EXPERIMENTOS CON               ´BURBUJAS DE JABON               Servicio Social de       Luis Eduardo Gonz´lez Gonz´lez   ...
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MODELOS CON POPOTES                                                              37Figura 4.12: Fabricaci´n del modelo usa...
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´APENDICE:Experiencia en el CCH    Una vez que se tuvieron los prototipos de las superficies y los caminos m´   ıni-mos, se...
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Bibliograf´          ıa[1] Boys, C.V. Soap Bubbles, their colors and forces which mold them, Dover    1959.[2] Bush, John,...
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Burbujas de jabón

  1. 1. EXPERIMENTOS CON ´BURBUJAS DE JABON Servicio Social de Luis Eduardo Gonz´lez Gonz´lez a a y Gerardo Mej´ Rodr´ ıa ıguezcon la asesor´ de Clara Eugenia Garza Hume ıa
  2. 2. ´PROLOGO Estas notas son el producto del Servicio Social de los alumnos Luis EduardoGonz´lez Gonz´lez y Gerardo Mej´ Rodr´ a a ıa ıguez de la carrera de F´ ısica en laFacultad de Ciencias de la UNAM bajo la asesor´ de Clara Eugenia Garza ıaHume del IIMAS, UNAM. El prop´sito de las notas es describir la fabricaci´n de modelos sencillos o oque permiten realizar experimentos interesantes que ayudan a comprender losproblemas de optimizaci´n utilizando pel´ o ıculas de jab´n. o Debido a la complejidad matem´tica que plantean los problemas de super- aficies y caminos m´ ınimos, es muy util pensar en explicarlos dise˜ ando pr´cticas ´ n a(cualitativas), es decir, hacer modelos muy descriptivos, l´gicos, sencillos, llama- otivos y con los que se pueda jugar. Esto facilita la explicaci´n de los principios ob´sicos. a El problema real consiste en dise˜ ar un experimento que funcione, sea muy ndemostrativo, divertido y que sea de f´cil elaboraci´n. Adem´s de que sea muy a o abarato, que los materiales sean reciclados o materias primas y que se pueda usarm´s de una vez. a Para cada caso (superficies m´ ınimas y caminos m´ ınimos) se dise˜ o un proto- n´tipo experimental que llena la mayor´ de las expectativas antes mencionadas, ıapensado principalmente para j´venes de prefacultad y personas que no tienen oestudios superiores en matem´ticas o f´ a ısica, pero antes de describir la elabora-ci´n de los mismos, queda claro que s´lo son una sugerencia para la elaboraci´n o o ode los experimentos. No son manuales. En general se recomienda la fabricaci´n de los s´lidos plat´nicos, es decir, o o oel cubo, el tetraedro, el octaedro y el icosaedro para el caso de la superficiesm´ ınimas, mientras que para caminos m´ ınimos se recomienda usar la imagina-ci´n o los pol´ o ıgonos regulares para colocaci´n de los v´rtices. N´tese que, entre o e om´s aristas o v´rtices contenga el modelo, se necesita de m´s trabajo, tiempo, a e acuidado y paciencia para su elaboraci´n. No obstante en general las pel´ o ıculasformadas por estos ultimos son las m´s espectaculares y llamativas. ´ a Los modelos pueden construirlos desde ni˜ os de aproximadamente 8 a˜ os n n(con supervisi´n de un adulto) pero en general el texto est´ dirigido a j´venes o a ode nivel medio superior con el fin de fomentar el inter´s por la ciencia. e Se considera que son de inter´s tanto para matem´ticos y f´ e a ısicos como paraingenieros, arquitectos, profesores, personas interesadas en artes pl´sticas etc. a 1
  3. 3. 2 El cap´ıtulo 1 contiene las explicaciones m´s t´cnicas pero su lectura no es a enecesaria para la realizaci´n de los experimentos. o El cap´ıtulo 2 detalla la fabricaci´n de modelos para visualizar caminos m´ o ıni-mos. Estos son los modelos m´s complicados. a El cap´ıtulo 3 describe c´mo hacer y observar burbujas en el plano. o El cap´ ıtulo 4 describe la fabricaci´n de modelos que permiten visualizar oproblemas de minimizaci´n en el espacio. o La lectura del Ap´ndice se recomienda a los profesores. e Se agradece el apoyo t´cnico de Ramiro Ch´vez y Ana P´rez Arteaga. Se e a eagradece la cooperaci´n de Jos´ Luis Rangel Lozada y de Catalina Stern. o e
  4. 4. CONTENIDO ´PROLOGO. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1Cap´ ıtulo 1. LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS DE JABON ´ 1.1 La f´ ısica de las burbujas: Tensi´n superficial. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 o 1.2 Agua con jab´n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 o 1.3 Las matem´ticas de las burbujas: a superficies m´ınimas (Leyes de Plateau). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Mezclas adecuadas para los experimentos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.5 Fotograf´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 ıa ıtulo 2: UNA DIMENSION: CAMINOS M´Cap´ ´ INIMOS 2.1 T´cnica experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 eCap´ ´ ıtulo 3. DOS DIMENSIONES: CUMULOS PLANOS 3.1 T´cnica experimental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 e 3.2 Panales de abejas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ıtulo 4. TRES DIMENSIONES: PEL´Cap´ ICULAS EN EL ESPACIO 4.1 Una burbujas, muchas burbujas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31 4.2 Fabricaci´n de modelos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 o 4.3 Modelos con popotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 4.4 Problema de Kelvin (botella con burbujas) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40 ´APENDICE: Experiencia en el CCH . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3
  5. 5. 4
  6. 6. Cap´ ıtulo 1LA CIENCIA DE LASBURBUJAS Antes de entrar en el fascinante mundo de las burbujas, es necesario conocerun poco m´s sobre el agua, ya que es lo primero que necesitamos si queremos aentender las burbujas.1.1. LA F´ ISICA DE LAS BURBUJAS El agua es una mol´cula polar que est´ formada por dos vol´menes de e a uhidr´geno y uno de ox´ o ıgeno. Polar significa que un lado de la mol´cula es positivo ey el otro negativo. Figura 1.1: Mol´cula de agua e Las propiedades del agua pueden dividirse en dos tipos: propiedades f´ ısicasy propiedades qu´ ımicas. 5
  7. 7. 6 LA CIENCIA DE LAS BURBUJASPROPIEDADES F´ ISICAS El agua es un l´ ıquido incoloro, inodoro e ins´ ıpido. A presi´n atmosf´rica, o ees decir a 760 mm de mercurio, el punto de fusi´n del agua pura es de 0o C y oel punto de ebullici´n es de 100o C; cristaliza en forma hexagonal, llam´ndose o anieve o hielo. Se expande al congelarse entre los 0 y los -4o cent´ ıgrados, es deciraumenta de volumen, de ah´ que la densidad del hielo sea menor que la del agua ıy por ello el hielo flote en el agua l´ ıquida. El agua alcanza su densidad m´xima aa una temperatura de 4o C, que es de 1g/cm3 ([7]). Su capacidad calor´ ıfica es superior a la de cualquier otro l´ıquido o s´lido, osiendo su calor espec´ ıfico de 1 cal/g, esto significa que una masa de agua pue-de absorber o desprender grandes cantidades de calor, experimentando apenascambios de temperatura, lo que tiene gran influencia en el clima. Sus caloreslatentes de vaporizaci´n y de fusi´n son 540 y 80 cal/g respectivamente. o o N´tese que el agua es la unica sustancia que a temperaturas normales puede o ´encontrarse en los tres estados de agregaci´n de la materia: s´lido, l´ o o ıquido ygaseoso.PROPIEDADES QU´ IMICAS El agua es el compuesto qu´ ımico m´s familiar para nosotros, el m´s abun- a adante y el de mayor importancia para nuestra vida. Una raz´n, desde el punto ode vista qu´ ımico, es que casi la totalidad de los procesos qu´ ımicos se realizancon sustancias disueltas en agua. No posee propiedades ´cidas ni b´sicas, combina con ciertas sales para formar a ahidratos, reacciona con los ´xidos de metales formando ´cidos y act´ a como o a ucatalizador en muchas reacciones qu´ ımicas. La mol´cula de agua libre y aislada, formada por un ´tomo de ox´ e a ıgeno unidoa otros dos ´tomos de Hidr´geno es triangular. En estado gaseoso el ´ngulo a o aformado por los enlaces (H-O-H) es de 104,5o y la distancia de enlace O-H es de0,96 ˚. Puede considerarse que el enlace en la mol´cula es covalente, con una A ecierta participaci´n del enlace i´nico debido a la diferencia de electronegatividad o oentre los ´tomos que la forman. a1.2. ´ AGUA CON JABON Una mezcla para hacer burbujas est´ constituida por mol´culas de detergente a ey de agua. Cada mol´cula de jab´n est´ formada de una sal met´lica y una larga e o a acadena de mol´culas acidas y est´ ionizada en soluci´n. Por ejemplo, en el caso e ´ a odel estereato de sodio, los iones de sodio tienen una carga positiva y est´n adispersos a tr´ves de la soluci´n, los iones cargados negativamente est´n cerca a o ade la superficie.
