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  1. 1. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 Ejercicios Propuestos: 1. Se conecta un bloque de masa m a un muelle cuyo otro extremo se mantiene fijo. Existe también un mecanismo de amortiguamiento viscoso. Sobre este sistema se han realizado las siguientes observaciones: 1. Si se empuja horizontalmente el bloque con una fuerza igual a m, la compresión estática del muelle es igual a h. 2. La fuerza resistente viscosa es igual a mg si el bloque se mueve con una cierta velocidad conocida u. a) Para este sistema completo (en el que se incluye tanto el muelle como el amortiguador) escribir la ecuación diferencial que rige las oscilaciones horizontales de la masa en función de m, g, h y u. Respondera las siguientes cuestiones en el caso de que ghu 3 : b) ¿Cuál es la frecuencia angular de las oscilaciones amortiguadas? c) ¿Qué tiempo a de transcurrir, expresado en forma de un múltiplo de gh , para que la energía descienda en un factor 1/e? d) ¿Cuál es el valor Q de este oscilador? e) Este oscilador, inicialmente en su posición de reposo, se pone en movimiento repentinamente cuando t=0 mediante un proyectil de masa despreciable, pero cantidad de movimiento no nula, que se mueve en sentido positivo de las x. Hallar el valor de ángulo de fase δ en la ecuación. 2. Imaginemos un sismógrafo sencillo compuesto por una masa M colgada mediante un muelle de un montaje rígido sujeto a la Tierra, tal como se indica. La fuerza el muelle y la fuerza amortiguadora dependen del desplazamiento y de la velocidad relativa de la masa respecto a la superficie de la Tierra, pero la aceleración que tiene significado dinámico es la aceleración de M relativa a las estrellas fijas. a) Utilizando y para denomina el desplazamiento de M respecto a la tierra y η para designar el desplazamiento de la propia tierra, demostrar que la ecuación del movimiento es: 2 2 2 02 2 dt d y dt dy dt yd    b) Hallar el valor de y (vibración de estado estacionario) si 𝜂 = 𝐶 cos 𝜔𝑡. c) Dibujar un esquema de la amplitud del desplazamiento y en función de ω, suponiendo de C es el mismo para todos los valores de ω. d) Un sismógrafo típico de período largo tiene un período de unos 30 s y una Q de 2, aproximadamente. Como resultado de un terremoto violento la superficie de la Tierra puede oscilar con un período de unos 20 minutos y con una amplitud tal que la aceleración máxima sea aproximadamente de 10-9 m/s2. ¿Cuál será el menor valor de A que sea observable si ha de ser detectado porel sismógrafo?
  2. 2. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 3. Consideremos un sistema con una fuerza amortiguadora que sufre unas oscilaciones forzadas con frecuencia angular ω. a) ¿Cuál es la energía cinética instantánea del sistema? b) ¿Cuál es la energía potencial instantánea del sistema? c) ¿Cuál es el cociente entre la energía cinética media y la energía potencial media? Expresar la respuesta en función del cociente 0 . d) ¿Para qué valor o valores de ω son iguales la energía cinética media y la energía potencial media? ¿Cuál es la energía total del sistema en estas condiciones? e) ¿Cómo varía la energía total del sistema con el tiempo para un valor arbitrario de ω? ¿Para qué valor o valores de ω es constante la energía total en el tiempo? 