1.
Chapter 1
Ecuaciones
1.1
Ecuaciones
lineales
Ejemplo: Verificar si las siguientes
ecuaciones son equivalentes
2x x + 2 x + 3
−
=
3
4
6
2x x + 3 4x + 3
−
=
3
5
15
Ejercicios:
Forma general de una ecuaci´n lineal
o
ax − b = 0 Soluci´n ⇒ x =
o
−b
a
1.Halle el valor de x en la siguiente
ecuaci´n
o
x
−1
1
4
√ +√
√
√2 √ = √
7+ 2
3+ 2
7+ 3
donde a, b ∈ R y adem´s a = 0.
a
Observaciones:
i) Si a = 0 y b = 0, la ecuaci´n no
o
tiene soluci´n.
o
ii) Si a = 0 y b = 0, la ecuaci´n tiene
o
infinitas soluciones.
(a) 10
(d) 13
Al resolver una ecuaci´n lineal el objeo
tivo es llevarla a la forma general mediante las herramientas algebraicas ya
conocidas.
Ejemplo: Resolver la siguiente
ecuaci´n lineal
o
(b) 11
(c) 12
(e) 14
Sugerencia: Racionalize el miembro
derecho.
2.Halle el valor de x en la siguiente
ecuaci´n.
o
x−a x−b x−c
−
=
ab
ac
bc
adem´s se cumple que abc = 0.
a
2x x + 2 x + 3
−
=
3
4
6
(a) abc
a2 + b2
(c)
c2
a2
(e)
a+b−c
Ecuaciones equivalentes
Son aquellas ecuaciones que tienen la
misma o mismas soluciones(mismo conjunto soluci´n).
o
1
(b) a + b + c
b2
(d)
a+b−c

2.
2
ACADEMIA NOSTRADAMUS
Sugerencia: Multiplique por abc en
ambos miembros.
3.Halle el conjunto soluci´n de la siguio
ente ecuaci´n
o
x − 2n x − 3n 23x − 4n
x+n+
+
=
−2n
3
5
15
donde (n = 0)
(a) n
(d) 5
(b) 2n
(c) 4
(e) N.A.
Sugerencia: Recuerde las observaciones.
4.Halle el
1 1
4 3
valor de x
1
(x − 4) − 3 − 2 − 1 = 0
2
(a) 43
(d) 46
(b) 44
(c) 45
(e) 47
Ecuaciones con valor absoluto
Ejemplo 1:
ecuaci´n
o
|3x + 5| = 4
Ejemplo 2: Resuelva
|2x + 3| = x + 1
Propiedad 1: Sean f (x) y g(x) funciones no nulas, la ecuaci´n
o
|f (x)| = |g(x)|
tiene por ecuaciones equivalentes:
f (x) = g(x) o f (x) = −g(x)
´
Ejemplo: Resuelva
Sugerencia: Despeje 1 a la derecha.
|2x − 3| = |x + 1|
Valor absoluto
El valor absoluto de un n´mero real
u
a ∈ R, denotado por |a|, es por
definici´n:
o
|a| =
a,
−a,
si a ≥ 0 ´
o
si a < 0
Ejemplos:
|3| = 3
| − 3| = 3
|0| = 0
√
√
| − 5| = 5
Resuelva la siguiente
Ejercicios: Resuelva las siguientes
ecuaciones:
1. |x − 1| = x.
2. |6x − 7| = 3.
3. |3x + 1| = 2x + 7.
4. |3x + 2| = |5x − 3|.
5.
|x + 1|
= 7, x = 1/2.
2x − 1
Ecuaciones de 2do. Grado

3.
3
ALVARO NAUPAY
Forma general de una ecuaci´n de
o
2do. grado
Ejemplo 1: Resuelva
ax2 + bx + c = 0
Ejemplo 2: Resuelva
donde a, b, c ∈ R y a = 0
Observaci´n: Las ecuaciones de
o
2do. grado siempre tienen dos soluciones, estas pueden ser iguales o diferentes.
Ejemplos:
1.Resuelva la siguiente ecuaci´n
o
x2 − 9 = 0
2.Resuelva la siguiente ecuaci´n
o
25x2 − 16 = 0
3.Resuelva la siguiente ecuaci´n utio
lizando el m´todo de completaci´n de
e
o
cuadrados
x2 + 6x − 7 = 0
4.Resuelva las siguientes ecuaciones por
el m´todo de completaci´n de cuadrae
o
dos
i) x2 − 8x − 9 = 0
ii) 2x2 − 4x − 8 = 0
iii) 3x2 − 12x − 9 = 0
M´todo de factorizaci´n
e
o
Si la forma general de una ecuaci´n de
o
2do. grado podemos expresarla de la
siguiente manera
(x − m)(x − n) = 0
donde m, n ∈ R, entonces las soluciones
son
x1 = m ´ x2 = n
o
x2 + x − 6 = 0
x2 − 25 = 0
Ejercicios: Resuelva por aspa simple
las siguientes ecuaciones
1. x2 + x − 2 = 0.
2. x2 − 10x + 21 = 0.
3. x2 − 16 = 0
4. x2 − 7 = 0
M´todo general de resoluci´n
e
o
Supongamos que tenemos la siguiente
ecuaci´n general de 2do. grado
o
ax2 + bx + c = 0
donde a, b, c ∈ R y a = 0, entonces las
soluciones de esta ecuaci´n son
o
√
−b + b2 − 4ac
x1 =
y
2a
√
−b − b2 − 4ac
x2 =
2a
la expresi´n que se repite en ambas soluo
2
ciones, b −4ac, la llamaremos discriminante y la denotaremos por el s´
ımbolo
△, es decir
△ = b2 − 4ac
reescribiendo las soluciones tendriamos
√
−b + △
x1 =
y
2a
√
−b − △
x2 =
2a
Ejemplos: Resolver las siguientes
ecuaciones

