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FACULTAD DE CONTABILIDAD
                                             MATEMATICA II
                                          LIMITES DE UNA FUNCION EN UN PUNTO

                                LIMITES DE UNA FUNCION

La idea intuitiva de límite forma parte del acervo popular. Tender a un límite significa
aproximarse a una meta, que no siempre se logra alcanzar. En el ámbito matemático,
esta idea se ha plasmado en una definición precisa que combina los conceptos de lo
infinitamente pequeño (infinitésimos) y lo infinitamente grande (el infinito).

Historia

Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación
moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las
bases de la técnica épsilon - delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras
él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber
expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática. La primera
presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los
1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar
con límites.
La notación de escritura usando la abreviatura          con la flecha debajo es debida
a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908.
Límite

Definición 01.- Si la función f tiene límite L en x0 podemos decir de manera informal
que la función f tiende hacía el límite L cerca de x0 si se puede hacer que f(x) esté tan
cerca como queramos de L haciendo que x este suficientemente cerca de x0 siendo x
distinto de x0.

Definición 02. El límite de una función     , cuando x tiende a x0 es L si y sólo si para
todo      existe un        tal que para todo número real x en el domino de la función
                entonces                 .

Notación formal

                                                                                 .

Límite de una constante




Limite de identidad

                 Supongamos que                  dos funciones tales que                   y
           existen. Entonces:


Semestre 2012 - II                                   Matemática II
                                                     Lic. Miguel Angel Tarazona Giraldo

                                                                                           1
Límite de un factor constante




Límite de la suma




Límite de la diferencia




Límite de un producto




Límite de un cociente




Límite de una potencia: Para n positiva tenemos:

8.

Límite de una raíz

                            , es válido siempre en el caso de n impar y si n es par

podemos garantizarlo si


Indeterminaciones
Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere       como el
límite que tiende a infinito y 0 al límite cuando tiende a 0; y no al número 0):

Operación                                     Indeterminación

Sustracción

Multiplicación

División


Elevación a potencia

Semestre 2012 - II                                    Matemática II
                                                      Lic. Miguel Angel Tarazona Giraldo

                                                                                         2
Ejercicios
01. Calcular el límite de las siguientes funciones:

                                                                                                               2                                                                             2
                                     2                                                                     x               (a               1) x     a                               x                   x           2
a) lim ( 3 x                                     6x              1)                b) lim                                      2                2
                                                                                                                                                              c) lim                     2
         x       1                                                                         x       a                       x                a                    x               1   x               2x                  1

                             2                                                                                                                                                                               3
                         x                   6x              9                                                 3               x                3                                    (x              3)
d) lim                                   2
                                                                                   e) lim                                                                     f) lim                                         4
                                                                                           x       0                                                             x           3       (x              3)
         x       0               x                   9                                                                             x

                                 4                       3            2                                                                                                                  2
                             x                4x                 5x           4x   4                                                                                                 x               x               2
g) lim                                           4                3            2
                                                                                                                                                              h) lim                     2
         x           2                       x               4x           4x                                                                                         x       1       x               2x                  1

                         2                                                                                                                                                               4                       2
                     x                   25                                                                                                                                          x               6x                      8x       3
i) lim                   2
                                                                                   j) lim ( x 2                                    2            x)            k) lim                     4                       3
     x       5       x                   5x                                            x       5                                                                     x       1       x               2x                      2x       1

                                                                                                                                                                                             3                       2
                             x               2                                                                 x                   a                                                     x               6x                      5x
l) lim                                                                             ll) lim                                                                    m) lim                         4               3
     x       0
                         x               3           1                                 x       a               x           a                                             x       1       x               x                   x    1

                                 4                       3                                                                                       2
                             x               2x                  x        2                                        x           2             x       4                                           x        2
n) lim                       3                       2
                                                                                   ñ) lim                          2
                                                                                                                                                              o) lim
         x       2       x               4x                  11 x         2                x       2           x               4                x    2               x           2
                                                                                                                                                                                             x           3           1

                             3                       2                                                             3
                         x               2x                  2x           5                                    x               5x               1                                        x           1           2
p) lim                                   2
                                                                                   q) lim                      3                       2
                                                                                                                                                              r) lim
         x       1                   x               6x           7                        x       4       x               2x                   3x               x           3
                                                                                                                                                                                         x           6           3

                                                                                                                   2                                                                 3
                     1                   3               x                                                 x                   5x           6                                                z        1
s) lim                                                                             t) lim                                                                     u) lim
         x       2               x           2                                         x               2 x         2                                                 z           1 z                 1
                                                                                                                               x            2

                             2
                     x                   x               2                                                 4x              3                                                     3               2
v) lím                                                                             w) lím                                                                     x) lím                     2x                  10
         x       1               x           1                                             x       7       7x              2                                         x       3



                                 2                                                                                         2
                     2x                      5x              3                                                         x               9
y) lím                                                                             z) lím                              2
         x       3                   x           3                                     x               3   2x                      5x           3




02. Calcular los siguientes límites:

1.                                                                                                                                     2.



