Unidad no. 2 búsqueda en espacio de estados

INTELIGENCIA ARTIFICIAL - ICIF0021
Unidad 2 - B´squeda en Espacio de Estados
u

Docente: Milton A. Ram´ Klapp
ırez
miramire@gmail.com

Universidad San Sebasti´n
a
Facultad de Ingenier´ y Tecnolog´
ıa ıa

Primer Semestre 2011

M. Ram´
ırez K. (USS) Apunte curso IA Primer Semestre 2011 1 / 111

Objetivos de la Unidad

Conocen la estructura general de un agente de b´squeda.
u
Identifican los tipos de b´squeda que existen y comprenden las diferencias entre
u
ambos enfoques.
Conocen las diferentes m´tricas que existen para evaluar el rendimiento de un
e
algoritmo determinado en funciń de par´metros como completitud, optimalidad,
o a
complejidad temporal y complejidad espacial.
Realizan b´squedas no informadas empleando las estrategias en anchura y en
u
profundidad.
Comprenden la problem´tica que tiene la b´squeda no informada y entienden la
a u
necesidad de contar con informaciń adicional en un problema.
o
Resuelven problemas aplicando estrategias de b´squeda informada con heur´
u ısticas
admisibles.

M. Ram´

Contenidos

1 Estructura de un espacio de estados.
2 ´
Arboles de b´squeda.
u
3 Algoritmo general de b´squeda.
u
4 B´squeda no informada: por anchura y en profundidad.
u
5 B´squeda informada: A*.
u
6 Admisibilidad de heur´
ısiticas.
7 M´tricas para evaluar el rendimiento de una soluci´n.
e o

M. Ram´

Presentaci´n
o

Sabemos c´mo plantear un problema.
o
¿C´mo lo resolvemos?
o
Mediante una exploraci´n del espacio de estados.
o
El ´rbol de b´squeda es la estructura de datos que permite hacer el
a u
escaneo y se construye a partir del espacio de estados.

M. Ram´

Presentaciń
o

En l´
ıneas generales, se parte del estado inicial del ´rbol de b´squeda
a u
y se va evaluando cada operaciń posible hasta llegar a la soluciń del
o o
problema, respetando en todo momento las restricciones del mismo.

M. Ram´

Importante
Las acciones que lleguen a ¶ deben evitarse siempre.

M. Ram´

Espacio de estados

El espacio de estados se puede representar como un grafo donde:
cada nodo corresponde a un estado del problema,
los arcos (aristas) representan la aplicaciń de un operador.
o
Si f ∈ Φ y para algń x ∈ E : f (x) = y, la representaciń gr´fica de
u o a
esto es:

f
x y

M. Ram´

Espacio de estados

v1 NODO INICIAL

o1 o2

v2 v3

o1 o1
o1
o2 NODOS
INTERMEDIOS
o2
o2
o2
v4 v5 v6

o1 o2 o1

v7 v8 v9
NODOS OBJETIVOS
01, 02 01, 02
01, 02
NODO DE FRACASO

M. Ram´

Espacio de estados

Identiﬁque todos los elementos del espacio de estados de la ﬁgura
anterior:
conjunto de estados E
conjunto de operadores Φ
para cada operador ∆ ∈ Φ indique en una tabla el valor de ∆(x), x ∈ E
conjunto de objetivos M

M. Ram´

Importante
Es f´cil advertir en general que, independiente del problema P:
a

(∀m ∈ M)(∀∆ ∈ Φ) : ∆(m) = m

´
Arboles de b´squeda
u

Las deﬁniciones de nodo y arco son las mismas que ocupamos para
explicar el espacio de estados.
Recordar que en un ´rbol
a
existe un unico camino entre cada par de nodos y
´
no hay ciclos.

M. Ram´

´
u
Conceptos particulares

La ra´ del ´rbol corresponde al estado inicial.
ız a
La expansi´n de un nodo es el proceso que permite encontrar sus
o
sucesores inmediatos.
Los sucesores de un nodo reciben el nombre de hijos.
El objetivo es un nodo terminal del ´rbol que se recibe el nombre de
a
hoja.

RAÍZ

NODO N

NODOS SUCESORES DE N

M. Ram´

Esquema general de b´squeda
u

Elementos principales

La lista ABIERTO contiene a los estados que han sido generados pero
no explorados, lo que quiere decir que hasta el momento no se saben
si son estado ﬁnal ni cu´les son sus estados sucesores (o hijos) dentro
a
del ´rbol de b´squeda.
a u
La lista CERRADO guarda todos los estados que ya se han visitado.

