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Función lineal
Una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya
representación en el plano cartesiano es una línea recta.
La función lineal del tipo:
Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas.
Ejemplo:
 Y = 2 X
x 0 1 2 3 4
y = 2x 0 2 4 6 8
http://www.vitutor.com/fun/2/c_a.html
Si x=0
Y=2(0)
Y=0
Si x=1
Y=2(1)
Y=2
X
Y
ANÁLISIS
La gráfica es una recta que pasa por el origen.
Tiene una inclinación hacia la derecha.
La pendiente es positiva o mayor que cero: m=2
El dominio es el conjunto de los números reales.
El recorrido es el conjunto de los números reales.
m=2 m˃0
y = mx
ACTIVIDAD
Representa y analizar las siguientes rectas:
 y = x
X 6 3 0 -2 -4
y = x
ANÁLISIS
X
Y
 y = −2x − 1
X
y = -2x-1
ANÁLISIS
 Y= 3x+5
X
y =3x+5
ANÁLISIS
Función Cuadrática
Es función polinómica, es de segundo grado, su gráfica es una parábola.
Representación gráfica de la parábola
Podemos construir una parábola a partir de estos puntos:
1. Vértice
Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola.
La ecuación del eje de simetría es:
2. Puntos de corte con el eje X; Y=0
En el eje de abscisas o eje X, la segunda coordenada Y es cero, por lo
que tendremos:
ax² + bx + c = 0
Resolviendo la ecuación podemos obtener:
 Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0
 Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0
 Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0

3. Punto de corte con el eje Y; X=0
En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que
tendremos:
f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c)
http://www.vitutor.com/fun/2/c_5.html
f(x) = ax² + bx + c a˃0, la función es cóncava.
Tiene un mínimo absoluto.
a˂0, la función es cónvexa.
Tiene un máximo absoluto.
Ejemplo:
Representar la función f(x) = x² − 4x + 3.
1. Vértice
( )
V(2, −1)
2. Puntos de corte con el eje X:
(3, 0) (1, 0)
1. Punto de corte con el eje Y:
y=(0)² − 4(0) + 3
y=3
(0, 3)
X Y
2 -1
3 0
1 0
0 3
ANÁLISIS
 La gráfica es una parábola.
 a=1 → a˃0, la función es
cóncava.
 Tiene un mínimo absoluto
 La asíntota es : x=2
 Dominio : R
 Recorrido: [-1,+∞)
𝑥
𝑏 ± 𝑏 𝑎𝑐
𝑎
a=1 , b=-4, c=3
V
Y
X
ACTIVIDAD
Representa y analizar las siguientes parábolas:
 y = −x² + 4x – 3
ANÁLISIS
X y
X
Y
1. Vértice
2. Punto de corte con el eje x: y=0
3. Punto de corte con el eje Y: x=0
 y = x² + 2x + 1
ANÁLISIS
X y
X
Y
1. Vértice
2. Punto de corte con el eje x: y=0
3. Punto de corte con el eje Y: x=0
 y = x² + x + 1
ANÁLISIS
X y
X
Y
1. Vértice
2. Punto de corte con el eje x: y=0
3. Punto de corte con el eje Y: x=0
𝒇(𝒙)
𝒑(𝒙)
𝒒(𝒙)
Función Racional
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
O
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el
denominador.
Ejemplo:
Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:
 Función de proporcionalidad inversa
Ecuación general
 Su representación gráfica es una hipérbola.
 K es un número real y k ≠ 0 siempre
 Valores de los parámetros de la ecuación
o Si k>0 → función decreciente
o Si k<0 → función creciente
Estudio de la gráfica
 Dominio : Dom(f)=R-{0}
 Recorrido: Rec(f)=R-{0}
 No tiene puntos de corte con los ejes
 Los ejes de coordenadas son asíntotas de la función
 Es continua en todo el dominio
 No tiene ni máximos ni mínimos
 Tiene simetría impar ( con respecto al origen). F(-x) = - f(x)
Representación gráfica
Las hipérbolas son las más sencillas de representar.
Sus asítontas son los ejes
El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las
asíntotas, es el origen.
Ejemplo:
1. Representa la función inversa ( )
Determinamos valores mayores y menores que el valor X=0
x Y=
5 0.2
4 0.25
3 0.3..
2 0.5
1 1
-1 -1
-2 -0.5
-3 -0.3..
-4 0.25
-5 0.2
𝒇( 𝒙)
𝟏
𝒙
𝟏
𝒙
𝒇( 𝒙)
𝟏
𝒙
𝟏
𝒙
ANÁLISIS
 Es una función de proporcionalidad inversa.
 Su representación gráfica es una hipérbola.
 Dominio : Dom(f)=R-{0}
 Recorrido: Rec(f)=R-{0}
 No tiene puntos de corte con los ejes.
 Los ejes de coordenadas son asíntotas de la función.
 Es continua en todo el dominio.
 No tiene ni máximos ni mínimos.
