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RAZONES Y PROPORCIONES
PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INDIRECTA
RAZÓN.- es la comparación que se establece entre dos
cantidades homogéneas, mediante una operación.
CLASES DE RAZÓN:
RAZÓN ARITMÉTICA.- es la comparación de dos cantidades
mediante la sustracción.
Para dos cantidades a y b, su razón aritmética será:
a b r 
Dónde:
a: antecedente
b: consecuente
r: valor de la razón
RAZÓN GEOMÉTRICA.- es la comparación de dos cantidades
mediante la división, y consiste en determinar cuántas veces
cada una de las cantidades contiene cierta unidad de
referencia.
Para dos cantidades a y b, su razón geométrica será:
a
k
b

Dónde:
a: antecedente
b: consecuente
k: valor de la razón
PROPORCIÓN.- es la igualdad de dos razones de una misma
clase, que tenga el mismo valor de la razón.
CLASES DE PROPORCIÓN:
PROPORCIÓN ARITMÉTICA.- es la igualdad de dos razones
aritméticas.
Ejm: la edad de Manuel excede a la edad de Miguel, tanto
como la de Sebastián excede a la edad de Matías; lo que se
puede escribir como:
40 − 32 = 55 − 47
Dónde:
40; 55: 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
32; 47: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
32: 55: 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠
40; 47: 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠
PROPORCIÓN ARITMÉTICA
DISCRETA CONTINUA
𝑎 − 𝑏 = 𝑐 − 𝑑
d: cuarta diferencial de a, b
y c
𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑐
b: media diferencial
c: tercera diferencial
Nota:
En toda proporción aritmética la suma de los términos
extremos es igual a la suma de los términos medios.
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA.- es la igualdad de dos razones
geométricas.
Ejm: el peso de Yudy es al de Rossina como el peso de Lucía
es a la de Valeria; lo cual se puede escribir como:
120
80
=
210
140
TEMA: Razones y proporciones
Proporcionalidad directa e indirecta ∮ 𝑬𝑫𝑼𝑪𝑨𝑪𝑰
𝟐𝟎𝟏𝟔
𝑼𝑪𝑯
Ó𝑵𝒅𝒙
FECHA
19/04/2016
TURNO
NOCHE
AULA
501A
SEMANA
6
SESIÓN
11- 12
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Dónde: 120; 210: antecedentes
80; 140: consecuentes
80; 210: términos medios
120; 140: términos extremos
Tipos de proporción geométrica:
PROPORCIÓN GEOMÉTRICA
DISCRETA CONTINUA
a c
b d

d: cuarta diferencial de a, b
y c
a b
b c

b: media diferencial de a y
c.
c: tercera diferencial de a y
b.
Nota:
En toda proporción geométrica el producto de los términos
extremos es igual al producto de los términos medios.
Serie de razones geométricas<>:
𝑎1
𝑏1
=
𝑎2
𝑏2
=
𝑎3
𝑏3
=
𝑎4
𝑏4
= °°°°°°° =
𝑎 𝑛
𝑏 𝑛
= 𝑘
Propiedades:
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 "𝑛" 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 "𝑛" 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
= 𝑘
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 "𝑛" 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 "𝑛" 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠
= 𝑘 𝑛
Ejemplos:
1. Sea: 24 − 18 = 33 − 27
Dónde: ……………..es la cuarta diferencial de 24;18 y 33
2. Sea:36 − 28 = 28 − 20
………………es la media diferencial de 36 y 20
“20”es la tercera diferencial de……………y……………
3. Sea:
36
12
=
24
8
“8”es la……………………………….de 36;12 y 24
4. Sea:
48
24
=
24
12
………….. es la………………………de……….y…..
5. ¿Cuál es la cuarta diferencial de 60; 40 y 30?
60 − 40 = 30 − 𝑥 → 𝑥 =∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
6. ¿Cuál es la media diferencial de 84 y 24?
84 − 𝑥 = 𝑥 − 24 → 𝑥 =∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
7. ¿Cuál es la tercera diferencial de 92 y 48?
92 − 48 = 48 − 𝑥 → 𝑥 =∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
8. ¿Cuál es la cuarta proporcional de 40;60 y 160?
40
60
=
160
𝑥
→ 𝑥 =∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
9. ¿Cuál es la media proporcional de 4 y 36?
4
𝑥
=
𝑥
36
→ 𝑥 =∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
10. ¿Cuál es la tercera proporcional de 40 y 80?
40
80
=
80
𝑥
→ 𝑥 =∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙
11.
6
4
=
12
8
=
15
10
=
21
14
=
3
2
Si:
6+12+15+21
4+8+10+14
=
54
36
=
3
2
12.
6
2
=
12
4
=
15
5
=
18
6
= 3
Si:
6×12×15×18
2×4×5×6
=
19440
240
= 81 = 34
Nota:
Una serie de razones geométricas continuas equivalentes
será:
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑐
=
𝑐
𝑑
=
𝑑
𝑒
= 𝑘
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PROPORCIONAL DIRECTA
Una relación directamente proporcional es aquella que a
mayor cantidad de una variable, mayor cantidad de la otra, lo
que es equivalente a menor cantidad de una, menor la
cantidad de la otra.
