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Rotación de cuerpo rígido
    Presentación PowerPoint de
 Paul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State University
Objetivos: Después de completar
  este módulo, deberá:
• Definir y calcular el momento de inercia para
  sistemas simples.
• Definir y aplicar los conceptos de segunda ley de
  Newton, energía cinética rotacional, trabajo
  rotacional, potencia rotacional y cantidad de
  movimiento rotacional a la solución de problemas
  físicos.
• Aplicar principios de conservación de energía y
  cantidad de movimiento a problemas que
  involucran rotación de cuerpos rígidos.
Inercia de rotación
Considere la segunda ley de Newton para que la inercia de
rotación se modele a partir de la ley de traslación.

       F = 20 N                 Inercia lineal, m
             a = 4 m/s2               20 N
                                 m = 4 m/s2 = 5 kg

         F = 20 N             Inercia rotacional, I
         R = 0.5 m           t   (20 N)(0.5 m)
         a = 2 rad/s2      I=a =               = 5 kg m2
                                    2 rad/s2

  La fuerza hace para la traslación lo que el momento de
              torsión hace para la rotación:
Energía cinética rotacional
 Considere masa pequeña m:
                                 v = wR
                                               m
     K = ½mv2                                      m

     K = ½m(wR)2                    w              4
                                                        m3
                                          m1
                                                   m2
     K=    ½(mR2)w2                     eje

Suma para encontrar K total: Objeto que rota a w constante.

    K = ½(SmR2)w2            Definición de inercia rotacional:

 (½w2 igual para toda m )                I = SmR2
Ejemplo 1: ¿Cuál es la energía cinética
   rotacional del dispositivo que se
   muestra si rota con rapidez constante
   de 600 rpm?
Primero: I = SmR2            3 m 3 kg
                          2 kg
   I = (3 kg)(1m)2                            w
       + (2 kg)(3 m)2                 1m
       + (1 kg)(2 m)2            2m    1 kg

    I = 25 kg m2        w = 600 rpm = 62.8 rad/s

    K = ½Iw2 = ½(25 kg m2)(62.8 rad/s) 2

                   K = 49 300 J
Inercias rotacionales comunes
              L                           L


         I   1
                  3
                       2
                      mL            I    1
                                           12   mL2




     R                          R                     R




I=   mR2                   I=   ½mR2             I   2
                                                          5   mR   2

     Aro               Disco o cilindro          Esfera sólida
Ejemplo 2: Un aro circular y un disco
  tienen cada uno una masa de 3 kg y un
  radio de 30 cm. Compare sus inercias
  rotacionales.
                                       R
       I  mR  (3 kg)(0.3 m)
             2                  2


           I = 0.27 kg m2           I = mR2
                                      Aro

   R             I  mR  (3 kg)(0.3 m)
                    1   2   1               2
                    2       2



I = ½mR2                I = 0.135 kg m2
 Disco
Analogías importantes
Para muchos problemas que involucran rotación,
hay una analogía extraída del movimiento lineal.
          m                t
                                       w w  50 rad/s
 x                             I   R      o
     f                                   t = 40 N m
                               4 kg
Una fuerza resultante    Un momento de torsión
                         resultante t produce
F produce aceleración
                         aceleración angular a de
negativa a para una      disco con inercia rotacional
masa m.                  I.
     F  ma                        t  Ia
Segunda ley de rotación de Newton
¿Cuántas revoluciones
                        F               wo  50 rad/s
    requiere para                   w
     detenerse?               R         R = 0.20 m
     t = Ia             4 kg            F = 40 N


  FR = (½mR2)a                             0
                              2aq  wf2 - wo2
   2F    2(40N)                w 0   (50 rad/s) 2
a
                                  2
                           q      
   mR (4 kg)(0.2 m)             2a    2(100 rad/s 2 )

