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HIDROCINEMATICA 
CURSO: MECÁNICA DE FLUIDOS 
Galarza Espinoza.
HIDROCINEMATICA.
TEMAS: 
EL CAMPO DE VELOCIDADES. 
EL CAMPO DE ACELERACIONES. 
EL CAMPO ROTACIONAL. 
CLASIFICACION DE LOS FLUJOS. 
DESCRIPCION DEL MOVIMIENTO. 
LINEA DE CORRIENTE.TRAYECTORIA. 
TUBO DE FLUJO. 
CAUDAL O GASTO.
Introducción: 
En un punto de la masa liquida en movimiento existen por 
definir cantidades escalares y vectoriales. La viscosidad es una 
manifestación del movimiento molecular dentro del fluido. 
Las características físicas en el seno liquido, tanto escalares 
como vectoriales pueden variar de un punto a otro del liquido y en 
un mismo punto de un instante a otro. A esto se le dice “ las 
cantidades escalares y vectoriales son funciones de punto y de 
tiempo” 
La región ocupada por el liquido en movimiento determina un 
campo de flujo, dentro del cual es posible distinguir campos 
escalares y vectoriales.
Concepto de Hidrocinematica: 
• La cinemática de los líquidos estudia el movimiento puro 
de las partículas, sin considerar la masa, ni las fuerzas 
que lo producen. 
• La descripción del movimiento se hace utilizando 
únicamente la velocidad, la aceleración y la rotación.
1. El campo de velocidades. 
• Una partícula del liquido recorre una línea usualmente 
curva que se llama trayectoria. 
• El estudio del movimiento de la partícula puede hacerse: 
Utilizando el vector posición, como una función vectorial del tiempo. 
  
r r t 
( ) 
ˆ ˆ ˆ 
 
 
r  X i  Y j  
Z k 
X x t 
( ) 
 
Y y t 
( ) 
 
Z z t 
( ) 

Utilizando la trayectoria y el cambio de recorrido, como una función escalar 
del tiempo. 
El vector velocidad de la partícula se define como la rapidez de cambio de 
posición: 
........(1) 
dr 
dt 
v 
 
 

El vector velocidad resulta ser un vector tangente a la trayectoria 
en cada punto, que depende de la posición de la partícula y del 
tiempo. 
   
v v r t 
( , ) 
ˆ ˆ ˆ 
v  v i  v j  
v k 
x y z 
 
 
dx 
dy 
dz 
dt 
  
x x 
( , , ) 
  
y y 
( , , ) 
v v x y z 
dt 
v v x y z 
dt 
v v x y z 
  
z z 
( , , ) 
Se cumple: 
 
dr   
dt ds 
dr 
dt 
 
¡ IMPORTANTE! dr=ds
De modo que: 
2 2 2 
ds 
v     
x y z 
2 2 2 
 
 
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
dz 
dt 
dy 
dt 
dx 
dt 
v 
v v v 
dt 
Si el vector s es un vector unitario tangente en 
cada punto de la trayectoria se cumple: 
 
ds  ds.sˆ 
Es decir, 
ds 
ds 
ˆ ˆ .......(2) 
dt 
s 
dt 
v vs 
 
 
  
2. El campo de aceleraciones. 
• Es un campo que se deriva del campo de velocidades. El vector 
aceleración de la partícula en un punto se define como la rapidez de 
cambio de su velocidad en ese punto. 
  
dv 
 
  
dt 
a 
• Sus componentes son: 
d r 
...................(3) 2 
2 
dt 
dv 
a z 
x  ....(4) 
dt 
z  
dv 
a y 
dt 
y  
dv 
a x 
dt 
• Desarrollando estas derivadas se aprecia que las aceleraciones son 
funciones de punto y de tiempo.
La aceleración en coordenadas 
intrínsecas: 
En la practica se dan situaciones en las que el 
movimiento se supone unidimensional. 
El estudio del flujo unidimensional se simplifica bastante 
con el empleo de un sistema de coordenadas con su 
origen en cada punto de la trayectoria; se denomina 
sistema intrínseco de coordenadas y cualquier vector 
puede expresarse según sus componentes en ese 
sistema.
• En cada punto de la trayectoria es posible distinguir tres 
vectores unitarios s, n, b tales como: 
 
s 
 
n 
 
b 
Tangente a la curva(vector tangencial) 
Normal a la tangente y colineal con el radio de curvatura, 
saliendo de la curva. 
Perpendicular al plano s y n (vector binomial)
• Los nombres de los planos respectivos son: 
  