M. Ram´

u

Entrada: representaciń del espacio de estados
o
Salida: ´xito o fracaso
e
1: Crear el ´rbol de b´squeda T con X como nodo inicial
a u
2: ABIERTO ← [X]
3: CERRADO ← []
4: mientras ABIERTO = [] hacer
5: remover un estado X del conjunto ABIERTO
6: si X es un estado objetivo entonces
7: retornar ´xito: camino hasta X en T
e
8: sino
9: generar el conjunto de sucesores admisibles del estado X
10: agregar X al conjunto CERRADO
11: eliminar los sucesores que estń en ABIERTO o en CERRADO
e
12: agregar el resto de los sucesores al conjunto ABIERTO
13: incorporar los sucesores que queden de X en el ´rbol T creando los arcos
a
correspondientes
14: fin si
15: fin mientras
16: retornar fracaso

M. Ram´

u

En la l´
ınea 11 del algoritmo general de b´squeda, el hecho de
u
eliminar los sucesores que est´n en ABIERTO o en CERRADO evita
e
caer en ciclos, para que no sean considerados de nuevo.
Dependiendo del orden en que se traten los elementos de ABIERTO,
se obtienen diferentes tipos de recorrido.

M. Ram´

Espacio de estados

El espacio de estados se puede representar como un grafo donde:
cada nodo corresponde a un estado del problema,
los arcos (aristas) representan la aplicaciń de un operador.
o
Si f ∈ Φ y para algń x ∈ E : f (x) = y, la representaciń gr´fica de
u o a
esto es:

f
x y

M. Ram´

Espacio de estados

v1 NODO INICIAL

o1 o2

v2 v3

o1 o1
o1
o2 NODOS
INTERMEDIOS
o2
o2
o2
v4 v5 v6

o1 o2 o1

v7 v8 v9
NODOS OBJETIVOS
01, 02 01, 02
01, 02
NODO DE FRACASO

M. Ram´

Espacio de estados

Identiﬁque todos los elementos del espacio de estados de la ﬁgura
anterior:
conjunto de estados E
conjunto de operadores Φ
para cada operador ∆ ∈ Φ indique en una tabla el valor de ∆(x), x ∈ E
conjunto de objetivos M

M. Ram´

Espacio de estados

Importante
Independiente de cu´l sea P =< E, Φ, M >, estableceremos que
a

(∀m ∈ M)(∀∆ ∈ Φ) : ∆(m) = m

¿C´mo se traduce al espa˜ol el comentario de arriba?
o n

M. Ram´

´
u

Las deﬁniciones de nodo y arco son las mismas que ocupamos para
explicar el espacio de estados.
Recordar que en un ´rbol
a
existe un unico camino entre cada par de nodos y
´
no hay ciclos.

M. Ram´

´
u
Conceptos particulares

La ra´ del ´rbol corresponde al estado inicial.
ız a
La expansi´n de un nodo es el proceso que permite encontrar sus
o
sucesores inmediatos.
Los sucesores de un nodo reciben el nombre de hijos.
El objetivo es un nodo terminal del ´rbol que recibe el nombre de
a
hoja.

RAÍZ

NODO N

NODOS SUCESORES DE N

M. Ram´

u

Elementos principales

La lista ABIERTO contiene a los estados que han sido generados pero
no explorados, lo que quiere decir que hasta el momento no se saben
si son estado ﬁnal ni cu´les son sus estados sucesores (o hijos) dentro
a
del ´rbol de b´squeda.
a u
La lista CERRADO guarda todos los estados que ya se han visitado.

M. Ram´

u

o
e
a u
2: ABIERTO ← [X]
3: CERRADO ← []
5: remover un estado X del conjunto ABIERTO
e
8: sino
e
12: agregar el resto de los sucesores al conjunto ABIERTO
a
correspondientes
14: ﬁn si
15: ﬁn mientras

M. Ram´

u

En la l´
ınea 11 del algoritmo general de b´squeda, el hecho de
u
eliminar los sucesores que est´n en ABIERTO o en CERRADO evita
e
caer en ciclos, para que no sean considerados de nuevo.
Dependiendo del orden en que se traten los elementos de ABIERTO,
se obtienen diferentes tipos de recorrido.

M. Ram´

M´tricas para medir el rendimiento de una soluciń
e o

Completitud. El algoritmo es completo si es capaz de hallar la soluciń del
o
problema.
Complejidad temporal. Se refiere al costo en tiempo que tarde la ejecuciń
o
del algoritmo para encontrar la soluciń – si es que puede
o
hacerlo – en funciń del tamaõ de la entrada.
o n
Complejidad espacial. Es el espacio requerido para almacenar los nodos
que estń o se hayan explorado.
e
Optimalidad. Si es capaz de encontrar la mejor soluciń de acuerdo a
o
algń criterio de costo determinado.
u

M. Ram´

M´tricas para medir el rendimiento de una soluciń
e o
Elementos que intervienen en la complejidad

Complejidad temporal

1 Factor de ramificaciń (b): corresponde al m´ximo n´mero de
o a u
sucesores de cualquier nodo.
2 Profundidad (d): es la distancia a la que se encuentra el nodo
objetivo m´s superficial.
a
3 Longitud m´xima del camino (m): es la profundidad m´xima en el
a a
´rbol de b´squeda.
a u

Complejidad espacial
Se mide en funciń del tamaõ m´ximo que alcancen los conjuntos
o n a
ABIERTO y CERRADO durante el proceso de b´squeda.
u

M. Ram´

Costo total de una b´squeda
u

Entonces, el costo de hacer una b´squeda se mide en t´rminos:
u e
del tiempo de ejecuci´n de la b´squeda
o u
la cantidad de memoria que utilice.