    a = 100 rad/s2          q = 12.5 rad = 1.99 rev
Ejemplo 3: ¿Cuál es la aceleración
                                               R = 50 cm
    lineal de la masa de 2-kg que cae?
                                               M 6 kg
Aplique 2a ley de Newton al disco rotatorio:
                                                 a=?
      t  Ia         TR =   (½MR2)a
                             a                             2 kg
   T = ½MRa pero a = aR; a =
                             R
           a                                   R = 50 cm
   T = ½MR( ) ;         y    T = ½Ma
               R
                                                  6 kg
                                                           T
Aplique 2a ley de Newton a la masa que cae:
                                                           T
   mg - T = ma       mg - ½Ma = ma
                           T                    +a
                                                            2 kg
  (2 kg)(9.8 m/s2) - ½(6 kg) a = (2 kg) a
                                                           mg
   19.6 N - (3 kg) a = (2 kg) a    a = 3.92 m/s2
Trabajo y potencia para rotación
Trabajo = Fs = FRq            t  FR
                                                         s
                                                 q
         Trabajo = tq                                    F
             Trabajo
                         tq       q                  F
Potencia =             = t     w=
               t                  t         s = Rq

        Potencia = t w


 Potencia = Momento de torsión x velocidad angular promedio
Ejemplo 4: El disco rotatorio tiene
    un radio de 40 cm y una masa de
    6 kg. Encuentre el trabajo y la                           s
    potencia si la masa de 2 kg se                        q
    eleva 20 m en 4 s.
                                                   6 kg       F
                                          2 kg
      Trabajo = tq = FR q
                                                         F=W
         s   20 m                                s = 20 m
     q=    =       = 50 rad
        R    0.4 m
F = mg = (2 kg)(9.8 m/s2); F = 19.6 N

Trabajo = (19.6 N)(0.4 m)(50 rad)           Trabajo = 392 J

             Trabajo
Potencia =             = 392 J              Potencia = 98 W
                t          4s
El teorema trabajo-energía
Recuerde para movimiento lineal que el trabajo
realizado es igual al cambio en energía cinética
lineal:

            Fx  ½mv  ½mv  2
                            f
                                         2
                                         0
Al usar analogías angulares, se encuentra que el
trabajo rotacional es igual al cambio en energía
cinética rotacional:

           tq  ½Iw  ½Iw  2
                           f
                                        2
                                        0
Aplicación del teorema trabajo-energía:
¿Qué trabajo se necesita
                               F            wo  60 rad/s
 para detener la rueda                  w
       que rota?                    R       R = 0.30 m
   Trabajo = DKr                            F = 40 N
                               4 kg

Primero encuentre I para rueda: I = mR2 = (4 kg)(0.3 m)2
                      = 0.36 kg m2
                 0
  tq  ½Iw  ½Iw2
                f
                           2
                           0       Trabajo = -½Iwo2

Trabajo = -½(0.36 kg m2)(60 rad/s)2         Trabajo = -648 J
Rotación y traslación combinadas
               vcm     Primero considere un disco que se
               vcm     desliza sin fricción. La velocidad de
                       cualquier parte es igual a la
               vcm     velocidad vcm del centro de masa.
                                               w
Ahora considere una bola que rueda
sin deslizar. La velocidad angular w                v
en torno al punto P es igual que w         R
para el disco, así que se escribe:             P

                v
             w            O           v  wR
                R
Dos tipos de energía cinética
Energía cinética                         w
de traslación:     K=    ½mv2

                                    R        v
Energía cinética
de rotación:       K = ½Iw2             P

   Energía cinética total de un objeto que rueda:

              KT  mv  I w
                     1
                     2
                           2    1
                                2
                                     2
Conversiones angular/lineal
En muchas aplicaciones, debe resolver una
ecuación con parámetros angulares y lineales. Es
necesario recordar los puentes:

                                    s
     Desplazamiento:   s qR     q
                                    R
                                     v
     Velocidad:        v  wR    w
                                     R
                                    a
     Aceleración:      v aR     a
                                    R
¿Traslación o rotación?
Si debe resolver un parámetro lineal, debe convertir
todos los términos angulares a términos lineales:

      s          v            a
   q         w         a         I  (?)mR 2
      R          R            R
Si debe resolver un parámetro angular, debe
convertir todos los términos lineales a términos
angulares:
       s qR          v  wR        v aR
Ejemplo (a): Encuentre la velocidad v de un
disco dada su energía cinética total E.
    Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2
                                    v
E  mv  I w ; I  mR ; w 
     1
     2
         2   1
             2
                     2            1
                                  2
                                        2

                                    R
                       v2 
    2        2 2             
E  1 mv 2  1 1 mR 2  2  ; E  1 mv 2  1 mv 2
                                  2        4
                      R 
       3mv 2                             4E
    E                   or           v
        4                                3m
Ejemplo (b) Encuentre la velocidad angular w
de un disco dada su energía cinética total E.
   Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2

E  1 mv 2  1 I w 2 ; I  1 mR 2 ; v  w R
    2        2             2



E  1 m(w R)2  1  1 mR2  w 2 ; E  1 mR2w 2  1 mR2w 2
    2           2 2                   2          4



    3mR 2w 2                    4E
 E                 or      w
      4                        3mR 2
Estrategia para problemas
• Dibuje y etiquete un bosquejo del problema.

