Ejemplos practicos de muestreo

Facultad de Ingeniería - Universidad Rafael Landívar Boletín Electrónico No. 02
URL_02_BAS02.doc 1 de 13
TAMAÑO DE UNA MUESTRA
PARA UNA INVESTIGACIÓN DE MERCADO
Por Inga. Mariela Torres, mariela_torresurl@yahoo.com.mx
Inga. Karim Paz, kspaz@url.edu.gt
Integración: Ing. Federico G. Salazar, correo@fsalazar.bizland.com
RESUMEN
En algunas ocasiones nos preguntamos ¿cómo podemos determinar el tamaño óptimo para
una investigación de mercado. ¿Será que basta con aplicar un cuestionario a 100 personas?
O, ¿realmente es necesario encuestar a 450 individuos? ¿Cómo influye la variabilidad de
las respuestas de cada encuestado? ¿Qué margen de error tendrán los resultados hallados en
la encuesta? Las respuestas a cada una de estas preguntas nos la da la Estadística. En este
documento se presenta una guía para poder determinar el tamaño de una muestra para
proporciones. Se presentan, además, los conceptos fundamentales de la Teoría de
muestreo.
DESCRIPTORES
Estadística. Tipos de muestreo. Muestreo probabilístico. Muestro no probabilístico.
Tamaño de muestra. Proporciones. Nivel de confianza. Fuentes de error en el muestreo.
ABSTRACT
In some occasions we ask ourselves: How can we obtain optimal sampling size in a
marketing survey? Is it enough to fulfil a questionnaire form in one hundred persons? Or, is
it really necessary to interview 450 subjects? How do the answers determine the variability
in each person interviewed? Which margin error will the results of the survey have?
Answers to each one of those questions are provided from Statistics. In this article a guide
is presented to determine sampling size to be used for proportions. Also included are
fundamental concepts of Sampling Theory.
KEYWORDS
Statistics. Sampling methods. Probabilistic sampling. Non probabilistic sampling. Sampling
size. Proportion. Confidence level. Error sources in sampling.

EL MUESTREO
En un universo de trabajo en donde se desea aplicar un análisis estadístico, cuando el
muestreo cubre a todos los elementos de la población., se realiza un censo. En muchos de
los casos, la realización de un censo no es posible por ser muy costoso, muy extenso o que
la muestra se destruya como resultado del análisis. En tales oportunidades se debe practicar
un análisis muestral. La muestra es una parte seleccionada de la población que deberá ser
representativa, es decir, reflejar adecuadamente las características que deseamos analizar en
el conjunto en estudio.
Se pueden realizar diferentes tipos de muestreo, que quedan clasificados en dos grandes
grupos: probabilísticos y no probabilísticos. En el muestreo probabilístico, todos los
individuos o elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser incluidos en la
muestra extraída, asegurándonos la representatividad de la misma. En el muestreo no
probabilístico, por su parte, los elementos de la muestra se seleccionan siguiendo criterios
determinados siempre procurando la representatividad de la muestra.
MUESTREO PROBABILISTICO
El muestreo probabilístico puede ser muestreo aleatorio simple, cuando todos los
elementos de la población tienen la misma probabilidad de ser seleccionados en la muestra
y esta probabilidad es conocida. Este tipo de muestreo es más recomendable, pero resulta
mucho más difícil de llevarse a cabo y, por lo tanto, es más costoso. Para seleccionar una
muestra de este tipo se requiere tener en forma de lista todos los elementos que integran la
población investigada y utilizar tablas de números aleatorios.
Ejemplo No. 1: A un grupo de 100 personas se les numera de uno a cien y se
depositan en una urna 100 bolitas a su vez numeradas de uno a cien. Para obtener una
muestra aleatoria simple de 20 elementos, tendríamos que sacar 20 bolitas numeradas
de la urna que nos seleccionarán en forma completamente al azar a los 20 elementos
escogidos para que opinen sobre un nuevo producto.
Otro tipo de muestreo probabilístico es el muestreo aleatorio sistemático, el cual es
susceptible de ser más preciso que el muestreo aleatorio simple. Se elige un primer
elemento del universo y luego se van escogiendo otros elementos igualmente espaciados a
partir del primero. Consiste en dividir la población en n estratos, compuestos por las
primeras K unidades, las segundas k unidades y así sucesivamente.
Ejemplo No. 2: a partir de una lista de 100 establecimientos de comestibles,
deseamos seleccionar una muestra probabilística de 20 tiendas. La forma de hacerlo
sería:
o dividir 100 entre 20 para obtener 5, que es un salto sistemático
o extraer un número al azar entre 1 y 5. Supóngase que es el número 2 el cual corresponde
al primer elemento seleccionado.
o Se incluyen en la muestra de establecimientos numerados: 2, 7, 12, 17, 22,…..,97.

