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Problemas3

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Problemas tipo admisión UNI, FUNCIONES, OPERADORES, POLINOMIOS, HORNER, TEOREMA DEL RESTO

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  1. 1. ´Indice general 1. FUNCIONES 2 2. OPERADORES 9 3. POLINOMIOS 10 4. HORNER 12 5. TEOREMA DEL RESTO 13 NOTA: AL HACER CLICK DONDE EST´A ESCRITO “ V´ıdeo soluci´on ” TE LLEVAR´A A LA V´IDEO SOLUCI´ON ALOJADA EN YOUTUBE. 1
  2. 2. Cap´ıtulo 1 FUNCIONES № 1 CepreUNI 2019-II. Dada la funci´on f(x) =    4 − x2 ; |x| < 1 3 |x| ; |x| ≥ 1 Indique la alternativa correcta. A) f es impar. B) f es creciente en R+ C) f es decreciente en R. D) f(x) = 1 tiene dos soluciones. E) f(x) = x tiene dos soluciones. № 2 CepreUNI 2019-II. Dada las funciones f = {(1; −1), (2; −2), (−1; 0), (9; 2)} y g(x) = x2 ; x < 1√ x ; x ≥ 1 Calcule la suma de los elementos del rango de g ◦ (2f). A) 14 B) 16 C) 20 D) 21 E) 22 № 3 CepreUNI 2019-II. Dadas las siguientes proposiciones, indique su res- pectivo valor de verdad. I. Sean las funciones f : A → B y g : B → C. Si g ◦ f es suryectiva, entonces g es suryectiva. II. Si f es creciente, entonces la funci´on g tal que g(x) = −f(2 − x) es decreciente. III. Si f es acotada e invertible, entonces su in- versa f∗ , tambi´en es acotada. A) FVV B) VFV C) VVF D) VFF E) FFF № 4 CepreUNI 2019-I. Sea T = Z ∩ R, donde Z es el conjunto de los enteros y R es el rango de la funci´on f(x) = x2 + 2 x + 1 , 1 ≤ x < 2 calcule el cardinal del conjunto T. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 № 5 CepreUNI 2019-I. Dada la funci´on f(x) = x2 − 2x + 4, x ≥ 1. Deter- mine la funci´on f∗ (inversa de f) A) f∗ (x) = −1 + √ 3 − x , x ≤ 3 B) f∗ (x) = 1 − √ x − 3 , x ≥ 3 C) f∗ (x) = 3 + √ x − 1 , x ≥ 1 D) f∗ (x) = 1 + √ x − 3 , x ≥ 3 E) f∗ (x) = −1 − √ x − 3 , x ≥ 3 № 6 CepreUNI 2019-I. Dadas las funciones f = {(−1; 3), (0; 2), (2; 2), (4; 0)} g = {(−1; 2), (0; 1), (2; 3), (4; 4)} Calcule la suma de los elementos del rango de f ◦g∗ A) − 3 B) 0 C) 5 D) 7 E) 13 № 7 CepreUNI 2019-I. Sea f la funci´on definida por f(x) = 8 x2 + 2x + 9 , x ≥ −1 Si el rango de f es a; b], indique el valor de T = a + 3b A) − 4 B) − 2 C) 1 D) 3 E) 5 № 8 CepreUNI 2019-I. Sea f la funci´on definida por f(x) = x2 − 3 ; x ∈ Q −x + 3 ; x ∈ Qc A partir de esta funci´on identifique la alternativa verdadera. 2
  3. 3. A) ∃x ∈ Q | f(x) = 2. B) Si 1 < x < 3, entonces |f(x) − 1| < 5|x − 2|. C) f est´a acotada. D) ∃x ∈ Qc | f(x) = x. E) La ecuaci´on f(x) = 0 tiene soluci´on. № 9 CepreUNI 2019-I. Sea f : A → B y g : B → C dos funciones. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si B ⊂ R+ y f es decreciente, entonces 1 f es creciente. II. Si g ◦ f y es suryectiva, entonces g es suryec- tiva. III. Si g◦f y g es cotada, entonces g◦f es acotada. A) VVV B) FVV C) FFV D) FVF E) FFF № 10 Dada la funci´on f(x) = x2 − nx + 1 x2 + x + 1 +2 con Domf = R, determine todos los valores de n ∈ R de tal manera que se cumpla Ranf ⊂ [2; 5 . A) ∅ B) R C) [−2; 2] D) −7; 1 E) [−2; 1 V´ıdeo soluci´on. № 11 CepreUNI 2018-I. Sea f la funci´on definida por f(x) = |x| + xsgn(1 − x), x ∈ R Si el rango de f es el intervalo [n; m , determine T = m − n. A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 V´ıdeo soluci´on. № 12 CepreUNI 2018-I. Dadas las funciones f = {(0; 0), (1; 0), (2; 1), (3; 2), (4; 3)} y g : −2; 2 → R dada por g(x) = √ x + 2. Si (g2 + f)(α) = 3, halle 2α + 3. A) 1 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 V´ıdeo soluci´on. № 13 CepreUNI 2018-I. Dadas las funciones f(x) = √ x − 2 + x2 − 4x g(x) = ax + 3, a = 0 Indique el valor de verdad de las siguientes propo- siciones: I. f es inyectiva. II. f ◦ g es decreciente, si a < 0. III. Existe un ´unico α ∈ R+ tal que f(α) = α A) VFV B) FVF C) VVF D) VVV E) FFF V´ıdeo soluci´on. № 14 CepreUNI 2018-I. Dadas las funciones g = {(1; 2), (2; 5), (4; 0)} f(x) = √ x − 2 + 1 Calcule la suma de los elementos del dominio de f∗ ◦ g. A) 7 B) 5 C) 3 D) 2 E) 1 № 15 CepreUNI 2018-I. Dada la gr´afica de la funci´on f Se˜nale la gr´afica que mejor se aproxima a g(x) = f(|x| + 2). A) 3 _ 3_ B) 3 _ 3_ C) 3 _ 3_ D) 3_ 3_ E) № 16 CepreUNI 2017-II. Dado X = {1, 2, 3}, se define el conjunto P = {f : X → X | f es biyectiva } Siendo la composici´on de funciones una operaci´on binaria en P. Si f, g ∈ P tal que f(1) = 2 , f(2) = 3 , f(3) = 1 g(1) = 1 , g(2) = 3 , g(3) = 2 Indique el valor de verdad de las siguientes propo- siciones 3
  4. 4. I. “ ◦ ” es asociativa. II. “ ◦ ” es conmutativa. III. g ◦ g = f ◦ f ◦ f. IV. Existe f ∈ P, f = I tal que f ◦ f = I A) VFFF B) FVFV C) FVVF D) VFVV E) VVFV № 17 CepreUNI 2017-II. Siendo f, g funciones reales, indique el valor de ver- dad del as siguientes proposiciones: I. Si f2 es inyectiva, entonces f es inyectiva. II. Si f es acotada (e invertible), entonces f∗ es acotada. III. Si f ◦ g∗ (x) = 3x, entonces g(x) = 1 3 f(x) (g biyectiva). A) VFV B) FFV C) VFF D) FVV E) VVF № 18 CepreUNI 2017-II. Sea f una funci´on definida por f(x) = x2 + 3x + 2 x + 1 , x ∈ [−2; −1 ∪ −1; 0]. Indique la gr´afica de la fun- ci´on g(x) = f(|x|) A) B) C) D) E) № 19 CepreUNI 2017-I. Sea f : 1; 3] → 1; 2 ∪ [4; 6 ∪ {9} la funci´on defi- nida por f(x) = x x para todo x ∈ 1; 3] . Determine T = f∗ (9) + f∗ (5) + f∗ 3 2 A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 № 20 CepreUNI 2017-I. Dada la funci´on f : N → Z definida por f(x) =    x 2 , si x es par 1 − x 2 , si x es impar Indique el valor de verdad de las siguientes propo- siciones: I. f es una funci´on inyectiva. II. f no es una funci´on sobreyectiva. III. f es una funci´on biyectiva. A) VVF B) VFV C) FVV D) FVF E) VFF № 21 CepreUNI 