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DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Matemática Básica I
Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
E-mail: mitagi@gmail.com - mitagi@hotmail.com
http://migueltarazonagiraldo.com/
Febrero del 2020
FUNCIONES
OOBBJJEETTIIVVOOSS EESSPPEECCIIFFIICCOOSS:
 Diferenciar las Relaciones de las funciones.
 Encontrar dominios e imágenes de las funciones
 Graficar las funciones más importantes
 Hallar el número real (valor numérico) o la
expresión algebraica (cambio de variable) que
resulta de reemplazar una o más variables por
valores numérico o algebraico.
CCOOMMEENNTTAARRIIOO PPRREEVVIIOO::
Par ordenado: Un par ordenado es un conjunto
formado por dos elementos en el que se introduce un
orden “natural”.
Notación:
( a; b )
2do. componente
1er. componente
Propiedad:
Producto cartesiano:
Dados dos conjuntos A y B el producto cartesiano de
ambos se denota por A x B y se define como el
conjunto de pares ordenados, cuyo primer elemento
pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al
segundo conjunto.
Es decir:
Propiedad:
Si: n representa el número de elementos de un conjunto
determinado. Se cumple que:
RELACIONES BINARIAS:
Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío, decimos
que el conjunto “R es una relación binaria de A es B”,
si R es un subconjunto del producto cartesiano A x B
Simbólicamente:
R: A  B; R  A x B con A   y B  
Donde:
A x B = {(a; b) / a  A  b  B}
Gráficamente:
R
A
Dominio de R
Conjunto de partida Conjunto de llegada
Rango de R
B
Dominio:
Es el conjunto formado por los primeros componentes
de los pares ordenados (a: b) que pertenece a R.
Simbólicamente:
Dom (R) = {a  A /  b  B  (a, b)  R}
Rango:
Es el conjunto formado por los segundos componentes
de los pares ordenados (a; b) que pertenecen a R.
Simbólicamente:
Rango (R) = {b  B /  a  A  (a, b)  R}
Nota importante:
Las siguientes notaciones son equivalentes y se usan
indistintamente. Lo que el estudiante debe saber es
interpretarlos.
a R b  b = R (a)  ( a; b )  R
Equivalente:
x R y  y = R(x)  (x; y)  R
Si (a; b) = (c; d)  a = c  b = d
n (A x B) = n (A) x n (B)
A x B = {(a; b)/a  A  b  B}
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Si: R: IR  IR, además
IR x IR = {(x, y) / x  IR  y  IR}
Relación de equivalencia:
Se dice que “R” es una relación de equivalencia sobre
un conjunto A  , a toda relación de A en A que goza
de las tres siguientes propiedades:
a)  x  A  (x, x)  R  x R x (Reflexiva).
b) Si (x, z)  R  (z, x)  R (simétrica).
c) Si (x, z)R (z, t)R  (x, t)R (transitiva)
Ejemplos de relaciones de IR en IR
1. x2
+y2
= 25
2. x2
+ y2
< 9
3. x2
+ y2
> 9
4. x2
+ y2
 9
5. (2,  1), donde R: 2x  y  5= 0
6. S  T, donde S: x2
+ y2
< 4
T: x2
+ y2
< 25
7. L1 // L2, donde L1: x  y=0, L2: y = x + 5
8. L1  L2, donde L1: x+y–1=0; L2: y =x–2
CCOONNTTEENNIIDDOO TTEEÓÓRRIICCOO::
FFUUNNCCIIOONNEESS RREEAALLEESS DDEE VVAARRIIAABBLLEE RREEAALL
Definición: Dados dos conjuntos no vacíos A y B
llamamos función definida en A y con valores en B, o
simplemente función de A en B a toda correspondencia
f que asocia a cada elemento, x  A un único elemento
y  B.
Notación funcional:
f : A  B v A B
f
Se lee f es función de A en B.
Condición de existencia y unicidad:
Sea: f: A  B
I. Para cada x  A, ! y  B / (x; y)  f.
II. Si: (x; y)  f  (x; z)  f  y = z
Ejemplo:
f = {(1; a); (2; b); (3; b); (4; c)}
Cumple la definición  es función.
En cambio:
5
9
13
a
b
c
A B
f
f = {(5, a); (9, b); (9, c); (13, a)}
No se cumple la condición de unicidad  no es
función.
Observación:
No deben existir dos o más pares ordenados diferentes
con el mismo primer elemento; en caso exista de acuerdo
a la definición, las segundas componentes tendrán que
ser iguales si no es así entonces no es función.
Ejemplo:
F = {(3; a-3); (5; 7); (3; 8); (5; b-1); (2; 9)}
Es función siempre y cuando:
a – 3 = 8  b – 1 = 7
Es decir: a = 11  b = 8.
Dominio de una función: Se llama así al conjunto de
todas las primeras componentes pertenecientes a una
función f, y se denota de la siguiente manera: Df ó Dom
f.
Df = {x  A/ ! y  B / (x, y)  f}
Rango de una función: Es el conjunto de todas las
segundas componentes de los pares ordenados que
forman la función f y se denota; Rf ó Rang f.
Rf = {y  B/ x  A  (x; y)  f}
Ejemplo:
Sea: f = {(1; 2); (4; 7); (5; 4); (9; 10)}
 Df = {1; 4; 5; 9}
Rf = {2; 7; 4; 10}
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Regla de correspondencia.- Es la relación que existe
entre las primeras y segundas componentes de una
función.
Donde:
x: variable independiente
y: variable dependiente
Sea la siguiente función:
f = {(1; 1); (2; 4); (3; 9); (4; 16)….}
Luego:
f(1) = 1; f(2) = 4; f(3) = 9; f(4) = 16 ..........
En general: f(x) = x2
; x  N
Función real de variable real
Sea f una función de A en B.
(f: A  B), si: A  R B  R
Diremos que f es una función real de variable real.
Gráfica: Si f es una función real de variable real, la
gráfica de f es la representación geométrica de los pares
ordenados que pertenecen a f.
Gráfica. = {(x; y)  R2
/ y = f(x), x  Df}
Teorema.- Si f es una función de R en R  toda recta
paralela al eje “y” corta la gráfica a lo más en un punto.
x
y
f
Es función
x
y
f
No es función
x
y
f
No es función
Funciones especiales
1. Función Constante
Regla de Correspondencia: f(x) = C;
Df = R, Rf ={C}
y
C
C > 0
C = 0
C < 0
x
2. Función Identidad
Regla de correspondencia: f(x) = x ó I(x) = x
y
f
x
Df = R
Rf = R
45°
3. Función Valor Absoluto
Regla de correspondencia
y
f
x
45°45°
f(x) = |x| =





0xx ;
0xx ;
Df = R
Rf = 
0R
4. Función Lineal
Regla de correspondencia
f(x) = ax + b; a  0
Df = R
Rf = R
y
b
x-b/a
a > 0
b > 0
5. Función cuadrática
Regla de correspondencia
f(x) = ax2
+ bx + c; a  0, {a, b, c} R Df = R
Toda función cuadrática se puede llevar a la forma:
f(x) = a(x-h)2
+ k
Donde: V = (h; k) vértice.
x
y
> 0
v
v
a<0
a>0
x
y
= 0
v
a<0
a>0

x
y
< 0
v
a<0
a>0
v
 = discriminante

2
= b - 4ac
Donde:
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6. Función Raíz Cuadrada
Regla de correspondencia: f(x) = x
y
F
x
Df = R
Rf = R
+
0
+
0
7. Función Signo
Regla de correspondencia









