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GENERALES
DEPARTAMENTO DE
MATEMATICA
CICLO PRE
2016 - I
Página 1 de 10 Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
TEMA ESCUELA PROFESIONAL
MATRICES INGENIERÍA: ELECTRÓNICA -
SISTEMAS
FECHA 15/02/2016 TURNO M AULA 504 SESIÓN 04
Introducción:
El primero que empleó el término matriz fue el inglés James
Joseph Silvestre (1814-1897) en el año 1850. Sin embargo,
hace más de dos mil años los matemáticos chinos habían
descubierto ya un método de resolución de sistemas de
ecuaciones lineales equivalente al método de Gauss y por lo
tanto, empleaban tablas con números. Prueba de ello es que
el método aparece en Los Nueve Capítulos, la obra
matemática china más importante de la antigüedad.
Arthur Cayley (1821-1895) es uno de los matemáticos más
prolíficos de la historia siendo uno de los primeros en
estudiar las matrices de forma sistemática. En 1858 publicó
unas “Memorias sobre la teoría de matrices” en la que daba
la definición de matriz, suma de matrices, de producto de un
número real por una matriz, de producto de matrices y de
inversa de una matriz. Cayley afirma que obtuvo la idea de
matriz a través de la de determinante y también como una
forma conveniente de expresar transformaciones
geométricas.
El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto
en la representación y manipulación de datos como en el
cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos
matemáticos utilizados para resolver problemas en
diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias
sociales, las ingenierías, la economía, la física, la estadística
y las diferentes ramas de las matemáticas entre las que
destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo
numérico y, por supuesto, el álgebra.
MATRICES
CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN
Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier
naturaleza aunque, en general, suelen ser números
ordenados en filas y columnas.
Se llama matriz de orden “m × n" a un conjunto
rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y
en n columnas. El orden de una matriz también se
denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números
naturales.
Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,...
y los elementos de las mismas con letras minúsculas y
subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un
elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se
escribe aij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis
también representa a toda la matriz: A = (aij)
De forma abreviada se escribe
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑚𝑥𝑛 =
(
𝑎11 𝑎12
𝑎13 … 𝑎1𝑛
𝑎21
⋮
𝑎𝑖1
⋮
𝑎22
⋮
𝑎𝑖2
⋮
𝑎23
⋮
𝑎𝑖𝑗
⋮
…
⋮
⋱
⋮
𝑎2𝑛
⋮
𝑎𝑖𝑛
⋮
𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 𝑎 𝑚3 … 𝑎 𝑚𝑛)
Orden de una matriz 𝑨 𝒎𝒙𝒏: Indica el número de filas y el
número de columnas que tiene.
m: número de filas
n: número de columnas
Elementos de una matriz 𝒂𝒊𝒋: Indica la i-ésima fila y la j-
ésima columna
i: posición de la fila
j: posición de la columna
El vector fila (𝑎𝑖1; 𝑎𝑖2; … ; 𝑎𝑖𝑛) se le llama 𝒇𝒊𝒍𝒂 𝑖
Al vector Columna (
𝑎1𝑗
𝑎2𝑗
⋮
𝑎 𝑚𝑗
) se le llama 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂 𝒋.
Ejemplo:
𝐴 = (
2
−6
3
), 𝐵 = (
1 4 2
−5 −7 0
2 6 1
), 𝐶 = (
1 5
3 0
8
1
4
7
)
Joseph Silvestre Arthur Cayley
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Matrices especiales
Matriz cuadrada.- si 𝑚 = 𝑛 (número de filas igual al
número de columnas), o diremos que 𝐴 𝑛𝑥𝑛 = 𝐴 𝑛 = (𝑎𝑖𝑗) o
𝑎𝑖𝑗 es una matriz cuadrada.
Ejemplo:
𝐴 = (
𝑎11 𝑎12 𝑎12
𝑎21 𝑎22 𝑎23
𝑎31 𝑎32 𝑎33
)
3𝑋3
𝐵 = (
1
0
7
2
3 −4
7 12
3 0 2 −3
7 3 1 10
)
4𝑋4
Matriz rectangular.- La matriz de orden de 𝑚𝑥𝑛, con 𝑚 ≠ 𝑛
recibe el nombre de matriz rectangular 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑚𝑥𝑛.
Ejemplo:
𝑀 =
1 −9 𝜋
0 −3 𝑒 2𝑥3
𝑁 = (
𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑡𝑎𝑔𝜔 𝑐𝑡𝑎𝑔𝜃
𝑙𝑜𝑔7 𝑙𝑜𝑔8
)
3𝑥2
Matriz cero.- 𝐴 𝑚𝑥𝑛, es nula si, y sólo si 𝑎𝑖𝑗 = 0 ∀ 𝑖, ∀ 𝑗.
También llamada matriz nula.
𝐴 𝑚𝑥𝑛 = (
0 ⋯ 0
⋮ ⋱ ⋮
0 ⋯ 0
)
𝑚𝑥𝑛
Ejemplo:
𝐴 = (
0 0 0
0 0 0
0 0 0
)
3𝑥3
Matriz diagonal.- La matriz cuadrada 𝐴 𝑛 es diagonal si
𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 𝑦 ∃ 𝑎𝑖𝑗 ≠ 0, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛.
𝐴 𝑛 =
𝑎11 0 0 … 0
0 𝑎22 0 … 0
0
⋮
0
0
⋮
0
𝑎33
⋮
0
…
⋮
…
0
⋮
𝑎 𝑛𝑛
Por lo menos algún 𝑎𝑖𝑖 es diferente de cero.
Ejemplo:
𝑀4 = (
2 0 0 0
0 0 0 0
0
0
0
0
0
0
0
1
) 𝑁5 =
(
1 0 0 0 0
0 3 0 0 0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
5
0
0
0
4)
Matriz de identidad.- La matriz cuadrada 𝐼 𝑛 es la matriz
identidad si, y sólo si 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 ∧ 𝑎𝑖𝑗 = 1 ∀ 𝑖.
𝐼 𝑛 =
1 0 0 … 0
0 1 0 … 0
0
⋮
0
0
⋮
0
1
⋮
0
…
⋮
…
0
⋮
1
Ejemplo
𝐼3 = (
1 0 0
0 1 0
0 0 1
) 𝐼5 =
(
1 0 0 0 0
0 1 0 0 0
0
0
0
0
0
0
1
0
0
0
1
0
0
0
1)
Matriz triangular
a) La matriz cuadrada 𝐴 𝑛 es triangular superior si 𝑎𝑖𝑗 =
0 ∀ 𝑖 > 𝑗
𝐴4 =
𝑎11 𝑎12
𝑎13 𝑎14
0 𝑎22
𝑎23 𝑎24
0
0
0
0
𝑎33
0
𝑎34
𝑎44
b) La matriz cuadrada 𝐴 𝑛 es triangular inferior si 𝑎𝑖𝑗 =
0 ∀ 𝑖 < 𝑗
𝐴4 =
𝑎11 0 0 0
𝑎21 𝑎22 0 0
𝑎31
𝑎41
𝑎32
𝑎42
𝑎33
𝑎43
0
𝑎44
Igualdad de Matrices.- Las matrices 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛
∧
𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛
son iguales si, y sólo si, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗
∀ 𝑖, 𝑗 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛.