  8. 8. ´AGUA CON JABON 7 ´TENSION SUPERFICIAL Resulta que la tensi´n superficial del agua disminuye al mezclarla con de- otergente. Esta propiedad es la que permite limpiar mejor la ropa, porque aldisminuir la tensi´n superficial del agua, ´sta penetra mejor en las fibras de las o etelas y los qu´ımicos que contienen esos detergentes act´ an para sacar la mugre ude ellas y as´ limpiar la ropa. ı Adem´s, dado que un extremo del detergente es hidrof´ a ılico y el otro hidrof´bi- oco se forma una estructura de bi-capa que permite la formaci´n de burbujas. o Figura 1.2: Agua con jab´n o Como sabemos, el agua est´ hecha de mol´culas. Los polos opuestos de estas a epart´ıculas microsc´picas se atraen unas con otras con fuerzas que dependen de ola distancia entre ellas. Cuanto m´s cerca est´n dos mol´culas ser´ mayor. La a e e afuerza de atracci´n entre diferentes clases de ´tomos es llamada adhesi´n y entre o a oa´tomos de la misma clase es llamada cohesi´n. o Aunque las fuerzas de atracci´n entre dos mol´culas son extremadamente o epeque˜ as, la atracci´n combinada de miles de millones de mol´culas contenidas n o een una peque˜ a porci´n de materia es sorprendentemente grande. n o Las mol´culas que componen un fluido pueden estar en el interior o en la esuperficie; las que est´n en el interior del l´ a ıquido experimentan fuerzas en todaslas direcciones debido a que est´n rodeadas por otras mol´culas y por lo tanto a esu fuerza resultante es cero. En la superficie del l´ ıquido, las mol´culas s´lo e oexperimentan fuerzas debido a sus vecinas m´s pr´ximas y fuerzas debidas a las a o
  9. 9. 8 LA CIENCIA DE LAS BURBUJASmol´culas del aire, como la densidad del aire es mucho menor que la densidad del efluido en general, luego entonces podemos decir que las mol´culas en la superficie eest´n atra´ a ıdas parcialmente hacia el interior del fluido. Esta atracci´n parcial ohacia el interior del fluido hace que se forme una especie de membrana. A esteefecto se le llama tensi´n superficial y tiende a reducir el area de la superficie. o ´Gracias a este fen´meno, es que las gotas de agua y las burbujas son esf´ricas. o e Figura 1.3: Tensi´n superficial o Otro fen´meno debido a la tensi´n superficial, es que los insectos puedan o omoverse en la superficie del agua sin hundirse ([2]) o que no se hunda una agujao un clip (v´ase la figura (1.4).) e Tambi´n la capilaridad se debe a la tensi´n superficial. Consiste b´sicamente e o aen la elevaci´n de un fluido a tr´ves de tubos de peque˜ os di´metros, llamados o a n atubos capilares. Antes de continuar con las burbujas revisemos un poco m´s acerca de la capi- alaridad. El agua sube por los tubos capilares debido a que la fuerza de adhesi´n odel vidrio con el agua es mayor que la fuerza de cohesi´n en el agua. Como se ohabr´ ya notado, la tensi´n superficial es una consecuencia de la cohesi´n, la a o ocual evita que el agua vuelva descender. El agua seguir´ ascendiendo hasta que ala tensi´n superficial se equilibre con el peso del l´ o ıquido que suba por el tubo. La altura a la que subir´ el agua en un tubo capilar se obtiene con la siguiente aecuaci´n o 2σ h= . Rρg
  10. 10. LAS MATEMATICAS DE LAS BURBUJAS: SUPERFICIES M´ ´ INIMAS 9 Figura 1.4: Aguja en la superficie del agua Aqu´ σ es la tensi´n superficial, R es el radio de la secci´n del tubo, ρ es ı o ola densidad del fluido y g es la aceleraci´n debida a la gravedad. La tensi´n o osuperficial es la que regula parcialmente el ascenso de la savia dentro de losa´rboles.1.3. ´ LAS MATEMATICAS DE LAS BURBUJAS: SUPERFICIES M´ INIMAS Pueden hacerse los experimentos de los cap´ ıtulos 2, 3 y 4 antes de leer estasecci´n. o Una pel´ ıcula de jab´n consiste en dos superficies separadas por una delgada ocapa de fluido, cuyo ancho puede variar de 2,5×105 ˚a 50 ˚. En la pel´ A A ıcula cadasuperficie est´ compuesta de iones de jab´n separados por mol´culas de agua. a o eEl ancho de la pel´ ıcula decrece hasta alcanzar un tama˜ o final de equilibrio. nCada una de las superficies tiene una tensi´n superficial asociada. o En t´rminos matem´ticos la tensi´n superficial se define como la fuerza de e a ocontracci´n a lo largo de una l´ o ınea de longitud unitaria, siendo perpendiculareslas direcciones de la fuerza y de la l´ınea y estando ambas en la superficie dell´ ıquido. Si F es la fuerza m´xima y l es la longitud unitaria, la tensi´n superficial a oσ, se obtiene con
  11. 11. 10 ´ LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS DE JABON Figura 1.5: Capilaridad Figura 1.6: Estrutura de bi-capa en agua con jab´n o F σ= . 2lEl factor dos se agrega debido al hecho ya mencionado de que las pel´ıculas dejab´n est´n formadas por dos capas. o a Dentro de las burbujas hay aire a presi´n. Podemos relacionar la presi´n o ointerna de la burbuja con su radio y la tensi´n de la pel´ o ıcula por medio de la
  12. 12. LAS MATEMATICAS DE LAS BURBUJAS: SUPERFICIES M´ ´ INIMAS 11ecuacion de Laplace-Young σ P = . 2R La forma esf´rica de las burbujas se debe a que siguen el principio de m´ e ınimaenerg´ y la energ´ es proporcional a la superficie. Dado un volumen fijo, la ıa ıafigura geom´trica con menor superficie es la esfera. e1.3.1. LEYES DE PLATEAU Antes de leer esta secci´n se recomienda dar una revisi´n minuciosa a las o ofotograf´ o mejor a´ n, que ya se hayan hecho algunos de los modelos que se ıas, udescriben en cap´ ıtulos posteriores. Esto ultimo es muy importante porque de ´esta manera se evita estar prejuiciado con los resultados que se obtienen. Los resultados que a continuaci´n se muestran son experimentales, es decir oque surgieron de la observaci´n y descripci´n de experimentos como los que se o opueden hacer con los modelos que se describen en este trabajo. El que describi´ estas tres leyes fue Joseph Plateau hace como 100 a˜ os y o nencontr´ entre sus experimentos tres condiciones geom´tricas que cumplen las o epel´ıculas de jab´n. o Para encontrar la primera basta tomar cualquier modelo de caminos m´ ınimosy mirarlo por uno de los costados. Se observa que son pel´ ıculas las que formanel recorrido entre los v´rtices que se fijaron en el modelo. e Ahora si vemos los v´rtices formados por la pel´ e