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Problemas de álgebra

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  1. 1. ´Indice general 1. L´OGICA 2 2. POLINOMIOS 3 3. FUNCIONES 4 4. ECUACINOES 6 5. N ´UMEROS COMPLEJOS 7 6. FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGAR´ITMICAS 8 7. MATRICES 9 8. DETERMINANTES 12 9. SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES 13 10.SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES 14 11.PROGRAMACI´ON LINEAL 16 12.SUCESIONES Y SERIES 19 1
  2. 2. Cap´ıtulo 1 L´OGICA № 1 Se definen las operaciones p = q ≡∼ p ∧ q p ∗ q ≡∼ p →∼ q al simplificar [(∼ p) ∗ q] = [(∼ q) = p] se obtiene: A) ∼ q B) ∼ p C) ∼ p ∧ q D) p ∧ q E) q ∧ q 2
  3. 3. Cap´ıtulo 2 POLINOMIOS № 1 Si x+1 divide al polinomio x6 +ax+ b, halle b − a. A) − 2 B) − 1 C) 0 D) 1 E) 2 № 2 Las ra´ıces del polinomio p(x) = x5 − x4 − 8x3 + 8x2 + 16x − 16 son A) 1 simple; 2 de multiplicidad 2 y 2 de multiplicidad 2. B) 1 de multiplicidad 2; 2 simple; −2 de multiplicidad 2. C) 1, 2, −1, −2, 0 D) 1 simple; 2 de multiplicidad 2; −1 de multiplicidad 2. E) 3i; −3i; 1 simple; 2 de multiplicidad 2. № 3 Sea p(x, y, z) = x2 yb + z2 y2a + xa y2 + xa zb un polinomio con grado relativo a z igual a 3. Halle p(1, −1, −1). A) − 2 B) − 1 C) 0 D) 1 E) 2 3
  4. 4. Cap´ıtulo 3 FUNCIONES № 1 Dada la regla de correspondencia de una funci´on f como sigue: f(x) = x + 3 x − 2 Determine la suma en valor absoluto, de los valores enteros que no pertenecen al dominio de la funci´on. A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 № 2 Sean f[2, 4] → A, f(x) = 1 − 2x biyectiva y g : A → B, g(x) = 7 x + 1 bi- yectiva. Determine B. A) − 7 2 , − 7 6 B) [−7, −3] C) − 21 2 , − 25 6 D) −21, − 25 3 E) [2, 4] № 3 Sea f la funci´on definida por: f(x) = 2x − 1 x − 1 , ∀x > 1 : La inversa f∗ de esta funci´on es: A) f∗ (x) = x − 1 2x − 1 , x > 1 2 B) f∗ (x) = x + 1 2x + 1 , x < 1 2 C) f∗ (x) = x + 1 x + 2 , x > −2 D) f∗ (x) = x − 1 x + 2 , x < −2 E) f∗ (x) = x − 1 x − 2 , x > 2 № 4 Sea f una funci´on af´ın biyectiva tal que f(1) = 3 y f∗ (0) = 2. Calcule f∗ (6), donde f∗ denota la funci´on inversa de f. A) − 2 B) − 1 C) − 1 2 D) 0 E) 2 № 5 Se˜nale la alternativa que presenta la secuencia correcta, despu´es de determi- nar si cada proposici´on es verdadera (V) o falsa (F): I. La funci´on f : R → R definida por f(x) = x2 − ax − 3 es inyectiva en 0, a 2 si a > 0. II. La funci´on g : [0, 1] → {−1, 0, 1} de- finida por g(x) = ex − 2 es sobre- yectiva. III. La funci´on h : 0, 1 e → N definida por h(x) =    −1 ln(x) , 0 < x < e−1 1 , x = 0 es mon´otona. A) VVV B) VFV C) VFF D) FVF E) FVV № 6 Indique la secuencia correcta, des- pu´es de determinar si la proposici´on es verdadera (V) o falsa (F): I. La funci´on f : R → R definida por f(x) = xk , con k impar entero posi- tivo, es siempre inyectiva. 4
