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Planteo de ecuaciones

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Razonamiento Matemático

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Planteo de ecuaciones

  1. 1. Facultad de Ciencias E Ingeniería E.A.P. de Ingeniería: Electrónica y Telecomunicaciones RAZONAMIENTO MATEMÁTICO CICLO PRE - UCH Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email: mtarazona@uch.edu.pe www.jacobiperu.com Teléfono: 999685938 Página 1 de 6 TEMA: PLANTEO DE ECUACIONES SEMESTRE: 2017 - I TURNO: Mañana PABELLÓN: B AULA: 502 B SEMANA: 2 FECHA: 22/03/17 PLANTEO DE ECUACIONES Representar en el lenguaje matemático, el enunciado de un problema es lo que llamaremos en adelante plantear una ecuación. Entenderemos también que no todo enunciado o frase u oración del lenguaje común puede ser traducido al lenguaje matemático. Si una determinada oración o frase de nuestro lenguaje común es medible, entonces podemos afirmar que tal enunciado puede ser expresado en el lenguaje matemático. ¿Cómo podremos representar en el lenguaje matemático situaciones de lenguaje común? ① Leemos varias veces con mucho cuidado la situación o problema propuesto, con el fin de establecer los datos que se nos proporciona y aquello que se nos pide calcular. ② Esto último lo representamos por una incógnita para lo cual usaremos por lo general, las últimas letras del alfabeto: 𝑥 , 𝑦 ó 𝑧. ③ Escribimos la ecuación que exprese las condiciones del problema. ④ Resolvemos dicha ecuación. ⑤ Interpretamos el resultado en el lenguaje común. Forma verbal forma simbólica Un número desconocido El triple de un número Una cantidad aumentada en 20 Un número disminuido en 60 60 disminuido en un número Seis veces el número de lápices El exceso de un número sobre 50 es 10 “x” excede a “y” en 8 El doble de un número aumentado en 3 El doble de la suma de un número con 3 “a” es cuadro veces “b” La relación que hay entre 2 números es 2 a 5 La suma de tres números consecutivos es 18 La suma de tres números impares consecutivos es 33 Tres números son proporcionales a 3, 4 y 5 respectivamente El doble del cuadrado de un número El cuadrado del doble de un número La cuarta parte de un número La tercer parte de un número sumada con su quinta parte
  2. 2. Facultad de Ciencias E Ingeniería E.A.P. de Ingeniería: Electrónica y Telecomunicaciones RAZONAMIENTO MATEMÁTICO CICLO PRE - UCH Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email: mtarazona@uch.edu.pe www.jacobiperu.com Teléfono: 999685938 Página 2 de 6 EJEMPLOS DE APLICACIÓN: 1. Hallar un número, sabiendo que aumentado en 18 equivale al triple de su valor. Resolución:  Sea el número: x  Según el enunciado del problema: x + 18 = 3x Resolviendo: 18 = 2x 9 = x  . El número es 9 2. El exceso del doble de un número sobre 18 es igual al triple del número disminuido en 10. ¿Cuál es el número? Resolución:  Sea” x” el número  El exceso del doble del número sobre 18 es: 2x – 18  El triple del número disminuido en 10 es: 3(x – 10)  Luego, según el enunciado 2x – 18 = 3(x – 10) Resolviendo: 2x – 18 = 3x – 30 12 = x  El número es 12 3. Se tienen dos números, el mayor excede al menor en 15 unidades. Si al menor se le aumenta sus 3/4, resultaría lo mismo que la mitad del mayor Resolución: Recuerda que: Si A excede a B en 15, entonces: A + B = 15  Sean los números: # menor = x # mayor = x + 15  Según el enunciado Resolviendo 4x + 3x = 2(x + 15) 7x = 2x + 30 5x = 30 x = 6  Luego los números son: . 21156 6   # ma yor # menor . 