ıcula de jab´n, todos sin oexcepci´n alguna est´n formados por tres l´ o a ıneas. Primera ley: “Tres superficies de jab´n se intersectan a lo largo de una l´ o ınea. El ´ngulo formado por los planos tangenciales a dos superficies que se a intersectan, en cualquier punto a lo largo de la l´ ınea de intersecci´n de las o tres superficies, es de 120o ”. Segunda ley: “ Cuatro de las l´ ıneas, todas formadas por la intersecci´n de tres o superficies, se intersectan en un punto y el ´ngulo formado por cada par a de ellas es de 109o 28’”. Tercera ley: “Una pel´ıcula de jab´n que puede moverse libremente sobre una o superficie la intersecta en un ´ngulo de 90o ”. a La Primera y Segunda ley se pueden observar en cualquiera de los modelosde superficies m´ ınimas. La Primera y Tercera ley se observan claramente en losmodelos de caminos m´ ınimos. Cabe destacar que si encuentra que alguna de esta leyes no parece cumplirse,basta perturbar (pegar o soplar) al modelo para que caiga en cualquiera de estassituaciones. Eso se debe a que lo que est´ mirando no es un punto m´ a ınimo, esdecir estable, sino que m´s bien es meta estable y cualquier perturbaci´n lleva a oa un estado m´s estable. a
  13. 13. 12 ´ LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS DE JABON1.3.2. ´ ECUACION DE EULER-LAGRANGE Si no quiere ver ecuaciones puede pasar a la secci´n 1.4. o Las burbujas y pel´ ıculas de jab´n minimizan ´rea. La rama de las matem´ti- o a acas que trata los problemas de minimizaci´n es el C´lculo de Variaciones. Mi- o animizar ´rea es equivalente a resolver una ecuaci´n diferencial parcial asociada, a ola ecuaci´n de Euler-Lagrange. o Muchas veces resolver matem´ticamente un problema es muy dif´ los pro- a ıcil;blemas en los que se quieren m´ximos o m´ a ınimos son irresolubles y algunasveces hasta incomprensibles. Aun cuando ya se tiene entendido el problemay una ecuaci´n que lo modele, no siempre se sabe si tiene soluci´n; algunas o oveces se pueden hacer aproximaciones o se encuentran soluciones particularespara problemas muy espec´ ıficos. A veces existen soluciones que no se observanf´ ısicamente. Las burbujas y pel´ ıculas de jab´n que se muestran en las fotograf´ o se o ıasobservan en los modelos son las superficies m´ ınimas que se obtienen en cadacaso y aunque no conozcamos c´mo se resuelven matem´ticamente s´ conocemos o a ılas soluciones porque las podemos ver y manipular. Cada caso corresponde a minimizar la energ´ de la pel´ ıa ıcula de jab´n. Lo oque los diferencia son las condiciones a los que est´n sometidos, por ejemplo asi la pel´ ıcula de jab´n no hace contacto con nada se hace una burbuja esf´rica o ecomo las que todos hemos visto. Sin embargo la pel´ ıcula cambia de forma sientra en contacto con otra burbuja, parece un mu˜ eco de nieve o si cae sobre nuna superficie mojada se queda s´lo la mitad. o Lagrange formul´ una teor´ matem´tica para resolver los problemas de o ıa amec´nica cl´sica (es decir, la que formul´ Newton) con la cual a partir de una a a orelaci´n entre la energ´ en reposo y la energ´ en movimiento de los objetos o ıa ıapodemos conocer la din´mica de los cuerpos. a Para encontrar los m´ ınimos en la energ´ de Lagrange y de hecho en la ıaenerg´ en general, se busca minimizar otra cosa que se llama la acci´n que es ıa oalgo as´ como la suma de las energ´ en cada punto. Encontrar estos m´ ı ıas ınimoses equivalente a resolver una ecuaci´n diferencial de la energ´ o ıa. A esta ecuaci´n se le conoce como la ecuaci´n de Euler-Lagrange y var´ mu- o o ıacho dependiendo del tipo de problema; puede resultar muy sencilla o totalmenteirresoluble. Para las pel´ ıculas de jab´n, la ecuaci´n de Euler-Lagrange es en general una o oecuaci´n diferencial parcial no lineal. Si la superficie est´ dada por z = f (x, y) y o aH es la curvatura media de la superficie, la condici´n para tener una superficie om´ ınima es 2 2 1 + fy fxx − 2fx fy fxy + 1 + fy fyy H= 3 , 2 2 2 1 + fx + fy 2donde los sub´ ındices denotan derivadas parciales, es decir, ∂f ∂2f fx = , fxx = . ∂x ∂x2
  14. 14. LAS MATEMATICAS DE LAS BURBUJAS: SUPERFICIES M´ ´ INIMAS 131.3.3. ´ ECUACION DE YOUNG-LAPLACE Para el caso de una burbuja de jab´n ya conocemos la relaci´n entre la o opresi´n P en la burbuja y la tensi´n superficial σ; para el caso de tener dos o oburbujas unidas de tama˜ os diferentes, se puede calcular la curvatura de la npel´ ıcula que se forma entre ellas. Pero adem´s se puede conocer la presi´n que a oexiste sobre esta superficie. 1 1 P =σ + . R1 R2Aqu´ R1 y R2 son los radios principales de curvatura sobre la superficie. Entonces ıpara la curvatura media tenemos la siguiente relaci´no 1 1 1 H= + . 2 R1 R2 Con esto podemos escribir ahora la ecuaci´n de Young-Laplace en la forma ode la ecuaci´n de Euler-Lagrange. o 2 2 P 1 + fy fxx − 2fx fy fxy + 1 + fy fyy = 3 . σ 1 + f2 + f2 2 x y De esta manera adem´s podemos ver que la ecuaci´n de Young-Laplace no a os´lo describe el caso de las burbujas, sino que tambi´n sirve para el caso de gotas o e(ya sea que est´n sobre una superficie o que provengan de un tubo), chorros de eagua por ejemplo y el fen´meno de la capilaridad. o Obviamente esta ecuaci´n cambia si cambiamos la geometr´ y se puede o ıavolver m´s sencilla pero esto depende del problema al que nos enfrentemos. a1.4. MEZCLAS ADECUADAS PARA LOS EX- PERIMENTOS Hasta ahora se ha estudiado la caracterizaci´n de la tensi´n superficial de o olas mezclas de jab´n y del agua; el siguiente paso es saber cu´les son las mezclas o aque mejor funcionan para hacer burbujas. La primera de la f´rmulas que cualquier persona conoce para hacer burbujas oes la de detergente diluido en agua; se puede usar tanto detergente l´ıquido pararopa como jab´n para trastes. Se recomienda Vel Rosita o Dawn amarillo. o Estas mezclas s´lo funcionan para hacer burbujas de tama˜o relativamente o npeque˜ o y de poca duraci´n, pero sirven bien para las pel´ n o ıculas que se formanen los modelos de los caminos y superficies m´ ınimas. El secreto para aumentar la duraci´n es agregarles una sustancia que reduzca ola evaporaci´n, que por lo regular es glicerina. As´ pues, la primera mezcla que o ıse propone es: -1 taza de agua.
  15. 15. 14 ´ LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS DE JABON -1 taza de glicerina. -1 taza de Vel Rosita. Utilizando esta mezcla obtenemos burbujas que duran bastante. La desven-taja de usar esta f´rmula es que la glicerina debe ser pura para que la mezcla ofuncione bien. Si queremos obtener burbujas de gran di´metro la f´rmula a utilizar es: a o -2 tazas de agua -1 taza de Vel Rosita. -Media taza de agua con linaza. El agua con linaza utilizada en este caso debe tener una concentraci´n de 3 ocucharadas soperas diluidas en tres cuartos de litro de agua, la mezcla se ponea hervir durante unos quince minutos y se mezcla con el Vel Rosita cuando elagua con linaza est´ a´ n tibia. e u Si las mezclas se dejan reposar durante veinticuatro horas funcionan mejor.Los factores ambientales, tales como la humedad y la temperatura influyen enla duraci´n de las burbujas; a mayor humedad duran m´s las burbujas ya que o ahay menos evaporaci´n. o1.5. FOTOGRAF´ IA En realidad las fotograf´ que fueron tomadas para este trabajo se lograron ıasusando tipos de c´maras e iluminaciones distintas para buscar el mejor resultado aposible para cada tipo de foto. Por ejemplo, en las fotograf´ gu´ para la construcci´n de los modelos la ıas ıa odefinici´n no es muy importante, sin embargo, en el caso de las burbujas es muy oimportante no s´lo la definici´n sino adem´s la calidad en color, ya que de esto o o adepende que se distingan las pel´ ıculas de jab´n y qu´ tan vistosos son los reflejos o eque se forman sobre ellas. Para tomar algunas fotograf´ como en el caso de los catenoides, se tomaron ıas,videos con una c´mara handycam de 8mm con zoom ´ptico (es decir que no se a ous´ el zoom digital que tienen este tipo de videoc´maras), e iluminaci´n blanca o a o(como la que producen los llamados focos ahorradores). Una vez que ya se contaba con los videos, tomados a 24 cuadros por segundo,se digitalizaron a videos con el tama˜ o (en p´ n ıxeles) de la pantalla de televisi´n o(normal, no de alta definici´n) a 30 cuadros por segundo, y se tomaron algunos ocuadros, que son las fotograf´ıas. En otro caso se tomaron directamente fotograf´ con la luz natural o con ıasfocos incandescentes y con una c´mara fotogr´fica digital. El unico cuidado que a a ´se tuvo en este caso fue que tiempo de apertura del obturador fuera el m´s corto aque la c´mara permitiera tener. a Otra forma en la que se tomaron algunas im´genes consisti´ en conectar a ouna videoc´mara directamente a un ordenador y en tiempo real tomar algunos acuadros. Cabe mencionar que para todas las fotos se us´ una iluminaci´n que estu- o oviera en la parte posterior a la c´mara, tratando de evitar sombras y reflejos a
  16. 16. LAS MATEMATICAS DE LAS BURBUJAS: SUPERFICIES M´ ´ INIMAS 15que afectaran la visibilidad de las fotos. Se recomienda que si desean tomaralgunas fotograf´ no se busquen cosas demasiado elaboradas; en general las ıascosas espont´neas resultan mejor. a
  17. 17. 16 ´ LA CIENCIA DE LAS BURBUJAS DE JABON
  18. 18. Cap´ ıtulo 2 ´UNA DIMENSION:CAMINOS M´ INIMOS2.1. ´ TECNICA EXPERIMENTAL Un modelo sencillo para caminos m´ ınimos consiste en colocar v´rtices sobre euna botella, con lo que adem´s se demuestra que los principios b´sicos no de- a apenden de la geometr´ Para hacerlos, con una aguja, alfiler o trozo de alambre ıa.caliente (esto facilita la perforaci´n) se agujera una botella de pl´stico (de PET, o acomo las de refresco). Cabe aclarar que la botella tiene que ser transparente o no se va a observarnada, tiene que ser grande y previamente se le debieron cortar ambos extremos. Una vez agujerada se hace pasar hilo a trav´s de los agujeros, de tal manera eque pasen de un lado a otro de la botella, formando una serie de columnasparalelas que comienzan en un lado y terminan al otro (v´ase la figura 2.1.) e Si el hilo est´ muy cerca de las orillas, las pel´ a ıculas se forman entre la botellay los hilos. A las trayectorias marcadas sobre la superficie de la botella se lesllama geod´sicas. Para observar de mejor manera las geod´sicas se coloca un e esolo hilo que atraviese la botella. Un problema com´ n con este modelo sucede cuando se forma la pel´ u ıcula dejab´n en el hilo hacia ambos lados, esto va a alterar la superficie por lo que es orecomendable romper uno de los lados. Adem´s se puede formar una pel´ a ıcula dejab´n dentro de la botella, que la cubra totalmente pero s´lo tiene que romperse. o o Ahora se va a describir la elaboraci´n del prototipo que dise˜ amos para o nvisualizar caminos m´ ınimos en el plano. Se presenta el proceso de fabricaci´n ode un hex´gono regular. a Cabe aclarar que el procedimiento no es tan f´cil como el de las superfi- acies y que hasta cierto punto puede ser peligroso debido a que se trabaja confuego por lo que no recomendamos estos modelos para ni˜ os muy peque˜ os ni n npiromaniacos. 17
  19. 19. 18 UNA DIMENSION: CAMINOS M´ ´ INIMOS Figura 2.1: Modelo para observar geod´sicas e Se puede empezar por los experimentos m´s sencillos de los cap´ a ıtulos 3 y 4. Los materiales a usar se enumeran en la siguiente lista: 1. Cajas de CD, es muy importante que las tapas o al menos una sean trans- parentes, que no tengan hoyos o rebabas, que no sean opacas, que no tengan residuos pegados o incrustados y sobre que no est´n rotas ni es- e trelladas sobre las caras. (Se puede usar cualquier otro trozo de acr´ ılico delgado de aproximadamente 10cm por 10cm.) 2. Hilo; puede usarse cualquier hilo grueso como por ejemplo hilo de ca˜ amo n o hilo de nylon para pesca. 3. Remaches. Esto es opcional ya que es con estos con los que se le da es- tabilidad al sistema, aunque tambi´n pueden ser substituidos por alguna e otra cosa por ejemplo trozos de goma. Tenemos que recordar que en este caso lo que nos interesa es mostrar caminosm´ınimos, por lo que se piensa en dibujar figuras planas, entonces para escogerla cantidad de v´rtices y la disposici´n de estos, debemos tener claro que entre e om´s v´rtices m´s agujeros se tienen que hacer y es m´s trabajo. a e a a Por otro lado, debemos de utilizar la mayor ´rea posible sobre las tapas y ano amontonarlos en un solo lugar, esto nos facilitar´ el trabajo, adem´s de que a alos fen´menos son m´s notorios y que se eliminan los efectos de frontera. o a Para este caso, como ya se hab´ mencionado anteriormente, se escogi´ la ıa oelaboraci´n de un hex´gono regular. Ahora bien, lo primero que se tiene que ha- o acer es separar las tapas de las caja de CD. Esto puede variar mucho dependiendodel tipo de caja en este caso explicamos como separar las cajas m´s comunes. a
  20. 20. ´TECNICA EXPERIMENTAL 19 Figura 2.2: Caja de CD Primero se quita la tapa superior; esto se hace s´lo abriendo la caja y jalando olas patas que la unen a la caja, luego se le quitan los papeles que tenga (si esque trae), esto no debe tener ning´ n problema. u Despu´s a la parte de abajo, se le tiene que quitar la base del disco, para ehacerlo tenemos que girarla hacia el lado que tiene el margen de la tapa superior
  21. 21. 20 UNA DIMENSION: CAMINOS M´ ´ INIMOSy con ayuda de una u˜ a, desarmador o navaja, separar una de las esquinas nintroduci´ndolo y girando, para que se bote la uni´n. e o Esto se hace en la otra esquina y se jala con cuidado para botar la base deldisco, (esta ultima se puede desechar), lo siguiente es colocar las tapas contra-puestas, es decir, juntar las caras externas como si se dieran la espalda. Es necesario que una vez as´ las tapas ya no se muevan una respecto a la ıotra; para ello podemos usar pinzas para colgar ropa. Si es necesario con muchocuidado se puede romper algunos de los bordes laterales tratando de no romperlas caras de las tapas. Una vez fijo vamos a marcar con un plum´n los v´rtices sobre una de las o ecaras, la cual va a ser la base del modelo (de preferencia ser´ la que este m´s a amaltratada o sea de color). Otra manera de marcarlos es hacer los puntos sobre un papel y colocar elpapel entre las dos tapas. Es util en el caso de los pol´ ´ ıgonos regulares o si sequiere tener m´s control sobre la disposici´n de los puntos. a o Lo siguiente es perforar las tapas. El tama˜ o de la perforaci´n debe ser n oaproximadamente igual al grosor del hilo. Se recomienda que para agujerar seusen, objetos con distintos di´metros progresivamente de menor a mayor, esto afacilitara la perforaci´n y evitar´ que se rompan las tapas. o a Ahora bien para perforar, con mucho cuidado se calienta una aguja direc-tamente sobre una flama un par de minutos; si el tiempo de calentamiento esmuy corto puede suceder que la aguja se quede atorada, y al momento de querersacarla rompamos las tapas, por eso es recomendable usar guantes o unas pinzasy dejar que la aguja se caliente lo suficiente. Con la aguja caliente se perforan las tapas justo donde se marcaron losv´rtices, esto se logra s´lo recargando la aguja sobre estas y se repite con todos e o
  22. 22. ´TECNICA EXPERIMENTAL 21los v´rtices. Una vez que ya se perforaron todos se cambia la aguja por algo de un edi´metro m´s grande (un clip desdoblado por ejemplo), y se perfora nuevamente a asobre los hoyos. Esto se repite hasta que se tenga el tama˜ o deseado. n Tambi´n se puede utilizar un taladro. e Cabe aclarar que se tienen que perforar ambas tapas, es decir que se debede atravesar de un lado a otro cuando se perfore. Cuando los agujeros est´n elistos, con un remache caliente, sobre la base se perforan las esquinas, pero nose deben de atravesar las dos tapas, una tapa debe de quedar perforada y la
  23. 23. 22 UNA DIMENSION: CAMINOS M´ ´ INIMOSotra s´lo quedar marcada. Esto ultimo es optativo y sirve para marcar el lugar o ´donde ir´n los remaches. a Figura 2.3: Remache en la tapa Ya hecho lo anterior lo siguiente es separar las tapas; que como ya se habr´n adado cuenta quedaron pegadas, esto se tiene que realizar con mucho cuidado,porque de lo contrario se pueden romper. Para separarlas s´lo tenemos que jalar- o
  24. 24. ´TECNICA EXPERIMENTAL 23las muy despacio en direcciones opuestas, si se hace bien comenzar´ a “crujir”; aesto significa que se est´n despegando. a Cabe se˜ alar que no importa si se estrellan, siempre y cuando no se rompan. nYa separadas se deben de eliminar todas las rebabas que le queden a los hoyos,esto se logra rasp´ndolas con un exacto. a Finalmente si se accedi´ al uso, los remaches se incrustan sobre la base de otal manera que la parte larga quede del lado de la superficie que nos interesa.Para hacerlo se calienta por un corto tiempo la parte “gorda”del remache y seintroduce sobre los hoyos en las esquinas (marcados anteriormente), una vezadentro se mete en agua para enfriarlo y as´ el remache quede fijo sobre la tapa. ı Figura 2.4: Remache en la tapa Si se cae no importa, se puede pegar con alg´ n pegamento si se desea. Si no, use le pueden quitar los remaches, esto sirve para guardar en un menor espaciolos modelos, cuando se quieran volver a usar solo se colocan nuevamente. Para finalizar, cuando los remaches est´n colocados en su lugar, sobre ellos ese pone la otra tapa, en la misma posici´n con la que se perfor´, buscando que o olas marcas coincidan con las cabezas de los remaches. Se hace pasar el hilo de manera que atraviese por las dos tapas justo porlos agujeros que est´n sobre la misma vertical. Un solo hilo es necesario y para aamarrar se hace un nudo en un extremo y se jala del otro, buscando que quedelo m´s tenso que sea posible. Se hace un nudo y con esto se termina el modelo. a Si se prefiere no usar los remaches una vez separadas las tapas y elimina-das las rebabas, se hace pasar el hilo pero al momento de tensar se colocanlos substitutos del remache en las esquinas (en nuestro caso fueron gomas), osimplemente, no se tensa y se deja hilo para que se puedan separar una pulgada
  25. 25. 24 UNA DIMENSION: CAMINOS M´ ´ INIMOS Figura 2.5: Remache Figura 2.6: Colocaci´n del hilo olas tapas. Si se deja menos hilo es posible que los efectos de frontera sean muynotorios y no se forme lo esperado. Si se forman pel´ ıculas entre los v´rtices y los remaches s´lo se tienen que e oromper.
  26. 26. ´TECNICA EXPERIMENTAL 25 Figura 2.7: Modelo terminado Si se desea un modelo m´s firme se pueden usar tornillos en vez de hilo y afijarlos con dos tuercas en cada cara. Al sumergir los modelos terminados en agua con jab´n observe cuidadosa- omente si se cumplen las leyes de Plateau.
  27. 27. 26 ´ DOS DIMENSIONES: CUMULOS PLANOS
  28. 28. Cap´ ıtulo 3DOS DIMENSIONES: ´CUMULOS PLANOS3.1. ´ TECNICA EXPERIMENTAL La forma m´s sencilla de observar c´ mulos planos es hacer muchas burbujas a usobre un acetato mojado. Lo que se ve sobre el acetato es un c´ mulo plano. Por uejemplo, si se pone una burbuja sobre un acetato, la curva que se dibuja en ´ste ees un c´ırculo. Este es el equivalente bidimensional de la esfera. Si se ponen dos burbujas se observa la figura 3.1. Figura 3.1: Burbuja doble en el plano 27
  29. 29. 28 ´ DOS DIMENSIONES: CUMULOS PLANOS Observe bien la curva que separa las dos burbujas. ¿Por qu´ se curva como elo hace? Agregue m´s burbujas y observe c´mo se comportan. En particular observe a oque se cumplen las Leyes de Plateau. Figura 3.2: Burbujas sobre el agua Si se quieren hacer burbujas del mismo tama˜ o se puede utilizar una jeringa n-sin aguja- (primero se jala el ´mbolo y luego se toca la soluci´n de jab´n con e o ola punta). Tambien se puede utilizar una “pera”para beb´. e Es interesante observar lo que sucede al llenar con burbujas recipientes dedistintas formas, por ejemplo el redondo de la figura (3.3) o el esf´rico de la efigura (3.4). Figura 3.3: Burbujas en un traste redondo
  30. 30. ´TECNICA EXPERIMENTAL 29 Figura 3.4:3.2. PANALES DE ABEJAS Cuando hay muchas burbujas juntas del mismo tama˜ o el problema que tiene nque resolver es: c´mo subdividir el plano en ´reas iguales con per´ o a ımetro m´ ınimo.Si las abejas fueran bidimensionales tendr´ que resolver este mismo problema ıanal construir sus panales. La soluci´n que han encontrado es la siguiente: o Figura 3.5: Panal de abejas En el plano los hex´gonos proporcionan la configuraci´n ´ptima. Esto fue a o odemostrado apenas en el a˜ o 2000 por Hales ([3]). n
  31. 31. 30 ´ DOS DIMENSIONES: CUMULOS PLANOS
  32. 32. Cap´ ıtulo 4TRES DIMENSIONES:PEL´ ICULAS EN ELESPACIO En este cap´ ıtulo estudiaremos superficies m´ ınimas en el espacio.4.1. UNA BURBUJA, MUCHAS BURBUJAS Una burbuja sola es siempre esf´rica. En el cap´ e ıtulo 1 se vio la raz´n. o Figura 4.1: Una burbuja 31
  33. 33. 32 PEL´ ICULAS EN EL ESPACIO ¿Y si hay varias burbujas unidas? Para observar qu´ sucede en este caso se epuede usar un aro m´ ltiple o coladera grande. u Figura 4.2: C´ mulo de burbujas u Esto entre otras cosas sirve para observar los v´rtices y las l´ e ıneas que losunen, ya que estos son los que se busca reproducir con los modelos que sedescriben posteriormente. Observe que se cumplen las leyes de Plateau.4.2. ´ FABRICACION DE MODELOS La muestra m´s sencilla de las superficies m´ a ınimas despu´s de las burbujas e(formadas por soplarle al aro que ha sido sumergido en agua con jab´n) y oque se puede dejar est´tico, es formar el catenoide verticalmente con pel´ a ıculas,es decir, la forma que toma el jab´n cuando se introduce un aro (entre m´s o aredondo mejor) al jab´n y se lo retira despacio horizontalmente, si el aro es lo osuficientemente grande, a simple vista se observa que se forma un “barrilito”dejab´n, que comienza en el agua y termina en el aro. o Esto es m´s espectacular si se toman dos aros (no necesariamente del mismo atama˜ o y forma) se juntan y se meten al jab´n, al sacarlos se puede o no, romper n ola pel´ ıcula formada dentro de cada aro (esto es importante porque pasan cosasdiferentes en cada caso). Cuando se separan con cuidado, se forma nuevamente el barril (con cintur´n osi no se rompi´ la pel´ o ıcula dentro del aro y sin cintur´n en el caso contrario) o
  34. 34. ´FABRICACION DE MODELOS 33que comienza a deformarse en cuanto se muevan los aros. Tambi´n se pueden eusar m´s aros si as´ se desea pero se necesitan una mayor cantidad de manos a ıpara jugar con ellos. Las siguientes cuatro fotograf´ muestran lo que sucede con un catenoide ıascuando se incrementa la separaci´n entre los aros. Despu´s de la ruptura la o epel´ ıcula se divide en dos discos. Figura 4.3: Catenoide Figura 4.4: Catenoide m´s delgado a El siguiente caso y por mucho el m´s creativo y espectacular, consiste en aformar curvas cerradas usando un trozo de cable o alambre. El resultado es m´s ainteresante si la curva no est´ contenida en un plano. a
  35. 35. 34 PEL´ ICULAS EN EL ESPACIO Figura 4.5: Catenoide. Justo antes de la rupturaFigura 4.6: Despu´s de la ruptura. Hay dos discos sobre los aros y una burbujita einexplicable Existen otros modelos sencillos de realizar y que son muy intuitivos; paraestos se recomienda ver las fotograf´ y jugar con los materiales disponibles. Por ıasejemplo con hilo y alambre o popotes, se pueden hacer superficies deformables,superficies con hoyos, etc. Ahora bien, si se piensa en modelos m´s complicados, o mejor dicho, en adise˜ os en que los principios b´sicos sean mas claros y se tenga un mayor control, n aentonces se encuentra con que los prismas regulares y los s´lidos plat´nicos son o o
  36. 36. ´FABRICACION DE MODELOS 35 Figura 4.7: Modelo de alambre Figura 4.8: Desde otro ´ngulo aFigura 4.9: Otro modelo de alambre Figura 4.10: Desde otro ´ngulo a Figura 4.11: Nudo de alambre
  37. 37. 36 BURBUJAS EN EL ESPACIOuna excelente opci´n. o Esto se debe, por una parte a que son los s´lidos m´s sencillos y por otra, a o aque las superficies formadas muestran claramente la formaci´n de los ´ngulos y o ala uni´n entre pel´ o ıculas. Y si no son muy r´ ıgidos o muy bien elaborados, podemos deformar la geo-metr´ f´cilmente y demostrar que las Leyes de Plateau no dependen de ´sta, o ıa a eencontrar algunos problemas de frontera que tambi´n son importantes de men- ecionar.4.3. MODELOS CON POPOTES Para la elaboraci´n de estos prototipos se necesitan los siguientes materiales: o 1. Popotes para caf´; es importante que sean popotes para caf´ y no popotes e e convencionales porque son m´s duros y no se deforman, esto es impor- a tante porque con estos se forman las aristas, el problema con los popotes convencionales es que se rompen y se doblan con mucha facilidad y si no son firmes pues sencillamente la figura se deshace. 2. Hilo; casi cualquier hilo funciona pero se recomienda hilo grueso (por ejem- plo de nylon para pesca o de c´namo) porque entre m´s grueso es el hilo a˜ a m´s estable queda la figura y m´s resistente es; cabe aclarar que es muy a a imporartante que el hilo pueda pasar sin problema dentro del popote varias veces. 3. Plasti-loka o un equivalente; esto es opcional, es decir, si se necesita o quiere que los modelos sean r´ ıgidos y no se muevan o duren mucho tiempo es recomendable usarla, pero si se quiere que los modelos se doblen se deformen o se puedan desarmar es mejor no. Lo primero que se hace es escoger una figura, en este caso se escogi´ el otetraedro. Una vez con la figura elegida se junta el n´ mero de popotes que se unecesite, es decir, el n´ mero de aristas que la figura tenga- en este caso seis. u Ahora bien cabe aclarar que si la figura tiene muchas caras o caras muy gran-des, es mejor recortar los popotes ya que si la figura es muy grande se necesitade mucho jab´n y una tarja lo bastante grande para que quepan las figuras. Para ocortar los popotes se recomienda usar un “cutter”sobre una base r´ ıgida aunquecon unas tijeras se puede tambi´n; en este caso tampoco se necesit´ cortar los e opopotes. Para formar la figura, se hace pasar el hilo por un popote, luego por otro,luego por otro y as´ sucesivamente buscando que los popotes formen las caras ıde la figura (en este caso son tri´ngulos), esto se ve m´s claro en la siguiente a afigura: Para esto existen dos t´cnicas: e La primera consiste en formar una cara y cortar el hilo e ir formando carassobre ella e ir cortando el hilo, esto es muy bueno si la figura tiene muchas caras,las caras tienen muchos lados o se tienen varios tipos de caras.