2015-II. Halle la inversa de la funci´on f definida por f(x) = x2 − 4x + 7 , x ∈ [−4, 0] A) f∗ (x) = 2 + √ x − 3, x ∈ [7, 39] B) f∗ (x) = 2 + √ x − 3, x ∈ [3, 7] C) f∗ (x) = 2 + √ x + 3, x ∈ [7, 39] D) f∗ (x) = 2 − √ x − 3, x ∈ [3, 7] E) f∗ (x) = 2 − √ x − 3, x ∈ [7, 39] № 22 CepreUNI 2015-II. Si f = {(2, 4), (3, −3), (5, 2), (7, 0)} y ∀x ≥ 2, g(x) = √ x − 2. Indique el valor de ver- dad de las siguientes proposiciones: I. Dom(g ◦ f) = {2, 5}. II. g ◦ f es creciente. III. f ◦ f es un conjunto unitario. A) VFV B) VVF C) VVV D) VFF E) FVV № 23 CepreUNI 2015-II. Sea f una funci´on creciente en [−2, 2] y g la fun- ci´on definida por g(x) = f(2 − x). Dada las siguientes proposiciones: I. Dom(g) = [−2, 2]. II. −g es una funci´on decreciente. III. g es una funci´on decreciente. 4
  5. 5. Indique cu´al o cu´ales son verdaderas. A) Solo I B) Solo II C) Solo III D) I y III E) I, II y III № 24 Sea f y g funciones, determine el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. Si g ◦ f es sobreyectiva, entonces g es sobre- yectiva. II. Si g ◦ f es inyectiva y f es sobreyectiva en- tonces g es inyectiva. III. Si f, g son inyectivas, entonces g ◦ f es inyec- tiva. A) VFF B) FFF C) VVV D) VVF E) FFV № 25 CepreUNI 2015-I. Sea f : [a, b] → [−3, 1] la funci´on definida por f(x) = 3 √ 1 − x. Si f es biyectiva, entonces el valor de a + b es A) 24 B) 25 C) 26 D) 27 E) 28 № 26 CepreUNI 2015-I. Dadas las funciones f, g : R → R. Indique el valor de verdad de cada una de las siguientes proposi- ciones: I. Si (f +g) es acotada, entonces (f −g) es aco- tada. II. Si f y g son crecientes, entonces (f + g) es creciente. III. Si f y g son biyectivas, entonces (f + g) es biyectiva. A) VVV B) VVF C) FVF D) FFV E) FFF № 27 CepreUNI 2015-I. Sea f la funci´on definida por: f(x) = x + |x| , x ∈ R . En cada una de las siguientes proposiciones indi- que si es verdadero (V) o falso (F). I. Existe la funci´on inversa f∗ de f. II. f(x) ≥ 0, ∀x ∈ R. III. f es acotada. A) VVF B) VVV C) FVV D) FFF E) FVF № 28 CepreUNI 2015-I. Dada la funci´on f(x) = −5 + ax bx + 4 . Si se tiene que Dom(f∗ ) = R {−1} y adem´as f = f∗ . Halle M = f∗ (0) · f(1). A) − 63 19 B) − 45 32 C) 32 45 D) 45 32 E) 45 37 № 29 CepreUNI 2015-I. Si f es una funci´on inyectiva definida por f = {(x, x2 − 2x) | x ∈ −∞, a − 3]} , entonces el m´aximo valor de a es A) 7 B) 5 C) 4 D) 1 E) 0 № 30 CepreUNI 2014-II. El dominio de f y g es el conjunto de los n´umeros reales R, f(x) = x + 2 y (f ◦ g)(x) = 2x2 + 1. Si h(x) = √ x, determine el dominio de h ◦ g. A) − √ 2 2 ; √ 2 2 B) − 1 2 ; 1 2 C) −2; 1 2 ∪ 1 2 ; +∞ D) √ 2 2 ; +∞ E) −∞; √ 2 2 ∪ √ 2 2 ; +∞ № 31 CepreUNI 2014-II. Determine el valor de verdad de las afirmaciones I. Toda funci´on impar es inyectiva. II. La funci´on f definida por f(x) = x|x| + 1 x sen(x2 ) es par. III. Si la funci´on f : [−4; −1] → [a; 14] tal que f(x) = x2 + b es inyectiva, entonces a + b = −3. A) FVF B) FFF C) VFV D) FVV E) FFV № 32 CepreUNI 2014-II. Indique el valor de verdad de cada una de las si- guientes afirmaciones 5
