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CÁLCULO I
P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L
Ciclo I
Semestre 2020 - I
Docente: Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
27/04/2020 El Matemático de la web 2
LA
DERIVADA
𝒇´ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦
𝒉→𝟎
𝒇 𝒙 𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙 𝟎
𝒉
EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I
27/04/2020 El Matemático de la web 3
Tangentes y la derivada en un punto
Para determinar una tangente a una curva arbitraria, 𝑦 = 𝑓(𝑥 en
el punto 𝑃 = 𝑥0, 𝑓(𝑥0 . Calculamos la pendiente de la secante
que pasa por P y un punto cercano 𝑄 𝑥0 + ℎ, 𝑓(𝑥0 + ℎ . Luego
investigamos el límite de la pendiente cuando ℎ → 0 (ver figura)
Si el límite existe, le llamamos la pendiente de la curva en P y
definimos la tangente en P como la recta que pasa por P y que
tiene tal pendiente.
Determinación de una tangente a la gráfica de una función
DEFINICION: La pendiente de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥 en el punto
𝑃 = 𝑥0, 𝑓(𝑥0 es el número
lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0
ℎ
(Siempre que el límite exista). La recta tangente (o simplemente
la tangente) a la curva en P es la recta que pasa por P y tiene dicha
pendiente.
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27/04/2020 El Matemático de la web 4
La Derivada
La derivada como una función: En la sección anterior
definimos la derivada de, 𝑦 = 𝑓(𝑥 en el punto 𝑥 = 𝑥0
como el límite
lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0
ℎ
, ℎ ≠ 0
siempre que este límite exista.
Ahora estudiaremos la derivada como una función
deducida a partir de f; para ello, consideremos el límite
en cada punto x en el dominio de f.
Definición: La derivada de la función f ´(x) con respecto
a la variable x es la función f´ cuyo valor en x es
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0
ℎ
, ℎ ≠ 0
siempre que el límite exista.
Fórmula alternativa de la derivada
𝑓´ 𝑥 = lim
𝑧→𝑥
𝑓 𝑧 − 𝑓(𝑥
𝑧 − 𝑥
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27/04/2020 El Matemático de la web 5
b) La pendiente de 𝑦 = 1/𝑥 en el punto donde 𝑥 = 𝑎 es
−
1
𝑎2. Será igual a −1/4, siempre que
−
1
𝑎2
= −
1
4
Tal ecuación es equivalente a 𝑎2
= 4, así que 𝑎 =
2 𝑜 𝑎 = −2. La curva tiene pendiente -1/4 en los dos
puntos (2, 1/2) y (-2, -1/2).
c) La pendiente −
1
𝑎2 siempre es negativa si 𝑎 ≠ 0.
Cuando 𝑎 → 0+
, la pendiente tiende 𝑎 − ∞ y la tangente
se hace cada vez más inclinada ver figura. Tal situación se
presenta de nuevo cuando 𝑎 → 0−. Cuando a se aleja del
origen, en cualquier dirección, la pendiente tiende a 0 y la
tangente tiende a volverse horizontal.
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27/04/2020 El Matemático de la web 6
a) Determine la pendiente de la curva 𝑦 =
1
𝑥
en cualquier
punto 𝑥 = 0 ≠ 𝑎. ¿Cuál es la pendiente en el punto 𝑥 − 1?
b) ¿En dónde la pendiente es igual a −
1
4
?
c) ¿Qué pasa con la tangente a la curva en el punto (𝑎, 1/𝑎
cuando a cambia?
Solución
Ejemplo 01:
a) Aquí 𝑓 (𝑥 = 1/x. La pendiente en (𝑎, 1/𝑎 es
lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0
ℎ
= lim
ℎ→0
1
𝑎+ℎ
−
1
𝑎
ℎ
= lim
ℎ→0
1
ℎ
𝑎−(𝑎+ℎ
𝑎(𝑎+ℎ
=
lim
ℎ→0
−ℎ
ℎ𝑎(𝑎+ℎ
= lim
ℎ→0
−1
𝑎(𝑎+ℎ
lim
ℎ→0
𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0
ℎ
=
−1
𝑎2
Observe: que a puede ser positivo o negativo ver
figura.
EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I
27/04/2020 El Matemático de la web 7
Cálculo de derivadas a partir de la definición
Ejemplo 02: Derive
𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑥 − 1
Solución
Utilizamos la definición de derivada, la cual requiere calcular 𝑓(𝑥 + ℎ y luego restar 𝑓(𝑥 para obtener el numerador en el
cociente de diferencias. Tenemos
𝑓 𝑥 =
𝑥
𝑥 − 1
𝑦 𝑓 𝑥 =
𝑥 + ℎ
𝑥 + ℎ − 1
,
Por lo que
f´ x = lim
h→0
f x + h − f(x
h
definición
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
𝑥 + ℎ
𝑥 + ℎ − 1
−
𝑥
𝑥 − 1
ℎ
= 𝑙𝑖𝑚
ℎ→0
1
ℎ
∙
𝑥 + ℎ 𝑥 − 1 − (𝑥 + ℎ − 1
(𝑥 + ℎ − 1 (𝑥 − 1
= lim
ℎ→0
1
ℎ
∙
−ℎ
(𝑥 + ℎ − 1 (𝑥 − 1
= lim
ℎ→0
−1
(𝑥 + ℎ − 1 (𝑥 − 1
= lim
ℎ→0
−1
(𝑥 − 1 2
=
−1
(𝑥 − 1 2
.
EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I
27/04/2020 El Matemático de la web 8
Ejemplo 03:
a) Determine la derivada de 𝑓 𝑥 = 𝑥 para 𝑥 > 0.
b) Determine la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑥 en 𝑥 = 4.
Solución
a) Utilizamos la fórmula alternativa para calcular f ´:
𝑓´ 𝑥 = lim
𝑧→𝑥
𝑓 𝑧 − 𝑓(𝑥
𝑧 − 𝑥
= lim
𝑧→𝑥
𝑧 − 𝑥
𝑧 − 𝑥
= lim
𝑧→𝑥
( 𝑧 − 𝑥 ( 𝑧 + 𝑥
(𝑧 − 𝑥 ( 𝑧 + 𝑥
= lim
𝑧→𝑥
(𝑧 − 𝑥
(𝑧 − 𝑥 ( 𝑧 + 𝑥
= lim
𝑧→𝑥
1
( 𝑧 + 𝑥
= lim
𝑧→𝑥
1
𝑥 + 𝑥
= lim
𝑧→𝑥
1
2 𝑥
=
1
2 𝑥
b) La pendiente de la curva en x=4 es
𝑓´ 4 =
1
2 4
=
1
4
.