 Tiene simetría impar ( con respecto al origen). F(-x) = - f(x)
 K=1, k>0 la función es decreciente.
k
ACTIVIDAD
Representar y analizar las siguientes hipérbolas: X
 f(x) = - 6/x
x f(x) =
−6
−3
−2
−1
1
2
3
6
2
3
𝒇( 𝒙)
⬚
( )
𝒇( 𝒙)
⬚
⬚
ANÁLISIS
 Es una función
 Su representación gráfica es una
 Dominio : Dom(f)=
 Recorrido: Rec(f)=
 No tiene puntos de corte con los ejes.
 Los ejes de coordenadas son asíntotas de la función.
 Es continua en todo el dominio.
 No tiene ni máximos ni mínimos.
 Tiene simetría impar ( con respecto al origen). F(-x) = - f(x)
 K= , k 0 la función es
 f(x) =
X Y
𝒇( 𝒙)
⬚
( )
𝒇( 𝒙)
⬚
⬚
ANÁLISIS
 Es una función
 Su representación gráfica es una
 Dominio : Dom(f)=
 Recorrido: Rec(f)=
 No tiene puntos de corte con los ejes.
 Los ejes de coordenadas son asíntotas de la función.
 Es continua en todo el dominio.
 No tiene ni máximos ni mínimos.
 Tiene simetría impar ( con respecto al origen). F(-x) = - f(x)
 K= , k 0 la función es
 f(x) =
X Y
ANÁLISIS
Traslaciones de hipérbolas
A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación.
1. Traslación vertical
El centro de la hipérbola es: (0, a).
 Si a>0, se desplaza hacia arriba a unidades.
Ejemplo:
El centro de la hipérbola es: (0, 3)
 Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades.
Ejemplo:
El centro de la hipérbola es: (0, -3)
2. Traslación horizontal
El centro de la hipérbola es: (-b, 0).
 Si b> 0, se desplaza a la izquierda b unidades.
Ejemplo:
El centro de la hipérbola es: (-3, 0)
 Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades.
Ejemplo:
El centro de la hipérbola es: (3, 0)
3. Traslación oblicua
El centro de la hipérbola es: (-b, a)
Ejemplo:

El centro de la hipérbola es: (3, 4).
Para representar hipérbolas del tipo:
se divide y se escribe como:
Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de
asíntotas paralelas a los ejes.
Ejemplo:

El centro de la hipérbola es: (-1, 3)
http://www.ditutor.com/funciones/funcion_racional.html
ACTIVIDAD
Representa las funciones racionales y determina su centro:
1 f(x) = 6/x
2
2
3
4
3
4
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  • 1. Función lineal Una función lineal es una función polinómica de primer grado; es decir, una función cuya representación en el plano cartesiano es una línea recta. La función lineal del tipo: Su gráfica es una línea recta que pasa por el origen de coordenadas. Ejemplo:  Y = 2 X x 0 1 2 3 4 y = 2x 0 2 4 6 8 http://www.vitutor.com/fun/2/c_a.html Si x=0 Y=2(0) Y=0 Si x=1 Y=2(1) Y=2 X Y ANÁLISIS La gráfica es una recta que pasa por el origen. Tiene una inclinación hacia la derecha. La pendiente es positiva o mayor que cero: m=2 El dominio es el conjunto de los números reales. El recorrido es el conjunto de los números reales. m=2 m˃0 y = mx
  • 2. ACTIVIDAD Representa y analizar las siguientes rectas:  y = x X 6 3 0 -2 -4 y = x ANÁLISIS X Y
  • 3.  y = −2x − 1 X y = -2x-1 ANÁLISIS
  • 4.  Y= 3x+5 X y =3x+5 ANÁLISIS
  • 5. Función Cuadrática Es función polinómica, es de segundo grado, su gráfica es una parábola. Representación gráfica de la parábola Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: 1. Vértice Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola. La ecuación del eje de simetría es: 2. Puntos de corte con el eje X; Y=0 En el eje de abscisas o eje X, la segunda coordenada Y es cero, por lo que tendremos: ax² + bx + c = 0 Resolviendo la ecuación podemos obtener:  Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0  Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0  Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0  3. Punto de corte con el eje Y; X=0 En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c (0,c) http://www.vitutor.com/fun/2/c_5.html f(x) = ax² + bx + c a˃0, la función es cóncava. Tiene un mínimo absoluto. a˂0, la función es cónvexa. Tiene un máximo absoluto.
