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Problemas2 (algunas soluciones)

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Problemas tipo admisión UNI, ECUACIONES CUADRÁTICAS, ECUACIONES BICUADRADAS, ECUACIONES RECÍPROCAS, INECUACIONES, ECUACIONES CON RADICALES, ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO, INECUACIONES CON RADICALES, INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO, INECUACIONES CON DOS VARIABLES

Publicado en: Educación
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Problemas2 (algunas soluciones)

  1. 1. ´Indice general 1. ECUACIONES CUADR´ATICAS 2 2. ECUACIONES BICUADRADAS 5 3. ECUACIONES REC´IPROCAS 7 4. INECUACIONES 8 5. ECUACIONES CON RADICALES 12 6. ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 13 7. INECUACIONES CON RADICALES 14 8. INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO 16 9. INECUACIONES CON DOS VARIABLES 17 NOTA: AL HACER CLICK DONDE EST´A ESCRITO “ V´ıdeo soluci´on ” TE LLEVAR´A A LA V´IDEO SOLUCI´ON ALOJADA EN YOUTUBE. 1
  2. 2. Cap´ıtulo 1 ECUACIONES CUADR´ATICAS № 2 CepreUNI 2020-I. En la ecuaci´on cuadr´atica x2 + (a + 2)x + 2a = 0 , calcule la suma de los valores de a, para que la diferencia de las ra´ıces sea 6. A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 Soluci´on: Factorizando por aspa simple la ecuaci´on tenemos (x + 2)(x + a) = 0 luego las ra´ıces son −a y −2, queremos que la diferencia de ra´ıces sea 6, entonces −a − (−2) = 6 ∨ −2 − (−a) = 6 a = −4 ∨ a = 8 luego la suma de los valores de a es 4. № 3 CepreUNI 2018-II. Respecto a la ecuaci´on cuadr´atica mx2 − 6x − 3m = 0 , m ∈ R+ Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Sus ra´ıces son reales. II. La suma de sus ra´ıces es positiva. III. Una ra´ız es positiva y la otra, nega- tiva. A) VVV B) VVF C) VFV D) FVV E) VFF № 4 CepreUNI 2018-I. Sean x1 y x2, ra´ıces de la ecuaci´on x2 + 3x + 1 = 0. Calcule el valor de T = (xx2 1 + xx1 2 ) (xx1 1 + xx2 2 ) A) 32 B) 21 C) 0 D) − 16 E) − 24 V´ıdeo soluci´on. № 5 CepreUNI 2015-II. Un comerciante compra un determinado n´umero de lapiceros por 180 soles y los vende todos menos 6 con una ganancia de 2 soles en cada lapicero. Sabiendo que con el dinero recaudado en la venta podr´ıa ha- ber comprado 30 lapiceros m´as que antes, determine el precio de cada lapicero (en soles). A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 № 6 CepreUNI 2015-I. La figura adjunta es la gr´afica de la par´abola: y = mx2 − (m + n)x − 2m − 4 . 2
