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Trigonometria

Función trigonométrica

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TRIGONOMETRÍA
(Parte I)




         Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo
INTRODUCCIÓN

Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos.
En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer
cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible
medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias.
El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el
teodolito.
Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún
ángulo- , podremos determinar los restantes.
Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la
altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia
sombra medía tanto como su estatura




                                                                           2
   NOCIONES PREVIAS

   SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.

   RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO
    AGUDO.

   R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º.

   RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA

   R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º

   CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.




                                                  3
NOCIONES PREVIAS
1.   a. Proporcionalidad de segmentos y
     semejanza
     b.TEOREMA DE TALES




2. TEOREMA DE PITÁGORAS
1.a. Proporcionalidad de
segmentos y semejanza
                                                Las sombras de los dos árboles son proporcionales a
                                                las respectivas alturas

H

                                                                     s      h
                               h
                                            S. árbol
                                           pequeño (s)
                                                                     S      H
      A          Sombra del árbol grande (S)




      H                                B                      Tales de Mileto (640-550 a. J.C.)
                                                              en uno de sus viajes a Egipto
                                   h                          midió la altura de una pirámide
                                                              aprovechando el momento en
      A’                                                 O
                                   B’       s                 que su propia sombra medía
                           S                                  tanto como su estatura
OB'        BB'
                  k (razón de proporcion
                                       alidad)
OA'        AA'

                                                                                                      5
1.b. TEOREMA DE TALES
                                                                                               r
Si varias paralelas determinan
                                                                                   E’
segmentos iguales sobre una                                             D’              E’’
recta r, determinan también
                                                                 C’
segmentos      iguales     sobre                                             D’’
                                                        B’
cualquier otra recta r’ a la que                                  C’’
corten                                         A’
                                                         B’’

                                       O
                 O                         A        B        C    D     E                     r’
             A       A’



                          B’           TEOREMA DE TALES:
     B
                                       Los segmentos determinados por
                                       rectas paralelas en dos rectas
OA       OA'           AB      A' B'
                                       concurrentes son proporcionales.
             o tambien
OB       OB'           OB      OB'

