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MATEMÁTICA BASICA 2016 I
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TEMA: ECUACIÓN DE PRIMER GRADO SEMANA:
TURNO: NOCHE AULA: 504 B FECHA:
ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
TIPOS DE IGUALDADES
El signo igual se puede utilizar en matemáticas en
expresiones que tienen distintos significados. Se llama:
- Igualdad numérica: aquella igualdad en la que sólo
intervienen números. Ej: 3+4=5+2
- Identidad algebraica o literal: aquella igualdad en
la que intervienen letras y números y que se
verifican para cualquier valor que se dé a las letras.
Ej: 3(𝑥 + 𝑦) = 3𝑥 + 3𝑦
- Ecuación: aquella igualdad en la que intervienen
letras y números y que sólo se verifica para algún
valor de las letras.
Ej: 𝑥 + 3 = 5 (Este último tipo de igualdad, será el
que estudiemos en este tema)
PARTES DE UNA ECUACIÓN
Miembros de una ecuación: lo escrito a cada lado del
signo igual (el primer miembro está a la izquierda del
signo igual, y el segundo a la derecha)
Incógnita: la letra desconocida.
Términos: cada uno de los sumandos que intervienen
en cada miembro (positivos o negativos).
Términos independientes: los que no tienen incógnita.
Grado de una ecuación: el máximo exponente de la
incógnita.
Solución: los valores numéricos de la incógnita que
hacen que la igualdad sea cierta.
Resolver una ecuación es encontrar sus soluciones.
Comprobar: consiste en sustituir las letras por los
valores obtenidos para ver si la igualdad es cierta.
ECUACIONES EQUIVALENTES: PRINCIPIOS
DE EQUIVALENCIA
Ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen las
mismas soluciones.
Para resolver una ecuación va transformando ésta en
otra equivalente más sencilla, aplicando los siguientes
principios de equivalencia:
1º) Si a los dos miembros de una ecuación se les suma
o se les resta un mismo número (o una misma
expresión algebraica) resulta otra ecuación
equivalente a la dada.
(3𝑥 + 2 = 6 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 3𝑥 + 2 − 2 = 6 − 2)
Consecuencias de este principio:
 Si los dos miembros de una ecuación tienen dos
términos iguales se pueden suprimir sin que varíen
las soluciones.
Ej: 𝑥 + 5 + 3𝑥 = 2 − 7𝑥 + 5
𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎: 𝑥 + 3𝑥 = 2 − 7𝑥
 Este principio nos permite transponer términos, es
decir: pasar términos de un miembro a otro
cambiándolo de signo.
Ej: 3𝑥 + 5 = 2 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎: 3𝑥 = 2 − 5
2º) Si los dos miembros de una ecuación se
multiplican o dividen por un mismo número
(distinto de cero), se obtiene otra ecuación
equivalente a la dada.
Consecuencias de este principio:
 Se pueden cambiar de signo todos los términos de
una ecuación (equivale a multiplicar ambos
miembros por –1).
Ej: −3𝑥 − 5 = −2 + 4𝑥 es equivalente a
3𝑥 + 5 = 2 − 4𝑥
 Este principio nos permite pasar dividendo al
segundo miembro los números que están
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multiplicando en el primero, y al revés (si están
dividiendo pasarán multiplicando).
𝐸𝑗: 3𝑥 = 6 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑥 = 6/3
 Este principio también nos permite resolver
ecuaciones con números fraccionarios (multiplicando
ambos miembros por el mínimo común múltiplo de
todos los denominadores).
RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE
PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Conviene seguir los siguientes pasos:
1.- Suprimir paréntesis: efectuando las operaciones
indicadas.
2.- Suprimir denominadores: reduciendo a común
denominador ambos miembros.
3.- Transponer de términos: pasando a un mismo
miembro todos los términos que contenga la incógnita
y al otro los restantes.
4.- Simplificar o reducir términos semejantes y operar
5.- Despejar la incógnita: dejarla sola en un miembro.
6.- Comprobar: si la solución obtenido cumple la
ecuación inicial.
CONVIENE SEGUIR LOS SIGUIENTES PASOS:
1.- Suprimir paréntesis: efectuando las operaciones
indicadas.
2.- Suprimir denominadores: reduciendo a común
denominador ambos miembros.
3.- Transponer de términos: pasando a un mismo
miembro todos los términos que contenga la incógnita
y al otro los restantes.
4.- Simplificar o reducir términos semejantes y operar
5.- Despejar la incógnita: dejarla sola en un miembro.
6.- Comprobar: si la solución obtenido cumple la
ecuación inicial.
Como afecta un signo “-“ delante de una fracción
cuando se quitan los denominadores
EJERCICIOS
1. Resolver los siguientes ejercicios
4
)1(2
1
2
)41(5
3
)43(2
)
0
3
41
2
32
5
1
3)