  6. 6. I. Sean f, g : R → R, si f +g es acotada, enton- ces f y g son acotadas. II. Sea f : R → R, si f2 es acotada, entonces f es acotada. III. Si f : R → R es inyectiva, entonces f es cre- ciente o decreciente. A) FFV B) FFF C) FVF D) VVF E) VFV № 33 CepreUNI 2014-II. Determine el rango de la funci´on f(x) = x + 3 √ x , x ∈ 1; 8 A) −1; +∞ B) 1; +∞ C) 2; 10 D) [1; +∞ E) 8; +∞ № 34 CepreUNI 2014-II. En la figura adjunta se muestra la gr´afica de la funci´on f, definida por f(x) = b − 2 √ a − x con a > b > 0. Determine a + b A) − 2 B) 1 C) 3 D) 4 E) 0 № 35 Concurso Nacional Escolar 2013. Sea la funci´on f = 2x − 1; x 3 + 4 ∈ R2 | x ∈ 1; 2] Halle su regla de correspondencia y su dominio A) f(x) = 1 6 (x + 25), x ∈ 1; 2] B) f(x) = (2x − 1), x 1; 2] C) f(x) = 1 6 (x + 25), x ∈ 1; 3] D) f(x) = (2x − 1), x ∈ 1; 3] E) f(x) = 1 3 (x + 25), x ∈ 1; 3] № 36 CepreUNI 2010-II. Determine la funci´on inversa de f : [1; 4] → R con regla de correspondencia f(x) = x2 − 2x − 6|x − 1| + 9. A) f∗ (x) = 1 − √ x + 1; x ∈ [0; 9] B) f∗ (x) = 4 + √ x + 1; x ∈ [−1; 8] C) f∗ (x) = 6x − √ x + 1; x ∈ [0; 9] D) f∗ (x) = −4 + √ x + 1; x ∈ [−1; 8] E) f∗ (x) = 4 − √ x + 1; x ∈ [−1; 8] V´ıdeo soluci´on. № 37 CepreUNI 2008-I. Indique el valor de verdad de las siguientes propo- siciones: I. Sea X = Domf M = {f : X → R | f es una funci´on acotada }. Si g, h ∈ M entonces g + h ∈ M y g h ∈ M. II. Si f es una funci´on biyectiva entoncs |f| es tambi´en una funci´on biyectiva. III. Si f : Domf → Ranf es una funci´on biyecti- va entonces Dom(f∗ ◦ f) = Dom(f). Nota: f∗ es la funci´on inversa de f. A) VFV B) FFV C) FVV D) FVF E) VFF № 38 CepreUNI 2008-I. Sea f : Domf → R una funci´on definida por f(x) = mx + 4 3x − n que cumple: a) Domf∗ = R {4}. b) f = f∗ . Determine E = 1 2 (m + n). A) 10 B) 11 C) 12 D) 14 E) 24 № 39 CepreUNI 2006-I. Sea A = {x ∈ Z | x2 < 25} y f : A → R cuya regla de correspondencia es: f(x) = (x − 1)2 , x ∈ A se tiene que: I. ∃x ∈ A | f(x) = 36 II. f[2 + f(0)] = 4 III. f(x + 8) = f(x − 8) 6
  7. 7. Indique cu´al(es) de los enunciados dados son co- rrectos. A) Solo II y III B) Solo II C) Solo III D) Solo I y III E) I, II y III № 40 CepreUNI 2006-I. Determine el rango de la funci´on f tal que: f(x) = x − 1 |x − 1| (x2 + 2|x − 1|) A) 2, ∞ B) −∞, −1 C) R [−1, 1] D) R −1, 1 E) −1, 2 V´ıdeo soluci´on. № 41 CepreUNI 2006-I. Sea f una funci´on creciente en su dominio; x ∈ [−2, 2] y sea g una funci´on definida por g(x) = f(2 − x). Se proponen los siguientes enunciados: I. El dominio de g es [−2, 2] II. −g es una funci´on decreciente. III. g es una funci´on decreciente. Entonces son verdaderos: A) Solo I B) Solo I y III C) Solo III