                                                                                                   6
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Trigonometria

  • 1. TRIGONOMETRÍA (Parte I) Lic.: Miguel Angel Tarazona Giraldo
  • 2. INTRODUCCIÓN Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura 2
  • 3. NOCIONES PREVIAS  SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN.  RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO.  R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º, 45º Y 60º.  RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA  R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º  CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA. 3
  • 4. NOCIONES PREVIAS 1. a. Proporcionalidad de segmentos y semejanza b.TEOREMA DE TALES 2. TEOREMA DE PITÁGORAS
  • 5. 1.a. Proporcionalidad de segmentos y semejanza Las sombras de los dos árboles son proporcionales a las respectivas alturas H s h h S. árbol pequeño (s) S H A Sombra del árbol grande (S) H B Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto h midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en A’ O B’ s que su propia sombra medía S tanto como su estatura OB' BB' k (razón de proporcion alidad) OA' AA' 5
  • 6. 1.b. TEOREMA DE TALES r Si varias paralelas determinan E’ segmentos iguales sobre una D’ E’’ recta r, determinan también C’ segmentos iguales sobre D’’ B’ cualquier otra recta r’ a la que C’’ corten A’ B’’ O O A B C D E r’ A A’ B’ TEOREMA DE TALES: B Los segmentos determinados por rectas paralelas en dos rectas OA OA' AB A' B' concurrentes son proporcionales. o tambien OB OB' OB OB' 6
  • 7. Medida de ángulos Los ángulos pueden medirse en tres sistemas: Sistema sexagesimal (En la calculadora MODE DEG) Sistema centesimal (En la calculadora MODE GRAD) Radianes (En la calculadora MODE RAD) Ángulo Ángulo Ángulo Un Un completo llano recto grado minuto SEXAGESIMAL 360º 180º 90º 60’ 60” CENTESIMAL 400g 200g 100g 100m 100s RADIANES 2 /2 7
  • 8. Expresa los siguientes ángulos en los tres sistemas de medida S.sexagesimal 60 º 210º S. centesimal 50g 60g 100g Radianes 2π/3 5π/6 S.sexagesimal 140º 240º S. centesimal 350g 90g 25g Radianes 7π/8 3 8
  • 9. Ángulos en los tres sistemas de medida S.sexagesimal 60 º 45º 120º 54º 210º 90º 150º 66g 66m 133g 33m 233g 33m 166g 66m S. centesimal 66s 50g 33s 60g 33s 100g 66s Radianes 2 3 7 5 3 4 10 6 2 6 3 171º S.sexagesimal 140º 315º 157º 30’ 81º 240º 22º 30’ 53’14” 155g 266g 66m 190g 98m S. centesimal 55m 55s 350g 175g 90g 66s 25g 59s 14 7 7 9 4 Radianes 3 18 4 8 20 3 8 9
  • 10. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) B Los triángulos ABC, A’B’C y A”B”C son semejantes B` porque tienen los ángulos iguales. B” En consecuencia los lados son proporcionales : A A` A” C AB A' B' A" B" ˆ BC B' C B" C ˆ sen C cos ec C BC B' C B" C AB A' B' A" B" AC A' C A" C ˆ BC B' C B" C cos C ˆ sec C BC B' C B" C AC A' C A" C AB A' B' A" B" ˆ AC A' C A" C tg C ˆ cot g C AC A' C A" C AB A' B' A" B" 10
  • 11. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO B Sea ABC un triángulo rectángulo en A. a Se definen seis razones trigonométricas c Cateto adyacente o contiguo a C C A b ˆ cateto opuesto c hipotenusa a ˆ 1 sen C ˆ sec C sec C hipotenusa a cateto adyacente b ˆ cos C ˆ hipotenusa a cos ec C cateto opuesto c ˆ cateto adyacente b ˆ 1 cos C cos ec C hipotenusa a ˆ sen C ˆ cateto opuesto c cateto adyacente b 1 tg C ˆ cot g C ˆ cot g C cateto adyacente b cateto opuesto c ˆ tg C 11
  • 12. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO B Sea ABC un triángulo rectángulo en A. a ˆ sen C c ˆ tg C ˆ cos C ˆ cos C Cateto adyacente o contiguo a C ˆ cot g C C ˆ A b sen C a ˆ c ˆ a a 1 ˆ 1 sen C sec C sec C a b b ˆ cos C ˆ cos C a a 1 ˆ b ˆ a a 1 ˆ cos ec C cos C a cos ec C c c ˆ sen C sen Cˆ a c b ˆ 1 ˆ ˆ cot g C ˆ tg C c a sen C ˆ cot g C b a cos C ˆ tg C b b ˆ cos C c c ˆ sen C a a 12