La tangente es la recta que pasa por el punto
(4, 2) con pendiente 1/4.Notaciones
𝑓´ 𝑥 = 𝑦´ =
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 = 𝐷 𝑓 𝑥 = 𝐷 𝑥 𝑓 𝑥 .
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27/04/2020 El Matemático de la web 9
Derivabilidad en un intervalo; derivadas laterales
Una función, 𝑦 = 𝑓(𝑥 es derivable en un intervalo abierto (finito o
infinito) si tiene derivada en cada punto del intervalo. Es derivable en
un intervalo cerrado 𝒂, 𝒃 si es derivable en el interior (a, b), y si los
límites
lim
ℎ→0+
𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎
ℎ
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑒𝑛 𝑎
lim
ℎ→0−
𝑓 𝑏 + ℎ − 𝑓(𝑏
ℎ
𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑎
existen en los extremos.
Las derivadas por la derecha y por la izquierda pueden definirse en
cualquier punto del dominio de una función. Se dice que una función
tiene derivada en un punto si y sólo si ahí tiene derivadas por la
izquierda y por la derecha, y tales derivadas laterales son iguales.
EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I
27/04/2020 El Matemático de la web 10
Ejemplo 04: Demuestre que la función 𝑦 = 𝑥 es derivable en −∞; 0 𝑦 0; +∞ , pero no tiene derivada en 𝑥 = 0.
Prueba
La derivada de 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 es la pendiente m. Así, a la
derecha del origen,
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 = 1 ∙ 𝑥 = 1.
𝑑
𝑑𝑥
𝑚𝑥 + 𝑏 = 𝑚,
𝑥 = 𝑥
A la izquierda del origen,
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 =
𝑑
𝑑𝑥
−𝑥 = −1 ∙ 𝑥 = −1. 𝑥 = −𝑥
No hay derivada en el origen, ya que las derivadas
laterales son diferentes ahí:
Derivada por la derecha de 𝑥 en cero
lim
ℎ→0+
0 + ℎ − 0
ℎ
= lim
ℎ→0+
ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0+
ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0+
1
= 1 ℎ = ℎ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ℎ > 0
Derivada por la izquierda de 𝑥 en cero
lim
ℎ→0−
0 + ℎ − 0
ℎ
= lim
ℎ→0−
ℎ
ℎ
= lim
ℎ→0−
−ℎ
ℎ
=
lim
ℎ→0−
− 1 = −1 ℎ = −ℎ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ℎ < 0
EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I
27/04/2020 El Matemático de la web 11
Teorema 01: Derivabilidad
implica continuidad Si 𝒇 tiene
derivada en 𝒙 = 𝒄, entonces 𝒇 es
continua en 𝒙 = 𝒄.
Prueba
Dado que f ´(c) existe, debemos mostrar que lim
𝑥→𝑐
𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 , o de forma
equivalente, el siguiente lim
𝑥→0
𝑓 𝑐 + ℎ = 𝑓 𝑐 , 𝑠𝑖 ℎ ≠ 0, entonces 𝑓 𝑐 + ℎ =
𝑓 𝑐 + (𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐
= 𝑓 𝑐 +
𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐
ℎ
∙ ℎ
Ahora tomamos el límite cuando ℎ → 0.
lim
ℎ→0
𝑓 𝑐 + ℎ = lim
ℎ→0
𝑓 𝑐 + lim
ℎ→0
𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐
ℎ
∙ lim
ℎ→ℎ
ℎ
= 𝑓 𝑐 + 𝑓´ 𝑐 ∙ 0 = 𝑓 0 + 0
= 𝑓(𝑐
El teorema 01 indica que si una función tiene una discontinuidad en un punto
(por ejemplo, una discontinuidad de salto), entonces no puede ser derivable
ahí. El recíproco del teorema es falso.
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27/04/2020 El Matemático de la web 12
Reglas de derivación
Derivada de una función constante Si f tiene el valor
constante 𝑓(𝑥 = 𝑐, entonces
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑐 = 0
Prueba
Aplicamos la definición de la derivada de 𝑓 (𝑥 = 𝑐, la
función cuyos valores de salida tienen el valor constante c
(figura). En cada valor de x, encontramos que
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑐 − 𝑐
ℎ
= lim
ℎ→0
0 = 0.
EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I
27/04/2020 El Matemático de la web 13
Regla de la potencia para enteros positivos:
Si n es un entero positivo, entonces
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛−1.
Prueba
De la regla para potencias enteras positivas La fórmula
𝑧 𝑛
− 𝑥 𝑛
= (𝑧 − 𝑥 (𝑧 𝑛−1
+ 𝑧 𝑛−2
𝑥+ . . . +𝑧𝑥 𝑛−2
+ 𝑥 𝑛−1
puede verificarse si se hace la multiplicación del lado derecho. Luego, de acuerdo con la fórmula alternativa
para la definición de la derivada,
𝑓´ 𝑥 = lim
𝑧→𝑥
𝑓 𝑧 − 𝑓 𝑥
𝑧 − 𝑥
= lim
𝑧→𝑥
𝑧 𝑛 − 𝑥 𝑛
𝑧 − 𝑥
= lim
𝑧→𝑥
𝑧 𝑛−1 + 𝑧 𝑛−2 𝑥+ . . . +𝑧𝑥 𝑛−2 + 𝑥 𝑛−1 𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠
𝑓´ 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑛−1
.
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27/04/2020 El Matemático de la web 14
Regla de la potencia (versión general)
Si n es cualquier número real, entonces
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 𝑛
= 𝑛𝑥 𝑛−1
para toda x donde las potencias 𝑥 𝑛
y 𝑥 𝑛−1
estén definidas.
Regla de la derivada de un múltiplo constante
Si u es una función derivable de x, y c es una
constante, entonces
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑥 𝑛
= 𝑐
𝑑𝑢
𝑑𝑥
En particular, si n es cualquier número real, entonces
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑥 𝑛
= 𝑐𝑛𝑥 𝑛−1
.
Prueba
𝑑
𝑑𝑥
𝑐𝑢
=
𝑐𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑐𝑢 𝑥
ℎ
𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑓 𝑥
= 𝑐𝑢(𝑥
= c ∙ lim
ℎ→0
𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥
ℎ
𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙
𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒
= 𝑐
𝑑𝑢
𝑑𝑥
𝑢 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒
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27/04/2020 El Matemático de la web 15
Regla de la derivada de una suma
Si u y v son funciones derivables de x, entonces su suma 𝒖 + 𝒗 es derivable en cada punto donde tanto u como v
son derivables. En tales puntos,
𝑑
𝑑𝑥
𝑢 + 𝑣 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑥
.