Por lo tanto, el costo total de la soluci´n es igual a
o

tiempo de b´squeda + costo del camino
u

M. Ram´

¿Qu´ vimos la clase pasada?
e

Elementos principales de los algoritmos de b´squeda.
u
M´tricas para evaluar el rendimiento de los m´todos de b´squeda.
e e u

M. Ram´

Hoy veremos

Estrategias de b´squeda
u
en particular m´todos no informados, como algoritmos que operan en
e
profundidad y en amplitud.
Comparaci´n entre ambos m´todos.
o e

M. Ram´

Estrategias de B´squeda
u

Trabajaremos con dos esquemas:
B´squeda no informada
u

No hay informaciń adicional sobre los estados.
o
S´lo se utiliza la definiciń del problema.
o o
Sigue un orden de exploraciń del espacio de estados de acuerdo a su
o
estructura.

B´squeda informada
u

Utilizan una estimaciń del costo o de la calidad de la soluciń para
o o
guiar la b´squeda.
u
No sigue un orden espec´ ıfico para explorar el espacio de estados, sino
que se orientan por el criterio heur´
ıstico aplicado.

M. Ram´

Etapas del proceso de codificaciń de la soluciń
o o
independiente del esquema elegido

PROBLEMA

M. Ram´

o o

abstracción EXPRESIÓN
PROBLEMA COMO ESPACIO
DE ESTADOS

M. Ram´

o o

DE ESTADOS

IMPLEMENTAC .
EN LENG . DE
PROGRAMACIÓN

M. Ram´

o o

DE ESTADOS

APLICACIÓN IMPLEMENTAC .
ALGORITMO EN LENG . DE
BÚSQUEDA PROGRAMACIÓN

M. Ram´

o o

DE ESTADOS

APLICACIÓN IMPLEMENTAC.
ALGORITMO EN LENG . DE
BÚSQUEDA PROGRAMACIÓN

interpretación

SOLUCIÓN

M. Ram´

B´squeda no informada
u

Veremos dos t´cnicas:
e
1 B´squeda en profundidad.
u
2 B´squeda en anchura.
u

La diferencia entre uno y otro es la manera en la cual se administre el
orden de visita de los nodos del conjunto ABIERTO.

M. Ram´

B´squeda en Profundidad
u

Se le conoce como depth-ﬁrst search.
El conjunto ABIERTO se maneja como una lista tipo LIFO:
last in, ﬁrst out
los elementos de ABIERTO se tratan como a una pila.

M. Ram´

B´squeda en Profundidad
u

De manera m´s informal, este algoritmo opera as´
a ı:
Se comienza en el nodo ra´
ız
Despu´s se expanden todos los hijos
e
A continuaci´n se expanden los hijos de los hijos avanzando en
o
profundidad
. . . y as´ sucesivamente
ı
En l´
ıneas generales, se visitan primero los ultimos nodos en ser
´
generados.

M. Ram´

Algoritmo de B´squeda en Profundidad
u

o
e
a u
2: ABIERTO ← [X]
3: CERRADO ← []
5: remover el primer elemento X del conjunto ABIERTO
7: retornar ´xito: camino en T hasta X
e
8: sino
e
12: agregar el resto de los sucesores al principio del conjunto ABIERTO
a
correspondientes
14: ﬁn si
15: ﬁn mientras

M. Ram´

Ejemplo
Traza del algoritmo de b´squeda en profundidad
u

Consideremos, para simpliﬁcar, el siguiente espacio de estados donde 1 es
el nodo de inicio y 8 el objetivo:

2 6

1 4 5 8

3 7

M. Ram´

Ejemplo
u

El seguimiento que haremos se har´ a trav´s de una tabla cuyas columnas
a e
serń las variables que intervienen en la concepciń del algoritmo:
a o
Lista de estados ABIERTO (sin explorar ań).
u
Lista de estados CERRADOS (ya explorados).
X, que hace las veces del primer elemento de ABIERTO.
Conjunto de sucesores de X
los hijos de X los ordenaremos por nombre en forma ascendente.