4. La figura muestra la potencia media de entrada P en función de la frecuencia impulsora en el caso de una masa situada sobre un muelle con amortiguación  tFF sin0 . La Q es suficientemente elevada para que la potencia media de entrada, que es máxima para ω0, disminuya hasta la mitad del máximo para las frecuencias 0,98ω0 y 1,02ω0. a) ¿Cuál es el valor numérico de Q? b) Si se suprime la fuerza impulsora, la energía disminuye de acuerdo con la ecuación: t eEE   0 ¿Cuál es el valor de γ? c) Si se elimina la fuerza impulsora ¿Qué fracción de energías se pierde en cada ciclo? d) Se construye un sistema nuevo en el que se duplica la constante del muelle, pero se mantiene sin variar la masa y el medio viscoso, y se aplica la misma fuerza impulsora 𝐹 = 𝐹0 sin 𝜔𝑡. En función de las magnitudes correspondientes delsistema original hallad los siguientes valores: i. La nueva frecuencia de resonancia ω’0. ii. El nuevo factor de calidad Q. iii. La potencia de entrada media máxima ' mP . iv. La energía total del sistema en la resonancia, ' 0E . 5. En el caso del sistema eléctrico de la figura, hallar. a) La frecuencia de resonancia, ω0. b) La anchura de resonancia, γ0. c) La potencia absorbida en la resonancia. 6. En el gráfico se indica la potencia media absorbida por un oscilador cuando se ve impulsada por una fuerza de valor constante,y frecuencia angular variable ω. a) En la resonancia justa. ¿Cuánto trabajo por ciclo se efectúa contra la fuerza resistente?  2T . b) En la resonancia justa. ¿Cuál es la energía mecánica total E0 del oscilador? c) Si se elimina la fuerza impulsora. ¿Cuántos segundos transcurren antes de que la energía disminuya a un valor eEE 0 ?
  3. 3. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 Soluciones: 1. Se conecta un bloque de masa m a un muelle cuyo otro extremo se mantiene fijo. Existe también un mecanismo de amortiguamiento viscoso. Sobre este sistema se han realizado las siguientes observaciones: 1. Si se empuja horizontalmente el bloque con una fuerza igual a m, la compresión estática del muelle es igual a h. 2. La fuerza resistente viscosa es igual a mg si el bloque se mueve con una cierta velocidad conocida u. a) Para este sistema completo (en el que se incluye tanto el muelle como el amortiguador) escribir la ecuación diferencial que rige las oscilaciones horizontales de la masa en función de m, g, h y u. Solución: Se parte, como siempre de la ecuación dinámica del sistema, es decir de la 2ª ley de Newton: 0 0 2 2    kx dt dx dt xd m vkxma mavkxF     Y ahora hay que adaptar esta solución general a este caso particular: Con la observación 1 nos indican el valor de la constante elástica del muelle, dado que nos dicen el punto de equilibrio para una masa dada:   h mg kkhmgF 0  Con la observación 2 nos dan la viscosidad del amortiguador:   u mg umgF  0  Por tanto la ecuación diferencial quedará: 0 11 00 2 2 2 2 2 2  h x dt dx udt xd g x h g dt dx u g dt xd x h mg dt dx u mg dt xd m Respondera las siguientes cuestiones en el caso de que ghu 3 : b) ¿Cuál es la frecuencia angular de las oscilaciones amortiguadas? La frecuencia la podemos calcular de dos formas diferentes: 1. Mediante la ecuación diferencial. 2. Mediante las fórmulas que vimos en la última clase.