Prueba
Aplicamos la definición de la derivada a 𝑓 𝑥 = 𝑢 𝑥 + 𝑣 𝑥 :
𝑑
𝑑𝑥
𝑢(𝑥 + 𝑣(𝑥 = lim
ℎ→0
𝑢 𝑥 + ℎ + 𝑣(𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 − 𝑣(𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥
ℎ
+
𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣(𝑥
ℎ
lim
ℎ→0
𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥
ℎ
+ lim
ℎ→0
𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣(𝑥
ℎ
=
𝑑𝑢
𝑑𝑥
+
𝑑𝑣
𝑑𝑥
.
EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I
27/04/2020 El Matemático de la web 16
Regla de la derivada de un producto
Si u y u son derivables en x, entonces también lo es su producto uv, y
𝑑
𝑑𝑥
𝑢𝑣 = 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
.
En notación de funciones,
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥 𝑔(𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔´ 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑓´ 𝑥 .
Prueba
Prueba de la regla de la derivada de un producto
𝑑
𝑑𝑥
𝑢𝑣 = lim
ℎ→0
𝑢 𝑥 + ℎ 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥 𝑣(𝑥
ℎ
Para cambiar esta fracción en una equivalente que contenga los cocientes de diferencias para las derivadas de u y v, en el
numerador restamos y sumamos 𝑢(𝑥 + ℎ 𝑣(𝑥 :
𝑑
𝑑𝑥
𝑢𝑣 = lim
ℎ→0
𝑢 𝑥 + ℎ 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 + ℎ 𝑣 𝑥 + 𝑢 𝑥 + ℎ 𝑣 𝑥 − 𝑢(𝑥 𝑣(𝑥
ℎ
EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I
27/04/2020 El Matemático de la web 17
= lim
ℎ→0
𝑢 𝑥 + ℎ
𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣 𝑥
ℎ
+ 𝑣(𝑥
𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥
ℎ
= lim
𝑥→0
𝑢 𝑥 + ℎ ∙ lim
ℎ→0
𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣(𝑥
ℎ
+ 𝑣 𝑥 ∙ lim
ℎ→0
𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥
ℎ
.
Cuando h se aproxima a cero, 𝒖(𝒙 + 𝒉 tiende a 𝒖(𝒙 , ya que u, al ser derivable en x, es continua en x. Las dos
fracciones tienden a los valores de dv/dx en x y a du/dx en x. En resumen,
𝑑
𝑑𝑥
𝑢𝑣 = 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
.
Regla de la derivada de un cociente
Si u y v son derivables en x y si 𝑣(𝑥 ≠ 0, entonces el cociente u/u es derivable en x y
𝑑
𝑑𝑥
𝑢
𝑣
=
𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
− 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
𝑣2
.
En notación de funciones,
EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I
27/04/2020 El Matemático de la web 18
𝑑
𝑑𝑥
𝑓(𝑥
𝑔(𝑥
=
𝑔 𝑥 𝑓´ 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔´(𝑥
𝑔2(𝑥
.
Prueba de la regla de la derivada de un cociente
𝑑
𝑑𝑥
𝑢
𝑣
= lim
ℎ→0
𝑢(𝑥 + ℎ
𝑣(𝑥 + ℎ
−
𝑢(𝑥
𝑣(𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥 𝑣(𝑥 + ℎ
ℎ𝑣(𝑥 + ℎ 𝑣(𝑥
Para cambiar la última fracción en una equivalente que contenga los cocientes de diferencias para las derivadas de u y v, en el
numerador restamos y sumamos v(x)u(x). De esta forma, obtenemos
𝑑
𝑑𝑥
𝑢
𝑣
= lim
ℎ→0
𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 + 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 − 𝑢(𝑥 𝑣(𝑥 + ℎ
ℎ𝑣(𝑥 + ℎ 𝑣(𝑥
= lim
ℎ→0
𝑣 𝑥
𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥
ℎ
− 𝑢(𝑥
𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣(𝑥
ℎ
𝑣(𝑥 + ℎ 𝑣(𝑥
.
Si tomamos los límites en el numerador y en el denominador, obtendremos ahora la regla del cociente.
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27/04/2020 El Matemático de la web 19
Derivadas de segundo orden y de órdenes superiores
Si 𝒚 = 𝒇 (𝒙 es una función derivable, entonces su derivada 𝒇´(𝒙 también es una función. Si 𝒇´ también es
derivable, entonces podemos derivar a 𝒇´ para obtener una nueva función de 𝒙 denotada mediante 𝒇´´. Así, 𝒇´´ =
(𝒇´ ´. La función 𝒇´´ se denomina segunda derivada de f, ya que es la derivada de la primera derivada. Se escribe
de varias formas:
𝑓´´ 𝑥 =
𝑑2 𝑦
𝑑𝑥2
=
𝑑
𝑑𝑥
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦´´ = 𝐷2
𝑓 𝑥 = 𝐷 𝑥
2
𝑓 𝑥 .
Si y´´ es derivable, su derivada, 𝑦´´´ = 𝑑3 𝑦/𝑑𝑥3, es la tercera derivada de y con respecto a x. Los nombres
continúan como usted imaginará, con
𝑦(𝑛 =
𝑑
𝑑𝑥
𝑦(𝑛−1 =
𝑑 𝑛 𝑦
𝑑𝑥 𝑛
= 𝐷 𝑛 𝑦
denotando la n-ésima derivada de y con respecto a x para cualquier entero positivo n.
EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I
27/04/2020 El Matemático de la web 20
EJERCICIOS
01. Determine una ecuación para la tangente a la
curva en el punto dado. Luego elabore un
bosquejo de la curva y la tangente.
a) 𝑦 = 4 − 𝑥2
, (−1, 3
b) 𝑦 = 2 𝑥, (1, 2
c) 𝑦 = 𝑥3
, (−2, −8
02.- determine la pendiente de la gráfica de la
función en el punto dado. Luego determine también
una ecuación para la recta tangente a la gráfica en
ese punto.
a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2
+ 1, (2, 5
b) 𝑔 𝑥 =
𝑥
𝑥−2
, (3, 3
c) ℎ 𝑥 = 𝑡3
, (2, 8
d) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1, (8,3
03. Determine la pendiente de la curva en el punto que se indica.
a) 𝑦 = 5𝑥2
, 𝑥 = −1
b) 𝑦 =
𝑥−1
𝑥+1
, 𝑥 = 0
04. Mediante la definición, calcule las derivadas de la funciones
en los ejercicios i a iv. Luego determine los valores de las
derivadas como se especifica.