  5. 5. № 7 Indique la secuencia correcta, des- pu´es de determinar si la proposici´on es verdadera (V) o falsa (F): I. La funci´on f : R → R definida por f(x) = xk , con k impar entero posi- tivo, es siempre inyectiva. II. La funci´on f : [0, 1] → [0, 1] definida por f(x) = x − x es sobreyectiva. III. Sea g : X → Y , f : Y → Z. Si g es inyectiva entonces f ◦ g es inyec- tiva, donde X, Y, Z son subconjuntos de R. A) FVF B) VFV C) FVV D) VVF E) VFF 5
  6. 6. Cap´ıtulo 4 ECUACINOES № 1 Determine la suma de las soluciones positivas de la ecuaci´on ||x2 − 1| − x| = |x| . A) 2 + √ 2 B) √ 2 − 1 C) 2 √ 2 − 1 D) √ 2 + 1 E) 2 √ 2 + 1 6
  7. 7. Cap´ıtulo 5 N ´UMEROS COMPLEJOS № 1 Se˜nale la alternativa que presenta la secuencia correcta, despu´es de determinar si la proposici´on es verdadera (V) o falsa (F). I. Si P y Q son polinomios con coefi- cientes complejos, entonces el polino- mio P + Q tambi´en es un polinomio con coeficientes complejos. II. Si P y Q son polinomios con coefi- cientes complejos, que poseen al me- nos una ra´ız real, entonces P + Q es un polinomio con coeficientes com- plejos. III. En un polinomio con coeficientes complejos se tiene que una de sus ra´ıces es 2i, entonces −2i tambi´en es un ra´ız de dicho polinomio. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFF SOLUCI´ON 1 I. (F), por contraejemplo, sean P(x) = x− i y Q(x) = x+i, sin embargo (P +Q)(x) = 2x no es un polinomio de coeficientes com- plejos. II. (F) Sean P(x) = (x+i)(x−1) y Q(x) = (x − i)(x − 1), sin embargo (P + Q)(x) = 2x(x − 1) no tiene coeficientes complejos. III. (F) Sea P(x) = x(x − 2i), tiene como una de sus ra´ıces es 2i, sin embargo −2i no es ra´ız. 7
  8. 8. Cap´ıtulo 6 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGAR´ITMICAS № 1 Sea f(x) = log(| sen x|) entonces el rango de f es el conjunto: A) [0, +∞ B) −∞, 0] C) R D) [0, 1] E) −1, 1 № 2 Sea f : A → R una funci´on definida por: f(x) = ln log1/2(5 − x2 ) donde A = Dom(f) ⊂ R. Entonces la can- tidad de n´umeros enteros que posee el con- junto A es: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 № 3 Dada la gr´afica de f(x) = ln(ea − x) + 1 Determine el valor de b. A) 4 B) 5 C) e2 D) e4 E) e5 № 4 Sea f una funci´on cuya regla de co- rrespondencia est´a dada por: f(x) = loga(x + x2 + 1) Encuentre su funci´on inversa A) ax + a−x B) ax + a−x 2 C) ax − a−x D) ax − a−x 2 E) ax 2 № 5 Resuelva e indique el conjunto solu- ci´on de: log4 x + log4(3x + 20) = 3 − log4 2 A) {−8} B) {−8, 4/3} C) {1} D) {4/3} E) {1,4/3} № 6 Si log3 3x + 1 2x − 1 = 2, halle x. A) 1 2 B) 1 3 C) 2 3 D) 3 2 E) 2 № 7 Sean a, b ∈ 0, ∞ tales que: 1 a + 1 b = 1 , y 1 loga(ab) + 1 logb(a + b) = √ x − 1. Determine el valor de x 2 . A) 1 2 B) 1 C) √ 2 D) 2 E) 4 8