  • 13. VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO En todo triángulo rectángulo los catetos son B menores que la hipotenusa. a Es decir: 0<c<a 0<b<a C En consecuencia: A b C ˆ c ˆ a 0 sen C 1 sec C 1 a b ˆ b ˆ a 0 cos C 1 cos ec C 1 a c c ˆ b 0 ˆ tg C 0 cot g C b c 13
  • 14. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 30º, 45º y 60º 1. R.T. DE 30º y 60º 2. R.T. DE 45º
  • 15. R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (1) C Sea ABC un triángulo equilátero Es decir, cada uno de sus tres ángulos mide 60º l l Trazamos una altura CH A B En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide H l 60º y el ángulo C mide 30º El lado BH mide l/2 C Podemos calcular x en función de l, aplicando el Tª de Pitágoras 30º 3l2 x l 2 2 2 l 4l l x x2 l2 x2 2 4 4 60º 2 2 l 3l l 3 B x2 l2 x2 x 4 4 2 H l/2 15
  • 16. R.T. DE LOS ÁNGULOS 30º y 60º (2) l 3 l C l 3 3 2 l 1 sen 60º 2 sen 30º l 2l 2 l 2l 2 l 3 30º l l 3 l l 1 2 l 3 3 2 cos 60º 2 cos 30º l 2l 2 l 2l 2 60º 1 3 B 2 2 1 3 H l/2 tg 60º sen 60º 2 2 3 3 tg 30º 3 2 3 3 3 cos 60º 1 2 2 2 Observa que: 1 1 2 sec 60º 2 sec 30º sen 60º = cos 30º cos 60º cos 30º 3 cos 60º = sen 30º tg 60º = cotg 30º 1 2 1 cos ec 60º cos ec 30º 2 cotg60º = tg 30º sen 60º 3 sen 30º sec 60º =cosec30º 1 1 3 1 3 3 3 cot g 60º cot g 30º 3 Cosec 60º =sec30º tg 60º 3 3 tg 30º 3 3 16
  • 17. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (1) D C Sea ABCD un cuadrado Es decir, cada uno de sus cuatro ángulos mide 90º l Trazamos la diagonal AC En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide A l B 45º y el ángulo C mide 45º C Podemos calcular x en función de l, aplicando el Tª de Pitágoras 45º x 2 l 2 2 2 x l l x 2 l 45º 2 2 x 2 l x l 2 A B l 17
  • 18. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 45º (2) C l 1 2 sen 45º l 2 2 2 45º cos 45º l 1 2 l 2 l l 2 2 2 l tg 45º 1 45º l A l B 1 2 2 2 sec 45º 2 cos 45º 2 2 Observa que: 1 2 sen 45º = cos 45º cos ec 45º 2 sen 45º 2 tg 45º = cotg 45º sec 45º =cosec45º 1 1 cot g 45º 1 tg 45º 1 18
  • 19. R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS y 90º C Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A Si el ángulo B mide α grados, 90º a el ángulo C mide 90º b α B c A c 1 1 sen (90º ) cos sec 90º cos ec a cos 90º sen b 1 1 cos 90º sen cos ec 90º sec a sen 90º cos c 1 1 tg 90º cot g cot g 90º tg b tg 90º cot g 19
  • 20. R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS y 2 C Sea ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A Si el ángulo B mide α radianes, 2 a el ángulo C mide b 2 α B c A c 1 1 sen ( ) cos sec cos ec 2 a 2 sen cos 2 1 1 b cos ec sec cos sen 2 cos 2 a sen 2 c 1 1 tg cot g cot g tg 2 b 2 cot g tg 2 20
  • 21. RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA sen2 cos2 1 Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: 2 2 2 C b c a Si dividimos la expresión anterior por a2 a b 2 c 2 a2 b a2 a2 a2 α Expresándolo de otra forma: 2 2 B c A b c 1 a a O lo que es lo mismo: 2 2 sen cos 1 Que normalmente expresaremos 2 2 de la forma: sen cos 1 21
  • 22. OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES C Si en el triángulo rectángulo BAC, aplicamos el teorema de Pitágoras, tenemos: a 2 2 2 b b c a α B c A Si dividimos la expresión anterior por b2 o por c2 b 2 c 2 a2 b2 c2 a2 b2 b2 b2 c2 c2 c2 Expresándolo de otra forma: 2 2 2 2 1 cot g cos ec 1 tg sec 1 cot g2 cos ec 2 1 tg2 sec 2 22
  • 23. R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º Observa que al ir aumentando el ángulo hasta 90º el seno va creciendo, hasta llegar a ser 1. Por lo tanto sen 90º = 1 Y A su vez el coseno va disminuyendo hasta valer 0 cos 90º = 0 Observa que al ir disminuyendo el ángulo hasta 0º el seno va sen sen disminuyendo, hasta llegar a ser 0, sen P(x,y) mientras que el coseno va aumentando hasta valer 1. Es decir, sen sen 0º = 0 sen X cos 0º = 1 O radio=1 cos 23