  • 6. Ejemplo: Representar la función f(x) = x² − 4x + 3. 1. Vértice ( ) V(2, −1) 2. Puntos de corte con el eje X: (3, 0) (1, 0) 1. Punto de corte con el eje Y: y=(0)² − 4(0) + 3 y=3 (0, 3) X Y 2 -1 3 0 1 0 0 3 ANÁLISIS  La gráfica es una parábola.  a=1 → a˃0, la función es cóncava.  Tiene un mínimo absoluto  La asíntota es : x=2  Dominio : R  Recorrido: [-1,+∞) 𝑥 𝑏 ± 𝑏 𝑎𝑐 𝑎 a=1 , b=-4, c=3 V Y X
  • 7. ACTIVIDAD Representa y analizar las siguientes parábolas:  y = −x² + 4x – 3 ANÁLISIS X y X Y 1. Vértice 2. Punto de corte con el eje x: y=0 3. Punto de corte con el eje Y: x=0
  • 8.  y = x² + 2x + 1 ANÁLISIS X y X Y 1. Vértice 2. Punto de corte con el eje x: y=0 3. Punto de corte con el eje Y: x=0
  • 9.  y = x² + x + 1 ANÁLISIS X y X Y 1. Vértice 2. Punto de corte con el eje x: y=0 3. Punto de corte con el eje Y: x=0
  • 10. 𝒇(𝒙) 𝒑(𝒙) 𝒒(𝒙) Función Racional El criterio viene dado por un cociente entre polinomios: O El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador. Ejemplo: Dentro de este tipo tenemos las funciones de proporcionalidad inversa de ecuación:  Función de proporcionalidad inversa Ecuación general  Su representación gráfica es una hipérbola.  K es un número real y k ≠ 0 siempre  Valores de los parámetros de la ecuación o Si k>0 → función decreciente o Si k<0 → función creciente Estudio de la gráfica  Dominio : Dom(f)=R-{0}  Recorrido: Rec(f)=R-{0}  No tiene puntos de corte con los ejes  Los ejes de coordenadas son asíntotas de la función  Es continua en todo el dominio  No tiene ni máximos ni mínimos  Tiene simetría impar ( con respecto al origen). F(-x) = - f(x) Representación gráfica Las hipérbolas son las más sencillas de representar. Sus asítontas son los ejes
  • 11. El centro de la hipérbola, que es el punto donde se cortan las asíntotas, es el origen. Ejemplo: 1. Representa la función inversa ( ) Determinamos valores mayores y menores que el valor X=0 x Y= 5 0.2 4 0.25 3 0.3.. 2 0.5 1 1 -1 -1 -2 -0.5 -3 -0.3.. -4 0.25 -5 0.2 𝒇( 𝒙) 𝟏 𝒙 𝟏 𝒙 𝒇( 𝒙) 𝟏 𝒙 𝟏 𝒙 ANÁLISIS  Es una función de proporcionalidad inversa.  Su representación gráfica es una hipérbola.  Dominio : Dom(f)=R-{0}  Recorrido: Rec(f)=R-{0}  No tiene puntos de corte con los ejes.  Los ejes de coordenadas son asíntotas de la función.  Es continua en todo el dominio.  No tiene ni máximos ni mínimos.  Tiene simetría impar ( con respecto al origen). F(-x) = - f(x)  K=1, k>0 la función es decreciente. k
  • 12. ACTIVIDAD Representar y analizar las siguientes hipérbolas: X  f(x) = - 6/x x f(x) = −6 −3 −2 −1 1 2 3 6 2 3 𝒇( 𝒙) ⬚ ( ) 𝒇( 𝒙) ⬚ ⬚ ANÁLISIS  Es una función  Su representación gráfica es una  Dominio : Dom(f)=  Recorrido: Rec(f)=  No tiene puntos de corte con los ejes.  Los ejes de coordenadas son asíntotas de la función.  Es continua en todo el dominio.  No tiene ni máximos ni mínimos.  Tiene simetría impar ( con respecto al origen). F(-x) = - f(x)  K= , k 0 la función es
  • 13.  f(x) = X Y 𝒇( 𝒙) ⬚ ( ) 𝒇( 𝒙) ⬚ ⬚ ANÁLISIS  Es una función  Su representación gráfica es una  Dominio : Dom(f)=  Recorrido: Rec(f)=  No tiene puntos de corte con los ejes.  Los ejes de coordenadas son asíntotas de la función.  Es continua en todo el dominio.  No tiene ni máximos ni mínimos.  Tiene simetría impar ( con respecto al origen). F(-x) = - f(x)  K= , k 0 la función es
  • 14.  f(x) = X Y ANÁLISIS
  • 15. Traslaciones de hipérbolas A partir de estas hipérbolas se obtienen otras por traslación. 1. Traslación vertical El centro de la hipérbola es: (0, a).  Si a>0, se desplaza hacia arriba a unidades. Ejemplo: El centro de la hipérbola es: (0, 3)  Si a<0, se desplaza hacia abajo a unidades.
  • 16. Ejemplo: El centro de la hipérbola es: (0, -3) 2. Traslación horizontal El centro de la hipérbola es: (-b, 0).  Si b> 0, se desplaza a la izquierda b unidades. Ejemplo:
  • 17. El centro de la hipérbola es: (-3, 0)  Si b<0, se desplaza a la derecha b unidades. Ejemplo: El centro de la hipérbola es: (3, 0)
  • 18. 3. Traslación oblicua El centro de la hipérbola es: (-b, a) Ejemplo:  El centro de la hipérbola es: (3, 4). Para representar hipérbolas del tipo: se divide y se escribe como: Su representación gráfica es una hipérbola de centro (-b, a) y de asíntotas paralelas a los ejes. Ejemplo:
  • 19.  El centro de la hipérbola es: (-1, 3) http://www.ditutor.com/funciones/funcion_racional.html
  • 20. ACTIVIDAD Representa las funciones racionales y determina su centro: 1 f(x) = 6/x 2
  • 21. 2 3