Essay made by Mara Matei

1. Fractalii geometrici – între știință și spectacol
Geometric fractals – between science and spectacle
Autor: Mara Sandra Matei , clasa a VII-a
Profesor coordonator: Mihaela Gîț
Liceul Teoretic “Jean Monnet” - București
Abstract
In fractal geometry, nature is a place where no straight lines exist, where a boundary is not a
number of kilometers long, but infinite. And fractals are considered a way for our minds to see this
infinite.
Try to observe any length you want and you’ll soon realize that the closer you study it the
more shapes appear, making the given distance appear longer and longer, going on like that forever.
This is seen everywhere, from a tree branch to a cloud, from a leaf to a mountain, from
atomic dimensions to the whole universe we live in.
The human body has fractals too, in cells, organs, skin, bones or blood and in many others.
I. Introducere
"Fractal geometry is not just a chapter of mathematics, but one that helps every man see the same
world differently.”
Benoit Mandelbrot
Mandelbrot folosește termenul fractal cu un sens de „neregulat”, iar definiția sa este de „un
ansamblu care prezintă aceleași neregularități la orice scară ar fi privit”.
Conform lui Benoit Mandelbrot, fractalul este o formă geometrică simplă sau un fragment
din aceasta care poate fi divizat în mai multe părți, fiecare din acestea reprezentând o copie redusă a
întregului.
Caracteristicile de bază ale fractalilor sunt:
-formele auto-similare;
-repetitivitatea;
Printre fractalii mai simpli și cunoscuți se regăsesc mulțimile Cantor, triunghiul și covorul
lui Sierpinski, buretele lui Menger, curba dragon, curba lui Peano și curba Koch.
Mulțimile lui Cantor Buretele lui Menger Curba dragon

2. Curba Lui Peano Curba lui Koch
Am ales această temă de proiect deoarece fractalii m-au fascinat de multă vreme – aș spune
din totdeauna, dar ar fi o oarecare exagerare. Sunt diferiți de figurile geometrice, fiind un mod de a
îmbina arta, matematica și informatica spre a vedea o bucată de infinit.
Chiar dacă din cele mai vechi timpuri, oamenii au încercat să explice natura prin intermediul
unor modele, acestea nu o aproximau foarte bine, fiind prea simple. Fractalii se regăsesc în multe
locuri, iar matematicieni precum Karl Weierstrass, Helge von Koch, Waclaw Sierpinski și Benoît
Mandelbrot au fost printre cei care au realizat că „forma unui munte nu este o piramidă sau un con,
trunchiul îmbrăcat cu scoarță al unui copac nu este un cilindru perfect neted, norii nu sunt sfere.”
II. Fractalii în natură
Există modele, forme care se repetă peste tot în jurul nostru. Sunt nenumărați fractalii ce ar
merita remarcați.
Un broccoli Romanesco este de-a dreptul surprinzător prin felul în care inflorescența are caracter
auto-simetric, alcătuindu-se o spirală.
În natură sunt multe astfel de exemple uimitoare, peste tot, cum ar fi în alcătuirea unui
copac: semințele sale, crengile, rădăcinile, frunzele sau conurile.
Grădinile sunt locuri bune pentru a-i explora, pentru că florile sunt și ele fractali. Apoi, pot
fi luate în considerare ferigile.
Unele animale au aceste modele la vedere, de la penele unui păun până la piciorul unei
șopârle Gekko și, bine înțeles, în cazul scoicilor.
Pe cer, fractalii se regăsesc în nori și în fulgere, iar pe pământ în delta unui râu sau în
crestele unui munte... , sunt chiar oriunde.

3. III. Fractalii construiți cu Scratch
Scratch este un limbaj de programare educațional realizat de “Grupul Lifelong
Kindergarten” de la Institutul de Tehnologie Massachusetts. Cercetătorii americani de la MIT au
realizat un mediu ce permite crearea de aplicații grafice animate, jocuri video și aplicații interactive
într-un mod simplu și intuitiv, fără a fi necesare cunoștințe legate de programare. Folosind Scratch
am creat câțiva fractali:
1. Copacul binar (simetric)
Copacul este generat începând cu un trunchi de o anumită lungime și apoi adăugând două
ramuri cu lungimea un raport r din trunchi (0 < r < 1), între care avem un unghi alfa, cu măsura
între 0o
și 180o
. Aceste două ramuri formează un nou sub-copac care urmează în continuare aceeași
regulă. (unghiul rămâne alfa, dar lungimea celor patru ramuri noi este r2
, ș.a.m.d.
Aici se poate schimba unghiul la care se creează ramurile și mărimea „stiloului”, fiind
posibilă obținerea unor desene precum cele de mai jos:

4. Programul din spatele lui, însoțit de explicații, arată așa:
2. Copacul binar (asimetric)
Am făcut apoi un program asemănător, care poate crea fractali asimetrici, ca aceștia:

5. 3. Fulgi de zăpadă
Unul dintre primele exemple la care ne gândim în momentul când cineva spune „fractal”
este un fulg de nea și chiar dacă aceștia nu sunt niciodată perfect simetrici, sunt totuși spectaculoși.
Forma lor este determinată de temperatură și umiditate. Sunt șanse aproape inexistente ca
doi să fie identici, fiind estimate 1019
particule de apă în componența fulgului obișnuit. O simetrie
cu șase axe este prezentă în cele mai multe cazuri, din cauza structurii hexagonale a gheții. Foarte
rar, apare o simetrie cu trei axe, fulgi triangulari, sau una cu douăsprezece axe, cea din urmă
păstrând-o deci și pe cea cu șase.
Din cauza varietății de forme posibile a fulgilor de zăpadă, m-am gândit să fac un program
în care să poată fi creați. Numeroase exemple pot fi obținute, printre acestea fiind și următoarele:
Stilul, numărul de nivele, mărimea, numărul axelor de simetrie, culoarea și nuanța culorii
pot fi modificate.

6. Programul din spatele desenelor este cel ce urmează:
IV. Fractalii creați cu GeoGebra
GeoGebra este o aplicație interactivă pentru geometrie, algebră, statistică și calcule, menită
să ajute la predarea și învățarea matematicii și științelor într-un mod atractiv, de la școala primară la
nivel universitar.
În GeoGebra, se pot recrea destul de ușor unii fractali celebri.
1. Triunghiul Sierpinski
La început se deseneazã un triunghi pe care îl vom diviza în patru pãrți egale, iar trei dintre
ele (cele din exterior) vor fi și ele divizate (folosind același procedeu), procesul continuând la infinit
pentru toate triunghiurile formate

7. 2. Copacul lui Pitagora
Pentru copacul Pitagoreic, am început cu un pătrat și am construit un triunghi isoscel
dreptunghic a cărui ipotenuză este latura de sus a acestuia. În continuare, am construit pătrate cu
laturi pe catetele triunghiului. Am repetat construcția pe fiecare dintre noile pătrate, am adăugat din
nou triunghiuri și tot așa. De exemplu, desenul de mai jos este doar un început, fiind construit după
trei iterații.
Dacă aș fi continuat copacul, acesta ar fi rămas în interiorul unui dreptunghi care, în cazul
pătratului inițial având latura de o unitate, are lungimea de șase unități și lățimea de patru. Chiar și
după iterația a patra, când pătratele vor începe să se suprapună formând efectul de „frunză”, copacul
va continua să rămână în interiorul acestui dreptunghi.
Presupunem că numerotăm pătratele ca în figura de mai jos:
Dacă un pătrat este n și un triunghi isoscel este plasat deasupra lui, următoarele două pătrate
noi sunt etichetate 2n (stânga – pătratele roșii) și 2n + 1 (dreapta – pătratele albastre).
Se poate folosi sistemul binar pentru a localiza orice pătrat din copacul Pitagoreic. Un 1
înseamnă dreapta, iar un 0 stânga.

8. Spre exemplu, 26, adică 11010: dreapta, dreapta, stânga, dreapta, stânga – sunt cinci pași,
deci sunt necesare cinci iterații pentru a vedea pătratul cu numărul 26.
189 ar fi 10111101: dreapta, stânga, dreapta, dreapta, dreapta, dreapta, stânga, dreapta.
Pătratul 189 este vizibil deci după 8 iterații.
Puteți încerca cu orice număr – luați 83, 25, 100 sau altul... încercați și cu un pătrat etichetat
cu un număr precum 101238, adică 11000101101110110, pentru care sunt necesare oricum prea
multe iterații pentru a apărea pe ecran.
Crearea unui instrument de construcție în Geogebra, care variază în funcție de unul din
unghiurile ascuțite ale triunghiului dreptunghic, face posibilă obținerea unei animații frumoase.
Se pot face calcule care determinaă aria triunghiului dreptunghic după n pași.
Spre exemplu, pentru un tringhi dreptunghic cu unghiuri de 60°și 30°, laturile pătratelor mici (din
stânga) sunt:
𝑙
2
,
𝑙
4
, …
𝑙
2 𝑛.