Ejemplo: Sean las matrices
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥2/ 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖
− (−1) 𝑗
y 𝐵 =
𝑥 − 𝑦 1
3𝑥 − 𝑦 3
;
Hallar los valores de x e y de modo que 𝐴 = 𝐵.
Resolución
Determinemos el valor de la matriz A
𝑎11 = 21
− (−1)1
= 2 + 1 = 3
𝑎12 = 21
− (−1)2
= 2 − 1 = 1
𝑎21 = 22
− (−1)1
= 4 + 1 = 5
𝑎22 = 22
− (−1)2
= 4 − 1 = 3
Luego, si:
𝐴 =
3 1
5 3
=
𝑥 − 𝑦 1
3𝑥 − 𝑦 3
⟺ (𝑥 − 𝑦 = 3 ∧ 3𝑥 − 𝑦 = 5)
Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos:
𝑋 = 1, 𝑦 = −2
Propiedades
Sean A, B, C matrices del mismo orden (elementos de
𝑚𝑥𝑛) se cumplen las siguientes propiedades:
P1. 𝐴 = 𝐴, ∀ 𝐴
𝑃2. 𝐴 = 𝐵 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝐵 = 𝐴
𝑃3. 𝐴 = 𝐵 Λ 𝐵 = 𝐶 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝐴 = 𝐶
Ejemplo: Si y ¿cuáles
son los valores de w, z, y y t para que
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Matrices Opuestos.- Son aquellas matrices cuyos elementos
correspondientes son opuestos, es decir, sean
y son opuestas si y sólo si .
Ejemplo: y son dos
matrices opuestas.
Traza de una matriz.- Es la sumatoria de los elementos de
la diagonal principal de una matriz cuadrada, es decir,
para
Ejemplos:
a) Hallar la traza de la matriz .
b) Hallar la traza de la matriz .
c) Hallar la traza de la matriz
Matriz Escalar.- Es aquella matriz diagonal cuyos
elementos de la diagonal principal son iguales a una
constante, es decir, 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛
siendo un escalar cualquiera.
Ejemplos:
Matriz Escalonada.-Es aquella matriz cuyos elementos por
debajo de los elementos diagonales son iguales a cero. Es
decir, sea una matriz cualquiera decimos que es
escalonada si y sólo si,
Ejemplo:
Matriz Transpuesta .- Sean las matrices
𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑚𝑥𝑛 𝑦 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) 𝑛𝑥𝑚 Diremos que B es la
transpuesta de A, si y sólo si 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚,
1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 y denotamos 𝐵 = 𝐴𝑡
. Es decir:
𝐴𝑡
= 𝐵 ⟺ 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 ∀𝑖, ∀𝑗
𝐵 es la transpuesta de 𝐴
Ejemplo:
Sea hallar la transpuesta.
Propiedades:
1.
2.
3. si es un escalar.
4.
Matriz Simétrica.- Es aquella matriz cuyos elementos
que equidistan de la diagonal principal son iguales, es
decir, aquella matriz que es igual a su transpuesta. Es
decir, es una matriz simétrica si y sólo si
.
Ejemplo:
Pruebe si es simétrica.
Tenemos que como
decimos que es simétrica.
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Matriz Antisimétrica.- Es aquella matriz cuyos elementos
de la diagonal principal es igual a cero y los elementos que
equidistan de ella son opuestos, es decir, aquella matriz que
es igual a la opuesta de su transpuesta. Es decir, es
antisimétrica si y sólo si .
Ejemplo:
Pruebe si es antisimétrica.
Tenemos que luego
por tanto es antisimétrica.
Matriz Ortogonal.- Decimos que una matriz es ortogonal, si
. Podemos ver que una matriz ortogonal
es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa
Ejemplo:
La matriz es ortogonal si:
Matriz Normal.- Una matriz es normal si conmuta con su
transpuesta, esto es, si . Observe que si es
simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente
normal.
Ejemplo:
Sea . Entonces:
puesto que , la matriz es normal.
Matriz no singular.- Una matriz cuadrada = (𝑎)𝑖𝑗 𝑛
de
orden “n” es no singular ⇔ 𝜌( 𝐴) = 𝑛 ⇔ 𝐴 ≠ 0
Ejemplo:
Las matrices 𝐴 =
2 1
−1 3
, 𝐵 = (
2 3 4
0 −3 0
0 0 5
)
Existencia de la inversa de una matriz cuadrada.- Una
matriz cuadrada 𝐴 = (𝑎)𝑖𝑗 𝑛
tiene inversa si, y sólo si
𝜌( 𝐴) = 𝑛 ⇔ 𝐴 ≠ 0
Matriz inversa.- Sea 𝐴 𝑛=(𝑎𝑖𝑗) una matriz cuadrada 𝑛𝑥𝑛.
Se dice que 𝐴 es invertible o no singular si existe una
matriz 𝐵 de 𝑛𝑥𝑛 tal que 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼 𝑛.
La matriz 𝐵 se conoce como inversa de 𝐴 y se denota con
𝐴−1
.
Propiedades:
1. (𝐴−1
)−1
= 1
2. (𝐴𝐵)−1
= 𝐴−1
𝐵−1
3. (𝐴 𝑇
)−1
= (𝐴−1
) 𝑇
4. (𝜆𝐴)−1
=
1
𝜆
𝐴−1
5. ( 𝐴 𝑛)−1
= ( 𝐴−1) 𝑛
∀ 𝑛 𝜖 ℤ+
𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒
𝐴0
= 1
𝐴 𝑛
= 𝐴. 𝐴 𝑛−1
, 𝑛 𝜖 ℤ+
6. 𝐼−1
= 𝐼, 𝐼 = 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑
Teorema:
Si el determinante de A no es cero el inverso
multiplicativo de A es:
Ejemplo: Encontrar
Solución
1. encuentro el determinante de A:
2. calculo la adj A
Cofactores de A
3. con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo
que es la .
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4. aplicamos el teorema
Comprobamos la respuesta:
Matriz Idempotente.- Una matriz cuadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑛es
idempotente si, y sólo si, 𝐴2
= 𝐴.
Ejemplo:
Si a ,
Demostrar que A es idempotente.
Solución:
Como vemos que se cumple 𝐴2
= 𝐴., entonces A es una
matriz idempotente.
Matriz Nilpotente.- 𝐴 es nilpotente, si 𝐴 𝐾
= 𝜃 para algún
𝑘 ≥ 2; 𝜃: matriz cuadrada nula.
Ejemplo:
Demostrar que es una matriz
nilpotente de orden 3.