  4. 4. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 Ambos métodos son equivalentes, pero a partir de la ecuación diferencial, aunque es más lento nos da más información sobre el sistema.                                                      h g h g u g u g h g u g u g q gh g u g u g q g gh g u g uq h x q u q gh x dt dx udt xd g 0 2222 22 2 2 2 2 2 2 224 4 22 2 1 4 2 1 2 1 0 11 0 11    Así ya tenemos los parámetros fundamentales de estas oscilaciones.Si ghu 3 :   h g i h h h gg h g h g h g gh g h g u g 36 35 36 35 36 36 36942 22          Por lo tanto: h g 36 35  c) ¿Qué tiempo a de transcurrir, expresado en forma de un múltiplo de gh3 , para que la energía descienda en un factor 1/e? Si recordamos la ecuación de movimiento de un oscilador armónico amortiguado:     tAex t sin Entonces si despreciamos los términos dependientes de la parte angular:       g h g gh g gh g u ug tt eee e e ee ke ke E E keE keE kekxE t t t tt t tt tt t t 33 3 22 1 2 1 12 111 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 22 2 2 02 2 0 22 0 0 0 0 0 0                               
  5. 5. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 d) ¿Cuál es el valor Q de este oscilador? De la energética del oscilador forzado, obtenemos que   2 0 Q y por tanto, si imponemos las condiciones de este sistema: h g h g h g h g h g g gh h g g gh h g g u u g h g Q 3333 3 2 2 2 2 2 0            e) Este oscilador, inicialmente en su posición de reposo, se pone en movimiento repentinamente cuando t=0 mediante un proyectil de masa despreciable, pero cantidad de movimiento no nula, que se mueve en sentido positivo de las x. Hallar el valor de ángulo de fase δ en la ecuación. De la solución del oscilador forzado obtenemos que:   00 02 tan 2 0 22 0        Lo que era de esperar porque este es un oscilador libre, ya que la partícula que le golpea no impone una oscilación continua, sino que sólo le da un impulso inicial. 2. Imaginemos un sismógrafo sencillo compuesto por una masa M colgada mediante un muelle de un montaje rígido sujeto a la Tierra, tal como se indica. La fuerza el muelle y la fuerza amortiguadora dependen del desplazamiento y de la velocidad relativa de la masa respecto a la superficie de la Tierra, pero la aceleración que tiene significado dinámico es la aceleración de M relativa a las estrellas fijas. a) Utilizando y para denominar el desplazamiento de M respecto a la tierra y η para designar el desplazamiento de la propia tierra, demostrar que la ecuación del movimiento es: 2 2 2 02 2 dt d y dt dy dt yd    Como siempre se plantea la ecuación dinámica, teniendo en cuenta que mientras que las oscilaciones del muelle y el rozamiento sólo dependen de la elongación del muelle respecto a la tierra, la aceleración del sistema es la del muelle y la de la tierra, con respecto al fondo de estrellas, superpuestas.   2 2 2 02 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 00 0 dt d y dt dy dt yd dt d y m k dt dy mdt yd dt d mky dt dy dt yd m ky dt dy dt d m dt yd mky dt dy dt yd m vkxma mavkyF                 
  6. 6. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 b) Hallar el valor de y (vibración de estado estacionario) si 𝜂 = 𝐶 cos 𝜔𝑡. Como el sistema depende de las oscilaciones con respecto al fondo de estrellas, obtenemos la derivada segunda de estas oscilaciones. tC dt d y dt dy dt yd tC dt d tC dt d tC         cos2 cos sin cos 2 2 2 2 02 2 2 2 2              Si expresamos la solución del sistema como una función compleja, tenemos                            2 ; 4 2 22 2 2 22 0 22222 0 2 22 0 2 222 0 22 0 2 22 0 2 2 2 2 2 2 2 2 02 2                       tg C A i C ACAiCAiAA eCAeeiAeA eA dt yd eiA dt dy Aey Aey eC dt d y dt dy dt yd titititi ti ti ti ti ti c) Dibujar un esquema de la amplitud del desplazamiento y en función de ω, suponiendo de C es el mismo para todos los valores de ω.
  7. 7. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 d) Un sismógrafo típico de período largo tiene un período de unos 30 s y una Q de 2, aproximadamente. Como resultado de un terremoto violento la superficie de la Tierra puede oscilar con un período de unos 20 minutos y con una amplitud tal que la aceleración máxima sea aproximadamente de 10-9 m/s2. ¿Cuál será el menor valor de A que sea observable si ha de ser detectado porel sismógrafo? A partir de los datos del problema:   nmm C A s radf s radQ s radf 88,410·88,4 04,0 60015 10 10 1 4 60015 10 600 60 4 60015 10 600 60 4 60015 10 4 6001200 2 2 60 2 ·15·22 1530 2 ·2 9 222 9 2222 9 2222 9 22222 9 22222 0 2 0 00                                                                                                                                                     Y esta es la amplitud mínima detectable.