4. Hallar dos números sabiendo que uno excede al otro en 8 unidades y que el menor es 35 unidades menos que el doble del mayor Resolución:  Como nos dicen que uno de los números excede al otro en 8, entonces # menor = x # mayor = x + 8  Del enunciado Resolviendo: x = 2x + 16 – 35 19 = x  Finalmente, los números son 27 19   # ma y or # men or 5. La suma de tres números enteros consecutivos es 47 unidades más que el número menor. Hallar el mayor de los tres números. Resolución:  Sean los tres números enteros consecutivos:   3 # # 4 2 3 15 4 2 mayor menor sus x x x             35 2 8 35 # menor menos que el doble del # mayor x x    
  3. 3. Facultad de Ciencias E Ingeniería E.A.P. de Ingeniería: Electrónica y Telecomunicaciones RAZONAMIENTO MATEMÁTICO CICLO PRE - UCH Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email: mtarazona@uch.edu.pe www.jacobiperu.com Teléfono: 999685938 Página 3 de 6        mayorermediomenor xxx #int## 2;1;   Del acuerdo a los datos del problema x + (x + 1) + (x + 2)) x + 47 Resolviendo: 3x + 3 = x + 47 2x = 44 x = 22  Entonces # mayor = 22 + 2 = 24 6. Si se multiplica el menor y el mayor de los tres números pares consecutivos, se obtiene un número que es 96 unidades menos que el producto del mayor y el segundo de los tres mencionados. Halla dichos números. Resolución:  Como los números pares consecutivos se van generando de 2 en 2, entonces serán:          #erma yor##do#ermenor# x;x;x 321 42   Del acuerdo a los datos: x (x + 4) = (x + 4) (x + 2) – 96 Resolviendo: x2 + 4x = x2 + 6x + 8 – 96 88 = 2x 44 = x  Luego dichos números son 44; 46 y 48 7. Si al triple de la edad que tenía Manuel hace 10 años, se le resta su edad actual, se obtiene la edad que tendrá dentro de 5 años ¿Cuál es su edad? Resolución:  Sea “x” la edad actual de Manuel Entonces: Su edad hace 10 años era: (x – 10) Su edad dentro de 5 años será: (x + 5)  Según datos: 3(x – 10) – x = x + 5 Resolviendo: 3x – 30 – x = x + 5 x = 35  Por lo tanto, la edad actual de Manuel es 35 años 8. Valeria dice: “Gasté los 2/7 de lo que tenía y S/. 20 más, quedándome con la quinta parte de lo que tenía y S/. 16 más.” ¿Cuánto tenía Valeria? Resolución:  Sea “x” el dinero que tenía Valeria  Si gasta los 7 2 de lo que tenía y S/. 20 más, le quedan: 20 7 5 20 7 2 20 7 2        xxxxx ... (I)  La quinta parte de lo que tenía y S/. 16 más es: 16 5 1 x ... (II)  De acuerdo al enunciado del problema, las expresiones (I) y (II) son equivalentes, o sea: 16 5 1 20 7 5  xx Resolviendo: 25x – 700 = 7x + 560 18x = 1260 x = 70  Luego Valeria tenía 70 soles 9. 9. Un estudiante lee 64 página de la novela “Cien años de soledad”, y al día siguiente lee 1/3 de lo que le falta; si todavía le quedan por leer los 4/7 del total de páginas, ¿Cuántas páginas tiene dicha novela? Resolución:  Sea “x” el total de páginas.  Según datos: El 1er día lee 64 páginas, entonces le falta leer (x - 64) páginas El 2do día lee 3 64x páginas
  4. 4. Facultad de Ciencias E Ingeniería E.A.P. de Ingeniería: Electrónica y Telecomunicaciones RAZONAMIENTO MATEMÁTICO CICLO PRE - UCH Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email: mtarazona@uch.edu.pe www.jacobiperu.com Teléfono: 999685938 Página 4 de 6 Y todavía le quedan por leer x 7 4 páginas. Se deduce que: Lo que lee el primer día, más lo que lee el segundo y más lo que le quedan por leer, será igual al total de páginas. Entonces: xx x    7 4 3 64 64 Resolviendo: MCM (3; 7) = 21 1 344 + 7(x – 64) + 12x = 21x 1 344 + 7x – 448 + 12x = 21x 896 = 2x 448 = x  Por lo tanto la novela tiene 448 página PROBLEMAS 1. La edad de Johan aumentada en 8 es 27 ¿Cuál es la edad de Johan? 2. El doble de un número disminuido en 70 es 48. ¿Cuál es el número? 