Semestre 2012 - II                                                                                                                                       Matemática II
                                                                                                                                                         Lic. Miguel Angel Tarazona Giraldo

                                                                                                                                                                                                                                          2
3.                                                                               4.


5.                                                                               6.

                          2
                      x               1                                                                    x                   1
7. Lim                                                                           8. Lim
      x       2       x               1                                               x                   1 x              1

                                                                                                               2
                          1                                                                                x               6x                      8
9. Lim                                                                           10. Lim
      x       1       x           1                                                           x       4                x           4

                              4                                                                                3                       2
                          x               1                                                                x               3x                      3x              1
11. Lim                                                                          12. Lim                                   2
          x       1       x               1                                                   x   1                    x               2x                  1

                              3                                                                                            3                           2
                          x               1                                                                    2x                      14 x                    12 x
13. Lim                       2
                                                                                 14. Lim                       3                           2
          x       1       x               1                                                   x       1    x               10 x                        27 x            18

                                  2                                                                            4               3                   2
                          x                   x        2                                                   x               x                   x               2x       1
15. Lim                       2
                                                                                 16. Lim                                   3                   2
          x       2       x               4x              4                                   x       1                x               x                   x       1

                                                                                                                                   5
                                      6                             4                                                          x               1
17. Lim                                                    2
                                                                                 18. Lim                       4                       3
          x       2           x           2            x            8x      12                x       1    x               2x                      x           2


                                          x                                                                    1           x               2
19. Lim                                                                          20. Lim
          x       0       1               1           x                                       x       3            x           3


                              x               1                                                                x           1                       x           1
21. Lim                                                                          22. Lim
          x       1           x           1                                                   x       1        1           x                       x           1

                                  x           9            3                                                   x                       a
23. Lim                                                                          24. Lim
          x       0           16                  x        4                                  x       a            x           a

                                  3           3
                                          x           27                                                      1            x           1
25. Lim                                                                          26 Lim
                  3 3                 2
          x                   x                   6x           27                         x       0                    x

                                                                                                                                               2
                                      1           x             x       1                                 1                1           x
27.           Lim                                                                28. Lim
              x       0                               x                                       x       0                    x

                                                                                             2
29. Lim ( 1                                   x        x)                        30. Lim ( x                                           x               x)
          x                                                                               x



31. Lim ( 1                                   x                x)                32. Lim ( ( x                                     2 )( x                   3)         x)
          x                                                                               x




Semestre 2012 - II                                                                                        Matemática II
                                                                                                          Lic. Miguel Angel Tarazona Giraldo

                                                                                                                                                                            4
3                                              3                    2
33. Lim ( ( x                                             2 )( x           1)       x)                                                 34. Lim ( x                               x            x                2x )
              x                                                                                                                                 x



            2                                                                           2                                                            2                                                                     2
35. Lim ( x                                                   4x       1            x        8x       1)                               36. Lim ( 2 x                                 3x           2                2x                      2)
              x                                                                                                                                 x



            2                                                                                                                                        2
37. Lim ( x                                               1           x)                                                               38. Lim ( 4 x                                 1    (2 x                 1))
              x                                                                                                                                 x



                                                                                                                                                                         2
                                                                                                                                                                  x              1
39. Lim                                   x( 1                    x         x)                                                         40. Lim
              x                                                                                                                                 x       0        x           1

41. Lim ( 2                                               x            x       2)                                                      42. Lim ( 1                           x            x           1)
              x                                                                                                                                 x



                                                                                                                                                                 x           2
43. Lim ( x                                                   x            x            x)                                                44 . lim
              x                                                                                                                                     x   4        x           4

                                                                                                                                                                         2
                                  2                   x        4                                                                                                     x           x        4            2
45 . lim                                      2
                                                                                                                                          46 . lim
              x           8
                                      x                64                                                                                           x       0                        x

                              2                       x           3                                                                                              x               2
47 . lim                                      2
                                                                                                                                       48 . lim
          x           7               x                   49                                                                                    x       2        x           2

