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Problemas1 (algunas soluciones)

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Problemas tipo admisión UNI, LÓGICA, CONJUNTOS, CUANTIFICADORES, NÚMEROS REALES, ECUACIONES DE PRIMER GRADO

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Problemas1 (algunas soluciones)

  1. 1. ´Indice general 1. L´OGICA 2 2. CONJUNTOS 6 3. CUANTIFICADORES 10 4. N ´UMEROS REALES 13 5. ECUACIONES DE PRIMER GRADO 16 NOTA: AL HACER CLICK DONDE EST´A ESCRITO “ V´ıdeo soluci´on ” TE LLEVAR´A A LA V´IDEO SOLUCI´ON ALOJADA EN YOUTUBE. 1
  2. 2. Cap´ıtulo 1 L´OGICA № 1 CepreUNI 2019-II. Determine el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: I. p∧ ∼ p es una tautolog´ıa. II. ∼ q ∧ (p ∨ q) es equivalente a ∼ p ∨ q. III. Si p → (∼ q ∨ r) es falsa, entonces q es verdadera. A) FFV B) VFV C) FFF D) VFF E) FVV Soluci´on: Rpt.- FFV № 2 CepreUNI 2019-II. Si ∗ es un operador l´ogico definido me- diante la siguiente tabla p q p ∗ q V V F V F V F V F F F V Simplifique la expresi´on ∼ (p∗q) → (q∗p) A) p ∧ q B) p ∨ q C) ∼ (p ∧ q) D) q → p E) p → q Soluci´on: Observe que los valores de ver- dad que est´an debajo de p ∗ q son iguales a la negaci´on de los valores que est´an de- bajo de q, con esta observaci´on podemos decir que p ∗ q ≡∼ q, tenga en cuenta que el orden es importante, esto quiere decir que q ∗ p ≡∼ p. Luego ∼ (p ∗ q) → (q ∗ p) ≡∼ (∼ q) → (∼ p) ≡ q →∼ p ≡∼ q∨ ∼ p ≡∼ (q ∧ p) ≡∼ (p ∧ q) № 3 CepreUNI 2019-I. Dadas las proposiciones l´ogicas p, q, t y s, se sabe que [s ∧ (p q)] → (∼ p ∨ t) es falsa. Indique los valores de verdad de p, q y t ( en ese orden). A) VFV B) VFF C) VVV D) FFF E) FVF Soluci´on: Dado que el conector l´ogico principal es una condicional, s´olo hay un caso en que este es falso y es cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso, entonces se debe cumplir que [s ∧ (p q)] ≡ V y (∼ p ∨ t) ≡ F Luego como (∼ p∨t) ≡ F, entonces t ≡ F y ∼ p ≡ F, es decir p ≡ V . Por otra parte de la conjunci´on [s ∧ (p q)] ≡ V tenemos que (p q) ≡ V , co- mo p ≡ V , entonces q ≡ F. Por lo tanto la respuesta es V FF № 4 CepreUNI 2019-I. Simplifique la siguiente f´ormula l´ogica (q → p)∨ ∼ (p → q) A) p B) q C) p ∨ q D) q → p E) p → q 2
  3. 3. Soluci´on: 2 Recuerde que q → p ≡∼ q∨p y tambi´en p → q ≡∼ p ∨ q, reemplazando en la proposici´on a simplificar tenemos (∼ q ∨ p)∨ ∼ (∼ p ∨ q) por Morgan (∼ q ∨ p) ∨ (p∧ ∼ q) ∼ q ∨ [p ∨ (p∧ ∼ q)] aplicando absorci´on dentro de los corche- tes ∼ q ∨ p ≡ q → p № 5 CepreUNI 2018-II. Definimos el operador l´ogico ∗ mediante la siguiente tabla p q p ∗ q V V F V F F F V F F F V Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. p∗ ∼ p es una contingencia. II. ∗ es conmutativa. III. p ∗ q ≡∼ p∧ ∼ q. A) FFF B) FFV C) FVV D) VVV E) VVF V´ıdeo soluci´on. № 6 CepreUNI 2018-II. Halle una f´ormula l´ogica equivalente para (p → (p ∨ q)) (q ∧ p) A) ∼ p B) ∼ q C) p ∧ q D) p∨ ∼ q E) q →∼ p V´ıdeo soluci´on. № 7 CepreUNI 2018-I. Sean p, q y r tres proposiciones l´ogicas simples. La proposici´on [(p ∧ (∼ q)) ∧ (q → p) ∧ r] ∨ p es equivalente a A) p B) q C) p ∨ q D) p → r E) (p ∨ q) ∧ r V´ıdeo soluci´on. № 8 CepreUNI 2017-II. Definimos el operador l´ogico ∗ mediante la siguiente tabla p q p ∗ q V V F V F F F V F F F V Simplifique ∼ p ∗ (p ∗ (∼ q)). A) p ∨ q B) p ∧ q C) ∼ p∧ ∼ q D) p E) q Soluci´on: Observe que p q p ∗ q ∼ (p ∨ q) V V F V V F F V F V F V F F V F luego p∗q ≡∼ (p∨q) ≡∼ p∧ ∼ q, entonces ∼ p ∗ (p ∗ (∼ q)) ≡ ∼ (∼ p)∧ ∼ (∼ p∧ ∼ (∼ q)) ≡ p∧ ∼ (∼ p ∧ q) ≡ aplicando morgan p ∧ (p∨ ∼ q) ≡ p esto ´ultimo es por absorci´on. 3