  • 24. Circunferencia goniométrica 1. R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA 2. VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN ÁNGULO 3. VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA COTANGENTE 4. R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS 5. R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º 6. R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º 7. R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS
  • 25. CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA Trazamos una circunferencia de radio 1 y centro en el origen de un sistema de coordenadas Y Uno de los lados del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de las x, el vértice en el origen de coordenadas y el otro lado a donde corresponda O 1 X A esta circunferencia donde situaremos los ángulos la llamaremos circunferencia goniométrica. 25
  • 26. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Y ordenada y' y sen y radio r 1 abscisa x' x cos x radio r 1 Q(x’,y’) P(x,y) a 1 r O X ordenada y' y tg abscisa x' x A partir de ahora trabajaremos con la circunferencia de radio 1 (Circunferencia goniométrica) 26
  • 27. SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. Y1 B El seno y el coseno de cualquier ángulo toma valores mayores o iguales a –1 y menores o iguales a 1 A -1 0 1 sen g b 1 sen 1 sen cos a cos cos cos -1 1 O X 1 cos 1 sen sen d C D + + _ + _ _ _ + -1 SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO 27
  • 28. TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. cotg cotg Y cotg cotg B A tg g b tg tg a O 1 X cot g tg d _ + C D tg + _ La tangente y la cotangente de un ángulo puede tomar TANGENTE Y cualquier valor . COTANGENTE 28
  • 29. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 120º Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos A 120º (quitamos 60º a 180º) A’ Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. y y 3 120º sen120º y sen 60º 2 60º 60º 1 cos120º x cos 60º -1 -x x 1 2 O X y y tg 120º tg 60º 3 x x -1 2 3 3 sec 120º 2 cos ec 120º cot g120º 3 3 29
  • 30. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 135º Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 135º (quitamos 45º a 180º) A’ A Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. y 2 y 135º sen135º y sen 45º 2 45º 45º cos135º x cos 45º 2 -1 -x x 1 2 O X y y tg 135º tg 45º 1 x x -1 sec 135º 2 cos ec 135º 2 cot g135º 1 30
  • 31. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 150º Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 150º (quitamos 30º a 180º) Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones A’ A trigonométricas. 1 y 150º y sen150º y sen 30º 2 30º 30º cos150º x cos 30º 3 -x x 2 -1 O 1 X y y 3 tg 150º tg 30º x x 3 -1 2 3 cos ec 150º 2 sec 150º cot g150º 3 3 31
  • 32. a y 180º- a RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS ay p-a Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º- a A A’ sen 180º y sen 180º-a y y a a cos 180º x cos -1 -x x 1 O X y y tg 180º tg x x -1 sen sen cos cos tg 180º tg 32
  • 33. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 210º En la circunferencia goniométrica dibujamos Y1 210º (añadimos 30º a 180º). Dibujamos el ángulo de 30º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. A 1 sen 210º y sen 30º 210º 2 y 3 30º cos 210º x cos 30º -1 -x 30º x 1 2 -y O X A’ y y 3 tg 210º tg 30º x x 3 -1 2 3 cos ec 210º 2 sec 210º cot g 210º 3 3 33