Por ejemplo:
Mientras más pan compro, más dinero pago por él.
Mientras menos estudio, menos aprendo.
Dos variables están en proporcionalidad directa si su cociente
permanece constante:
𝑥 𝑒 𝑦 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 ⟺
𝑥
𝑦
= 𝑘
k se denomina la constante de
proporcionalidad.
El gráfico de dos variables que
están en proporcionalidad directa
es un conjunto de puntos que
están sobre una recta que pasa por
el origen.
Ejemplo. Un vehículo tiene en
carretera un rendimiento de 16 km/l. ¿Cuántos litros de
petróleo consumirá en un viaje de 192 km?
Como estas variables se relacionan en forma directa (ya que
más kilometraje implica que se gastará más petróleo),
entonces su cociente es constante.
16 1
16 192.1
192
192
12
16
km litro
x
km x
x
  
  
Respuesta: en un viaje de 192 kilómetros el vehículo
consumirá 12 litros de petróleo.
PROPORCIONALIDAD INDIRECTA O INVERSA
Las proporciones inversas se caracterizan porque al disminuir
una variable, la otra aumenta.
Por ejemplo:
Mientras más rápido viajo, menos tiempo me demoro.
Mientras menos contamino el aire, más limpio estará.
Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto
permanece constante:
𝑥 𝑒 𝑦 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 ⟺ 𝑥. 𝑦 = 𝑘
k se denomina la constante de proporcionalidad.
El gráfico de dos
variables que están en
proporcionalidad
inversa es un conjunto
de puntos que están
sobre una hipérbola.
Ejemplo. Tres obreros
demoran 5 días en
hacer una zanja.
¿Cuánto demorarán 4
obreros?
Por estar en
proporcionalidad
inversa (ya que más obreros tardaran menos tiempo en hacer
la zanja) el producto entre las variables: número de obreros –
tiempo, es constante (por esto debo tener que 3.5 es
constante y para eso se invierten las variables completas):
Nº obreros días
3 5
4 x
Si hay mayor cantidad de obreros se morarán menos días en
hacer el trabajo
Al ser proporción inversa invertimos el segundo término (el
que no tiene incógnita)
3 obreros 5 días 4 obreros 5 días
P. I
4 obreros días 3 obreros días
5.3
3,75
4
x x
x
   
  
Respuesta: Se demoran aproximadamente 4 días en terminar
la obra los 4 obreros (o demoran 3 días y 18 horas)
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Problemas de aplicación
1.- Un grifo de caudal constante vierte agua en un depósito
cilíndrico. Se sabe que en 5 minutos el nivel del agua ha
subido 20 cm. ¿Cuánto subirá el nivel del agua en 13
minutos?
2.- 300 gramos de queso han costado 4,2 €. ¿Cuánto costaba
el kilo?
3.- Entrenando en pista, un corredor ha dado 8 vueltas en 12
minutos. Si mantiene el ritmo, ¿Cuánto tardará en dar 5
vueltas? (Expresa la solución en minutos y segundos)
4.- Cuatro operarios pintan una pared en 5 horas. ¿Cuánto
tardarán diez pintores en realizar la misma tarea?
5.- Un ganadero tiene forraje para alimentar a sus 20 vacas
durante 60 días. Si compra 10 vacas más, ¿Cuántos días
podrá alimentarlas (a todas) con las mismas provisiones?
6.- Un tren, a 80 km/h, tarda 5 horas en ir de Jaén a Madrid. ¿A
qué velocidad debería hacer el viaje de vuelta para cubrir
el recorrido en 4 horas?
7.- Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante
5 días, ha lavado 100 kg de ropa. ¿Cuántos kg de ropa
lavará en 12 días trabajando 10 horas diarias?
8.- Un taller, trabajando 8 horas diarias, ha necesitado 5 días
para fabricar 1000 cojinetes para ruedas. Ahora debe servir
un pedido de 3000 cojinetes, por lo que decide hacer
turnos de 10 horas diarias. ¿Cuántos días tardará en cubrir
el pedido?
9.- Ocho máquinas tejedoras, en cuatro días, hacen 384
chalecos de punto. ¿Cuántos chalecos fabricarán 5 de esas
máquinas en tres días? ¿Y nueve máquinas en dos días?
10.- Un cine, dando dos sesiones diarias, puede dar entrada a
18000 personas en 30 días. ¿A cuántas personas podrá
recibir este local en 45 días si amplía su oferta a 3 sesiones
diarias?
11.- Ocho máquinas tejedoras, en cuatro días, hacen 384
chalecos de punto. ¿Cuántos días necesitarán cinco de esas
máquinas para fabricar 180 chalecos?
12.- Un ganadero necesita 750 kilos de pienso para alimentar
a 50 vacas durante 10 días. ¿Durante cuántos días podrá
alimentar a 40 vacas con 1800 kilos de pienso?