, 
n s 
  
, 
b n 
  
, 
s b 
Plano osculador. 
Plano normal. 
Plano rectificador. 
• En este sistema: 
ds 
dv 
 ..(5) 
v s 
d 
 
a   ˆ 
dt 
dv 
dt 
a   
• Prestemos atención al termino: 
ˆ 
ˆ 2 
ds 
s v 
dt 
 
dsˆ 
ds
• Puesto que p y p prima son dos puntos próximos entre si ds 
tiene la misma dirección de n y sentido negativo; s y una 
variación de s tienen prácticamente el mismo modulo unitario: 
 
 
 
 
   
También: ds  rd 
• Dividiendo: 
ds d 
ds d  
( nˆ) 
ds 
• Reemplazando en la ec.(5): 
n 
ds r 
ˆ 
1 
  
 
..(5) 
ds 
ˆ 
ˆ 2 
ds 
a   
s v 
dv 
dt 

• De: 
   
  
s n a a a 
2 
n 
r 
v 
 
a  s 
 
ˆ ˆ.....(6) 
dv 
dt 
• Lo que quiere decir que el vector aceleración se encuentra en 
el plano osculador.
• Averigüemos las componentes: 
 
v 
v 
 
ds 
v 
 
 
v v 
t 
v 
 
v 
 
v 
 
 
s 
v s t 
a 
t 
v 
s 
a 
t 
dt 
s 
a 
t 
t 
a 
s 
s 
s 
s 
 
 
   
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2 
( , ) 
2
• Tenemos: 
 
 
 
2 
as  
• Es decir: 
v v 
t 
s 
 
   
 
  
 
 
 
2 
ˆ.....(7) 
2 
 
v v 
 
 
 
 
 
as  
2 
s 
t 
s 
 
 
 
 
   
 
  
 
 
 
 
ˆ ............(8) 
2 
n 
v 
r 
 
an  
3. El campo rotacional. 
• Además de los campos de velocidades y aceleraciones, 
existe en el seno liquido otro campo llamado campo 
rotacional que se deriva de las velocidades. 
• Se llama rotor de v o rotacional de v: 
..............(9) 
ˆ ˆ ˆ 
i j k 
 
 
 
x  
y  
z 
 
x y z v v v 
 
rot v 
 
• Que también es función de punto y tiempo.
significado físico del rotor: 
 Como en el cuerpo rígido, además de la 
traslación una partícula puede 
experimentar una rotación. Sea P 
el 
0centro de gravedad de la partícula y 
el eje instantáneo correspondiente. 
 En un plano perpendicular a 
 
e 
considerar dos líneas ortogonales que 
servirán para estudiar la rotación pura 
de la partícula. 
 El punto P se halla mas próximo al 
 
e 
punto P 
; la velocidad v es tangente a 
0  
la trayectoria circular de radio dr 
y 
corresponde a la traslación pura del 
punto P. 
 
 Al producirse la rotación la velocidad 
angular vale: 
d 
dt 
 
 Por comodidad se puede tomar como el eje e 
como el eje z y el plano en que se mueve P 
como plano XY. Entonces el velocidad angular 
es : 
  
 
 La velocidad puede definirse como: 
   
 
 El vector dr tiene la forma: 
 
 Entonces: 
v 
k 
   
v xdr 
dr  dxiˆ  dyˆj 
ˆ ˆ ˆ 
xdr dyi ˆ dxj 
ˆ 
i j k 
      
dx dy 
0 
0 0 
 
 Luego tenemos: 
ˆ ˆ ˆ 
i j k 
 
 
 
    
  2 ˆ 2 ...(10) 
  k 
x y z 
0 
  
  
 
  
 
 
 
 
dy dx 
rotv rot xdr 
 Lo cual significa que el rotor de la 
velocidad en un movimiento de 
rotación alrededor de un eje es 
igual al doble del vector velocidad 
angular.
• La figura muestra en forma aproximada la forma en que varia 
la velocidad del agua en un canal:
• Si se coloca una ruedecita que puede girar libremente en su 
plano, alrededor de su eje, se observara que: 
En la zona (a) gira en sentido anti- horario, indicando con ello 
que  
(vector normal al papel, saliendo). 
0  v rot 
En la zona (b) casi no se mueve 
 
rotv  0 
En la zona (c) gira en sentido horario, indicando con ello que 
(vector normal al papel, penetrando) 
 