  • 34. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 225º En la circunferencia goniométrica dibujamos Y1 225º (añadimos 45º a 180º). Dibujamos el ángulo de 45º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. 2 225º sen 225º y sen 45º 2 45º cos 225º x cos 45º 2 -1 -x 1 2 45º O X -y y y tg 225º tg 45º 1 x x -1 sec 225º 2 cos ec 225º 2 cot g 225º 1 34
  • 35. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 240º En la circunferencia goniométrica dibujamos Y1 240º (añadimos 60º a 180º). Dibujamos el ángulo de 60º y las líneas que representan sus razones trigonométricas. 3 240º sen 240º sen 60º 2 1 -1 O 1 cos 240º cos 60º X 2 tg 240º tg 60º 3 -1 2 3 3 sec 240º 2 cos ec 240º cot g 240º 3 3 35
  • 36. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES a y 180º+ a TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 180º ay p+a Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 180º+a A sen 180º y sen 180º+a y a cos 180º x cos -1 -x a x 1 -y O X A’ y y tg 180º tg x x -1 sen sen cos cos tg tg 36
  • 37. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 300º Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 300º (quitamos 60º a 360º). 3 300º sen 300º sen 60º 2 -1 O 1 X 1 cos 300º cos 60º 2 tg 300º tg 60º 3 -1 2 3 3 sec 300º 2 cos ec 300º cot g 300º 3 3 37
  • 38. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 315º Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 315º (quitamos 45º a 360º). 2 sen 315º sen 45º 2 315º cos 315º cos 45º 2 -1 O 1 2 X tg 315º tg 45º 1 -1 sec 315º 2 cos ec 315º 2 cot g 315º 1 38
  • 39. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 330º (las mismas que las de –30º) Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos 330º (quitamos 30º a 360º). 1 sen 330º sen 30º 2 3 cos 330º cos 30º -1 1 2 O X 3 tg 330º tg 30º 3 -1 2 3 cos ec 330º 2 sec 330º cot g 330º 3 3 39
  • 40. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES a y 360º-a TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE SUMAN 360º a y 2 p-a Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 360º- a A sen 360º y sen 360º-a y a cos 360º x cos -1 a x 1 O X -y A’ y y tg 360º tg x x -1 sen 2 sen cos 2 cos tg 2 tg 40
  • 41. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS ay -a Y1 En la circunferencia goniométrica dibujamos a y - a A sen y sen y a cos x cos -1 -a x 1 O -y X A’ y y tg tg x x -1 sen sen cos cos tg tg 41
  • 42. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS 360º k, k DE UN ÁNGULO MAYOR DE UNA CIRCUNFERENCIA 2k , k Y1 Las razones trigonométricas de un ángulo mayor que una circunferencia ( a+360ºk, donde k es un número entero) son las mismas que las del ángulo a 2p+ A sen 2 sen y a cos 2 cos -1 x 1 O X tg 2 tg -1 sen 360º sen cos 360º cos tg 360º tg 42
  • 43. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES a y 270º+a TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS 3 QUE DIFIEREN EN 270º y Y1 2 En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 270º+ a A sen 270º x cos 270º+a y a cos 270º y sen -1 y x 1 O X -x x x tg 270º cot g y y A’ -1 3 3 3 sen cos cos sen tg cot g 2 2 2 43
  • 44. RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES a y 90º - a TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS y Y1 2 A’ En la circunferencia goniométrica dibujamos a y 90º- a x A sen 90º x cos 90º-a y a cos 90º y sen -1 y x 1 O X x tg 90º cot g y -1 sen cos cos sen tg cot g 2 2 2 44
  • 45. SENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el seno va creciendo, de 0 a 1. Y sen 0º = 0 sen 90º = 1 1 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el seno va decreciendo, de 1 a 0. sen 180º = 0 -1 O 1X Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el seno va decreciendo, de 0 a -1. sen 270º = -1 -1 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el seno va creciendo, de -1 a 0. sen 360º = 0 45