03. Calcule, si existen, los siguientes límites de funciones:

                                  2                                                                               3               2
                          x                       3x           2                                              x               x            5x           3                                                      2                   2           x
a) lím                                                                                      b) lím                                                                                       c) lím
      x           0               2                                                               x   0                   2                                                                       x       0
                          x                       2x           1                                                      x               3x        4                                                                              x

                                                                                                                      1                1                                                                           1                       1
                                                              2
                      1                       1           x
d) lím                                                                                      e) lím 2                      x            2                                                 f) lím 5                          x               5
      x           0                                                                               x   0                                                                                       x        0
                                              x                                                                           x                                                                                                x

                                          2                                                                                   2                                                                                3                       2
                                      x               1                                                               x               1                                                                    x               3x                   3x       1
g) lím                                                                                      h) lím                                                                                       i) lím
      x           1               2                                                               x       1       2                                                                           x       1            3                   2
                          x                       2x          1                                               x                   2x       1                                                                   x               x                x    1
                              2                                                                                   5                                                                                                            5
                      x                       3x              2                                               x               1                                                                                        x                   1
j) lím                                                                                      k) lím                                                                                                l) lím
  x           1                           2                                                       x   1           3                                                                                        x       1           3
                                  x                   1                                                       x               1                                                                                        x                   1
                                  x               1
m) lím
          x           1
                                      x           1




Semestre 2012 - II                                                                                                                                              Matemática II
                                                                                                                                                                Lic. Miguel Angel Tarazona Giraldo

                                                                                                                                                                                                                                                             5
2                                                                           2
                      x        1                                          x               3x           2                                              x            4
n) lím                                                      o) lím                                                          p) lím
      x    1                                                      x   2               2                                           x       2       2
                      x        1                                                  x            4                                              x               4x       4

                                                                              3                2
                  1            x           2                              x               6x           12 x     8                         1               x        3
q) lím                                                     r) lím                                                           s) lím
      x       3            2                                  x       2       3                2                                  x   4               2
                      x                9                                  x               2x               4x   8                             x               16

                                                                                                                                              3
                      x        3                                                  x                    3                                  x               1
t) lím                                                     u) lím                                                          v) lím
  x       3                                                   x       3                                                           x   1       4
                      x                3                                  x           3            x       3                              x               1

                                       2                                                                                                                      2
                      1        x               1                                  3x           6                                          1           x            1
w) lím                                                        x) lím                               2
                                                                                                                           y) lím
      x       0                                                       x   2                                                   x
                               x                                                  x        2                                                              x

04. Ejercicios de aplicación:
01. Se sabe que el precio P de un artículo atreves del tiempo t (en meses) está dado
por la función                                            . Si se sabe que el precio de este artículo el próximo será de
s/. 6,50; y el siguiente mes será de s/. 6,00. Se desea saber:
a) El precio del artículo para este mes.
b) En qué mes el precio será de s/. 5,50.
c) ¿Qué ocurre con el precio de largo plaza?

02. a) La cuenta de resultados (en millones de soles) de una empresa viene dada por
la siguiente función, donde x representa los años de existencia de la misma,
                           2
                      5x               20 x          25
f (x)                                  2
                                                          ¿Cuáles serán sus beneficios a muy largo plazo?
                                   x           7

b) La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la función
                                                   donde t expresa los años transcurridos desde su plantación.
          (i) ¿Qué altura media tienen los pinos al cabo de 5 años?
          (ii) ¿A cuánto tiende la altura media de estos árboles con el paso del tiempo?

c) Cuando existían 3 000 000 de ejemplares de una especie vegetal, esta comenzó a
ser atacada por una plaga. Con el paso del tiempo, su población en millones,
disminuyó según la función:                                                                    En la que t es el número de años
transcurridos. Cuando hayan transcurrido muchos años, ¿a qué valor tenderá el
número de ejemplares?




Semestre 2012 - II                                                                                                  Matemática II
                                                                                                                    Lic. Miguel Angel Tarazona Giraldo