M. Ram´

Ejemplo
u

Tabla de traza del algoritmo:
No. Iteraci´n
o ABIERTO CERRADO X Sucesores de X
[1] [] 1 2-3
1 [] [1]
[2 3]
Evoluci´n del ´rbol de b´squeda parcial:
o a u
2

1

3

M. Ram´

Ejemplo
u

No. Iteraci´n
2 [3] [1 2] 2 4-6
[4 6 3]
o a u
2 6

1 4

3

M. Ram´

Ejemplo
u

No. Iteraci´n
3 [6 3] [1 2 4] 4 5
[5 6 3]
o a u
2 6

1 4 5

3

M. Ram´

Ejemplo
u

No. Iteraci´n
4 [6 3] [1 2 4 5] 5 6-7
[7 6 3] 7
o a u
2 6

1 4 5

3 7

M. Ram´

Ejemplo
u

No. Iteraci´n
5 [6 3] [1 2 4 5 7] 7 8
[8 6 3]
o a u
2 6

1 4 5 8

3 7

M. Ram´

Ejemplo
u

No. Iteraciń
6 [6 3] 8

El camino final se muestra con flechas m´s gruesas:
a
2 6

1 4 5 8

3 7

M. Ram´

B´squeda en Anchura
u

Se le conoce tambiń como b´squeda en amplitud o breadth-first
e u
search.
El conjunto ABIERTO se maneja como una lista FIFO:
first in, first out
se maneja como una fila.

M. Ram´

u

El recorrido que del espacio de estados lo hace por niveles de
profundidad, de manera que un nodo se visita solamente cuando
todos sus predecesores y sus hermanos anteriores en orden de
generaci´n ya se han visitado.
o

NODO INICIAL
NIVEL 0

NIVEL 1

NIVEL 2

OBJETIVO NIVEL 3

M. Ram´

u

Se comienza en el nodo ra´
ız.
Despu´s se expanden todos los hijos.
e
A continuaci´n se expanden todos los hijos de los hijos.
o
. . . y as´ sucesivamente
ı
se expanden todos los nodos de un nivel antes de expandir el pr´ximo.
o

M. Ram´

Algoritmo de B´squeda en Anchura
u

o
e
a u
2: ABIERTO ← [X]
3: CERRADO ← []
5: remover el primer elemento X del conjunto ABIERTO
7: retornar ´xito: camino en T hasta X
e
8: sino
e
12: agregar el resto de los sucesores al final del conjunto ABIERTO
a
correspondientes
14: fin si
15: fin mientras

M. Ram´

Ejemplo
traza del algoritmo de b´squeda en anchura
u

Consideremos nuevamente el espacio de estados del ejemplo anterior

2 6

1 4 5 8

3 7

M. Ram´

Ejemplo
u

No. Iteraci´n
[1] [] 1 2-3
1 [] [1]
[2 3]
o a u
2

1

3

M. Ram´

Ejemplo
u

No. Iteraci´n
2 [3] [1 2] 2 4-6
[3 4 6]
o a u
2 6

1 4

3

M. Ram´

Ejemplo
u

No. Iteraci´n
3 [4 6] [1 2 3] 3 4-5-7
[4 6 5 7] 5-7
o a u
2 6

1 4 5

3 7

M. Ram´

Ejemplo
u

No. Iteraci´n
4 [6 5 7] [1 2 3 4] 4 5

o a u
2 6

1 4 5

3 7

M. Ram´

Ejemplo
u

No. Iteraci´n
5 [5 7] [1 2 3 4 6] 6 7-8
[5 7 8] 8
o a u
2 6

1 4 5

3 7 8

M. Ram´

Ejemplo
u

No. Iteraci´n
6 [7 8] [1 2 3 4 6 5] 5 6-7
——
o a u
2 6

1 4 5

3 7 8

M. Ram´

Ejemplo
u

No. Iteraci´n
7 [8] [1 2 4 5 6 5 7] 7 8

o a u
2 6

1 4 5

3 7 8

M. Ram´

Ejemplo
u

No. Iteraciń
8 [] 8

El camino final se muestra con flechas m´s gruesas:
a
2 6

1 4 5

3 7 8

M. Ram´

/* Comentario */

Los ejemplos de seguimiento que hemos hecho hasta el momento han
contemplado s´lo un grafo en donde hemos encubierto las
o
operaciones que permiten ir de un estado a otro.
Esto era solamente para que se entienda bien el esp´
ıritu de los
algoritmos que se han revisado.
A continuaci´n veremos un ejemplo donde el grafo ya no lo vamos a
o
tener listo como el de los ejemplos anteriores, sino que va a ser
necesario ir generando los nodos siguiendo un orden de aplicaci´n de
o
operadores.