D) Solo II E) I, II y III № 42 CepreUNI 2006-I. Sean las funciones f y g definidas por: f = {(−1, 1), (1, 2), (π, 0), (4, −1)} g(x) = x − 1 , x ∈ −3, 3 . Halle: f2 − f · g A) {(−1, 2), (1, 4)} B) {(1, 0), (−1, 4)} C) {(−1, 3), (1, 0)} D) {(−1, 3), (1, 4)} E) {(−1, 2), (0, 4)} № 43 CepreUNI 2006-I. Dadas las funciones f y g definidas por: f = {(1, 2), (2, 3)(3, 5)(4, 7)} g = {(0, 3), (1, 2), (2, 1), (3, 4)} Determine la suma de los elementos del rango de la funci´on h tal que: h = (f ◦ g) + (g ◦ f) A) 2 B) 4 C) 7 D) 8 E) 10 № 44 CepreUNI 2005-II. Se define la siguiente funci´on: f(x) = x2 − 4x + 3 , x > 4 . Determine la funci´on inversa f∗ . A) f∗ (x) = √ x − 1 − 2 B) f∗ (x) = √ x + 1 + 2 C) f∗ (x) = √ x − 1 + 2 D) f∗ (x) = − √ x + 1 + 2 E) f∗ (x) = − √ x + 1 − 2 № 45 CepreUNI 2005-II. Si f y g son dos funciones tales que g(x) = x3 + 1 y f(g(x)) = x3 + x + 1 entonces g(f(2)) es: A) 13 B) 28 C) 30 D) 40 E) 25 № 46 CepreUNI 2005-II. Si f es una funci´on definida por f(x) = 8 x2 − 2x + 3 − 3 , ∀x ∈ R . Entonces el menor valor de K tal que |f(x)| ≤ K, ∀x ∈ Domf es: A) 1 3 B) 1 2 C) 2 D) 3 E) 4 № 47 CepreUNI 2005-II. Dadas la funciones f y g definidas por: f(x) = 4 − |x| , x ∈ [−2, 2] g = {(−6, 6), (−2, 1), (0, 2), (1, 0), (2, 3), (6, −2)} , calcule la suma de elementos del rango de la fun- ci´on f · g. A) 3( √ 2 − 1) B) 3( √ 2 + 1) C) 4( √ 2 + 1) D) 4( √ 2 − 1) E) 2( √ 2 − 1) № 48 CepreUNI 2005-II. Indique cu´al(es) de los siguientes enunciados son correctas. I. La funci´on f(x) = |x + 1| − |x − 1| es funci´on impar en R. II. La funci´on g(x) = x x2 + x + 1 es funci´on im- par en R. III. Existen funciones que son pares e impares a la vez. A) VVV B) VFF C) FVF D) FFF E) VFV 7
  8. 8. № 49 CepreUNI 2005-I. Si f y g son dos funciones tales que g(x) = x3 + 1 y f(g(x)) = x3 + x + 1 entonces g(f(2)) es: A) 13 B) 28 C) 30 D) 40 E) 25 № 50 CepreUNI 2005-I. Se define la funci´on: f : [a, 1] → [b, 5] tal que f(x) = (x − 1)2 − 4 es biyectiva. Calcule T = a + b A) − 2 B) − 3 C) − 4 D) − 5 E) − 6 8
  9. 9. Cap´ıtulo 2 OPERADORES № 1 CepreUNI 2019-I. Dada la operaci´on ∗ en el conjunto Z, definida por a ∗ b = m´ax a, b − m´ın a, b Indique el valor de verdad de las siguientes propo- siciones. I. ∗ es conmutativa. II. ∗ es asociativa. III. El elemento neutro es el 0 A) VFV B) VFV C) VVF D) FFV E) VFF № 2 CepreUNI 2017-I. Se define la operaci´on ∗ sobre R: x∗y = x. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones. I. ∗ es conmutativa. II. ∗ es asociativa. III. ∗ posee elemento neutro. A) VVF B) FFF C) FVF D) FVV E) VVV № 3 CepreUNI 2016-I. Se define el operador ⊕ en A = −∞; 0] por a ⊕ b = m´ın{a, b}. Indique el valor de verdad de las siguientes proposiciones: I. ⊕ es conmutativo. II. ⊕ satisface le propiedad de clausura en A. III. ⊕ tiene elemento neutro. A) VVF B) VVV C) VFV D) FFV E) VFF № 4 CepreUNI 2015-II. Se sabe que el operador ∗ definido sobre el conjun- to A = {1, 2, 3} es conmutativo y posee elemento neutro e. ∗ 1 2 3 1 3 m y 2 x 2 n 3 2 z 1 Halle e + x−1 (x−1 es el inverso de x respecto al operador ∗) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 9
