La Gatera de la Villa nº 51. Revista cultural sobre Madrid..
Matematica
1. REPUBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA
INSTITUTO UNIVERSITARIO TECNOLOGICO “ANTONIO JOSE DE SUCRE”
BARQUISIMETO - LARA
PLANO CARTESIANOS Y FUNCIONES
Participante:
Montes Moises
C.I. 25.563.615
Tutor: Prof. José E Linarez
Área: matemática
Barquisimeto; Agosto del 2014
2. INTRODUCCIÓN
La presente investigación tiene como finalidad investigar más sobre la matemática;
refriéndose específicamente a los Planos cartesianos, representaciones, la función, entre otros.
La misma permite conocer y ampliar los conocimiento adquiridos en los años anteriores, y
tenerlo presente en nuestra vida cotidiana.
3. 1) ¿Que es el plano Cartesiano y Representación?
Es un sistema de referencias que se encuentra conformado por dos rectas numéricas, una
horizontal y otra vertical, que se cortan en un determinado punto. A la horizontal se la llama eje
de las abscisas o de las x y al vertical eje de las coordenadas o de las yes, en tanto, el punto en el
cual se cortarán se denomina origen. La principal función o finalidad de este plano será el de
describir la posición de puntos, los cuales se encontrarán representados por sus coordenadas o
pares ordenados. Las coordenadas se formarán asociando un valor del eje x y otro del eje y.
El punto 0 recibe el nombre origen de coordenadas. Se escoge también una unidad de
medida, con la que se marcan con signo positivo las distancias en la semirrecta desde el origen
hacia arriba y hacia la derecha, y con signo negativo desde el origen hacia abajo y hacia la
izquierda. El eje Perpendicular se denomina eje de abscisas o el eje de las x, mientras que el eje
verticales denomina eje de coordenadas o ejes de las y. Este sistema de referencia se denomina
sistema de ejes cartesianos o sistema cartesiano (De Cartesius, nombre latinalizado de René
Descartes, filósofo y matemático francés del siglo XVII) con ello todo el plano queda dividido en
cuatro cuadrantes (I, II, III, IV), que se numeran en sentido contrario al movimiento a las agujas del
reloj.
2) ¿Qué es función?
Se dice que Y es función de X cuando a cada valor de la variable X corresponde a uno o
varios valores determinados de la variable Y.
La notación para expresar que Y es función de X es Y=f(x).
4. Las cantidades que intervienen en una cuestión matemática son constantes cuando tienen
un valor fijo y determinado y son variables cuando toman diversos valores. por ejemplos:
1) Si un metro de tela cuesta $2, el costo de una pieza de tela dependerá del número de metros
que tenga la pieza. Si la pieza tiene 5 metros el costo de la pieza será de $10; si tiene 8 metros, el
costo será de $16, etc., aquí el costo de un metro que siempre es el mismo, $2, es una constante, y
el número de metros de la pieza y el costo de la pieza, que toman diversos valores, son variables.
De qué depende en este caso el costo de la pieza? Del número de metros que tenga. El
costo de la pieza es la variable dependiente y el número de metros la variable independiente.
3) Dominio y Rango de una función
Dominio: Son todos los valores que se pueden entrar en una función.
Rango: Son todos los valores que pueden salir de una función. El rango también es
conocido como el recorrido, alcance o campo de valores de una función.
Para ilustrar los conceptos de dominio y rango consideremos lo siguiente:
A una tienda le quedan 5 manzanas a un costo de 50 centavos cada una. Si se describe una función
de venta, encuentre el dominio y el rango para esta función.
El problema se resume a pensar lo siguiente: suponga que tiene una máquina que dado el numero
de manzanas nos devuelve el costo de las mismas. El dominio viene dado por el numero de
manzanas que podemos entrar en la maquina y el rango por los costos que salen de la misma (ver
la siguiente figura).
5. Así que el dominio y el rango vienen dados por:
Dominio={0,1,2,3,4,5} , Rango={0,0.5,1,1.5,2,2.5}.
Dominio y Rango: Tablas y Conjuntos de Pares Ordenados
Las relaciones también pueden ser mostradas como tablas o como conjuntos de pares ordenados.