• Mencione lo dado y establezca lo que debe
  encontrar.
• Escriba fórmulas para encontrar los momentos
  de inercia de cada cuerpo que rota.
• Recuerde conceptos involucrados (potencia,
  energía, trabajo, conservación, etc.) y escriba
  una ecuación que involucre la cantidad
  desconocida.
• Resuelva para la cantidad desconocida.
Ejemplo 5: Un aro y un disco circulares,
   cada uno con la misma masa y radio,
   ruedan con rapidez lineal v. Compare sus
   energías cinéticas.                 w
                                        w
Dos tipos de energía:                       v          v
KT = ½mv2     Kr = ½Iw2
                                               v
Energía total: E =   ½mv2   +   ½Iw2        w=
                                               R
                                v2 
Disco: E  ½mv 2  ½ ½ mR 2   2         E = ¾mv2
                               R 
                              v2 
 Aro: E  ½mv 2  ½  mR 2   2           E = mv2
                             R 
Conservación de energía
     La energía total todavía se conserva
     para sistemas en rotación y traslación.
 Sin embargo, ahora debe considerar la rotación.
   Inicio: (U + Kt + KR)o = Fin: (U + Kt + KR)f


¿Altura?       mgho           mghf      ¿Altura?

¿Rotación?     ½Iwo2      =   ½Iwf2     ¿Rotación?
                                        ¿Velocidad?
¿Velocidad?   ½mvo    2       ½mvf2
Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masa
  de 2 kg justo antes de golpear el suelo.
                                                 R = 50 cm
     mgho                       mghf
    ½Iwo2           =       ½Iwf2                 6 kg

    ½mvo2                   ½mvf2                      2 kg
                                                     h = 10 m

  mgh0  1 mv 2  1 I w 2
         2        2             I  1 MR 2
                                    2

                                v2         2.5v2 = 196 m2/s2
  mgh0  1 mv 2  1 ( 1 MR 2 )  2 
         2        2 2
                               R 
                                              v = 8.85 m/s
(2)(9.8)(10)  (2)v  (6)v
                1
                2
                        2   1
                            4
                                     2
Ejemplo 7: Un aro y un disco ruedan desde
     lo alto de un plano inclinado. ¿Cuáles son
     sus rapideces en el fondo si la altura inicial
     es 20 m?
    mgho = ½mv2 + ½Iw2      Aro: I = mR2
                             v2 
    mgh0  ½mv 2  ½(mR 2 )  2                           20 m
                            R 
  mgho = ½mv2 + ½mv2;      mgho = mv2

     v  gh0  (9.8 m/s 2 )(20 m)    Aro:     v = 14 m/s
Disco: I = ½mR2; mgho = ½mv2 + ½Iw2         v   4
                                                     3   gh0
                            v2 
 mgh0  ½mv 2  ½(½ mR 2 )  2 
                           R              v = 16.2 m/s
Definición de cantidad de
           movimiento angular
Considere una partícula m que     v = wr
se mueve con velocidad v en                      m
un círculo de radio r.                               m

    Defina cantidad de
                                     w               4
                                                          m3
                                           m1
   movimiento angular L:                             m2
                                         eje
          L = mvr               Objeto que rota con w constante.
   Al sustituir v= wr, da:
                                  Dado que I = Smr2, se tiene:
    L = m(wr) r = mr2w
 Para cuerpo extendido en                      L = Iw
         rotación:
                                        Cantidad de
        L = (Smr2) w                 movimiento angular
Ejemplo 8: Encuentre la cantidad de
      movimiento angular de una barra              L=2m
      delgada de 4 kg y 2 m de longitud
      si rota en torno a su punto medio            m = 4 kg
      con una rapidez de 300 rpm.
                  1       1
Para barra : I     mL 
                      2
                            (4 kg)(2 m) 2 I = 1.33 kg m2
                 12      12
              rev  2 rad  1 min 
     w   300                      31.4 rad/s
              min  1 rev  60 s 