Solución:
Para hacer dicha demostración es necesario calcular A3
,
por lo que tenemos
Como vemos que A3
=0, entonces A es nilpotente de orden
3.
Matriz involutiva.- A es involutiva, si y sólo si, 𝐴 𝑛
2
= 𝐼 𝑛
Ejemplo:
Si , demostrar de A2
=I.
Solución
Es necesario calcular A2
=I, por lo que tenemos:
Como vemos que A2
=I., entonces A es una matriz
involutiva.
Matriz hermitiana.- Es una matriz cuadrada de
elementos complejos que tiene la característica de ser
igual a su propia traspuesta conjugada Sea 𝐴 𝑛, A es
hermitiana si, y sólo si, 𝐴 = (𝐴) 𝑇
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Ejemplo:
, demostrar que A es una
matriz hermitiana
Solución
,
Como se cumple que , por lo tanto A es una matriz
hermitiana.
OPERACIONES DE MATRICES
I. Suma de matrices.- para dos matrices, A y B, de la misma
dimensión, la suma de ambas, , es la matriz
de la misma dimensión, dada por la suma de sus
términos correlativos:
Ejemplo: Sean
y ,
entonces su suma será
.
Obs. No podemos sumar matrices que no tengan la misma
dimensión.
Propiedades de la suma de matrices:
Si 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑦 𝜃 son matrices del mismo orden don dimensión
de 𝑚𝑥𝑛, se cumplen las siguientes propiedades:
1. 𝐴 + 𝐵 = 𝑏 + 𝐴 conmutativa
2. ( 𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) asociativa
3. ∃ 𝜃/𝐴 + 𝜃 = 𝜃 + 𝐴 = 𝐴, ∀ 𝐴 existencia de la matriz nula
4. ∀ 𝐴, ∃! 𝐵/𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 existencia del opuesto
Donde 𝐵 = −𝐴
−𝐴 es opuesto de 𝐴
II. Producto de un escalar por un matriz.- o producto por
un número real, k. Para multiplicar por un número una
matriz de cualquier dimensión, de dimensión
, se multiplican todos y cada uno de los elementos
de la matriz por dicho número.
Ejemplos:
Propiedades del producto de un escalar por una matriz.- Si
𝜆 𝑦 𝛽 son escalares y 𝐴, 𝐵 con dimensión de 𝑚𝑥𝑛.
Se cumplen:
1. 𝜆( 𝐴 + 𝐵) = 𝜆𝐴 + 𝜆𝐵
2. ( 𝜆𝛽) 𝐴 = 𝜆( 𝛽𝐴) = 𝛽(𝜆𝐴)
3. ( 𝜆 + 𝛽) 𝐴 = 𝜆𝐴 + 𝛽𝐴
III. Multiplicación de matrices.- Para dos matrices
, de dimensión , y , de
dimensión , el producto es la matriz de dimensión
dada por 𝐴 𝑚𝑥𝑛 𝑥𝐵 𝑛𝑥𝑝 = 𝐶 𝑚𝑥𝑝 = (𝐶𝑖𝑗)
, es
decir, cada elemento se obtiene multiplicando
escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna j
de la segunda matriz y sumando los resultados obtenidos.
Ejemplo:
A= B=
AB=
BA=
Obs. Muy importante, para que dos matrices se puedan
multiplicar entre si la primera ha de tener el mismo
número de columnas que filas tiene la segunda.
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Propiedades de la multiplicación de matrices:
1. 𝐴 𝑚𝑥𝑛(𝐵 𝑛𝑥𝑝 𝐴 𝑝𝑥𝑞) = (𝐴 𝑚𝑥𝑛 𝐴 𝑛𝑥𝑝)𝐴 𝑝𝑥𝑞
2. 𝐴( 𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶, siempre que tenga sentido:
𝐵 + 𝐶, 𝐴𝐵, 𝐴𝐶
( 𝐵 + 𝐶) 𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐴, siempre que tenga sentido:
𝐵 + 𝐶, 𝐵𝐴, 𝐶𝐴
3. 𝐼 𝑛 𝐴 𝑛𝑥𝑚 = 𝐴 𝑚𝑥𝑛 𝑜 𝐴 𝑛𝑥𝑚 𝐼 𝑚 = 𝐴 𝑛𝑥𝑚
4. 𝜃 𝑝𝑥𝑚 𝐴 𝑚𝑥𝑛 = 𝜃 𝑝𝑥𝑛
5. 𝜆( 𝐴𝐵) = ( 𝜆𝐴) 𝐵 = 𝐴( 𝜆𝐵), ∀𝜆 𝜖 ℝ
Ejercicios
01. Construir la matriz:
a) A = (𝑎𝑖𝑗); i = 1, 2, 3; 𝑗 = 1, 2 si 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 + 𝑗
b) tal que
c) M, cuadrada de orden tres tal que
02. Hallar los valores de las incógnitas  y  si:
03. a) Para las matrices
Calcular: 𝑖) 2𝐴 − 𝐶 , 𝑖𝑖) 3𝐵 + 2𝐶
b) Sean: A = B =
C =
Calcular, si es posible: 𝐴. 𝐶 , 𝐴 𝑇
. 𝐵 𝑦 𝐵2
04. Sean y . Hallar los
valores de x para los cuales se verifica la siguiente ecuación
A2
– 3A = B.
05. Dadas las matrices
a) Calcula
b) Calcula
06. Halla el valor de cada incógnita para que las dos
matrices sean iguales.
07. Indicar explícitamente la matriz:
08. Si 𝐴 + 𝐵 = 𝐶, calcular “𝑥. 𝑦”, donde:
,
09. Mostrar el equivalente de: , si
la siguiente matriz es nula:
10. Mostrar el mayor elemento que posee la matriz
𝐴 = 𝐵. 𝐶
y
11. Si y despejar la matriz
“X” de:
Dar como respuesta los elementos de la diagonal
principal.
12. Qué relación satisfacen “m” y “n” si A y B son
matrices conmutables:
;
13. Dada la matriz: , encontrar la matriz
14. Calcular “m” si:
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15. Dadas las matrices:
;
Calcular la Traz(AB)
16. Una fábrica produce dos modelos de acumuladores de
calor, G y P, en tres terminaciones: normal, lujo y especial.
Del modelo G, produce 500 unidades normales,
300 unidades de lujo y 200 especiales. Del modelo P, produce
400 unidades normales, 200 unidades de lujo y 100
especiales. La terminación normal necesita 20 horas de
fabricación de piezas y 1,5 horas de montaje. La terminación
de lujo necesita 25 horas de fabricación y
2 horas de montaje, y la terminación especial necesita 30
horas de fabricación y 2,5 horas de montaje.
a) Representa en dos matrices la información dada.
b) Escribe una matriz que exprese las horas de fabricación y
de montaje empleadas para cada uno de los modelos.
c) Si cada hora de fabricación se paga a 15 soles y cada hora
de montaje a 18 soles, escribe una matriz que exprese el costo
total de los acumuladores G y P.