0v rot
4. Clasificación de los flujos. 
En la practica se presentan diversos tipos de flujo. En vista de que el 
interés se centra en las conducciones por tuberías y por canal, las 
descripciones que siguen se ilustran con esquemas de estas conducciones 
Flujo permanente Flujo no permanente 
No uniforme 
(variado) 
uniforme 
Gradualmente 
variado 
Rápidamente 
variado. 
Flujo 
turbulento 
Flujo 
laminar
• Flujo permanente y no permanente. 
En una sección de la conducción 
permanecen constantes en el 
tiempo las variables hidráulicas 
del flujo(velocidad, presión, 
densidad, etc) 
En esta sección los valores de 
las variables hidráulicas cambian 
de un instante a otro.
• Flujo uniforme y no permanente. 
Considérese un flujo permanente en dos situaciones distintas: 
una tubería de diámetro constante y la otra con tubería de 
diámetro decreciente. 
En el flujo uniforme permanecen 
constantes a lo largo de la 
conducción las variables 
hidráulicas del flujo (velocidad, 
presión, densidad, etc) 
En esta sección los valores de 
las variables hidráulicas cambian 
de un punto a otro de la 
conducción, se le denomina 
también flujo variado.
• Flujo gradualmente variado y rápidamente variado. 
El esquema corresponde a un canal que tiene una grada en el 
fondo, y es por si explicativo. 
El flujo variado (FV) puede serlo gradualmente(FGV) o bruscamente 
(FRV). A la izquierda y a la derecha del flujo variado se desarrolla flujo 
uniforme.
• Flujo unidimensional y bidimensional. 
Estrictamente hablando el flujo es siempre tridimensional. Sin 
embargo cuando en el flujo prevalece una dirección es 
considerado unidimensional, como ocurre con las tuberías y los 
canales. En el caso de los canales hay circunstancias en las 
cuales no se puede prescindir de una segunda dimensión para 
describir el flujo, debiendo hacerse el estudio del flujo plano o 
bidimensional.
• Flujo laminar y turbulento. 
VL 
v 
Re  
Velocidad media del escurrimiento. 
Viscosidad cinemática. 
Una longitud característica que en 
tuberías es generalmente el diámetro 
V 
v 
L 
El numero de Reynolds hasta 2300 el flujo es laminar 
Para valores mayores que 4000 el flujo es turbulento. 
Valores intermedios corresponde al periodo de transición
• Flujo comprensible y incompresible. 
 Lo ordinario es que al agua se le considere incomprensible 
y al aire comprensible. 
 Solo en situaciones que el agua sea sometida a grandes 
presiones es necesario tratarla como comprensible. 
 de manera análoga, cuando el aire soporta presiones muy 
pequeñas durante su conducción como en los ductos de 
ventilación puede ser considerado incompresible.
• Flujo rotacional y Irrotacional. 
• Un flujo es rotacional si en su seno el campo de vectores rot v 
adquiere valores distintos de cero, y es irrotacional si en todo 
punto y en todo instante rot v=0. 
Para Velocidades 
ordinaria el movimiento 
del agua es rotacional. 
Liquido perfecto(sin 
viscosidad) el 
movimiento es 
hecho irrotacional. 
Para velocidades 
altas puede ser 
considerado 
irrotacional.
• La misma idea pero graficada para un canal en curva, visto 
en planta: 
Flujo Rotacional 
(esquema real). 
Flujo irrotacional 
(esquema ideal)
5. Descripción del movimiento. 
El movimiento de un fluido queda descrito cuando se esta en 
condiciones de conocer: 
 El cambio de posición de una partícula. 
 La variación de la velocidad en un punto. 
 Hay dos formas clásicas de describir el movimiento de un 
fluido. 
 METODO DE EULER. 
 METODO DE LAGRANGE.
 METODO DE EULER. Consiste de elegir un punto y determinar las variables 
cinemáticas en ese punto, en cada instante, sin considerar el cambio que 
después siga cada partícula individual. Se usa: 
   
 
v v(r , t) 
 METODO DE LAGRANGE. Consiste en elegir una partícula y determinar las 
variables cinemáticas de esa partícula siguiendo su recorrido. Se usa: 
  