0xsi1
0xsi0
0xsi1
Sgn(x)F(x)
:,
:,
:,
Dom F = R; Rang F = {-1; 0; 1}
y
x
-1
1
Álgebra de funciones
1. Igualdad de Funciones:
Las funciones f y g son iguales si se cumple:
a. Df = Dg (igual dominio)
b. f(x) = g(x),  x  Df = Dg
A continuación vamos a definir las diferentes
operaciones que se pueden establecer con las
funciones.
Sean las funciones f, g con dominios Df y Dg
respectivamente.
i. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
D(f + g) = Df  Dg
ii. (f – g)(x) = f(x) – g(x)
D(f – g) = Df  Dg
iii. (f.g) (x) = f(x). g(x)
D(f. g) = Df  Dg
iv. (f/g)(x) =
)(
)(
xg
xf
; g(x)  0
D(f/g) = Df  Dg  g(x)  0
Observación:
Si:
(f. f. f. f. . . . . . f)(x) = f(x) . f(x) . . . . . f(x)
n veces n veces
Entonces:
n
xf )( = Df;][f nn
(x) = Df : n  N
Ejemplo:
Dadas las funciones:
F = {(-3;4); (-1;0); (2;0); (3;1); (4;1); (5;3); (6;6)}
G= {(-4;3); (-3;0); (1;0); (2;3); (3;3); (4;6); (6;6);
(7;5)}
Determinar:
a) f  g b) f . g c) f/g
d) g/f e) f2
- 2g
PPRRÁÁCCTTIICCAA DDEE CCLLAASSEE
01.Sean A = {1, 2, 3} B = {4, 5}
Cuáles de los siguientes conjuntos son relaciones de
A en B.
I.- {(1, 4) (2, 4)}
II.- {(1, 5) (2, 4) (4, 3)}
III.- {(3, 5) (2, 5)}
a) Sólo I b) sólo I y II c) sólo I y III
d) III y II e) N.A.
02. Dado el número U = {1, 2, 3, 4} y las relaciones:
R1 = {(x, y) / x = y}
R2 = {(x, y) / y = 4}
R3 = {(x, y) / x > y}
El número de elementos de R3 – (R1 U R2) es:
a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9
03.Si R es una relación en A = {2, 3, 9} tal que R ={(x,
y)  A x A/ y + 1 <x2
} entonces:
I) Dom(R) = {2, 3}
III) Dom(R)=Ran(R)
II) Ran(R)= {9}
IV) R tiene 7 elementos
a) Sólo I y II b) sólo II y IV c) I, II y III
d) sólo III y IV e) N.A.
04.Dada la relación R definida con los números reales:
R = {(x, y) / x-y < 5}
Cuáles de las siguientes afirmaciones son
verdaderas:
I) R es reflexiva
II) R es simétrica
III) R es transitiva
IV) R no es de equivalencia
a) Sólo I b) sólo II y III c) I, III y II
d) sólo I, II y IV e) N.A.
05.Si R = {(x, y) / 2x – y = 5}  M x M, donde: M =
{1, 2, 3, 4, ......, 9} y si “m” es la suma de todos los
elementos del dominio de R y “n” es la suma de
todos los elementos del rango de R, entonces:
Hallar el valor de m.n.
a) 620 b) 625 c) 630
d) 635 e) N.A.
06.De un conjunto A a un conjunto B se pueden formar
1024 relaciones, si el conjunto A tiene dos
elementos. Cuántos elementos tiene el conjunto B.
a) 10 b) 6 c) 8 d) 5 e) 7
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07.Sean las relaciones:
R ={(1;3) (2;4)(3;5)(1;1)(2;2)(4;2)(3;1)}
T = {(x, y) / (y, x) e R}. Entonces ¿Cuáles de las
afirmaciones siguientes son falsas?
I) R es transitiva pero no simétrica
II) R  T = {(1; 1) , (2; 2)}
III) Dom (R) - Dom (T)  
a) Sólo I b) sólo II c) sólo III
d) sólo I y II e) todas
08.Hallar el dominio (Df) y el rango (Rf) de la
siguiente función:
f={(2,5);(-1,-3);(2,2a-b);(-1,b-a);(a+b2
, a)}
Luego indicar: Df  Rf
a) {3} b) {-1} c) {2}
d) {5} e) {}
09. Hallar a + b, si el dominio de la función:
F(x) = 1x4
x87x3
1x 2
2
2



Es x  [-a; -b] U [b; a]
a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2/3 e) 1/6
10.Calcular el rango de:
f(x) = 1x4x2

Sabiendo que: x  <2, 4>
a) <-15; 35> b) < 35;15 >
c) <13;33> d) < 33;13 >
e) < 21;10 >
11. Hallar el rango de la siguiente función:
F(x) = 2x2
+ 3x + 2; x  R
a) [1/8; +>b) [7/8; +>c) [-1; 2]
d) <-; 7/8>e) N.A.
12.Hallar el rango de la función:
F(x) =
64x5
x
2
2

a) [0; 1/5> b) <-; 1/5] c) [0; 5>
d) [1/5; +>e) N.A.
13.Hallar el rango de la siguiente función:
F(x) =
4x2x
4x2x
2
2


a) [-1/3; 0] b) [1/3; 3] c) [1; 6]
d) [1/3; 4] e) [-3; 1]
14.Hallar el rango de:
F(x) =
3|3x|x
|3x|x


a) {0} b) [3; +> c) <-; 3]
d) {3; -3} e) <-; 0>
15.Hallar el rango de la función:
G(x) = x2
- 6x + 3; si x  <-2; 5>
a) <-6; 19> b) [-5; 10> c) [-6; 19>
d) <-6; 6> e) [-7; 10>
16. Hallar el rango de la siguiente función:
F(x) =
10x3x6x
)8x6x)(x5x4x(
23
223