  9. 9. Cap´ıtulo 7 MATRICES № 1 Determine la traza de A si se cumple que (A + I)2 = 1 2 0 1 y (A − I)2 = − 1 0 0 1 A) 1 B) 5 4 C) √ 2 D) 2 E) 4 № 2 Sea A una matriz de orden 3 × 5 y B una submatriz cuadrada de A de orden 3 tal que A = (B : N) donde N es de orden 3×2 y B−1 existe. Correspondiente, en el sistema AX = b, x se descompone como X = XB XN . Entonces una soluci´on del sistema es: A) B−1 b NXB B) B−1 b BXN C) Bb Nb D) B−1 b 0 E) (BI)b 0 № 3 Halle la matriz A si sabemos que AX−1 = [(A−1 )2 − A−1 ]−1 , donde X = 1 2 3 5 A)    1 1 3 1 2 1 3    B)    1 − 1 3 − 1 2 1 3    C)    − 1 3 1 1 3 − 1 2    D)    −1 1 3 − 1 2 1 3    E)    − 1 2 1 3 1 − 1 3    № 4 Considere las matrices B = 0 −1 1 1 y f11 f12 f21 f22 = B25 +B24 +B23 +· · ·+B+2I Calcule f11 + f12 + f21 + f22 A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 № 5 Dado A matriz de orden 3 × 3, indi- que la secuencia correcta despu´es de deter- minar si la proposici´on es verdadera (V) o falsa (F): I. |2A| = 2|A|. II. | − A| = |A|. III. Si A es invertible, entonces |A||A−1 | = 1. Donde |A| representa el determinante de 9
  10. 10. la matriz A. A) VVV B) VVF C) FVF D) FFV E) FFF № 6 Sea A una matriz de orden 3 × 3 tal que A3 = −I, donde I es la matriz identidad. La adjunta de la matriz A10 , Adj(A10 ), es igual a: A) A B) − A C) |A|A−1 D) − |A|A−1 E) − |A|A № 7 Si A es una matriz invertible, despeje la matriz X a partir de la expresi´on. ((AX)−1 )t = 0, 5B−1 A) X = 0, 5A−1 Bt B) X = 0, 5Bt A−1 C) X = 2A−1 B D) X = 2B−1 At E) X = 2A−1 Bt № 8 Sea A una matriz de orden 2 tal que A−1 = AT . Dadas las siguientes afirmacio- nes: I. A = I. II. |A| = 1. III. AAT = AT A. Son correctas: A) Solo II B) Solo III C) I y II D) II y III E) I,II y III № 9 La matriz a b c d tiene como inversa a 1 −2 1 1 , entonces el valor de 3a + b + 2c + 3d es igual a: A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 № 10 Sea la matriz A = 1 1 0 1 ; halle el determinante de F, si: F = A + A2 + A3 + A4 + A5 + · · · + An A) 1 B) n C) n2 D) n(n + 1) 2 E) n(n + 1)(n + 2) 4 № 11 Sea las matrices A = 1 2 2 1 y P = 1 −1 2 1 . Calcule la traza de P−3 AP3 A) − 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 № 12 ¿Cu´al es el conjunto de todos los valores de α para los cuales la matriz A =   2 1 α −1 0 4 1 5 1   tiene inversa ? A) R B) [0, +∞ C) R {7} D) R {1} E) R {−7} № 13 Considere la matriz A =   1 0 1 0 1 0 0 0 1   entonces la inversa de la matriz A2n (n ∈ N) es: A)    1 0 1 2n 0 1 0 0 0 1    B)    1 0 − 1 2n 0 1 0 0 0 1    C)   1 0 −n 0 1 0 0 0 1   D)   1 0 −2n 0 1 0 0 0 1   E)   1 0 2n 0 1 0 0 0 1   № 14 Sean A =   1 a 3 a 1 a 3 a 4   , B =   b a −1 a 5 −4 −1 −4 3   10