Un tercer tipo de muestreo probabilístico es el Muestreo por zonas también llamado
muestreo polietápico o muestreo por áreas. Es ideal cuando se desea que las entrevistas se
apliquen en áreas representativas del fenómeno a estudiar, en un área determinada. Esta
zona puede ser una ciudad, un barrio o la zona sur de la ciudad. Se procede por etapas:
• Primera etapa: selección de manzanas en un mapa. Se necesita un plano de la ciudad
que se investigará.
• Segunda etapa: selección de hogares en esas manzanas. Posteriormente se deben
eliminar del plano las manzanas no destinadas a casa habitación: como parques,
iglesias, tiendas e industrias.
• Tercera etapa: selección de personas en el hogar. Se numera cada manzana de las que
restan en el plano con un criterio uniforme para no alterar la aleatoriedad. Al mismo
tiempo se determinar el número de manzanas que estarán en la muestra.
• Una vez realizados estos pasos se encuentra un número promedio de viviendas por
manzana
Total de familias
Total de manzanas
=
promedio de familias
por manzana
Ejemplo No. 3: Si en una ciudad existen cerca de 5,000 manzanas disponibles y
200,000 hogares, con un promedio de 40 hogares por manzana.
o Se fija un “salto” mínimo de hogares para hacer cada entrevista. Un salto es el
número de casas que se dejarán de visitar después de cada encuesta. A mayor
salto, mayor dispersión de la muestra, y mayor representatividad, pero mayor
costo. Se recomiendan saltos no menores de 4 ni mayores de 10 casas. Se
puede utilizar un salto promedio de 8.
o Se determina el tamaño de la muestra. Suponiendo que la muestra es de 800, se
tiene:
Total de entrevistas
Número de entrevistas por
manzana
=
Número de
manzanas
a sortear
800
5
= 160
o El número de manzanas que se deben dejar de visitar después de haber
encuestado una manzana, se obtiene de la siguiente forma: si se entrevistan 120
hogares,
Total de manzanas
Tamaño de la muestra
= Salto Sistemático
5,000
120
= 41.7 = 42

o Se obtiene un número aleatorio entre 1 y 42 = 25
Primera manzana…………….25
Salto sistemático……………..42
Segunda manzana…………....67
Salto sistemático……………..42
Tercera manzana……………109
Etc.
o Se localizan las manzanas en el mapa y se anotan en una lista.
De este procedimiento se genera el concepto de afijación, definido como la distribución de
los diferentes estratos en la muestra. Puede haber afijación simple donde a cada estrato le
corresponde igual número de elementos. Por otra parte, la afijación proporcional es
cuando la integración de la muestra se hace en base al peso o tamaño de la población en
cada estrato. También se menciona la afijación óptima, de poca aplicación, cuando se
toma en cuenta la proporción de cada estrato y se conoce dispersión previsible de los
resultados a través de la desviación típica.
Un cuarto tipo de muestreo probabilístico es el muestreo aleatorio estratificado, que se
aplica cuando la población no es homogénea con relación a la característica que se desea
estudiar: clases sociales, regiones, sexo, grupos de edad. En este caso la población queda
dividida en estratos o grupos y el muestreo debe hacerse de tal forma que todos esos grupos
queden representados.
Para determinar el tamaño de la muestra en cada estrato, sobre todo si la estratificación es
por niveles de ingreso y por regiones, se puede utilizar dos métodos:
• Cálculo proporcional al tamaño del estrato
En este caso existe una relación proporcional entre el tamaño del estrato y el número de
elementos que aporta a la muestra. Cuanto mayor sea el estrato, mayor será el tamaño
de la muestra seleccionada.
• Cálculo desproporcional al tamaño del estrato
Este tipo de cálculo se utiliza para no tener muestras excesivamente grandes en los
estratos de mayor tamaño y muestras demasiado pequeñas que no permitan un análisis
mayor en los estratos de menor tamaño. Muchas veces, los productos a investigar
tienen su mayor demanda en los estratos más pequeños.
Ejemplo No. 4: es muy probable que la investigación acerca de las actitudes,
preferencias y hábitos de consumo de las madres de familia y los niños por un
nuevo tipo de galleta en el mercado deba enfocarse más hacia los niveles
socioeconómicos altos, ya que son quienes pueden hacer frente a un precio
Premium del 20%.