M. Ram´

Ejemplo
Puzzle 4

Consideremos una adaptaciń del puzzle 8 conocida como el puzzle
o
4, el cual sigue las mismas reglas con las mismas operaciones, tal
como fueron definidas para su hom´logo.
o
Encuentre una soluciń para este problema usando b´squeda en
o u
profundidad, indicando la secuencia de operaciones a realizar,
sabiendo que los estados inicial y final son, respectivamente:

1 2 3 1
3 2

M. Ram´

Ejemplo
Puzzle 4

Los elementos del espacio de estados son:
1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
3 2 3 1 2 1
(1) (2) (3) (4) (5) (6)

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2
3 2 3 1 2 1
(7) (8) (9) (10) (11) (12)

1 1 2 2 3 3
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
(13) (14) (15) (16) (17) (18)

1 1 2 2 3 3
2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1
(19) (20) (21) (22) (23) (24)

¶(25)

M. Ram´

Ejemplo
Puzzle 4

De acuerdo a este esquema, el estado inicial queda seteado como el
n´mero 1 y el objetivo como el 5.
u
El orden que se va a establecer para encontrar los sucesores de cada
estado va a estar dado por:

m→ m← m↑ m↓

M. Ram´

/* Comentario */

Importante
El criterio que se elija para establecer la secuencia de
operadores es completamente arbitrario.
lo que implica el orden en que se generen los sucesores de
cualquier nodo del ´rbol
a
Una vez establecido, se debe respetar en todo momento.

M. Ram´

Ejemplo
Puzzle 4

Entenderemos que para cualquier estado, sus nodos sucesores
admisibles son aquellos que sean distintos de ¶.
Veamos, por ejemplo, cu´les son los estados sucesores admisibles para
a
1 2
el nodo inicial de acuerdo al orden de operadores establecido:
3

1 2
1 m→ = ¶ pues no podemos salir del tablero.
3
1 2 1 2
2 m← =
3 3
1 2 1
3 m↑ =
3 3 2
1 2
4 m↓ = ¶ pues no podemos salir del tablero.
3

M. Ram´

Ejemplo
Puzzle 4

Por lo tanto, de acuerdo al orden que nos dan las funciones md , el orden
1 2
de los sucesores admisibles para es:
3

1 2 1
(7) ∧ (14)
3 2 3

M. Ram´

Puzzle 4
traza de soluci´n usando b´squeda en profundidad
o u

No. Iteraci´n
1 [1] [] 1 7-14
[7 14] [1]
o a u

m 7

1

m 14

M. Ram´

Puzzle 4
o u

No. Iteraci´n
2 [14] [1 7] 7 1-21
[21 14] 21
o a u

m

m 7 21

1

m 14

M. Ram´

Puzzle 4
o u

No. Iteraci´n
3 [14] [1 7 21] 21 15-7
[15 14] 15
o a u

m m

m 7 21 15

1

m 14

M. Ram´

Puzzle 4
o u

No. Iteraci´n
4 [14] [1 7 21 15] 15 21-7
——
o a u

m m

m 7 21 15

1

m 14

M. Ram´

Puzzle 4
o u

No. Iteraci´n
5 [] [1 7 21 15 14] 14 20
[20]
o a u

m m

m 7 21 15

1
m
m 14 20

M. Ram´

Puzzle 4
o u

No. Iteraci´n
6 [] [1 7 21 15 14 20] 20 14-11
[11] 11
o a u

m m

m 7 21 15

1
m
m
m 14 20 11

M. Ram´

Puzzle 4
o u

No. Iteraci´n
7 [] [1 7 21 15 14 20 11] 11 5-20
[5] 5
o a u

m m

m 7 21 15

1
m
m
m 14 20 11
m

5

M. Ram´

Puzzle 4
o u

No. Iteraci´n
8 [] 5

o a u

m m

m 7 21 15

1
m
m
m 14 20 11
m

5
M. Ram´

/* Comentario */
Puzzle 4

De la iteraciń 8, se observa que el camino que conduce del estado 1
o
al 5 es

1 m↑ 14 m← 20 m↓ 11 m→ 5

Atendiendo a la numeraciń que ten´ los estados, este camino
o ıan
podemos representarlo gr´ficamente como:
a
m m
1 2 1 1
3 3 2 3 2
1
(1) (14) (20)

m

m
3 1 3 1
2 2

(5) (11)

M. Ram´

B´squeda en Profundidad vs B´squeda en Anchura
u u
Criterio: Completitud

En profundidad, el algoritmo encuentra una soluciń si se impone
o
una profundidad l´
ımite y existe una soluciń dentro de ese l´
o ımite.
En anchura, el algoritmo siempre encuentra una soluciń en caso de
o
haberla.

M. Ram´

u u
Criterio: Complejidad Temporal

En profundidad, si tomamos como medida del costo el n´mero de
u
nodos explorados, el costo es exponencial respecto al factor de
ramificaciń r y la profundidad del l´
o ımite de exploraciń m, nos da
o
O(rm ).
En anchura, si tomamos como medida del costo el n´mero de nodos
u
explorados, este crece de manera exponencial respecto al factor de
ramificaciń r y la profundidad m de la soluciń: O(rm ).
o o

M. Ram´

u u
Criterio: Complejidad Espacial

En profundidad, el costo es lineal respecto al factor de ramificaciń r
o
ımite de profundidad m, es decir O(rm).
y el l´
En anchura, Dado que tenemos que almacenar todos los nodos
pendientes por explorar, el costo es exponencial respecto al factor de
ramificaciń y la profundidad de la soluciń: O(rm ).
o o