9. V. Calcule de perimetre și arii
Tot în GeoGebra, multe alte figuri pot fi obținute. Pentru a le face pe cele de mai jos, am
creat câte un instrument („tool”) nou care modifică figura prin asemănare cu un raport dat și rotește
figurile în același timp.
În ceea ce urmează, pentru a calcula arii și perimetre, voi folosi progresii geometrice.
Dacă avem b1, b2, ..., bn termenii unei progresii geometrice de rație q, știm că:
𝑏2 = 𝑏1 ∙ 𝑞
𝑏3 = 𝑏2 ∙ 𝑞 = 𝑏1 ∙ 𝑞2
. . .
𝒃 𝒏 = 𝒃 𝟏 ∙ 𝒒 𝒏−𝟏
și suma temenilor este: 𝑺 𝒏 = 𝒃 𝟏 ∙
𝒒 𝒏−𝟏
𝒒−𝟏
, 𝒒 ≠ 𝟏, 𝒏 ∈ 𝑵∗
1. Triunghiul echilateral

10. a) Pentru un triunghi echilateral de latură l, avem următoarele formule pentru arie, respectiv
perimetru:
𝐴∆𝑒𝑐ℎ𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 =
𝑏 ∙ ℎ
2
=
𝑙 ∙
𝑙√3
2
2
=
𝑙2
√3
4
; 𝑃∆𝑒𝑐ℎ𝑖𝑙𝑎𝑡𝑒𝑟𝑎𝑙 = 3𝑙
b) Fie un triunghi echilateral de latură l. Fiecare triunghi echilateral colorat are lungimea
laturii de două ori mai mică decât a precedentului.
Se formează astfel așa numita „Spirală a triunghiurilor echilaterale”.
• Să se calculeze aria figurii colorate.
𝐴 =
1
4
∙
𝑙2
√3
4
+
1
4
∙
(
𝑙
2
)
2
√3
4
+
1
4
∙
(
𝑙
4
)
2
√3
4
+ ⋯ +
1
4
∙
(
𝑙
22𝑛)
2
√3
4
=
𝑙2
√3
4
(
1
4
+
1
16
+ ⋯ +
1
4 𝑛
)
=
𝑙√3
2
4
⋅
1
4
⋅
1 − (
1
4
)
𝑛
1 −
1
4
=
𝑙 √3
2
16
⋅
4
3
⋅ (1 − (
1
4
)
𝑛
) ⇔
𝑨 =
𝒍√𝟑
𝟐
𝟏𝟐
⋅ [𝟏 − (
𝟏
𝟒
)
𝒏
]
Pentru valori mai mari ale lui n, (
1
4
)
𝑛
se apropie de 0, și aria se apropie de numărul 𝑨 ≈
𝒍 𝟐
√𝟑
𝟏𝟐
• Să se calculeze perimetrul figurii formate de triunghiurile din spirală.
𝑃 =
3𝑙
2
+
3𝑙
4
+
3𝑙
8
+ ⋯ +
3𝑙
2 𝑛
=
3𝑙
2
+ 3𝑙 (
1
2
+
1
4
+ ⋯
1
2 𝑛
) = 3𝑙 ⋅
1
2
⋅
1 − (
1
2
)
𝑛
1 −
1
2
=
3𝑙
2
∙ 2 ∙ [1 − (
1
2
)
𝑛
]
𝑷 = 𝟑𝒍 [𝟏 − (
𝟏
𝟐
)
𝒏
] ⟹Pentru valori mari ale lui n, (
1
2
)
𝑛
→ 0, și perimetrul se apropie de numărul
𝑷 ≈ 𝟑𝒍.

