1. 可计算性
研讨班
集智俱乐部

2. ⽇日程
• 第⼀一次：2⽉月23⽇日 苑明理
• 第⼀一部分：基本概念的初步探讨
• 第⼆二部分：While 语⾔言
• 第⼆二次：3⽉月9⽇日 苑明理
• 第三部分：可计算性的基本理论
• 第四部分：元编程、⾃自应⽤用、编译器⽣生
成
• 第三次：3⽉月23⽇日 ⽼老⻥鱼
• 第五部分：其他顺序计算模型
• 第六部分：邱奇－图灵论题
• 第七部分：函数式语⾔言的可计算性
• 第四次：4⽉月6⽇日
• 第⼋八部分：不可解问题
• 第九部分：希尔伯特第⼗十问题
• 第五次：4⽉月20⽇日 张江
• 第⼗十部分：哥德尔不完备定理
• 第六次：5⽉月4⽇日
• 第⼗十⼀一部分：基于数的可计算性理论
• 第⼗十⼆二部分：更抽象的可计算性途径

3. 第三部分
• ⼏几个基本概念
• 停机问题
• s-m-n 定理
• Rice 定理

4. ⼏几个概念
不同的⼏几个等价的视⾓角
• 程序是否可以停机：可计算、全可计算
• 程序可以视为函数
• 函数的构造：部分递归、递归
• 函数可以视为笛卡尔积的⼦子集
• 集合元素是否能判定：半可判定、可判定
• 特征函数的计算
另外⼀一个视⾓角：⽤用程序可以枚举
• 视为函数：
• 递归可枚举—递归函数的值域
• 部分递归函数的定义域
• 视为判定集合成员
• 半可判定

5. 辨析之⼀一
• A 和 A 的补集半可判定，则 A 可判定
• 证明思路：
• 设 A 可以由程序 p 半判定，A 的补集由程序 q 半判定
• 构造程序 r 把 p 和 q 混搭起来，使得 p 和 q 有⼀一个停机，则 r 停
机

6. 停机问题
⼏几个等价的说法
• 停机问题是不可解的
• 判断停机的程序不存在
• 停机函数不可计算
• 停机的程序-数据集合 HALT 不可判定

7. 延伸讨论
• 停机的程序-数据集合 HALT 半可判定
• 证明思路：利⽤用解释器 u，构造如下程序
read PD
V = u PD
write ‘true
• 推论：HALT的补集既不可判定也不半可判定

8. s-m-n 定理
• 特化器的存在性
• [[spec](p.s)](d) = [p](s.d)
• 构造思路：
• 特化时刻：
• 程序 spec 输⼊入的 s 转接给输出的程序 q，成为 q 内部的⼀一个赋值
• 程序 spec 输⼊入的 p 转接给输出的程序 q，使得 p 嵌⼊入到 q 内部
• 运⾏行时刻：
• q 有输⼊入 d，这样 q 可以把 s 和 d 合并，再转接给嵌⼊入其中的程序 p

9. Rice 定理
• ⼏几个定义：
• 属性 A 是⼀一个 While 程序的集合；
• 属性 A 是⾮非平凡的，当且仅当 A 不是空集或全集；
• 属性 A 是外延属性，当且仅当，对任意给定的语义等价的两个程
序 p 和 q， p 属于 A 等价于 q 属于 A；
• Rice 定理：
• 程序的任何⾮非平凡的外延属性都是不可判定的

10. Rice 定理的证明
• 证明思路：
• 若 Rice 定理不成⽴立，则存在⾮非平凡属性 R 可判定，即判定程序 is-R
可计算⼀一个程序 q 是否属于 R。
• 取程序 r 属于 R, 对任意程序 p 和任意⼀一个参数 d，可构造程序 q
read X; Y = p d; Z = r X; write Z;
• 另有程序 h ：
read pd; W = is-R q; write W;
• 易⻅见 h 可判定与停机定理⽭矛盾。

11. 回顾
论述对象 部分有定义 全有定义
计算过程 可计算 递归
函数 部分递归 递归
集合 递归可枚举 递归
问题 半可判定 可判定