  8. 8. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 3. Consideremos un sistema con una fuerza amortiguadora que sufre unas oscilaciones forzadas con frecuencia angular ω. a) ¿Cuál es la energía cinética instantánea del sistema? A partir de la solución del oscilador armónico forzado podemos obtener la velocidad del oscilador y a partir de aquí la Ec del oscilador:                                                                                                                                                    t F k t F k t F k t F k tm kF k tm F tm F m t m F m mvEc tm F dt dx v tm F x 2 2 0 2 0 0 2 0 2 22 0 22 2 0 2 0 2 0 2 0 2 22 0 22222 0 2 0 22 22222 0 2 0 2 0 22 22222 0 2 0 22 22222 0 2 0 22 22222 0 2 2 0 22 22222 0 2 0 2 22222 0 0 22222 0 0 cos 22 1 cos 42 1 cos 42 1 cos 42 1 cos 42 1 cos 42 1 cos 42 1 cos 42 1 2 1 cos 4 sin 4 2 1 2 1
  9. 9. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 b) ¿Cuál es la energía potencial instantánea del sistema? La energía potencia es más fácil de obtener, porque no es necesario derivar la ecuación de movimiento del sistema:                                                                                                                                          t F m t F m t F m t F m t F m tm kF m tm F k t m F k kxEp tm F x 2 2 0 2 0 0 2 0 2 2 22 0 22 2 0 2 0 2 0 2 0 2 2 22 0 22222 0 2 0 2 22 22222 0 2 0 2 0 2 2 22222 0 2 0 2 0 2 22222 0 2 0 2 22222 0 2 2 0 2 22222 0 2 0 2 22222 0 0 sin 22 1 sin 42 1 sin 42 1 sin 42 1 sin 42 1 sin 42 1 sin 42 1 sin 42 1 2 1 sin 4 2 1
  10. 10. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 c) ¿Cuál es el cociente entre la energía cinética media y la energía potencial media? Expresar la respuesta en función del cociente 0 . A partir de los dos resultados anteriores:     2 0 2 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 2 2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 cos 24 1 sin 22 1 cos 24 1 cos 22 1                                                                                                                                     m m pE cE F m pEt F m Ep F m cEt F k Ec d) ¿Para qué valor o valores de ω son iguales la energía cinética media y la energía potencial media? ¿Cuál es la energía total del sistema en estas condiciones? Si partimos del cociente obtenido anteriormente: 0 2 0 2 2 0 2 2 0 2 1       m m pE cE Que es la condición de resonancia. En estas condiciones,la energía total del sistema será:                  2 0 22 022 2 0 22 02 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 2 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 02 2 0 2 0 2 2 2 0 2 0 2 0 2 sincos 2 sin 12 1 cos 12 1 sin 22 1 cos 22 1 sin 22 1 cos 22 1                    m QF Ett m QF t Q F m t Q F m t F m t F m EpEcE t F m Ep t F m Ec                                                         
  11. 11. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 e) ¿Cómo varía la energía total del sistema con el tiempo para un valor arbitrario de ω? ¿Para qué valor o valores de ω es constante la energía total en el tiempo?                                                                                                                                                                                                                                                                                    t mmm F t m t m F t m t m F t F m t F m E t F m Ep t F m Ec 2cos 2 1 2 11 2 2cos1 2 1 2cos1 2 1 2 sin 2 1 cos 2 1 2 sin 22 1 cos 22 1 sin 22 1 cos 22 1 22 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 22 0 2 0 2 0 0 2 0 2 2 2 2 0 2 0 2 0 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 2 2 0 2 0 0 2 0 2 0 2 2 0 2 0 0 2 0 2 2 2 0 2 0 0 2 0 2 0 A partir de aquí se puede ver que la energía total del oscilador forzado varía en el tiempo con una frecuencia doble de la del oscilador externo y sólo es constante en el tiempo cuando el oscilador se encuentra en resonancia. Por tanto, salvo en la resonancia el sistema no es conservativo, lo cual es lógico porque hay una fuente de potencia externa al sistema.