x
x
xx
b
xxx
xa
9
)43(2
6
)1(3
)2(5
3
1
)
xx
x
x
c





2)32(3
3
)41(2
7
15
)
3
1
1
8
)1(2
6
27
)










x
xx
e
x
xxx
d
2.- Resolver las siguientes ecuaciones de primer
grado con una incógnita:
a) 3𝑥 + 7 = 0
b) 2(𝑥 − 3) − 5(𝑥 − 2) = 3𝑥 − 4(3𝑥 − 1)
c)
10
22
2
5
31
4
2 



 xxx
x
xxx
e
x
x
xx
d











3
32
2
)4(
6
)3(5
)
6
21
3
)13(2
4
25
)
3.- Si al dinero que tengo ahora le añado su tercera
parte y 10 euros más, tendría el doble de lo que
tengo ahora. Calcular el dinero que tengo ahora.
4.- Una persona tiene el triple de años que otra.
Dentro de 6 años sólo tendrá el doble. Calcular las
edades de cada una.
5.- Una persona realiza 3/5 partes de un viaje en
tren; los 7/8 del resto en coche y los 26 km
restantes en moto. Calcular cuántos kilómetros
recorre.
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6.- Tres niños juntan su dinero y en total tienen 20
euros. Calcular cuánto tenía cada uno sabiendo
que el primer aporta 5 euros más que el segundo
y que el segundo aporta el doble que el primero.
7.-Resuelve estas ecuaciones pequeñas con
denominadores:
a)
2
4 1
4 2
x x
   b) 5 3
4
x
  
8.- El doble de la edad de Lucía más 25 años es
igual a la edad de su abuelo que es 51 años. ¿Qué
edad tiene Lucía?
9.- Los tres lados de un triángulo equilátero vienen
expresados en metros. Si su perímetro es 27
metros, halla la longitud de cada lado.
10.- Javier tiene 30 años menos que su padre y éste
tiene 4 veces los años de Javier. Averigua la edad
de cada uno.
11.- En una caja hay doble número de caramelos de
menta que de limón y triple número de caramelos
de naranja que de menta y limón juntos. En total
hay 312 caramelos. Hallar cuántos caramelos hay
de cada sabor.
12.- La suma de cuatro números es igual a 90. El
segundo número es el doble que el primero; el
tercero es el doble del segundo, y el cuarto es el
doble del tercero. Halla el valor de los cuatro
números.
13.-En una fiesta de fin de curso hay doble número
de mujeres que de hombres y triple número de
niños que de hombres y mujeres juntos. Halla el
número de hombres, mujeres y niños que hay en la
fiesta sabiendo que en total son 156 las personas
que hay en ella.
14.- El doble de un número menos cinco es nueve.
¿De qué número se trata?
25.- La suma de dos números consecutivos es 55.
¿De qué números se trata?
26.- Resuelve las siguientes ecuaciones:
a)   623  xx
b) b)     xxx 815782 
c)   7521  xxx
d) d)     0132473  xxx
e)  4326104  xx
f)     446249  xxx
g)   xxx 31325 
h) h)      xxxxx 92562273 
i)    xxxx  57294
j) j)      3276258  xxxx
k) x
xx




1
3
42
2
5
l)
2
1
4
43
2
3




x
xx
m) x
x
x
x




5
73
3
2
5
n)
2
5
48
42
2
3 xxxx



ñ)
5
32
1
3
42
4
5 



 xxx
o)
9
3
3
3
42
2
x
x
xx 



p)
   