17. Sean las matrices:
y
Si A=B calcular: la traza de la matriz A+3C.
18. Escribir explícitamente la matriz “A”.
A = (aij)3x2 / aij = i + 2j
19. Si: = .
Halle: “(x + 2y) – (z + w)”
20. Si: A = , B = y A = B.
Calcular el valor de: E = 4x + 2y – z
21. Sean las matrices .
a) Encuentra el valor o valores de x que hacen cierta la
igualdad
b) Determina x para que
22. Calcular la matriz inversa de: (aplicando la matriz
adjunta)
M = (
2 −2 1
−1 1 1
−1 3 5
) N = (
5 −2 2
4 −5 3
−3 3 −2
)
23. Dadas las matrices: A = ;
B = ; C = ,
𝑠𝑖: 𝐴 = 𝐵. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ∶ 𝐴 + 𝐶
24. Una empresa naviera tiene tres líneas: A, B y C. El
lunes salieron 6 barcos en la línea A, 5 en la B y 7 en la
C. El martes salieron 2 barcos de la línea A, 3 de la B y 1
de la C. El jueves salieron 5 barcos de la línea A, 3 de la
B y 7 de la C. Represéntalo en forma de matriz.
25. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras: A y
B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo
A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la
L y 50 en la S. Produce del modelo B: 300 unidades en la
terminación N, 100 unidades en la L y 30 en la S. La
terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de
administración. La terminación L lleva 30 horas de taller
y 1,2 horas de administración. La terminación S lleva 33
horas de taller y 1,3 horas de administración. Calculemos,
utilizando cálculo matricial, una matriz que represente las
horas de taller y administración para cada uno de los
modelos.
26. En una pastelería elaboran tres tipos de postres: 𝐴,
𝐵 𝑦 𝐶, utilizando leche, huevos y azúcar (entre otros
ingredientes) en las cantidades que se indican:
A: 3/4 de litro de leche, 100 g de azúcar y 4 huevos.
B: 3/4 de litro de leche, 112 g de azúcar y 7 huevos.
C: 1 litro de leche y 200 g de azúcar.
El precio al que se compran cada uno de los tres
ingredientes es de 0,6 euros el litro de leche, 1 euro el kg
de azúcar, y 1,2 euros la docena de huevos.
Obtén matricialmente el gasto que supone cada uno de
estos tres postres (teniendo en cuenta solamente los tres
ingredientes indicados).
27. Halla la matriz X 2 + Y 2, donde X e Y son dos
matrices cuadradas de orden dos, verificando:
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28. Una compañía tiene las listas mensuales de ventas de sus
productos expresados como matrices cuyas filas, en orden,
representan el número de modelos estándar, de lujo y
superlujo que se vendieron y las columnas, también en orden,
indican el número de unidades rojas, blancas amarillas y
azules que se vendieron. Las matrices para enero y febrero
son:
a) ¿Cuántos modelos blancos de superlujo se vendieron en
enero?
b) ¿En qué mes se vendieron más modelos estándar
amarillos?
c) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de
unidades ambos meses?
d) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero?
29. Una empresa tiene cuatro panaderías: A, B, C, D y en
cada una de ellas produce tres tipos de pan: blanco, de
centeno e integral de trigo. El número de kilogramos de pan
producidos diariamente en cada una de las panaderías se
muestra en la siguiente tabla:
El beneficio es de 0.70$ por cada kilogramo de pan blanco,
0.45$ por cada kilogramo de pan de centeno y 0.50$ por cada
kilogramo de pan integral. Encontrar la ganancia que obtiene
la empresa en cada una de las panaderías, expresándolo en
forma matricial.
30. Una empresa tiene tres factorías, F1, F2, F3, en las que
se fabrican diariamente tres tipos diferentes de productos,
A, B y C, como se indica a continuación:
F1: 200 unidades de A, 40 de B y 30 de C.
F2: 20 unidades de A, 100 de B y 200 de C.
F3: 80 unidades de A, 50 de B y 40 de C.
Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de
5 euros; por cada unidad de B, se obtienen 20 euros de
beneficio; y por cada una de C, 30 euros.
Sabiendo que la empresa vende toda la producción diaria,
obtén matricialmente el beneficio diario obtenido con cada
una de las tres factorías.
31. Para la matriz A =
1 3
2 1
, verificar que
A2
− 2A − 5I = θ
32. Es posible usar la multiplicación de matrices para
codificar y decodificar mensajes secretos.
Primero, las letras del alfabeto se convierten en número;
𝑎 = 1, 𝑏 = 2, . . . , 𝑧 = 27. Entonces los números se
convierten en las entradas de una matriz cuadrada M. Para
completar el código, M se multiplica por alguna matriz K
“clave” no singular que tenga el mismo orden que M. Por
ejemplo, HELP  8 5 12 17  = M
Si K = entonces K.M = = C.
La matriz C contiene el mensaje “HELP” codificado.
a) ¿Cómo puede decodificarse C para obtener la matriz M?
b) Si K = y C =
Decodificar C y determinar el mensaje.
33. Una fábrica produce dos modelos de coches A y B, en
tres acabados: GX, GD y Ti. Produce, al mes, del modelo
A: 200, 100 y 50 unidades en los acabados GX, GD y Ti,
respectivamente. Produce del modelo B: 150, 50 y 10
unidades de análogos acabados. El acabado GX lleva 25
horas de taller de chapa y 10 horas de montaje. El acabado
GD lleva 28 horas de taller de chapa y 12 de montaje y el
acabado Ti lleva 28 y 15 horas de chapa y montaje,
respectivamente.
(a) Elabora dos matrices que contengan la información
dada.
(b) Calcula las horas de taller de chapa y de montaje que
son necesarias para cada uno de los modelos.
34.