                                                                                                                                                                           6

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Limites clase

  • 1. FACULTAD DE CONTABILIDAD MATEMATICA II LIMITES DE UNA FUNCION EN UN PUNTO LIMITES DE UNA FUNCION La idea intuitiva de límite forma parte del acervo popular. Tender a un límite significa aproximarse a una meta, que no siempre se logra alcanzar. En el ámbito matemático, esta idea se ha plasmado en una definición precisa que combina los conceptos de lo infinitamente pequeño (infinitésimos) y lo infinitamente grande (el infinito). Historia Aunque implícita en el desarrollo del Cálculo de los siglos XVII y XVIII, la notación moderna del límite de una función se remonta a Bolzano quien, en 1817, introdujo las bases de la técnica épsilon - delta. Sin embargo, su trabajo no fue conocido mientras él estuvo vivo. Cauchy expuso límites en su Cours d'analyse (1821) y parece haber expresado la esencia de la idea, pero no de una manera sistemática. La primera presentación rigurosa de la técnica hecha pública fue dada por Weierstrass en los 1850 y 1860 y desde entonces se ha convertido en el método estándar para trabajar con límites. La notación de escritura usando la abreviatura con la flecha debajo es debida a Hardy en su libro A Course of Pure Mathematics en 1908. Límite Definición 01.- Si la función f tiene límite L en x0 podemos decir de manera informal que la función f tiende hacía el límite L cerca de x0 si se puede hacer que f(x) esté tan cerca como queramos de L haciendo que x este suficientemente cerca de x0 siendo x distinto de x0. Definición 02. El límite de una función , cuando x tiende a x0 es L si y sólo si para todo existe un tal que para todo número real x en el domino de la función entonces . Notación formal . Límite de una constante Limite de identidad Supongamos que dos funciones tales que y existen. Entonces: Semestre 2012 - II Matemática II Lic. Miguel Angel Tarazona Giraldo 1
  • 2. Límite de un factor constante Límite de la suma Límite de la diferencia Límite de un producto Límite de un cociente Límite de una potencia: Para n positiva tenemos: 8. Límite de una raíz , es válido siempre en el caso de n impar y si n es par podemos garantizarlo si Indeterminaciones Hay varios tipos de indeterminaciones, entre ellas las siguientes (considere como el límite que tiende a infinito y 0 al límite cuando tiende a 0; y no al número 0): Operación Indeterminación Sustracción Multiplicación División Elevación a potencia Semestre 2012 - II Matemática II Lic. Miguel Angel Tarazona Giraldo 2
  • 3. Ejercicios 01. Calcular el límite de las siguientes funciones: 2 2 2 x (a 1) x a x x 2 a) lim ( 3 x 6x 1) b) lim 2 2 c) lim 2 x 1 x a x a x 1 x 2x 1 2 3 x 6x 9 3 x 3 (x 3) d) lim 2 e) lim f) lim 4 x 0 x 3 (x 3) x 0 x 9 x 4 3 2 2 x 4x 5x 4x 4 x x 2 g) lim 4 3 2 h) lim 2 x 2 x 4x 4x x 1 x 2x 1 2 4 2 x 25 x 6x 8x 3 i) lim 2 j) lim ( x 2 2 x) k) lim 4 3 x 5 x 5x x 5 x 1 x 2x 2x 1 3 2 x 2 x a x 6x 5x l) lim ll) lim m) lim 4 3 x 0 x 3 1 x a x a x 1 x x x 1 4 3 2 x 2x x 2 x 2 x 4 x 2 n) lim 3 2 ñ) lim 2 o) lim x 2 x 4x 11 x 2 x 2 x 4 x 2 x 2 x 3 1 3 2 3 x 2x 2x 5 x 5x 1 x 1 2 p) lim 2 q) lim 3 2 r) lim x 1 x 6x 7 x 4 x 2x 3x x 3 x 6 3 2 3 1 3 x x 5x 6 z 1 s) lim t) lim u) lim x 2 x 2 x 2 x 2 z 1 z 1 x 2 2 x x 2 4x 3 3 2 v) lím w) lím x) lím 2x 10 x 1 x 1 x 7 7x 2 x 3 2 2 2x 5x 3 x 9 y) lím z) lím 2 x 3 x 3 x 3 2x 5x 3 02. Calcular los siguientes límites: 1. 2. Semestre 2012 - II Matemática II Lic. Miguel Angel Tarazona Giraldo 2