i. 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥2
; 𝑓´ 3 , 𝑓´ 0 , 𝑓´(1
ii. 𝑔 𝑡 =
1
𝑡2 ; 𝑔´ −1 , 𝑔´ 2 , 𝑔´( 3
iii. 𝑝 𝜃 = 3𝜃; 𝑝´ 1 , 𝑝´ 3 , 𝑝´(2/3
iv. 𝑟 𝑠 = 2𝑠 + 1; 𝑟´ 0 , 𝑟´ 1 , 𝑟´(1/2
EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I
27/04/2020 El Matemático de la web 21
05. Determine las derivadas que se indican.
a)
𝑑𝑦
𝑑𝑥
𝑠𝑖 𝑦 = 2𝑥3
b)
𝑑𝑟
𝑑𝑠
𝑠𝑖 𝑟 = 𝑠3
− 2𝑠2
+ 3
c)
𝑑𝑠
𝑑𝑡
𝑠𝑖 𝑠 =
𝑡
2𝑡+1
d)
𝑑𝑣
𝑑𝑡
𝑠𝑖 𝑣 = 𝑡 −
1
𝑡
e)
𝑑𝑝
𝑑𝑞
𝑠𝑖 𝑝 =
1
𝑞+1
f)
𝑑𝑧
𝑑𝑤
𝑠𝑖 𝑧 =
1
3𝑤−2
06. Derive las funciones. Luego determine una ecuación de la recta
tangente en los puntos que se indican en la gráfica de la función.
a) 𝑦 = 𝑓 𝑥 =
8
𝑥−2
, 𝑥, 𝑦 = (6, 4
b) 𝑤 = 𝑔 𝑧 = 1 + 4 − 𝑧, 𝑧, 𝑤 = (3,2
07. Determine los valores de las derivadas.
a)
𝑑𝑠
𝑑𝑡 𝑡=−1
𝑠𝑖 𝑠 = 1 − 3𝑡2
b)
𝑑𝑦
𝑑𝑥 𝑥= 3
𝑠𝑖 𝑦 = 1 −
1
𝑥
c)
𝑑𝑟
𝑑𝜃 𝜃=0
𝑠𝑖 𝑟 =
2
4−𝜃
d)
𝑑𝑤
𝑑𝑧 𝑧=4
𝑠𝑖 𝑤 = 𝑧 − 𝑧
EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I
27/04/2020 El Matemático de la web 22
08. Uso de la fórmula alternativa para derivadas
Utilice la fórmula
𝑓´ 𝑥 = lim
𝑧→𝑥
𝑓 𝑧 − 𝑓(𝑥
𝑧 − 𝑥
para determinar la derivada de las funciones en los
ejercicios.
a) 𝑓 𝑥 =
1
𝑥+2
b) 𝑓 𝑥 = 𝑥2
− 3𝑥 + 4
c) 𝑔(𝑥 =
𝑥
𝑥−1
d) 𝑔 𝑥 = 1 + 𝑥
09. Derivadas laterales
Calcule las derivadas por la derecha y por la izquierda como límites para
mostrar que las funciones en los siguientes ejercicios no son derivables
en el punto P.
EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I
27/04/2020 El Matemático de la web 23
10. Determine si la función definida por partes
es derivable en el origen.
𝑎 𝑓 𝑥 =
2𝑥 − 1, 𝑥 ≥ 0
𝑥2
+ 2𝑥 + 7, 𝑥 < 0
𝑏 𝑔 𝑥 =
𝑥2/3
, 𝑥 ≥ 0
𝑥1/3
, 𝑥 < 0
11. Derivabilidad y continuidad en un
intervalo
Cada figura presenta la gráfica de una función
en el intervalo cerrado D. ¿En qué puntos del
dominio la función parece ser
a. derivable?
b. continua, pero no derivable?
c. ni continua ni derivable?
Justifique sus respuestas.
EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I
27/04/2020 El Matemático de la web 24
12. Cálculo de derivadas
Determine la primera y la segunda derivadas.
a) 𝑦 = −𝑥2
+ 3
b) 𝑠 = 5𝑡2
− 3𝑡5
c) 𝑦 =
4𝑥3
3
− 𝑥
d) 𝑤 = 3𝑧−2
−
1
𝑧
e) 𝑦 = 6𝑥2
− 10𝑥 − 5𝑥−2
f) 𝑟 =
12
𝜃
−
4
𝜃3 +
1
𝜃4
g) 𝑦 = 𝑒 𝑙𝑛𝑥 +
𝑥
𝑥−1
13. determine y´(a) aplicando la regla del producto y (b)
multiplicando los factores para producir una suma de términos que
resulte más fácil de derivar.
a) 𝑦 = (3 − 𝑥2 𝑥3 − 𝑥 + 1
b) 𝑦 = 2𝑥 + 3 (5𝑥2
− 4𝑥
c) 𝑦 = (𝑥2 + 1 𝑥 + 5 +
1
𝑥
d) 𝑦 = (1 + 𝑥2
(𝑥
3
4 − 𝑥−3
14. Determine la primera y la segunda derivadas de las
funciones en los siguientes ejercicios.
a) 𝑦 =
𝑥3+7
𝑥
b) 𝑟 =
(𝜃−1 (𝜃2+𝜃+1
𝜃3
c) 𝑝 =
𝑞2+3
12𝑞
𝑞4−1
𝑞3
EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I
27/04/2020 El Matemático de la web 25
15. Suponga que u y v son funciones de x que son
derivables en 𝑥 = 0 y que
𝑢 0 = 5, 𝑢´ 0 = −3,
𝑣 0 = −1, 𝑣´ 0 = 2.
Determine los valores de las siguientes derivadas en
𝑥 = 0
𝑎
𝑑
𝑑𝑥
𝑢𝑣 𝑏
𝑑
𝑑𝑥
𝑢
𝑣
𝑐
𝑑
𝑑𝑥
𝑣
𝑢
𝑑
𝑑
𝑑𝑥
7𝑣 − 2𝑢
16. Generalización de la regla del producto La regla de la
derivada de un producto da la fórmula
𝑑
𝑑𝑥
𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢
𝑑𝑣
𝑑𝑥
+ 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
para la derivada del producto de dos funciones derivables de x.
a. ¿Cuál es la fórmula análoga para la derivada del producto 𝑢 ∙
𝑣 ∙ 𝑤 de tres funciones diferenciables de x?
b. ¿Cuál es la fórmula para la derivada del producto 𝑢1 ∙
𝑢2 ∙ 𝑢3∙ 𝑢4 de cuatro funciones diferenciables de x?
c. ¿Cuál es la fórmula para la derivada de un producto 𝑢1 ∙ 𝑢2 ∙
𝑢3 ∙ ⋯ un de un número finito n de funciones derivables de x?