13.- Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una población
que está a 60 km de distancia, una empresa de transporte
me ha cobrado 9 €. ¿Cuánto me costará enviar un paquete
de 15 kg a 200 km de distancia?
14.- Para llenar un pilón de riego hasta una altura de 80 cm se
ha necesitado aportar un caudal de 20 litros por minuto
durante 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en
llenarse ese mismo pilón hasta una altura de 90 cm si se le
aporta un caudal de 15 litros por minuto?
15.- Doce obreros, trabajando 8 horas diarias, terminan un
trabajo en 25 días. ¿Cuánto tardarán en hacer ese mismo
trabajo 5 obreros trabajando 10 horas diarias?
16.- Tres amigos, Rafael, Arancha e Iván, han recibido 250
euros por repartir propaganda por los buzones de su barrio.
Rafael ha repartido 2 paquetes de octavillas, Arancha tres
paquetes e Iván cinco paquetes. ¿Cuánto dinero
corresponde a cada uno?
17.- Tres hermanos se han repartido cierta cantidad de dinero
de forma directamente proporcional a sus edades. Si el
mayor tiene 23 años y le han correspondido 184 euros,
¿Cuánto se llevará cada uno de los otros dos que tienen 15 y
12 años, respectivamente?
18.- Tres socios invierten 20000 €, 30000 € y 70000 €,
respectivamente, en un negocio que, al cabo de un año, da
7560 € de beneficios. ¿Cuánto se llevará cada uno si el
reparto se hace de forma directamente proporcional al
dinero invertido?
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19.- Se desean repartir 183 caramelos de forma inversamente
proporcional al número de suspensos que han tenido 3
niños: Andrea 3 suspensos, Marta 4 suspensos y Raúl 7
suspensos. ¿Cuántos caramelos le corresponden a cada
niño?
20.- Reparte 180 bombones de forma inversamente
proporcional a las edades de Lidia, Ernesto y Rodrigo, que
tienen, respectivamente, 3, 4 y 6 años.
21.- En cierta empresa, de tres trabajadores, se van a repartir
2125 euros de forma inversamente proporcional al número
de días que han faltado al trabajo cada uno de ellos (Javier 6
días, María 8 días y Antonio 16 días). Calcula que cantidad se
lleva cada trabajador.
22.- Se ha repartido un número en partes inversamente
proporcionales a 3, 5 y 7. Calcula el número si la segunda
parte es 84.
23.- Tres camareros se reparten 295 € de propinas en partes
inversamente proporcionales a los días que faltaron en el
trimestre, que fueron 2, 5 y 7. ¿Cuánto le corresponde a cada
uno?
24.- Se reparte una gratificación de 1080 € entre los pastores
de una ganadería, en partes inversamente proporcionales a
las ovejas que han perdido. El primer pastor perdió solo una
oveja; el segundo perdió tres ovejas, y el tercero seis ovejas.
¿Cuánto le tocará a cada uno?
25.- En una clase de 30 alumn@s, hoy han faltado 6 a clase.
¿Cuál ha sido el tanto por ciento de ausencias?
26.- Un hospital tiene 210 camas ocupadas, lo que representa
el 84% de todas las camas disponibles. ¿De cuántas camas
dispone dicho hospital?
27.- De 475 hombres encuestados solamente 76 declaran
saber planchar. ¿Qué porcentaje de hombres reconocen que
saben planchar?
28.- El 24% de los habitantes de una aldea tienen menos de 30
años. ¿Cuántos habitantes tiene la aldea, si hay 90 jóvenes
menores de 30 años?
29.- Un artículo que costaba 60 euros ha subido un 25%.
¿Cuánto cuesta ahora?
30.- Joaquín ganaba 1250 euros al mes y le han subido el
sueldo en un 8%. ¿Cuánto gana ahora?
31.- Un abrigo cuesta 280 euros tras subir una subida del 12%.
¿Cuánto costaba antes de la subida?
32.- El valor de mis acciones, tras subir un 5%, es de 525 euros.
¿Cuál era su valor anterior?
33.- Las reservas de agua de cierta región, estimadas hace un
mes en 260 hm3, han aumentado un 60%. ¿Cuáles son las
reservas actuales?
34.- Las reservas de agua de cierta comunidad han sufrido en
el último mes un aumento del 5%. Si actualmente se cifran
en 735 hm3, ¿cuáles eran las reservas hace un mes?
35.- Ciertos almacenes anuncian una rebaja del 20% en todos
sus artículos. ¿Cuál será el precio rebajado de un artículo que
inicialmente se vende a 380 euros?
36.- He pagado 340 euros por un abrigo que estaba rebajado
un 15%. ¿Cuál era el precio antes de ser rebajado?
37.- Calcula los precios rebajados (10%) de unos guantes cuyo
valor son 18 €, de una falda cuyo valor es de 80 € y de una
chaqueta cuyo valor es de 156 €.
38.- Una camisa rebajada en un 5%, tiene un valor de 21,25 €.
¿Cuál era su precio original?
39.- Una aldea que tenía hace 5 años 875 habitantes, ha
perdido en el último lustro el 12% de su población. ¿Cuántos
habitantes tiene la aldea en la actualidad?