  11. 11. matrices tales que AB = BA = I. Enton- ces el valor de a2 − b2 − 4 es A) − 4 B) − 2 C) 0 D) 1 E) 5 № 15 A y B son matrices que satisfacen las siguientes ecuaciones: −5 7 2 −3 A − B = 9 1 7 5 2 1 3 1 B = 6 3 −2 7 Halle la suma de los elementos de A + B. A) − 395 B) − 378 C) − 365 D) − 278 E) − 265 № 16 Consideremos la siguiente matriz     1 2 3 4 2 3 4 5 3 4 5 6 4 5 6 7     Entonces el det(A12 ) es: A) − 2 B) − 1 C) 0 D) 1 E) 2 11
  12. 12. Cap´ıtulo 8 DETERMINANTES № 1 En la siguiente ecuaci´on a, b y c son constantes no nulas. Determine la suma de las ra´ıces. a 0 x b x b c c c = 0 A) a + c B) b + c C) a − c D) a + c E) a + b № 2 Sean A y B dos matrices cuadradas de orden 2. Si det(A) = 5 y det(B) = 3, calcule det(A + B) + det(A − B) . A) 4 B) 6 C) 8 D) 12 E) 16 № 3 Sean las matrices: A−1 = 2 −1 −3 2 ; B−1 = 3 2 5 3 y C = −2 4 3 4 . Halle el determinante: |W|, si se cumple AWB = C A) 20 B) 25 C) 98 D) 100 E) 200 № 4 Sea el determinante x 1 1 1 x 1 1 1 x donde x ∈ R. Entonces la suma de los valores x, donde el determinante se anula es A) − 2 B) − 1 C) 0 D) 1 E) 2 12
  13. 13. Cap´ıtulo 9 SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES № 1 Dado los planos ℘1, ℘2 y ℘3 como se muestra en la figura Si P1, P2 y P3 son vectores perpendicula- res respectivamente a los planos dados, in- dique la secuencia correcta luego de deter- minar la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Con P1, P2, P3 se puede formar un sistema lineal cuya soluci´on es ´unica. II. Los vectores P1, P2 y P3 pueden ser contenidos en un mismo plano. III. Los vectores P1, P2 y P3 son mutua- mente perpendiculares. A) FFF B) FVF C) VFF D) VVF E) VVV № 2 Dado el gr´afico mx − y = −b x + Ny = B , con m = 1 Indique la alternativa correcta con respec- to al sistema dado A) No tiene soluci´on. B) Tiene una ´unica soluci´on C) Tiene dos soluciones D) Tiene solamente tres soluciones E) Tiene infinitas soluciones № 3 Dado el sistema lineal 4x + y = 9k , −x + 6y = 4k , determine la recta que contiene a todos los puntos soluci´on de los sistemas generados para k ∈ Z+ . A) − x + y = 1 B) 2x + y = 0 C) − 2x + 3y = −1 D) x − 2y = 0 E) x + 4y = 0 № 4 Determine el valor de “ a ” para que el sistema x + 3y = 5 ax + 4y = 6 2x + y = 4 tenga soluci´on A) 1 5 B) 2 7 C) 3 7 D) 5 7 E) 6 7 13
  14. 14. Cap´ıtulo 10 SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES № 1 Hallar el valor de “ x ” si log x = log 1024 − 3 log 2 − log y 2x−y = 256 A) 2 B) 4 C) 8 D) 16 E) 24 № 2 Sean a, b, c ∈ R tales que 0 < a < b < c y x1 < x2. Siendo (x1, y1) y x2, y2 soluciones del sistema de ecuaciones y = ax2 + bx + c y = cx2 + bx + a entonces podemos afirmar que: A) x1, x2, y1y2 > 0 B) x1, x2 < 0; y1, y2 > 0 C) x1, x2 > 0; y1, y2 > 0 D) x1 < 0; x2, y1, y2 > 