EL MATEMATICO DE LA WEB
http://migueltarazonagiraldo.com/
27/04/2020 El Matemático de la web 26

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  • 1. CÁLCULO I P R O G R A M A A C A D É M I C O V I R T U A L Ciclo I Semestre 2020 - I Docente: Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
  • 2. 27/04/2020 El Matemático de la web 2 LA DERIVADA 𝒇´ 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒉→𝟎 𝒇 𝒙 𝟎 + 𝒉 − 𝒇(𝒙 𝟎 𝒉
  • 3. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 3 Tangentes y la derivada en un punto Para determinar una tangente a una curva arbitraria, 𝑦 = 𝑓(𝑥 en el punto 𝑃 = 𝑥0, 𝑓(𝑥0 . Calculamos la pendiente de la secante que pasa por P y un punto cercano 𝑄 𝑥0 + ℎ, 𝑓(𝑥0 + ℎ . Luego investigamos el límite de la pendiente cuando ℎ → 0 (ver figura) Si el límite existe, le llamamos la pendiente de la curva en P y definimos la tangente en P como la recta que pasa por P y que tiene tal pendiente. Determinación de una tangente a la gráfica de una función DEFINICION: La pendiente de la curva 𝑦 = 𝑓(𝑥 en el punto 𝑃 = 𝑥0, 𝑓(𝑥0 es el número lim ℎ→0 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 ℎ (Siempre que el límite exista). La recta tangente (o simplemente la tangente) a la curva en P es la recta que pasa por P y tiene dicha pendiente.
  • 4. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 4 La Derivada La derivada como una función: En la sección anterior definimos la derivada de, 𝑦 = 𝑓(𝑥 en el punto 𝑥 = 𝑥0 como el límite lim ℎ→0 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 ℎ , ℎ ≠ 0 siempre que este límite exista. Ahora estudiaremos la derivada como una función deducida a partir de f; para ello, consideremos el límite en cada punto x en el dominio de f. Definición: La derivada de la función f ´(x) con respecto a la variable x es la función f´ cuyo valor en x es 𝑓´ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 ℎ , ℎ ≠ 0 siempre que el límite exista. Fórmula alternativa de la derivada 𝑓´ 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 𝑓 𝑧 − 𝑓(𝑥 𝑧 − 𝑥
  • 5. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 5 b) La pendiente de 𝑦 = 1/𝑥 en el punto donde 𝑥 = 𝑎 es − 1 𝑎2. Será igual a −1/4, siempre que − 1 𝑎2 = − 1 4 Tal ecuación es equivalente a 𝑎2 = 4, así que 𝑎 = 2 𝑜 𝑎 = −2. La curva tiene pendiente -1/4 en los dos puntos (2, 1/2) y (-2, -1/2). c) La pendiente − 1 𝑎2 siempre es negativa si 𝑎 ≠ 0. Cuando 𝑎 → 0+ , la pendiente tiende 𝑎 − ∞ y la tangente se hace cada vez más inclinada ver figura. Tal situación se presenta de nuevo cuando 𝑎 → 0−. Cuando a se aleja del origen, en cualquier dirección, la pendiente tiende a 0 y la tangente tiende a volverse horizontal.
  • 6. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 6 a) Determine la pendiente de la curva 𝑦 = 1 𝑥 en cualquier punto 𝑥 = 0 ≠ 𝑎. ¿Cuál es la pendiente en el punto 𝑥 − 1? b) ¿En dónde la pendiente es igual a − 1 4 ? c) ¿Qué pasa con la tangente a la curva en el punto (𝑎, 1/𝑎 cuando a cambia? Solución Ejemplo 01: a) Aquí 𝑓 (𝑥 = 1/x. La pendiente en (𝑎, 1/𝑎 es lim ℎ→0 𝑓 𝑥0+ℎ −𝑓(𝑥0 ℎ = lim ℎ→0 1 𝑎+ℎ − 1 𝑎 ℎ = lim ℎ→0 1 ℎ 𝑎−(𝑎+ℎ 𝑎(𝑎+ℎ = lim ℎ→0 −ℎ ℎ𝑎(𝑎+ℎ = lim ℎ→0 −1 𝑎(𝑎+ℎ lim ℎ→0 𝑓 𝑥0 + ℎ − 𝑓(𝑥0 ℎ = −1 𝑎2 Observe: que a puede ser positivo o negativo ver figura.
  • 7. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 7 Cálculo de derivadas a partir de la definición Ejemplo 02: Derive 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 Solución Utilizamos la definición de derivada, la cual requiere calcular 𝑓(𝑥 + ℎ y luego restar 𝑓(𝑥 para obtener el numerador en el cociente de diferencias. Tenemos 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 1 𝑦 𝑓 𝑥 = 𝑥 + ℎ 𝑥 + ℎ − 1 , Por lo que f´ x = lim h→0 f x + h − f(x h definición = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 𝑥 + ℎ 𝑥 + ℎ − 1 − 𝑥 𝑥 − 1 ℎ = 𝑙𝑖𝑚 ℎ→0 1 ℎ ∙ 𝑥 + ℎ 𝑥 − 1 − (𝑥 + ℎ − 1 (𝑥 + ℎ − 1 (𝑥 − 1 = lim ℎ→0 1 ℎ ∙ −ℎ (𝑥 + ℎ − 1 (𝑥 − 1 = lim ℎ→0 −1 (𝑥 + ℎ − 1 (𝑥 − 1 = lim ℎ→0 −1 (𝑥 − 1 2 = −1 (𝑥 − 1 2 .
  • 8. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 8 Ejemplo 03: a) Determine la derivada de 𝑓 𝑥 = 𝑥 para 𝑥 > 0. b) Determine la recta tangente a la curva 𝑦 = 𝑥 en 𝑥 = 4. Solución a) Utilizamos la fórmula alternativa para calcular f ´: 𝑓´ 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 𝑓 𝑧 − 𝑓(𝑥 𝑧 − 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 𝑧 − 𝑥 𝑧 − 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 ( 𝑧 − 𝑥 ( 𝑧 + 𝑥 (𝑧 − 𝑥 ( 𝑧 + 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 (𝑧 − 𝑥 (𝑧 − 𝑥 ( 𝑧 + 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 1 ( 𝑧 + 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 1 𝑥 + 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 1 2 𝑥 = 1 2 𝑥 b) La pendiente de la curva en x=4 es 𝑓´ 4 = 1 2 4 = 1 4 . La tangente es la recta que pasa por el punto (4, 2) con pendiente 1/4.Notaciones 𝑓´ 𝑥 = 𝑦´ = 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑓 𝑥 = 𝐷 𝑓 𝑥 = 𝐷 𝑥 𝑓 𝑥 .