40.- En una tienda de ropa hacen una rebaja del 20% a una
chaqueta que cuesta 112 €. Calcula la cantidad que se paga
por la chaqueta.
41.- A Sonia le han aplicado un 5% de rebaja en el seguro del
coche por no haber tenido incidentes. Si ahora paga 760
euros, ¿cuánto pagaba anteriormente?
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42.- Alba ganaba 1400 euros y ha recibido un aumento del 5%
en su salario. ¿Cuánto gana ahora?
43.- Alberto pagó el año pasado 350 euros por un servicio de
teléfono móvil. Si este año ha pagado 378 euros, ¿qué tanto
por ciento ha aumentado en el gasto de teléfono móvil?
44.- Un comerciante paga 400 € por cada figura de cristal que
compra. Si desea ganar el 64% del precio de costo, ¿a qué
precio se debe vender cada figura?
45.- Una impresora cuesta 218 euros sin descuento y 185,3
euros con descuento. ¿Qué descuento se ha aplicado en el
precio de la impresora?
46.- En una tienda un bolso cuesta 150 euros y nos aplican un
16% de I.G.V. ¿Cuánto nos costará el libro?
47.- Por unos libros con el I.G.V. hemos pagado 78 euros, y el
I.G.V. de los libros es del 4% ¿Cuánto costaban?
48.- Por unos pantalones hemos pagado 40 euros y nos
hicieron el 15% de descuento. ¿Cuánto costaban?
49.- Tras un aumento del 9%, el sueldo de Ramón es de 1417
euros. ¿Qué cobraba antes?
50.- Por la “Play 3” y varios juegos, cuyo valor es de 450 euros,
se pagan 405 euros. ¿Cuál es el descuento aplicado?
Ejercicios
1) Las edades de Jorge y Viviana están en relación de 3 a 5
y la suma de ellas es 56. ¿Qué edad tiene Viviana?
a) 34años b) 35 c) 36 d) 38 e) 40
2) Tres números son entre sí como 5; 7 y 10. Si la suma de
ellos es 220; hallar el mayor de los números.
a) 85 b) 90 c) 95 d) 100 e) 120
3) Tres números “a”; “b” y “c” que están en la relación de
4; 7 y 9 cumple la condición: 5𝑎 + 4𝑏 − 3𝑐 =
315. ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 “𝑎 + 𝑏 + 𝑐”.
a) 200 b) 150 c) 280 d) 310 e) 300
4) En una proporción geométrica los extremos suman 75 y
su diferencia es 15. Hallar el producto de los términos
medios.
a)1444 b) 1296 c) 1250
d) 1300 e) 1350
5) En una proporción geométrica continua, el producto de
sus cuatro términos es 20736. Calcular su media
proporcional.
a)10 b) 16 c) 8 d) 12 e) 14
6) La razón geométrica de dos números es 2/3 y el doble
de su producto es 1452. Hallar el mayor de ellos.
a) 55 b) 33 c) 11 d) 22 e) 44
7) Hallar dos números enteros “a” y “b”, sabiendo que son
proporcionales a 2 y 3 respectivamente y que cumplen
las siguientes condiciones: 𝑎2
+ 𝑏2
− 𝑎𝑏 = 2268. Dar
como respuesta el mayor.
a) 36 b) 54 c) 56 d) 34 e) 64
8) En la serie:
𝑎
4
=
𝑏
7
=
𝑐
9
=
𝑑
5
la suma de los dos primeros
antecedentes es 77. ¿Cuál es la suma de los últimos
antecedentes?
a) 98 b) 96 c) 100 d) 120 e) 110
9) En la serie
𝑎
4
=
𝑏
7
=
𝑐
8
=
𝑑
9
. Se cumple: 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 = 3600.
Calcular “𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑”.
a) 164 b) 168 c) 172 d) 192 e) 200
10)En la serie:
𝑎
𝑏
=
𝑏
𝑐
=
𝑐
𝑑
=
𝑑
𝑒
= 2; además: 𝑎 + 𝑒 = 34.