3. El triple de la suma de un número con 6 es 48 ¿Cuál es el número? 4. El número de hombres es 5 veces el número de mujeres, si en total hay 42 personas, entre hombres y mujeres ¿Cuántas mujeres hay? 5. El número de hombres es 5 veces más que el número de mujeres, si en total hay 42 personas entre hombres y mujeres, ¿Cuántos hombres hay? 6. El exceso de 15 sobre 8 es igual al exceso de “A” sobre 2. ¿Cuánto vale “A”? 7. El dinero que tengo aumentado en su mitad es 45 ¿Cuánto tengo? 8. Hallar un número, tal que al agregarle 432 obtengamos su triple disminuido en 8. 9. Al retirarse 14 personas de una reunión se observa que ésta queda disminuida en sus 9 2 partes. ¿Cuántas quedaron? 10. A Sebastián le preguntan la hora y responde: “Quedan del día 9 horas menos que las ya transcurridas”. ¿Qué hora es? 11. ¿Qué número es aquel cuyo exceso sobre 17 equivale a la diferencia entre los 5 3 del número y sexta parte del mismo? 12. Noventa soles se reparten entre tres hermanos proporcionalmente a sus edades que son como 5, 3 y 1; si se repartiera equitativamente, ¿Cuánto más recibiría el menor? 13. Doce es excedido por 18 en la misma medida que el número es excedido por su triple. Hallar el exceso de 20 sobre el número. 14.Tenía S/. 85, gasté cierta suma y lo que me queda es el cuádruplo de lo que gasté ¿Cuánto gasté? 15. El martes gané el doble de lo que gané el lunes, el miércoles el doble de lo que gané el martes, el jueves el doble de lo que gané el miércoles; el viernes S/. 30 menos que el jueves y el sábado S/. 10 más que el viernes. Si en los 6 días he ganado S/. 911 ¿Cuánto gané el miércoles? 16. Subiendo la escalera de tres en tres, Rosa da 6 pasos más que subiendo de cinco en cinco. ¿Cuántos peldaños tiene la escalera? 17. Compré el cuádruple del número de caballos que de vacas. Si hubiera comprado 5 caballos más y 5 vacas más tendría el triple de número
  5. 5. Facultad de Ciencias E Ingeniería E.A.P. de Ingeniería: Electrónica y Telecomunicaciones RAZONAMIENTO MATEMÁTICO CICLO PRE - UCH Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email: mtarazona@uch.edu.pe www.jacobiperu.com Teléfono: 999685938 Página 5 de 6 de caballos que el de vacas. ¿Cuántos caballos y cuántas vacas compré? 18. Calcular cuatro números consecutivos tales que la tercera parte de la suma de los mayores sea 10 unidades menos que la suma de los dos primeros. 19. Al preguntar un padre a su hijo cuanto había gastado de los 350 soles que le dio, éste respondió: “He gastado las 4 3 partes de lo que no gasté”. ¿Cuánto gastó? 20. AL comprar 20 naranjas, me sobra S/. 480, pero al adquirir 24 naranjas, me faltarían S/. 120 ¿Cuánto cuesta cada naranja? Problemas 1. 5 Veces la suma de un número con 3 es igual a 40. hallar el número. a) 1 b) 2 c) 3 d) 4 e) 5 2. El óctuplo de un número, más 5 es igual al quíntuplo de la suma del número con 10. Hallar el número. a) 12 b) 11 c) 10 d) 15 e) 16 3. El exceso del triple de un número sobre 42 equivale al exceso de 286 sobre el número. ¿Cuál es el número? a) 12 b) 22 c) 82 d) 46 e) 30 4. Hallar la medida de un ángulo, tal que el exceso del triple de su suplemento sobre el doble de su complemento es igual a 320º a) 20° b) 40° c) 10° d) 15° e) 60° 5. Hallar el mayor de cinco números enteros consecutivos; sabiendo que el exceso de la suma de los tres menores sobre la suma de los dos mayores es 28. a) 36 b) 34 c) 32 d) 30 e) 28 6. Hallar el menor de tres números consecutivos; si sabemos que los 5 4 del mayor exceden a los 4 3 del intermedio, en una cantidad igual a la sexta parte del menor disminuida en 5 