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APLICACIONES DEL MAS
MAS ANGULAR
El cable tiene una
constante de torsión
k
y
ejerce
un
momento de torsión
de restitución τ.

Momento de inercia de una masa m
respecto a un eje de rotación a
distancia r:

I = mr 2
Para un sistema de partículas:
n

I = ∑ mi ri

2

θ

i =1

Para un cuerpo de masa continua:

Ley de Newton para un cuerpo rígido

I = ∫ r 2 dm
V

d 2θ
∑τ = Iα = I dt 2
− kθ = Iα ⇒

dθ
k
=− θ
2
dt
I
2

d 2x
k
=− x
2
dt
m
Movimiento armónico angular:

k
ω=
I

1
f =
2π

k
I

Ecuación del movimiento:

θ = Θ cos(ωt + ϕ )
13.35 Cierto reloj despertador hace “tic” cuatro veces cada segundo y cada tic
representa medio periodo. La rueda de balance consiste en un aro delgado de
0.55 cm de radio conectada al vástago de balance por rayos de masa
despreciable. La masa total de la rueda es 0.9 g. a) ¿Qué momento de inercia
tiene la rueda respecto a su eje? b) ¿ Qué constante de torsión tiene la
espiral?

I = mR 2 = (0.9 10 −3 kg )(0.55 10 −2 m) 2 = 2.72 10 −8 kgm 2
R

1
T = s = 0.5s
2
k 2π
ω=
=
I
T

2

 2π 
−6
2
2
⇒k =
 I = 4.3 10 kgm / s
 T 
13.36 Un disco metálico delgado con masa 2 10-3 kg y radio 2.2 cm se une en su
centro a una fibra larga. Si se tuerce y suelta, el disco oscila con T=1 s. Calcule
la constante de torsión de la fibra.

1
I = mR 2
2
T = 1s ⇒ ω = 2π

R

1
k = ω I = (2π ) ( (2 10 −3 kg )(0.022m) 2 ) = 1.9110 −5 m / rad
2
2

2
13.37 Imagine que quiere determinar el momento de inercia de una pieza
mecánica complicada, respecto a un eje que pasa por su centro de masa, así que
la cuelga de un alambre a lo largo de ese eje. El alambre tiene una constante de
torsión de 0.45 Nm/rad. Usted gira un poco la pieza alrededor del eje y la
suelta, cronometrando 125 oscilaciones en 265 s. Halle el momento de inercia.

f =

125
Hz = 0.471Hz
265

ω = 2πf = 2.96rad / s =
I=

k

ω2

=

k
I

0.45 m / rad
= 0.051kgm 2
(2.96rad / s ) 2
APLICACIONES DEL MAS
La fuerza de restitución se debe a la
gravedad (mgsinθ), la tensión T del cable
sólo actúa para hacer que la masa
describa un arco.

EL PÉNDULO SIMPLE

L
Lθ=x

θ

Para que el movimiento de un péndulo se
pueda describir con las ecuaciones del
MAS, el ángulo θ tiene que ser muy
pequeño, así que sinθ~θ.

T
x

mgsinθ

m
θ

mgcosθ

F = −mg sin(θ ) ≈ −mgθ
mg

F = −mgθ = −mg
d 2x
mg
m 2 =−
x
dt
L

x
L
MAS con

ω=

g
L

L
T = 2π
g
13.41 En la Tierra, cierto péndulo simple tiene un periodo de 1.6 s. ¿Qué
periodo tendrá en Marte, donde g=3.71 m/s2?
2

2

L
 T 
 1.6s 
2
= 1.6s ⇒ L = 
TT = 2π
 g =
 (9.8m / s ) = 0.635m
g
 2π 
 2π 

0.635m
TM = 2π
= 2.6 s
2
3.71m / s
13.42 Se tira de un péndulo simple de 0.24 m de longitud para moverlo 3.50o a
un lado y se suelta. a) ¿Cuánto tarda la pesa del péndulo en alcanzar su
rapidez máxima ?b) ¿Cuánto tarda si el ángulo es de 1.75o en vez de 3.5o?
La rapidez máxima es la rapidez que corresponde a la posición de
equilibrio, después un cuarto de periodo:

T 2π
=
4
4

L π
=
g 2

0.24m
= 0.25s
2
9.8m / s

T
L
= 2π
= 0.25s
4
g

El periodo no depende de la amplitud
13.45 Después de posarse en un planeta desconocido, una exploradora espacial
construye un péndulo simple de longitud de 50 cm y determina que efectúa 100
oscilaciones completas en 136 s. ¿Cuánto vale g en ese planeta?

ω = 2πf
100
f =
= 0.73Hz
136s

ω = 2πf =

g
L

⇒ g = (2πf ) 2 L = (2π ) 2 (0.73Hz ) 2 (0.5m) = 10.67m / s 2
APLICACIONES DEL MAS
Para que el movimiento de un péndulo
físico se pueda describir con las
ecuaciones del MAS, el ángulo θ tiene que
ser muy pequeño, así que sinθ~θ.

EL PÉNDULO FÍSICO
O
θ

d
cg

dsinθ

El momento de torsión de la fuerza de
restitución es:

θ

mgsinθ

mgcosθ

τ = −mgd sin(θ ) ≈ −mgdθ
mg

I 0α = −mgdθ
d 2θ
mgd
=−
θ
2
dt
I0

MAS con

ω=

mgd
I0

I0
T = 2π
mgd

Teorema Steiner
I0=Icg+Md2
13.46 Queremos colgar un aro delgado de un clavo horizontal y hacer que
tenga una oscilación completa con ángulo pequeño una vez cada 2 s. ¿Qué radio
debe tener el aro?