 
( , ) 0 r r r t 
De los dos métodos se prefiere el primero porque su manejo analítico es 
mas simple.
6. Línea de corriente. Trayectoria. Tubo 
de flujo. 
En el flujo no permanente las variables cinemáticas varían en un mismo punto 
de un instante a otro. Supongamos que en un instante se conoce el cambio de 
velocidades v. 
Se define línea de corriente (l.c.) toda línea trazada idealmente en el seno 
liquido de modo que la tangente en cada uno de sus puntos proporcione la 
dirección del vector velocidad correspondiente. No existe posibilidad de que 
dos líneas de corriente tengan un punto común. 
Líneas de corriente 
para el instante “t”. 
Si el flujo es no permanente 
para otro instante t, la 
configuración de las l.c. es 
otra. Si el flujo es permanente 
la configuración de las l.c. es 
la misma en cualquier 
momento.
Se define trayectoria (t.c.) la curva que marca el camino que sigue una 
partícula con el transcurrir del tiempo. 
Trayectoria 
para la partícula “a” 
Si el flujo es no permanente l.c. y trayectoria son líneas distintas, pero si el 
flujo es permanente significan lo mismo. 
La razón esta en que el flujo permanente el campo de velocidades no cambia 
con el tiempo: 
• Toda partícula que pasa por a 
0 sigue la misma trayectoria. 
• En cada punto el vector velocidad permanece igual. 
a ,a ,a .......an 0 1 2
• Ecuaciones para la línea de corriente: 
...(11) 
dz 
 o bien, para un instante : 0 t 
dy 
dx 
v 
v 
x y z v 
  
De la definición de l.c.: 
 
ds 
 
v 
 
dt 
  
ds  
vdt 
Ecuación diferencial de 
la t.c. en términos de las 
componentes: 
dx v dt 
x 
dy v dt 
y 
 
dz v dt 
z 

• Tubo de flujo: 
Si se considera en el seno liquido una curva cerrada y las l.c. que pasan por 
cada uno de sus puntos, la totalidad de estas l.c. definen una superficie que se 
denomina tubo de flujo o tubo de corriente, y que no puede ser atravesada por 
el fluido. El volumen encerrado se conoce como vena liquida.
7. Caudal o gasto. 
Considérese el tubo de flujo elemental, definido en las curvas cerradas 
C1,C2 muy próximas entre si. 
El vector n es un vector unitario normal a la superficie dA y cuyo sentido 
positivo se establece por convenio. 
dA dA n 
 
. 
. ˆ 
v 
 

En un intervalo dt el volumen de liquido que atraviesa el elemento de 
superficie es igual al producto escalar: 
  
. 0  
dV ds dA 
Pero: 
  
ds vdt 
  
 
dV v dAdt 
. 0  
Se define caudal o gasto a la relación: 
v dA 
dV 
dt 
dQ 
  
. 0  
Si Da es un elemento de una superficie finita A, entonces: 
  
Q dQ v.dA.........(13) 
    
A 
Y si, como es costumbre, se escoge la superficie A de modo que las l.c. sean 
normales a ella: 
v dA 
Q 
 V   
O, como es costumbre: 
............(14) 
. 
A 
A 
  
..........(15) 
vdA 
A 
Q 
 V   
A
QUE NECESITAMOS SABER: 
1.ACELERACION: 
v 
 
 
 
 
 
 
a z x 
t 
v 
x 
v 
v 
x 
v 
v 
x 
v 
dv 
dt 
z 
y 
y 
x 
x 
x 
   
 
  
x  
 
 
 
 
 
 
  
2 
 
 
 
 
 
 
as 
ˆ 
s v v 
t 
s 
2 
 
 
 
    
  
 
 
 
 
2 
an ˆ 
n 
v 
r 
  
 
ds  rd
QUE NECESITAMOS SABER: 
1.ACELERACION: 
v 
 
 
 
 
 
 
a z x 
t 
v 
x 
v 
v 
x 
v 
v 
x 
v 
dv 
dt 
z 
y 
y 
x 
x 
x 
   
 
  
x  
 
 
 
 
 
 
  
2 
 
 
 
 
 
 
as 
ˆ 
s v v 
t 
s 
2 
 
 
 
    
  
 
 
 
 
2 
an ˆ 
n 
v 
r 
  
 
ds  rd
2.ROTACIONAL: 
i j k 
 
 
 
x y z 
x y z v v v 
rotv 
 
 
 
