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MATEMÁTICA APLICADA PARA LA INGENIERÍA III
Tema: 𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝑹 𝟑
Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo
Email.: mtarazona@uch.edu.pe
ESTUDIOS
GENERALES
ÁREA DE MATEMÁTICA Y
CIENCIAS NATURALES
Estudios Generales
Unidad
INTRODUCCIÓN
• Es una parte esencial de la matemática útil para físicos,
matemáticos, ingenieros y técnicos.
• Constituye una noción concisa y clara para presentar las
ecuaciones de modelo matemático de las situaciones
físicas
• Proporciona además una ayuda inestimable en la
formación de imágenes mentales de los conceptos físicos.
Estudios Generales
VECTORES Y ESCALARES
1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse necesitan
de un número real y su correspondiente unidad. Ejm:
La masa el tiempo; la temperatura.
2. VECTORES: Aquellas que para expresarse necesitan de
una magnitud, una dirección y un sentido Ejm: La
velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc.
3. TENSORIALES: Aquellas que tiene una magnitud,
múltiples direcciones y sentidos. Ejem: El esfuerzo normal
y cortante, la presión
Estudios Generales
VECTOR
• Ente matemático cuya determinación exige el
conocimiento de un módulo una dirección y un
sentido.
• Gráficamente a un vector se representa por un
segmento de recta orientado
• Analíticamente se representa por una letra con una
flecha encima.
Estudios Generales
Elementos de un vector
1. Dirección:
Gráficamente viene representada por la recta soporte.
En el plano por un ángulo y en el espacio mediante
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Estudios Generales
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vector. Gráficamente viene representada por la cabeza
de flecha.
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cual se asocia. Gráficamente viene representado por la
longitud del segmento de recta
Estudios Generales
Algebra vectorial
Antes de describir las operaciones de suma, resta,
multiplicación de vectores es necesario definir:
1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres elementos
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magnitud y dirección pero sentido opuesto
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• Considere dos vectores A y B como se muestra.
• El vector suma se puede determinar mediante la regla del
paralelogramo o del triángulo .
• La magnitud de la resultante R se determina mediante la ley de
cosenos
• La dirección mediante la ley de cosenos
2 2
2 cosR A B A B   
r rr r r
( )
AR B
sen sen sen   
 

rr r
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• Considere dos vectores A y B como se muestra.
• El vector suma se puede determinar mediante la regla del
paralelogramo o del triángulo .
• La magnitud del vector diferencia D es
• La dirección mediante la ley de cosenos
2 22 2
2 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B        
r r r rr r r r r
( )
AD B
sen sen sen  
 
rr r
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Multiplicación de un escalar por un vector
Consideremos la multiplicación de un escalar c por un vector .
El producto es un nuevo vector . La magnitud del vector
producto es c veces la magnitud del vector . Si c > 0 el vector
producto tiene la misma dirección y sentido de A. Por el contrario
si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a
cA
r
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Propiedades de la Multiplicación de un escalar por un
vector
1. Les asociativa para la multiplicación.
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2. Ley distributiva para la adición vectorial.
si c es un escalar, cuando este se multiplica por la suma de dos
vectores se tiene
Estudios Generales
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Si b y c son la suma de dos escalares por el vector A se
tiene
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VECTOR UNITARIO
• Es un vector colineal con el vector original
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correspondiente es decir
ˆA
A
e
A

r
r
ˆAA A e
r r
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VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES
• A cada uno de los ejes coordenado se le asigna vectores
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iguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre sí.
ˆˆ ˆ, ,i j k
ˆˆ ˆi j k 
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puede
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ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆcos cos cos
ˆˆ ˆ(cos cos cos )
ˆ
ˆˆ ˆˆ (cos cos cos )
x y z
x y z
A
A
A A A A
A A i A j A k
A A i A j A k
A A i j k
A Ae
e i j k
  
  
  
  
  
  
  

  
r r r r
r
r
r
r
2
2 2 2
x y zA A A A  
r
cos xA
A 
cos yA
A 
cos Az
A 
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VECTOR POSICIÓN
ˆˆ ˆr OP xi yj zk   
uuurr
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1 2 1 2 1 2
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k      
r
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PRODUCTO ESCALAR
El producto escalar o producto punto de dos vectores A
y B denotado por y expresado A multiplicado
escalarmente B, se define como el producto de las
magnitudes de los vectores A y B por el coseno del
ángulo que forman ellos.
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Propiedades del producto escalar
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3. Producto de un escalar por el producto escalar
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8. Producto escalar de dos vectores en forma de
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tenemos
9. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces
dichos vectores son perpendiculares
. 0A B A B  
r rr r
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VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL
2 2
2
.( ) 0 ( ). 0
( . ) 0
.
c rb a rb rb
r a b r b
a b
r
b
   