a) <-2; 5> U <5; +>
b) <-4; 3> U <3; +>
c) <-4; 6>
d) <-4; 5> U <5; +>
e) <-3; 5>
17. Determinar el rango de:
F = {(x; y)  R2
/y = 25x4x2
 }
a) R b) [3; +> c) <2; +>
d) [2; +> e) <3; +>
18. Si: F(x) = 3x2x 
G(x) = )3x)(2x( 
Indicar lo correcto:
a) F = G b) F = 2G c) F = 3G
d) F + G = 0 e) F  G
19. Sean las funciones:
F = {(-3,2); (0,0); (2,4); (3,-1), (4,3)}
G = {(2,0); (3,4); (4,7); (6,2)}
Hallar la suma de valores extremos de:
(F + G).
a) 6 b) 10 c) 3
d) 13 e) N.A.
20. Hallar la gráfica de la siguiente función:
F(x) = (x + 2)2
– 4
e) N.A.
a)
x
y b)
x
y
d)
x
yc)
x
y
21. Hallar la gráfica de: F(x) = 23x 
e) N.A.
a)
x
b)
d)c)
y
-2
3
y
3
y
3
y
2
x x
x
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EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03
01. Si F(x) = 4 |x|3
G = {(-4,1); (-3,0); (-1,5); (2,-1); (7,4)}
Indicar el número de elementos de G/F.
a) 3 b) 1 c) 2
d) 4 e) 5
02.Dado el conjunto A = {a, b, c, d} y las relaciones:
R1 = {(a, a), (d, d), (a, d), (d, a)}
R2 = {(c, c), (b, b)}
R3 = {(a, a), (b, b), (c, b), (d, a)}, son transitivas:
a) R1, R2 b) R1, R3 c) R2, R3
d) N.A. e) Todas
03.Sea R una relación definida en el conjunto
{x/x=2n , n e Z+
,5 < x < 25} y sea n(R) el número de
elementos de R. Cuáles de las siguientes
proposiciones son verdaderas.
I) n(R) = 10  R no es reflexiva
II) n(R) = 10  R es reflexiva
III) R es transitiva  n(R) > 3
Son verdaderas:
a) Sólo I b) sólo II c) sólo III
d) sólo I y II e) Todas
04.En el conjunto [1,8]  Z se define la relación R
cómo. a R b  a es divisor de b. Hallar n(R)
a) 16 b) 18 c) 20
d) 22 e) 24
05.Si el conjunto M tiene 2 elementos, entonces el
número de relaciones binarias en MxM es:
a) 22
b) 24
c) 28
d) 216
e) N.A.
06.Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y la siguiente relación en A:
R = {(2,2), (2,1), (1,1), (4,4), (3,z), (x,y) , (x,z) ,
(2,3) , (z,y) , (3,1)} Si R es una relación de
equivalencia.
Hallar el valor de: 3x + 2y – z
a) 2 b) 4 c) 0
d) 7 e) N.A.
07.Sea R una relación en: A={1,2,3,4,5,6} definida por
“x es divisor de y”, entonces:
1. R es reflexiva
2. R es simétrica
3. R es Transitiva
Son ciertas solamente:
a) Todas b) 1,2 c) 1,3
d) 2,3 e) N.A.
08.Son funciones:
a
b
c
1
2
3
4
A B
(1)
a
b
c
1
2
A B
(2)
a
b
1
2
A B
3
(3)
a
b
1
2
A B
(4)
Son ciertas solamente:
a) Todas b) 1; 2 y 3 c) 2; 3 y 4
d) 3 y 4 e) N.A.
09.Se tiene los siguientes conjuntos de pares ordenados:
1.- {(1,2), (2,3), (3,4), (4,3)}
2.- {(2,1), (3,2), (4,3), (3,4)}
3.- {(3,4), (2,3), (4,1), (2,3)}
4.- {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)}
Son funciones solamente:
a) Todas b) 1,2 y 3 c) 1,3 y 4
d) 1,3 y 5 e) N.A.
10.Sea f: A  R definida por f (x) = 4x
– 4.
Hallar el rango de f si:
A = {-1/2; -1; 0; 1; ½}
a) {0, -1, -2, -3, -4}
b) {-2, -3, 0, 3, 2}
c) {7/2, 15/4, 2, 3, 0}
d) {-15/4, -7/2, 0}
e) {–7/2, –15/4, –3, –2, 0}
11.Los siguientes gráficos representan funciones:
y
x
y
x
(1) (2)
y
x
(3)
Son ciertas solamente:
a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
Página 7 de 10
d) 2 y 3 e) N.A.
12.Sean los conjuntos:
A = {2, 3, 4} y B = {3, 4, 5} y las siguientes
relaciones de A en B.
1.- {(2, 3), (3, 4), (4, 5)}
2.- {(3, 2), (4, 3), (5,4)}
3.- {(3, 3), (4, 4)}
Son funciones de A en B:
a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
d) 2 y 3 e) N.A.
13.¿Cuáles de los siguientes conjuntos describen a una
función A x A:
A = {1, 2, 3, 4, 5}
1.- {(x, y)  A2
/ x = 4}
2.- {(x, y)  A2
/ y = 4}
3.- {(x, y)  A2
/ x + y = 6}
4.- {(x, y)  A2
/ x2
+ y2
= 25
5.- {(x, y)  A2
/ x < y}
a) Todas b) 1,2 y 5 c) 2,3 y 4
d) 1,3 y 4 e) 3,4 y 5
14.Sea A = {x  N / 0 < x < 5}
¿Cuántos de los siguientes conjuntos son funciones
de A en A?
R1 = {(x, y)  A x A / x = 2}
R2 = {(x, y)  A x A / y = 2}
R3 = {(x, y)  A x A / x + y = 5}
R4 = {(x, y)  A x A / x = y2
}
a) R1  R2 b) R2  R3  R4 c) sólo R3
d) todas e) R1 y R4
15.Para A = {1, 2, 3} , B = {3, 4, 5}
Sean f y g dos aplicaciones de A en B tales que:
f = {(1, 3), (2, 4), (a, b)} y
g = {(3, 3), (2, 4), (c, d)}
Si: x  A, f(x)  x,
Rango (f)  B y g (1) = 3
Hallar el valor de: (b – a) – (c – d)
a) 2 b) 4 c) –2
d) –1 e) N.A.
16.Si f es una función. ¿Cuáles son verdaderas?
I) Si a = b  f(a) = f(b)
II) Si a  b  f(a)  f(b)
III) Si f(a) = f(b)  a = b
a) I b) II c) III
d) todas e) I y III
17.Sean:
A = {2, 4, 6, 8, 10} , B = {a, b, c, d, e}
¿Cuáles de las siguientes relaciones definen
aplicaciones de A en B?
R1 = {(2, a), (4, c), (10, c), (8, e), (6, e)}
R2 = {(10, a), (6, b), (2, a), (6, e), (4, d)}
R3 = {(6, a), (4, b), (8, c), (10, e)}
R4 = {(a, b), (4, e), (6, a)}
R5 = {(10, b), (8, b), (4, b), (2, b), (6, b)}
a) R1  R3 b) R1  R5 c) R3, R4; R5
d) todas e) N.A.
18.¿Cuál de los siguientes conjuntos es función?
I) {(1, 3), (2, -2), (-1, 7), (2, -4)}
II) {(1, 0), (0, 0), (2, 0), (3, 0)}
III) {(1/2,3), (1/3,2), (1/5,1)
IV) {(3,4), (5,2), (6,2), (3,4)}
a) I y II b) I, II y III c) II, III, IV
d) I e) todas
19.Si el siguiente conjunto es una función
{(3,-2), (4,2a - b), (8,1), (3,a + b), (4,-4)}, el valor
de a2
+ b2
es:
a) 1 b) 3 c) 0 d) 4 e) 5
20. Sean las funciones:
F = {(-3,2); (0,0); (2,4); (3,-1); (4,3)}
G = {(2,0); (3,4); (4,7); (5,2)}
Hallar la suma de elementos del rango de:
(F2
+ 3 G)
a) 16 b) 13 c) 30 d) 59 e) N.A.
TTAARREEAA DDOOMMIICCIILLIIAARRIIAA
01.Dado el conjunto: A = {2; 4; 6} y las relaciones en
A:
R1 = {(2; 2), (2; 4), (4; 4 ), (6; 6), (4; 2)}
R2 = {(x, y) / y – x = 0}
R3 = {(x; y) / y – 2 = x};
¿Cuáles son relaciones de equivalencia?
a) R1 b) R2 c) R1 y R3
d) R2 y R3 e) R1 y R2
02.Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} y las relaciones
en A:
I) R1={(1;2), (1;3), (1;4), (2;3), (2;4), (3;4)}
II) R2 = {(x; y) /x2
+ y2
= 5}  {(1; 1)}
III) R3 = {(1; 1), (2; 2), (2; 3)}
Indicar las relaciones transitivas.
a) II b) I  II c) II  III
d) I, II  III e) I  III
03.Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} y las relaciones
en A:
R1={(1;2), (2 ;3), (2;1), (3;4), (3;2), (4; 3), (3;3)}
R2 = {(x; y) / x2
+ y2
= 5}
R3 = {(x; y) / y = x – 2};
¿Cuáles son simétricas?
a) R1  R3 b) R1 c) R1  R2
d) R2 e) R3
04.Dado el conjunto: A = {-2; -1; 3; 4} y las relaciones
en A:
R1 = {(-2,-1), (-2;-2), (-1; 2), (-1;-1), (3;3),
(4; 4)} …........... ( )
R2 = {(x; y) /  x  =  y  ............... ( )
R3 = {(x; y) / y = x – 2}............... ( )
Indicar con una V si es reflexiva y con una F si no lo
es.
a) VVF b) VFF c) FVF
d) VVV e) VFV
05.Dados los conjuntos:
A = {x  R / 3 < x < 6}
B = {x  R / x  [-1; 4]}. Calcular el área que
determina la gráfica de A x B
a) 222
b) 62
c) 152
d) 122
e) 82
Página 8 de 10
06. Son funciones inyectivas:
a
b
c
1
2
3
A B
a
b
1
2
A B
3
(1) (2)
a
b
c
1
2
A B
(3)
a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
d) 2 y 3 e) N.A.
07. Son funciones sobreyectivas:
a
b
c
1
2
3
A B
a
b
1
2
3
A B
(1) (2)
a
b
c
1
2
3
A B
(3)
a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
d) 2 y 3 e) 3
08.Son funciones biyectivas:
a
b
c
1
2
3
A B
a
b
1
2
3
A B
(1) (2)
a
b
c
1
2
A B
(3)
a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
d) 2 y 3 e) 1
09. Graficar la función: F(x) = ||x-2| - 2|
a)
x
b)y y
2
x
c) y
4
x
d) y
x
e) y
x
10. Graficar: F(x) = | 1x2  |
e) N.A.
a) b)
d)c)
x
y
2
y
-2
x
x
y
2
x
y
2
-1
1
11. Sean las funciones:
F = {(0, 2 ); (1, 52  ); (2, 0)}
G = {(0, 8 ); (2, 1/2); (4; 3 )}
Hallar M = (F.G)(2)
a) 1 b) 0 c) 2
d) 3 e) N.A.
12. Graficar la función: F(x) = Sgn 