 
ˆ ˆ ˆ 
 
3.ECUACIONES DE LA LINEA DE CORRIENTE: 
ds vdt 
ds 
dt 
v 
  
 
 
   
dx v dt 
x 
 
dy v dt 
y 
 
dz v dt 
z 

4.CAUDAL O GASTO.: 
 ˆ  ˆ  ˆ 
 
v v i v j v k x y z 
Q dQ v dA 
    
A 
  
. 
Q vdA 
  
A
Ejercicios. 
1.El viento sopla horizontalmente con velocidad uniforme contra 
una chimenea vertical de radio Supuesto el flujo irrotacional, la 
velocidad sobre el eje X va disminuyendo hacia el punto de estancamiento 
según la ley: 
 
  
 
 
  
r 
  2 
 
2 
0 1 
x 
v v x 
Y la velocidad v 
alrededor del cilindro es: 
s 
v 1.8m 0  
r  0.25m. 
v v Sen 0  2 
Averiguar: 
a) La aceleración del aire en el punto x=-0.50 m. 
b) Las componentes tangencial y normal de la aceleración para 3 
   
. 
4
2.Encontrar el vector rotacional para el flujo permanente, plano, cuyo 
campo de velocidades es: 
  
v A x y 
x 
   
v Ax y 
y 
 
3.Determinar la ecuación de las l.c. de un flujo permanente,plano,simetrico 
respecto del eje y, dirigiendo hacia abajo, que choca contra una placa 
horizontal, cuyo campo de velocidades esta definido por las componentes: 
v x 
x 
 
v y 
y 
3 
3 
 
4.En el problema 3, determinar el gasto por unidad de ancho del chorro 
que incide sobre la placa y limitado en la forma que a continuación se 
indica: 
v x 
x 
 
v y 
y 
3 
3 
 
5.Si la velocidad del aceite que fluye entre dos placas convergentes varia 
en una sección normal según la ecuación: 
  