  • 46. COSENO DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º el coseno va decreciendo, de 1 a 0. Y cosen 0º = 1 cosen 90º = 0 1 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º el coseno va decreciendo, de 0 a -1. cosen 180º = -1 -1 O 1X Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el coseno va creciendo, de -1 a 0. cosen 270º = 0 -1 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de 0 a 1. cosen 360º = 1 46
  • 47. TANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la tangente va decreciendo, de 0 a + ∞. Y 1 tg 0º = 0 tg 90º + ∞. Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la tangente va creciendo, de - ∞. a 0. tg 90º -∞ tg 180º = 0 -1 O 1X Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º el tangente va creciendo, de 0 a +∞. . tg 270º + ∞. -1 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º el coseno va creciendo, de - ∞ a 0. tg 270º -∞ tg 360º = 0 47
  • 48. COTANGENTE DE 0º , 90º,180º, 270º y 360º Observa que al ir aumentando el ángulo de 0º a 90º la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0 Y cotg 0º +∞ cotg 90º =0 1 Al ir aumentando el ángulo de 90º a 180º la cotangente va creciendo, de 0 a - ∞ cotg 180º -∞ -1 O 1X Al ir aumentando el ángulo de 180º a 270º la cotangente va decreciendo, de + ∞ a 0 -1 cotg 180º +∞ cotg 270º = 0 Al ir aumentando el ángulo de 270º a 360º la cotangente va decreciendo, de 0a-∞ cotg 360º -∞ 48
  • 49. VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO 1 sen 1 cos ec 1 cos ec 1 sec 1 sec 1 1 cos 1 tg cot g _ + _ + + + _ _ _ + _ + SIGNO DE LA SIGNO DEL SENO Y SIGNO DEL COSENO TANGENTE Y DE LA COSECANTE Y DE LA SECANTE COTANGENTE 49
  • 50. FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS 1. FUNCIÓN SENO 2. FUNCIÓN COSENO 3. FUNCIÓN TANGENTE 4. FUNCIÓN COTANGENTE 5. FUNCIÓN SECANTE 6. FUNCIÓN COSECANTE
  • 51. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x 1 3 2 2 2 1 2 0 2 3 5 7 5 4 3 5 7 11 2 1 6 4 3 2 3 4 6 6 4 3 2 3 4 3 2 2 2 3 2 1 2 3 5 7 5 4 3 5 7 11 a 0 6 4 3 3 4 6 6 4 3 3 4 3 2 2 2 1 2 3 3 2 1 1 2 3 3 2 1 sen a 0 1 0 1 0 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 51
  • 52. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)=sen x 52
  • 53. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x 1 3 2 2 2 1 2 0 2 3 5 7 5 4 3 5 7 11 2 1 6 4 3 2 3 4 6 6 4 3 2 3 4 3 2 2 2 3 2 1 2 3 5 7 5 4 3 5 7 11 a 0 6 4 3 3 4 6 6 4 3 3 4 3 2 2 2 3 2 1 1 2 3 3 2 1 1 2 3 COS a 1 0 0 1 2 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 53
  • 54. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)=cos x 54
  • 55. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x 3 1 3 3 0 2 3 5 7 5 4 3 5 7 11 2 6 4 3 2 3 4 6 6 4 3 2 3 4 3 3 3 1 3 55
  • 56. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)=tg x 56
  • 57. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE f(x)=cotg x 3 1 3 3 0 2 3 5 7 5 4 3 5 7 11 2 6 4 3 2 3 4 6 6 4 3 2 3 4 3 3 3 1 3 57
  • 58. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE f(x)=cotg x 58
  • 59. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x 1 0 2 3 5 7 5 4 3 5 7 11 2 6 4 3 2 3 4 6 6 4 3 2 3 4 3 1 59
  • 60. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)=sec x 60
  • 61. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x 1 0 2 3 5 7 5 4 3 5 7 11 2 6 4 3 2 3 4 6 6 4 3 2 3 4 3 1 61
  • 62. GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)=cosec x 62
  • 63. TRIGONOMETRÍA (Parte II) Realizado por Mª Jesús Arruego Bagüés
  • 64. INTRODUCCIÓN Trigonometría significa, etimológicamente, medida de triángulos. En los trabajos topográficos y de la construcción es necesario conocer cotas, desniveles de terreno, etc., para lo cual se hace imprescindible medir el valor de los ángulos que permiten calcular distancias. El instrumento que se utiliza para medir ángulos en tierra firme es el teodolito. Conociendo algunos elementos de un triángulo- algún lado, algún ángulo- , podremos determinar los restantes. Tales de Mileto (640-550 a. J.C.) en uno de sus viajes a Egipto midió la altura de una pirámide aprovechando el momento en que su propia sombra medía tanto como su estatura 64