 

r r rr r
rr
rr
2
.
Pr ( ) [ . ]
ˆ ˆPr [ . ]
b
b bb
a b b b
oy a rb b a
b b b
oy a a e e
  

r
r
r r rrr rr r
r r
Estudios Generales
PRODUCTO VECTORIAL
El producto escalar o producto cruz de dos vectores A y B, es un
tercer vector C el cual es perpendicular al plano formado por los dos
vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus magnitudes
multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y cuyo sentido se
determina mediante la regla de la mano derecha. La notación del
producto cruz es
Estudios Generales
Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice con el
primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el dedo pulgar
extendido nos da el vector producto de ambos.
Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha tendiendo a
hacer girar al primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar
extendido nos da el vector producto.
Estudios Generales
Estudios Generales
PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL
1. El producto vectorial no es conmutativo
2. El producto vectorial es distributivo
3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial.
4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios
Estudios Generales
5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es
6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del
paralelogramo que tiene a los vectores A y B
7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son
paralelos.
ˆˆ ˆ
ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )x y z y z z y x z z x x y y z
x y z
i j k
AxB A A A i A B A B j A B A B k A B A B
B B B
      
r r
( ) ( )Area AxB A Bsen A h  
r r
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Vectores en r3

  • 1. MATEMÁTICA APLICADA PARA LA INGENIERÍA III Tema: 𝑽𝒆𝒄𝒕𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒆𝒏 𝑹 𝟑 Lic.: Miguel Ángel Tarazona Giraldo Email.: mtarazona@uch.edu.pe ESTUDIOS GENERALES ÁREA DE MATEMÁTICA Y CIENCIAS NATURALES
  • 2. Estudios Generales Unidad INTRODUCCIÓN • Es una parte esencial de la matemática útil para físicos, matemáticos, ingenieros y técnicos. • Constituye una noción concisa y clara para presentar las ecuaciones de modelo matemático de las situaciones físicas • Proporciona además una ayuda inestimable en la formación de imágenes mentales de los conceptos físicos.
  • 3. Estudios Generales VECTORES Y ESCALARES 1. ESCALARES: Aquellas que para expresarse necesitan de un número real y su correspondiente unidad. Ejm: La masa el tiempo; la temperatura. 2. VECTORES: Aquellas que para expresarse necesitan de una magnitud, una dirección y un sentido Ejm: La velocidad, el desplazamiento, la fuerza, etc. 3. TENSORIALES: Aquellas que tiene una magnitud, múltiples direcciones y sentidos. Ejem: El esfuerzo normal y cortante, la presión
  • 4. Estudios Generales VECTOR • Ente matemático cuya determinación exige el conocimiento de un módulo una dirección y un sentido. • Gráficamente a un vector se representa por un segmento de recta orientado • Analíticamente se representa por una letra con una flecha encima.
  • 5. Estudios Generales Elementos de un vector 1. Dirección: Gráficamente viene representada por la recta soporte. En el plano por un ángulo y en el espacio mediante tres ángulos
  • 6. Estudios Generales 2. sentido: Es el elemento que indica la orientación del vector. Gráficamente viene representada por la cabeza de flecha. 3. Magnitud: Representa el valor de la magnitud física a la cual se asocia. Gráficamente viene representado por la longitud del segmento de recta
  • 7. Estudios Generales Algebra vectorial Antes de describir las operaciones de suma, resta, multiplicación de vectores es necesario definir: 1. Vectores iguales. Aquellos que tienen sus tres elementos idénticos 2. Vector opuesto: Aquel vector que tiene la misma magnitud y dirección pero sentido opuesto
  • 8. Estudios Generales • Considere dos vectores A y B como se muestra. • El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo . • La magnitud de la resultante R se determina mediante la ley de cosenos • La dirección mediante la ley de cosenos 2 2 2 cosR A B A B    r rr r r ( ) AR B sen sen sen       rr r
  • 9. Estudios Generales • Considere dos vectores A y B como se muestra. • El vector suma se puede determinar mediante la regla del paralelogramo o del triángulo . • La magnitud del vector diferencia D es • La dirección mediante la ley de cosenos 2 22 2 2 cos( ) 2 cos( )D A B A B A B A B         r r r rr r r r r ( ) AD B sen sen sen     rr r