ESTUDIOS
GENERALES
DEPARTAMENTO DE
MATEMATICA
CICLO PRE
2016 - I
Página 10 de 10 Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo

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Matrices

  • 1. ESTUDIOS GENERALES DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CICLO PRE 2016 - I Página 1 de 10 Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo TEMA ESCUELA PROFESIONAL MATRICES INGENIERÍA: ELECTRÓNICA - SISTEMAS FECHA 15/02/2016 TURNO M AULA 504 SESIÓN 04 Introducción: El primero que empleó el término matriz fue el inglés James Joseph Silvestre (1814-1897) en el año 1850. Sin embargo, hace más de dos mil años los matemáticos chinos habían descubierto ya un método de resolución de sistemas de ecuaciones lineales equivalente al método de Gauss y por lo tanto, empleaban tablas con números. Prueba de ello es que el método aparece en Los Nueve Capítulos, la obra matemática china más importante de la antigüedad. Arthur Cayley (1821-1895) es uno de los matemáticos más prolíficos de la historia siendo uno de los primeros en estudiar las matrices de forma sistemática. En 1858 publicó unas “Memorias sobre la teoría de matrices” en la que daba la definición de matriz, suma de matrices, de producto de un número real por una matriz, de producto de matrices y de inversa de una matriz. Cayley afirma que obtuvo la idea de matriz a través de la de determinante y también como una forma conveniente de expresar transformaciones geométricas. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenierías, la economía, la física, la estadística y las diferentes ramas de las matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebra. MATRICES CONCEPTO Y CLASIFICACIÓN Una matriz es un conjunto de elementos de cualquier naturaleza aunque, en general, suelen ser números ordenados en filas y columnas. Se llama matriz de orden “m × n" a un conjunto rectangular de elementos aij dispuestos en m filas y en n columnas. El orden de una matriz también se denomina dimensión o tamaño, siendo m y n números naturales. Las matrices se denotan con letras mayúsculas: A, B, C,... y los elementos de las mismas con letras minúsculas y subíndices que indican el lugar ocupado: a, b, c,... Un elemento genérico que ocupe la fila i y la columna j se escribe aij. Si el elemento genérico aparece entre paréntesis también representa a toda la matriz: A = (aij) De forma abreviada se escribe 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑚𝑥𝑛 = ( 𝑎11 𝑎12 𝑎13 … 𝑎1𝑛 𝑎21 ⋮ 𝑎𝑖1 ⋮ 𝑎22 ⋮ 𝑎𝑖2 ⋮ 𝑎23 ⋮ 𝑎𝑖𝑗 ⋮ … ⋮ ⋱ ⋮ 𝑎2𝑛 ⋮ 𝑎𝑖𝑛 ⋮ 𝑎 𝑚1 𝑎 𝑚2 𝑎 𝑚3 … 𝑎 𝑚𝑛) Orden de una matriz 𝑨 𝒎𝒙𝒏: Indica el número de filas y el número de columnas que tiene. m: número de filas n: número de columnas Elementos de una matriz 𝒂𝒊𝒋: Indica la i-ésima fila y la j- ésima columna i: posición de la fila j: posición de la columna El vector fila (𝑎𝑖1; 𝑎𝑖2; … ; 𝑎𝑖𝑛) se le llama 𝒇𝒊𝒍𝒂 𝑖 Al vector Columna ( 𝑎1𝑗 𝑎2𝑗 ⋮ 𝑎 𝑚𝑗 ) se le llama 𝒄𝒐𝒍𝒖𝒎𝒏𝒂 𝒋. Ejemplo: 𝐴 = ( 2 −6 3 ), 𝐵 = ( 1 4 2 −5 −7 0 2 6 1 ), 𝐶 = ( 1 5 3 0 8 1 4 7 ) Joseph Silvestre Arthur Cayley
  • 2. ESTUDIOS GENERALES DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CICLO PRE 2016 - I Página 2 de 10 Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Matrices especiales Matriz cuadrada.- si 𝑚 = 𝑛 (número de filas igual al número de columnas), o diremos que 𝐴 𝑛𝑥𝑛 = 𝐴 𝑛 = (𝑎𝑖𝑗) o 𝑎𝑖𝑗 es una matriz cuadrada. Ejemplo: 𝐴 = ( 𝑎11 𝑎12 𝑎12 𝑎21 𝑎22 𝑎23 𝑎31 𝑎32 𝑎33 ) 3𝑋3 𝐵 = ( 1 0 7 2 3 −4 7 12 3 0 2 −3 7 3 1 10 ) 4𝑋4 Matriz rectangular.- La matriz de orden de 𝑚𝑥𝑛, con 𝑚 ≠ 𝑛 recibe el nombre de matriz rectangular 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑚𝑥𝑛. Ejemplo: 𝑀 = 1 −9 𝜋 0 −3 𝑒 2𝑥3 𝑁 = ( 𝑠𝑒𝑛𝜃 𝑐𝑜𝑠𝜃 𝑡𝑎𝑔𝜔 𝑐𝑡𝑎𝑔𝜃 𝑙𝑜𝑔7 𝑙𝑜𝑔8 ) 3𝑥2 Matriz cero.- 𝐴 𝑚𝑥𝑛, es nula si, y sólo si 𝑎𝑖𝑗 = 0 ∀ 𝑖, ∀ 𝑗. También llamada matriz nula. 𝐴 𝑚𝑥𝑛 = ( 0 ⋯ 0 ⋮ ⋱ ⋮ 0 ⋯ 0 ) 𝑚𝑥𝑛 Ejemplo: 𝐴 = ( 0 0 0 0 0 0 0 0 0 ) 3𝑥3 Matriz diagonal.- La matriz cuadrada 𝐴 𝑛 es diagonal si 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 𝑦 ∃ 𝑎𝑖𝑗 ≠ 0, 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑛. 𝐴 𝑛 = 𝑎11 0 0 … 0 0 𝑎22 0 … 0 0 ⋮ 0 0 ⋮ 0 𝑎33 ⋮ 0 … ⋮ … 0 ⋮ 𝑎 𝑛𝑛 Por lo menos algún 𝑎𝑖𝑖 es diferente de cero. Ejemplo: 𝑀4 = ( 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ) 𝑁5 = ( 1 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 5 0 0 0 4) Matriz de identidad.- La matriz cuadrada 𝐼 𝑛 es la matriz identidad si, y sólo si 𝑎𝑖𝑗 = 0, ∀ 𝑖 ≠ 𝑗 ∧ 𝑎𝑖𝑗 = 1 ∀ 𝑖. 𝐼 𝑛 = 1 0 0 … 0 0 1 0 … 0 0 ⋮ 0 0 ⋮ 0 1 ⋮ 0 … ⋮ … 0 ⋮ 1 Ejemplo 𝐼3 = ( 1 0 0 0 1 0 0 0 1 ) 𝐼5 = ( 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 0 0 1) Matriz triangular a) La matriz cuadrada 𝐴 𝑛 es triangular superior si 𝑎𝑖𝑗 = 0 ∀ 𝑖 > 𝑗 𝐴4 = 𝑎11 𝑎12 𝑎13 𝑎14 0 𝑎22 𝑎23 𝑎24 0 0 0 0 𝑎33 0 𝑎34 𝑎44 b) La matriz cuadrada 𝐴 𝑛 es triangular inferior si 𝑎𝑖𝑗 = 0 ∀ 𝑖 < 𝑗 𝐴4 = 𝑎11 0 0 0 𝑎21 𝑎22 0 0 𝑎31 𝑎41 𝑎32 𝑎42 𝑎33 𝑎43 0 𝑎44 Igualdad de Matrices.