  • 9. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 9 Derivabilidad en un intervalo; derivadas laterales Una función, 𝑦 = 𝑓(𝑥 es derivable en un intervalo abierto (finito o infinito) si tiene derivada en cada punto del intervalo. Es derivable en un intervalo cerrado 𝒂, 𝒃 si es derivable en el interior (a, b), y si los límites lim ℎ→0+ 𝑓 𝑎 + ℎ − 𝑓(𝑎 ℎ 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑒𝑐ℎ𝑎 𝑒𝑛 𝑎 lim ℎ→0− 𝑓 𝑏 + ℎ − 𝑓(𝑏 ℎ 𝐷𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑧𝑞𝑢𝑖𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑎 existen en los extremos. Las derivadas por la derecha y por la izquierda pueden definirse en cualquier punto del dominio de una función. Se dice que una función tiene derivada en un punto si y sólo si ahí tiene derivadas por la izquierda y por la derecha, y tales derivadas laterales son iguales.
  • 10. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 10 Ejemplo 04: Demuestre que la función 𝑦 = 𝑥 es derivable en −∞; 0 𝑦 0; +∞ , pero no tiene derivada en 𝑥 = 0. Prueba La derivada de 𝑦 = 𝑚𝑥 + 𝑏 es la pendiente m. Así, a la derecha del origen, 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 = 1 ∙ 𝑥 = 1. 𝑑 𝑑𝑥 𝑚𝑥 + 𝑏 = 𝑚, 𝑥 = 𝑥 A la izquierda del origen, 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 −𝑥 = −1 ∙ 𝑥 = −1. 𝑥 = −𝑥 No hay derivada en el origen, ya que las derivadas laterales son diferentes ahí: Derivada por la derecha de 𝑥 en cero lim ℎ→0+ 0 + ℎ − 0 ℎ = lim ℎ→0+ ℎ ℎ = lim ℎ→0+ ℎ ℎ = lim ℎ→0+ 1 = 1 ℎ = ℎ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ℎ > 0 Derivada por la izquierda de 𝑥 en cero lim ℎ→0− 0 + ℎ − 0 ℎ = lim ℎ→0− ℎ ℎ = lim ℎ→0− −ℎ ℎ = lim ℎ→0− − 1 = −1 ℎ = −ℎ 𝑐𝑢𝑎𝑛𝑑𝑜 ℎ < 0
  • 11. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 11 Teorema 01: Derivabilidad implica continuidad Si 𝒇 tiene derivada en 𝒙 = 𝒄, entonces 𝒇 es continua en 𝒙 = 𝒄. Prueba Dado que f ´(c) existe, debemos mostrar que lim 𝑥→𝑐 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑐 , o de forma equivalente, el siguiente lim 𝑥→0 𝑓 𝑐 + ℎ = 𝑓 𝑐 , 𝑠𝑖 ℎ ≠ 0, entonces 𝑓 𝑐 + ℎ = 𝑓 𝑐 + (𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐 = 𝑓 𝑐 + 𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐 ℎ ∙ ℎ Ahora tomamos el límite cuando ℎ → 0. lim ℎ→0 𝑓 𝑐 + ℎ = lim ℎ→0 𝑓 𝑐 + lim ℎ→0 𝑓 𝑐 + ℎ − 𝑓(𝑐 ℎ ∙ lim ℎ→ℎ ℎ = 𝑓 𝑐 + 𝑓´ 𝑐 ∙ 0 = 𝑓 0 + 0 = 𝑓(𝑐 El teorema 01 indica que si una función tiene una discontinuidad en un punto (por ejemplo, una discontinuidad de salto), entonces no puede ser derivable ahí. El recíproco del teorema es falso.
  • 12. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 12 Reglas de derivación Derivada de una función constante Si f tiene el valor constante 𝑓(𝑥 = 𝑐, entonces 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑐 = 0 Prueba Aplicamos la definición de la derivada de 𝑓 (𝑥 = 𝑐, la función cuyos valores de salida tienen el valor constante c (figura). En cada valor de x, encontramos que 𝑓´ 𝑥 = lim ℎ→0 𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥 ℎ = lim ℎ→0 𝑐 − 𝑐 ℎ = lim ℎ→0 0 = 0.
  • 13. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 13 Regla de la potencia para enteros positivos: Si n es un entero positivo, entonces 𝑑𝑓 𝑑𝑥 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛−1. Prueba De la regla para potencias enteras positivas La fórmula 𝑧 𝑛 − 𝑥 𝑛 = (𝑧 − 𝑥 (𝑧 𝑛−1 + 𝑧 𝑛−2 𝑥+ . . . +𝑧𝑥 𝑛−2 + 𝑥 𝑛−1 puede verificarse si se hace la multiplicación del lado derecho. Luego, de acuerdo con la fórmula alternativa para la definición de la derivada, 𝑓´ 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 𝑓 𝑧 − 𝑓 𝑥 𝑧 − 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 𝑧 𝑛 − 𝑥 𝑛 𝑧 − 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 𝑧 𝑛−1 + 𝑧 𝑛−2 𝑥+ . . . +𝑧𝑥 𝑛−2 + 𝑥 𝑛−1 𝑛 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑓´ 𝑥 = 𝑛𝑥 𝑛−1 .