Encontrar el dominio y el rango en estas situaciones es simple, siempre y cuando recordemos qué
es lo que significan los términos. Si una relación matemática es dada en una tabla, los valores
independientes generalmente se enlistan en la columna izquierda, mientras que los valores
dependientes normalmente se ponen en la columna derecha.
Valor dependiente Valor independiente
7 -1
-3 2
6 5
4 9
El dominio se puede encontrar al leer la
primera columna {-1, 2, 5, 9}. El rango es todos los valores de la segunda columna {7, -3, 6, 4}.
Cuando se trata de conjuntos de pares ordenados, simplemente necesitamos separar los pares en
coordenadas x y coordenadas y. Ya que las coordenadas x conforman los valores independientes,
nos dan el dominio. Las coordenadas y son los valores dependientes, lo que significa que son el
rango. Intentémoslo.
En el conjunto de pares ordenados {(-2, 0), (0, 6), (2, 12), (4, 18)}, el dominio es el conjunto de los
primeros números de cada par (esos son las coordenadas x): {-2, 0, 2, 4}. El rango es el conjunto de
los número que conforman el segundo componente de cada par (esos son las coordenadas y): {0,
6. 6, 12, 18}.
{(-2, 0), (0, 6), (2, 12), (4, 18)} Dominio: {-2, 0, 2, 4}.
Rango: {0, 6, 12, 18}
Dominio y Rango: Gráficas
También podemos representar funciones y relaciones con gráficas. La cantidad independiente
normalmente se grafica en el eje horizontal (x) — lo que significa que los puntos en la coordenada
x son el dominio. Como la cantidad dependiente normalmente se grafica en el eje vertical (y) , las
coordenadas y conforman el rango. Veamos algunas gráficas para entender cómo funciona esto.
Primero, examina la gráfica de puntos discretos. Los únicos valores que conocemos que satisfacen
la ecuación son los marcados con puntos. Simplemente leemos las coordenadas x, y los colocamos
en un conjunto de valores que representan el dominio. Luego leemos las coordenadas y, y los
ponemos en el rango. Para ésta gráfica, el dominio es {-2, 0, 2, 4}. Y el rango es {0, 6, 12, 18}.
Ahora veamos un tipo de gráfica diferente, en el cual la función es una recta continua, que se
extiende indefinidamente en ambas direcciones. Esto significa que hay un número infinito de
7. valores que son parte de la función. Para ésta función, no hay restricciones para el dominio ni para
el rango. Cualquier número real puede ser una entrada o una salida. Esto significa que todos los
números, enteros, fracciones y otros números racionales, incluso números irracionales, son parte
del dominio y parte del rango. Como no podemos escribir todas estas posibilidades, simplemente
decimos que el dominio y el rango son todos los números reales.
En algunas situaciones sólo uno de los dos, el dominio o el rango, está restringido. Considera la
gráfica del valor absoluto de la función, y = |x|. La línea se extiende indefinidamente en ambas
direcciones sobre el eje x, por lo que el dominio son todos los números reales. Sin embargo, como
el valor absoluto transforma cualquier valor negativo en uno positivo, no existen valores negativos
en el rango. El rango está formado de todos los números reales mayores o iguales a 0 — aunque
siguen siendo demasiados como para escribirlos todos.
8. 4) Tipos de Funciones:
a) La función a) La función
f x C x ( ) , = " Î
Se denomina función constante.
Funciones algebraica:
En las funciones algebraicas las operaciones que hay que efectuar con la variable independiente
son: la adición, sustracción, multiplicación, división, potenciación y radicación.
Las funciones algebraicas pueden ser:
Funciones explícita
Si se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución.
f(x) = 5x − 2
Funciones implícitas
Si no se pueden obtener las imágenes de x por simple sustitución, sino que es preciso efectuar
operaciones.
5x − y − 2 = 0
9. Funciones polinómicas:
Son las funciones que vienen definidas por un polinomio.
f(x) = a0 + a1x + a2x² + a2x³ +··· + anxn
Su dominio es R, es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constante
El criterio viene dado por un número real.
f(x)= k
La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas.
Funciones polinómicas de primer grado
f(x) = mx + n
Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función.