           L = Iw  (1.33 kg m2)(31.4 rad/s)2

                   L = 1315 kg m2/s
Impulso y cantidad de
            movimiento
Recuerde que, para movimiento lineal, el impulso
lineal es igual al cambio en cantidad de movimiento
lineal:

             F Dt  mv f  mv0
Al usar analogías angulares, se encuentra que el
impulso angular es igual al cambio en cantidad de
movimiento angular :

            t Dt  I w f  I w 0
Ejemplo 9: Una fuerza de 200 N se aplica al
   borde de una rueda libre para girar. La fuerza
   actúa durante 0.002 s. ¿Cuál es la velocidad
   angular final?
I = mR2 = (2 kg)(0.4 m)2   D t = 0.002 s w  0 rad/s
                                       w o
                                  R      R = 0.40 m
   I = 0.32 kg m2
                            F            F = 200 N
 Momento de torsión             2 kg
   aplicado t  FR
   Impulso = cambio en cantidad de movimiento angular
                         0
         t Dt = Iwf  Iwo        FR Dt = Iwf


                                         wf = 0.5 rad/s
Conservación de cantidad de movimient
    En ausencia de momento de torsión externo, se
  conserva la cantidad de movimiento rotacional de un
                  sistema (es constante).
                         0
         Ifwf  Iowo = t Dt         Ifwf  Iowo




  Io = 2 kg m2; wo = 600 rpm       If = 6 kg m2; wo = ?

     I 0w0 (2 kg  m2 )(600 rpm)
wf                                     wf = 200 rpm
       If        6 kg  m 2
Resumen – Analogías rotacionales
   Cantidad            Lineal         Rotacional
Desplazamiento   Desplazamiento x     Radianes q
   Inercia         Masa (kg)          I (kgm2)
    Fuerza         Newtons N         Momento de
                                     torsión N·m
  Velocidad        v     “ m/s ”     w      Rad/s

 Aceleración      a      “ m/s2 ”    a      Rad/s2

 Cantidad de       mv (kg m/s)      Iw (kgm2rad/s)
 movimiento
Fórmulas análogas
 Movimiento lineal   Movimiento rotacional
     F = ma                t = Ia
    K = ½mv2             K = ½Iw2
  Trabajo = Fx          Trabajo = tq
  Potencia = Fv        Potencia = Iw
Fx = ½mvf2 - ½mvo2   tq =   ½Iwf2 - ½Iwo2
Resumen de             fórmulas: I = SmR2

   K  Iw1
         2
              2
                      Trabajo = tq    I ow o  I f w f

                                              tq
 tq  ½Iw  ½Iw   2
                  f
                            2
                            0
                                 Potencia 
                                              t
                                                    tw




¿Altura?      mgho               mghf          ¿Altura?

¿Rotación?    ½Iwo2       =      ½Iwf2        ¿Rotación?
                                              ¿Velocidad?
¿Velocidad?   ½mvo    2         ½mvf2
Rotación de cuerpo rígido