  • 65. 1. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE LA SUMA Y DE LA DIFERENCIA DE ÁNGULOS 2. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE. 3. R.T. DEL ÁNGULO MITAD 4. TEOREMA DEL SENO 5. TEOREMA DEL COSENO 6. ÁREA DE UN TRIÁNGULO. FÓRMULA DE HERON
  • 66. SENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. B M Trazamos AB perpendicular a OA y obtenemos el triángulo rectángulo OAB. Y Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM. BP AM AN sen OB OB AB cos OA sen OB A OB sen cos OB cos sen OB O P N X sen sen cos cos sen 66
  • 67. COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS B Dibujamos el ángulo a y a continuación el ángulo b. M Trazamos AB perpendicular a OA y y obtenemos el triángulo rectángulo OAB. Y Tenemos el ángulo a+b en el triángulo rectángulo OPB. Trazamos MN y BM. OP ON NP ON BM cos OB OB OB OA cos AB sen A OB OB cos cos OB sen sen OB O P N X cos cos cos sen sen 67
  • 68. COSENO DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS (otra forma de deducir la fórmula) cos sen sen sen 2 2 2 sen cos cos sen 2 2 cos cos sen sen cos cos sen sen cos cos cos sen sen 68
  • 69. TANGENTE DE LA SUMA DE DOS ÁNGULOS Si dividimos numerador sen sen cos cos sen y denominador por tg cos cos cos sen sen cosa.cosb sen cos cos sen cos cos cos cos tg tg cos cos sen sen 1 tg tg cos cos cos cos Simplifi- cando sen sen cos cos sen cos cos cos sen sen tg tg tg 1 tg tg 69
  • 70. R.T. DE LA DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos) sen sen sen cos cos sen sen cos cos sen 1 sen cos cos sen cos cos cos cos sen sen cos cos sen sen cos cos sen sen tg tg tg tg tg tg 1 tg tg 1 tg tg tg tg 1 tg tg 70
  • 71. R.T. DE LA SUMA Y DIFERENCIA DE DOS ÁNGULOS sen sen cos cos sen sen sen cos cos sen cos cos cos sen sen cos cos cos sen sen tg tg tg 1 tg tg tg tg tg 1 tg tg 71
  • 72. R.T. DEL ÁNGULO DOBLE (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. de la suma de dos ángulos) sen 2 sen sen cos cos sen 2 sen cos cos 2 cos cos cos sen sen cos2 sen2 tg tg 2tg tg 2 tg 1 tg tg 1 tg2 sen 2 2 sen cos cos 2 cos2 sen2 2tg tg 2 1 tg2 72
  • 73. R.T. DEL ÁNGULO MITAD (nos basaremos en las fórmulas de las r.t. Del ángulo doble) cos 2 cos2 sen2 1 sen2 sen2 1 2sen2 2sen2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 sen 2 sen 2 2 cos 2 cos2 sen2 cos2 1 cos2 2 cos2 1 2 cos2 1 cos 2 1 cos 2 1 cos 2 cos 2 cos 2 2 1 cos sen 1 cos 1 cos 2 2 2 tg tg 2 1 cos 1 cos 2 1 cos cos 2 2 73
  • 74. 1. Teorema del seno 2. Teorema del coseno
  • 75. TEOREMA Los lados de un triángulo son proporcionales a los senos de los a b c ˆ ˆ ˆ DEL SENO ángulos opuestos. sen A sen B sen C El Teorema del seno sirve para relacionar los lados de un triángulo con los ángulos opuestos. C Consideremos un triángulo ABC. Trazamos la altura correspondiente al vértice C. Los triángulos AHC y BHC son rectángulos. Entonces: b a hC ˆ b sen A ˆ b sen A ˆ a sen B hC hC ˆ a sen B a b hA ˆ sen A ˆ sen B A c B H Del mismo modo, si trazamos la altura correspondiente al vértice A: hA ˆ b sen C b c ˆ ˆ b sen C c sen B hA ˆ c sen B ˆ sen B ˆ sen C 75
  • 76. Medida de los ángulos en una circunferencia  Los ángulos inscritos miden la mitad del ángulo central correspondiente A 180º- 180º- B C 360º-(180º- 180º- 360º - 360º + 76
  • 77. Medida de los ángulos en una circunferencia  Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco de circunferencia, son iguales 90º 180º  Todos los ángulos inscritos que abarcan un diámetro, son rectos. 77