  • 14. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 14 Regla de la potencia (versión general) Si n es cualquier número real, entonces 𝑑 𝑑𝑥 𝑥 𝑛 = 𝑛𝑥 𝑛−1 para toda x donde las potencias 𝑥 𝑛 y 𝑥 𝑛−1 estén definidas. Regla de la derivada de un múltiplo constante Si u es una función derivable de x, y c es una constante, entonces 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑥 𝑛 = 𝑐 𝑑𝑢 𝑑𝑥 En particular, si n es cualquier número real, entonces 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑥 𝑛 = 𝑐𝑛𝑥 𝑛−1 . Prueba 𝑑 𝑑𝑥 𝑐𝑢 = 𝑐𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑐𝑢 𝑥 ℎ 𝐷𝑒𝑓𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑐𝑜𝑛 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑢(𝑥 = c ∙ lim ℎ→0 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥 ℎ 𝑃𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑙í𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑢𝑙𝑡𝑖𝑝𝑙𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 = 𝑐 𝑑𝑢 𝑑𝑥 𝑢 𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒
  • 15. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 15 Regla de la derivada de una suma Si u y v son funciones derivables de x, entonces su suma 𝒖 + 𝒗 es derivable en cada punto donde tanto u como v son derivables. En tales puntos, 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 + 𝑣 = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 + 𝑑𝑣 𝑑𝑥 . Prueba Aplicamos la definición de la derivada a 𝑓 𝑥 = 𝑢 𝑥 + 𝑣 𝑥 : 𝑑 𝑑𝑥 𝑢(𝑥 + 𝑣(𝑥 = lim ℎ→0 𝑢 𝑥 + ℎ + 𝑣(𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 − 𝑣(𝑥 ℎ = lim ℎ→0 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥 ℎ + 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣(𝑥 ℎ lim ℎ→0 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥 ℎ + lim ℎ→0 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣(𝑥 ℎ = 𝑑𝑢 𝑑𝑥 + 𝑑𝑣 𝑑𝑥 .
  • 16. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 16 Regla de la derivada de un producto Si u y u son derivables en x, entonces también lo es su producto uv, y 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑣 = 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 . En notación de funciones, 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥 𝑔(𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔´ 𝑥 + 𝑔 𝑥 𝑓´ 𝑥 . Prueba Prueba de la regla de la derivada de un producto 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑣 = lim ℎ→0 𝑢 𝑥 + ℎ 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥 𝑣(𝑥 ℎ Para cambiar esta fracción en una equivalente que contenga los cocientes de diferencias para las derivadas de u y v, en el numerador restamos y sumamos 𝑢(𝑥 + ℎ 𝑣(𝑥 : 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑣 = lim ℎ→0 𝑢 𝑥 + ℎ 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 + ℎ 𝑣 𝑥 + 𝑢 𝑥 + ℎ 𝑣 𝑥 − 𝑢(𝑥 𝑣(𝑥 ℎ
  • 17. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 17 = lim ℎ→0 𝑢 𝑥 + ℎ 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣 𝑥 ℎ + 𝑣(𝑥 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥 ℎ = lim 𝑥→0 𝑢 𝑥 + ℎ ∙ lim ℎ→0 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣(𝑥 ℎ + 𝑣 𝑥 ∙ lim ℎ→0 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 ℎ . Cuando h se aproxima a cero, 𝒖(𝒙 + 𝒉 tiende a 𝒖(𝒙 , ya que u, al ser derivable en x, es continua en x. Las dos fracciones tienden a los valores de dv/dx en x y a du/dx en x. En resumen, 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑣 = 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 . Regla de la derivada de un cociente Si u y v son derivables en x y si 𝑣(𝑥 ≠ 0, entonces el cociente u/u es derivable en x y 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑣 = 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 − 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 𝑣2 . En notación de funciones,
  • 18. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 18 𝑑 𝑑𝑥 𝑓(𝑥 𝑔(𝑥 = 𝑔 𝑥 𝑓´ 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔´(𝑥 𝑔2(𝑥 . Prueba de la regla de la derivada de un cociente 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑣 = lim ℎ→0 𝑢(𝑥 + ℎ 𝑣(𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥 𝑣(𝑥 ℎ = lim ℎ→0 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢(𝑥 𝑣(𝑥 + ℎ ℎ𝑣(𝑥 + ℎ 𝑣(𝑥 Para cambiar la última fracción en una equivalente que contenga los cocientes de diferencias para las derivadas de u y v, en el numerador restamos y sumamos v(x)u(x). De esta forma, obtenemos 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑣 = lim ℎ→0 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 + 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 − 𝑢(𝑥 𝑣(𝑥 + ℎ ℎ𝑣(𝑥 + ℎ 𝑣(𝑥 = lim ℎ→0 𝑣 𝑥 𝑢 𝑥 + ℎ − 𝑢 𝑥 ℎ − 𝑢(𝑥 𝑣 𝑥 + ℎ − 𝑣(𝑥 ℎ 𝑣(𝑥 + ℎ 𝑣(𝑥 . Si tomamos los límites en el numerador y en el denominador, obtendremos ahora la regla del cociente.
  • 19. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 19 Derivadas de segundo orden y de órdenes superiores Si 𝒚 = 𝒇 (𝒙 es una función derivable, entonces su derivada 𝒇´(𝒙 también es una función. Si 𝒇´ también es derivable, entonces podemos derivar a 𝒇´ para obtener una nueva función de 𝒙 denotada mediante 𝒇´´. Así, 𝒇´´ = (𝒇´ ´. La función 𝒇´´ se denomina segunda derivada de f, ya que es la derivada de la primera derivada. Se escribe de varias formas: 𝑓´´ 𝑥 = 𝑑2 𝑦 𝑑𝑥2 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑥 = 𝑦´´ = 𝐷2 𝑓 𝑥 = 𝐷 𝑥 2 𝑓 𝑥 . Si y´´ es derivable, su derivada, 𝑦´´´ = 𝑑3 𝑦/𝑑𝑥3, es la tercera derivada de y con respecto a x. Los nombres continúan como usted imaginará, con 𝑦(𝑛 = 𝑑 𝑑𝑥 𝑦(𝑛−1 = 𝑑 𝑛 𝑦 𝑑𝑥 𝑛 = 𝐷 𝑛 𝑦 denotando la n-ésima derivada de y con respecto a x para cualquier entero positivo n.