0 E) x1 > 0; y1, y2 < 0 № 3 Determine el conjunto soluci´on del sistema de ecuaciones no lineales: x2 + y2 − 2x − 2y + 1 = 0 x2 − 2x − y + 1 = 0 A) {(3, 1), (1, 1), (−1, −1)} B) {(2, −2), (2, 1), (1, 1)} C) {(−1, 0), (1, 1), (1, 2)} D) {(1, 0), (0, 1), (2, 1)} E) {(1, −1), (1, 0), (2, −1)} № 4 Sea el sistema de ecuaciones: x2 z2 = 36 (x2 + y2 + 42)x = 1000000 (x2 + y2 + 42)z = 10000 con x, y, z ∈ N. Si la soluci´on del sistema es (x0, y0, z0). Determine x0 + y0 + z0. A) 4 B) 6 C) 8 D) 10 E) 12 № 5 El conjunto soluci´on del siguiente sistema x2 − 2x + y2 = 0 x2 − 4x + y2 = −2 x2 − 4x − y = −4 es A) {(1, 1); (1, −1)} B) {(1, 1); (2, 0)} C) {(1, 1)} D) {(−1, 2)} E) {(2, −1)} № 6 Dado el sistema: x + y + z = 2 2xy − z2 = 4 . Halle x2 +y2 +z2 , donde x, y, z son reales. A) 10 B) 12 C) 8 D) 6 E) 16 № 7 Dado el sistema x3 − 3x2 + 3x − y = 1 x2 − 2x + y2 − 2y = −1 . 14
  15. 15. Si (a, b) y (c, d) son soluciones del sistema. Determine a + b + c + d; a, b, c, d ∈ Z. A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 № 8 Sea el sistema de ecuaciones no li- neales. x2 + y2 − z2 = 14 x + y + z = 4 x − y + z = 6 . Entonces la suma de todas las soluciones es: 15
  16. 16. Cap´ıtulo 11 PROGRAMACI´ON LINEAL № 1 Un fabricante de zapatillas obtiene una ganancia de S/. 25 en el modelo de lujo y producir un m´ınimo de 80 modelos de lujo y al menos 100 de tipo est´andar por d´ıa. Para mantener su calidad, la producci´on total no debe exceder de 200 zapatillas. ¿Cu´antos debe producir diariamente de cada tipo para maximizar la ganancia? A) 80 de lujo y 100 del est´andar. B) 100 de lujo, 100 del est´andar. C) 120 de lujo y 80 del est´andar. D) 80 de lujo y 120 del est´andar. E) 60 de lujo y 120 del est´andar. № 2 Dados a, b ∈ R y los problemas de programaci´on lineal m´ın ax + by · · · (1) s.a.(x, y) ∈ D m´ax ax + by · · · (2) s.a.(x, y) ∈ D Sea (x0, y0) soluci´on del problema (1). Se˜nale la alternativa correcta despu´es de determinar la verdad o falsedad delas si- guientes proposiciones: I. (−x0, −y0) es soluci´on del problema (2). II. Si D = ∅, entonces la soluci´on de los problemas (1) y (2) son distintas. III. Si las soluciones de los problemas (1) y (2) coinciden, entonces D = {(x0, y0)}. A) VVV B) VFV C) VVF D) FFV E) FFF № 3 Calcule el valor m´ınimo de la funci´on objetivo f(x, y) = 3x + 6y sujeto a las siguientes restricciones: 2x + 3y ≥ 12 2x + 5y ≥ 16 x ≥ 0 y ≥ 0 . A) 20 B) 21 C) 22 D) 23 E) 24 № 4 Consid´erese la regi´on factible dada por el siguiente conjunto de restricciones: x + y ≤ 5 x + 3y ≥ 9 x ≥ 0, y ≥ 0 ¿Cu´al es la diferencia entre si el mayor va- lor de f(x, y) = 2x + 3y y el menor valor de g(x, y) = y − x en esta regi´on? A) 7 B) 9 C) 10 D) 11 E) 16 № 5 Dadas las siguientes proposiciones: I. En un problema de programaci´on li- neal, el valor ´optimo de la funci´on ob- jetivo es alcanzado en un v´ertice de la regi´on admisible. II. Si a la regi´on admisible de un proble- ma de programaci´on lineal se le adi- 16