Hallar “𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒”
a) 60 b) 64 c) 72 d) 62 e) 8

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  • 1. Facultad de Humanidades y Ciencias Sociales E.A.P. de Educación Primaria e Interculturalidad Ciclo 2016 - I MATEMÁTICA PARA EDUCACIÓN PRIMARIA Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email: mtarazona@uch.edu.pe Página 1 de 6 RAZONES Y PROPORCIONES PROPORCIONALIDAD DIRECTA E INDIRECTA RAZÓN.- es la comparación que se establece entre dos cantidades homogéneas, mediante una operación. CLASES DE RAZÓN: RAZÓN ARITMÉTICA.- es la comparación de dos cantidades mediante la sustracción. Para dos cantidades a y b, su razón aritmética será: a b r  Dónde: a: antecedente b: consecuente r: valor de la razón RAZÓN GEOMÉTRICA.- es la comparación de dos cantidades mediante la división, y consiste en determinar cuántas veces cada una de las cantidades contiene cierta unidad de referencia. Para dos cantidades a y b, su razón geométrica será: a k b  Dónde: a: antecedente b: consecuente k: valor de la razón PROPORCIÓN.- es la igualdad de dos razones de una misma clase, que tenga el mismo valor de la razón. CLASES DE PROPORCIÓN: PROPORCIÓN ARITMÉTICA.- es la igualdad de dos razones aritméticas. Ejm: la edad de Manuel excede a la edad de Miguel, tanto como la de Sebastián excede a la edad de Matías; lo que se puede escribir como: 40 − 32 = 55 − 47 Dónde: 40; 55: 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 32; 47: 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 32: 55: 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑚𝑒𝑑𝑖𝑜𝑠 40; 47: 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑒𝑥𝑡𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 PROPORCIÓN ARITMÉTICA DISCRETA CONTINUA 𝑎 − 𝑏 = 𝑐 − 𝑑 d: cuarta diferencial de a, b y c 𝑎 − 𝑏 = 𝑏 − 𝑐 b: media diferencial c: tercera diferencial Nota: En toda proporción aritmética la suma de los términos extremos es igual a la suma de los términos medios. PROPORCIÓN GEOMÉTRICA.- es la igualdad de dos razones geométricas. Ejm: el peso de Yudy es al de Rossina como el peso de Lucía es a la de Valeria; lo cual se puede escribir como: 120 80 = 210 140 TEMA: Razones y proporciones Proporcionalidad directa e indirecta ∮ 𝑬𝑫𝑼𝑪𝑨𝑪𝑰 𝟐𝟎𝟏𝟔 𝑼𝑪𝑯 Ó𝑵𝒅𝒙 FECHA 19/04/2016 TURNO NOCHE AULA 501A SEMANA 6 SESIÓN 11- 12
  • 2. Facultad de Humanidades y Ciencias Sociales E.A.P. de Educación Primaria e Interculturalidad Ciclo 2016 - I MATEMÁTICA PARA EDUCACIÓN PRIMARIA Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email: mtarazona@uch.edu.pe Página 2 de 6 Dónde: 120; 210: antecedentes 80; 140: consecuentes 80; 210: términos medios 120; 140: términos extremos Tipos de proporción geométrica: PROPORCIÓN GEOMÉTRICA DISCRETA CONTINUA a c b d  d: cuarta diferencial de a, b y c a b b c  b: media diferencial de a y c. c: tercera diferencial de a y b. Nota: En toda proporción geométrica el producto de los términos extremos es igual al producto de los términos medios. Serie de razones geométricas<>: 𝑎1 𝑏1 = 𝑎2 𝑏2 = 𝑎3 𝑏3 = 𝑎4 𝑏4 = °°°°°°° = 𝑎 𝑛 𝑏 𝑛 = 𝑘 Propiedades: 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 "𝑛" 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑠𝑢𝑚𝑎 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 "𝑛" 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 = 𝑘 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 "𝑛" 𝑎𝑛𝑡𝑒𝑐𝑒𝑑𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑝𝑟𝑜𝑑𝑢𝑐𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑜𝑠 "𝑛" 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 = 𝑘 𝑛 Ejemplos: 1. Sea: 24 − 18 = 33 − 27 Dónde: ……………..es la cuarta diferencial de 24;18 y 33 2. Sea:36 − 28 = 28 − 20 ………………es la media diferencial de 36 y 20 “20”es la tercera diferencial de……………y…………… 3. Sea: 36 12 = 24 8 “8”es la……………………………….de 36;12 y 24 4. Sea: 48 24 = 24 12 ………….. es la………………………de……….y….. 5. ¿Cuál es la cuarta diferencial de 60; 40 y 30? 60 − 40 = 30 − 𝑥 → 𝑥 =∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 6. ¿Cuál es la media diferencial de 84 y 24? 84 − 𝑥 = 𝑥 − 24 → 𝑥 =∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 7. ¿Cuál es la tercera diferencial de 92 y 48? 92 − 48 = 48 − 𝑥 → 𝑥 =∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 8. ¿Cuál es la cuarta proporcional de 40;60 y 160? 40 60 = 160 𝑥 → 𝑥 =∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 9. ¿Cuál es la media proporcional de 4 y 36? 4 𝑥 = 𝑥 36 → 𝑥 =∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 10. ¿Cuál es la tercera proporcional de 40 y 80? 40 80 = 80 𝑥 → 𝑥 =∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙ 11. 6 4 = 12 8 = 15 10 = 21 14 = 3 2 Si: 6+12+15+21 4+8+10+14 = 54 36 = 3 2 12. 6 2 = 12 4 = 15 5 = 18 6 = 3 Si: 6×12×15×18 2×4×5×6 = 19440 240 = 81 = 34 Nota: Una serie de razones geométricas continuas equivalentes será: 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑐 = 𝑐 𝑑 = 𝑑 𝑒 = 𝑘