  4. 4. № 9 CepreUNI 2016-I. Si p, q, r, t y s son proposiciones l´ogicas y se cumple que [(∼ t ∧ r) → (t ∨ s)] ≡ [(∼ p ∨ q) ↔ (p∧ ∼ q)] . Indique el valor de verdad de r, t y s (en ese orden) A) FFF B) FFV C) FVF D) VFF E) VVF V´ıdeo soluci´on. № 10 CepreUNI 2016-I. Dadas las proposiciones: t: Juan har´a una fiesta. q: Juan aprueba l´ogica. r: Juan apruebe programaci´on. p: Juan estudiar´a durante el verano. Mediante el diccionario anterior traduz- ca la siguiente proposici´on en el lenguaje l´ogico formal: “Para que Juan haga una fiesta es su- ficiente que el apruebe l´ogica y para que Juan estudie durante el verano es necesa- rio que Juan apruebe programaci´on”. A) (t → q) ∧ (p → r) B) (q → t) ∧ (r → p) C) (q → t) ∧ (p → r) D) (t → q) ∧ (r → p) E) (q ↔ t) ∧ (r → p) Soluci´on: Rpt.- (q → t) ∧ (p → r) V´ıdeo soluci´on. № 11 CepreUNI 2015-II. La proposici´on {[∼ q →∼ p] → [∼ p →∼ q]} ∧ ∼ (p ∧ q) es equivalente a A) p B) ∼ p C) q D) ∼ q E) ∼ (p ∧ q) V´ıdeo soluci´on. Soluci´on: Rpt.- ∼ q № 12 CepreUNI 2015-II. Dadas las f´ormulas l´ogicas I. ((p ∨ q) ∧ (p ∧ q)) → p. II. ∼ (p ∧ q) → (∼ p ∨ q). III. (p q) (p ↔ q). Se puede afirmar que A) Dos son contradicciones. B) Dos son contingencias. C) Dos son contradicciones y una es tau- tolog´ıa. D) Dos son tautolog´ıas y una es contra- dicci´on. E) Dos son tautolog´ıas y una es contin- gencia. Soluci´on: I. Aplicando absorci´on ((p ∨ q) ∧ (p p ∧q)) → p ≡ (p∧q) → p ≡∼ (p ∧ q) ∨ p ≡ (∼ p∨ ∼ q) ∨ p ≡ (∼ q∨ ∼ p) ∨ p ≡∼ q ∨ (∼ p ∨ p) ≡∼ q ∨ V ≡ V por lo tanto es una tuatolog´ıa. II. ∼ (p ∧ q) → (∼ p ∨ q) ≡ (p ∧ q) ∨ (∼ p q∨ ∼ p ∨q) ≡ (q∨ ∼ p) ∨ q ≡ q∨ ∼ p vemos que es una contingencia. III. (p q) (p ↔ q) ≡ ∼ (p ↔ q) (p ↔ q) solo hay dos opciones para (p ↔ q), o es V o es F, luego. Si (p ↔ q) ≡ V, entonces ∼ (p ↔ q) (p ↔ q) ≡ V 4
  5. 5. Si (p ↔ q) ≡ F, entonces ∼ (p ↔ q) (p ↔ q) ≡ V por lo tanto ∼ (p ↔ q) (p ↔ q) es una tutolog´ıa, en consecuencia (p q) (p ↔ q) tambi´en lo es. Rpt.- Dos son tautolog´ıas y una es contin- gencia. № 13 CepreUNI 2015-I. Sean p, q, r y t proposiciones l´ogicas. Si p q es verdadero, halle el valor de verdad de: I. r → p ∨ q. II. p ∧ q → t. III. (p ↔ q) →∼ r A) VVV B) VFV C) VFF D) FVV E) FFF № 14 CepreUNI 2015-I. Simplifique el siguiente esquema molecu- lar [(∼ p ∧ q) → (∼ q ∨ p)] ∧ (p ∨ q) A) p B) q C) ∼ p D) ∼ q E) V № 15 CepreUNI 2015-I. Dadas las siguientes proposiciones: I. (p → q)∧ ∼ q →∼ p. II. (p → q)∧ ∼ p →∼ q. III. p ∧ (q∧ ∼ p) → (p ∧ q). Indique cu´ales son tautolog´ıas. A) Solo I B) Solo II C) I y III D) I y II E) I, II y III Sugerencia: El conector de mayor jerar- qu´ıa es el →, siempre que no est´e entre signos de agrupaci´on. № 16 CepreUNI 2014-II. Sean p, q y r proposiciones l´ogicas. Si p → (q → r) es falsa, determine el valor de ver- dad de: I. (r ∧ q) → p. II. r → (∼ p ∨ q). III. (∼ p∧ ∼ q) →∼ r. A) VVV B) VVF C) FVV D) FFV E) FFF № 17 CepreUNI 2014-II. Sean p y q proposiciones l´ogicas. Si (p → q) → p es verdadera, hallar los valores de verdad de: I. (p ↔ q) → p II. ∼ (p ∨ p) → (p ∧ r). III. ∼ p ∧ (q → r). A) VVV B) FVV C) VFV D) VVF E) FFV № 18 CepreUNI 2014-II. Si ∗ es un operador l´ogico definido me- diante la siguiente tabla de verdad: p q p ∗ q V V V V F F F V V F F F Simplifique la proposici´on: (∼ p∗ ∼ q) → (q ∗ p) A) ∼ q B) p C) q ∨ p D) V E) F № 19 CepreUNI 2011-I. Si p, q, r y s son proposiciones l´ogicas y (q → s) → (p → r) es falsa, determine el valor de verdad de las siguientes proposi- ciones. I. ∼ (∼ s ∧ q) → r II. (r → s) (q ∧ r) 5