  3. 3. Determine el conjunto de todos los va- lores reales que toma “ n ” A) 2; −∞ B) −∞; 2] C) −∞; −2 D) −∞; 2 E) R Soluci´on: Rpt.- −∞; 2 № 7 CepreUNI 2015-I. Sean x1 y x2 las ra´ıces de la ecuaci´on: ax2 + bx + c = 0 Calcule: (ax1 + b)(ax2 + b) (bx1 + c)(bx2 + c) A) b a B) − b a C) c a D) − c a E) a c Soluci´on: Rpt.- a c V´ıdeo soluci´on. № 8 CepreUNI 2014-II. Si x1 y x2 son las ra´ıces de la ecuaci´on 5x2 − 5x + 1 = 0 entonces, el valor de E = 1 x1 + 1 x2 es A) 5 B) 1 C) 1 5 D) − 1 5 E) − 5 Soluci´on: Rpt.- 5 № 9 CepreUNI 2014-I. Dada la ecuaci´on de segundo grado: x2 − 2x + 4m − m2 − 3 = 0 ¿cu´al es el conjunto de valores de m para que las ra´ıces sean positivas? A) ∅ B) R C) 2; 5 D) 3; 4 E) 1; 3 № 10 CepreUNI 2014-I. Dadas las ecuaciones cuadr´aticas: x2 − 5x + n = 0 x2 − 7x + 2n = 0 , n ∈ N . Si una de las ra´ıces de la segunda ecua- ci´on es el doble de una de las ra´ıces de la primera ecuaci´on, entonces, ¿cu´al es el producto de las 4 ra´ıces? A) 28 B) 36 C) 64 D) 72 E) 80 № 11 CepreUNI 2013-II. Para qu´e valores de n, la ecuaci´on x2 − nx + 7 = 0 tiene como ra´ıces a los n´ume- ros “ a ” y “ b ” que cumplen: 1 a + 1 b + a2 + b2 = 160 7 . Como respuesta calcule la suma de los va- lores de n. A) − 1 2 B) − 1 5 C) − 1 7 D) − 1 10 E) − 1 12 № 12 CepreUNI 2013-II. Determine los valores de “ m ” para que las ra´ıces de la ecuaci´on cuadr´atica x2 + mx − 2m + 2 = 0 sean mayores que 1 A) −∞; −3 − 2 √ 6 B) −∞; −4 − 2 √ 6 C) −∞; −5 − 2 √ 6 D) −∞; −6 − 2 √ 6 E) −∞; −2 √ 6 № 13 CepreUNI 2012-II. Si se sabe que la ecuaci´on cuadr´atica ax2 + 3x + 2 = 0 tiene 2 ra´ıces reales. Halle la suma de las inversas de dichas ra´ıces. A) − 3 2 B) − 1 2 C) 1 2 D) 1 E) 3 2 Soluci´on: Rpt.- − 3 2 № 14 CepreUNI 2011-II. Halle los valores de a para los cuales la ecuaci´on a2 x2 + (a + 1)x x2 + 2x + 2 = 1 no tenga ra´ıces. A) − 7 9 ; 0 B) − 1 2 ; 0 C) − 1 2 ; 2 D) − 7 9 ; 1 E) − 1 2 ; 1 Soluci´on: Rpt.- − 7 9 ; 1 3
  4. 4. № 15 CepreUNI 2010-I. Si m > n, x1 y x2 (x1 > x2) son las ra´ıces de la ecuaci´on 1 x + 1 m + 1 = 1 x + m + n + 2 − 1 n + 1 . Halle el valor de x2 + 1 x1 + 1 . A) mn B) n m C) 1 mn D) m n E) 1 + m n Soluci´on: Rpt.- m n V´ıdeo soluci´on. № 16 CepreUNI 2009-II. Dadas la ecuaciones con variable x, x2 + px + q = 0 (1.1) x2 − p2 x + pq = 0 (1.2) En las cuales, las ra´ıces de la segunda ecuaci´on son iguales a las de la primera ecuaci´on aumentada en 3. Halle los valores de p y q, en ese orden, que cumplen la condici´on indicada. A) 2; −3 B) − 2; 3 C) − 2; −3 D) 3; 2 E) 2; 3 Soluci´on: Rpt.- 2;3 № 17 Si las ecuaciones cuadr´aticas son equivalentes (tienen las misma soluciones) (−2a + 3)x2 + 9x + 6 = 0 3x2 + (2 − 5b)x − 2 = 0 . Determine el valor de ab A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 № 18 Admisi´on UNI 2004-I. ¿Qu´e cantidad es necesaria aumentar a las ra´ıces de la ecuaci´on a b − b a x2 + 2(a + b)x + a b + b a = 1 para que las cantidades resultantes sean iguales en magnitud pero de signos opues- tos. A) a − b ab B) ab a − b C) a + b ab D) ab a + b E) b − a ab Soluci´on: Rpt.- ab a − b № 19 En qu´e intervalo debe variar k de modo que una de sus ra´ıces de la ecuaci´on x2 − 4x − k = 0 se encuentre en el intervalo 2; 6 A) 2; 6 B) −4; 12 C) −6; −2 D) 6; 12 E) −4; 2 4