- Las matrices 𝐴 = 𝑎𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛 ∧ 𝐵 = 𝑏𝑖𝑗 𝑚𝑥𝑛 son iguales si, y sólo si, 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 ∀ 𝑖, 𝑗 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚; 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛. Ejemplo: Sean las matrices 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)2𝑥2/ 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 − (−1) 𝑗 y 𝐵 = 𝑥 − 𝑦 1 3𝑥 − 𝑦 3 ; Hallar los valores de x e y de modo que 𝐴 = 𝐵. Resolución Determinemos el valor de la matriz A 𝑎11 = 21 − (−1)1 = 2 + 1 = 3 𝑎12 = 21 − (−1)2 = 2 − 1 = 1 𝑎21 = 22 − (−1)1 = 4 + 1 = 5 𝑎22 = 22 − (−1)2 = 4 − 1 = 3 Luego, si: 𝐴 = 3 1 5 3 = 𝑥 − 𝑦 1 3𝑥 − 𝑦 3 ⟺ (𝑥 − 𝑦 = 3 ∧ 3𝑥 − 𝑦 = 5) Resolviendo el sistema de ecuaciones tenemos: 𝑋 = 1, 𝑦 = −2 Propiedades Sean A, B, C matrices del mismo orden (elementos de 𝑚𝑥𝑛) se cumplen las siguientes propiedades: P1. 𝐴 = 𝐴, ∀ 𝐴 𝑃2. 𝐴 = 𝐵 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝐵 = 𝐴 𝑃3. 𝐴 = 𝐵 Λ 𝐵 = 𝐶 𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎 𝐴 = 𝐶 Ejemplo: Si y ¿cuáles son los valores de w, z, y y t para que
  • 3. ESTUDIOS GENERALES DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CICLO PRE 2016 - I Página 3 de 10 Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Matrices Opuestos.- Son aquellas matrices cuyos elementos correspondientes son opuestos, es decir, sean y son opuestas si y sólo si . Ejemplo: y son dos matrices opuestas. Traza de una matriz.- Es la sumatoria de los elementos de la diagonal principal de una matriz cuadrada, es decir, para Ejemplos: a) Hallar la traza de la matriz . b) Hallar la traza de la matriz . c) Hallar la traza de la matriz Matriz Escalar.- Es aquella matriz diagonal cuyos elementos de la diagonal principal son iguales a una constante, es decir, 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗)𝑛𝑥𝑛 siendo un escalar cualquiera. Ejemplos: Matriz Escalonada.-Es aquella matriz cuyos elementos por debajo de los elementos diagonales son iguales a cero. Es decir, sea una matriz cualquiera decimos que es escalonada si y sólo si, Ejemplo: Matriz Transpuesta .- Sean las matrices 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑚𝑥𝑛 𝑦 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗) 𝑛𝑥𝑚 Diremos que B es la transpuesta de A, si y sólo si 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 ∀ 1 ≤ 𝑖 ≤ 𝑚, 1 ≤ 𝑗 ≤ 𝑛 y denotamos 𝐵 = 𝐴𝑡 . Es decir: 𝐴𝑡 = 𝐵 ⟺ 𝑏𝑖𝑗 = 𝑎𝑗𝑖 ∀𝑖, ∀𝑗 𝐵 es la transpuesta de 𝐴 Ejemplo: Sea hallar la transpuesta. Propiedades: 1. 2. 3. si es un escalar. 4. Matriz Simétrica.- Es aquella matriz cuyos elementos que equidistan de la diagonal principal son iguales, es decir, aquella matriz que es igual a su transpuesta. Es decir, es una matriz simétrica si y sólo si . Ejemplo: Pruebe si es simétrica. Tenemos que como decimos que es simétrica.
  • 4. ESTUDIOS GENERALES DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CICLO PRE 2016 - I Página 4 de 10 Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Matriz Antisimétrica.- Es aquella matriz cuyos elementos de la diagonal principal es igual a cero y los elementos que equidistan de ella son opuestos, es decir, aquella matriz que es igual a la opuesta de su transpuesta. Es decir, es antisimétrica si y sólo si . Ejemplo: Pruebe si es antisimétrica. Tenemos que luego por tanto es antisimétrica. Matriz Ortogonal.- Decimos que una matriz es ortogonal, si . Podemos ver que una matriz ortogonal es necesariamente cuadrada e invertible, con inversa Ejemplo: La matriz es ortogonal si: Matriz Normal.- Una matriz es normal si conmuta con su transpuesta, esto es, si . Observe que si es simétrica, antisimétrica u ortogonal, es necesariamente normal. Ejemplo: Sea . Entonces: puesto que , la matriz es normal. Matriz no singular.- Una matriz cuadrada = (𝑎)𝑖𝑗 𝑛 de orden “n” es no singular ⇔ 𝜌( 𝐴) = 𝑛 ⇔ 𝐴 ≠ 0 Ejemplo: Las matrices 𝐴 = 2 1 −1 3 , 𝐵 = ( 2 3 4 0 −3 0 0 0 5 ) Existencia de la inversa de una matriz cuadrada.- Una matriz cuadrada 𝐴 = (𝑎)𝑖𝑗 𝑛 tiene inversa si, y sólo si 𝜌( 𝐴) = 𝑛 ⇔ 𝐴 ≠ 0 Matriz inversa.- Sea 𝐴 𝑛=(𝑎𝑖𝑗) una matriz cuadrada 𝑛𝑥𝑛. Se dice que 𝐴 es invertible o no singular si existe una matriz 𝐵 de 𝑛𝑥𝑛 tal que 𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼 𝑛. La matriz 𝐵 se conoce como inversa de 𝐴 y se denota con 𝐴−1 . Propiedades: 1. (𝐴−1 )−1 = 1 2. (𝐴𝐵)−1 = 𝐴−1 𝐵−1 3. (𝐴 𝑇 )−1 = (𝐴−1 ) 𝑇 4. (𝜆𝐴)−1 = 1 𝜆 𝐴−1 5. ( 𝐴 𝑛)−1 = ( 𝐴−1) 𝑛 ∀ 𝑛 𝜖 ℤ+ 𝑑𝑜𝑛𝑑𝑒 𝐴0 = 1 𝐴 𝑛 = 𝐴. 𝐴 𝑛−1 , 𝑛 𝜖 ℤ+ 6. 𝐼−1 = 𝐼, 𝐼 = 𝑖𝑑𝑒𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑 Teorema: Si el determinante de A no es cero el inverso multiplicativo de A es: Ejemplo: Encontrar Solución 1. encuentro el determinante de A: 2. calculo la adj A Cofactores de A 3. con las respuestas formo la matriz B y luego obtengo que es la .