  10. 10. Cap´ıtulo 3 POLINOMIOS № 1 CepreUNI 2019-II. Si el polinomio P(x) = (ax + b)(x − 1) + c(x2 + x + 1) es id´entico al polinomio Q(x) = 2x2 + 5x − 1 , calcule el valor de T = a + b − c A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 6 № 2 CepreUNI 2019-II. Del polinomio sobre R. P(x; y) = (b − 2a)xa+1 yb−2 + 3xa+2 yb−2 + (b − 8)xa+3 yb−2 se sabe que su grado absoluto es 20 y la suma de sus coeficientes es 13. Halle el valore de T = ab. A) 36 B) 54 C) 66 D) 70 E) 84 № 3 CepreUNI 2019-II. Sea P(x; y) un polinomio homog´eneo de primer grado en R[x; y] tal que P(x; y) = P(y; x). Determine el valor de verdad de las siguientes pro- posiciones: I. ∀α ∈ R; ∀β ∈ R, P(α; −α) = P(−β; β) II. P(x; y) = zP x z ; y z , z = 0 III. ∃α ∈ R | ∀β ∈ R, P(α; α) = α 2 P(β; β) A) VFV B) VVV C) VVF D) FVV E) VFF № 4 CepreUNI 2017-II. Indique el valor de las siguientes proposiciones: I. Si p(x, y) es un polinomio de grado 2, enton- ces q(x, y, z) = z2 p x z , y z es homog´enea. II. Si para todo x ∈ R, se cumple: a(x2 + 1) + (x − 1)(bx + c) = 5x2 − 4x + 3 , entonces abc es igual a −6. III. Siendo p(x) y q(x) polinomios tales que gr(p(x)) = 2 y gr(q(x)) = 5, entonces gr (p6 (x) − q3 (x)) = 12. A) VFV B) VVV C) FVF D) VVF E) FVV № 5 CepreUNI 2017-I. En el polinomio completo ordenado: P(x) = xc + 2xa + 3xb + 4xm + · · · + 2b + 2c − 37 . Encuentre el valor de: a + b + c 3 A) 12 B) 13 C) 14 D) 15 E) 16 № 6 CepreUNI 2017-I. Si el polinomio p(x, y) = 5xm−2 yn−1 (x7 + 2y2n−3 ) es homog´eneo de grado 16, calcule p(−1, −1). A) 11 B) 12 C) 13 D) 14 E) 15 № 7 CepreUNI 2017-I. Si P, Q y R son polinomios cuyos grados (gr) son p, q y r respectivamente, siendo p, q y r distintos entre s´ı. Indique la verdad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmaciones: I. gr(PQ) = p + q II. Si P4 Q es igual a un polinomio, entonces gr P4 Q = 4p − q. III. 3gr(P + Q + R) ≥ p + q + r A) VFF B) FFF C) VVV D) FVF E) VFV № 8 CepreUNI 2015-II. Indique el valor de verdad de las siguientes afirma- ciones: 10
  11. 11. I. P(x, y) = x2 +xy es un polinomio homog´eneo. II. Si P(x, y) es un polinomio homog´eneo con grado de homogeneidad 3 y P(2, −1) = 2 en- tonces P(−8, 4) = 128. III. Si P(x, y) y Q(x, y) son polinomios ho- mog´eneos de grado 2, entonces P2 (x, y) + Q2 (x, y) es un polinomio homog´eneo de grado 4. A) FFF B) FFV C) VFF D) VFV E) VVF № 9 CepreUNI 2011-I. Determine la suma de los coeficientes del polino- mio P(x) ordenado y completo, siendo: P(x) = 2a + b + 5bxa−b − (b − a)xa2−2b + xa+b A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 15 № 