2x
1x
e)N.A.
a)
x
y
-1
1-2
1
c)
x
y
-1
1
-2 1
b)
x
y
-1
1
d)
x
y
-1
1
Página 9 de 10
13. Dadas las funciones:
F(x) = 3x - 5; x  [0, 6]
G(x) =






],;
],[;
42xx
21xx2x2
Hallar: (F + G)
a)(F+G)(x)=






]4,2xSi;5xx3
]2,0[xSi;5xx2
b) (F+G)(x) =






]4,2xSi;5xx3
]2,0[xSi;5xx2
c) (F+G)(x) =






]5,4xSi;5xx3
]3,0[xSi;5xx2
d) (F+G)(x) =






]4,2xSi;5xx3
]2,0[xSi;5xx2
e) N.A.
14. Hallar el rango de la función:
F =  













04xx/
4x
x
,x 2
a) <-; 1]
b) <-; 1] U <1, +] U {0}
c) <1; +>
d) [-1; 1>
e) <-; 0> U <1; +>
15. Hallar el rango de la función:
F(x) = x2
- 2|x| - 3
a) [-4; +>
b) [-2; +>
c) [-1; +>
d) [-6; +>
e) [1; +>
16. Hallar el rango de la función:
F(x) =
|1x|
1xxx 23


a) <-; -1> U [2; +>
b) <-; -3> [2; +>
c) <-; -2> [1; +>
d) <-; -2] U <2; 4>
e) R - {-1}
17. Determinar el rango de:
F(x) = |x + 8| - |x – 8|
a) [-4; 4] b) [-8; 8] c) [-16; 16]
d) [8; +> e) <-; 8]
18. Graficar F(x) = x|x|.
e) N.A.
a)
x
y
c)
x
y
b)
x
y
d)
x
y
19. Sean las funciones en R:
h(x) = x2
- 4x + 7
g(x) = x2
- 10x - 27
Si: h(xO)  h(x);  x  Dom h
y g(x1)  g(x);  x  Dom g.
Hallar: x-x 10 .
a) -3 b) 3 c) 7
d) -7 e) N.A.
20. Si las gráficas de F(x) y G(x) son:
x
y
b
F
a
x
y
G
Hallar la gráfica de:
H(x) =
2
|)x(G)x(F|)x(G)x(F 
x
ya)
x
yb)
y
x
c)
x
yd)
e) N.A.
Página 10 de 10
Problemas de aplicación
01. La función para la demanda de un cierto
producto está dada por:
ppfq 501500)( 
Donde q representa el número de unidades
demandadas y p el precio.
a) Encuentre una relación del ingreso en función
del precio.
b) Determine el precio que hace máximo el
ingreso.
c) Determine la magnitud del ingreso máximo.
d) La gráfica de la relación del ingreso.
e) ¿Para qué valores de p, el ingreso es cero?
02. Graficar: 12)( 2
 xxxh ; determina:
a) Dominio y rango
b) Intersecciones con los ejes.
c) Coordenadas del vértice, indicando se es
máximo o mínimo
03. Después de 5 años, a partir de la fecha de
adquisición de cierto equipo, el valor en libros fue
de $62,000 dólares. Al transcurrir 3 años más su
valor es de $39,500 dólares. Suponga que se
deprecia linealmente.
a) Expresa el valor en libros V en función de t años
(Vida útil). Grafica V(t)
b) ¿Cuál fue el costo de adquisición del equipo?
¿Cuánto disminuye anualmente el valor en libros?
04. Si en un edificio de 60 departamentos, se fija
una renta de $420 por departamento, todos serán
ocupados.
Por experiencia se sabe que por cada incremento
de $10 en la renta, un departamento quedará
vacío.
¿Qué renta deberá fijarse para obtener un ingreso
máximo?
¿Cuál es el ingreso?
Grafica la función de ingreso en función de las
veces como vas incrementando la renta.
05. Obtén para la función :124)( 2
 xxxf
a) Dominio y rango.
b) Las intersecciones con los ejes cartesianos.
c) Las coordenadas del vértice, señalando si es un
punto máximo o un mínimo.
d) Intervalos donde es creciente o decreciente.
e) Intervalos donde es positiva e intervalos donde
es negativa.
f) La gráfica de la función.
06. Enviar un paquete por mensajería tiene un
costo de $20 por cada 100 gramos o fracción
menor. Si )(xf es la función que describe el costo
de envío de un paquete que pesa x gramos:
a) Grafique )(xf
b) Indique cuál es el dominio e imagen de )(xf
07. Sean RRf : y RRg : las funciones
dadas por las reglas 53)(  xxf y
2
2)( xxg  . Determina:
(a) ))2((gf , )5)(( gf  , )6)(( gg  , ))4(( fg ,
))(( xgf y ))(( xfg
08. Sean
1
1
)(



x
x
xf y
1
1
)(


x
xg . Calcula:
))()((
))()((
))()((
))()((
xggd
xffc
xfgb
xgfa




09. Determine:
i) ))(/(),)((),)((),)(( xgfxfgxgfxgf 
ii) El dominio de fggfgf ,, 
iii) El dominio de
g
f
a) 2)( 2
 xxf ; 12)( 2
 xxg
b) 5)(  xxf ; 5)(  xxg
c) xxf 23)(  ; 4)(  xxg
d)
4
2
)(


x
x
xf ;
5
)(


x
x
xg
10. Sea 1833)( 2
 xxxf , encuentre lo
siguiente:
a) Coordenadas del vértice.
b) Intervalos donde es creciente ó decreciente.
c) Intervalos donde es positiva o negativa.
d) Valores máximos ó mínimos.
e) Dominio y rango.
Bibliografía
1. James Steward. Cálculo. Grupo Editorial
Iberoamericana.
2. Dennis G. Zill. Cálculo. Grupo Editorial
Iberoamericana3. E. Purcell y D.
Varberg. Cálculo. Prentice Hall.
4. L. Leithold. El Cálculo. Harla.
5. Dowling Edward T. Cálculo. MacGraw Hill.
Referencia
http://allman.rhon.itam.mx/~alfaro/Ejercicios%2
02.doc
https://www.migueltarazonagiraldo.com/bloques

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Funciones

  • 1. Página 1 de 10 DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA Matemática Básica I Mg.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo E-mail: mitagi@gmail.com - mitagi@hotmail.com http://migueltarazonagiraldo.com/ Febrero del 2020 FUNCIONES OOBBJJEETTIIVVOOSS EESSPPEECCIIFFIICCOOSS:  Diferenciar las Relaciones de las funciones.  Encontrar dominios e imágenes de las funciones  Graficar las funciones más importantes  Hallar el número real (valor numérico) o la expresión algebraica (cambio de variable) que resulta de reemplazar una o más variables por valores numérico o algebraico. CCOOMMEENNTTAARRIIOO PPRREEVVIIOO:: Par ordenado: Un par ordenado es un conjunto formado por dos elementos en el que se introduce un orden “natural”. Notación: ( a; b ) 2do. componente 1er. componente Propiedad: Producto cartesiano: Dados dos conjuntos A y B el producto cartesiano de ambos se denota por A x B y se define como el conjunto de pares ordenados, cuyo primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto. Es decir: Propiedad: Si: n representa el número de elementos de un conjunto determinado. Se cumple que: RELACIONES BINARIAS: Sean A y B dos conjuntos diferentes del vacío, decimos que el conjunto “R es una relación binaria de A es B”, si R es un subconjunto del producto cartesiano A x B Simbólicamente: R: A  B; R  A x B con A   y B   Donde: A x B = {(a; b) / a  A  b  B} Gráficamente: R A Dominio de R Conjunto de partida Conjunto de llegada Rango de R B Dominio: Es el conjunto formado por los primeros componentes de los pares ordenados (a: b) que pertenece a R. Simbólicamente: Dom (R) = {a  A /  b  B  (a, b)  R} Rango: Es el conjunto formado por los segundos componentes de los pares ordenados (a; b) que pertenecen a R. Simbólicamente: Rango (R) = {b  B /  a  A  (a, b)  R} Nota importante: Las siguientes notaciones son equivalentes y se usan indistintamente. Lo que el estudiante debe saber es interpretarlos. a R b  b = R (a)  ( a; b )  R Equivalente: x R y  y = R(x)  (x; y)  R Si (a; b) = (c; d)  a = c  b = d n (A x B) = n (A) x n (B) A x B = {(a; b)/a  A  b  B}
  • 2. Página 2 de 10 Si: R: IR  IR, además IR x IR = {(x, y) / x  IR  y  IR} Relación de equivalencia: Se dice que “R” es una relación de equivalencia sobre un conjunto A  , a toda relación de A en A que goza de las tres siguientes propiedades: a)  x  A  (x, x)  R  x R x (Reflexiva). b) Si (x, z)  R  (z, x)  R (simétrica). c) Si (x, z)R (z, t)R  (x, t)R (transitiva) Ejemplos de relaciones de IR en IR 1. x2 +y2 = 25 2. x2 + y2 < 9 3. x2 + y2 > 9 4. x2 + y2  9 5. (2,  1), donde R: 2x  y  5= 0 6. S  T, donde S: x2 + y2 < 4 T: x2 + y2 < 25 7. L1 // L2, donde L1: x  y=0, L2: y = x + 5 8. L1  L2, donde L1: x+y–1=0; L2: y =x–2 CCOONNTTEENNIIDDOO TTEEÓÓRRIICCOO:: FFUUNNCCIIOONNEESS RREEAALLEESS DDEE VVAARRIIAABBLLEE RREEAALL Definición: Dados dos conjuntos no vacíos A y B llamamos función definida en A y con valores en B, o simplemente función de A en B a toda correspondencia f que asocia a cada elemento, x  A un único elemento y  B. Notación funcional: f : A  B v A B f Se lee f es función de A en B. Condición de existencia y unicidad: Sea: f: A  B I. Para cada x  A, ! y  B / (x; y)  f. II. Si: (x; y)  f  (x; z)  f  y = z Ejemplo: f = {(1; a); (2; b); (3; b); (4; c)} Cumple la definición  es función. En cambio: 5 9 13 a b c A B f f = {(5, a); (9, b); (9, c); (13, a)} No se cumple la condición de unicidad  no es función. Observación: No deben existir dos o más pares ordenados diferentes con el mismo primer elemento; en caso exista de acuerdo a la definición, las segundas componentes tendrán que ser iguales si no es así entonces no es función. Ejemplo: F = {(3; a-3); (5; 7); (3; 8); (5; b-1); (2; 9)} Es función siempre y cuando: a – 3 = 8  b – 1 = 7 Es decir: a = 11  b = 8. Dominio de una función: Se llama así al conjunto de todas las primeras componentes pertenecientes a una función f, y se denota de la siguiente manera: Df ó Dom f. Df = {x  A/ ! y  B / (x, y)  f} Rango de una función: Es el conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados que forman la función f y se denota; Rf ó Rang f. Rf = {y  B/ x  A  (x; y)  f} Ejemplo: Sea: f = {(1; 2); (4; 7); (5; 4); (9; 10)}  Df = {1; 4; 5; 9} Rf = {2; 7; 4; 10}
  • 3. Página 3 de 10 Regla de correspondencia.- Es la relación que existe entre las primeras y segundas componentes de una función. Donde: x: variable independiente y: variable dependiente Sea la siguiente función: f = {(1; 1); (2; 4); (3; 9); (4; 16)….} Luego: f(1) = 1; f(2) = 4; f(3) = 9; f(4) = 16 .......... En general: f(x) = x2 ; x  N Función real de variable real Sea f una función de A en B. (f: A  B), si: A  R B  R Diremos que f es una función real de variable real. Gráfica: Si f es una función real de variable real, la gráfica de f es la representación geométrica de los pares ordenados que pertenecen a f. Gráfica. = {(x; y)  R2 / y = f(x), x  Df} Teorema.- Si f es una función de R en R  toda recta paralela al eje “y” corta la gráfica a lo más en un punto. x y f Es función x y f No es función x y f No es función Funciones especiales 1. Función Constante Regla de Correspondencia: f(x) = C; Df = R, Rf ={C} y C C > 0 C = 0 C < 0 x 2. Función Identidad Regla de correspondencia: f(x) = x ó I(x) = x y f x Df = R Rf = R 45° 3. Función Valor Absoluto Regla de correspondencia y f x 45°45° f(x) = |x| =      0xx ; 0xx ; Df = R Rf =  0R 4. Función Lineal Regla de correspondencia f(x) = ax + b; a  0 Df = R Rf = R y b x-b/a a > 0 b > 0 5. Función cuadrática Regla de correspondencia f(x) = ax2 + bx + c; a  0, {a, b, c} R Df = R Toda función cuadrática se puede llevar a la forma: f(x) = a(x-h)2 + k Donde: V = (h; k) vértice. x y > 0 v v a<0 a>0 x y = 0 v a<0 a>0  x y < 0 v a<0 a>0 v  = discriminante  2 = b - 4ac Donde:
  • 4. Página 4 de 10 6. Función Raíz Cuadrada Regla de correspondencia: f(x) = x y F x Df = R Rf = R + 0 + 0 7. Función Signo Regla de correspondencia          0xsi1 0xsi0 0xsi1 Sgn(x)F(x) :, :, :, Dom F = R; Rang F = {-1; 0; 1} y x -1 1 Álgebra de funciones 1. Igualdad de Funciones: Las funciones f y g son iguales si se cumple: a. Df = Dg (igual dominio) b. f(x) = g(x),  x  Df = Dg A continuación vamos a definir las diferentes operaciones que se pueden establecer con las funciones. Sean las funciones f, g con dominios Df y Dg respectivamente. i. (f + g)(x) = f(x) + g(x) D(f + g) = Df  Dg ii. (f – g)(x) = f(x) – g(x) D(f – g) = Df  Dg iii. (f.g) (x) = f(x). g(x) D(f. g) = Df  Dg iv. (f/g)(x) = )( )( xg xf ; g(x)  0 D(f/g) = Df  Dg  g(x)  0 Observación: Si: (f. f. f. f. . . . . . f)(x) = f(x) . f(x) . . . . . f(x) n veces n veces Entonces: n xf )( = Df;][f nn (x) = Df : n  N Ejemplo: Dadas las funciones: F = {(-3;4); (-1;0); (2;0); (3;1); (4;1); (5;3); (6;6)} G= {(-4;3); (-3;0); (1;0); (2;3); (3;3); (4;6); (6;6); (7;5)} Determinar: a) f  g b) f . g c) f/g d) g/f e) f2 - 2g PPRRÁÁCCTTIICCAA DDEE CCLLAASSEE 01.Sean A = {1, 2, 3} B = {4, 5} Cuáles de los siguientes conjuntos son relaciones de A en B. I.- {(1, 4) (2, 4)} II.- {(1, 5) (2, 4) (4, 3)} III.- {(3, 5) (2, 5)} a) Sólo I b) sólo I y II c) sólo I y III d) III y II e) N.A. 02. Dado el número U = {1, 2, 3, 4} y las relaciones: R1 = {(x, y) / x = y} R2 = {(x, y) / y = 4} R3 = {(x, y) / x > y} El número de elementos de R3 – (R1 U R2) es: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 03.Si R es una relación en A = {2, 3, 9} tal que R ={(x, y)  A x A/ y + 1 <x2 } entonces: I) Dom(R) = {2, 3} III) Dom(R)=Ran(R) II) Ran(R)= {9} IV) R tiene 7 elementos a) Sólo I y II b) sólo II y IV c) I, II y III d) sólo III y IV e) N.A. 04.Dada la relación R definida con los números reales: R = {(x, y) / x-y < 5} Cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas: I) R es reflexiva II) R es simétrica III) R es transitiva IV) R no es de equivalencia a) Sólo I b) sólo II y III c) I, III y II d) sólo I, II y IV e) N.A. 05.Si R = {(x, y) / 2x – y = 5}  M x M, donde: M = {1, 2, 3, 4, ......, 9} y si “m” es la suma de todos los elementos del dominio de R y “n” es la suma de todos los elementos del rango de R, entonces: Hallar el valor de m.n. a) 620 b) 625 c) 630 d) 635 e) N.A. 06.De un conjunto A a un conjunto B se pueden formar 1024 relaciones, si el conjunto A tiene dos elementos. Cuántos elementos tiene el conjunto B. a) 10 b) 6 c) 8 d) 5 e) 7
  • 5. Página 5 de 10 07.Sean las relaciones: R ={(1;3) (2;4)(3;5)(1;1)(2;2)(4;2)(3;1)} T = {(x, y) / (y, x) e R}. Entonces ¿Cuáles de las afirmaciones siguientes son falsas? I) R es transitiva pero no simétrica II) R  T = {(1; 1) , (2; 2)} III) Dom (R) - Dom (T)   a) Sólo I b) sólo II c) sólo III d) sólo I y II e) todas 08.Hallar el dominio (Df) y el rango (Rf) de la siguiente función: f={(2,5);(-1,-3);(2,2a-b);(-1,b-a);(a+b2 , a)} Luego indicar: Df  Rf a) {3} b) {-1} c) {2} d) {5} e) {} 09. Hallar a + b, si el dominio de la función: F(x) = 1x4 x87x3 1x 2 2 2    Es x  [-a; -b] U [b; a] a) 1/2 b) 1 c) 3/2 d) 2/3 e) 1/6 10.Calcular el rango de: f(x) = 1x4x2  Sabiendo que: x  <2, 4> a) <-15; 35> b) < 35;15 > c) <13;33> d) < 33;13 > e) < 21;10 > 11. Hallar el rango de la siguiente función: F(x) = 2x2 + 3x + 2; x  R a) [1/8; +>b) [7/8; +>c) [-1; 2] d) <-; 7/8>e) N.A. 12.Hallar el rango de la función: F(x) = 64x5 x 2 2  a) [0; 1/5> b) <-; 1/5] c) [0; 5> d) [1/5; +>e) N.A. 13.Hallar el rango de la siguiente función: F(x) = 4x2x 4x2x 2 2   a) [-1/3; 0] b) [1/3; 3] c) [1; 6] d) [1/3; 4] e) [-3; 1] 14.Hallar el rango de: F(x) = 3|3x|x |3x|x   a) {0} b) [3; +> c) <-; 3] d) {3; -3} e) <-; 0> 15.Hallar el rango de la función: G(x) = x2 - 6x + 3; si x  <-2; 5> a) <-6; 19> b) [-5; 10> c) [-6; 19> d) <-6; 6> e) [-7; 10> 16. Hallar el rango de la siguiente función: F(x) = 10x3x6x )8x6x)(x5x4x( 23 223   a) <-2; 5> U <5; +> b) <-4; 3> U <3; +> c) <-4; 6> d) <-4; 5> U <5; +> e) <-3; 5> 17. Determinar el rango de: F = {(x; y)  R2 /y = 25x4x2  } a) R b) [3; +> c) <2; +> d) [2; +> e) <3; +> 18. Si: F(x) = 3x2x  G(x) = )3x)(2x(  Indicar lo correcto: a) F = G b) F = 2G c) F = 3G d) F + G = 0 e) F  G 19. Sean las funciones: F = {(-3,2); (0,0); (2,4); (3,-1), (4,3)} G = {(2,0); (3,4); (4,7); (6,2)} Hallar la suma de valores extremos de: (F + G). a) 6 b) 10 c) 3 d) 13 e) N.A. 20. Hallar la gráfica de la siguiente función: F(x) = (x + 2)2 – 4 e) N.A. a) x y b) x y d) x yc) x y 21. Hallar la gráfica de: F(x) = 23x  e) N.A. a) x b) d)c) y -2 3 y 3 y 3 y 2 x x x
  • 6. Página 6 de 10 EJERCICIOS PROPUESTOS N° 03 01. Si F(x) = 4 |x|3 G = {(-4,1); (-3,0); (-1,5); (2,-1); (7,4)} Indicar el número de elementos de G/F. a) 3 b) 1 c) 2 d) 4 e) 5 02.Dado el conjunto A = {a, b, c, d} y las relaciones: R1 = {(a, a), (d, d), (a, d), (d, a)} R2 = {(c, c), (b, b)} R3 = {(a, a), (b, b), (c, b), (d, a)}, son transitivas: a) R1, R2 b) R1, R3 c) R2, R3 d) N.A. e) Todas 03.Sea R una relación definida en el conjunto {x/x=2n , n e Z+ ,5 < x < 25} y sea n(R) el número de elementos de R. Cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas. I) n(R) = 10  R no es reflexiva II) n(R) = 10  R es reflexiva III) R es transitiva  n(R) > 3 Son verdaderas: a) Sólo I b) sólo II c) sólo III d) sólo I y II e) Todas 04.En el conjunto [1,8]  Z se define la relación R cómo. a R b  a es divisor de b. Hallar n(R) a) 16 b) 18 c) 20 d) 22 e) 24 05.Si el conjunto M tiene 2 elementos, entonces el número de relaciones binarias en MxM es: a) 22 b) 24 c) 28 d) 216 e) N.A. 06.Sea A = {1, 2, 3, 4, 5} y la siguiente relación en A: R = {(2,2), (2,1), (1,1), (4,4), (3,z), (x,y) , (x,z) , (2,3) , (z,y) , (3,1)} Si R es una relación de equivalencia. Hallar el valor de: 3x + 2y – z a) 2 b) 4 c) 0 d) 7 e) N.A. 07.Sea R una relación en: A={1,2,3,4,5,6} definida por “x es divisor de y”, entonces: 1. R es reflexiva 2. R es simétrica 3. R es Transitiva Son ciertas solamente: a) Todas b) 1,2 c) 1,3 d) 2,3 e) N.A. 08.Son funciones: a b c 1 2 3 4 A B (1) a b c 1 2 A B (2) a b 1 2 A B 3 (3) a b 1 2 A B (4) Son ciertas solamente: a) Todas b) 1; 2 y 3 c) 2; 3 y 4 d) 3 y 4 e) N.A. 09.Se tiene los siguientes conjuntos de pares ordenados: 1.- {(1,2), (2,3), (3,4), (4,3)} 2.- {(2,1), (3,2), (4,3), (3,4)} 3.- {(3,4), (2,3), (4,1), (2,3)} 4.- {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4)} Son funciones solamente: a) Todas b) 1,2 y 3 c) 1,3 y 4 d) 1,3 y 5 e) N.A. 10.Sea f: A  R definida por f (x) = 4x – 4. Hallar el rango de f si: A = {-1/2; -1; 0; 1; ½} a) {0, -1, -2, -3, -4} b) {-2, -3, 0, 3, 2} c) {7/2, 15/4, 2, 3, 0} d) {-15/4, -7/2, 0} e) {–7/2, –15/4, –3, –2, 0} 11.Los siguientes gráficos representan funciones: y x y x (1) (2) y x (3) Son ciertas solamente: a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3
  • 7. Página 7 de 10 d) 2 y 3 e) N.A. 12.Sean los conjuntos: A = {2, 3, 4} y B = {3, 4, 5} y las siguientes relaciones de A en B. 1.- {(2, 3), (3, 4), (4, 5)} 2.- {(3, 2), (4, 3), (5,4)} 3.- {(3, 3), (4, 4)} Son funciones de A en B: a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3 d) 2 y 3 e) N.A. 13.¿Cuáles de los siguientes conjuntos describen a una función A x A: A = {1, 2, 3, 4, 5} 1.- {(x, y)  A2 / x = 4} 2.- {(x, y)  A2 / y = 4} 3.- {(x, y)  A2 / x + y = 6} 4.- {(x, y)  A2 / x2 + y2 = 25 5.- {(x, y)  A2 / x < y} a) Todas b) 1,2 y 5 c) 2,3 y 4 d) 1,3 y 4 e) 3,4 y 5 14.Sea A = {x  N / 0 < x < 5} ¿Cuántos de los siguientes conjuntos son funciones de A en A? R1 = {(x, y)  A x A / x = 2} R2 = {(x, y)  A x A / y = 2} R3 = {(x, y)  A x A / x + y = 5} R4 = {(x, y)  A x A / x = y2 } a) R1  R2 b) R2  R3  R4 c) sólo R3 d) todas e) R1 y R4 15.Para A = {1, 2, 3} , B = {3, 4, 5} Sean f y g dos aplicaciones de A en B tales que: f = {(1, 3), (2, 4), (a, b)} y g = {(3, 3), (2, 4), (c, d)} Si: x  A, f(x)  x, Rango (f)  B y g (1) = 3 Hallar el valor de: (b – a) – (c – d) a) 2 b) 4 c) –2 d) –1 e) N.A. 16.Si f es una función. ¿Cuáles son verdaderas? I) Si a = b  f(a) = f(b) II) Si a  b  f(a)  f(b) III) Si f(a) = f(b)  a = b a) I b) II c) III d) todas e) I y III 17.Sean: A = {2, 4, 6, 8, 10} , B = {a, b, c, d, e} ¿Cuáles de las siguientes relaciones definen aplicaciones de A en B? R1 = {(2, a), (4, c), (10, c), (8, e), (6, e)} R2 = {(10, a), (6, b), (2, a), (6, e), (4, d)} R3 = {(6, a), (4, b), (8, c), (10, e)} R4 = {(a, b), (4, e), (6, a)} R5 = {(10, b), (8, b), (4, b), (2, b), (6, b)} a) R1  R3 b) R1  R5 c) R3, R4; R5 d) todas e) N.A. 18.¿Cuál de los siguientes conjuntos es función? I) {(1, 3), (2, -2), (-1, 7), (2, -4)} II) {(1, 0), (0, 0), (2, 0), (3, 0)} III) {(1/2,3), (1/3,2), (1/5,1) IV) {(3,4), (5,2), (6,2), (3,4)} a) I y II b) I, II y III c) II, III, IV d) I e) todas 19.Si el siguiente conjunto es una función {(3,-2), (4,2a - b), (8,1), (3,a + b), (4,-4)}, el valor de a2 + b2 es: a) 1 b) 3 c) 0 d) 4 e) 5 20. Sean las funciones: F = {(-3,2); (0,0); (2,4); (3,-1); (4,3)} G = {(2,0); (3,4); (4,7); (5,2)} Hallar la suma de elementos del rango de: (F2 + 3 G) a) 16 b) 13 c) 30 d) 59 e) N.A. TTAARREEAA DDOOMMIICCIILLIIAARRIIAA 01.Dado el conjunto: A = {2; 4; 6} y las relaciones en A: R1 = {(2; 2), (2; 4), (4; 4 ), (6; 6), (4; 2)} R2 = {(x, y) / y – x = 0} R3 = {(x; y) / y – 2 = x}; ¿Cuáles son relaciones de equivalencia? a) R1 b) R2 c) R1 y R3 d) R2 y R3 e) R1 y R2 02.Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} y las relaciones en A: I) R1={(1;2), (1;3), (1;4), (2;3), (2;4), (3;4)} II) R2 = {(x; y) /x2 + y2 = 5}  {(1; 1)} III) R3 = {(1; 1), (2; 2), (2; 3)} Indicar las relaciones transitivas. a) II b) I  II c) II  III d) I, II  III e) I  III 03.Dado el conjunto: A = {1; 2; 3; 4} y las relaciones en A: R1={(1;2), (2 ;3), (2;1), (3;4), (3;2), (4; 3), (3;3)} R2 = {(x; y) / x2 + y2 = 5} R3 = {(x; y) / y = x – 2}; ¿Cuáles son simétricas? a) R1  R3 b) R1 c) R1  R2 d) R2 e) R3 04.Dado el conjunto: A = {-2; -1; 3; 4} y las relaciones en A: R1 = {(-2,-1), (-2;-2), (-1; 2), (-1;-1), (3;3), (4; 4)} …........... ( ) R2 = {(x; y) /  x  =  y  ............... ( ) R3 = {(x; y) / y = x – 2}............... ( ) Indicar con una V si es reflexiva y con una F si no lo es. a) VVF b) VFF c) FVF d) VVV e) VFV 05.Dados los conjuntos: A = {x  R / 3 < x < 6} B = {x  R / x  [-1; 4]}. Calcular el área que determina la gráfica de A x B a) 222 b) 62 c) 152 d) 122 e) 82