  12. 12. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 4. La figura muestra la potencia media de entrada P en función de la frecuencia impulsora en el caso de una masa situada sobre un muelle con amortiguación  tFF sin0 . La Q es suficientemente elevada para que la potencia media de entrada, que es máxima para ω0, disminuya hasta la mitad del máximo para las frecuencias 0,98ω0 y 1,02ω0. a) ¿Cuál es el valor numérico de Q? 25995,24 25,25 00156878,0 1 2100156878,0 2 1 1 00156878,0 1' 74,24 00163282,0 1 2100163282,0 2 1 1 00163282,0 1 2 1 ' 1 00163282,0 1 1 00156878,0 1' 2 1 1 00163282,0 1 1 00163282,0 1 2 1 'cos 1 00156878,0 1 'cos 1 02,1 02,1 1 1' 2 1 cos 1 00163282,0 1 cos 1 98,0 98,0 1 1 cos 1 02,1 02,1 1 2 1 ' 2 cos 1 98,0 98,0 1 2 1 cos 1 2 1 cos 4 2 1 2 2 2 max 2 2 2 max 22 max 22 max 222 max 222 max 22 2 0 2 0 0 2 0 max 22 2 0 2 0 22 0 0 2 0 2 0 2 0 2 2 0 0 2 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1                                                                                                                                                                                                                                                                                                                     Q QQ Q Q P P QQ Q Q P P Q Q Q Q P P Q Q Q Q P P Q Q Q Q P P Q Q Q Q P P Q F m P m QF P Q F m P Q F m F k P                     Con estos datos no se puede obtener un valor más exacto, dado que la gráfica no es simétrica, está un poco desplazada hacia las frecuencia bajas. Haría falta obtener el valor de la potencia
  13. 13. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 absorbida en la resonancia, para obtenerun valor más exacto de Q. b) Si se suprime la fuerza impulsora, la energía disminuye de acuerdo con la ecuación: t eEE   0 ¿Cuál es el valor de γ? A partir del valor obtenido en el apartado anterior, como el factor Q, no depende del oscilador externo, podemos decir que será igual, por tanto: 50 25 2 00     Q c) Si se elimina la fuerza impulsora ¿Qué fracción de energía se pierde en cada ciclo? Si partimos de la energía de un oscilador amortiguado: %8888,050 2 0 50 2 0 50 2 0 50 00 0      e E E eEeEeEeEE T T T t Por lo tanto si se detiene el oscilador externo, el sistema pierde el 88% de su energía en un solo ciclo. d) Se construye un sistema nuevo en el que se duplica la constante del muelle, pero se mantiene sin variar la masa y el medio viscoso, y se aplica la misma fuerza impulsora 𝐹 = 𝐹0 sin 𝜔𝑡. En función de las magnitudes correspondientes delsistema original hallad los siguientes valores: i. La nueva frecuencia de resonancia ' 0 . Si se dobla la constante elástica,la nueva frecuencia de resonancia será: 0 ' 0 22 2'   m k m k m k ii. El nuevo factor de calidad Q. Como el factor        m2   no depende de la constante elástica permanecerá constante, por tanto la variación del factor de calidad se deberá a la variación de ω0: 35,35225 2 2 2 ' ' 00      Q iii. La potencia de entrada media máxima ' mP . A partir del valor de la potencia de entrada máxima que habíamos visto anteriormente: 0 2 0 0 2 0 0 2 0 max 222 2 '2 ' '  m QF m QF m FQ P 