1 a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 7. Hallar dos números cuya suma es 1060 y su diferencia es 320. a) 340 b) 350 c) 360 d) 370 e) 380 8. ¿A qué hora las horas transcurridas es igual al décuplo de la midan de las que faltan transcurrir? a) 8am b) 6am c) 8pm d) 5pm e) 7am 9. Dos hermanos pesan juntos 152 kg y los 8 7 del peso del menor exceden en 3 kg a los 4 3 del peso del otro ¿Cuánto pesa cada uno? a) 78 y 80 b) 72 y 80 c) 80 y 82 d) 76 y 81 e) 45 y 50 10.Se ha gastado $148, utilizando 72 billetes de $1 y $5 ¿Cuántos de $1 se utilizó? a) 53 b) 54 c) 55 d) 56 e) 57 Problemas y más problemas 1. Hallar un número que, aumentado en 14 equivale al triple del mismo número Rpta. 7 2. La suma de dos números consecutivos enteros es 35 ¿Cuáles son esos números? Rpta.17 y 18 3. Hallar dos números sabiendo que uno excede en 8 unidades al otro y que el menor aumentado en su 3/5 es 5 unidades menos que el mayor. Rpta. 13 y 5
  6. 6. Facultad de Ciencias E Ingeniería E.A.P. de Ingeniería: Electrónica y Telecomunicaciones RAZONAMIENTO MATEMÁTICO CICLO PRE - UCH Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email: mtarazona@uch.edu.pe www.jacobiperu.com Teléfono: 999685938 Página 6 de 6 4. El triple de un número aumentado en 16 equivale al exceso de 60 sobre el mismo número. Hallar dicho número. Rpta. 3 5. Un número más su mitad igual al exceso del doble del mismo sobre 9. Hallar el doble de dicho número. Rpta. 36 6. A un alambre se le da dos cortes de manera que la longitud del primer trozo es los 2/9 del total, y la del segundo 6 metros más que el primero y la del tercero los 4/9 del total. ¿Cuál es la longitud total del alambre? Rpta. 54 m 7. La edad de Ernesto dentro de 8 años será el doble de la edad que tuvo hace 5 años. ¿Cuál es su edad actual? Rpta. 18 años 8. Hallar un número cuyos 7/8 excedan a sus 3/4 en 5. Rpta. 40 9. Si un número aumentado en 8 se multiplica por el mismo número disminuido en 3, resulta el cuadrado del número, más 76. ¿Cuál es el número? Rpta. 20 10.La suma de tres números enteros consecutivos, es lo mismo que el exceso de 39 sobre el menor de los números. ¿Cuál es el número mayor? Rpta. 11 11.Si a un número se le suma 5, se multiplica por la suma por 3, se le resta 6 del producto y se divide la diferencia por 7, se obtiene un número que tiene 5 unidades menos que el número inicial. Hallar el número aumentado en 3. Rpta. 14 12.Ángel tiene 18 años más que Frank. hace 18 años la edad de Ángel equivalía a los 5/2 de la edad de Frank. Hallar la edad que tiene Ángel. Rpta. 48 años 13.Si al cuádruple de la edad que tenía hace 3 años, le resto el doble de la edad que tendré dentro de 4 años, obtengo mi edad. ¿Cuál es mi edad? Rpta. 20 años 14.Las edades de Ángel, Beto y Carlos suman 53 años. la edad de Beto es 1/3 de la edad de Carlos y la edad de Ángel es 4 años más que la edad de Carlos ¿Cuál es la edad de Beto? Rpta. 7 años 15.Andrea tiene cierta suma de dinero. Gastó S/. 30 en libros y los 3/4 de lo que le quedaba después del gasto anterior, en ropa, si todavía le quedan S/. 30 ¿Cuánto tenía al principio? Rpta. S/. 150 16.En 3 días Fiorella ganó 185 soles. Si cada día ganó 3/4 de lo que ganó el día anterior ¿Cuánto ganó el primer día? Rpta. S/. 80 BIBIOGRAFIA: ACADEMIA ADUNI, Asociación Aduni (2003) Compendio académico de matemática Editor: Lumbreras Lima INSTITUTO DE CIENCIAS Y HUMANIDADES (2008) Aritmética Análisis del número y sus aplicaciones Edición: 3a ed. Editor: Instituto de Ciencias y Humanidades Lima REFERENCIA: www.jacobiperu.com

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