  17. 17. ciona una nueva restricci´on de la for- ma ax + by ≤ c, el valor ´optimo de la funci´on objetivo no var´ıa. III. Si (x∗ , y∗ ) es la soluci´on de un pro- blema de maximizaci´on y z∗ es el valor ´optimo, se tiene entonces que z∗ ≥ ax + by para todo (x, y) en la regi´on admisible, ( ax + by es la fun- ci´on objetivo). Son correctas: A) Solo I B) I y II C) I y III D) Solo III E) I, II y III № 6 Sea (x∗ , y∗ ) el punto ´optimo m´axi- mo de un problema de programaci´on lineal como se muestra en la figura Indique la secuencia correcta despu´es de determinar si la proposici´on es verdadera (V) o falsa (F): I. 4x∗ + 3y∗ < 4x + 3y, ∀(x, y) ∈ A, x = x∗ , y = y∗ II. Un problema de programaci´on lineal que puede representar al esquema es: m´ax{5x + 6y | (x, y) ∈ A} III. 5x∗ + 6y∗ ≥ 5x + 6y, ∀(x, y) ∈ A A) FVF B) VFF C) VVV D) FFV E) FVV № 7 Calcule el m´aximo valor de la fun- ci´on f(x, y) = 4x + 6y tal que y ≤ 2x + 3 y + 2x ≤ 8 y ≥ 5 x, y ≥ 0 A) 30 B) 34 C) 36 D) 38 E) 40 № 8 Un granjero tiene 480 acres de tierra en la que puede sembrar ma´ız o trigo. ´El calcula que tiene 800 horas de trabajo dis- ponible durante la estaci´on de verano. En el caso del ma´ız, el trabajo demora 2 horas por acre y se obtiene una utilidad de S/.40 por acre, mientras que en el trigo el traba- jo es de 1 hora por acre y la utilidad es de S/.30 por acre. ¿Cu´antos acres de ma´ız y trigo debe plantar respectivamente, para maximizar su utilidad? A) (160, 320) B) (140, 340) C) (340, 140) D) (320, 160) E) (180, 300) № 9 Sea el problema de programaci´on li- neal siguiente: m´ax z(x, y) = 3 4 x + y sujeto a: x + 3y ≤ 15 5x + y ≤ 20 3x + 4y ≤ 24 x ≥ 0,y ≥ 0 . Determine el valor ´optimo de z. A) 0 B) 3 C) 5 D) 6 E) 6, 3 № 10 Sea la regi´on S = {(x, y) ∈ R2 | x − y ≤ 4; 3x + 4y ≤ 24; x, y ≥ 0} y el problema de programaci´on lineal m´ın(ax + by) s.a. (x, y) ∈ S 17
  18. 18. determine el valor de a+b, sabiendo que el conjunto soluci´on del problema, es el lado de S de menor longitud. A) 0 B) − a C) 4 D) a E) 2a № 11 Halle el valor de k > 0 para que el problema: Maximizar kx + 8y sujeto a (x, y) ∈ D tenga como soluci´on el valor de 410; donde D es la regi´on sombreada. A) 10 B) 41 4 C) 30 D) 40 E) 346 3 № 12 Un herrero dispone de 80 kg de ace- ro y 120 kg de aluminio. Quiere fabricar el armaz´on de bicicletas de paseo y de mon- ta˜na; y venderlo a S/. 120 y S/. 