Suponga que se planea hacer un total de 500 encuestas en la ciudad donde usted
vive. Considerando los porcentajes de hogares en cada estrato socioeconómico en
un muestreo probabilístico con cálculo proporcional obtendríamos:
Nivel socioeco-
nómico
% de
hogares
Número de
entrevistas
A / B 8 40
C 36 180
D / E 56 280
Total 100 % 500
Sin embargo, este número de entrevistas por estrato no permitiría mayor análisis y
desvirtuaría los objetivos de la investigación en los estratos altos. Aquí se deberá
calcular el tamaño de cada muestra mediante el método desproporcional, utilizando
el siguiente procedimiento:
oSe numeran los hogares de la lista en forma independiente para cada estrato.
oSe determina la característica importante para cada estrato y se hace una
estimación de su distribución en la muestra total.
Columna 1 Columna 2 Columna 3 Columna 4 Columna 5 Columna 6 Columna 7
Nivel
socioeconó
mico
% de
hogares
Número
inicial de
entrevistas
¿Pagaría 20%
de
sobreprecio?
Columna 3 x
columna 4
Número final
de entrevistas
% equivalente
A / B 8% 40 60% 24.00 108 21.6%
C 36% 180 25% 45.00 203 40.6%
D / E 56% 280 15% 42.00 189 37.8%
Total 100% 500 100% 111.00 500 100.0%
oSe aplica el método de muestreo por zonas, considerando los valores de 108, 203
y 189 como tamaños totales de muestras para cada zona.
Esto implica que si se hubiera aplicado el muestreo directamente proporcional al
tamaño del estrato, al intentar investigar la probabilidad de pago de un aprecio
Premium, la investigación se habría visto muy limitada, precisamente por el tamaño
del estrato. Al balancear el tamaño del mismo con la probabilidad de posesión del
producto, se podrá explorar mejor el fenómeno.
Otro muestreo probabilístico es el muestreo aleatorio por conglomerados en donde la
población está integrada en grupos específicos. El muestreo se hace seleccionando en forma
aleatoria algunos conglomerados dentro del conjunto total y procediendo a analizar a la
población a partir de aquellos elementos seleccionados.

Ejemplo No. 5: Las unidades hospitalarias, los departamentos académicos en una
universidad, una caja de determinado producto, etc., son conglomerados naturales.
También existen los conglomerados no naturales como, por ejemplo, las urnas
electorales. Cuando los conglomerados son áreas geográficas suele hablarse de
"muestreo por áreas".
También se conoce el muestreo probabilística llamado muestreo por rutas aleatorias, en
donde establecida el área de muestreo se asigna una ruta desde un punto de partida
determinado y los elementos de la muestra se van seleccionado a medida que se avanza en
el trabajo de campo, buscando asegurar una cobertura geográfica de la muestra.
Se incluye en el Cuadro No. 1 un análisis comparativo entre los distintos tipos de Muestro
Probabilístico, describiendo sus ventajas, características e inconvenientes al momento de
ser aplicados.
MUESTREO NO PROBABILÍSTICO
El segundo gran conjunto es el muestreo no probabilístico, donde se seleccionan los
elementos de la muestra de acuerdo a determinados criterios previamente establecidos. Este
tipo de muestreo se utiliza cuando el probabilístico resulta muy costoso, teniendo presente
que no sirve para hacer generalizaciones puesto que no existe certeza de que la muestra
extraída tenga representatividad, puesto que no todos los elementos de la población tiene la
misma probabilidad de ser seleccionados.
El primer tipo de muestreo no probabilísticos es el muestreo por cuotas que presupone un
buen conocimiento de los estratos de la población y se selecciona a los elementos o
individuos más representativos.
Ejemplo No. 6: Seleccionar 50 estudiantes de la carrera de ingeniería industrial,
que ya hayan cursado el cuarto ciclo de la carrera y que tengan promedio arriba del
75 por ciento. Se eligen a los primeros 50 que cumplan con estas condiciones. Este
tipo de muestreo se utiliza especialmente en las encuestas de opinión.
Otro muestreo no probabilístico es el muestreo de opinión o intencional en donde
deliberadamente se obtienen muestras de grupos focales.
Ejemplo No. 7: Realizar un sondeo pre-electoral en una región en donde
anteriormente la tendencia de voto ha estado orientada a un candidatos específico.