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Dinamica de cuerpo rigido

  • 1. Rotación de cuerpo rígido Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University
  • 2. Objetivos: Después de completar este módulo, deberá: • Definir y calcular el momento de inercia para sistemas simples. • Definir y aplicar los conceptos de segunda ley de Newton, energía cinética rotacional, trabajo rotacional, potencia rotacional y cantidad de movimiento rotacional a la solución de problemas físicos. • Aplicar principios de conservación de energía y cantidad de movimiento a problemas que involucran rotación de cuerpos rígidos.
  • 3. Inercia de rotación Considere la segunda ley de Newton para que la inercia de rotación se modele a partir de la ley de traslación. F = 20 N Inercia lineal, m a = 4 m/s2 20 N m = 4 m/s2 = 5 kg F = 20 N Inercia rotacional, I R = 0.5 m t (20 N)(0.5 m) a = 2 rad/s2 I=a = = 5 kg m2 2 rad/s2 La fuerza hace para la traslación lo que el momento de torsión hace para la rotación:
  • 4. Energía cinética rotacional Considere masa pequeña m: v = wR m K = ½mv2 m K = ½m(wR)2 w 4 m3 m1 m2 K= ½(mR2)w2 eje Suma para encontrar K total: Objeto que rota a w constante. K = ½(SmR2)w2 Definición de inercia rotacional: (½w2 igual para toda m ) I = SmR2
  • 5. Ejemplo 1: ¿Cuál es la energía cinética rotacional del dispositivo que se muestra si rota con rapidez constante de 600 rpm? Primero: I = SmR2 3 m 3 kg 2 kg I = (3 kg)(1m)2 w + (2 kg)(3 m)2 1m + (1 kg)(2 m)2 2m 1 kg I = 25 kg m2 w = 600 rpm = 62.8 rad/s K = ½Iw2 = ½(25 kg m2)(62.8 rad/s) 2 K = 49 300 J
  • 6. Inercias rotacionales comunes L L I 1 3 2 mL I 1 12 mL2 R R R I= mR2 I= ½mR2 I 2 5 mR 2 Aro Disco o cilindro Esfera sólida
  • 7. Ejemplo 2: Un aro circular y un disco tienen cada uno una masa de 3 kg y un radio de 30 cm. Compare sus inercias rotacionales. R I  mR  (3 kg)(0.3 m) 2 2 I = 0.27 kg m2 I = mR2 Aro R I  mR  (3 kg)(0.3 m) 1 2 1 2 2 2 I = ½mR2 I = 0.135 kg m2 Disco
  • 8. Analogías importantes Para muchos problemas que involucran rotación, hay una analogía extraída del movimiento lineal. m t w w  50 rad/s x I R o f t = 40 N m 4 kg Una fuerza resultante Un momento de torsión resultante t produce F produce aceleración aceleración angular a de negativa a para una disco con inercia rotacional masa m. I. F  ma t  Ia
  • 9. Segunda ley de rotación de Newton ¿Cuántas revoluciones F wo  50 rad/s requiere para w detenerse? R R = 0.20 m t = Ia 4 kg F = 40 N FR = (½mR2)a 0 2aq  wf2 - wo2 2F 2(40N) w 0 (50 rad/s) 2 a 2  q  mR (4 kg)(0.2 m) 2a 2(100 rad/s 2 ) a = 100 rad/s2 q = 12.5 rad = 1.99 rev
  • 10. Ejemplo 3: ¿Cuál es la aceleración R = 50 cm lineal de la masa de 2-kg que cae? M 6 kg Aplique 2a ley de Newton al disco rotatorio: a=? t  Ia TR = (½MR2)a a 2 kg T = ½MRa pero a = aR; a = R a R = 50 cm T = ½MR( ) ; y T = ½Ma R 6 kg T Aplique 2a ley de Newton a la masa que cae: T mg - T = ma mg - ½Ma = ma T +a 2 kg (2 kg)(9.8 m/s2) - ½(6 kg) a = (2 kg) a mg 19.6 N - (3 kg) a = (2 kg) a a = 3.92 m/s2
  • 11. Trabajo y potencia para rotación Trabajo = Fs = FRq t  FR s q Trabajo = tq F Trabajo tq q F Potencia = = t w= t t s = Rq Potencia = t w Potencia = Momento de torsión x velocidad angular promedio