90 res- pectivamente, obteniendo el m´aximo be- neficio. Para la bicicleta de paseo emplea 1 kg de acero y 3 kg de aluminio y para la bicicleta de monta˜na 2 kg de cada me- tal. Determine el n´umero de bicicletas de paseo y de monta˜na que vender´a. A) 10 y 15 B) 15 y 20 C) 20 y 30 D) 30 y 40 E) 40 y 50 № 13 Determine el z ´optimo del progra- ma lineal: m´ax(z) = 3x1 + 4x2 sujeto a: x1 + 2x2 ≤ 1000 3x1 + 2x2 ≤ 1800 x2 ≤ 400 x1, x2 ≥ 0 A) 1800 B) 2200 C) 2400 D) 3600 E) 4200 № 14 En una empresa el beneficio que se obtiene al vender “ x ” art´ıculos de clase A e “ y ” art´ıculos de clase B est´a re- presentado por la funci´on M = 3x + 7y. Determine cu´ales son las cantidades que se deben vender de cada art´ıculo respecti- vamente para obtener el m´aximo beneficio sabiendo que x ≥ 0, y ≥ 0, x + y ≤ 5, 2x + y ≤ 9 A) 2 y 3 B) 3 y 2 C) 0 y 5 D) 4 y 1 E) 1 y 4 18
  19. 19. Cap´ıtulo 12 SUCESIONES Y SERIES № 1 Indique la secuencia correcta des- pu´es de determinar la veracidad (V) o fal- sedad (F) de las siguientes proposiciones: I. Dado a0 ∈ R {0}, la sucesi´on {an} es alternante, donde an = −an−1 , n impar, an−2 , n par ∀n ≥ 1. II. La sucesi´on {an} es mon´otona, donde an = 22n 3n , ∀n ≥ 1 . III. La sucesi´on {(sen (πen ) + cos (eπn ))2 } es acotada. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FVF № 2 (UNI-2018-I) Sean {an}, {bn} y {cn} sucesiones tales que bn = an (−1)n cn 1 y cn = an (−1)n bn 1 . Determine el valor de E = ∞ n=1 (an + bn − 2b2n−1 + cn) . Se sabe que ∞ n=1 a2n = 1. A) − 1 B) 0 C) 1 2 D) 1 E) 2 № 3 (UNI-2017-II) Se origina la siguien- te sucesi´on de cuadrados: Primer cuadra- do de lado a. Segundo cuadrado de lado igual a la diagonal del primer cuadrado. Tercer cuadrado de lado igual a la diago- nal del segundo cuadrado, y as´ı sucesiva- mente. Determine la suma de las ´areas de los k-´esimos primeros cuadrados. A) a2 (k − 1) B) a2 (2k − 1) C) a2 2k D) a2 (2k − 1) E) a2 k2 № 4 Sea “ x ” tal que |x| < 1. Calcule en funci´on de x, el valor de la suma: S = 2 + 4x + 6x2 + 8x3 + 10x4 + · · · A) 1 1 − x B) 2 x − 1 C) 2 x2 − 2x + 1 D) 2 x2 − x + 1 E) 2 x2 + x + 1 № 5 De la sucesi´on (an) donde an = n √ 3n + 4n donde n ∈ N. Podemos afirmar que: A) 5 < an ≤ 7 B) 4 < an < 6 C) 4 < an < 7 D) 3 < an ≤ 6 E) 3 < an ≤ 8 № 6 (2016-I) Determine el valor de la se- rie ∞ n=1 1 1 + 2 + 3 + 4 + · · · + n 19
  20. 20. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 № 7 Se˜nale la alternativa que presenta la secuencia correcta, despu´es de determinar si la proposici´on es verdadera (V) o falsa (F). I. Sea f una funci´on polinomial y (xn) una sucesi´on convergente. Entonces la sucesi´on (yn), donde yn = f(xn), es convergente. II. Para todo x ∈ −1, 1 se cumple +∞ k=0 xk = 1 x − 1 III. Toda sucesi´on alternante es conver- gente. № 8 Considere la sucesi´on {an}, donde an = arctan(n) Entonces podemos afirmar que: A) {an} no es mon´otona B) {an} no