  • 3. Facultad de Humanidades y Ciencias Sociales E.A.P. de Educación Primaria e Interculturalidad Ciclo 2016 - I MATEMÁTICA PARA EDUCACIÓN PRIMARIA Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email: mtarazona@uch.edu.pe Página 3 de 6 PROPORCIONAL DIRECTA Una relación directamente proporcional es aquella que a mayor cantidad de una variable, mayor cantidad de la otra, lo que es equivalente a menor cantidad de una, menor la cantidad de la otra. Por ejemplo: Mientras más pan compro, más dinero pago por él. Mientras menos estudio, menos aprendo. Dos variables están en proporcionalidad directa si su cociente permanece constante: 𝑥 𝑒 𝑦 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 ⟺ 𝑥 𝑦 = 𝑘 k se denomina la constante de proporcionalidad. El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad directa es un conjunto de puntos que están sobre una recta que pasa por el origen. Ejemplo. Un vehículo tiene en carretera un rendimiento de 16 km/l. ¿Cuántos litros de petróleo consumirá en un viaje de 192 km? Como estas variables se relacionan en forma directa (ya que más kilometraje implica que se gastará más petróleo), entonces su cociente es constante. 16 1 16 192.1 192 192 12 16 km litro x km x x       Respuesta: en un viaje de 192 kilómetros el vehículo consumirá 12 litros de petróleo. PROPORCIONALIDAD INDIRECTA O INVERSA Las proporciones inversas se caracterizan porque al disminuir una variable, la otra aumenta. Por ejemplo: Mientras más rápido viajo, menos tiempo me demoro. Mientras menos contamino el aire, más limpio estará. Dos variables están en proporcionalidad inversa si su producto permanece constante: 𝑥 𝑒 𝑦 𝑒𝑠𝑡á𝑛 𝑒𝑛 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑜𝑟𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 ⟺ 𝑥. 𝑦 = 𝑘 k se denomina la constante de proporcionalidad. El gráfico de dos variables que están en proporcionalidad inversa es un conjunto de puntos que están sobre una hipérbola. Ejemplo. Tres obreros demoran 5 días en hacer una zanja. ¿Cuánto demorarán 4 obreros? Por estar en proporcionalidad inversa (ya que más obreros tardaran menos tiempo en hacer la zanja) el producto entre las variables: número de obreros – tiempo, es constante (por esto debo tener que 3.5 es constante y para eso se invierten las variables completas): Nº obreros días 3 5 4 x Si hay mayor cantidad de obreros se morarán menos días en hacer el trabajo Al ser proporción inversa invertimos el segundo término (el que no tiene incógnita) 3 obreros 5 días 4 obreros 5 días P. I 4 obreros días 3 obreros días 5.3 3,75 4 x x x        Respuesta: Se demoran aproximadamente 4 días en terminar la obra los 4 obreros (o demoran 3 días y 18 horas)
  • 4. Facultad de Humanidades y Ciencias Sociales E.A.P. de Educación Primaria e Interculturalidad Ciclo 2016 - I MATEMÁTICA PARA EDUCACIÓN PRIMARIA Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email: mtarazona@uch.edu.pe Página 4 de 6 Problemas de aplicación 1.- Un grifo de caudal constante vierte agua en un depósito cilíndrico. Se sabe que en 5 minutos el nivel del agua ha subido 20 cm. ¿Cuánto subirá el nivel del agua en 13 minutos? 2.- 300 gramos de queso han costado 4,2 €. ¿Cuánto costaba el kilo? 3.- Entrenando en pista, un corredor ha dado 8 vueltas en 12 minutos. Si mantiene el ritmo, ¿Cuánto tardará en dar 5 vueltas? (Expresa la solución en minutos y segundos) 4.- Cuatro operarios pintan una pared en 5 horas. ¿Cuánto tardarán diez pintores en realizar la misma tarea? 5.- Un ganadero tiene forraje para alimentar a sus 20 vacas durante 60 días. Si compra 10 vacas más, ¿Cuántos días podrá alimentarlas (a todas) con las mismas provisiones? 6.- Un tren, a 80 km/h, tarda 5 horas en ir de Jaén a Madrid. ¿A qué velocidad debería hacer el viaje de vuelta para cubrir el recorrido en 4 horas? 7.- Una lavadora industrial, trabajando 8 horas diarias durante 5 días, ha lavado 100 kg de ropa. ¿Cuántos kg de ropa lavará en 12 días trabajando 10 horas diarias? 8.- Un taller, trabajando 8 horas diarias, ha necesitado 5 días para fabricar 1000 cojinetes para ruedas. Ahora debe servir un pedido de 3000 cojinetes, por lo que decide hacer turnos de 10 horas diarias. ¿Cuántos días tardará en cubrir el pedido? 9.- Ocho máquinas tejedoras, en cuatro días, hacen 384 chalecos de punto. ¿Cuántos chalecos fabricarán 5 de esas máquinas en tres días? ¿Y nueve máquinas en dos días? 10.- Un cine, dando dos sesiones diarias, puede dar entrada a 18000 personas en 30 días. ¿A cuántas personas podrá recibir este local en 45 días si amplía su oferta a 3 sesiones diarias? 11.- Ocho máquinas tejedoras, en cuatro días, hacen 384 chalecos de punto. ¿Cuántos días necesitarán cinco de esas máquinas para fabricar 180 chalecos? 12.- Un ganadero necesita 750 kilos de pienso para alimentar a 50 vacas durante 10 días. ¿Durante cuántos días podrá alimentar a 40 vacas con 1800 kilos de pienso? 13.