6
45
3
3
42
2
5 



x
x
x
q)
4
3
2
5


xx

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Ecuaciones de primer grado

  • 1. Facultad de Ciencias e Ingeniería E.A.P. de Ingeniería: Sistemas y Electrónica CICLO PRE I MATEMÁTICA BASICA 2016 I Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email - mtarazona@uch.edu.pe 1 | P á g i n a TEMA: ECUACIÓN DE PRIMER GRADO SEMANA: TURNO: NOCHE AULA: 504 B FECHA: ECUACIONES DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA TIPOS DE IGUALDADES El signo igual se puede utilizar en matemáticas en expresiones que tienen distintos significados. Se llama: - Igualdad numérica: aquella igualdad en la que sólo intervienen números. Ej: 3+4=5+2 - Identidad algebraica o literal: aquella igualdad en la que intervienen letras y números y que se verifican para cualquier valor que se dé a las letras. Ej: 3(𝑥 + 𝑦) = 3𝑥 + 3𝑦 - Ecuación: aquella igualdad en la que intervienen letras y números y que sólo se verifica para algún valor de las letras. Ej: 𝑥 + 3 = 5 (Este último tipo de igualdad, será el que estudiemos en este tema) PARTES DE UNA ECUACIÓN Miembros de una ecuación: lo escrito a cada lado del signo igual (el primer miembro está a la izquierda del signo igual, y el segundo a la derecha) Incógnita: la letra desconocida. Términos: cada uno de los sumandos que intervienen en cada miembro (positivos o negativos). Términos independientes: los que no tienen incógnita. Grado de una ecuación: el máximo exponente de la incógnita. Solución: los valores numéricos de la incógnita que hacen que la igualdad sea cierta. Resolver una ecuación es encontrar sus soluciones. Comprobar: consiste en sustituir las letras por los valores obtenidos para ver si la igualdad es cierta. ECUACIONES EQUIVALENTES: PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIA Ecuaciones equivalentes son aquellas que tienen las mismas soluciones. Para resolver una ecuación va transformando ésta en otra equivalente más sencilla, aplicando los siguientes principios de equivalencia: 1º) Si a los dos miembros de una ecuación se les suma o se les resta un mismo número (o una misma expresión algebraica) resulta otra ecuación equivalente a la dada. (3𝑥 + 2 = 6 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 3𝑥 + 2 − 2 = 6 − 2) Consecuencias de este principio:  Si los dos miembros de una ecuación tienen dos términos iguales se pueden suprimir sin que varíen las soluciones. Ej: 𝑥 + 5 + 3𝑥 = 2 − 7𝑥 + 5 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎: 𝑥 + 3𝑥 = 2 − 7𝑥  Este principio nos permite transponer términos, es decir: pasar términos de un miembro a otro cambiándolo de signo. Ej: 3𝑥 + 5 = 2 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎: 3𝑥 = 2 − 5 2º) Si los dos miembros de una ecuación se multiplican o dividen por un mismo número (distinto de cero), se obtiene otra ecuación equivalente a la dada. Consecuencias de este principio:  Se pueden cambiar de signo todos los términos de una ecuación (equivale a multiplicar ambos miembros por –1). Ej: −3𝑥 − 5 = −2 + 4𝑥 es equivalente a 3𝑥 + 5 = 2 − 4𝑥  Este principio nos permite pasar dividendo al segundo miembro los números que están
  • 2. Facultad de Ciencias e Ingeniería E.A.P. de Ingeniería: Sistemas y Electrónica CICLO PRE I MATEMÁTICA BASICA 2016 I Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email - mtarazona@uch.edu.pe 2 | P á g i n a multiplicando en el primero, y al revés (si están dividiendo pasarán multiplicando). 𝐸𝑗: 3𝑥 = 6 𝑒𝑠 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑎 𝑥 = 6/3  Este principio también nos permite resolver ecuaciones con números fraccionarios (multiplicando ambos miembros por el mínimo común múltiplo de todos los denominadores). RESOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA Conviene seguir los siguientes pasos: 1.- Suprimir paréntesis: efectuando las operaciones indicadas. 2.- Suprimir denominadores: reduciendo a común denominador ambos miembros. 