4.
4
ACADEMIA NOSTRADAMUS
1. x2 − 3x − 4 = 0
2. Producto de ra´
ıces
2. x2 − 6x + 9 = 0
x1 x2 =
3. x2 − 5x + 1 = 0
3. Suma de las inversas
4. −2x2 − 3x + 1 = 0
1
1
−b
+
=
x1 x2
c
Propiedades del discriminante
El discriminante nos permite saber las
caracter´
ısticas de las soluciones, sin
necesidad de calcularlas.
a) Si △ > 0 entonces las soluciones son
n´meros reales y diferentes.
u
b) Si △ = 0 entonces tiene una soluci´n
o
de multiplicidad dos.
c) Si △ < 0 entonces las raices son
n´meros complejos conjugados.
u
Ejemplos: Analizar el discriminante
de las siguientes ecuaciones
1. 2 − 5x2 = 0
con x1 = 0 y x2 = 0
Ejemplo 1: Halle la suma y el producto de las ra´
ıces de la siguiente
ecuaci´n
o
4x2 − 7x − 5 = 0
Ejemplo 2: Si la suma de las inversas
de las ra´ de la ecuaci´n cuadr´tica
ıces
o
a
mx2 + (2m − 1)x − 7(m − 1) = 0
es 11/35, halle las ra´
ıces.
Reconstrucci´n de la ecuaci´n
o
o
cuadr´tica a partir de sus ra´
a
ıces
2. 2x2 − x + 5 = 0
Sean las ra´ x1 y x2 de una ecuaci´n
ıces
o
cuadr´tica, entonces se cumple que
a
3. x2 + x + 1 = 0
4. 2 + 4x − x2 = 0
(x − x1)(x − x2) = 0
2
5. x − 4x − 2 = 0
operando
Relaci´n entre las ra´
o
ıces y los
coeficiente de la ecuaci´n
o
Sea la ecuaci´n:
o
ax2 + bx + c = 0 a = 0
se tiene las siguientes relaciones
1. Suma de ra´
ıces
x1 + x2 = −
c
a
b
a
x2 − xx1 − xx2 + x1 x2 = 0
x2 − (x1 + x2)x + (x1x2) = 0
x2 − Sx + P = 0
donde
S = x1 + x2
P = x1 x2
Suma
Producto
Ejemplo: Halle la ecuaci´n cuadr´tica
o
a
cuyas ra´ son 7 y −5
ıces

5.
5
ALVARO NAUPAY
Propiedad 2: Si dos ecuaciones
cuadr´ticas completas: ax2 + bx + c = 0
a
2
y mx + nx + p = 0 son equivalentes,
entonces se cumple que
a
b
c
= =
m n p
(a) m = −9, n = 13/2 (b) 10, 12/5
(c) 2, 2/3
(d) 3/2, 7/8
(e) N.A.
4.Calcule la soluci´n de la ecuaci´n
o
o
Ejemplo: Si las siguientes ecuaciones
cuadr´ticas son equivalentes
a
(−2a + 3)x2 + 9x + 6 = 0
3x2 + (22 − 5b)x − 2 = 0
calcule ab.
1
√ =
11 − 2 x
(a) 30
(d) 13
3
√ +
7 − 2 10
(b) 5
4
√
8+4 3
(c) 20
(e) 10
Sugerencia: Tranformar en radicales simples.
Problemas:
1.Determinar la ecuaci´n de 2do. grado
o
de ra´
ıces m y n (m > n) si se sabe
que x2 + (m − 1)x − m − 1 = 0, tiene
soluci´n unica(ra´ iguales), adem´s
o ´
ıces
a
2
las ecuaci´n x −(n+1)x+n = 0 tiene
o
una ra´ igual a 3.
ız
(a) x2 − 8x + 15
(c) x2 − 7x + 15
(e) x2 − x + 9
(b) x2 − 8x + 5
(d) x2 − 3x + 1
2.Determine la suma de los cuadrados
de las ra´ de al ecuaci´n
ıces
o
(2k + 2)x2 + (4 − 4k)x + k − 2 = 0
sabiendo que las ra´ son rec´
ıces
ıprocas.
(a) 8/9
(d) 42/9
presentan las mismas soluciones.
(b) 82/9
(c) 28/9
(e) 24/9
Nota: Dos ra´
ıces son rec´
ıprocas cuando su producto es uno.
3.Calcule m y n si las ecuaciones:
(2m + 1)x2 − (3m − 1)x + 2 = 0
(n + 2)x2 − (2n + 1)x − 1 = 0
5.Si los cuadrados de las 2 ra´ reales
ıces
2
de la ecuaci´n: x + x + c = 0 suman
o
9, entonces el valor de c es;
(a) − 5
(d) 5
(b) − 4
(c) 4
(e) − 9
6.El producto de los valores de k, para
que la ecuaci´n: 3x2 +4k(x−1)+2x =
o
0 tenga soluci´n unica es:
o ´
(a) 0
(d) − 1/4
(b) − 1
(c) 1/4
(e) − 4
7.Si x1 , x2 son ra´
ıces de la ecuaci´n
o
2
x + px + q = 0; calcule
(x1 − 1)(x2 − 1) − 1
(a) q − p
(d) 0
(b) q + p
(c) 1
(e) p
8.Si a y b son las ra´ de la ecuaci´n:
ıces
o
2
x − 6x + c = 0; entonces el valor de:
a2 + b2 + 2c
9

6.
6
ACADEMIA NOSTRADAMUS
es igual a:
(a) 3
(d) 4
(b) 6
(c) − 6
(e) − 3