- Por enviar un paquete de 5 kg de peso a una población que está a 60 km de distancia, una empresa de transporte me ha cobrado 9 €. ¿Cuánto me costará enviar un paquete de 15 kg a 200 km de distancia? 14.- Para llenar un pilón de riego hasta una altura de 80 cm se ha necesitado aportar un caudal de 20 litros por minuto durante 1 hora y 20 minutos. ¿Cuánto tiempo tardará en llenarse ese mismo pilón hasta una altura de 90 cm si se le aporta un caudal de 15 litros por minuto? 15.- Doce obreros, trabajando 8 horas diarias, terminan un trabajo en 25 días. ¿Cuánto tardarán en hacer ese mismo trabajo 5 obreros trabajando 10 horas diarias? 16.- Tres amigos, Rafael, Arancha e Iván, han recibido 250 euros por repartir propaganda por los buzones de su barrio. Rafael ha repartido 2 paquetes de octavillas, Arancha tres paquetes e Iván cinco paquetes. ¿Cuánto dinero corresponde a cada uno? 17.- Tres hermanos se han repartido cierta cantidad de dinero de forma directamente proporcional a sus edades. Si el mayor tiene 23 años y le han correspondido 184 euros, ¿Cuánto se llevará cada uno de los otros dos que tienen 15 y 12 años, respectivamente? 18.- Tres socios invierten 20000 €, 30000 € y 70000 €, respectivamente, en un negocio que, al cabo de un año, da 7560 € de beneficios. ¿Cuánto se llevará cada uno si el reparto se hace de forma directamente proporcional al dinero invertido?
  • 5. Facultad de Humanidades y Ciencias Sociales E.A.P. de Educación Primaria e Interculturalidad Ciclo 2016 - I MATEMÁTICA PARA EDUCACIÓN PRIMARIA Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email: mtarazona@uch.edu.pe Página 5 de 6 19.- Se desean repartir 183 caramelos de forma inversamente proporcional al número de suspensos que han tenido 3 niños: Andrea 3 suspensos, Marta 4 suspensos y Raúl 7 suspensos. ¿Cuántos caramelos le corresponden a cada niño? 20.- Reparte 180 bombones de forma inversamente proporcional a las edades de Lidia, Ernesto y Rodrigo, que tienen, respectivamente, 3, 4 y 6 años. 21.- En cierta empresa, de tres trabajadores, se van a repartir 2125 euros de forma inversamente proporcional al número de días que han faltado al trabajo cada uno de ellos (Javier 6 días, María 8 días y Antonio 16 días). Calcula que cantidad se lleva cada trabajador. 22.- Se ha repartido un número en partes inversamente proporcionales a 3, 5 y 7. Calcula el número si la segunda parte es 84. 23.- Tres camareros se reparten 295 € de propinas en partes inversamente proporcionales a los días que faltaron en el trimestre, que fueron 2, 5 y 7. ¿Cuánto le corresponde a cada uno? 24.- Se reparte una gratificación de 1080 € entre los pastores de una ganadería, en partes inversamente proporcionales a las ovejas que han perdido. El primer pastor perdió solo una oveja; el segundo perdió tres ovejas, y el tercero seis ovejas. ¿Cuánto le tocará a cada uno? 25.- En una clase de 30 alumn@s, hoy han faltado 6 a clase. ¿Cuál ha sido el tanto por ciento de ausencias? 26.- Un hospital tiene 210 camas ocupadas, lo que representa el 84% de todas las camas disponibles. ¿De cuántas camas dispone dicho hospital? 27.- De 475 hombres encuestados solamente 76 declaran saber planchar. ¿Qué porcentaje de hombres reconocen que saben planchar? 28.- El 24% de los habitantes de una aldea tienen menos de 30 años. ¿Cuántos habitantes tiene la aldea, si hay 90 jóvenes menores de 30 años? 29.- Un artículo que costaba 60 euros ha subido un 25%. ¿Cuánto cuesta ahora? 30.- Joaquín ganaba 1250 euros al mes y le han subido el sueldo en un 8%. ¿Cuánto gana ahora? 31.- Un abrigo cuesta 280 euros tras subir una subida del 12%. ¿Cuánto costaba antes de la subida? 32.- El valor de mis acciones, tras subir un 5%, es de 525 euros. ¿Cuál era su valor anterior? 33.- Las reservas de agua de cierta región, estimadas hace un mes en 260 hm3, han aumentado un 60%. ¿Cuáles son las reservas actuales? 34.- Las reservas de agua de cierta comunidad han sufrido en el último mes un aumento del 5%. Si actualmente se cifran en 735 hm3, ¿cuáles eran las reservas hace un mes? 35.- Ciertos almacenes anuncian una rebaja del 20% en todos sus artículos. ¿Cuál será el precio rebajado de un artículo que inicialmente se vende a 380 euros? 36.- He pagado 340 euros por un abrigo que estaba rebajado un 15%. ¿Cuál era el precio antes de ser rebajado? 37.- Calcula los precios rebajados (10%) de unos guantes cuyo valor son 18 €, de una falda cuyo valor es de 80 € y de una chaqueta cuyo valor es de 156 €. 38.- Una camisa rebajada en un 5%, tiene un valor de 21,25 €. ¿Cuál era su precio original? 39.- Una aldea que tenía hace 5 años 875 habitantes, ha perdido en el último lustro el 12% de su población. ¿Cuántos habitantes tiene la aldea en la actualidad? 40.- En una tienda de ropa hacen una rebaja del 20% a una chaqueta que cuesta 112 €. Calcula la cantidad que se paga por la chaqueta. 41.- A Sonia le han aplicado un 5% de rebaja en el seguro del coche por no haber tenido incidentes. Si ahora paga 760 euros, ¿cuánto pagaba anteriormente?