I = mR 2

Respecto al centro

R

I = mR 2 + mR 2 = 2mR 2
2mR 2
2R
I
T = 2π
= 2π
= 2π
mgR
mgR
g
2

2

2
 T  g  2 s  9.8m / s
R=
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=


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 2π  2  2π 

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  • 1. APLICACIONES DEL MAS MAS ANGULAR El cable tiene una constante de torsión k y ejerce un momento de torsión de restitución τ. Momento de inercia de una masa m respecto a un eje de rotación a distancia r: I = mr 2 Para un sistema de partículas: n I = ∑ mi ri 2 θ i =1 Para un cuerpo de masa continua: Ley de Newton para un cuerpo rígido I = ∫ r 2 dm V d 2θ ∑τ = Iα = I dt 2 − kθ = Iα ⇒ dθ k =− θ 2 dt I 2 d 2x k =− x 2 dt m
  • 2. Movimiento armónico angular: k ω= I 1 f = 2π k I Ecuación del movimiento: θ = Θ cos(ωt + ϕ )
  • 3. 13.35 Cierto reloj despertador hace “tic” cuatro veces cada segundo y cada tic representa medio periodo. La rueda de balance consiste en un aro delgado de 0.55 cm de radio conectada al vástago de balance por rayos de masa despreciable. La masa total de la rueda es 0.9 g. a) ¿Qué momento de inercia tiene la rueda respecto a su eje? b) ¿ Qué constante de torsión tiene la espiral? I = mR 2 = (0.9 10 −3 kg )(0.55 10 −2 m) 2 = 2.72 10 −8 kgm 2 R 1 T = s = 0.5s 2 k 2π ω= = I T 2  2π  −6 2 2 ⇒k =  I = 4.3 10 kgm / s  T 
  • 4. 13.36 Un disco metálico delgado con masa 2 10-3 kg y radio 2.2 cm se une en su centro a una fibra larga. Si se tuerce y suelta, el disco oscila con T=1 s. Calcule la constante de torsión de la fibra. 1 I = mR 2 2 T = 1s ⇒ ω = 2π R 1 k = ω I = (2π ) ( (2 10 −3 kg )(0.022m) 2 ) = 1.9110 −5 m / rad 2 2 2
  • 5. 13.37 Imagine que quiere determinar el momento de inercia de una pieza mecánica complicada, respecto a un eje que pasa por su centro de masa, así que la cuelga de un alambre a lo largo de ese eje. El alambre tiene una constante de torsión de 0.45 Nm/rad. Usted gira un poco la pieza alrededor del eje y la suelta, cronometrando 125 oscilaciones en 265 s. Halle el momento de inercia. f = 125 Hz = 0.471Hz 265 ω = 2πf = 2.96rad / s = I= k ω2 = k I 0.45 m / rad = 0.051kgm 2 (2.96rad / s ) 2
  • 6. APLICACIONES DEL MAS La fuerza de restitución se debe a la gravedad (mgsinθ), la tensión T del cable sólo actúa para hacer que la masa describa un arco. EL PÉNDULO SIMPLE L Lθ=x θ Para que el movimiento de un péndulo se pueda describir con las ecuaciones del MAS, el ángulo θ tiene que ser muy pequeño, así que sinθ~θ. T x mgsinθ m θ mgcosθ F = −mg sin(θ ) ≈ −mgθ mg F = −mgθ = −mg d 2x mg m 2 =− x dt L x L MAS con ω= g L L T = 2π g
  • 7. 13.41 En la Tierra, cierto péndulo simple tiene un periodo de 1.6 s. ¿Qué periodo tendrá en Marte, donde g=3.71 m/s2? 2 2 L  T   1.6s  2 = 1.6s ⇒ L =  TT = 2π  g =  (9.8m / s ) = 0.635m g  2π   2π  0.635m TM = 2π = 2.6 s 2 3.71m / s
  • 8. 13.42 Se tira de un péndulo simple de 0.24 m de longitud para moverlo 3.50o a un lado y se suelta. a) ¿Cuánto tarda la pesa del péndulo en alcanzar su rapidez máxima ?b) ¿Cuánto tarda si el ángulo es de 1.75o en vez de 3.5o? La rapidez máxima es la rapidez que corresponde a la posición de equilibrio, después un cuarto de periodo: T 2π = 4 4 L π = g 2 0.24m = 0.25s 2 9.8m / s T L = 2π = 0.25s 4 g El periodo no depende de la amplitud
  • 9. 13.45 Después de posarse en un planeta desconocido, una exploradora espacial construye un péndulo simple de longitud de 50 cm y determina que efectúa 100 oscilaciones completas en 136 s. ¿Cuánto vale g en ese planeta? ω = 2πf 100 f = = 0.73Hz 136s ω = 2πf = g L ⇒ g = (2πf ) 2 L = (2π ) 2 (0.73Hz ) 2 (0.5m) = 10.67m / s 2
  • 10. APLICACIONES DEL MAS Para que el movimiento de un péndulo físico se pueda describir con las ecuaciones del MAS, el ángulo θ tiene que ser muy pequeño, así que sinθ~θ. EL PÉNDULO FÍSICO O θ d cg dsinθ El momento de torsión de la fuerza de restitución es: θ mgsinθ mgcosθ τ = −mgd sin(θ ) ≈ −mgdθ mg I 0α = −mgdθ d 2θ mgd =− θ 2 dt I0 MAS con ω= mgd I0 I0 T = 2π mgd Teorema Steiner I0=Icg+Md2
  • 11. 13.46 Queremos colgar un aro delgado de un clavo horizontal y hacer que tenga una oscilación completa con ángulo pequeño una vez cada 2 s. ¿Qué radio debe tener el aro? I = mR 2 Respecto al centro R I = mR 2 + mR 2 = 2mR 2 2mR 2 2R I T = 2π = 2π = 2π mgR mgR g 2 2 2  T  g  2 s  9.8m / s R= = 0.496m =   2  2π  2  2π 