  • 20. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 20 EJERCICIOS 01. Determine una ecuación para la tangente a la curva en el punto dado. Luego elabore un bosquejo de la curva y la tangente. a) 𝑦 = 4 − 𝑥2 , (−1, 3 b) 𝑦 = 2 𝑥, (1, 2 c) 𝑦 = 𝑥3 , (−2, −8 02.- determine la pendiente de la gráfica de la función en el punto dado. Luego determine también una ecuación para la recta tangente a la gráfica en ese punto. a) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 + 1, (2, 5 b) 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥−2 , (3, 3 c) ℎ 𝑥 = 𝑡3 , (2, 8 d) 𝑓 𝑥 = 𝑥 + 1, (8,3 03. Determine la pendiente de la curva en el punto que se indica. a) 𝑦 = 5𝑥2 , 𝑥 = −1 b) 𝑦 = 𝑥−1 𝑥+1 , 𝑥 = 0 04. Mediante la definición, calcule las derivadas de la funciones en los ejercicios i a iv. Luego determine los valores de las derivadas como se especifica. i. 𝑓 𝑥 = 4 − 𝑥2 ; 𝑓´ 3 , 𝑓´ 0 , 𝑓´(1 ii. 𝑔 𝑡 = 1 𝑡2 ; 𝑔´ −1 , 𝑔´ 2 , 𝑔´( 3 iii. 𝑝 𝜃 = 3𝜃; 𝑝´ 1 , 𝑝´ 3 , 𝑝´(2/3 iv. 𝑟 𝑠 = 2𝑠 + 1; 𝑟´ 0 , 𝑟´ 1 , 𝑟´(1/2
  • 21. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 21 05. Determine las derivadas que se indican. a) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑠𝑖 𝑦 = 2𝑥3 b) 𝑑𝑟 𝑑𝑠 𝑠𝑖 𝑟 = 𝑠3 − 2𝑠2 + 3 c) 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑠𝑖 𝑠 = 𝑡 2𝑡+1 d) 𝑑𝑣 𝑑𝑡 𝑠𝑖 𝑣 = 𝑡 − 1 𝑡 e) 𝑑𝑝 𝑑𝑞 𝑠𝑖 𝑝 = 1 𝑞+1 f) 𝑑𝑧 𝑑𝑤 𝑠𝑖 𝑧 = 1 3𝑤−2 06. Derive las funciones. Luego determine una ecuación de la recta tangente en los puntos que se indican en la gráfica de la función. a) 𝑦 = 𝑓 𝑥 = 8 𝑥−2 , 𝑥, 𝑦 = (6, 4 b) 𝑤 = 𝑔 𝑧 = 1 + 4 − 𝑧, 𝑧, 𝑤 = (3,2 07. Determine los valores de las derivadas. a) 𝑑𝑠 𝑑𝑡 𝑡=−1 𝑠𝑖 𝑠 = 1 − 3𝑡2 b) 𝑑𝑦 𝑑𝑥 𝑥= 3 𝑠𝑖 𝑦 = 1 − 1 𝑥 c) 𝑑𝑟 𝑑𝜃 𝜃=0 𝑠𝑖 𝑟 = 2 4−𝜃 d) 𝑑𝑤 𝑑𝑧 𝑧=4 𝑠𝑖 𝑤 = 𝑧 − 𝑧
  • 22. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 22 08. Uso de la fórmula alternativa para derivadas Utilice la fórmula 𝑓´ 𝑥 = lim 𝑧→𝑥 𝑓 𝑧 − 𝑓(𝑥 𝑧 − 𝑥 para determinar la derivada de las funciones en los ejercicios. a) 𝑓 𝑥 = 1 𝑥+2 b) 𝑓 𝑥 = 𝑥2 − 3𝑥 + 4 c) 𝑔(𝑥 = 𝑥 𝑥−1 d) 𝑔 𝑥 = 1 + 𝑥 09. Derivadas laterales Calcule las derivadas por la derecha y por la izquierda como límites para mostrar que las funciones en los siguientes ejercicios no son derivables en el punto P.
  • 23. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 23 10. Determine si la función definida por partes es derivable en el origen. 𝑎 𝑓 𝑥 = 2𝑥 − 1, 𝑥 ≥ 0 𝑥2 + 2𝑥 + 7, 𝑥 < 0 𝑏 𝑔 𝑥 = 𝑥2/3 , 𝑥 ≥ 0 𝑥1/3 , 𝑥 < 0 11. Derivabilidad y continuidad en un intervalo Cada figura presenta la gráfica de una función en el intervalo cerrado D. ¿En qué puntos del dominio la función parece ser a. derivable? b. continua, pero no derivable? c. ni continua ni derivable? Justifique sus respuestas.
  • 24. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 24 12. Cálculo de derivadas Determine la primera y la segunda derivadas. a) 𝑦 = −𝑥2 + 3 b) 𝑠 = 5𝑡2 − 3𝑡5 c) 𝑦 = 4𝑥3 3 − 𝑥 d) 𝑤 = 3𝑧−2 − 1 𝑧 e) 𝑦 = 6𝑥2 − 10𝑥 − 5𝑥−2 f) 𝑟 = 12 𝜃 − 4 𝜃3 + 1 𝜃4 g) 𝑦 = 𝑒 𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 𝑥−1 13. determine y´(a) aplicando la regla del producto y (b) multiplicando los factores para producir una suma de términos que resulte más fácil de derivar. a) 𝑦 = (3 − 𝑥2 𝑥3 − 𝑥 + 1 b) 𝑦 = 2𝑥 + 3 (5𝑥2 − 4𝑥 c) 𝑦 = (𝑥2 + 1 𝑥 + 5 + 1 𝑥 d) 𝑦 = (1 + 𝑥2 (𝑥 3 4 − 𝑥−3 14. Determine la primera y la segunda derivadas de las funciones en los siguientes ejercicios. a) 𝑦 = 𝑥3+7 𝑥 b) 𝑟 = (𝜃−1 (𝜃2+𝜃+1 𝜃3 c) 𝑝 = 𝑞2+3 12𝑞 𝑞4−1 𝑞3
  • 25. EL MATEMATICO DE LA WEBC U R S O D E C Á L C U L O I 27/04/2020 El Matemático de la web 25 15. Suponga que u y v son funciones de x que son derivables en 𝑥 = 0 y que 𝑢 0 = 5, 𝑢´ 0 = −3, 𝑣 0 = −1, 𝑣´ 0 = 2. Determine los valores de las siguientes derivadas en 𝑥 = 0 𝑎 𝑑 𝑑𝑥 𝑢𝑣 𝑏 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 𝑣 𝑐 𝑑 𝑑𝑥 𝑣 𝑢 𝑑 𝑑 𝑑𝑥 7𝑣 − 2𝑢 16. Generalización de la regla del producto La regla de la derivada de un producto da la fórmula 𝑑 𝑑𝑥 𝑢 ∙ 𝑣 = 𝑢 𝑑𝑣 𝑑𝑥 + 𝑣 𝑑𝑢 𝑑𝑥 para la derivada del producto de dos funciones derivables de x. a. ¿Cuál es la fórmula análoga para la derivada del producto 𝑢 ∙ 𝑣 ∙ 𝑤 de tres funciones diferenciables de x? b. ¿Cuál es la fórmula para la derivada del producto 𝑢1 ∙ 𝑢2 ∙ 𝑢3∙ 𝑢4 de cuatro funciones diferenciables de x? c. ¿Cuál es la fórmula para la derivada de un producto 𝑢1 ∙ 𝑢2 ∙ 𝑢3 ∙ ⋯ un de un número finito n de funciones derivables de x?
  • 26. EL MATEMATICO DE LA WEB http://migueltarazonagiraldo.com/ 27/04/2020 El Matemático de la web 26