  6. 6. III. [(p ∧ q) ∧ (r ∧ s)] ∨ (∼ s →∼ q) A) FVV B) FFV C) VFV D) VVV E) VVF № 20 CepreUNI 2011-I. Si S es una proposici´on cuya tabla de va- lores de verdad es p q S V V F V F V F V V F F F ∼ t es una proposici´on equivalente a [(p → r) ↔∼ r]∧ ∼ q. Determine una proposi- ci´on equivalente a (t ∨ S). A) ∼ (p ∨ q) ∨ r B) p ∨ q ∨ r C) p ∨ q∨ ∼ r D) ∼ (p ∧ q) ∨ r E) ∼ (p ∧ q) ∧ r V´ıdeo soluci´on. № 21 CepreUNI 2010-II. La proposici´on l´ogica compuesta [(p →∼ q) ∧ (q → p)] ∧ [p ∧ (p∨ ∼ r)] es equivalente a A) p → q B) ∼ q → p C) p ∧ q D) ∼ (p → q) E) ∼ p ∧ r Soluci´on: Rpt.- ∼ (p → q) № 22 CepreUNI 2010-II. Sean p, q, r, s, t y w proposiciones l´ogicas. Si la proposici´on (p →∼ r) ↔ (s → w) es verdadera y (∼ w →∼ s) es falsa, deter- mine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. (w → q) ↔ (p∨ ∼ t) II. (r →∼ s) → (q ∨ t) III. ∼ p → (q ↔ t) A) VVF B) FVV C) VVV D) FVF E) VFV Soluci´on: Rpt.- VVV № 23 CepreUNI 2010-I. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I. “2 > 4” es una proposici´on l´ogica simple. II. Si una f´ormula l´ogica no es una tauto- log´ıa, entonces siempre ser´a una con- tradicci´on. III. Si p y q son proposiciones l´ogicas, en- tonces p ↔ q ≡∼ q ↔∼ p A) VVV B) FVV C) VVF D) VFF E) VFV Soluci´on: Rpt.- VFV № 24 CepreUNI 2010-I. En el siguiente cuadro se muestran ope- raciones l´ogicas con las proposiciones sim- ples p, q, r. ↔ p ∧ q r∨ ∼ r p q x ∼ p → q y F ∼ p z Determine el valor de verdad (V) o false- dad (F) que corresponde a los casilleros x, y, z respectivamente. A) FFV B) VVV C) FVV D) VFV E) FVF Soluci´on: Rpt.- FVV № 25 CepreUNI 2009-II. Sean p, r, s, t proposiciones l´ogicas, tal que p →∼ (r∨ ∼ s) es falsa y (p ∨ s) ∼ t es verdadera. Halle el valor de verdad de: I. r ↔ (t ∧ p). II. s ∨ (p ↔ r). III. (p ∼ s) ∨ t. A) FFF B) FVF C) VVF D) VFF E) FVV Soluci´on: Rpt.- FVF 6
  7. 7. Cap´ıtulo 2 CONJUNTOS № 1 CepreUNI 2019-II. En una ciudad del Per´u, el 60 % de los ha- bitantes consumen pescado; el 50 % con- sumen carne; el 40 % de los que consumen carne tambi´en consumen pescado. ¿Qu´e porcentaje de los habitantes que no con- sumen pescado ni carne? A) 9 % B) 10 % C) 15 % D) 20 % E) 30 % Soluci´on: Denotemos por x en n´umero de habitantes de la ciudad, P el n´umero de habitantes que consumen pescado, C el n´umero de habitantes que consumen car- ne y N el n´umero de habitantes que no consumen pescado ni carne. Luego seg´un el enunciado, P = 60 %x = 3 5 x, C = 50 %x = x 2 , C ∩ P = 40 %C = 2 5 × x 2 = x 5 , gr´aficamente luego N m´as la parte sombreada y C debe ser igual a x, es decir N + 2 5 x + x 2 = x despejando N tenemos que N = 1 10 x = 10 %x . Por lo tanto el porcentaje de los habitan- tes que no consumen pescado ni carne es el 10 %. № 2 CepreUNI 2019-II. Sean A, B y C subconjuntos de U tales que I. A est´a contenido en B, y C contiene a B. II. Si x no es elemento de A, entonces x no es elemento de C. Sobre estos conjuntos, indique la alterna- tiva verdadera. A) A B B) B C C) A ⊂ C D) B = C E) A = C Soluci´on: De la parte I tenemos simb´oli- camente que: A ⊂ B ⊂ C . (1) De la parte II simb´olicamente tenemos que: Si x /∈ A → x /∈ C (2) recuerde por l´ogica que ∼ q →∼ p ≡ p → q (3) luego haciendo ∼ q ≡ x /∈ A y ∼ p ≡ x /∈ C, entonces q ≡ x ∈ A y p ≡ x ∈ C, 7
  8. 8. luego considerando (3) tenemos que (2) es equivalente a Si x ∈ C → x ∈ A esto por definici´on quiere decir que C ⊂ A, juntando esto con (1) podemos concluir que A ⊂ B ⊂ C ⊂ A de esto tenemos que A = B = C, por lo tanto podemos afirmar que A = C es la alternativa verdadera. № 3 CepreUNI 2019-II. Siendo A y B conjuntos de un universo U, donde n(P(A∩B)) = 16, n(P(B)) = 32 y n(P(A B)) = 1, el n´umero de elementos del conjunto B A es A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Soluci´on: Rpt.