  • 4. 3. 4. 5. 6. 2 x 1 x 1 7. Lim 8. Lim x 2 x 1 x 1 x 1 2 1 x 6x 8 9. Lim 10. Lim x 1 x 1 x 4 x 4 4 3 2 x 1 x 3x 3x 1 11. Lim 12. Lim 2 x 1 x 1 x 1 x 2x 1 3 3 2 x 1 2x 14 x 12 x 13. Lim 2 14. Lim 3 2 x 1 x 1 x 1 x 10 x 27 x 18 2 4 3 2 x x 2 x x x 2x 1 15. Lim 2 16. Lim 3 2 x 2 x 4x 4 x 1 x x x 1 5 6 4 x 1 17. Lim 2 18. Lim 4 3 x 2 x 2 x 8x 12 x 1 x 2x x 2 x 1 x 2 19. Lim 20. Lim x 0 1 1 x x 3 x 3 x 1 x 1 x 1 21. Lim 22. Lim x 1 x 1 x 1 1 x x 1 x 9 3 x a 23. Lim 24. Lim x 0 16 x 4 x a x a 3 3 x 27 1 x 1 25. Lim 26 Lim 3 3 2 x x 6x 27 x 0 x 2 1 x x 1 1 1 x 27. Lim 28. Lim x 0 x x 0 x 2 29. Lim ( 1 x x) 30. Lim ( x x x) x x 31. Lim ( 1 x x) 32. Lim ( ( x 2 )( x 3) x) x x Semestre 2012 - II Matemática II Lic. Miguel Angel Tarazona Giraldo 4
  • 5. 3 3 2 33. Lim ( ( x 2 )( x 1) x) 34. Lim ( x x x 2x ) x x 2 2 2 2 35. Lim ( x 4x 1 x 8x 1) 36. Lim ( 2 x 3x 2 2x 2) x x 2 2 37. Lim ( x 1 x) 38. Lim ( 4 x 1 (2 x 1)) x x 2 x 1 39. Lim x( 1 x x) 40. Lim x x 0 x 1 41. Lim ( 2 x x 2) 42. Lim ( 1 x x 1) x x x 2 43. Lim ( x x x x) 44 . lim x x 4 x 4 2 2 x 4 x x 4 2 45 . lim 2 46 . lim x 8 x 64 x 0 x 2 x 3 x 2 47 . lim 2 48 . lim x 7 x 49 x 2 x 2 03. Calcule, si existen, los siguientes límites de funciones: 2 3 2 x 3x 2 x x 5x 3 2 2 x a) lím b) lím c) lím x 0 2 x 0 2 x 0 x 2x 1 x 3x 4 x 1 1 1 1 2 1 1 x d) lím e) lím 2 x 2 f) lím 5 x 5 x 0 x 0 x 0 x x x 2 2 3 2 x 1 x 1 x 3x 3x 1 g) lím h) lím i) lím x 1 2 x 1 2 x 1 3 2 x 2x 1 x 2x 1 x x x 1 2 5 5 x 3x 2 x 1 x 1 j) lím k) lím l) lím x 1 2 x 1 3 x 1 3 x 1 x 1 x 1 x 1 m) lím x 1 x 1 Semestre 2012 - II Matemática II Lic. Miguel Angel Tarazona Giraldo 5
  • 6. 2 2 x 1 x 3x 2 x 4 n) lím o) lím p) lím x 1 x 2 2 x 2 2 x 1 x 4 x 4x 4 3 2 1 x 2 x 6x 12 x 8 1 x 3 q) lím r) lím s) lím x 3 2 x 2 3 2 x 4 2 x 9 x 2x 4x 8 x 16 3 x 3 x 3 x 1 t) lím u) lím v) lím x 3 x 3 x 1 4 x 3 x 3 x 3 x 1 2 2 1 x 1 3x 6 1 x 1 w) lím x) lím 2 y) lím x 0 x 2 x x x 2 x 04. Ejercicios de aplicación: 01. Se sabe que el precio P de un artículo atreves del tiempo t (en meses) está dado por la función . Si se sabe que el precio de este artículo el próximo será de s/. 6,50; y el siguiente mes será de s/. 6,00. Se desea saber: a) El precio del artículo para este mes. b) En qué mes el precio será de s/. 5,50. c) ¿Qué ocurre con el precio de largo plaza? 02. a) La cuenta de resultados (en millones de soles) de una empresa viene dada por la siguiente función, donde x representa los años de existencia de la misma, 2 5x 20 x 25 f (x) 2 ¿Cuáles serán sus beneficios a muy largo plazo? x 7 b) La altura media de una determinada especie de pinos viene dada por la función donde t expresa los años transcurridos desde su plantación. (i) ¿Qué altura media tienen los pinos al cabo de 5 años? (ii) ¿A cuánto tiende la altura media de estos árboles con el paso del tiempo? c) Cuando existían 3 000 000 de ejemplares de una especie vegetal, esta comenzó a ser atacada por una plaga. Con el paso del tiempo, su población en millones, disminuyó según la función: En la que t es el número de años transcurridos. Cuando hayan transcurrido muchos años, ¿a qué valor tenderá el número de ejemplares? Semestre 2012 - II Matemática II Lic. Miguel Angel Tarazona Giraldo 6