  5. 5. Cap´ıtulo 2 ECUACIONES BICUADRADAS № 2 CepreUNI 2020-I. En la ecuaci´on bicuadr´atica siguiente: (a + 13)x a 2 −3 + (b − a)x b 3 −1 + b = 0 se cumple que 3a − 2b > 12. Si x1, x2, x3, x4 son sus ra´ıces, halle el valor de T = x4 1 + x4 2 + x4 3 + x4 4 A) 9 B) 12 C) 14 D) 23 E) 41 Soluci´on: Rpt.- 14 № 3 CepreUNI 2019-II. Al resolver la ecuaci´on ax4 + bx2 + c = 0 donde a, b, c ∈ Z y son primos entre si, una de sus soluciones es 10 + √ 11 2 . Calcule el valor de T = a + b + c A) 9 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21 № 4 CepreUNI 2017-I. Si las ra´ıces de la ecuaci´on bicuadrada x4 − (a + 1)x2 + a = 0 est´an en progresi´on aritm´etica, halle el m´aximo valor de a. A) 5 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12 V´ıdeo soluci´on. № 5 CepreUNI 2016-I. Dada la ecuaci´on rec´ıproca y bicuadr´atica x4 + ax2 + b = 0, si una de sus ra´ıces es 1 + √ 2, halle el valor de P = a2 + b2 . A) 5 B) 17 C) 25 D) 37 E) 50 Soluci´on: Rpt.- 37 № 6 CepreUNI 2015-II. De la ecuaci´on x4 − (k − 5)x2 + 9 = 0, se sabe que el producto de tres de sus ra´ıces es 3. Halle el valor de k. A) 7 B) 9 C) 13 D) 15 E) 17 V´ıdeo soluci´on. № 7 CepreUNI 2015-I. Sean x1 y x2 las ra´ıces de la ecuaci´on bi- cuadrada x4 −(b−a)(x3 +1)+(x−1)3 −c(x+3)−7 = 0 . Calcule: 1 x2 1 + 1 x2 2 A) 6 B) 2 C) 1 2 D) 1 3 E) 0 № 8 CepreUNI 2014-I. Si el producto de las ra´ıces negativas de: 2x4 − (4m + 1)x2 + 2m = 0 es 2. ¿cu´al es la suma de las ra´ıces positi- vas? A) 3 2 √ 2 B) 2 √ 2 C) 5 2 √ 2 D) 3 √ 2 E) 5 √ 2 № 9 CepreUNI 2013-II. Si “ a ” es una ra´ız de la ecuaci´on bicua- drada x4 + x2 + 2 = 0 Calcule el valor de E = a6 + a2 A) 1 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 5
  6. 6. V´ıdeo soluci´on. № 10 CepreUNI 2013-I. Dada la ecuaci´on bicuadrada 3x4 + ax2 + 4 = 0. Se sabe que dos de sus ra´ıces son x1 = 2 y x2 = − 1 √ b , b > 1. Calcule el valor de S = a + b. A) − 10 B) − 8 C) − 6 D) − 4 E) − 2 № 11 CepreUNI 2011-II. Halle la suma de las ra´ıces positivas de la ecuaci´on bicuadrada x4 + (n2 + 2n − 3)x3 − (n2 + 32)x2 + (n2 + n − 6)x + (5n4 − 5) = 0 A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 9 Soluci´on: Rpt.- 9 6