  • 5. ESTUDIOS GENERALES DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CICLO PRE 2016 - I Página 5 de 10 Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo 4. aplicamos el teorema Comprobamos la respuesta: Matriz Idempotente.- Una matriz cuadrada 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗) 𝑛es idempotente si, y sólo si, 𝐴2 = 𝐴. Ejemplo: Si a , Demostrar que A es idempotente. Solución: Como vemos que se cumple 𝐴2 = 𝐴., entonces A es una matriz idempotente. Matriz Nilpotente.- 𝐴 es nilpotente, si 𝐴 𝐾 = 𝜃 para algún 𝑘 ≥ 2; 𝜃: matriz cuadrada nula. Ejemplo: Demostrar que es una matriz nilpotente de orden 3. Solución: Para hacer dicha demostración es necesario calcular A3 , por lo que tenemos Como vemos que A3 =0, entonces A es nilpotente de orden 3. Matriz involutiva.- A es involutiva, si y sólo si, 𝐴 𝑛 2 = 𝐼 𝑛 Ejemplo: Si , demostrar de A2 =I. Solución Es necesario calcular A2 =I, por lo que tenemos: Como vemos que A2 =I., entonces A es una matriz involutiva. Matriz hermitiana.- Es una matriz cuadrada de elementos complejos que tiene la característica de ser igual a su propia traspuesta conjugada Sea 𝐴 𝑛, A es hermitiana si, y sólo si, 𝐴 = (𝐴) 𝑇
  • 6. ESTUDIOS GENERALES DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CICLO PRE 2016 - I Página 6 de 10 Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Ejemplo: , demostrar que A es una matriz hermitiana Solución , Como se cumple que , por lo tanto A es una matriz hermitiana. OPERACIONES DE MATRICES I. Suma de matrices.- para dos matrices, A y B, de la misma dimensión, la suma de ambas, , es la matriz de la misma dimensión, dada por la suma de sus términos correlativos: Ejemplo: Sean y , entonces su suma será . Obs. No podemos sumar matrices que no tengan la misma dimensión. Propiedades de la suma de matrices: Si 𝐴, 𝐵, 𝐶 𝑦 𝜃 son matrices del mismo orden don dimensión de 𝑚𝑥𝑛, se cumplen las siguientes propiedades: 1. 𝐴 + 𝐵 = 𝑏 + 𝐴 conmutativa 2. ( 𝐴 + 𝐵) + 𝐶 = 𝐴 + (𝐵 + 𝐶) asociativa 3. ∃ 𝜃/𝐴 + 𝜃 = 𝜃 + 𝐴 = 𝐴, ∀ 𝐴 existencia de la matriz nula 4. ∀ 𝐴, ∃! 𝐵/𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴 existencia del opuesto Donde 𝐵 = −𝐴 −𝐴 es opuesto de 𝐴 II. Producto de un escalar por un matriz.- o producto por un número real, k. Para multiplicar por un número una matriz de cualquier dimensión, de dimensión , se multiplican todos y cada uno de los elementos de la matriz por dicho número. Ejemplos: Propiedades del producto de un escalar por una matriz.- Si 𝜆 𝑦 𝛽 son escalares y 𝐴, 𝐵 con dimensión de 𝑚𝑥𝑛. Se cumplen: 1. 𝜆( 𝐴 + 𝐵) = 𝜆𝐴 + 𝜆𝐵 2. ( 𝜆𝛽) 𝐴 = 𝜆( 𝛽𝐴) = 𝛽(𝜆𝐴) 3. ( 𝜆 + 𝛽) 𝐴 = 𝜆𝐴 + 𝛽𝐴 III. Multiplicación de matrices.- Para dos matrices , de dimensión , y , de dimensión , el producto es la matriz de dimensión dada por 𝐴 𝑚𝑥𝑛 𝑥𝐵 𝑛𝑥𝑝 = 𝐶 𝑚𝑥𝑝 = (𝐶𝑖𝑗) , es decir, cada elemento se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de la primera matriz por la columna j de la segunda matriz y sumando los resultados obtenidos. Ejemplo: A= B= AB= BA= Obs. Muy importante, para que dos matrices se puedan multiplicar entre si la primera ha de tener el mismo número de columnas que filas tiene la segunda.
  • 7. ESTUDIOS GENERALES DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CICLO PRE 2016 - I Página 7 de 10 Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Propiedades de la multiplicación de matrices: 1. 𝐴 𝑚𝑥𝑛(𝐵 𝑛𝑥𝑝 𝐴 𝑝𝑥𝑞) = (𝐴 𝑚𝑥𝑛 𝐴 𝑛𝑥𝑝)𝐴 𝑝𝑥𝑞 2. 𝐴( 𝐵 + 𝐶) = 𝐴𝐵 + 𝐴𝐶, siempre que tenga sentido: 𝐵 + 𝐶, 𝐴𝐵, 𝐴𝐶 ( 𝐵 + 𝐶) 𝐴 = 𝐵𝐴 + 𝐶𝐴, siempre que tenga sentido: 𝐵 + 𝐶, 𝐵𝐴, 𝐶𝐴 3. 𝐼 𝑛 𝐴 𝑛𝑥𝑚 = 𝐴 𝑚𝑥𝑛 𝑜 𝐴 𝑛𝑥𝑚 𝐼 𝑚 = 𝐴 𝑛𝑥𝑚 4. 𝜃 𝑝𝑥𝑚 𝐴 𝑚𝑥𝑛 = 𝜃 𝑝𝑥𝑛 5. 𝜆( 𝐴𝐵) = ( 𝜆𝐴) 𝐵 = 𝐴( 𝜆𝐵), ∀𝜆 𝜖 ℝ Ejercicios 01. Construir la matriz: a) A = (𝑎𝑖𝑗); i = 1, 2, 3; 𝑗 = 1, 2 si 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 + 𝑗 b) tal que c) M, cuadrada de orden tres tal que 02. Hallar los valores de las incógnitas  y  si: 03. a) Para las matrices Calcular: 𝑖) 2𝐴 − 𝐶 , 𝑖𝑖) 3𝐵 + 2𝐶 b) Sean: A = B = C = Calcular, si es posible: 𝐴. 𝐶 , 𝐴 𝑇 . 𝐵 𝑦 𝐵2 04. Sean y . Hallar los valores de x para los cuales se verifica la siguiente ecuación A2 – 3A = B. 05. Dadas las matrices a) Calcula b) Calcula 06. Halla el valor de cada incógnita para que las dos matrices sean iguales. 07. Indicar explícitamente la matriz: 08. Si 𝐴 + 𝐵 = 𝐶, calcular “𝑥. 𝑦”, donde: , 09. Mostrar el equivalente de: , si la siguiente matriz es nula: 10. Mostrar el mayor elemento que posee la matriz 𝐴 = 𝐵. 𝐶 y 11. Si y despejar la matriz “X” de: Dar como respuesta los elementos de la diagonal principal. 12. Qué relación satisfacen “m” y “n” si A y B son matrices conmutables: ; 13. Dada la matriz: , encontrar la matriz 14. Calcular “m” si:
  • 8. ESTUDIOS GENERALES DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CICLO PRE 2016 - I Página 8 de 10 Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo 15. Dadas las matrices: ; Calcular la Traz(AB) 16. Una fábrica produce dos modelos de acumuladores de calor, G y P, en tres terminaciones: normal, lujo y especial. Del modelo G, produce 500 unidades normales, 300 unidades de lujo y 200 especiales. Del modelo P, produce 400 unidades normales, 200 unidades de lujo y 100 especiales. La terminación normal necesita 20 horas de fabricación de piezas y 1,5 horas de montaje. La terminación de lujo necesita 25 horas de fabricación y 2 horas de montaje, y la terminación especial necesita 30 horas de fabricación y 2,5 horas de montaje. a) Representa en dos matrices la información dada. b) Escribe una matriz que exprese las horas de fabricación y de montaje empleadas para cada uno de los modelos. c) Si cada hora de fabricación se paga a 15 soles y cada hora de montaje a 18 soles, escribe una matriz que exprese el costo total de los acumuladores G y P. 17. Sean las matrices: y Si A=B calcular: la traza de la matriz A+3C. 18. Escribir explícitamente la matriz “A”. A = (aij)3x2 / aij = i + 2j 19. Si: = . Halle: “(x + 2y) – (z + w)” 20. Si: A = , B = y A = B. Calcular el valor de: E = 4x + 2y – z 21. Sean las matrices . a) Encuentra el valor o valores de x que hacen cierta la igualdad b) Determina x para que 22. Calcular la matriz inversa de: (aplicando la matriz adjunta) M = ( 2 −2 1 −1 1 1 −1 3 5 ) N = ( 5 −2 2 4 −5 3 −3 3 −2 ) 23. Dadas las matrices: A = ; B = ; C = , 𝑠𝑖: 𝐴 = 𝐵. 