3.- Transponer de términos: pasando a un mismo miembro todos los términos que contenga la incógnita y al otro los restantes. 4.- Simplificar o reducir términos semejantes y operar 5.- Despejar la incógnita: dejarla sola en un miembro. 6.- Comprobar: si la solución obtenido cumple la ecuación inicial. CONVIENE SEGUIR LOS SIGUIENTES PASOS: 1.- Suprimir paréntesis: efectuando las operaciones indicadas. 2.- Suprimir denominadores: reduciendo a común denominador ambos miembros. 3.- Transponer de términos: pasando a un mismo miembro todos los términos que contenga la incógnita y al otro los restantes. 4.- Simplificar o reducir términos semejantes y operar 5.- Despejar la incógnita: dejarla sola en un miembro. 6.- Comprobar: si la solución obtenido cumple la ecuación inicial. Como afecta un signo “-“ delante de una fracción cuando se quitan los denominadores EJERCICIOS 1. Resolver los siguientes ejercicios 4 )1(2 1 2 )41(5 3 )43(2 ) 0 3 41 2 32 5 1 3)             x x xx b xxx xa 9 )43(2 6 )1(3 )2(5 3 1 ) xx x x c      2)32(3 3 )41(2 7 15 ) 3 1 1 8 )1(2 6 27 )           x xx e x xxx d 2.- Resolver las siguientes ecuaciones de primer grado con una incógnita: a) 3𝑥 + 7 = 0 b) 2(𝑥 − 3) − 5(𝑥 − 2) = 3𝑥 − 4(3𝑥 − 1) c) 10 22 2 5 31 4 2      xxx x xxx e x x xx d            3 32 2 )4( 6 )3(5 ) 6 21 3 )13(2 4 25 ) 3.- Si al dinero que tengo ahora le añado su tercera parte y 10 euros más, tendría el doble de lo que tengo ahora. Calcular el dinero que tengo ahora. 4.- Una persona tiene el triple de años que otra. Dentro de 6 años sólo tendrá el doble. Calcular las edades de cada una. 5.- Una persona realiza 3/5 partes de un viaje en tren; los 7/8 del resto en coche y los 26 km restantes en moto. Calcular cuántos kilómetros recorre.
  • 3. Facultad de Ciencias e Ingeniería E.A.P. de Ingeniería: Sistemas y Electrónica CICLO PRE I MATEMÁTICA BASICA 2016 I Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email - mtarazona@uch.edu.pe 3 | P á g i n a 6.- Tres niños juntan su dinero y en total tienen 20 euros. Calcular cuánto tenía cada uno sabiendo que el primer aporta 5 euros más que el segundo y que el segundo aporta el doble que el primero. 7.-Resuelve estas ecuaciones pequeñas con denominadores: a) 2 4 1 4 2 x x    b) 5 3 4 x    8.- El doble de la edad de Lucía más 25 años es igual a la edad de su abuelo que es 51 años. ¿Qué edad tiene Lucía? 9.- Los tres lados de un triángulo equilátero vienen expresados en metros. Si su perímetro es 27 metros, halla la longitud de cada lado. 10.- Javier tiene 30 años menos que su padre y éste tiene 4 veces los años de Javier. Averigua la edad de cada uno. 11.- En una caja hay doble número de caramelos de menta que de limón y triple número de caramelos de naranja que de menta y limón juntos. En total hay 312 caramelos. Hallar cuántos caramelos hay de cada sabor. 12.- La suma de cuatro números es igual a 90. El segundo número es el doble que el primero; el tercero es el doble del segundo, y el cuarto es el doble del tercero. Halla el valor de los cuatro números. 13.-En una fiesta de fin de curso hay doble número de mujeres que de hombres y triple número de niños que de hombres y mujeres juntos. Halla el número de hombres, mujeres y niños que hay en la fiesta sabiendo que en total son 156 las personas que hay en ella. 14.- El doble de un número menos cinco es nueve. ¿De qué número se trata? 25.- La suma de dos números consecutivos es 55. ¿De qué números se trata? 26.- Resuelve las siguientes ecuaciones: a)   623  xx b) b)     xxx 815782  c)   7521  xxx d) d)     0132473  xxx e)  4326104  xx f)     446249  xxx g)   xxx 31325  h) h)      xxxxx 92562273  i)    xxxx  57294 j) j)      3276258  xxxx k) x xx     1 3 42 2 5 l) 2 1 4 43 2 3     x xx m) x x x x     5 73 3 2 5 n) 2 5 48 42 2 3 xxxx    ñ) 5 32 1 3 42 4 5      xxx o) 9 3 3 3 42 2 x x xx     p)     6 45 3 3 42 2 5     x x x q) 4 3 2 5   xx