n 
  
15 
cm 
 
2 . 
: 
4 
y si 
max 
0 
2 0 
0 
max 
n cm 
s 
v 
n n 
n 
v v 


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  • 1. HIDROCINEMATICA CURSO: MECÁNICA DE FLUIDOS Galarza Espinoza.
  • 3. TEMAS: EL CAMPO DE VELOCIDADES. EL CAMPO DE ACELERACIONES. EL CAMPO ROTACIONAL. CLASIFICACION DE LOS FLUJOS. DESCRIPCION DEL MOVIMIENTO. LINEA DE CORRIENTE.TRAYECTORIA. TUBO DE FLUJO. CAUDAL O GASTO.
  • 4. Introducción: En un punto de la masa liquida en movimiento existen por definir cantidades escalares y vectoriales. La viscosidad es una manifestación del movimiento molecular dentro del fluido. Las características físicas en el seno liquido, tanto escalares como vectoriales pueden variar de un punto a otro del liquido y en un mismo punto de un instante a otro. A esto se le dice “ las cantidades escalares y vectoriales son funciones de punto y de tiempo” La región ocupada por el liquido en movimiento determina un campo de flujo, dentro del cual es posible distinguir campos escalares y vectoriales.
  • 5. Concepto de Hidrocinematica: • La cinemática de los líquidos estudia el movimiento puro de las partículas, sin considerar la masa, ni las fuerzas que lo producen. • La descripción del movimiento se hace utilizando únicamente la velocidad, la aceleración y la rotación.
  • 6. 1. El campo de velocidades. • Una partícula del liquido recorre una línea usualmente curva que se llama trayectoria. • El estudio del movimiento de la partícula puede hacerse: Utilizando el vector posición, como una función vectorial del tiempo.   r r t ( ) ˆ ˆ ˆ   r  X i  Y j  Z k X x t ( )  Y y t ( )  Z z t ( ) 
  • 7. Utilizando la trayectoria y el cambio de recorrido, como una función escalar del tiempo. El vector velocidad de la partícula se define como la rapidez de cambio de posición: ........(1) dr dt v   
  • 8. El vector velocidad resulta ser un vector tangente a la trayectoria en cada punto, que depende de la posición de la partícula y del tiempo.    v v r t ( , ) ˆ ˆ ˆ v  v i  v j  v k x y z   dx dy dz dt   x x ( , , )   y y ( , , ) v v x y z dt v v x y z dt v v x y z   z z ( , , ) Se cumple:  dr   dt ds dr dt  ¡ IMPORTANTE! dr=ds
  • 9. De modo que: 2 2 2 ds v     x y z 2 2 2                      dz dt dy dt dx dt v v v v dt Si el vector s es un vector unitario tangente en cada punto de la trayectoria se cumple:  ds  ds.sˆ Es decir, ds ds ˆ ˆ .......(2) dt s dt v vs     
  • 10. 2. El campo de aceleraciones. • Es un campo que se deriva del campo de velocidades. El vector aceleración de la partícula en un punto se define como la rapidez de cambio de su velocidad en ese punto.   dv    dt a • Sus componentes son: d r ...................(3) 2 2 dt dv a z x  ....(4) dt z  dv a y dt y  dv a x dt • Desarrollando estas derivadas se aprecia que las aceleraciones son funciones de punto y de tiempo.
  • 11. La aceleración en coordenadas intrínsecas: En la practica se dan situaciones en las que el movimiento se supone unidimensional. El estudio del flujo unidimensional se simplifica bastante con el empleo de un sistema de coordenadas con su origen en cada punto de la trayectoria; se denomina sistema intrínseco de coordenadas y cualquier vector puede expresarse según sus componentes en ese sistema.
  • 12. • En cada punto de la trayectoria es posible distinguir tres vectores unitarios s, n, b tales como:  s  n  b Tangente a la curva(vector tangencial) Normal a la tangente y colineal con el radio de curvatura, saliendo de la curva. Perpendicular al plano s y n (vector binomial)
  • 13. • Los nombres de los planos respectivos son:   , n s   , b n   , s b Plano osculador. Plano normal. Plano rectificador. • En este sistema: ds dv  ..(5) v s d  a   ˆ dt dv dt a   • Prestemos atención al termino: ˆ ˆ 2 ds s v dt  dsˆ ds
  • 14. • Puesto que p y p prima son dos puntos próximos entre si ds tiene la misma dirección de n y sentido negativo; s y una variación de s tienen prácticamente el mismo modulo unitario:        También: ds  rd • Dividiendo: ds d ds d  ( nˆ) ds • Reemplazando en la ec.(5): n ds r ˆ 1    ..(5) ds ˆ ˆ 2 ds a   s v dv dt 
  • 15. • De:      s n a a a 2 n r v  a  s  ˆ ˆ.....(6) dv dt • Lo que quiere decir que el vector aceleración se encuentra en el plano osculador.
  • 16. • Averigüemos las componentes:  v v  ds v   v v t v  v  v   s v s t a t v s a t dt s a t t a s s s s                         2 ( , ) 2
  • 17. • Tenemos:    2 as  • Es decir: v v t s           2 ˆ.....(7) 2  v v      as  2 s t s               ˆ ............(8) 2 n v r  an  
  • 18. 3. El campo rotacional. • Además de los campos de velocidades y aceleraciones, existe en el seno liquido otro campo llamado campo rotacional que se deriva de las velocidades. • Se llama rotor de v o rotacional de v: ..............(9) ˆ ˆ ˆ i j k    x  y  z  x y z v v v  rot v  • Que también es función de punto y tiempo.