  7. 7. Cap´ıtulo 3 ECUACIONES REC´IPROCAS № 2 CepreUNI 2019-II. Si 3x2 + (3k + 4)x + 5 − k = 0 tiene soluciones rec´ıprocas y 2x2 + (2p − 1)x − 36p = 0 tiene soluciones sim´etricas. Indique el me- nor n´umero entero que satisface la inecua- ci´on (k − 6p)x < −6 A) 3 B) 5 C) 7 D) 8 E) 1 Soluci´on: Rpt.- 5 № 3 CepreUNI 2018-II. Sea S = {x1; x2; x3; x4; x5} el conjunto so- luci´on de la ecuaci´on 2x5 − 7x4 + 6x3 − 6x2 + 7x − 2 = 0 tal que {x4; x5} ∩ R = ∅. Halle el valor de K = x4 + x5 x1x2x3 A) − 2 B) − 1 C) − 1 2 D) 1 E) 3 № 4 CepreUNI 2018-I. Dada la ecuaci´on rec´ıproca x4 +(a+1)x2 −ax3 −ax+1 = 0 , (a ∈ R) Halle los valores de “ a ” para que sus cuatro ra´ıces no sean reales. A) a ∈ −1; 3 B) a ∈ [−1; 1] C) a ∈ [−3; 1] D) a ∈ R+ E) a ∈ R −1; 3 № 5 CepreUNI 2017-II. Dada la ecuaci´on x4 + mx3 + 2x2 + mx + 1 = 0 ; m ∈ R halle los valores de “ m ” para que la ecua- ci´on rec´ıproca no tenga ra´ıces reales. A) R B) R+ C) R− D) −2 : 2 E) R −2; 2 7
  8. 8. Cap´ıtulo 4 INECUACIONES № 2 CepreUNI 2020-I. Si 3x+1 ∈ 4; 7 , determine el menor valor de k tal que x + 7 x − 3 < k A) − 7 B) − 6 C) − 5 D) − 4 E) − 3 Soluci´on: Rpt.- −3 № 3 CepreUNI 2020-I. Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposiciones: I. Si a ∈ 1; √ 2019 , entonces 0 < a2 ≤ 2019. II. ∀n ∈ N, ∃αn ∈ I tal que αn ∈ π − 1 n ; π + 1 n . III. Una cota superior del conjunto xy | x > 0, y > 0, x2 + 4y2 = 1 es 1 π . (I es el conjunto de los n´umeros irraciona- les) A) FFF B) FVF C) VVF D) VFF E) VVV Soluci´on: Rpt.- VVV № 4 CepreUNI 2019-II. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. N es denso en Q. II. Si a, b ∈ R y a < b, entonces a < a + b − a √ 3 < b III. Para todo a ∈ R, existe n ∈ N tal que a < n. A) VVV B) VVF C) FVF D) FVV E) VFV № 5 CepreUNI 2018-II. Determine el valor de verdad de las si- guientes afirmaciones: I. El conjunto soluci´on de 1 x > 1 es −∞; 1 . II. Existe x ∈ R∗ tal que x+ 1 x ∈ −2; 2 . III. Si ab < 0 y −13a > 0, entonces b a2 < b a(a − b) Considere R∗ = R {0} A) FFV B) VFF C) FFF D) VFV E) VVF № 6 CepreUNI 2018-II. Resuelva la inecuaci´on para x x a + 1 + x a − 1 < 2bx a2 − 1 + a2 − b2 a + 1 con a > 1 > b > 0 A) −∞; a + b 2 B) 0; ∞ 8
  9. 9. C) −∞; a − 1 2 D) −∞; (a + b)(a − 1) 2 E) (a + b)(a − 1) 2 ; ∞ № 7 CepreUNI 2018-II. Halle la suma de los valores enteros de m par que la inecuaci´on (x2 − mx + m)(x − 2)(x + 1) < 0 tenga como conjunto soluci´on al intervalo −1; 2 m = 4. A) 0 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 № 8 CepreUNI 2018-I. Si el conjunto soluci´on de la inecuaci´on de variable x 3x − 2 1 − a < 4x + 5 (a > 1) es − 3 7 , +∞ , el valor de “ a ” es A) 9 B) 7 C) 4 D) 3 E) 2 № 9 CepreUNI 2017-II. La inecuaci´on cuadr´atica mx2 −4x+n ≥ 0 tiene por conjunto soluci´on al intervalo [−1; p]. Si n es negativo, indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. mn < 0. II. m + n + p > 0. III. m + n + p < 0. A) VVF B) FVF C) FFV D) VFV E) VFF Soluci´on: Rpt.