Examen de ingreso a la Universidad Nacional de Colombia 2005 (1)

1. ADMISIÓN PRIMER SEMESTRE DE 2005 F5
33. Las gráficas que se presentan a continuación
MATEMÁTICAS corresponden a funciones cuadráticas de la for-
Preguntas 31 a 50
ma y = f ( x ) = ax 2 + bx + c donde a , b , c ∈ R .
31. La siguiente gráfica corresponde a una
función cuadrática cuya ecuación es de
y y
la forma y = f ( x ) = ax 2 + bx + c .
y
x x
(-2,0) (2,0) (-2,0)
(1,0) (0,-1)
x
(-6,0)
(0,-6) y y
(0,2)
(0,1)
Respecto a la función f , NO es posible (-2,0) (-2,0) (1,0)
x x
afirmar que (2,0)
A. a<0
B. c = −6
C. b=5
D. f (1) > −1
En todas las funciones se cumple que:
A. a>0
B. a<0
C. f ( −2) = 0
32. En la recta numérica que se ilustra a D. f ( 2) = 0
continuación se han señalado los puntos
M, N, O, P, Q 34. Observe las dos gráficas que se presentan a
continuación:
M N O P Q y y
y = f(x)
− 2 -1 0 1 2 (0,3)
(0,1)  3 
 − , 0
 2 
x x
1− 2  1 
Al número real se le asocia un  − , 0
 2 
2
punto ubicado entre:
A. MyN (1) (2)
B. NyO
La gráfica (2) corresponde a la función:
C. OyP
D. PyQ
A. y = f ( x + 2)
B. y = f ( x − 2)
C. y = f (x ) − 2
D. y = f (x ) + 2
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2. ADMISIÓN PRIMER SEMESTRE DE 2005 F5
35. Las gráficas que se presentan a continuación
corresponden a funciones cuadráticas de la
forma y = f ( x ) = ax 2 + bx + c , donde
a, b , c ∈R
y y
x x
(-1,0) (0,0) (-1,0) (1,0)
(0,-1)
(1) (2)
y
(4,0)
y
(0,0) x
x (-2,0) (2,0)
(1,0)
(3) (4)
y y
(0,0) (-1,0)
x x
(3,0) (0,0)
(5) (6)
El valor de b es cero para:
A. todas
B. (5) y (6)
C. (2) y (4)
D. (1) y (3)
36. Es verdadero que,
1
A. no está definido
0
0
B. no está definido
1
0
C. =1
0
1
D. =0
0 10