  • 19. significado físico del rotor:  Como en el cuerpo rígido, además de la traslación una partícula puede experimentar una rotación. Sea P el 0centro de gravedad de la partícula y el eje instantáneo correspondiente.  En un plano perpendicular a  e considerar dos líneas ortogonales que servirán para estudiar la rotación pura de la partícula.  El punto P se halla mas próximo al  e punto P ; la velocidad v es tangente a 0  la trayectoria circular de radio dr y corresponde a la traslación pura del punto P.   Al producirse la rotación la velocidad angular vale: d dt  
  • 20.  Por comodidad se puede tomar como el eje e como el eje z y el plano en que se mueve P como plano XY. Entonces el velocidad angular es :     La velocidad puede definirse como:      El vector dr tiene la forma:   Entonces: v k    v xdr dr  dxiˆ  dyˆj ˆ ˆ ˆ xdr dyi ˆ dxj ˆ i j k       dx dy 0 0 0  
  • 21.  Luego tenemos: ˆ ˆ ˆ i j k          2 ˆ 2 ...(10)   k x y z 0            dy dx rotv rot xdr  Lo cual significa que el rotor de la velocidad en un movimiento de rotación alrededor de un eje es igual al doble del vector velocidad angular.
  • 22. • La figura muestra en forma aproximada la forma en que varia la velocidad del agua en un canal:
  • 23. • Si se coloca una ruedecita que puede girar libremente en su plano, alrededor de su eje, se observara que: En la zona (a) gira en sentido anti- horario, indicando con ello que  (vector normal al papel, saliendo). 0  v rot En la zona (b) casi no se mueve  rotv  0 En la zona (c) gira en sentido horario, indicando con ello que (vector normal al papel, penetrando)  0v rot
  • 24. 4. Clasificación de los flujos. En la practica se presentan diversos tipos de flujo. En vista de que el interés se centra en las conducciones por tuberías y por canal, las descripciones que siguen se ilustran con esquemas de estas conducciones Flujo permanente Flujo no permanente No uniforme (variado) uniforme Gradualmente variado Rápidamente variado. Flujo turbulento Flujo laminar
  • 25. • Flujo permanente y no permanente. En una sección de la conducción permanecen constantes en el tiempo las variables hidráulicas del flujo(velocidad, presión, densidad, etc) En esta sección los valores de las variables hidráulicas cambian de un instante a otro.
  • 26. • Flujo uniforme y no permanente. Considérese un flujo permanente en dos situaciones distintas: una tubería de diámetro constante y la otra con tubería de diámetro decreciente. En el flujo uniforme permanecen constantes a lo largo de la conducción las variables hidráulicas del flujo (velocidad, presión, densidad, etc) En esta sección los valores de las variables hidráulicas cambian de un punto a otro de la conducción, se le denomina también flujo variado.
  • 27. • Flujo gradualmente variado y rápidamente variado. El esquema corresponde a un canal que tiene una grada en el fondo, y es por si explicativo. El flujo variado (FV) puede serlo gradualmente(FGV) o bruscamente (FRV). A la izquierda y a la derecha del flujo variado se desarrolla flujo uniforme.
  • 28. • Flujo unidimensional y bidimensional. Estrictamente hablando el flujo es siempre tridimensional. Sin embargo cuando en el flujo prevalece una dirección es considerado unidimensional, como ocurre con las tuberías y los canales. En el caso de los canales hay circunstancias en las cuales no se puede prescindir de una segunda dimensión para describir el flujo, debiendo hacerse el estudio del flujo plano o bidimensional.
  • 29. • Flujo laminar y turbulento. VL v Re  Velocidad media del escurrimiento. Viscosidad cinemática. Una longitud característica que en tuberías es generalmente el diámetro V v L El numero de Reynolds hasta 2300 el flujo es laminar Para valores mayores que 4000 el flujo es turbulento. Valores intermedios corresponde al periodo de transición
  • 30. • Flujo comprensible y incompresible.  Lo ordinario es que al agua se le considere incomprensible y al aire comprensible.  Solo en situaciones que el agua sea sometida a grandes presiones es necesario tratarla como comprensible.  de manera análoga, cuando el aire soporta presiones muy pequeñas durante su conducción como en los ductos de ventilación puede ser considerado incompresible.
  • 31. • Flujo rotacional y Irrotacional. • Un flujo es rotacional si en su seno el campo de vectores rot v adquiere valores distintos de cero, y es irrotacional si en todo punto y en todo instante rot v=0. Para Velocidades ordinaria el movimiento del agua es rotacional. Liquido perfecto(sin viscosidad) el movimiento es hecho irrotacional. Para velocidades altas puede ser considerado irrotacional.
  • 32. • La misma idea pero graficada para un canal en curva, visto en planta: Flujo Rotacional (esquema real). Flujo irrotacional (esquema ideal)
  • 33. 5. Descripción del movimiento. El movimiento de un fluido queda descrito cuando se esta en condiciones de conocer:  El cambio de posición de una partícula.  La variación de la velocidad en un punto.  Hay dos formas clásicas de describir el movimiento de un fluido.  METODO DE EULER.  METODO DE LAGRANGE.