M. Ram´

u u
Criterio: Optimalidad

En profundidad, no se garantiza que la soluciń sea ´ptima, la
o o
soluciń que se retornar´ ser´ la primera en el orden de exploraciń.
o a a o
En anchura, la soluciń obtenida es ´ptima respecto al n´mero de
o o u
pasos desde la ra´ Si los operadores de b´squeda tienen costo
ız. u
uniforme,el costo de la soluciń ser´ el ´ptimo.
o ıa o

M. Ram´

B´squeda informada
u

La b´squeda no informada comete el error de ser muy ineficiente.
u
Al no depender del problema para el cual se estń aplicando, operan
e
en cierta medida a ciegas.
El objetivo de las estrategias de b´squeda informadas es que
u
incorporen informaciń particular del problema para resolverlo:
o
se gana en eficiencia
se evita el uso de recorridos innecesarios en el espacio de estados.

M. Ram´

B´squeda informada
u

A diferencia de los m´todos no informados, la idea va a ser encontrar
e
algń v´rtice que presente ventajas comparativas sobre los otros
u e
candidatos:
uno que en cierta etapa presente mayores posibilidades de abrir
caminos que lleven a la soluciń.
o
Este v´rtice m´s promisor puede ser obtenido asociando un costo a
e a
cada regla, lo que determina una funciń de evaluaciń
o o

f : E −→ R+
0

que ya veremos.

M. Ram´

B´squeda informada
u

En esta clase de algoritmos, se retira el concepto de aplicabilidad de
reglas y se reemplaza por el de costo asociado a una regla, de tal
manera que la funci´n f ayude a encontrar el pr´ximo estado en ser
o o
expandido.
El m´todo que veremos en esta etapa recibe el nombre A*.
e

M. Ram´

Algoritmo A*
A-estrella

Es muy similar a la b´squeda en profundidad.
u
En este algoritmo la funciń de evaluaciń f la calculamos a partir de
o o
la suma de dos funciones

g, h : E −→ R+
0

de tal manera que para un estado n ∈ E:
g mide el costo acumulado en el ´rbol de exploraciń para ir de la ra´
a o ız
(nodo inicial) al nodo n (no necesariamente el ´ptimo).
o
h representa una estimaciń del costo m´s barato para ir del estado n
o a
hasta el objetivo.
h recibe el nombre de funciń heur´
o ıstica.
Si p es un estado objetivo, entonces h(p) = 0.

M. Ram´

Algoritmo A*
A-estrella

Importante
De esta manera:

∀n ∈ E : f (n) = g(n) + h(n)

f mide la distancia que hay de la ra´ hasta el objetivo pasando
ız
por el nodo n.
Por lo tanto, se preﬁeren los valores m´s bajos.
a

M. Ram´

Algoritmo A* I

Entrada: representaci´n del espacio de estados, estrategia de soluci´n
o o
e
1: Crear el grafo de b´squeda T con X como nodo inicial
u
2: ABIERTO ← [X]
3: CERRADO ← []
5: remover el primer nodo X de ABIERTO
6: colocar X en CERRADO
e
9: sino
10: generar el conjunto de sucesores del estado X
11: ordenar los sucesores en orden creciente de acuerdo a los valores actualizados
de f
12: incluir los sucesores de X en T con los arcos correspondientes
13: para cada Y en sucesores hacer
14: si Y no est´ en ABIERTO ni en CERRADO entonces
a
15: agregar Y en la lista ABIERTO

M. Ram´

Algoritmo A* II

16: actualizar la lista ABIERTO en orden creciente segń los valores de f
u
manteniendo el de menor valor
17: fin si
18: si Y est´ en ABIERTO entonces
a
19: si el nuevo camino a Y es m´s corto entonces
a
20: actualizar el camino almacenado en ABIERTO en forma creciente
segń los valores de f manteniendo el de menor valor
u
21: fin si
22: fin si
23: si Y est´ en CERRADO entonces
a
24: si el nuevo camino a Y es m´s corto entonces
a
25: remover Y de CERRADO
26: agregar Y en ABIERTO
27: fin si
28: fin si
29: fin para
30: fin si
31: fin mientras

M. Ram´

Algoritmo A*
A-estrella

Por notaci´n, al elaborar el ´rbol de b´squeda, al lado de cada nodo n
o a u
colocaremos expl´ıcitamente g(n) + h(n).

M. Ram´

Algoritmo A* - Ejemplo
parte del mapa de Rumania

71
Zerind Oradea

75
151
140 99
Arad Sibiu Fagaras

118
Timisoara 80

111 211
Rimnicu
Lugoj Vilcea

97
70 Pitesti 101
146
Mehadia
Bucharest
138
Craiova
75
Dobreta
120
M. Ram´

Algoritmo A*
Ejemplo de traza del algoritmo

Los nodos representan ciudades y las aristas vienen rotuladas con el
costo para ir de un lugar a otro.
Se pide encontrar el costo m´
ınimo y el camino que se debe seguir
para ir de Arad hasta Bucarest ocupando el algoritmo A*.

