2006-II 32