  • 34.  METODO DE EULER. Consiste de elegir un punto y determinar las variables cinemáticas en ese punto, en cada instante, sin considerar el cambio que después siga cada partícula individual. Se usa:     v v(r , t)  METODO DE LAGRANGE. Consiste en elegir una partícula y determinar las variables cinemáticas de esa partícula siguiendo su recorrido. Se usa:    ( , ) 0 r r r t De los dos métodos se prefiere el primero porque su manejo analítico es mas simple.
  • 35. 6. Línea de corriente. Trayectoria. Tubo de flujo. En el flujo no permanente las variables cinemáticas varían en un mismo punto de un instante a otro. Supongamos que en un instante se conoce el cambio de velocidades v. Se define línea de corriente (l.c.) toda línea trazada idealmente en el seno liquido de modo que la tangente en cada uno de sus puntos proporcione la dirección del vector velocidad correspondiente. No existe posibilidad de que dos líneas de corriente tengan un punto común. Líneas de corriente para el instante “t”. Si el flujo es no permanente para otro instante t, la configuración de las l.c. es otra. Si el flujo es permanente la configuración de las l.c. es la misma en cualquier momento.
  • 36. Se define trayectoria (t.c.) la curva que marca el camino que sigue una partícula con el transcurrir del tiempo. Trayectoria para la partícula “a” Si el flujo es no permanente l.c. y trayectoria son líneas distintas, pero si el flujo es permanente significan lo mismo. La razón esta en que el flujo permanente el campo de velocidades no cambia con el tiempo: • Toda partícula que pasa por a 0 sigue la misma trayectoria. • En cada punto el vector velocidad permanece igual. a ,a ,a .......an 0 1 2
  • 37. • Ecuaciones para la línea de corriente: ...(11) dz  o bien, para un instante : 0 t dy dx v v x y z v   De la definición de l.c.:  ds  v  dt   ds  vdt Ecuación diferencial de la t.c. en términos de las componentes: dx v dt x dy v dt y  dz v dt z 
  • 38. • Tubo de flujo: Si se considera en el seno liquido una curva cerrada y las l.c. que pasan por cada uno de sus puntos, la totalidad de estas l.c. definen una superficie que se denomina tubo de flujo o tubo de corriente, y que no puede ser atravesada por el fluido. El volumen encerrado se conoce como vena liquida.
  • 39. 7. Caudal o gasto. Considérese el tubo de flujo elemental, definido en las curvas cerradas C1,C2 muy próximas entre si. El vector n es un vector unitario normal a la superficie dA y cuyo sentido positivo se establece por convenio. dA dA n  . . ˆ v  
  • 40. En un intervalo dt el volumen de liquido que atraviesa el elemento de superficie es igual al producto escalar:   . 0  dV ds dA Pero:   ds vdt    dV v dAdt . 0  Se define caudal o gasto a la relación: v dA dV dt dQ   . 0  
  • 41. Si Da es un elemento de una superficie finita A, entonces:   Q dQ v.dA.........(13)     A Y si, como es costumbre, se escoge la superficie A de modo que las l.c. sean normales a ella: v dA Q  V   O, como es costumbre: ............(14) . A A   ..........(15) vdA A Q  V   A
  • 42. QUE NECESITAMOS SABER: 1.ACELERACION: v       a z x t v x v v x v v x v dv dt z y y x x x       x          2       as ˆ s v v t s 2              2 an ˆ n v r    ds  rd
  • 43. QUE NECESITAMOS SABER: 1.ACELERACION: v       a z x t v x v v x v v x v dv dt z y y x x x       x          2       as ˆ s v v t s 2              2 an ˆ n v r    ds  rd
  • 44. 2.ROTACIONAL: i j k    x y z x y z v v v rotv     ˆ ˆ ˆ  3.ECUACIONES DE LA LINEA DE CORRIENTE: ds vdt ds dt v        dx v dt x  dy v dt y  dz v dt z 
  • 45. 4.CAUDAL O GASTO.:  ˆ  ˆ  ˆ  v v i v j v k x y z Q dQ v dA     A   . Q vdA   A
  • 46. Ejercicios. 1.El viento sopla horizontalmente con velocidad uniforme contra una chimenea vertical de radio Supuesto el flujo irrotacional, la velocidad sobre el eje X va disminuyendo hacia el punto de estancamiento según la ley:        r   2  2 0 1 x v v x Y la velocidad v alrededor del cilindro es: s v 1.8m 0  r  0.25m. v v Sen 0  2 Averiguar: a) La aceleración del aire en el punto x=-0.50 m. b) Las componentes tangencial y normal de la aceleración para 3    . 4
  • 47. 2.Encontrar el vector rotacional para el flujo permanente, plano, cuyo campo de velocidades es:   v A x y x    v Ax y y  
  • 48. 3.Determinar la ecuación de las l.c. de un flujo permanente,plano,simetrico respecto del eje y, dirigiendo hacia abajo, que choca contra una placa horizontal, cuyo campo de velocidades esta definido por las componentes: v x x  v y y 3 3  
  • 49. 4.En el problema 3, determinar el gasto por unidad de ancho del chorro que incide sobre la placa y limitado en la forma que a continuación se indica: v x x  v y y 3 3  
  • 50. 5.Si la velocidad del aceite que fluye entre dos placas convergentes varia en una sección normal según la ecuación:   n   15 cm  2 . : 4 y si max 0 2 0 0 max n cm s v n n n v v 