  14. 14. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 Lo que se observa es que no cambia la potencia de entrada máxima, a pesar de que ha aumentado la frecuencia de resonancia. iv. La energía total del sistema en la resonancia, ' 0E . 2 0 22 0 2 0 22 0 2 0 22 0 222 2 '2 ' '  m QF m QF m QF E  Vemos que tampoco cambia. 5. En el caso del sistema eléctrico de la figura, hallar. a) La frecuencia de resonancia, ω0. Planteemos la ley de Ohm para este sistema: Ldt dI dt dI L dt dLI dt d LI dt dV CI dt dV C dt dQ CVQ V Q C L V dt Vd C dt dV Rdt dI I dt dV C R V IIII C C LLCR        2 2 1 Lo mismo que con el circuito LCR en serie, planteamos la función de prueba para la diferencia de potencial y una función general para la intensidad: 000 00 00 0 2 0 00 0 2 02 2 00 00 2 2 1111 11 1 V R i XX V R i L CiI VC R i L VC R V i L V iI eCVe R V ie L V eiI eV dt Vd eiV dt dV eVV eiI dt dI eII dt Vd C dt dV RL V dt dI Lc titititi tititi titi                                          
  15. 15. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 Por lo tanto la impedancia del sistema será en el caso del circuito LCR en paralelo: R XX tg RXXZ Lc Lc 1 11 1111 2 1 2 2                   De aquí obtenemos la frecuencia de resonancia: LC f LC f LCL C XXXX LcLc 1 2 11 2 1111 0 11      De donde vemos que la frecuencia de resonancia es la misma que para el circuito LCR en serie. b) La anchura de resonancia, γ0. Por analogía entre el sistema eléctrico y mecánico: R C C R m 22 1 2 00     c) La potencia absorbida en la resonancia. 2 0 2 2 2 0 cos 111 2 1 RVP RXX V P CL                  
  16. 16. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 6. En el gráfico se indica la potencia media absorbida por un oscilador cuando se ve impulsada por una fuerza de valor constante,y frecuencia angular variable ω. a) En la resonancia justa. ¿Cuánto trabajo por ciclo se efectúa contra la fuerza resistente?  2T . En primer lugar obtendremos el trabajo que realiza la fuerza de rozamiento:                                                                      t F tm F tm F vFP t F tm F vF tm F dt dx vtm F x r r 2 22222 0 22 2 0 2 22222 0 22 0 2 22222 0 2 2 0 22222 0 0 22222 0 0 22222 0 0 22222 0 0 cos 4 4 cos 4 2 22 cos 4 2 cos 4 2 cos 4 cos 4 sin 4 2 1 2 1 2 1 2 1 Y en resonancia por tanto esta será   100 75,99 10·9531,9 1 2110·9531,9 2 1 1 10·9531,9 1' 25,100 10·0503'10 1 2110·0503'10 2 1 1 10·0503'10 1 2 1 'cos 1 10·9531,9 1 'cos 1 005,1 005,1 1 1' 2 1 cos 1 10·0503'10 1 cos 1 995,0 995,0 1 1 2 ;cos 1 2 1 100 222 2 2 2 2 22 cos 5 25 2 52max 5 25 2 52max 2 5 22 max 2 5 22 max 0 2 0 max 22 0 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 2 00 2 0 2 0 2 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 0 2 0 2 02 2 0 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1                                                                                                                                                                         Q QQ Q Q P P QQ Q Q P P Q Q Q Q P P Q Q Q Q P P m QF P Q F m P m F m QF m FF m F m m F m FF T F PtW F Pt F P                              
  17. 17. Vibraciones y Ondas Osciladores Forzados Uned Barcelona Nou Barris Tutor Presencial Juan José Navas Díaz Curso 2012-2013 b) En la resonancia justa. ¿Cuál es la energía mecánica total E0 del oscilador? Del resultado del problema 3.d) obtenemos el siguiente valor para la energía del sistema en la resonancia: 2 0 2 0 2 0 2 0 2 0 22 0 5000 2 10000 2  m F m F m QF E  c) Si se elimina la fuerza impulsora. ¿Cuántos segundos transcurren antes de que la energía disminuya a un valor eEE 0 ? La energía del oscilador amortiguado es: SS f Q t Q f Q f Q Q t e e E E eEE tt       83,3110·18,3 10 1001 2 2 22 11 5 6 00 0 0            

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