  • 6. Facultad de Humanidades y Ciencias Sociales E.A.P. de Educación Primaria e Interculturalidad Ciclo 2016 - I MATEMÁTICA PARA EDUCACIÓN PRIMARIA Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo Email: mtarazona@uch.edu.pe Página 6 de 6 42.- Alba ganaba 1400 euros y ha recibido un aumento del 5% en su salario. ¿Cuánto gana ahora? 43.- Alberto pagó el año pasado 350 euros por un servicio de teléfono móvil. Si este año ha pagado 378 euros, ¿qué tanto por ciento ha aumentado en el gasto de teléfono móvil? 44.- Un comerciante paga 400 € por cada figura de cristal que compra. Si desea ganar el 64% del precio de costo, ¿a qué precio se debe vender cada figura? 45.- Una impresora cuesta 218 euros sin descuento y 185,3 euros con descuento. ¿Qué descuento se ha aplicado en el precio de la impresora? 46.- En una tienda un bolso cuesta 150 euros y nos aplican un 16% de I.G.V. ¿Cuánto nos costará el libro? 47.- Por unos libros con el I.G.V. hemos pagado 78 euros, y el I.G.V. de los libros es del 4% ¿Cuánto costaban? 48.- Por unos pantalones hemos pagado 40 euros y nos hicieron el 15% de descuento. ¿Cuánto costaban? 49.- Tras un aumento del 9%, el sueldo de Ramón es de 1417 euros. ¿Qué cobraba antes? 50.- Por la “Play 3” y varios juegos, cuyo valor es de 450 euros, se pagan 405 euros. ¿Cuál es el descuento aplicado? Ejercicios 1) Las edades de Jorge y Viviana están en relación de 3 a 5 y la suma de ellas es 56. ¿Qué edad tiene Viviana? a) 34años b) 35 c) 36 d) 38 e) 40 2) Tres números son entre sí como 5; 7 y 10. Si la suma de ellos es 220; hallar el mayor de los números. a) 85 b) 90 c) 95 d) 100 e) 120 3) Tres números “a”; “b” y “c” que están en la relación de 4; 7 y 9 cumple la condición: 5𝑎 + 4𝑏 − 3𝑐 = 315. ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎𝑟 “𝑎 + 𝑏 + 𝑐”. a) 200 b) 150 c) 280 d) 310 e) 300 4) En una proporción geométrica los extremos suman 75 y su diferencia es 15. Hallar el producto de los términos medios. a)1444 b) 1296 c) 1250 d) 1300 e) 1350 5) En una proporción geométrica continua, el producto de sus cuatro términos es 20736. Calcular su media proporcional. a)10 b) 16 c) 8 d) 12 e) 14 6) La razón geométrica de dos números es 2/3 y el doble de su producto es 1452. Hallar el mayor de ellos. a) 55 b) 33 c) 11 d) 22 e) 44 7) Hallar dos números enteros “a” y “b”, sabiendo que son proporcionales a 2 y 3 respectivamente y que cumplen las siguientes condiciones: 𝑎2 + 𝑏2 − 𝑎𝑏 = 2268. Dar como respuesta el mayor. a) 36 b) 54 c) 56 d) 34 e) 64 8) En la serie: 𝑎 4 = 𝑏 7 = 𝑐 9 = 𝑑 5 la suma de los dos primeros antecedentes es 77. ¿Cuál es la suma de los últimos antecedentes? a) 98 b) 96 c) 100 d) 120 e) 110 9) En la serie 𝑎 4 = 𝑏 7 = 𝑐 8 = 𝑑 9 . Se cumple: 𝑎𝑏 + 𝑐𝑑 = 3600. Calcular “𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑”. a) 164 b) 168 c) 172 d) 192 e) 200 10)En la serie: 𝑎 𝑏 = 𝑏 𝑐 = 𝑐 𝑑 = 𝑑 𝑒 = 2; además: 𝑎 + 𝑒 = 34. Hallar “𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒” a) 60 b) 64 c) 72 d) 62 e) 8