- FFV № 10 CepreUNI 2017-II. Determine el conjunto soluci´on “ S ” de la inecuaci´on −1 + x + 1 x x − 3 x − 4 > 0 Si S = a; b ∪ c; +∞ , halle bc + a A) 0 B) 6 C) 12 D) 24 E) 36 № 11 CepreUNI 2017-II. Respecto al conjunto T =    x ∈ N | 1 + √ x2 + 2x + 3 3 + √ 15 + 2x − x2 ≥ (x − 8)× ×(x4 + x3 + x2 + x + 1)    podemos afirmar que A) T es un intervalo B) T ⊂ 0; 5 C) T ⊂ 1; 6 D) cardinal de T es 4 E) T ⊂ 0; 6 № 12 CepreUNI 2017-I. Considere ∀x ∈ R , ax2 + bx − c > 0 Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. ∀x ∈ R, ax2 + bx + c < 0 II. a(c − 1) > 0 III. Existe m ∈ R, tal que la inecuaci´on ax2 +mx−1 ≤ 0 tiene como conjunto soluci´on a un conjunto unitario. A) VFV B) VFF C) FFF D) FFV E) FVF № 13 CepreUNI 2017-I. Al resolver la inecuaci´on (x − 3)21 (x2 − 2x + √ 7)29 (x2 − 5x + 6)27(x2 − 9) ≥ 0 se obtiene como conjunto soluci´on a a; b ∪ c; +∞ siendo a, b, c ∈ Z. Hallar a + b + c. A) 2 B) 4 C) 6 D) 8 E) 10 № 14 CepreUNI 2017-I. Resuelva la inecuaci´on √ −x2 + 6x − 8(x2 − 5x) x − 1 ≥ 0 9
  10. 10. e indique su conjunto soluci´on A) ∅ B) R C) [2; 4] D) {2; 4} E) 1; 7 № 15 CepreUNI 2016-I. Al resolver la inecuaci´on (x2 − 2016x − n)(x2 + x + 2017) < 0 se obtiene que su conjunto soluci´on es el intervalo m; 2015 . Halle el valor de T = m · n. A) − 2015 B) 2015 C) 2016 D) − 2016 E) 2017 Soluci´on: Rpt.- −2015 № 16 CepreUNI 2016-I. Al resolver la inecuaci´on (x − 2)a (x − 3)b (x − 4)c ≥ 0 se obtiene como soluci´on al conjunto −∞; 2] ∪ {3} ∪ 4; +∞ . Indique el m´ıni- mo valor de T = a + b + c, (a, b, c ∈ N). A) 3 B) 4 C) 6 D) 7 E) 10 Soluci´on: Rpt.- 4 № 17 CepreUNI 2015-II. Dados los conjuntos A = {a ∈ R | ∀x ∈ R, x2 + ax + a > 0}, B = {b ∈ R | ∀x ∈ R, bx2 − x + b < 0} Calcule M = (A ∪ B)C . A) −∞; − 1 2 ∪ [4; +∞ B) − 1 2 ; 0 ∪ [4; +∞ C) −∞; 0] ∪ [4; +∞ D) − 1 2 ; 0 ∪ [3; +∞ E) 0; 1 2 ∪ [4; +∞ Soluci´on: Rpt.- − 1 2 ; 0 ∪ [4; +∞ № 18 CepreUNI 2015-I. Si el conjunto soluci´on de la inecuaci´on: (4x2 − 12x + 5)7 ≤ 0 es [a; b]. Halle a + b A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 № 19 CepreUNI 2014-II. Un padre dispone de 320 nuevos soles para ir a un partido de f´utbol con sus hijos. Si compra entradas de 50 soles, le falta dine- ro, si compra entradas de 40 soles, le sobre dinero. ¿Cu´antos hijos tiene el padre? A) 5 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10 Soluci´on: Rpt.- 6 № 20 CepreUNI 2014-II. Halle el m´aximo valor que puede alcanzar la variable “ x ” tal que verifique: (x − 1)10 (x − 2)13 (x2 + x + 1) ≤ 0 A) − 2 B) − 1 C) 0 D) 1 E) 2 Soluci´on: Rpt.- 2 № 21 CepreUNI 2014-II. Si el conjunto soluci´on de la inecuaci´on x2 + bx + a > 0 (ab = 0) es C.S. = −∞; a ∪ b; +∞ , entonces el valor de a + b es A) − 1 B) 0 C) 1 D) 2 E) 3 № 22 CepreUNI 2014-II. Sea S e conjunto soluci´on de la inecuaci´on cuadr´atica mx2 + (7 + m)x − 8 + m ≥ 0 . Considere que S es un conjunto unitario, precise el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I) m ∈ [−1; 0] II) m = −1 III) S ∩ {m + 1} = ∅ 10