  • 8. Página 8 de 10 06. Son funciones inyectivas: a b c 1 2 3 A B a b 1 2 A B 3 (1) (2) a b c 1 2 A B (3) a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3 d) 2 y 3 e) N.A. 07. Son funciones sobreyectivas: a b c 1 2 3 A B a b 1 2 3 A B (1) (2) a b c 1 2 3 A B (3) a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3 d) 2 y 3 e) 3 08.Son funciones biyectivas: a b c 1 2 3 A B a b 1 2 3 A B (1) (2) a b c 1 2 A B (3) a) Todas b) 1 y 2 c) 1 y 3 d) 2 y 3 e) 1 09. Graficar la función: F(x) = ||x-2| - 2| a) x b)y y 2 x c) y 4 x d) y x e) y x 10. Graficar: F(x) = | 1x2  | e) N.A. a) b) d)c) x y 2 y -2 x x y 2 x y 2 -1 1 11. Sean las funciones: F = {(0, 2 ); (1, 52  ); (2, 0)} G = {(0, 8 ); (2, 1/2); (4; 3 )} Hallar M = (F.G)(2) a) 1 b) 0 c) 2 d) 3 e) N.A. 12. Graficar la función: F(x) = Sgn         2x 1x e)N.A. a) x y -1 1-2 1 c) x y -1 1 -2 1 b) x y -1 1 d) x y -1 1
  • 9. Página 9 de 10 13. Dadas las funciones: F(x) = 3x - 5; x  [0, 6] G(x) =       ],; ],[; 42xx 21xx2x2 Hallar: (F + G) a)(F+G)(x)=       ]4,2xSi;5xx3 ]2,0[xSi;5xx2 b) (F+G)(x) =       ]4,2xSi;5xx3 ]2,0[xSi;5xx2 c) (F+G)(x) =       ]5,4xSi;5xx3 ]3,0[xSi;5xx2 d) (F+G)(x) =       ]4,2xSi;5xx3 ]2,0[xSi;5xx2 e) N.A. 14. Hallar el rango de la función: F =                04xx/ 4x x ,x 2 a) <-; 1] b) <-; 1] U <1, +] U {0} c) <1; +> d) [-1; 1> e) <-; 0> U <1; +> 15. Hallar el rango de la función: F(x) = x2 - 2|x| - 3 a) [-4; +> b) [-2; +> c) [-1; +> d) [-6; +> e) [1; +> 16. Hallar el rango de la función: F(x) = |1x| 1xxx 23   a) <-; -1> U [2; +> b) <-; -3> [2; +> c) <-; -2> [1; +> d) <-; -2] U <2; 4> e) R - {-1} 17. Determinar el rango de: F(x) = |x + 8| - |x – 8| a) [-4; 4] b) [-8; 8] c) [-16; 16] d) [8; +> e) <-; 8] 18. Graficar F(x) = x|x|. e) N.A. a) x y c) x y b) x y d) x y 19. Sean las funciones en R: h(x) = x2 - 4x + 7 g(x) = x2 - 10x - 27 Si: h(xO)  h(x);  x  Dom h y g(x1)  g(x);  x  Dom g. Hallar: x-x 10 . a) -3 b) 3 c) 7 d) -7 e) N.A. 20. Si las gráficas de F(x) y G(x) son: x y b F a x y G Hallar la gráfica de: H(x) = 2 |)x(G)x(F|)x(G)x(F  x ya) x yb) y x c) x yd) e) N.A.
  • 10. Página 10 de 10 Problemas de aplicación 01. La función para la demanda de un cierto producto está dada por: ppfq 501500)(  Donde q representa el número de unidades demandadas y p el precio. a) Encuentre una relación del ingreso en función del precio. b) Determine el precio que hace máximo el ingreso. c) Determine la magnitud del ingreso máximo. d) La gráfica de la relación del ingreso. e) ¿Para qué valores de p, el ingreso es cero? 02. Graficar: 12)( 2  xxxh ; determina: a) Dominio y rango b) Intersecciones con los ejes. c) Coordenadas del vértice, indicando se es máximo o mínimo 03. Después de 5 años, a partir de la fecha de adquisición de cierto equipo, el valor en libros fue de $62,000 dólares. Al transcurrir 3 años más su valor es de $39,500 dólares. Suponga que se deprecia linealmente. a) Expresa el valor en libros V en función de t años (Vida útil). Grafica V(t) b) ¿Cuál fue el costo de adquisición del equipo? ¿Cuánto disminuye anualmente el valor en libros? 04. Si en un edificio de 60 departamentos, se fija una renta de $420 por departamento, todos serán ocupados. Por experiencia se sabe que por cada incremento de $10 en la renta, un departamento quedará vacío. ¿Qué renta deberá fijarse para obtener un ingreso máximo? ¿Cuál es el ingreso? Grafica la función de ingreso en función de las veces como vas incrementando la renta. 05. Obtén para la función :124)( 2  xxxf a) Dominio y rango. b) Las intersecciones con los ejes cartesianos. c) Las coordenadas del vértice, señalando si es un punto máximo o un mínimo. d) Intervalos donde es creciente o decreciente. e) Intervalos donde es positiva e intervalos donde es negativa. f) La gráfica de la función. 06. Enviar un paquete por mensajería tiene un costo de $20 por cada 100 gramos o fracción menor. Si )(xf es la función que describe el costo de envío de un paquete que pesa x gramos: a) Grafique )(xf b) Indique cuál es el dominio e imagen de )(xf 07. Sean RRf : y RRg : las funciones dadas por las reglas 53)(  xxf y 2 2)( xxg  . Determina: (a) ))2((gf , )5)(( gf  , )6)(( gg  , ))4(( fg , ))(( xgf y ))(( xfg 08. Sean 1 1 )(    x x xf y 1 1 )(   x xg . Calcula: ))()(( ))()(( ))()(( ))()(( xggd xffc xfgb xgfa     09. Determine: i) ))(/(),)((),)((),)(( xgfxfgxgfxgf  ii) El dominio de fggfgf ,,  iii) El dominio de g f a) 2)( 2  xxf ; 12)( 2  xxg b) 5)(  xxf ; 5)(  xxg c) xxf 23)(  ; 4)(  xxg d) 4 2 )(   x x xf ; 5 )(   x x xg 10. Sea 1833)( 2  xxxf , encuentre lo siguiente: a) Coordenadas del vértice. b) Intervalos donde es creciente ó decreciente. c) Intervalos donde es positiva o negativa. d) Valores máximos ó mínimos. e) Dominio y rango. Bibliografía 1. James Steward. Cálculo. Grupo Editorial Iberoamericana. 2. Dennis G. Zill. Cálculo. Grupo Editorial Iberoamericana3. E. Purcell y D. Varberg. Cálculo. Prentice Hall. 4. L. Leithold. El Cálculo. Harla. 5. Dowling Edward T. Cálculo. MacGraw Hill. Referencia http://allman.rhon.itam.mx/~alfaro/Ejercicios%2 02.doc https://www.migueltarazonagiraldo.com/bloques