  • 78. Consecuencia del TEOREMA DEL SENO a b c 2R ˆ sen A ˆ sen B ˆ sen C Consideremos un triángulo ABC y R el radio de la A B circunferencia circunscrita a dicho triángulo. a Trazamos el diámetro CA’ y unimos A’ con B. El triángulo A’BC es rectángulo (Todo A’ C ángulo que abarca un diámetro es recto). a 2R 2R 2R ˆ sen A' sen 90º 1 Los ángulos A y A’ son iguales (Todos los ángulos inscritos que abarcan el mismo arco son iguales). Luego: a a 2R ˆ sen A ˆ sen A ' La constante de proporcionalidad entre los lados de un triángulo y los senos de los ángulos opuestos es igual al diámetro de la circunferencia circunscrita a dicho triángulo. 78
  • 79. Consecuencia del TEOREMA DEL SENO Área de un triángulo La superficie del triángulo ABC es: 1 S c hc 2 C En el triángulo AHC : ˆ hC ˆ sen A hC b sen A b b a hC Sustituyendo en la primera expresión: 1 ˆ A B S c b sen A c H 2 79
  • 80. Consecuencia del TEOREMA DEL SENO Área de un triángulo Sea un triángulo ABC inscrito en una circunferencia de radio R. La superficie del triángulo ABC es: 1 ˆ S c b sen A 2 C Por el Teorema del seno : a ˆ a 2R sen A b a ˆ sen A 2R R Sustituyendo en la primera expresión: A B c 1 a a b c S c b S 2 2R 4R 80
  • 81. El cuadrado de un lado es igual a la suma TEOREMA DEL de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble producto de estos lados por COSENO el coseno del ángulo correspondiente Aplicando el Tª de Pitágoras en el triángulo BHC: C 2 a2 h2 c m h2 c 2 2cm m2 (en AHC) b a h 2 2 2 2 b m c 2cm m b2 m2 c 2 2cm m2 m c-m b2 c 2 2cm A c B H (Como en AHC m = b . cos A) a2 ˆ b2 c 2 2 b c cos A Análogamente (trazando las b2 ˆ a2 c 2 2 a c cos B otras alturas) obtendríamos: c2 ˆ a2 b2 2 a b cos C 81
  • 82. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Clasificación de triángulos En un triángulo ABC, el Tª del coseno dice que: a2 ˆ b2 c 2 2 b c cos A C b a Si A < 90º cos A >0 a2 b2 c 2 B A c C b a Si A = 90º cos A = 0 a2 b2 c 2 ( Teorema de Pitágoras ) C A B c a b Si A > 90º cos A < 0 a2 b2 c 2 B c A 82
  • 83. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Área de un triángulo. Fórmula de Herón 1 ˆ La superficie del triángulo ABC es: S c b sen A ˆ 2 2S c b sen A 4S2 ˆ c 2 b2 sen2 A c 2 b2 1 cos2 A ˆ 2 2 2 2 2 ˆ b c a 2 2 2 c b c b cos A2 c 2 b2 c 2 b2 4 b2 c 2 2 2 2 2 2 2 4 c b b c a C 4 b a 2bc b2 c 2 a2 2bc b2 c 2 a2 hC 4 2 2 2 2 A c H B b c a a b c Por el Tª del coseno 4 b2 c 2 a2 ˆ cos A 2b c 83
  • 84. CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DEL COSENO Área de un triángulo. Fórmula de Herón 1 ˆ La superficie del triángulo ABC es: S c b sen A 2S c b sen A ˆ 2 2 2 C ˆ b c a2 a2 b c 4S2 c 2 b2 sen2 A ... 4 b a hC b c a b c a a b c a b c 4 A c H B 2p 2 p a 2 p c 2 p b 4 FÓRMULA 4p p a p c p b DE HERÓN S2 p p a p c p b S p p a p b p c Si a+b+c=2p (p será el semiperímetro) b+c-a=2p-2a=2(p-a) .... 84
  • 85. Trigonometría es la rama de las Matemáticas que trata las relaciones entre los lados y los ángulos de un triángulo. La Trigonometría ayuda a determinar distancias a las que no se puede acceder directamente. Se usa en la navegación, en Agrimensura y en Astronomía . Tiene aplicación en Física, en Química y en Ingeniería, en especial en el estudio de fenómenos periódicos como la vibración del sonido, en el flujo de la corriente alterna,... La Trigonometría comenzó con las civilizaciones babilónica y egipcia y se desarrollo en la Antigüedad gracias a los griegos e hindúes. A partir del siglo VIII d.C., astrónomos islámicos perfeccionaron los conocimientos descubiertos por griegos e hindúes. La Trigonometría moderna comenzó con el trabajo de matemáticos en Occidente a partir del siglo XV. La invención de los logaritmos por el escocés John Naiper y del cálculo diferencial e integral por Isaac Newton ayudaron al progreso de los cálculos trigonométricos. 85