  • 10. Estudios Generales Multiplicación de un escalar por un vector Consideremos la multiplicación de un escalar c por un vector . El producto es un nuevo vector . La magnitud del vector producto es c veces la magnitud del vector . Si c > 0 el vector producto tiene la misma dirección y sentido de A. Por el contrario si c < 0 el vector producto es de sentido opuesto a cA r
  • 11. Estudios Generales Propiedades de la Multiplicación de un escalar por un vector 1. Les asociativa para la multiplicación. Si b y c son dos escalares la multiplicación se escribe 2. Ley distributiva para la adición vectorial. si c es un escalar, cuando este se multiplica por la suma de dos vectores se tiene
  • 12. Estudios Generales 3. Ley distributiva para la suma escalar. Si b y c son la suma de dos escalares por el vector A se tiene
  • 13. Estudios Generales VECTOR UNITARIO • Es un vector colineal con el vector original • Tiene un módulo igual a la unidad • Se define como el vector dado entre su modulo correspondiente es decir ˆA A e A  r r ˆAA A e r r
  • 14. Estudios Generales VECTOR UNITARIOS RECTANGULARES • A cada uno de los ejes coordenado se le asigna vectores unitarios • Cada uno de estos vectores unitario a tiene módulos iguales a la unidad y direcciones perpendiculares entre sí. ˆˆ ˆ, ,i j k ˆˆ ˆi j k 
  • 15. Estudios Generales DESCOMPOSICIÓN VECTORIAL En el espacio. Cualquier vector puede descomponerse en tres componentes
  • 16. Estudios Generales ˆˆ ˆ ˆˆ ˆcos cos cos ˆˆ ˆ(cos cos cos ) ˆ ˆˆ ˆˆ (cos cos cos ) x y z x y z A A A A A A A A i A j A k A A i A j A k A A i j k A Ae e i j k                          r r r r r r r r 2 2 2 2 x y zA A A A   r cos xA A  cos yA A  cos Az A 
  • 17. Estudios Generales VECTOR POSICIÓN ˆˆ ˆr OP xi yj zk    uuurr
  • 18. Estudios Generales VECTOR POSICIÓN RELATIVO 1 2 1 2 1 2 ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )r x x i y y j z z k       r
  • 19. Estudios Generales PRODUCTO ESCALAR El producto escalar o producto punto de dos vectores A y B denotado por y expresado A multiplicado escalarmente B, se define como el producto de las magnitudes de los vectores A y B por el coseno del ángulo que forman ellos.
  • 20. Estudios Generales Propiedades del producto escalar 1. El producto escalar es conmutativo 2. El producto escalar es distributivo 3. Producto de un escalar por el producto escalar 4. Producto escalar entre la suma de dos vectores por un tercer vector
  • 21. Estudios Generales 5. Producto escalar de dos vectores unitarios iguales 6. Producto escalar de dos vectores unitarios diferentes. 7. Producto escalar de dos vectores
  • 22. Estudios Generales 8. Producto escalar de dos vectores en forma de componentes . Entonces tenemos 9. Si el producto escalar de dos vectores es nulo. Entonces dichos vectores son perpendiculares . 0A B A B   r rr r
  • 23. Estudios Generales VECTOR PROYECCIÓN ORTOGONAL 2 2 2 .( ) 0 ( ). 0 ( . ) 0 . c rb a rb rb r a b r b a b r b        r r rr r rr rr 2 . Pr ( ) [ . ] ˆ ˆPr [ . ] b b bb a b b b oy a rb b a b b b oy a a e e     r r r r rrr rr r r r
  • 24. Estudios Generales PRODUCTO VECTORIAL El producto escalar o producto cruz de dos vectores A y B, es un tercer vector C el cual es perpendicular al plano formado por los dos vectores y cuya magnitud es igual al producto de sus magnitudes multiplicado por el seno del ángulo entre ellos y cuyo sentido se determina mediante la regla de la mano derecha. La notación del producto cruz es
  • 25. Estudios Generales Primera forma: Tome la mano derecha y oriente el dedo índice con el primer vector y el dedo corazón el segundo vector, el dedo pulgar extendido nos da el vector producto de ambos. Segunda forma: curve los dedos de la mano derecha tendiendo a hacer girar al primer vector hacia el segundo; el dedo pulgar extendido nos da el vector producto.
  • 27. Estudios Generales PROPIEDADES DEL PRODUCTO VECTORIAL 1. El producto vectorial no es conmutativo 2. El producto vectorial es distributivo 3. Multiplicación de un escalar por el producto vectorial. 4. Multiplicación vectorial de vectores unitarios
  • 28. Estudios Generales 5. El producto vectorial de dos vectores en componentes es 6. La magnitud del producto vectorial es igual al área del paralelogramo que tiene a los vectores A y B 7. Si el producto vectorial es nulo entonces los dos vectores son paralelos. ˆˆ ˆ ˆˆ ˆ( ) ( ) ( )x y z y z z y x z z x x y y z x y z i j k AxB A A A i A B A B j A B A B k A B A B B B B        r r ( ) ( )Area AxB A Bsen A h   r r