M. Ram´

De Arad a Bucharest I
traza de A*

En todo problema donde intervengan estrategias de b´squeda informadas,
u
debemos considerar la funci´n heur´
o ıstica.
En este caso, podemos considerar como heur´ıstica la distancia que hay en l´
ınea
recta para ir desde una ciudad n hasta Bucharest. As´ı:

h(n) = distancia en l´
ınea recta desde n hasta Bucharest

Los valores se resumen en esta tabla:
Ciudad n h(n) Ciudad n h(n)
Arad 366 Oradea 380
Bucharest 0 Pitesti 100
Craiova 160 Rimnicu Vilcea 193
Dobreta 242 Sibiu 253
Fagaras 176 Timisoara 329
Lugoj 244 Zerind 374
Mehadia 241

M. Ram´

De Arad a Bucharest II
traza de A*

Haremos en detalle las dos primeras iteraciones del algoritmo.
Una iteraci´n habr´ ﬁnalizado cada vez que se salga del ciclo mientras de A*
o a

M. Ram´

De Arad a Bucharest III
traza de A*

Iteraci´n 1.
o

El nodo X tiene el valor Arad porque es el estado inicial del problema. Luego:
ABIERTO = [Arad]
CERRADO = []
Como ABIERTO no es igual a [], removemos el primer nodo que tiene, en este
caso X=Arad y lo colocamos en CERRADO.
De esta manera, los valores actuales que toman estas listas son
ABIERTO = []
CERRADO = [Arad]
Como X=Arad no es el estado objetivo, procedemos a hallar sus sucesores:
Timisoara
Zerind
Sibiu

M. Ram´

De Arad a Bucharest IV
traza de A*

Para ordenarlos, debemos evaluar la funci´n f en cada uno de ellos y luego
o
reescribirlos de menor a mayor:

f (Timisoara) = g(Timisoara) + h(Timisoara)
= 118 + 329
= 447

f (Zerind) = g(Zerind) + h(Zerind)
= 75 + 374
= 449

f (Sibiu) = g(Sibiu) + h(Sibiu)
= 140 + 253
= 393

M. Ram´

De Arad a Bucharest V
traza de A*

De esta manera, los sucesores de X los anotamos en este orden:

Sibiu Timisoara Zerind

Arad

140+253 75+374

Sibiu 118+329 Timisoara Zerind

Ahora hay que hacer el tratamiento de los nodos sucesores de X:

Nodo Y Nuevo f (Y) Actualizaci´n de ABIERTO
o
Sibiu 393 [Sibiu]
Timisoara 447 [Sibiu Timisoara]
Zerind 449 [Sibiu Timisoara Zerind]

M. Ram´

De Arad a Bucharest VI
traza de A*

Con esto termina la primera iteraciń. Hasta el momento:
o
ABIERTO = [Sibiu Timisoara Zerind]
CERRADO = [Arad]

Iteraciń 2.
o

El primer nodo X de ABIERTO es Sibiu.
Tras retirarlo y colocarlo en CERRADO, ambas listas quedan as´
ı:
ABIERTO = [Timisoara Zerind]
CERRADO = [Arad Sibiu]
Como X=Sibiu no es estado final, buscamos sus sucesores:
Arad (el hecho que est´ en CERRADO no significa que haya que
e
excluirlo como sucesor)
Oradea
Fagaras
Romnicu Vilcea
M. Ram´

De Arad a Bucharest VII
traza de A*

Como g mide el costo acumulado que se lleva desde la ra´ hasta el nodo n
ız
debemos considerar que hasta el momento hemos expandido Arad y Sibiu, de tal
manera que g(Arad) es igual al costo del camino de Arad a Sibiu (140) m´s el
a
retorno de Sibiu a Arad (140).
As´ g(Arad)=280. Por lo tanto:
ı,
g(Oradea) = costo camino Arad - Sibiu - Oradea = 140 + 151 = 291
g(Fagaras) = costo camino Arad - Sibiu - Fagaras = 140 + 99 = 239
g(Romnicu Vilcea) = costo camino Arad - Sibiu - Romnicu Vilcea =
140 + 80 = 220
De esta manera, los valores actualizados de f para cada sucesor y ordenados de
manera creciente son:
f (Romnicu Vilcea) = 413
f (Fagaras) = 415
f (Oradea) = 646
f (Arad) = 671

M. Ram´

De Arad a Bucharest VIII
traza de A*

El grafo de b´squeda se muestra a continuaci´n con los nodos actualizados:
u o

Arad

Sibiu 118+329 Timisoara Zerind 75+374

Romnicu
Vilcea Arad Fagaras Oradea 291+380
220+193 280+366 239+176

M. Ram´

De Arad a Bucharest IX
traza de A*

De los sucesores de Sibiu, el unico que est´ en ABIERTO es Arad y mantenemos el
´ a
camino acumulado de menor valor en el grafo, que vale 140+253 = 393,
descart´ndose el “nuevo” Arad como nodo para explorar.
a

M. Ram´

De Arad a Bucharest X
traza de A*

¿Y el resto de las ciudades?