  11. 11. A) VVV B) VVF C) FFV D) FFF E) VFF № 23 CepreUNI 2014-I. Sea S el conjunto soluci´on de la inecua- ci´on: (1 − x)51 (x + 3)2 (x2 + x + 3)2 ≥ 0 , determine S ∩ [−5; +∞ A) −6; 1 B) [−6; 1] C) [−5; 1 D) [−5; 1] E) −5; 1 № 24 CepreUNI 2013-II. Si kx2 − 2x + (2k − 1) ≤ 0 tiene soluci´on ´unica. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. k ∈ [−1; 1] II. k = 1 III. {k} ∩ Z = ∅ A) VVF B) VVV C) FFF D) VFF E) FVF № 25 CepreUNI 2012-I. Determine la condici´on que debe satisfa- cer “ c ” para que se cumpla: ∀x ∈ R : c ab +(4b−b2 )x+(2a−a2 −6)x2 < 0 y que los coeficientes de los t´erminos cuadr´aticos y lineal respectivamente sean los mayores posibles. A) c > −1, 6 B) c < −1, 6 C) c > 1, 6 D) c < −3 E) c ≤ −2 Soluci´on: Rpt.- c < −1, 6 № 26 CepreUNI 2011-II. Determine la suma de los enteros mayores que −3, que sean soluci´on de la inecuaci´on (x − 1)2 (x + 1)3 (x2 + 1)3 ≤ 0 A) − 3 B) − 2 C) − 1 D) 0 E) 1 Soluci´on: Rpt.- −2 11
  12. 12. Cap´ıtulo 5 ECUACIONES CON RADICALES № 2 CepreUNI 2018-II. Dado el conjunto P = {L ∈ R | L = √ 8 − x + √ x − 4; 4 ≤ x ≤ 8} Indique el n´umero de elementos del con- junto P ∩ N. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 № 3 CepreUNI 2018-I. Indique el n´umero de soluciones reales que tiene la ecuaci´on x2 − (x − 1)3 − √ x − 1 + 2(1 − x) = 0 A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 № 4 CepreUNI 2012-II. Indique la mayor soluci´on de la ecuaci´on (x + 3)2 + 2 x2 + 2x − 3 = 4x + 27 A) − 1 + 3 √ 2 B) − 1 + √ 13 C) − 1 − √ 13 D) 2 E) 1 + 3 √ 2 № 5 CepreUNI 2012-I. Sea el conjunto A = {x ∈ R | 1 + 1 − x4 − x2 = x} . Determine el valor de verdad de los enun- ciados siguientes: I. n(A) = 2 II. ∃x ∈ A | x > 1 III. A = ∅ A) FFF B) VVF C) VVV D) FVF E) VFF № 6 CepreUNI 2011-II. Sea A = {x ∈ R | √ 2x + 3 + √ 5x − 1 − √ 7x + 1 = 1} determine el valor de verdad de las si- guientes afirmaciones: I. n(A) = 2, n(A) n´umero de elementos de A. II. ∃x ∈ A | x > 1 III. ∃x ∈ S | x ∈ 0; 1 A) FVV B) VFV C) FFV D) FFF E) VVV Soluci´on: Rpt.- FFV № 7 Admisi´on UNI 1996-II. Calcule la soluci´on de la ecuaci´on 1 11 − 2 √ x = 3 7 − 2 √ 10 + 4 8 + 4 √ 3 A) 30 B) 5 C) 20 D) 13 E) 10 Soluci´on: Rpt.- 30 № 8 Admisi´on UNI 2001-II. Si A es el conjunto soluci´on de la ecuaci´on 2x2 + 2x − 3 x2 + x + 3 = 3 entonces la suma de los elementos de A es A) − 3 B) − 1 C) 1 D) 3 E) 4 12