Cuadro No. 1. Comparación entre distintos Tipos de Muestreo Probabilístico
CARACTERÍSTICAS VENTAJAS INCONVENIENTES
Aleatorio
simple
Se selecciona una muestra
de tamaño n de una
población de N unidades,
cada elemento tiene una
probabilidad de inclusión
igual y conocida de n/N.
• Sencillo y de fácil
comprensión.
• Cálculo rápido de
medias y varianzas.
• Se basa en la teoría
estadística, y por tanto
existen paquetes
informáticos para
analizar los datos
Requiere que se posea
de antemano un
listado completo de
toda la población.
Cuando se trabaja con
muestras pequeñas es
posible que no
represente a la
población
adecuadamente.
Sistemático
Conseguir un listado de los
N elementos de la población
Determinar tamaño muestral
n.
Definir un intervalo k= N/n.
Elegir un número aleatorio,
r, entre 1 y k (r= arranque
aleatorio).
Seleccionar los elementos de
la lista.
• Fácil de aplicar.
• No siempre es
necesario tener un
listado de toda la
población.
• Cuando la población
está ordenada
siguiendo una
tendencia conocida,
asegura una cobertura
de unidades de todos
los tipos.
Si la constante de
muestreo está
asociada con el
fenómeno de interés,
las estimaciones
obtenidas a partir de la
muestra pueden
contener sesgo de
selección
Estratificado
En ciertas ocasiones
resultará conveniente
estratificar la muestra según
ciertas variables de interés.
Para ello debemos conocer
la composición estratificada
de la población objetivo a
hacer un muestreo. Una vez
calculado el tamaño
muestral apropiado, este se
reparte de manera
proporcional entre los
distintos estratos definidos
en la población usando una
simple regla de tres.
• Tiende a asegurar que
la muestra represente
adecuadamente a la
población en función
de unas variables
seleccionadas.
• Se obtienen
estimaciones más
precisa
• Su objetivo es
conseguir una muestra
lo más semejante
posible a la población
en lo que a la o las
variables
estratificadotas se
refiere.
Se ha de conocer la
distribución en la
población de las
variables utilizadas
para la
estratificación.
Conglomerad
os
Se realizan varias fases de
muestreo sucesivas
(polietápico)
La necesidad de listados de
las unidades de una etapa se
limita a aquellas unidades de
muestreo seleccionadas en la
etapa anterior.
• Es muy eficiente
cuando la población es
muy grande y dispersa.
• No es preciso tener un
listado de toda la
población, sólo de las
unidades primarias de
muestreo.
El error estándar es
mayor que en el
muestreo aleatorio
simple o
estratificado.
El cálculo del error
estándar es complejo.
Referencia: Frugone , Joselin