3. ADMISIÓN PRIMER SEMESTRE DE 2005 F5
37. Si x e y son números reales cualesquiera,
x < y , entonces es posible afirmar que,
A. −x < −y
1 1
B. <
x y
C. x2 < y2
D. −y < −x
38. Un par de números racionales que satisfa-
1 1
cen la desigualdad − < x < son:
3 2
1 1
A. − y
4 4
1 3
B. − y
2 4
3 1
C. − y
4 2
1 3
D. − y
3 5
39. Observe la siguiente cadena de igualdades
2+4=6
2 + 4 + 6 = 12
2 + 4 + 6 + 8 = 20
2 + 4 + 6 + 8 + 10 = 30
:::::::::::::::::::::::
2 + 4 + 6 + ... + 2n = ?
Si n es cualquier número natural la suma
2 + 4 + 6 + ... + 2n es igual a:
A. n (n − 1)
n (n + 1)
B.
2
C. n (n + 1)
n (n − 1)
D.
2
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4. ADMISIÓN PRIMER SEMESTRE DE 2005 F5
40. Respecto a los enunciados: 43. Si x > 0, y > 0, x > y, z ≠ 0 , la desigualdad
que no siempre es verdadera es:
I Todo número par es racional
II Existen números reales que no son raciona-
A. x +z >y +z
les
III El conjunto de los irracionales es finito B. x −z >y −z
IV Todo número racional es real. C. xz > yz
V. Hay infinitos números racionales mayores
x y
que 0 y menores que 1 D. >
z2 z2
Es correcto afirmar que:
A. Todos son verdaderos
B. El único falso es V
C. El único falso es III
D. Todos son falsos.
41. Respecto a las funciones f ( x ) = x 2 − 6x + 9 ,
g (x ) = x − 3 , h ( x ) = x 2 − 2x − 3 y
1
s (x ) = x −1
3
es posible afirmar que
A. Todas tiene por recorrido el conjunto de los
números reales
B. f (0) = g (0) = h (0) = s (0)
C. Todas tienen por recorrido el conjunto de los
números reales positivos
D. f (3) = g (3) = h (3) = s (3)
42. Los cuadrados de las expresiones ab, a + b
a
y son respectivamente:
b
a2
A. a 2b 2 , a 2 + b 2 ,
b2
a2
B. ab 2 , a 2 + b 2 ,
b2
a2
C. a 2b 2 , a 2 + 2ab + b 2 ,
b
a2
D. a 2b 2 , a 2 + 2ab + b 2 ,
b2
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5. ADMISIÓN PRIMER SEMESTRE DE 2005 F5
44. Se unen los puntos medios de los lados de 46. Se sabe que la medida de dos de los ángu-
un cuadrado de lado l, como se ilustra en la los de un triángulo es de x° y esta medida
figura. excede en 10° a la del tercer ángulo, es po-
sible determinar las medidas de los tres án-
gulos del triángulo resolviendo la ecuación:
A. 2x + 10 = 180o
B. 2x + ( x − 10) = 180o
C. 2x + ( x + 10) = 180o
Si se denota con P el perímetro y con A el
D. 2x + (10 − x ) = 180o
área del cuadrado inicial, entonces el
perímetro y el área del cuadrado obtenido
son, respectivamente:
P A
A. y
4 4
P A
B. y
2 2
2P A
C. y
2 2
A
D. 2 2P y 4
45. Dos bolas esféricas tienen el mismo radio r y 47. Un laboratorio farmacéutico quiere sacar una
están hechas del mismo material pero una nueva presentación de un medicamento que
pesa la tercera parte de la otra pues es hueca actualmente vende en pastillas de 6 milíme-
en el centro. El radio de la cavidad central tros de diámetro y 2 milímetros de alto. La
es: nueva presentación será un cápsula forma-
da por un cilindro rematado en sus extremos
por semiesferas. Si r es el radio de las
2
A.
3 r semiesferas, la altura total de la cápsula se
3 expresa en la forma:
2
B. r 50r
3 A.
3
1
C. r 54 − 4r 3
3 B.
3r 2
3 54 + 2r 3
D. 3 r C.
2 3r 2
56r
D.
3
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6. ADMISIÓN PRIMER SEMESTRE DE 2005 F5
48. De las siguientes proposiciones. 50. Un rueda de radio 1 tiene una marca
reflectiva. Si la rueda se coloca de tal manera
que su centro quede en el origen del sistema
I Para todo θ , sen (θ ) = sen ( −θ )
de coordenadas y la marca en el punto (1,0)
II Para todo θ , cos (θ ) = cos ( −θ ) y se hace girar 120 grados en el sentido
IIIExisten valores de θ para los cuales contrario al de las manecillas del reloj, la
marca reflectiva quedará en el punto de
sen θ = cos θ coordenadas:
IV Para todo θ , cos 2θ = 2 cos θ
V Existen valores de θ para los cuales
 3 1
sen θ =
1 A.  2 , 2
2  
 1 3
Es correcto afirmar que:
B. 2, 2 
 
A. son verdaderas II, III y V
B. la única falsa es la IV  3 1
C. son verdaderas I y IV y V C. − 2 , 2
 
D. la única falsa es la III
 1 3
D. − 2 , 2 
 
49. Desde lo alto de un edificio un observador ve
un automóvil que se dirige directamente ha-
cia el edificio. El observador está a 50 m so-
bre el nivel del piso. El ángulo de depresión
cambia de 25° a 40° durante el periodo de
observación. La distancia que recorre el au-
tomóvil durante el tiempo de observación es
A. (
50 cot 65o − cot 50o )
B. 50(tan 65 o
− tan 50 )
o
C. 50(tan 40 o
− tan 25 )
o
D. 50(cot 40 o
− cot 25 )
o
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