  13. 13. Soluci´on: Rpt.- −1 № 9 Admisi´on UNI 2003-I. El n´umero de ra´ıces de la ecuaci´on 1 − 9x2 = 2x 1 − 9x2 es igual a A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 Soluci´on: Rpt.- 2 13
  14. 14. Cap´ıtulo 6 ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO № 2 CepreUNI 2017-I. Halle la suma de los valores enteros que satisface la inecuaci´on. |x − 2| + 2x ≤ √ −x A) − 3 B) − 10 C) − 12 D) − 5 E) − 7 № 3 CepreUNI 2015-II. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si x, y ∈ R y |x + y| + |y| = |x|, en- tonces xy ≤ 0. II. Existe x ∈ R tal que √ x2 = −x. III. Si x ∈ R y x2 + 3x = 4|x|, entonces x ∈ {1; 3}. A) FFF B) FVV C) FVF D) VVF E) VVV № 4 CepreUNI 2009-II. Sea S el conjunto soluci´on de la ecuaci´on 3|x + 1| − 2|x − 2| = 2x − 1. Determine la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes proposiciones: I. ∃x1 ∈ S; ∃x2 ∈ S | 4x1 + x2 = 0. II. ∀x ∈ S; x3 ≥ 0. III. S ⊂ {x ∈ R | x2 + 2x = 0}. A) VVV B) FFV C) VFV D) VFF E) VVF Soluci´on: Rpt.- VFF 14
  15. 15. Cap´ıtulo 7 INECUACIONES CON RADICALES № 2 CepreUNI 2020-I. Determine el valor de verdad de la siguien- tes proposiciones: I. El conjunto A = x ∈ R | 1 x2 > 0 es un intervalo. II. ∃x ∈ R | √ x2 = −x. III. El cardinal del conjunto x ∈ R | √ x − 2 + √ 6 − x = 2 es 2. A) FVV B) FFF C) VVF D) VFV E) FVF Soluci´on: Rpt.- FVV № 3 CepreUNI 2020-I. Sea S el conjunto soluci´on de √ 5x − 4 − x2(x2 − 3x) (x + 1)(x2 + πx + 3) ≥ 0 Indique el conjunto S ∩ Z. A) {3; 4} B) {1; 2; 3} C) {1} D) {1; 3; 4} E) {1; 2; 3; 4} Soluci´on: Rpt.- {1; 3; 4} № 4 CepreUNI 2019-II. Determine el conjunto soluci´on de la inecuaci´on √ x − 2(x4 + x3 + x2 + x + 1) (x − 3)7(x + 1)9 ≤ 0 A) [2; 3 B) [2; 4 C) [2; 5 D) [2; 6 E) [2; 7 № 5 CepreUNI 2018-I. Sean a, b ∈ R tales que a < 0 < b. Indique el conjunto soluci´on de (3x2 + x + 2) √ x − 1(x − 8)2017 ab(x − 4)3(x − 5)2 ≥ 0 A) [4; 5 ∪ [8; +∞ B) 4; 8] {5} C) 4; 8] D) ∅ E) {1} ∪ 4; 5 ∪ 5; 8] № 6 CepreUNI 2017-II. Determine el conjunto soluci´on de √ 1 − x + √ 1 + x ≥ √ x A) 0; +∞ B) [0; 1] C) 0; 1 2 D) ∅ E) R № 7 CepreUNI 2017-I. Resuelva la inecuaci´on √ −x2 + 6x − 8(x2 − 5x) x − 1 ≥ 0 e indique su conjunto soluci´on. A) ∅ B) R C) [2; 4] D) {2; 4} E) 1; 7 № 8 CepreUNI 2016-I. Resuelva la inecuaci´on (x + 4) √ x − 1 x √ x − 1 ≥ x − 2 15
  16. 16. e indique la suma de los cuadrado de las soluciones enteras. A) 14 B) 24 C) 29 D) 50 E) 77 Soluci´on: Rpt.- 29 № 9 CepreUNI 2015-II. Si S es el conjunto soluci´on de la inecua- ci´on x2 + √ 4 − x2 − 1 x2 − 1 ≥ 1 Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. S ∩ N = {2} II. S ⊂ [−2; 2] III. S ∩ [−1; 1] = ∅ A) VVF B) VFV C) VVV D) FVV E) VFF № 10 CepreUNI 2014-I. Sea S el conjunto soluci´on de la inecua- ci´on: √ −x − 1 ≥ x . Podemos afirmar. A) S = ∅ B) S ⊂ −∞; −3] C) S ∩ −1; 0 = ∅ D) Sc ⊂ 0; +∞ E) S ⊂ −∞; −1] Soluci´on: Rpt.