También es no probabilístico el muestreo casual o incidental cuando se selecciona directa
a intencionadamente a los elementos de la muestra.
Ejemplo No. 8: Un profesor universitario frecuentemente utilizará a sus estudiantes
para integrar muestras.
Así mismo, otro muestreo no probabilístico es el muestreo bola de nieve en donde algunos
elementos seleccionados de la muestra conducen a otros y estos a otros hasta conseguir una
muestra adecuada en tamaño.
Ejemplo No. 9: Realizar estudios con poblaciones marginales, con delincuentes,
tipos de enfermos para conocer el nivel de participación social.
Finalmente, otro tipo de muestreo no probabilístico es el muestreo discrecional en donde
los elementos de la muestra son seleccionados con el encuestador de acuerdo a criterios que
él considera de aporte para el estudio.
Ejemplo No. 10: Seleccionar a cajeros de un banco en un estudio sobre el
comportamiento del usuario ante el pago de impuestos.
IMPORTANCIA DEL MUESTREO EN LA INFERENCIA ESTADISTICA
El objetivo del muestreo es estimar parámetros de la población, tales como la media o el
total, con base en la información contenida en una muestra. Conocer la teoría de muestreo
hace que éste sea más eficiente. Permite desarrollar métodos de selección de muestras y de
estimación, que proporcionen, al menor costo posible, estimaciones con la suficiente
exactitud para los propósitos establecidos. Para ello se debe predecir la precisión y el costo
esperado.
Respecto a la precisión, no se puede predecir el grado de error de una estimación en una
situación específica, pues implicaría conocer el verdadero valor de la población, por ello lo
que se hace es examinar la distribución de frecuencia generada para las estimaciones y se
supone que la población tiene una distribución igual. A veces se hace la simplificación de
que las estimaciones muestrales tienen una distribución aproximadamente normal.
En resumen, con la Inferencia se puede disponer de más información, es confiable y
representativa de la muestra y también se puede reducir el grado de error. Además permite
considerar el efecto aleatorio.
Teorema Central del Límite: toda muestra al aumentar, tiende a la normalidad y es
susceptible de ser analizada bajo una distribución de probabilidad normal.

CÁLCULO DEL TAMAÑO DE LA MUESTRA
Para determinar el tamaño de una muestra se deberán tomar en cuenta varios aspectos,
relacionados con el parámetro y estimador, el sesgo, el error muestral, el nivel de confianza
y la varianza poblacional.
El parámetro se refiere a la característica de la población que es objeto de estudio y el
estimador es la función de la muestra que se usa para medirlo.
Ejemplo No. 11: Para evaluar la calidad de un grupo de estudiantes (parámetro) se
mide a través de los promedios obtenidos (estimador).
El error muestral siempre se comete ya que existe una pérdida de la representatividad al
momento se escoger loe elementos de la muestra. Sin embarbo, la naturaleza de la
investigación nos indicará hasta que grado se puede aceptar.
El nivel de confianza, por su parte, es la probabilidad de que la estimación efectuada se
ajuste a la realidad; es decir, que caiga dentro de un intervalo determinado basado en el
estimador y que capte el valor verdadero del parámetro a medir.
Tamaño de Muestra para Proporciones
Cuando deseamos estimar una proporción, debemos conocer varios aspectos:
a) El nivel de confianza o seguridad (1 - α). El nivel de confianza prefijado da lugar a un
coeficiente (Zα).
Ejemplo No. 12: Para una seguridad del 95%, Zα = 1.96, para una seguridad del
99%, Zα = 2.58. (Estos valores provienen de las tablas de la distribución normal Z)
b) La precisión que deseamos para el estudio.
c) Una idea del valor aproximado del parámetro que queremos medir (en este caso una
proporción). Esta idea se puede obtener revisando la literatura, por estudio pilotos
previos. En caso de no tener dicha información utilizaremos el valor p = 0.5 (50%). El
problema que puede enfrentarse en un estudio de investigación es la cantidad de
información con la que se cuente; específicamente se pueden tener dos casos:
desconocer la población del fenómeno estudiado, o bien, conocerla.
Cálculo del Tamaño de la Muestra desconociendo el Tamaño de la Población.
La fórmula para calcular el tamaño de muestra cuando se desconoce el tamaño de la
población es la siguiente:
2
2
d
qpZ
n a ××
=

en donde,
Z = nivel de confianza,
P = probabilidad de éxito, o proporción esperada
Q = probabilidad de fracaso
D = precisión (error máximo admisible en términos de proporción)
Ejemplo No. 13: ¿A cuántas familias tendríamos que estudiar para conocer la
preferencia del mercado en cuanto a las marcas de shampoo para bebé, si se
desconoce la población total?
Seguridad = 95%;
Precisión = 3%;
Proporción esperada = asumamos que puede ser próxima al 5%; si no tuviésemos
ninguna idea de dicha proporción utilizaríamos el valor p = 0.5 (50%) que
maximiza el tamaño muestral.
Entonces:
• Zα
2
= 1.962 (ya que la seguridad es del 95%)
• p = proporción esperada (en este caso 5% = 0.05)
• q = 1 – p (en este caso 1 – 0.05 = 0.95)
• d = precisión (en este caso deseamos un 3%)
203
03.0
95.005.096.1
2
2
=
××
=n
Se requeriría encuestar a no menos de 203 familias para poder tener una seguridad
del 95%
Ejemplo No. 14: ¿Cómo hubiera cambiando el ejemplo anterior, si se desconoce la
proporción esperada?
Cunado se desconoce la proporción esperada, se tiene que utilizar el criterio
conservador (p = q = 0.5), lo cual maximiza el tamaño de muestra de la siguiente
manera:
• Z α
2
• q = 1 – p (en este caso 1 – 0.5 = 0. 5)
• d = precisión (en este caso deseamos un 3%) quedando como resultado:
1068
03.0
5.05.096.1
2
2
=
××
=n
del 95%