11. Observații: o altă spirală formată cu triunghiuri echilaterale este aceea în care fiecare triunghi
construit are latura cât înălțimea triunghiului precedent.
Se poate forma de asemenea, o spirală cu pătrate, în care fiecare pătrat, începînd cu al
doilea, are latura cât diagonala precedentului.
Mai general, am construit o spirală animată care se obține prin modificarea laturii cu
raportul k, 0,1<k<2, rotind cu unghiul α fiecare pătrat (în sens invers acelor de ceas).
În acest exemplu α=26°, k=0,9.
2. Pătratul
Se consideră un pătrat cu latura l. Primul triunghi roșu se obține unind mijloacele a două laturi
consecutive din pătratul dat; al doilea triunghi roșu se obține unind mijloacul ipotenuzei primului
triunghi cu mijlocul laturii celui de-al doilea pătrat, s.a.m.d. Se obține o spirală roșie, formată din
triunghiuri dreptunghice isoscele.
Care este aria acestei spirale?
Diagonala unui pătrat este 𝑙√2, iar latura pătratului următor este
𝑙√2
2
. Așadar, începând cu al doilea,
latura unui pătrat este o doime din diagonala precedentului. Aria unui triunghi roșu fiind o optime
din aria pătratului, rezultă calculul:

12. 𝐴 =
1
8
∙ 𝑙2
+
1
8
∙ (
𝑙√2
2
)
2
+
1
8
∙ (
𝑙√2
2
∙ √2
2
)
2
+ ⋯ +
1
8
∙ (
𝑙(
√2
2
)
𝑛−1
√2
2
)
2
=
𝑙2
8
(1 +
1
2
+
1
4
+ ⋯ +
1
2 𝑛
) =
=
𝑙2
8
⋅
1−(
1
2
)
𝑛+1
1−
1
2
=
𝑙2
8
⋅ 2 ⋅ [1 − (
1
2
)
𝑛+1
] ⇔ 𝑨 =
𝒍 𝟐
𝟒
⋅ [1 − (
1
2
)
𝑛+1
]. Această arie poate fi aproximată la
𝑨 ≈
𝒍 𝟐
𝟒
.
Observație: cele 4 spirale aproximează suprafața pătratului.
3. Hexagonul regulat
a) Se construiește un hexagon regulat cu latura l. Se construiesc succesiv hexagoane regulate
determinate de mijloacele laturilor hexagonului precedent. Fiecare triunghi verde e determinat de
un vârf al hexagonului și două mijloace de laturi consecutive.
Se formează o spirală cu triunghiuri isoscele cu un unghi de 120°.
În figura a doua sunt evidențiate 3 spirale verzi din cele 6 care se pot desena.
Să de calculeze aria unei spirale verzi.
Pentru a calcula aria unei spirale verzi demonstrăm că hexagonul regulat se descompune în 24 de
triunghiuri isoscele cu un unghi de 120° , congruente; în fiecare vârf al hexagonului ABCDEF se
formează un patrulater congruent cu OJBK, compus din 4 triunghiuri isoscele congruente.
𝐽𝐾 =
𝑙√3
2
, jumătate din latura triunghiului echilateral înscris în același cerc. Al doilea hexagon va
avea latura 𝐽𝐾 =
𝑙√3
2
= 𝑙2.
Astfel se determină raportul laturilor
𝑙2
𝑙1
=
𝑙√3
2
𝑙
=
√3
2
= 𝑘.
Hexagoanele formate ulterior, prin asemănare, vor avea
raportul ariilor 𝑘2
=
3
4
.
Dacă 𝐴1 este aria hexagonului regulat dat,
𝐴2 =
3
4
𝐴1, 𝐴3 = (
3
4
)
2
𝐴1, … , 𝐴 𝑛 = (
3
4
)
𝑛−1
𝐴1.