- 1 № 4 CepreUNI 2019-I. Indique el valor de verdad de las siguien- tes afirmaciones considerando que A y B son subconjuntos del universo U. I. Existe A ⊂ U, tal que A ⊂ AC . II. Si P(A B) = {∅}, entonces A = B. III. P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B). A) VVV B) FVV C) VVF D) FFV E) FFF Soluci´on: I. (Verdadero) Haciendo A = ∅, note que Ac = (∅)c = U, luego tenemos que para la elecci´on de A se cumple A ⊂ U ⇒ A ⊂ Ac II. (Verdadero) Recuerde que si P(A) = P(B) si y solo si A = B. Luego P(A B) = {∅} = P(∅), en- tonces A B = ∅. Ahora para el enunciado tenemos dos casos: El primer caso, si A = ∅ y B = ∅, es claro que se cumple que P(A B) = ∅ entonces A = B. Segundo caso, si alguno de los con- juntos es diferente de vac´ıo, por ejem- plo A = ∅, A ∪ B = ∅, luego como A B = (A ∪ B) (A ∩ B) = ∅ entonces A ∪ B = A ∩ B, luego tene- mos que A ⊂ A ∪ B = A ∩ B ⊂ B y tambi´en B ⊂ A ∪ B = A ∩ B ⊂ B de esto podemos concluir que A ⊂ B y B ⊂ A, para finalmente decir que A = B. III. (Falso) Para este caso la igualdad se cumple. Sea X ∈ P(A ∩ B) ↔ X ⊂ A ∩ B ↔ X ⊂ A ∧ X ⊂ B ↔ X ∈ P(A) ∧ X ∈ P(B) ↔ X ∈ P(A) ∩ P(B) Esto nos dice que cualquier elemen- to de P(A ∩ B) tambi´en pertenece a P(A) ∩ P(B) y viceversa. Por lo tanto P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B). № 5 CepreUNI 2019-I. Sean A, B y C subconjuntos de un conjun- to universal U, tal que A ⊂ B y B ⊂ C. Simplifique: [(A ∪ B) ∩ C] ∩ [(A ∩ B) ∪ CC ] A) ∅ B) A C) B D) C E) D Soluci´on: Rpt.- B 8
  9. 9. № 6 Dado el conjunto A = {x | x ∈ R x ∈ N} . Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Q ⊂ A. II. I ⊂ A. III. 22 7 ∈ A. A) VVF B) FFF C) FFV D) FVV E) VVV V´ıdeo soluci´on. № 7 CepreUNI 2018-II. Dados los conjuntos A, B, M y N conte- nidos en un universo U, tales que M = A ∪ BC ∩ (BC A) C AC N = AC ∪ B ∩ (AC ∪ BC ) Determine M N. A) A B) AC C) B D) ∅ E) U V´ıdeo soluci´on. № 8 CepreUNI 2018-II. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si P(A B) = P(BC C), entonces A ∩ C = ∅. II. Si A B = ∅, entonces A ⊂ B. III. Si P(A B) = {∅}, entonces A∩B = A. A) FVF B) FVV C) VFV D) VVV E) VVF V´ıdeo soluci´on. Soluci´on: Rpt.- VVV № 9 CepreUNI 2018-II. Dado el conjunto T = {x ∈ Z | (−2 + 3x > 4) (4x + 6 > −14)} Halle el n´umero de subconjuntos propios de T. A) 31 B) 63 C) 127 D) 255 E) 511 № 10 CepreUNI 2018-I. De un total de 100 personas, se sabe los siguiente: 40 son hombres que saben nadar y 36 son mujeres que no saben nadar. Las mujeres que saben nadar son el triple de los hombres que no saben nadar. ¿Cu´antos hombres hay en total? A) 20 B) 35 C) 46 D) 54 E) 60 № 11 CepreUNI 2018-I. Sea U = N ∪ {−8, −7} y los conjuntos A = {x ∈ U | x ≥ −6 → x > 7} B = {10 − x ∈ N | x ∈ A ∧ x 2 ∈ Z} Halle la suma de los elementos de B. ( Z: conjunto de los n´umeros enteros ). A) 14 B) 16 C) 18 D) 20 E) 22 № 12 CepreUNI 2018-I. Sean A, B y C subconjuntos de un conjun- to universal U. Si A ⊂ B y A ∩ C = ∅, el conjunto T = [A ∪ (B C)] ∩ [B ∪ (C A)] es igual a A) A B) B C C) A ∩ B D) B ∪ C E) ∅ № 13 CepreUNI 2017-II. Considerando M y N dos subconjuntos del universo U, simplifique {[M ∪ (N ∪ M)c ] ∩ (M ∩ N)c } ∪ N A) M B) N C) Mc D) Nc E) U № 14 CepreUNI 2017-II. Sean A, B yC conjuntos no vac´ıos conte- nidos en el universo U. Determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si A (B ∪ C) = A B, entonces C ⊂ B. II. ∅ ∈ P(∅). 9
  10. 10. III. Si x /∈ (A∩B), entonces (x /∈ A∧x /∈ B). A) VFV B) VVF C) VVV D) VFF E) FFF V´ıdeo soluci´on. Soluci´on: Rpt.- VVF № 15 CepreUNI 2017-II. Sean A y B dos conjuntos de un univer- so U. Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. Si A ∈ P(B), entonces P(A) ⊂ P(B). II. Si P(A) = P(B), entonces A = B. III. P(A ∩ B) ⊂ P(A) ∪ P(B). A) VFF B) FFF C) VVV D) FVV E) VVF № 16 CepreUNI 2017-II. Si T = {x ∈ N | x ≥ 2 ↔ x < 4}. In- dique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. {4} ⊂ T. II. n(T) = 2. III. Si {a, b} = T, entonces a + b = 4. A) FFV B) FVF C) VFF D) FFF E) VVF № 17 CepreUNI 2016-I. Dado el conjunto A = {∅; {∅}; {{∅}}} . Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones. I. P(A) A = P(A) II. P(∅) ∩ P(A) = {∅} III. P(A) ∪ A = P(A) A) VVV B) FVV C) VFF D) FVF E) FFF № 18 CepreUNI 2016-I. Considere los conjuntos A, B y C de un cierto universo U tal que A ⊂ B y C∩B = ∅, simplifique [(A ∪ B) ∩ C] ∪ [C (A B)] A) A ∪ B B) C C) ∅ D) A ∩ B E) U № 19 CepreUNI 2015-II. Dado A = {∅; {∅} ; 1}. Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones I. P(∅) ∈ A. II. P(P(∅)) ⊂ A. III. P(A) ∅ = P(A). A) VVV B) VFF C) VVF D) FVF E) FFF № 20 CepreUNI 2015-II. Sean A, B, C subconjuntos de un conjunto universal U tal que A ∩ B = ∅ y A ⊂ C. Simplificar A BC ∪ (C A) ∪ (A B). A) A B) B C) C D) AC E) BC № 21 CepreUNI 2015-I. Sean A y B dos conjuntos de U. Simplifi- que A ∪ (B ∪ A)C ∩ (A ∩ B)C A) BC ∪ AC B) BC ∩ A C) U D) A ∪ BC E) BC № 22 CepreUNI 2015-I. Dado A = P({∅}). Indique el valor de ver- dad de las siguientes afirmaciones: I. n(P(P(A))) = 16. II. A ∅ = {{∅}} ⊂ A III. {{∅}} ⊂ A 10
  11. 11. A) VVV B) FFV C) FVV D) VFF E) VFV № 23 CepreUNI 2014-II. De un grupo de 120 personas se sabe que: I. Los dos tercios de ellas no beben. II. Los 4 5 de ellas no fuman. III. 72 no fuman ni beben. ¿Cu´antas personas fuman y beben, o no fuman ni beben? A) 8 B) 24 C) 72 D) 88 E) 96 № 24 CepreUNI 2014-II. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I. P(∅) = {∅} ∅. II. ∅ ∈ P(∅). III. ∅ ⊂ P(∅) Donde ∅ representa el conjunto vac´ıo. A) VVV B) FVF C) FVV D) VVF E) FFF № 25 CepreUNI 2011-I. Dados los conjuntos A; B y C contenidos en el conjunto universal U = {1; 2; 3; 4} tal que se cumple: • A ⊂ B • A ∩ C = {1} • B (A ∩ C) = {3} • C ∩ BC = {4} • A ∩ B ∩ C = {1; 2; 3; 4} • B ∩ C = {1; 2} Determine A C A) {1} B) ∅ C) {1; 2} D) {1; 3} E) {2; 3} № 26 CepreUNI 2010-II. Los siguientes conjuntos A = {1; 2}, B = {2; 3; 4} y X satisfacen: A ∩ X = {1}, B ∩ X = {3} y A ∪ B ∪ X = {1; 2; 3; 4; 5}. Determine la suma de los elementos de X. A) 7 B) 8 C) 9 D) 10 E) 11 Soluci´on: Rpt.- 9 № 27 CepreUNI 2010-II. Si A, B y C son subconjuntos de un con- junto U, determine el valor de cerdad de las siguientes afirmaciones I. (A B) ∩ (A C) = A (B ∪ C) II. A ∩ (B C) = (A ∩ B) (A ∩ C) III. Si A ∪ B ⊂ [BC (A B)] entonces A y B son disjuntos. A) VFV B) FVF C) VVF D) VVV E) VVF Soluci´on: Rpt.- VVV № 28 CepreUNI 2010-II. Dados los conjuntos A = {∅; a} y B = {m; n; p}, determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. P(∅ ∪ {∅}) ∈ P(A) II. Si a = m = ∅ entonces n[P(A∪B)] = 8 III. n[P(A P(∅))] ∈ {0; 1; 2}, donde n(A) = n´umero de elementos del con- junto A. A) FVV B) VVV C) FVF D) FFV E) VVF Soluci´on: Rpt.- FVV № 29 CepreUNI 2010-I. Con respecto a los conjuntos A, B y C, determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I. Si A∩B = ∅, entonces P(A)∩P(B) = ∅. 11
  12. 12. II. Sean A, B y C conjuntos no vac´ıos. Si A ∩ C = B ∩ C, entonces A = B. III. P(A ∩ B) ⊂ P(A). P(A) =conjuntos potencia de A A) VFV B) FFV C) VVV D) VFF E) VVF Soluci´on: Rpt.- VFV № 30 CepreUNI 2009-II. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I. P(∅) ∅ = ∅. II. Si A = {{1} ; {{1}}}, entonces {{{1}}} ⊂ P(A). III. ( 1; 5] 2; 3]) ∩ Z = {2; 4; 5}. P(A) : Conjunto potencia de A. Z : Conjunto de los n´umeros enteros. A) VVV B) FFV C) VFV D) FVV E) VVF Soluci´on: Rpt.- FVV 12
  13. 13. Cap´ıtulo 3 CUANTIFICADORES № 1 CepreUNI 2019-II. Dados los conjuntos A = {1; 3; 5} y B = {2; 4}, indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ∃x ∈ A | ∀y ∈ B, y ≤ x II. ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, xy < 21 III. ∀x ∈ B, ∃y ∈ A | x + y = 7 A) VVF B) VFV C) VVV D) FFV E) FFF Soluci´on: I. Este enunciado quiere decir: Si existe al menos un elemento x ∈ A de tal manera que para cada uno de los ele- mentos y ∈ B se cumple que y ≤ x es verdadero, entonces podemos decir que el enunciado es verdadero. Obser- vando los elementos de A y B tene- mos que para x = 5 el enunciado es verdadero. II. Este enunciado quiere decir que: Si para cada uno de los elementos x ∈ A y para cada uno de los elementos y ∈ B se cumple que xy < 21 es ver- dadero, entonces podemos decir que el enunciado es verdadero. Reempla- zando cada uno de los elementos de A y B en xy < 21 vemos que esto es verdadero. Por lo tanto el enunciado es verdadero. III. Este enunciado quiere decir que: Si para cada uno de los elementos x ∈ B existe al menos un elemento y ∈ A de tal manera que x + y = 7 es verda- dero, entonces podemos decir que el enunciado es verdadero. Vemos que para x = 2 ∈ B existe y = 5 ∈ A tal que x+y = 7, an´alogamente para x = 4 ∈ B existe y = 3 ∈ A. Por lo tanto el enunciado es verdadero. № 2 CepreUNI 2019-I. Sea A un conjunto tal que AC = {x ∈ N | x > 2 → x > 6} . Respecto a este conjunto, indique la alter- nativa verdadera. A) A = N B) n(A) = 3 C) ∃x ∈ A | x < 3 D) ∃x ∈ A | x > 6 E) ∃x ∈ A | 2x ∈ A Soluci´on: Rpt.- ∃x ∈ A | 2x ∈ A № 3 CepreUNI 2019-I. Dado el conjunto A = {1; 2; 3}, determine el valor de verdad de las siguientes propo- siciones: I. ∀x ∈ A, ∃y ∈ A | x2 + 3y < 12. II. ∀x ∈ A, ∀y ∈ A, x2 y2 > 10. III. ∃x ∈ A | ∃y ∈ A | 2y = 3x. A) FFV B) VFV C) VVF D) VVV E) FFF 13
  14. 14. Soluci´on: Rpt.- FFV № 4 CepreUNI 2018-II. Dado el conjunto A = {2, 3, 5, 7}, indique el valor de verdad de las siguientes propo- siciones: I. ∀x ∈ A, x es un n´umero primo. II. ∃x ∈ A | y ∈ A, x + y ≥ 9. III. ∀x ∈ A, ∃y ∈ A | x + y ∈ {3n | n ∈ N} A) VFF B) VVV C) VFV D) VVF E) FVV № 5 CepreUNI 2018-I. Se definen los conjuntos: A = {x ∈ N | x ≤ 6} y B = {x ∈ A | 3x ≥ 10} . Determine el valor de verdad de las si- guientes proposiciones: (N: conjunto de los n´umeros naturales) I. ∃x ∈ A | ∀y ∈ B : x + y ≤ 10. II. ∃x ∈ A, ∃y ∈ B | x2 + y2 = 25. III. ∀x ∈ (A B), x2 < 10. A) VFF B) VFV C) VVV D) FFV E) FFF № 6 CepreUNI 2018-I. Sea A = {1, 2, 3} y B = {1, 2} indique el valor de verdad de las siguientes proposi- ciones: I. ∀x ∈ A, ∃y ∈ B | x + y > 5. II. ∃x ∈ A | ∀y ∈ B, x2 ≤ y. III. ∃x ∈ A, ∃y ∈ B | x + y = xy. A) FFF B) VFF C) FVF D) FVV E) VVF № 7 CepreUNI 2017-II. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones, siendo A = {1, 2, 3}. I. ∃x ∈ A | x2 = 4. II. ∀x ∈ A, x + 1 > 3 ∧ x2 ≤ 9. III. ∀x ∈ A, x + 2 = 5 ∨ x ≤ 2. A) VFV B) VVV C) VFF D) FFF E) FFV № 8 CepreUNI 2016-I. Sean A = {1, 2, 3, 4, 5} y B = {2, 3, 5, 7}. Indique el valor de verdad de los siguientes enunciados. I. ∃k ∈ A tal que n x ∈ R : x2 − 2x + k = 2 = 1. II. ∀x ∈ A, ∀y ∈ B, x2 + y2 ≥ 5. III. ∀x ∈ A, ∃y ∈ B | x + y es impar. A) FVV B) VVV C) FVF D) FFV E) VVF № 9 CepreUNI 2015-II. Sea T el conjunto determinado por T = {x ∈ N | x ≥ 2 → x < 5} . Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. n(T) ∈ T. II. ∀x ∈ T, x ≤ 6. III. ∀x ∈ T, ∃y ∈ T | x < y. A) FVV B) VFF C) VVV D) VVF E) FFF № 10 CepreUNI 2015-II. Dado los conjuntos A = − 3 2 , 1 ∩ Z y B = {x ∈ N | x2 ≤ 1}. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ∀X ⊂ B, X ∩ A = ∅. II. ∀X ⊂ B, ∃Y ⊂ A | n(X Y ) = 2. III. ∃e ∈ A | ∀a ∈ A, a − e = a. 14
  15. 15. A) FFF B) FVV C) FFV D) VFV E) VVF № 11 CepreUNI 2015-I. Si A = {−1; 0; 2; 3} y B = {x ∈ A | (x+1) ∈ A}, determine el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. ∀x ∈ A; ∃y ∈ B | x + y ∈ B. II. ∃x ∈ B | ∀y ∈ A : x + y ∈ A. III. ∃x ∈ A | ∃y ∈ B : x + y ∈ A. A) FVV B) VFV C) FFV D) FFF E) VFF № 12 CepreUNI 2014-II. Determine el valor de verdad de las si- guientes afirmaciones: I. ∀x ∈ Z; ∃y ∈ Z | x − y < 1. II. ∃y ∈ Z | ∀x ∈ Z : x − y < 1. III. ∀x ∈ Z; ∀y ∈ Z : (x ≥ y ∨ x < y). Donde Z representa el conjunto de los n´umeros enteros. A) FFV B) FVF C) VFF D) VVV E) VFV № 13 CepreUNI 2011-I. Si A = {−2; −1; 0; 1; 2}, indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: p: ∀x ∈ A, ∃y ∈ A | xy = x. q: ∃x ∈ A | ∃y ∈ A | −1 < x + y ≤ 0. r: ∃x ∈ A | ∀y ∈ A : x(y − 2) > 0. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) FFF № 14 CepreUNI 2010-II. Sea U = {1; 2; 3; 4; 5; 7} y los subconjun- tos A = {1; 3; 5; 7}, B = {2; 4; 5; 7}. De- termine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ∀x ∈ A, ∃y ∈ B | x + y = 9 II. ∃M ⊂ A | ∃N ⊂ B | M N = ∅ III. ∃M ⊂ A | ∀N ⊂ B : M N = ∅ A) VVV B) FVF C) FFF D) FVV E) FFV Soluci´on: Rpt.- FVV № 15 CepreUNI 2010-I. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I. Si x2 = 16 entonces, x ≤ −4 ∨ x ≥ 4. II. ∀a, b ∈ R. Si ab > 0, entonces (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) es un axioma de los n´umeros reales. III. ∃x ∈ A | ∀y ∈ B; (x + y) ∈ A. A = {−2 : 0 : 1}, B = {−1; 1; 2} A) FFF B) VVF C) VFV D) VFF E) FVF Soluci´on: Rpt.- VFF № 16 CepreUNI 2009-II. Determine la veracidad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I. ∃x ∈ R+ | x < √ x. II. El conjunto A = {n ∈ R | nx+nx2 = n3 , ∀x ∈ R} es igual al conjunto ∅. III. ∀a, b ∈ R, −ab = (−a)b = a(−b) es un axioma. A) VFF B) FFV C) VVF D) VFV E) FFF Soluci´on: Rpt.- VFF 15
  16. 16. Cap´ıtulo 4 N ´UMEROS REALES № 1 CepreUNI 2019-II. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si x ∈ R y −2 < x < 4, entonces 4 < x2 < 16. II. Existe x ∈ R tal que √ x2 = −x. III. Si A = {x ∈ R | x3 > x} y B = −∞; 3] entonces A ∩ B es un inter- valo. A) VFV B) FVF C) FFF D) VVF E) FVV № 2 CepreUNI 2018-I. Indique el valor de verdad de las siguientes proporciones: I. ∀x ∈ R− , x + 1 x ≤ −2. II. Si x < 0 < y, entonces x2 − xy + y2 xy < 0. III. El conjunto A = 1 n | n ∈ N es un intervalo. A) VFF B) VVF C) VFV D) VVV E) FVF № 3 CepreUNI 2017-II. Sean a, b ∈ R. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si a < b, entonces a ≤ b. II. Si b < 0 < a, entonces a b < a b − a . III. La uni´on de intervalos es un interva- lo. A) FVF B) VVV C) FVV D) VVF E) FFF Soluci´on: Rpt.- VVF № 4 CepreUNI 2016-I. Hallar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. ∀a, b ∈ R, la operaci´on sobre R a∗b = 2a − b posee elemento neutro. II. 3,1415∈ (I Z). Z conjunto de los enteros, I el conjunto de los irracionales. III. Sean a, b ∈ R: Si a + b > 1 y a4 b < 0, entonces a · b > 0. A) VVV B) VFF C) VVF D) FVF E) FFF Soluci´on: Rpt.- FFF V´ıdeo soluci´on. № 5 CepreUNI 2015-II. Indique el valor de verdad de las proposi- ciones: I. Sean a, b ∈ R tal que a ≥ b, entonces a2 + 1 ≥ 2b. II. Sean a, b ∈ R tal que a > b, entonces a3 + a > a2 b + b. 16
  17. 17. III. Sean a, b ∈ R tal que a2 + b2 = 1, entonces ab ≤ 1. A) FFF B) VFV C) FVV D) VVV E) VVF Soluci´on: Rpt.- VVV V´ıdeo soluci´on. № 6 CepreUNI 2015-I. Sean a y b n´umeros reales tales que 1 a < 1 b < −1, indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. a2 > b3 . II. a2 < b2 . III. (a + 1)2 > (b + 1)2 . A) VVV B) VFV C) VFF D) FVV E) FVF Soluci´on: Rpt.- VVV № 7 CepreUNI 2015-I. ¿Cu´antas de las siguientes afirmaciones son axiomas de los n´umeros reales? I. ∀r, p ∈ R : r + p = p + r. II. Si 0 < x y z < w, entonces zx < wx. III. ∀x, y ∈ R : xy = 0 → (x = 0∨y = 0). IV. Si a < b y b ≤ c, entonces a < c. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Soluci´on: Rpt.- 2 № 8 CepreUNI 2014-II. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si a < b < 0, entonces a2 < b2 (a, b ∈ R). II. Si a < 0, b > 0, entonces a2 − ab < 0. III. Si a > 0, b < 0, entonces b + 1 a > 1 a . A) FVV B) FFF C) FFV D) VFF E) VVV Soluci´on: Rpt.- FFF № 9 CepreUNI 2014-I. Indique verdadero (V) o falso (F) seg´un corresponda. I. ∀a, b ∈ R− : b > a → − 1 b < − 1 a . II. ∀a > 0, ∀b ≥ 0 : (a + b)2 > a2 + b2 . III. ∃a ∈ R | ∀b ∈ R+ : a b − 1 = a. A) FVF B) FFV C) FVV D) VFF E) FFF Soluci´on: Rpt.-FFF № 10 CepreUNI 2013-II. Determine el mayor valor de k, tal que: ∀a, b ∈ R+ : a4 + b4 ≥ k si a + b = 1 A) 1 16 B) 1 8 C) 1 4 D) 1 2 E) 3 4 V´ıdeo soluci´on. Soluci´on: Rpt.- 1 8 № 11 CepreUNI 2013-I. Sean a, b ∈ R+ , se˜nale la secuencia correc- ta del valor de verdad, verdadero (V) o falso (F) de la siguientes afirmaciones: I. a b + b a ≥ 2. II. a2 + b2 ≥ ab + 1. III. Si a ≤ b, entonces a < b + 1. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) VFF Soluci´on: Rpt.- VFV № 12 CepreUNI 2013-I. Entre qu´e valores var´ıa “ k ” si se sabe que: x x − 1 > 3 y k = x x + 1 A) 0, 3 y 0, 5 B) 0, 4 y 0, 555 C) 0, 5 y 0, 55 D) 0, 55 y 0, 75 17
  18. 18. E) 0, 5 y 0, 6 Soluci´on: Rpt.- 0,5 y 0,6 № 13 CepreUNI 2012-II. Si m2 + 2n2 = 1 y 2p2 + q2 = 1 tal que m, n, p y q son n´umeros reales y diferen- tes, entonces x = mp + nq verifica: A) x > √ 2 B) x ≤ 1 √ 2 C) x > 2 D) 0 < x < 1 2 E) x ≤ − √ 2 V´ıdeo soluci´on. № 14 CepreUNI 2011-I. Si w > 0, m > n > 0 tal que t = w + m w + n , entonces t admite solo valores en el inter- valo: A) n m ; m n B) 1; m n C) 1; +∞ D) 1; m2 n2 E) n m ; 1 Soluci´on: Rpt.- 1; m n № 15 CepreUNI 2010-I. Determinar la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I. Si x2 = 16 entonces, x ≤ 4 ∨ x ≥ 4. II. ∀a, b ∈ R. Si ab > 0, entonces (a > 0 ∧ b > 0) ∨ (a < 0 ∧ b < 0) es un axioma de los n´umeros reales. III. ∃x ∈ A | ∀y ∈ B; (x + y) ∈ A. A = {−2, 0, 1}, B = {−1, 1, 2} A) FFF B) VVF C) VFV D) VFF E) FVF Soluci´on: Rpt.- VFF № 16 CepreUNI 2009-II. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de la siguientes afirmaciones: I. ∃x ∈ R+ | x < √ x. II. El conjunto A = {n ∈ R | nx+nx2 = n3 , ∀x ∈ R} es igual al conjunto ∅. III. ∀a, b ∈ R, −ab = (−a)b = a(−b) es un axioma. A) VFF B) FFV C) VVF D) VFV E) FFF Soluci´on: Rpt.- VFF № 17 CepreUNI 2008-II. Halle el valor de verdad de las siguientes proposiciones: p: ∃ ∈ R | x3 < √ x. q: Si a < b < 0, entonces (a+b)(a−b) < 0. r: ∀x ∈ A; ∀y ∈ A : y2 ≤ 4(x + 1), con- sidere A = {0, 1, 2}. A) VFV B) FFV C) VFF D) FFF E) VVF Soluci´on: Rpt.- VFV № 18 CepreUNI 2007-I. Para dos n´umeros reales a y b que cum- plen: a < 0 y a2 − ab − 1 < 0, se tiene las siguientes afirmaciones: I. a < 1 a − b . II. a > b + 1 a . III. a > ab − a + 1 a − 1 . ¿Cu´ales de estas afirmaciones son siempre ciertas? A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) Solo II y III Soluci´on: Rpt.- Solo II y III 18
  19. 19. Cap´ıtulo 5 ECUACIONES DE PRIMER GRADO № 1 CepreUNI 2019-II. Hallar la suma de las soluciones de la ecua- ci´on 1 x + 1 3 + 1 √ 2 = 1 x + 3 + √ 2 A) 3 + √ 2 B) − 3 − √ 2 C) 0 D) √ 3 + 2 E) 2 √ 3 Soluci´on: Rpt.- −3 − √ 2 № 2 CepreUNI 2011-I. Determine x, al resolver la ecuaci´on a + x 1 + a + c + b + x 1 + b + c = x − a 1 − a + c + x − b 1 − b + c sabiendo que c + 1 > a > b > 0. A) 1 − c B) 2c + 1 C) c − 1 D) − c − 1 E) 1 + c Soluci´on: Rpt.- 1 + c № 3 CepreUNI 2009-II. Si a = b, a = −b, halle el conjunto solu- ci´on de la ecuaci´on cuya variable es x x + a a − b + x − a a + b = x + b a + b + 2(x − b) a − b A) {2b} B) {2a} C) {3b} D) {3a} E) {4a} V´ıdeo soluci´on. № 4 CepreUNI 2008-II. Si abc = 0, ab + ac + bc = 1 y S es el conjunto soluci´on de la ecuaci´on en x: 1 a x − 1 bc + 1 b x − 1 ac + 1 c x + 1 ab = a−1 + b−1 c−1 Determine el valor de verdad de las si- guientes afirmaciones: I. S ⊂ 2; 5]. II. S ∩ 0; 3 = ∅. III. S {−1; 1; 3; 5} = S. A) VVV B) FVV C) VFV D) FVF E) FFV Soluci´on: Rpt.- FVV № 5 CepreUNI 2007-II. Halle el conjunto soluci´on de la ecuaci´on: 3 1 b − 4x a +7 2x a − 1 b −5 3x a + 2 b + 1 b = 0 ab = 0. A) {a} B) {b} C) − b a D) − a b E) 1 ab Soluci´on: Rpt.- − a b № 6 CepreUNI 2007-I. Halle el conjunto soluci´on de la siguiente ecuaci´on: (a + b)x a − b + ax a + b − a − b a + b = ax a − b + (a + b)2 a2 − b2 , donde a y b son constantes reales no nulas tal que a = ±b. A) {1} B) {2a} C) {2b} D) {2} E) {4} Soluci´on: Rpt.- 2 19

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