Cálculo del Tamaño de la Muestra conociendo el Tamaño de la Población.
La fórmula para calcular el tamaño de muestra cuando se desconoce el tamaño de la
población es la siguiente:
( ) qpZNd
qpZN
n
a
a
××+−×
×××
= 22
2
1
en donde,
N = tamaño de la población
Z = nivel de confianza,
P = probabilidad de éxito, o proporción esperada
Q = probabilidad de fracaso
D = precisión (Error máximo admisible en términos de proporción)
Ejemplo No. 15: ¿A cuántas familias tendríamos que estudiar para conocer la
preferencia del mercado en cuanto a las marcas de shampoo para bebé, si se conoce
que el número de familias con bebés en el sector de interés es de 15,000?
Seguridad = 95%;
Precisión = 3%;
Proporción esperada = asumamos que puede ser próxima al 5%; si no tuviese
ninguna idea de dicha proporción utilizaríamos el valor p = 0.5 (50%) que
maximiza el tamaño muestral.
( )
200
95.005.096.11000,1503.0
95.005.096.1000,15
22
2
=
××+−×
×××
=n
del 95%
Ejemplo No. 16: ¿Cómo hubiera cambiando el ejemplo anterior, si se desconoce la
proporción esperada?
Si se desconoce la proporción esperada, se tendría que utilizar el criterio
conservador (p = q = 0.5), lo cual maximiza el tamaño de muestra de la siguiente
manera:
• Zα
2
• q = 1 – p (en este caso 1 – 0.5 = 0. 5)
• d = precisión (en este caso deseamos un 3%) quedando como resultado:
( )
997
5.05.096.11000,1503.0
5.05.096.1000,15
22
2
=
××+−×
×××
=n
del 95%

Conclusiones sobre el nivel de seguridad en el muestreo
Según diferentes seguridades, el coeficiente de Zα varía así:
• Si la seguridad Zα fuese del 90% el coeficiente sería 1.645
• Si la seguridad Zα fuese del 97.5% el coeficiente sería 2.24
Si los recursos del investigador son limitados, debe recordar que a medida que se
disminuya el nivel de seguridad, se permitirá un mayor error en el estudio de investigación,
lo cual a su vez permitirá al investigador trabajar con un número de muestra más reducido,
sacrificando la confiabilidad de los resultados.
CONCLUSIONES
Existen varios criterios estadísticos para poder
establecer el tamaño de una muestra. En principio
pueden ser criterios probabilísticos o no
probabilísticos de acuerdo al nivel de posibilidades
que cada uno de los elementos tiene, de participar en
la muestra, dentro de un universo de trabajo dado.
En un siguiente artículo comentaremos sobre las
técnicas de muestreo más empleadas.
BIBLIOGRAFÍA
• BENASSINI, MARCELA. Introducción a la
Investigación de Mercados, un enfoque para América
Latina. Primera edición. Editorial Prentice Hall. México.
• CEA D `ANCONA, Mª A (1998). Metodología
cuantitativa: Estrategias y Técnicas de Investigación
Social. Síntesis. Madrid
• Estadística. http://www.umce.cl/publicaciones
• Estadística para Administradores.
http://www.monografias.com
• FRUGONE, JOSELIN. Estadística. UNAM.
http://apuntes.rincondelvago.com/conceptos-y-

muestreo.html
• MARBAN, VICENTE. Sociología Económica.
http://www2.uah.es/vicente_marban/ASIGNATURAS/SOCIOLOGIA%20ECONOMICA/TEMA%205/t
ema%205.pdf
• ORTEGA E (1997). La dirección de Marketing. ESIC. Madrid
• SPIEGEL, MURRAY (1988). Estadística. 2ª. Edición. Editorial McGraw Hill. Madrid.

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