  • 12. Ejemplo 4: El disco rotatorio tiene un radio de 40 cm y una masa de 6 kg. Encuentre el trabajo y la s potencia si la masa de 2 kg se q eleva 20 m en 4 s. 6 kg F 2 kg Trabajo = tq = FR q F=W s 20 m s = 20 m q= = = 50 rad R 0.4 m F = mg = (2 kg)(9.8 m/s2); F = 19.6 N Trabajo = (19.6 N)(0.4 m)(50 rad) Trabajo = 392 J Trabajo Potencia = = 392 J Potencia = 98 W t 4s
  • 13. El teorema trabajo-energía Recuerde para movimiento lineal que el trabajo realizado es igual al cambio en energía cinética lineal: Fx  ½mv  ½mv 2 f 2 0 Al usar analogías angulares, se encuentra que el trabajo rotacional es igual al cambio en energía cinética rotacional: tq  ½Iw  ½Iw 2 f 2 0
  • 14. Aplicación del teorema trabajo-energía: ¿Qué trabajo se necesita F wo  60 rad/s para detener la rueda w que rota? R R = 0.30 m Trabajo = DKr F = 40 N 4 kg Primero encuentre I para rueda: I = mR2 = (4 kg)(0.3 m)2 = 0.36 kg m2 0 tq  ½Iw  ½Iw2 f 2 0 Trabajo = -½Iwo2 Trabajo = -½(0.36 kg m2)(60 rad/s)2 Trabajo = -648 J
  • 15. Rotación y traslación combinadas vcm Primero considere un disco que se vcm desliza sin fricción. La velocidad de cualquier parte es igual a la vcm velocidad vcm del centro de masa. w Ahora considere una bola que rueda sin deslizar. La velocidad angular w v en torno al punto P es igual que w R para el disco, así que se escribe: P v w O v  wR R
  • 16. Dos tipos de energía cinética Energía cinética w de traslación: K= ½mv2 R v Energía cinética de rotación: K = ½Iw2 P Energía cinética total de un objeto que rueda: KT  mv  I w 1 2 2 1 2 2
  • 17. Conversiones angular/lineal En muchas aplicaciones, debe resolver una ecuación con parámetros angulares y lineales. Es necesario recordar los puentes: s Desplazamiento: s qR q R v Velocidad: v  wR w R a Aceleración: v aR a R
  • 18. ¿Traslación o rotación? Si debe resolver un parámetro lineal, debe convertir todos los términos angulares a términos lineales: s v a q w a I  (?)mR 2 R R R Si debe resolver un parámetro angular, debe convertir todos los términos lineales a términos angulares: s qR v  wR v aR
  • 19. Ejemplo (a): Encuentre la velocidad v de un disco dada su energía cinética total E. Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2 v E  mv  I w ; I  mR ; w  1 2 2 1 2 2 1 2 2 R  v2  2 2 2   E  1 mv 2  1 1 mR 2  2  ; E  1 mv 2  1 mv 2 2 4 R  3mv 2 4E E or v 4 3m
  • 20. Ejemplo (b) Encuentre la velocidad angular w de un disco dada su energía cinética total E. Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2 E  1 mv 2  1 I w 2 ; I  1 mR 2 ; v  w R 2 2 2 E  1 m(w R)2  1  1 mR2  w 2 ; E  1 mR2w 2  1 mR2w 2 2 2 2 2 4 3mR 2w 2 4E E or w 4 3mR 2
  • 21. Estrategia para problemas • Dibuje y etiquete un bosquejo del problema. • Mencione lo dado y establezca lo que debe encontrar. • Escriba fórmulas para encontrar los momentos de inercia de cada cuerpo que rota. • Recuerde conceptos involucrados (potencia, energía, trabajo, conservación, etc.) y escriba una ecuación que involucre la cantidad desconocida. • Resuelva para la cantidad desconocida.
  • 22. Ejemplo 5: Un aro y un disco circulares, cada uno con la misma masa y radio, ruedan con rapidez lineal v. Compare sus energías cinéticas. w w Dos tipos de energía: v v KT = ½mv2 Kr = ½Iw2 v Energía total: E = ½mv2 + ½Iw2 w= R  v2  Disco: E  ½mv 2  ½ ½ mR 2   2  E = ¾mv2 R   v2  Aro: E  ½mv 2  ½  mR 2   2  E = mv2 R 