vonerge C) {an} converge a π 2 D) {an} converge a 0 E) {an} converge a 1 № 9 El valor de la suma S = 3 4 + 5 36 + 7 144 + 9 400 + 11 900 + 13 1764 +· · · es A) 0, 94 B) 0, 96 C) 0, 98 D) 1, 00 E) 1, 02 № 10 Considere la sucesi´on 1, 1 22 , 1 32 , · · · , 1 n2 , · · · Determine el menor valor de n ∈ N, de modo que se cumpla 1 n2 < 1 × 10−7 A) 2081 B) 2091 C) 2991 D) 3001 E) 3163 № 11 En el primer cuadrante del plano se forma el conjunto A con los puntos con coordenadas enteros positivos, esto es A = {(m, n) | m ∈ N ∧ n ∈ N} A cada punto (m, n) de A se le asigna el valor 1 2m+n .Calcule la suma de todos los valores de los puntos (m, n) de A con coor- denadas m ≥ n. A) 1 3 B) 2 3 C) 1 D) 2 E) + ∞ № 12 Halle la suma de la serie de n´ume- ros: 1 + 1 √ 2 + 1 √ 4 + 1 √ 8 + 1 √ 16 + · · · A) 1 B) 1 + √ 2 C) √ 2 D) √ 2 √ 2 − 1 E) √ 2 √ 2 + 1 № 13 Calcule l´ım n→∞ n √ 2n + 4n . A) 4−1 B) 2−1 C) 0 D) 2 E) 4 № 14 Considere la sucesi´on {an} definida por a1 = 5 2 , ak−1 = 1 2 ak + 5 ak para todo k. Entonces podemos afirmar que la sucesi´on {ak} converge a un n´umero a0 con A) 2 < a0 ≤ 2, 5 B) 2 < a0 ≤ 2, 05 C) 2 ≤ a0 ≤ 2, 06 D) 2 ≤ a0 < 2, 1 E) 2, 25 ≤ a0 < 2, 3 20
  21. 21. № 15 Sea (an) la sucesi´on cuyo t´ermino general es an = 1 0, 25n2 + 1 − 0, 5n . Entonces podemos afirmar que: A) an diverge a − ∞ B) an converge a 0 C) an converge a 1 D) an converge a n E) an diverge a ∞ № 16 Si S(x) = n k=0 xk . El valor de Sn(x) se puede expresar por: A) 1 1 − x B) xn + 1 1 − x C) 1 + x − xn+1 − xn+2 1 − x2 D) 1 − x + xn − xn+1 1 − x2 E) 1 + x + xn+1 1 + x2 № 17 Dada la ecuaci´on 1 x1 + 1 x2 + 1 x3 + · · · + 1 xm = 0, 15 donde x1 = 30, x2 = 42, x3 = 56. Deter- mine m. A) 5 B) 10 C) 15 D) 20 E) 25 № 18 En el siguiente proceso de construc- ci´on, tenemos inicialmente un cuadrado de ´area a1, del cual vemos retirando las regio- nes no sombreadas, como se muestra en la figura. Determine el ´area total de las re- giones sombreadas al final del proceso. A) 1 6 a1 B) 1 3 a1 C) 1 2 a1 D) 2 3 a1 E) a1 № 19 Si ∞ k=1 1 k2 = π2 6 , halle ∞ k=1 1 (2k − 1)2 A) π2 12 B) 5π2 48 C) π2 8 D) 7π2 48 E) π2 6 № 20 Sea la suma δ = 3 2 − 5 6 + 7 12 − 9 20 + 11 30 − · · · − 41 420 El valor (aproximado) de δ es igual a: A) 0.952 B) 0.958 C) 1.024 D) 1.048 E) 1.052 № 21 Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. Si a ∈ R, entonces (1 + a)n ≤ 1 + na, ∀n ∈ N, n > 2 II. Si 0 < a < b, entonces a b n+1 ≤ a b n , n ∈ N . III. Es posible representar la serie 54 10 + 2 102 + 2 104 + · · · + + 7 103 + 7 105 + · · · como un n´umero racional. 21
  22. 22. N representa el conjunto de los n´umeros naturales. R representa el conjunto de los n´umeros reales. A) FVV B) VFV C) VVF D) VVV E) FVF 22

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