Son funciones de este tipo las siguientes:
Función afín.
Función lineal.
Función identidad.
Funciones cuadrática
f(x) = ax² + bx + c
Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola.
Funciones racional:
El criterio viene dado por un cociente entre polinomios:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el
denominador.
Funciones radical:
El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical.
El dominio de una función irracional de índice impar es R.
El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que
hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
10. Funciones algebraica a trozos
Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren.
Funciones en valor absoluto.
Función parte entera de x.
Función mantisa.
Función signo.
Funciones trascendente
La variable independiente figura como exponente, o como índice de la raíz, o se halla
afectada del signo logaritmo o de cualquiera de los signos que emplea la trigonometría.
Funciones exponencial:
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder
la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
Funciones logarítmica:
La función logarítmica en base a es la función inversa de la exponencial en base a.
Funciones trigonométrica
Función seno
f(x) = sen x
Función coseno
f(x) = cos x
Función tangente
f(x) = tg x
Función cosecante
f(x) = cosec x
Función secante
11. f(x) = sec x
Función cotangente
f(x) = cotg x
5) Operaciones con Funciones
Crecimiento y decrecimiento de una función en un intervalo Una función f(x) es creciente en un
intervalo (a,b) cuando para dos puntos cualquiera x y x 1 2 pertenecientes a (a,b) tales que X1 <
X2 se cumple:
f(X1 ) < f(X2 )
Una función f(x) es decreciente en un intervalo (a,b) cuando para dos puntos cualquiera X1 y X2
pertenecientes a (a,b) tales que X1 < X2 se cumple:
f(X1 ) < f(X2 )
12. Operaciones con funciones trigonométricas:
Una identidad trigonométrica es una igualdad entre expresiones que contienen funciones
trigonométricas y es válida para todos los valores del ángulo en los que están definidas las
funciones (y las operaciones aritméticas involucradas).
Notación: se define sin2α como (sin α)2. Lo mismo se aplica a las demás funciones
trigonométricas.
Funciones numéricas
Llamamosfunciones numéricasa funciones cuyo dominio y codominio son subconjuntosde los
Reales. Estas funciones son aquellas que aparecen más frecuentemente en lasaplicaciones
elementales.
Funciones acotadas
Una función se denomina acotada si su conjunto imagen está acotado. Por ejemplo:
f(x) = sen(x)yg(x) = cos(x)
tienen por conjunto imagen el intervalo [-1,1]. Sisu conjunto imagen está acotado sólo superior o
inferiormente, se dice que la funciónestá acotada superior o inferiormente, respectivamente. Por
ejemplo,
f("x")=|x|[0,+ ]ᴔ
tiene por conjunto imagen , por lo que está acotada inferiormente.
Funciones pares e impares
Artículo principal:Función par
Artículo principal: Función impar
Se dice que una función es par cuando presenta simetría sobre el eje de ordenadas, esto es, si
13. I > I( I €˅ Α -I €Ʌ Α→ f(x)= f(-x))
Una función es impar
si presenta simetría con respecto al origen de coordenadas, esto si
I > I( I €˅ Α -I €Ʌ Α→ f(x)= -f(x))
Una función que no presenta simetría par no tiene necesariamente simetría impar.Algunas
funciones no presentan ninguno de los dos tipos de simetría o bien la presentanfrente a focos o
ejes distintos del origen de coordenadas o el eje de ordenadas (o eje Y).Dichas funciones se dice
que no poseen paridad.La importancia de los conceptos reside en que funciones cuyo dominio es
simétricorespecto al origen, se cumple que son iguales a la suma de una función par con
unafunción impar
Funciones monótonas
Artículo principal: Función monótona
1. La función f es estrictamentecreciente en
[a,b] ↔ ᵾ і₁, і₂ € [a,b]₌ Ι₁ < I₂ ↔ f(Ι₁) < f(I₂)
14. CONCLUSIÓN
Como resultado de la investigación de matemática, es posible concluir que existe relación
entre el plano cartesiano y las funciones, la cual van agarrada de las manos una con la otra.
También es importante resaltar que las funciones son que y es función de X cuando a cada
valor de la variable X corresponde uno o varios valores determinados en la variable Y.