  • 23. Conservación de energía La energía total todavía se conserva para sistemas en rotación y traslación. Sin embargo, ahora debe considerar la rotación. Inicio: (U + Kt + KR)o = Fin: (U + Kt + KR)f ¿Altura? mgho mghf ¿Altura? ¿Rotación? ½Iwo2 = ½Iwf2 ¿Rotación? ¿Velocidad? ¿Velocidad? ½mvo 2 ½mvf2
  • 24. Ejemplo 6: Encuentre la velocidad de la masa de 2 kg justo antes de golpear el suelo. R = 50 cm mgho mghf ½Iwo2 = ½Iwf2 6 kg ½mvo2 ½mvf2 2 kg h = 10 m mgh0  1 mv 2  1 I w 2 2 2 I  1 MR 2 2  v2  2.5v2 = 196 m2/s2 mgh0  1 mv 2  1 ( 1 MR 2 )  2  2 2 2 R  v = 8.85 m/s (2)(9.8)(10)  (2)v  (6)v 1 2 2 1 4 2
  • 25. Ejemplo 7: Un aro y un disco ruedan desde lo alto de un plano inclinado. ¿Cuáles son sus rapideces en el fondo si la altura inicial es 20 m? mgho = ½mv2 + ½Iw2 Aro: I = mR2  v2  mgh0  ½mv 2  ½(mR 2 )  2  20 m R  mgho = ½mv2 + ½mv2; mgho = mv2 v  gh0  (9.8 m/s 2 )(20 m) Aro: v = 14 m/s Disco: I = ½mR2; mgho = ½mv2 + ½Iw2 v 4 3 gh0  v2  mgh0  ½mv 2  ½(½ mR 2 )  2  R  v = 16.2 m/s
  • 26. Definición de cantidad de movimiento angular Considere una partícula m que v = wr se mueve con velocidad v en m un círculo de radio r. m Defina cantidad de w 4 m3 m1 movimiento angular L: m2 eje L = mvr Objeto que rota con w constante. Al sustituir v= wr, da: Dado que I = Smr2, se tiene: L = m(wr) r = mr2w Para cuerpo extendido en L = Iw rotación: Cantidad de L = (Smr2) w movimiento angular
  • 27. Ejemplo 8: Encuentre la cantidad de movimiento angular de una barra L=2m delgada de 4 kg y 2 m de longitud si rota en torno a su punto medio m = 4 kg con una rapidez de 300 rpm. 1 1 Para barra : I  mL  2 (4 kg)(2 m) 2 I = 1.33 kg m2 12 12  rev  2 rad  1 min  w   300     31.4 rad/s  min  1 rev  60 s  L = Iw  (1.33 kg m2)(31.4 rad/s)2 L = 1315 kg m2/s
  • 28. Impulso y cantidad de movimiento Recuerde que, para movimiento lineal, el impulso lineal es igual al cambio en cantidad de movimiento lineal: F Dt  mv f  mv0 Al usar analogías angulares, se encuentra que el impulso angular es igual al cambio en cantidad de movimiento angular : t Dt  I w f  I w 0
  • 29. Ejemplo 9: Una fuerza de 200 N se aplica al borde de una rueda libre para girar. La fuerza actúa durante 0.002 s. ¿Cuál es la velocidad angular final? I = mR2 = (2 kg)(0.4 m)2 D t = 0.002 s w  0 rad/s w o R R = 0.40 m I = 0.32 kg m2 F F = 200 N Momento de torsión 2 kg aplicado t  FR Impulso = cambio en cantidad de movimiento angular 0 t Dt = Iwf  Iwo FR Dt = Iwf wf = 0.5 rad/s
  • 30. Conservación de cantidad de movimient En ausencia de momento de torsión externo, se conserva la cantidad de movimiento rotacional de un sistema (es constante). 0 Ifwf  Iowo = t Dt Ifwf  Iowo Io = 2 kg m2; wo = 600 rpm If = 6 kg m2; wo = ? I 0w0 (2 kg  m2 )(600 rpm) wf   wf = 200 rpm If 6 kg  m 2
  • 31. Resumen – Analogías rotacionales Cantidad Lineal Rotacional Desplazamiento Desplazamiento x Radianes q Inercia Masa (kg) I (kgm2) Fuerza Newtons N Momento de torsión N·m Velocidad v “ m/s ” w Rad/s Aceleración a “ m/s2 ” a Rad/s2 Cantidad de mv (kg m/s) Iw (kgm2rad/s) movimiento
  • 32. Fórmulas análogas Movimiento lineal Movimiento rotacional F = ma t = Ia K = ½mv2 K = ½Iw2 Trabajo = Fx Trabajo = tq Potencia = Fv Potencia = Iw Fx = ½mvf2 - ½mvo2 tq = ½Iwf2 - ½Iwo2
  • 33. Resumen de fórmulas: I = SmR2 K  Iw1 2 2 Trabajo = tq I ow o  I f w f tq tq  ½Iw  ½Iw 2 f 2 0 Potencia  t  tw ¿Altura? mgho mghf ¿Altura? ¿Rotación? ½Iwo2 = ½Iwf2 ¿Rotación? ¿Velocidad? ¿Velocidad? ½mvo 2 ½mvf2