10 CepreUNI 2011-I. Dados los polinomios P(x) y Q(x), halle el grado de Q(x), si el grado de P4 (x)Q3 (x) es 29 y el grado de P3 (x) Q2(x) es 9 A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 № 11 CepreUNI 2011-I. Sea {a, b, c, x, y, z} ⊂ R. Si a2 + b2 + c2 = 1 y x2 −2ax+y2 z2 = 2cz +2by −1. Determine el valor de: x2 + y2 + z2 . A) 0 B) 1 C) 2 D) 3 E) 4 № 12 CepreUNI 2008-II. Sea P un polinomio definido por P(x, y) = (2m + n)xm+n−2 ym−3 + (8n + 1)xm+n+5 ym−4 + 3(n − m)xm+n−6 ym+2 Si el menor exponente de y es 4, adem´as GR(x)− GR(y) = 5, entonces la suma de coeficientes de P es: A) 14 B) 15 C) 16 D) 17 E) 18 № 13 CepreUNI 2008-II. Si (a + 1)2 = (2 + √ 6)a, entonces el valor de M = (a2 + 1)2 1 + a4 es: A) 2 3 B) 3 2 C) 5 3 D) 2 E) 3 № 14 CepreUNI 2008-II. Sea m, n y k ∈ Z (Z: conjunto de los n´umeros enteros) tal que m < n < 9. Si P(x; y) = xm2+m+k − 2x n2 5 ym+1 + 3y n2 5 +4 es un polinomio homog´eneo, entonces el valor de la suma k + gr(P) es: A) 6 B) 7 C) 8 D) 9 E) 12 № 15 CepreUNI 2007-II. Sea el polinomio: P(x, y) = . . . + xa yb+2 + xr ys + xb ya+2 + . . . que es completo y homog´eneo de grado 8 y est´a ordenado en forma creciente respecto al grado de x. Los t´erminos que se muestran son consecutivos. Halle el grado, relativo a y, del t´ermino xr ys . A) 4 B) 5 C) 6 D) 7 E) 8 № 16 CepreUNI 2006-II. Si P, Q y R son polinomios cuyos grados son gr(P) = p ≥ 0, gr(Q) = q ≥ 0 y gr(R) = r ≥ 0, siendo p, q y r distintos entre s´ı. Indique la veraci- dad (V) o falsedad (F) de las siguientes afirmacio- nes: I. gr(PQ) = p + q II. Si el cociente P4 Q es igual a un polinomio, en- tonces gr P4 Q = 4p − q III. 3gr(P + Q + R) ≥ p + q + r A) VVV B) VFV C) VVF D) VFF E) FVF № 17 CepreUNI 2006-II. Si se cumple que: (a + 2x + b)(a − 2x + b) = (a − b)2 Simplifique: E = (x + a)(x + b) a + 2x + b − x3 ab A) − 1 B) − 1 2 C) 0 D) 1 2 E) 1 № 18 CepreUNI 2006-II. Un polinomio m´onico P(x) de grado n + 1 es di- visible por el polinomio (xn + 2). Si los restos de dividir P(x) separadamente entre (x+1) y (x+2) son respectivamente 12 y 198, halle n. A) 4 B) 6 C) 8 D) 9 E) 10 11
  12. 12. Cap´ıtulo 4 HORNER № 1 CepreUNI 2006-II. Si (x − k)2 es un factor del polinomio P(x) = x5 − 5ax + 4b, a = 0 y b = 0, entonces a5 b4 es igual a: A) 1 4 B) 1 2 C) 3 4 D) 1 E) 2 12
  13. 13. Cap´ıtulo 5 TEOREMA DEL RESTO № 1 CepreUNI 2015-I. Calcule la suma de los coeficientes del residuo en la divisi´on x100 ÷ (x49 + 1) A) 1 B) 2 C) 3 D) 4 E) 5 № 2 CepreUNI 2011-I. Determine el resto en la siguiente divisi´on: (x3 + 3x2 + 3x + 1)2 + (x + 1)2 + 8 x2 + 2x − 2 A) 38 B) 39 C) 40 D) 41 E) 42 № 3 CepreUNI 2006-II. Si R(x) es el resto de la siguiente divisi´on indicada: x34 + x2 − 1 x32 + x30 + x28 + · · · + x4 + x2 + 1 . Halle el valor de R(2) A) 4 B) 8 C) 12 D) 16 E) 132 13

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