- −∞, −1] № 11 CepreUNI 2013-II. Si A es el conjunto soluci´on de la inecua- ci´on √ 2 − x − √ −x < − √ 2 − x determine el cardinal (n´umero de elemen- tos del conjunto) de A ∩ Z ∩ [−5; 2]. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 № 12 CepreUNI 2012-I. Sean los conjuntos T = {x ∈ R | √ −x ≥ x} S = {x ∈ R | √ x ≥ −x} Indicar el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. T ∩ S = {0} II. T ⊂ Sc III. T ∪ S = R A) VVV B) VVF C) VFV D) VFF E) FFV 16
  17. 17. Cap´ıtulo 8 INECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO № 2 Sea la inecuaci´on: |2x + 3| − |x − 8| |2x − 1| − |7x − 8| ≥ 0 determine uno de los intervalos del con- junto soluci´on. A) 1 5 ; 7 5 B) 3 5 ; 11 3 C) −6; 5 D) −9; 10] E) [−11; 1 Soluci´on: Rpt.- [−11; 1 № 3 Resolviendo la inecuaci´on: (|x − 1| − 4)(|x| − |2x + 1|) |x| + x2 + 2 ≤ 0 tenemos que el conjunto soluci´on de esta inecuaci´on es S = −∞; a] ∪ [b; c] ∪ [d; +∞ determine a + 9b + c + d A) 0 B) 2 C) 4 D) 6 E) 8 Soluci´on: Rpt.- 6 № 4 CepreUNI 2012-II. Cu´antas soluciones enteras tiene la inecua- ci´on ||x| − 1| < 2 A) 3 B) 44 C) 5 D) 6 E) 8 № 5 CepreUNI 2012-II. Dados a, b, c ∈ R, indique el valor de ver- dad de las siguientes afirmaciones I. Si a = 0, entonces A = {x ∈ R | |ax + b| > c} = ∅. II. Si a = 0 y c < 0, entonces B = {x ∈ R | |ax + b| > c} = R. III. Si a = 0 y c > 0, entonces C = {x ∈ R | |ax+b| < c} = −c − b a ; c − b a A) FVF B) VVF C) VFF D) VFV E) FVV № 6 CepreUNI 2012-I. Dada la inecuaci´on: ||x2 − 3x + 2| − x2 + 2x − 10| ≤ 2 √ −x cuyo conjunto soluci´on es A. Determine el valor de verdad de las siguientes proposi- ciones: I. A ∩ [4; 10] = ∅ II. A ∪ [−16; 0] = A III. Ac ∩ [−1; 2] = [−1; 2] A) VVV B) FVV C) FFF D) VFV E) VFF № 7 CepreUNI 2009-II. Si T es el conjunto soluci´on de la inecua- ci´on x 2 + 4x2 − 12x + 9 < 3 x 2 + 2 (x − 2) |x − 2| 17
  18. 18. Halle la suma de los elementos enteros del conjunto T. A) 30 B) 33 C) 39 D) 42 E) 52 Soluci´on: Rpt.- 33 18
  19. 19. Cap´ıtulo 9 INECUACIONES CON DOS VARIABLES № 2 CepreUNI 2017-I. Sea D el conjunto soluci´on del sistema    (x − 1)(y − 2) ≤ 0 |x| ≤ 2 y2 ≤ 3 halle el ´area (en u2 ) de la regi´on D. A) 3 B) 5 C) 6 D) 8 E) 10 № 3 CepreUNI 2016-I. Graficar el conjunto A = {(x, y) ∈ R2 | |x| − y ≤ 1} A) B) C) D) E) Soluci´on: Clave (E) № 4 CepreUNI 2016-I. Indique el valor de verdad de las siguientes afirmaciones: I. Si x, y ∈ R y |x + y| < |x − y|, enton- ces xy < 0. II. Si a ∈ R es soluci´on de la inecuaci´on |x − 1| < 2, entonces a ≤ 3. III. Si x + |x| ≤ 0, entonces x ≤ 0. A) FFF B) FVV C) FVF D) VFV E) VVV Soluci´on: Rpt.- VVV 19

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