  38. 38. MODELOS CON POPOTES 37Figura 4.12: Fabricaci´n del modelo usando popotes para caf´ y usando un solo o ehilo La otra t´cnica es no cortar el hilo y formar con uno solo todas las caras, esto eno es f´cil y pero s´ muy divertido, sobre todo si se tiene mucha imaginaci´n. a ı o En ambos casos es muy recomendable que en los v´rtices, todo popote eest´ unido, por lo menos con un hilo, con todos los dem´s popotes en el v´rtice, e a ees decir que no quede alg´ n popote flojo o volando. u
  39. 39. 38 BURBUJAS EN EL ESPACIO Figura 4.13: Figura con popotes hecha sin cortar el hilo Cabe mencionar que es muy importante que las caras y los modelos engeneral est´n muy bien apretados, es decir, que los hilos est´n muy justos y los e enudos bien amarrados; esto es porque, entre mejor apretada est´ la figura es em´s estable, no se deforma tanto y es m´s f´cil pegar. a a a Figura 4.14: Hilos muy flojos
  40. 40. MODELOS CON POPOTES 39 Figura 4.15: Hilos bien apretados Figura 4.16: Modelo terminado con plasti-loka En estos momentos el modelo debe de estar ya terminado y se puede jugarcon ´l tranquilamente; claro que si se tienen muchas caras este proceso puede eser muy largo, pero no es complicado. Ahora bien, lo siguiente consiste en pegarel modelo; como ya se dijo esto es opcional. Primero hay que asegurarse de que el modelo ya este bien amarrado y quelos nudos no sean muy grandes. Tambi´n hay que cortar todos los hilos que sobren a excepci´n de uno, el e ocual servir´ para sostener la figura. a
  41. 41. 40 BURBUJAS EN EL ESPACIO Debe tenerse en cuenta que la plasti-loka tarda mucho tiempo en secarse porlo que, si el modelo tiene muchas caras, se recomienda inflar un globo dentro de´l, de tal manera que ajuste el tama˜ o del globo al volumen de la figura; estoe nsirve para dejarla fija y facilita el colgarla. Para pegar lo unico que debe hacerse es cortar peque˜ as bolitas de Plasti- ´ nloka y pegarlas por la parte exterior en las esquinas, teniendo cuidado en nomanchar por dentro de los v´rtices ya que esto podr´ arruinar el trabajo. Una e ıavez seco, se pincha el globo (si se us´). o4.4. EL PROBLEMA DE KELVIN Si se quiere llenar un plano con figuras geom´tricas iguales de per´ e ımetrom´ ınimo, la respuesta es que estas figuras deber´n ser hex´gonos. Los hex´gonos a a ano s´lo minimizan el ´rea, si no que adem´s, los ´ngulos que forman entre o a a as´ respetan las leyes de Plateau. ı En tres dimensiones no es obvio cu´l estructura ordenada tendr´ la min´ a ıa ımaenergia (m´ ınima ´rea). El problema de Kelvin consiste en lo siguiente: se tiene aun volumen V y se desea llenar con figuras de volumen igual de tal formaque la superficie total S sea m´ ınima. ¿Qu´ figura(s) debe(n) usarse?, es decir, e¿qu´ arreglo de celdas de igual volumen llenando un espacio tienen superficie em´ ınima? Para que el arreglo sea estable es necesario que se cumplan las leyesde Plateu. Como se puede ver, el problema de Kelvin es un problema variacional, unproblema de minimizaci´n y las t´cnicas matem´ticas que hasta ahora se cono- o e acen no le han dado una soluci´n anal´ o ıtica. Es decir, es un problema abierto. Lord Kelvin conjetur´ en 1887 que la soluci´n ten´ que ser un octaedro o o ıatruncado llamado tetrakaidecahedro. Muchos a˜ os despu´s, en 1993, Weaire y Phelan encontraron otra partici´n, n e ousando dos tipos de celdas de igual volumen, que mejora la partici´n de Kelvin. o Pero el problema sigue abierto. El problema de Kelvin se puede visualizar usando burbujas de jab´n. Si otomamos una botella grande de pl´stico y la llenamos de burbujas puede ana- alizarse la configuraci´n que adquieren. Las celdas cumplen las leyes de Plateau opero no puede concluirse mucho m´s. a Para llenar de burbujas una botella es necesario hacer una peque˜ a perfora- nci´n en el fondo de ´sta y luego sumergir la boca de la botella en un traste que o econtenga agua con jab´n y soplar con un popote flexible que tenga un extremo odentro de la botella (v´anse las figuras (4.17), (4.18), (4.19).) e Observe cuidadosamente los ´ngulos y los tipos de poliedros que se forman aen el interior de la botella. Pueden encontrarse m´s detalles en la literatura sobre espumas, por ejemplo a([8]).