13. Aria spiralei verzi este egală cu suma ariilor triunghiurilor:
𝐴 =
1
24
(𝐴1 + … + 𝐴 𝑛) =
1
24
𝐴1 [1 +
3
4
+ (
3
4
)
2
+ ⋯ (
3
4
)
𝑛−1
] =
1
24
𝐴1
1 − (
3
4
)
𝑛
1 −
3
4
⟹
𝐴 =
1
24
∙ 4𝐴1 [1 − (
3
4
)
𝑛
] ⇔ 𝐴 =
𝐴1
6
[1 − (
3
4
)
𝑛
] ⟹ 𝐴 ≈
𝐴1
6
b) Se construiește un hexagon regulat cu latura l. Se construiesc succesiv hexagoane
regulate care au același centru cu primul, având latura
8
9
din latura hexagonului precedent. Fiecare
astfel de hexagon se rotește în jurul centrului său cu 14° (în sensul invers acelor de ceas). Se obține
figura următoare. Care este suma ariilor acestor hexagoane regulate? Care este suma perimetrelor
lor?
𝐴ℎ𝑒𝑥𝑎𝑔𝑜𝑛 =
3𝑙2
√3
2
. 𝑃ℎ𝑒𝑥𝑎𝑔𝑜𝑛 = 6𝑙
Prin micșorarea laturii hexagonului cu raportul
8
9
, se obține un alt hexagon cu latura
8
9
𝑙,
aria A’ și perimetrul P’, calculate conform formulei:
𝐴1 =
(3∙
8
9
𝑙)
2
√3
2
=
3√3
2
(
8
9
)
2
𝑙2
, 𝑃1 = 6 ∙
8
9
𝑙 =
16
3
𝑙
Repetând procedeul, se obține un alt hexagon cu latura (
8
9
)
2
𝑙, aria A2 și perimetrul P2:
𝐴2 =
3√3
2
(
8
9
)
4
𝑙2
, 𝑃2 = 6 ∙ (
8
9
)
2
𝑙
ș.a.m.d. până la hexagonul cu latura (
8
9
)
𝑛
𝑙, aria An și perimetrul Pn.
Pentru a calcula suma S a ariilor și M a perimetrelor tuturor hexagoanelor se observă că
lungimile laturilor sunt 𝑙,
8
9
𝑙, (
8
9
)
2
𝑙, … . , (
8
9
)
𝑛
𝑙 . Astfel, lungimile laturilor formează o progresie
geometrică cu 𝑏1 = 1, 𝑞 =
8
9
.

14. Astfel, rezultă: 𝑆 =
3√3
2
𝑙2
(1 + (
8
9
)
2
+ (
8
9
)
4
+ … + (
8
9
)
2𝑛
) =
3√3
2
𝑙2
∙
1−[(
8
9
)
2
]
𝑛+1
1−(
8
9
)
2 =
=
3√3
2
𝑙2
∙
81
17
(1 − (
64
81
)
𝑛+1
) ⟹ 𝑆 =
243√3
34
𝑙2
[1 − (
64
81
)
𝑛+1
].
𝑀 = 6𝑙 (1 + (
8
9
)
2
+ (
8
9
)
3
+ … + (
8
9
)
𝑛
) = 6𝑙 ∙
1−(
8
9
)
𝑛
1−
8
9
= 54𝑙 [1 − (
8
9
)
𝑛
] ⟹ 𝑀 = 54𝑙 [1 − (
8
9
)
𝑛
],
𝑛 ∈ 𝑁.
Pentru n număr natural foarte mare, 𝑺 ≈
𝟐𝟒𝟑√𝟑
𝟑𝟒
𝒍 𝟐
, iar 𝑴 ≈ 𝟓𝟒𝒍.
Concluzie:
Am prezentat în această lucrare numai câteva exemple de fractali geometrici, care prin armonie și
culoare fac studiul matematicii mai plăcut. Toate construcțiile le-am făcut în Scratch sau Geogebra.
În acest mod am putut compara utilitatea fiecărei metode în diverse situații. Astfel, cu ajutorul
informaticii, am văzut cum fractalii geometrici ne oferă posibilitatea de a observa și exersa atât
frumusețea, cât și rigoarea matematicii.
Rămâne să continuăm studiul Universului cu ajutorul fractalilor...
“The universe is a fractal. Whatever energy signature we carry will be repeated infinitely, again and
again… until we change that vibration.”
Paige Barthalomew
VI. Bibliografie
• https://c.pxhere.com/photos/dc/1c/romanesco_broccoli_green_roman_cabbage_vegetables_c
auliflower_fractal_natural_phenomenon_repeating_pattern-418780.jpg!d
• https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/d/de/Menger_sponge_%28Level_0-
3%29.jpg
• https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/6/69/Fractal_dragon_curve.jpg/22
0px-Fractal_dragon_curve.jpg
• http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/pythagorean/pythTree.htm
• https://www.geogebra.org/classic?lang=en
• https://scratch.mit.edu/
• https://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page
• http://ecademy.agnesscott.edu/~lriddle/ifs/pythagorean/pythTree.htm
• https://www.facebook.com/ArtOfMathematics/