M. Ram´

De Arad a Bucharest XI
traza de A*

Romnicu Vilcea

Arad


Romnicu Arad Fagaras Oradea 291+380
Vilcea
280+366 239+176

Sibiu Craiova Pitesti

300+253 366+160 315+100

M. Ram´

De Arad a Bucharest XII
traza de A*

Fagaras

Arad


Vilcea
280+366

Sibiu Craiova Pitesti Sibiu Bucharest

300+253 366+160 315+100 338+253 450+0

M. Ram´

De Arad a Bucharest XIII
traza de A*

Pitesti

Arad


Vilcea
280+366


300+253 366+160 338+253 450+0

Romnicu Bucharest
Vilcea Craiova

414+193 418+0 455+160

M. Ram´

De Arad a Bucharest XIV
traza de A*

Bucharest

Arad


Vilcea
280+366


300+253 366+160 338+253 450+0

Romnicu
Vilcea Bucharest Craiova

414+193 455+160
418

M. Ram´

De Arad a Bucharest XV
traza de A*

De esta manera, el costo del camino menor para llegar a Bucharest es igual a 418 y la
ruta a seguir est´ dada por
a

Arad Sibiu Romnicu Vicea Pitesti Bucharest

M. Ram´

Admisibilidad

Un algoritmo de b´squeda se dice que es admisible si garantiza que pueda
u
encontrar el camino ´ptimo entre el estado inicial y el objetivo.
o
Una b´squeda basada en una funciń de evaluaciń heur´
u o o ıstica

f (n) = g(n) + h(n)

es admisible si h subestima el largo del camino m´
ınimo efectivo.
Es optimista, ya que “cree” que el costo para ir de un nodo n y el
objetivo es menor de lo que en realidad es.
Para demostrar que un algoritmo de b´squeda sea admisible, se define una
u
funciń
o
f ∗ : E −→ R+
0

que entrega el largo del camino ´ptimo del nodo inicial a un nodo objetivo
o
pasando por n.

M. Ram´

Admisibilidad

A este tipo de funciones se les conoce como funciones or´culo porque
a
implica adivinar cu´l es el mejor camino sin recorrer el espacio de estados.
a
∀n ∈ E se deﬁne
f ∗ (n) = g ∗ (n) + h∗ (n)
en que
g ∗ (n) es el largo efectivo del camino ´ptimo del nodo inicial al nodo
o
n.
h∗ (n) es el largo efectivo desde n al objetivo.

Siempre se tiene que
∀n ∈ E : g(n) ≥ g ∗ (n)

M. Ram´

Admisibilidad

Teorema.
Si ∀n ∈ E : h(n) ≤ h∗ (n) entonces la b´squeda heur´
u ıstica es admisible.

Demostraci´n
o

Supongamos por el contrario que

∀n ∈ E : h(n) ≤ h∗ (n)

y que la b´squeda heur´
u ıstica no es admisible bajo esa condici´n.
o
Sea q uno de los nodos objetivo del problema y supongamos que q fue generado a trav´s
e
de un camino de largo (o costo) l:
entonces f (q) = l
Como q fue el ultimo nodo en ser expandido, se tiene que ∀x ∈ ABIERTO: f (x) ≥ f (q)
´

por lo tanto, f (x) ≥ l

M. Ram´

Admisibilidad
Demostraciń (Cont.)
o

Pero, si el camino que lleva a q no es el optimo debiera existir algń nodo n en la lista
´ u
ABIERTO que se haya generado antes de expandir q y que est´ en el camino ´ptimo.
e o
Si n estuviera en el camino optimo entonces g(n) = g ∗ (n), de tal manera que
´

f (n) = g ∗ (n) + h(n)

Dado que hemos supuesto h(n) ≤ h∗ (n), entonces

[g ∗ (n) + h(n)] ≤ [g ∗ (n) + h∗ (n)] ⇐⇒ f (n) ≤ f ∗ (n)

Como dijimos que este algoritmo de b´squeda no era admisible, entonces el camino que
u
conduce a q no es el ´ptimo por lo que f ∗ (n) < l y as´ f (n) ≤ f ∗ (n) < l.
o ı
Esto nos conduce a que

f (n) < l
lo que genera una contradicciń.
o

M. Ram´

Admisibilidad

Teorema.
Si la heur´
ıstica que se use es admisible, el algoritmo A* es ´ptimo si
o
no descartamos nodos.

M. Ram´

Fin de la Unidad 2

M. Ram´

Unidad no. 2 búsqueda en espacio de estados

Recomendados

Recomendados

Más contenido relacionado

La actualidad más candente

La actualidad más candente (20)

Destacado

Destacado (15)

Unidad no. 2 búsqueda en espacio de estados