  42. 42. MODELOS CON POPOTES 41 Figura 4.17: Figura 4.18:
  43. 43. 42 BURBUJAS EN EL ESPACIO Figura 4.19: Figura 4.20: Botella con burbujas
  44. 44. ´APENDICE:Experiencia en el CCH Una vez que se tuvieron los prototipos de las superficies y los caminos m´ ıni-mos, se quer´ ver si los estudiantes de nivel medio superior hacia los que va ıadirigido este trabajo los podi´n construir, es decir si los pod´ fabricar ellos a ıanmismos con ciertas intrucciones como las que se han mencionado; para estose realiz´ una prueba con los j´venes del Colegio de Ciencias y Humanidades o oplantel n´ mero 3 Azcapotzalco. El grupo fue el del profesor Jos´ Luis Rangel u eLozada, que constaba de 25 estudiantes. El tiempo que dur´ esta pr´ctica fue o aseis horas, de las cuales dos horas se les dio un poco de teor´ y las otras cuatro ıase dedicaron a hacer las figuras. Para llevar a cabo el objetivo, se formaron 5 equipos y cada uno de estoseligi´ un s´lido geom´trico, que pod´ ser un cubo, una pir´mide de base trian- o o e ıa agular, una pir´mide de base cuadrada, un prisma de base triangular y un prisma ade base hexagonal; adem´s tambi´n eligieron una figura geom´trica plana, que a e epod´ ser un tri´ngulo, un cuadrado, un hex´gono, un pent´gono. Los prime- ıa a a aros prototipos que armaron fueron los de superficies m´ ınimas, o sea los s´lidos ogeom´tricos, con el hilo y los popotes para caf´; en este caso se tuvieron varios e eproblemas, ya que cuando se les indic´ que por los popotes hicieran pasar el hilo opara formar la figura y que al mismo tiempo utilizaran la m´ ınima cantidad dehilo, hubo estudiantes quienes por ejemplo, pasaron el hilo por los popotes, perosin formar su figura, es decir pasaron el hilo sobre todos los popotes de formacontinua sin hacer quiebres en las esquinas; un equipo no entendi´ que los lados ode su figura ten´ que estar constituidos por un solo popote, e intent´ hacer ıan olos lados con dos popotes de longitud, lo cual no fue una buena idea, ya que lafigura que se obtiene es muy inestable y demasiado grande para que se puedaintroducir en una mezcla para hacer burbujas; por otra parte tambi´n se tuvo eque tener cuidado de no colocar demasiada plasti-loka en las esquinas para queno se tuvieran problemas en las fronteras. As´ pues se deben tener en cuenta las siguientes consideraciones: ı -El hilo tiene que pasar por todos los popotes, pero no importa el n´ mero ude veces que pase por alguno de ellos. -La mayor estabilidad se obtiene al tener s´lo un popote como arista. o Hay que mencionar que no vieron ning´ n prototipo armado antes de empe- u 43
  45. 45. 44 BURBUJAS EN EL ESPACIOzar, as´ pues, hubiera sido m´s prudente mostrarles un prototipo antes de que ı acomenzaran a armar los suyos. Una vez que todos los equipos terminaron sus prototipos, los metimos en unamezcla de agua con shampoo Caprice y se obtuvieron las geometr´ mostradas ıasen las siguientes figuras. V´anse adem´s las pel´ e a ıculas anexas. Figura 4.21: Helicoide Despu´s se dedicaron a hacer figuras para observar caminos m´ e ınimos. Antesque nada se les advirti´ que no se quer´ piromaniacos y que tuvieran mucho o ıancuidado con el fuego que se utiliza para perforar las cajas de cd. Se tuvieronlos siguientes problemas: los estudiantes se quemaron con los remaches, porquelos ten´ que calentar para perforar las cajas de cd, algunos quebraron las ıantapas cuando las estaban perforando, o cuando estaban retirando los residuosde pl´stico despu´s de haberlas perforado. a e Despu´s de que terminaron de fabricar sus modelos, los metieron en la solu- eci´n, y observaron las figuras que se formaban para cada caso. o Lo que sigui´ despu´s de sus aventuras con burbujas, fue ver qu´ hab´ o e e ıanentendido y qu´ no, adem´s de que era deseable conocer sus puntos de vista e aacerca de los modelos, as´ que se les dio un peque˜ o cuestionario. ı n La primera pregunta hacia los estudiantes fue si se divirtieron o no con losmodelos, la respuesta en todos los casos fue que si, incluso hubo respuestasque aseguraban que esta actividad fue m´s divertida que la clase normal de af´ ısica. Esto nos puede mostrar que la ciencia se puede apreciar m´s de forma aexperimental, ya que los estudiantes interact´ an con los fen´menos de forma u odirecta, adem´s de que se divierten. a La siguiente pregunta fue acerca de cu´l de los modelos les gust´ m´s, aqu´ las a o a ı
  46. 46. MODELOS CON POPOTES 45 Figura 4.22: Prisma triangular Figura 4.23: Prisma triangularrespuestas ya no fueron tan homog´neas como en la pregunta anterior, ya que a ealgunos les gustaron m´s los modelos de superficies m´ a ınimas, a otros los de losde caminos m´ ınimos. La siguiente pregunta fue si los modelos eran sencillos de hacer o no; esta
  47. 47. 46 BURBUJAS EN EL ESPACIO Figura 4.24: Prisma hexagonal Figura 4.25: Prisma hexagonales la pregunta importante, ya que como dijimos nuestro prop´sito era el de ver oqu´ tanto se les dificultaba construir los modelos. La respuesta fue que eran esencillos, aunque hubo personas que nos hicieron notar que entre m´s aristas atuviera el s´lido, o m´s lados la figura geom´trica plana la construcci´n se vuelve o a e o
  48. 48. MODELOS CON POPOTES 47 Figura 4.26: Burbuja en formaci´n oun poco m´s complicada, entonces es recomendable que se tome cierta habili- adad en construir s´lidos y pol´ o ıgonos de pocos lados antes de intentar construirfiguras de muchos lados. Sin embargo a los estudiantes del Colegio de Cienciasy Humanidades se les hizo f´cil en general. a La siguiente pregunta era acerca de cuales de los modelos se les hizo m´s adif´ construir, dos terceras partes del grupo constest´ que el de los caminos ıcil om´ınimos, mientras que la otra tercera parte contest´ que los prototipos de las su- operficies m´ ınimas, de donde se puede ver que se les dificult´ m´s la construcci´n o a ode su figura plana; el gran problema aqu´ fue la perforaci´n de las cajas. ı o La siguiente pregunta fue que nos dieran algunas sugerencias para mejorarla forma de construcci´n de los prototipos; en este caso las respuestas fueron: o -Reducir las dimensiones de las figuras. -Pasar m´s hilo por los popotes para el caso de las superficies m´ a ınimas. -Utilizar tapas m´s resistentes, para que no se rompan cuando se perforan, apero que no fueran tan dif´ıciles de perforar. -Cambiar el modo de perforaci´n, sin utilizar fuego. o -Utilizar popotes con di´metros m´s grandes. a a -Hacer un video sobre la construccion para poder mostrar c´mo se fabrican olos modelos. Entonces se puede observar que los estudiantes de nivel medio superior s´ son ıcapaces de construir los modelos, con ciertas indicaciones. Con base en el cuestionario nos pudimos percatar de que a la mayor´ de los ıaestudiantes no les gustan las ciencias. Esto basado en nuestro ultimo conjunto ´de preguntas:
  49. 49. 48 BURBUJAS EN EL ESPACIO a)¿Te agradan las ciencias, las matem´ticas y la tecnolog´ a ıa? La respuesta a esta pregunta pregunta fue afirmativa para 19 personas, mien-tras que s´lo 2 dijeron que no. o b)Si te dijera que la ciencia es as´ ¿Considerar´ estudiar una carrera cien- ı, ıastifica? Aqu´ 8 personas dijeron que si, 8 que tal vez y 5 que no. ı c)¿Qu´ carrera piensas estudiar? e 3 personas desean estudiar alguna ingenier´ 5 licenciatura en area de cien- ıa,cias sociales, 4 en el ´rea m´dico-biol´gicas, 1 en artes, 5 personas que no saben a e oa´ n qu´ van a estudiar y s´lo tres personas que piensan estudiar alguna carrera u e ocient´ ıfica.
  50. 50. Bibliograf´ ıa[1] Boys, C.V. Soap Bubbles, their colors and forces which mold them, Dover 1959.[2] Bush, John, http://www-math.mit.edu/ bush/[3] Hales, T., Cannonballs and. Honeycombs NOTICES OF THE AMS, 47, No. 4. pp440-449, 2000. www.ams.org/notices/200004/fea-hales.pdf[4] Isenberg, C., The Science of soap films and soap bubbles, Dover 1992.[5] Morgan, F., Geometric measure theory, Academic Press, 3a edici´n 2000. o[6] Oprea, J., The Mathematics of soap films: Explorations with Maple, AMS, Student Mathematical Library Vol. 10, 2000.[7] Stewart, Ian, What shape is a snowflake, W.H. Freeman and Company, New York 2001.[8] Weaire, D., Hutzler,S. The physics of foams University of Oxford, 1999. 49

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