𝐶𝑎𝑙𝑐𝑢𝑙𝑎𝑟 ∶ 𝐴 + 𝐶 24. Una empresa naviera tiene tres líneas: A, B y C. El lunes salieron 6 barcos en la línea A, 5 en la B y 7 en la C. El martes salieron 2 barcos de la línea A, 3 de la B y 1 de la C. El jueves salieron 5 barcos de la línea A, 3 de la B y 7 de la C. Represéntalo en forma de matriz. 25. Una fábrica produce dos modelos de lavadoras: A y B, en tres terminaciones: N, L y S. Produce del modelo A: 400 unidades en la terminación N, 200 unidades en la L y 50 en la S. Produce del modelo B: 300 unidades en la terminación N, 100 unidades en la L y 30 en la S. La terminación N lleva 25 horas de taller y 1 hora de administración. La terminación L lleva 30 horas de taller y 1,2 horas de administración. La terminación S lleva 33 horas de taller y 1,3 horas de administración. Calculemos, utilizando cálculo matricial, una matriz que represente las horas de taller y administración para cada uno de los modelos. 26. En una pastelería elaboran tres tipos de postres: 𝐴, 𝐵 𝑦 𝐶, utilizando leche, huevos y azúcar (entre otros ingredientes) en las cantidades que se indican: A: 3/4 de litro de leche, 100 g de azúcar y 4 huevos. B: 3/4 de litro de leche, 112 g de azúcar y 7 huevos. C: 1 litro de leche y 200 g de azúcar. El precio al que se compran cada uno de los tres ingredientes es de 0,6 euros el litro de leche, 1 euro el kg de azúcar, y 1,2 euros la docena de huevos. Obtén matricialmente el gasto que supone cada uno de estos tres postres (teniendo en cuenta solamente los tres ingredientes indicados). 27. Halla la matriz X 2 + Y 2, donde X e Y son dos matrices cuadradas de orden dos, verificando:
  • 9. ESTUDIOS GENERALES DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CICLO PRE 2016 - I Página 9 de 10 Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo 28. Una compañía tiene las listas mensuales de ventas de sus productos expresados como matrices cuyas filas, en orden, representan el número de modelos estándar, de lujo y superlujo que se vendieron y las columnas, también en orden, indican el número de unidades rojas, blancas amarillas y azules que se vendieron. Las matrices para enero y febrero son: a) ¿Cuántos modelos blancos de superlujo se vendieron en enero? b) ¿En qué mes se vendieron más modelos estándar amarillos? c) ¿De qué modelo y color se vendió el mismo número de unidades ambos meses? d) ¿Cuántos artículos se vendieron en enero? 29. Una empresa tiene cuatro panaderías: A, B, C, D y en cada una de ellas produce tres tipos de pan: blanco, de centeno e integral de trigo. El número de kilogramos de pan producidos diariamente en cada una de las panaderías se muestra en la siguiente tabla: El beneficio es de 0.70$ por cada kilogramo de pan blanco, 0.45$ por cada kilogramo de pan de centeno y 0.50$ por cada kilogramo de pan integral. Encontrar la ganancia que obtiene la empresa en cada una de las panaderías, expresándolo en forma matricial. 30. Una empresa tiene tres factorías, F1, F2, F3, en las que se fabrican diariamente tres tipos diferentes de productos, A, B y C, como se indica a continuación: F1: 200 unidades de A, 40 de B y 30 de C. F2: 20 unidades de A, 100 de B y 200 de C. F3: 80 unidades de A, 50 de B y 40 de C. Cada unidad de A que se vende proporciona un beneficio de 5 euros; por cada unidad de B, se obtienen 20 euros de beneficio; y por cada una de C, 30 euros. Sabiendo que la empresa vende toda la producción diaria, obtén matricialmente el beneficio diario obtenido con cada una de las tres factorías. 31. Para la matriz A = 1 3 2 1 , verificar que A2 − 2A − 5I = θ 32. Es posible usar la multiplicación de matrices para codificar y decodificar mensajes secretos. Primero, las letras del alfabeto se convierten en número; 𝑎 = 1, 𝑏 = 2, . . . , 𝑧 = 27. Entonces los números se convierten en las entradas de una matriz cuadrada M. Para completar el código, M se multiplica por alguna matriz K “clave” no singular que tenga el mismo orden que M. Por ejemplo, HELP  8 5 12 17  = M Si K = entonces K.M = = C. La matriz C contiene el mensaje “HELP” codificado. a) ¿Cómo puede decodificarse C para obtener la matriz M? b) Si K = y C = Decodificar C y determinar el mensaje. 33. Una fábrica produce dos modelos de coches A y B, en tres acabados: GX, GD y Ti. Produce, al mes, del modelo A: 200, 100 y 50 unidades en los acabados GX, GD y Ti, respectivamente. Produce del modelo B: 150, 50 y 10 unidades de análogos acabados. El acabado GX lleva 25 horas de taller de chapa y 10 horas de montaje. El acabado GD lleva 28 horas de taller de chapa y 12 de montaje y el acabado Ti lleva 28 y 15 horas de chapa y montaje, respectivamente. (a) Elabora dos matrices que contengan la información dada. (b) Calcula las horas de taller de chapa y de montaje que son necesarias para cada uno de los modelos. 34.
  • 10. ESTUDIOS GENERALES DEPARTAMENTO DE MATEMATICA CICLO PRE 2016 - I Página 10 de 10 Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo