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Movimiento de proyectiles
    Presentación PowerPoint de
 Paul E. Tippens, Profesor de Física
Southern Polytechnic State University
Objetivos: Después de completar
  este módulo, deberá:
 Describir el movimiento de un proyectil al
  tratar los componentes horizontal y vertical
  de su posición y velocidad.
• Resolver para posición, velocidad o tiempo
  cuando se dan velocidad inicial y ángulo
  de lanzamiento.
Movimiento de proyectiles
Un proyectil es una partícula que se mueve
cerca de la superficie de la Tierra sólo bajo la
influencia de su peso (dirigido hacia abajo).



                      W
            W                  W
                    a=g
Movimiento vertical y horizontal

Simultáneamente suelte la
bola amarilla y proyecte la
bola roja horizontalmente.


 Dé clic a la derecha para
observar el movimiento de
         cada bola.
Movimiento vertical y horizontal

                  Simultáneamente suelte una
                  bola amarilla y proyecte la
                  bola roja horizontalmente.

    W W            ¿Por qué golpean el suelo
                      al mismo tiempo?

  Una vez comienza el movimiento, el peso
   Una vez comienza el movimiento, el peso
hacia abajo es la única fuerza sobre cada bola.
hacia abajo es la única fuerza sobre cada bola.
Bola proyectada
horizontalmente y otra soltada al
         mismo tiempo:
El movimiento vertical es el mismo para cada bola

            vox
                                            0s
                    vx
                                            1s
              vy          vx           vy
                                            2s
                   vy                  vy
                               vx
                                            3s
                         vy           vy
Observe el movimiento de cada
                bola
El movimiento vertical es el mismo para cada bola

            vox
                                            0s
                                            1s

                                            2s


                                            3s
Considere por separado los
movimientos horizontal y vertical:
   Compare desplazamientos y velocidades

            0s   vox 1 s        2s     3s
                                                 0s
                           vx                    1s
                  vy
                                      vx
        La velocidad                             2s
   horizontal no cambia.         vy         vx
                                                 3s
    Velocidad vertical tal
     como caída libre.               vy
Cálculo de desplazamiento para
            proyección horizontal:
Para cualquier aceleración          x = vot + at     1
                                                     2
                                                         2
constante:
Para el caso especial de proyección
horizontal: 0; a = g v = 0; v = v
     a =x         y          oy     ox       o



      Desplazamiento horizontal :   x = vox t

      Desplazamiento vertical:      y = gt
                                         1
                                         2
                                                 2
Cálculo de velocidad para
    proyección horizontal (Cont.):
Para cualquier aceleración       v f = vo + at
constante:
Para el caso especial de un proyectil:
      ax = 0; a y = g voy = 0; vox = vo

       Velocidad horizontal:    vx = vox

         Velocidad vertical:   v y = vo + gt
Ejemplo 1: Una bola de béisbol se golpea
     con una rapidez horizontal de 25 m/s.
     ¿Cuál es su posición y velocidad después
     de 2 s?
                              x +50 m
                 25 m/s                 y
                                        -19.6 m



Primero encuentre los desplazamientos horizontal
                     y vertical :
  x = vox t = (25 m/s)(2 s)       x = 50.0 m
                                  x = 50.0 m
 y = gt = (−9.8 m/s )(2 s)
     1
     2
         2   1
             2
                          2        2
                                        y = -19.6 m
                                        y = -19.6 m
Ejemplo 1 (Cont.): ¿Cuáles son los
     componentes de la velocidad después de 2
                      25 m/s
                                            vx
                   v0x = 25 m/s
                      v0y = 0          vy

Encuentre la velocidad horizontal y vertical después de 2
                           s:
    vx = vox = (25 m/s)           vxx = 25.0 m/s
                                  v = 25.0 m/s
       v y = voy + at = 0 + (−9.8 m/s )(2 s)
                                      2



                 vyy = -19.6 m/s
                 v = -19.6 m/s
Considere proyectil a un ángulo:
Una bola roja se proyecta a un ángulo θ. Al mismo tiempo,
Una bola roja se proyecta a un ángulo θ. Al mismo tiempo,
una bola amarilla se lanza verticalmente hacia arriba y una
una bola amarilla se lanza verticalmente hacia arriba y una
bola verde rueda horizontalmente (sin fricción).
bola verde rueda horizontalmente (sin fricción).

    vx = vox = constante

   voy       vo         v y = voy + at
         θ              a = −9.8 m/s     2

                  vox

Note los movimientos vertical y horizontal de las bolas
Cálculos de desplazamiento para
             proyección general:
Los componentes del desplazamiento en el tiempo t son:

    x = vox t + axt 1
                    2
                        2
                              y = voy t + a y t
                                          1
                                          2
                                                  2


Para proyectiles:   ax = 0; a y = g ; voy = 0; vox = vo

  Por tanto, los                  x = vox t
  componentes x y y para
  proyectiles son:                 y = voy t + gt
                                               1
                                               2
                                                      2
Cálculos de velocidad para
         proyección general:
 Los componentes de la velocidad en el tiempo t son:

         vx = vox + ax t         v y = voy + a y t
Para proyectiles:   ax = 0; a y = g ; voy = 0; vox = vo

  Por tanto, los
  componentes de                vx = v0x constante
  velocidad vx y vy para         vy = v0y + gt
  proyectiles son:
Estrategia para resolución de problema
1. Descomponer la velocidad inicial vo en
   componentes:
        vo
    voy
          θ       vox = vo cos θ ;    voy = vo sin θ
          vox
2. Encuentre componentes de posición y
   velocidad final:
    Desplazamiento:                  Velocidad:
      x = vox t                  vx = v0x
      y = voy t + gt
                   1
                   2
                        2
                                 vy = v0y + gt
Estrategia para el problema (Cont.):
3. La posición y velocidad finales se pueden
   encontrar a partir de los componentes.

         R                                y
    y
          θ
                 R= x +y ;
                      2       2
                                  tan θ =
                                          x
           x

   voy   vo                                 vy
           θ     v = v +v ;
                      2
                      x
                          2
                          y       tan θ =
                                            vx
           vox

4. Use los signos correctos. Recuerde: g es
   negativo o positivo dependiendo de su
   elección inicial.
Ejemplo 2: Una bola tiene una velocidad
      inicial de 160 ft/s a un ángulo de 30o con la
      horizontal. Encuentre su posición y velocidad
      después de 2 s y de 4 s.
voy   160 ft/s   vox = (160 ft/s) cos 30 = 139 ft/s
                                       0


      30o v      voy = (160 ft/s) sin 30 = 80.0 ft/s
                                       0
            ox

Dado que vx es constante, los desplazamientos
horizontales después de 2 y 4 segundos son:
  x = vox t = (139 ft/s)(2 s)        x = 277 ft
                                     x = 277 ft
  x = vox t = (139 ft/s)(4 s)        x = 554 ft
                                     x = 554 ft
Ejemplo 2: (continuación)

 voy   160 ft/s            2            4
                           s            s
       30o v
             ox
                  277 ft       554 ft


Nota: SÓLO se conoce la ubicación horizontal
después de 2 y 4 s. No se sabe si va hacia
arriba o hacia abajo.

            x22 = 277 ft
            x = 277 ft            x44 = 554 ft
                                  x = 554 ft
Ejemplo 2 (Cont.): A continuación encuentre
    los componentes verticales de la posición
    después de 2 s y 4 s.
  voy= 80 ft/s                          g = -32 ft/s2
       160 ft/s
                          y2
                                             y4
       θ
     0     1        2       3       4
     s     s        s       s       s
Desplazamiento vertical como función del tiempo:
 y = voy t + gt = (80 ft/s)t + (−32 ft/s )t
             1
             2
                  2                 1
                                    2
                                                  2     2


                               Observe unidades
     y = 80t − 16t    2
                                 consistentes.
(Cont.) Los signos de y indicarán la
  ubicación del desplazamiento (arriba + o
  abajo – del origen).
voy= 80 ft/s                  g = -32 ft/s2
    160 ft/s
                 96 ft   y2
                                     16 ft   y4
    θ
   0     1        2              3           4
   s     s        s              s           s
    Posición vertical:        y = 80t − 16t      2


y2 = 80(2 s) − 16(2 s)   2
                              y4 = 80(4 s) − 16(4 s)   2

                                Cada una arriba del
y2 = 96 ft     y4 = 16 ft           origen (+)
(Cont.): A continuación encuentre los componentes
      horizontal y vertical de la velocidad después de 2 y


   voy   160 ft/s          vox = (160 ft/s) cos 300 = 139 ft/s
          30   o
                   vox     voy = (160 ft/s) sin 300 = 80.0 ft/s

Dado que vxxes constante, vxx= 139 ft/s en todos los tiempos.
Dado que v es constante, v = 139 ft/s en todos los tiempos.
    La velocidad vertical es la misma que si se proyectara
                        verticalmente:
         vy = v0y + gt;             donde       g = -32 ft/s2
En cualquier
 tiempo t:               vx = 139 ft/s     v y = voy − (32 ft/s)t
Ejemplo 2: (continuación)
      vy= 80.0 ft/s         v2           g = -32 ft/s2
        160 ft/s
                                              v4
           θ
       0        1       2           3        4
       s        s       s           s        s
En cualquier
 tiempo t:
               vx = 139 ft/s     v y = voy − (32 ft/s)t

 v y = 80 ft/s − (32 ft/s)(2 s)       v2y = 16.0 ft/s
                                      v2y = 16.0 ft/s
 v y = 80 ft/s − (32 ft/s)(4 s)      v4y = -48.0 ft/s
                                     v4y = -48.0 ft/s
Ejemplo 2: (continuación)
 vy= 80.0 ft/s                v2                    g = -32 ft/s2
       160 ft/sSe mueve arriba      Se mueve
                   +16 ft/s        abajo -48 ft/s
                                                         v4
       θ
      0       1        2         3        4
      s       s        s         s        s
Los signos de vy indican si el movimiento es
 arriba (+) o abajo (-) en cualquier tiempo t.
A 2 s:: v2x = 139 ft/s; v2y = + 16.0 ft/s
A 2 s v2x = 139 ft/s; v2y = + 16.0 ft/s

A 4 s:: v4x = 139 ft/s; v4y = -- 48.0 ft/s
A 4 s v4x = 139 ft/s; v4y = 48.0 ft/s
(Cont.): El desplazamiento R2,θ se encuentra a
   partir de los desplazamientos componentes x2 y y2

                       t=2s                          y
 R=     x +y
         2     2
                                             tan θ =
                                                     x
          R2                y2 = 96 ft
         θ
    0    x2= 277 ft     2                    4
    s                   s                    s
                                              96 ft
R = (277 ft) 2 + (96 ft) 2           tan θ =
                                             277 ft
        R22 = 293 ft
        R = 293 ft                       θ22 = 19.100
                                         θ = 19.1
(Cont.): De igual modo, el desplazamiento R4,θ se
   encuentra a partir de los desplazamientos componen
   x4 y y4.

                     t=4s                   y
R=    x +y
      2      2
                                    tan θ =
                                            x
                      R4
                                         y4 = 64 ft
                 θ
  0              x4= 554 ft          4
  s                                  s
                                        64 ft
R = (554 ft) + (64 ft)
                 2         2
                               tan θ =
                                       554 ft
      R44 = 558 ft
      R = 558 ft                 θ44 = 6.5900
                                 θ = 6.59
(Cont.): Ahora se encuentra la velocidad desp
     de 2 s a partir de los componentes vx y vy.

  voy= 80.0 ft/s                        v2      g = -32 ft/s2
       160 ft/s        Se mueve              v2x = 139 ft/s
                       arriba +16
                           ft/s              v2y = + 16.0 ft/s
          θ
      0                   2
      s                   s
                                                      16 ft
v2 = (139 ft/s) + (16 ft/s)
                   2                2
                                              tan θ =
                                                      139 ft
       v22 = 140 ft/s
       v = 140 ft/s                             θ22 = 6.5600
                                                θ = 6.56
(Cont.) A continuación, encuentre la velocidad
     después de 4 s a partir de los componentes v4x y v

  voy= 80.0 ft/s                          g = -32 ft/s2
        160 ft/s       v4x = 139 ft/s
                      v4y = - 48.0 ft/s               v4
           θ
       0                                     4
       s                                     s
                                              16 ft
v4 = (139 ft/s) 2 + ( −46 ft/s) 2    tan θ =
                                             139 ft
           v44 = 146 ft/s
           v = 146 ft/s                   θ22 = 341.700
                                          θ = 341.7
Ejemplo 3: ¿Cuáles son la altura máxima y
   el rango de un proyectil si vo = 28 m/s a 300?

 voy   28 m/s                     vox = 24.2 m/s
                 vy = 0    ymax   voy = + 14 m/s
       30o v
            ox


         vox = (28 m/s) cos 30 = 24.2 m/s
                            0


         v0y = (28 m/s) sen 30° = 14 m/s
La máxima coordenada y ocurre cuando vy = 0:
   v y = voy + gt = 14 m/s + (−9.8 m/s )t = 0
                                       2


ymax ocurre cuando 14 – 9.8t = 0 o t = 1.43 s
Ejemplo 3(Cont.): ¿Cuál es la altura máxim
       del proyectil si v = 28 m/s a 30 0?

 voy   28 m/s                        vox = 24.2 m/s
                     vy = 0   ymax   voy = + 14 m/s
       30o v
            ox


La máxima coordenada y ocurre cuando t = 1.43 s:
 y = voy t + gt = 14(1.43) + (−9.8)(1.43)
                 1
                 2
                     2               1
                                     2
                                                      2



       y = 20 m − 10 m          ymax= 10.0 m
                                ymax= 10.0 m
Ejemplo 3(Cont.): A continuación, encuentr
        el rango del proyectil si v = 28 m/s a 30 0.

  voy   28 m/s                    vox = 24.2 m/s
                                  voy = + 14 m/s
        30o   vox
                               Rango xr

El rango xr se define como la distancia horizontal
que coincide con el tiempo para el regreso vertical.
 El tiempo de vuelo se encuentra al hacer y = 0:
          y = voy t + gt = 0
                    1
                    2
                        2
                                    (continúa)
Ejemplo 3(Cont.): Primero se encuentra el
      tiempo de vuelo tr, luego el rango xr.

voy   28 m/s                             vox = 24.2 m/s
                                         voy = + 14 m/s
      30o    vox
                                    Rango xr

y = voy t + gt = 0 1
                   2
                       2
                                      (Divida por t)
                              voy  2(14 m/s)
 voy + gt = 0;
         1                 t=    =             ; t = 2.86 s
         2
                              − g -(-9.8 m/s )
                                            2



 xr = voxt = (24.2 m/s)(2.86 s);               xrr = 69.2 m
                                               x = 69.2 m
Ejemplo 4: Una bola rueda desde lo alto de
    una mesa a 1.2 m de altura y aterriza en el
    suelo a una distancia horizontal de 2 m.
    ¿Cuál fue la velocidad cuando dejó la mesa
                          Nota: x = voxt = 2 m
                R                0
1.2 m                    y = voyt + ½ayt2 = -1.2 m
              2m

Primero encuentre t a partir     y = gt = −1.2 m
                                    1
                                    2
                                        2

de la ecuación y:
                               2(−1.2)
   ½(-9.8)t2 = -(1.2)       t=
                                −9.8
                  tt = 0.495 s
                     = 0.495 s
Ejemplo 4 (Cont.): Ahora use la ecuación
     horizontal para encontrar vox al salir de lo al
     de la mesa.
                        Nota: x = voxt = 2 m
                R
1.2 m                       y = ½gt2 = -1.2 m
              2m

Use t = 0.495 s en la ecuación x: vox t = 2 m
                                    2m
    v ox (0.495 s) = 2 m;   vox =
                                  0.495 s
   La bola deja la mesa
                            v = 4.04 m/s
                            v = 4.04 m/s
     con una rapidez:
Ejemplo 4 (Cont.): ¿Cuál será su rapidez
     cuando golpee el suelo?
                                 Nota:
               t = 0.495 s
                            vx = vox = 4.04 m/s
1.2 m                                        0
               2m             vx       vy = vy + gt
                         vy
vy = 0 + (-9.8 m/s2)(0.495 s)          vy = -4.85 m/s
                                                −4.85 m
v = (4.04 m/s) + ( −4.85 m/s)
               2                   2
                                        tan θ =
                                                 4.04 m
        v44 = 146 ft/s
        v = 146 ft/s                      θ22 = 309.800
                                          θ = 309.8
Ejemplo 5. Encuentre el “tiempo colgado” para
     el balón cuya velocidad inicial es 25 m/s, 60 0.

                y = 0; a = -9.8 m/s2     Inicial vo:
 vo =25 m/s
                                       vox = vo cos θ
              Tiempo de
        600
                vuelo t                 voy = vo sin θ

      Vox = (25 m/s) cos 600;      vox = 12.5 m/s
      Voy = (25 m/s) sen 600;      vox = 21.7 m/s

Sólo los parámetros verticales afectan al tiempo de vuelo.

   y = voy t + 1 at 2 ; 0 = (21.7)t + 1 (−9.8)t 2
               2                      2
Ejemplo 5 (Cont.) Encuentre el “tiempo de vuelo”
  para el balón cuya velocidad inicial es 25 m/s, 60 0

                 y = 0; a = -9.8 m/s2         Inicial vo:
vo =25 m/s
                                            vox = vo cos θ
             Tiempo de
     600
               vuelo t                      voy = vo sen θ

 y = voy t + at ; 0 = (21.7)t + (−9.8)t
             1
             2
                    2                       1
                                            2
                                                      2



       4.9 t2 = 21.7 t          4.9 t = 21.7

             21.7 m/s
          t=                            tt = 4.42 s
                                           = 4.42 s
             4.9 m/s 2
Ejemplo 6. Un perro que corre salta con velocidad
 inicial de 11 m/s a 300. ¿Cuál es el rango?

  Dibuje figura y         voy = 11 sen 300
    encuentre
                                     v = 11 m/s
  componentes:
   vox = 9.53 m/s
                                     θ =300
   voy = 5.50 m/s                 vox = 11 cos 300

     Para encontrar el rango, primero encuentre t
             cuando y = 0; a = -9.8 m/s2
y = voy t + at ; 0 = (5.50)t + (−9.8)t
            1
            2
                  2                   1
                                      2
                                                  2


4.9 t2 = 5.50 t          5.50 m/s
                      t=         2        tt = 1.12 s
                                             = 1.12 s
4.9 t = 5.50             4.9 m/s
Ejemplo 6 (Cont.) Un perro salta con velocidad
    inicial de 11 m/s a 300. ¿Cuál es el rango?
                           voy = 10 sen 310
El rango se encuentra a
partir del componente x:
                                     v = 10 m/s
  vx = vox = 9.53 m/s
                                      θ =310
  x = vxt; t = 1.12 s              vox = 10 cos 310

La velocidad horizontal es constante: vx = 9.53 m/s
         x = (9.53 m/s)(1.12 s) = 10.7 m

              Rango: x = 10.7 m
              Rango: x = 10.7 m
Resumen de proyectiles:
1. Determine los componentes x y y de v0

     v0x = v0 cosθ    y   v0y = v0 senθ
2. Los componentes horizontal y vertical del
   desplazamiento en cualquier tiempo t están dados
   por:

     x = vox t       y = voy t + gt
                                1
                                2
                                      2
Resumen (continuación):
3. Los componentes horizontal y vertical de la
   velocidad en cualquier tiempo t están dados
   por:
          vx = vox ; v y = voy + gt
4. Luego, si se desea, se pueden encontrar el
   desplazamiento vectorial o la velocidad a
   partir de los componentes:
                                       y
            R = x +y2   2
                               tan θ =
                                       x
CONCLUSIÓN: Movimiento
    de proyectiles

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Movimiento de proyectiles

  • 1. Movimiento de proyectiles Presentación PowerPoint de Paul E. Tippens, Profesor de Física Southern Polytechnic State University
  • 2. Objetivos: Después de completar este módulo, deberá:  Describir el movimiento de un proyectil al tratar los componentes horizontal y vertical de su posición y velocidad. • Resolver para posición, velocidad o tiempo cuando se dan velocidad inicial y ángulo de lanzamiento.
  • 3. Movimiento de proyectiles Un proyectil es una partícula que se mueve cerca de la superficie de la Tierra sólo bajo la influencia de su peso (dirigido hacia abajo). W W W a=g
  • 4. Movimiento vertical y horizontal Simultáneamente suelte la bola amarilla y proyecte la bola roja horizontalmente. Dé clic a la derecha para observar el movimiento de cada bola.
  • 5. Movimiento vertical y horizontal Simultáneamente suelte una bola amarilla y proyecte la bola roja horizontalmente. W W ¿Por qué golpean el suelo al mismo tiempo? Una vez comienza el movimiento, el peso Una vez comienza el movimiento, el peso hacia abajo es la única fuerza sobre cada bola. hacia abajo es la única fuerza sobre cada bola.
  • 6. Bola proyectada horizontalmente y otra soltada al mismo tiempo: El movimiento vertical es el mismo para cada bola vox 0s vx 1s vy vx vy 2s vy vy vx 3s vy vy
  • 7. Observe el movimiento de cada bola El movimiento vertical es el mismo para cada bola vox 0s 1s 2s 3s
  • 8. Considere por separado los movimientos horizontal y vertical: Compare desplazamientos y velocidades 0s vox 1 s 2s 3s 0s vx 1s vy vx La velocidad 2s horizontal no cambia. vy vx 3s Velocidad vertical tal como caída libre. vy
  • 9. Cálculo de desplazamiento para proyección horizontal: Para cualquier aceleración x = vot + at 1 2 2 constante: Para el caso especial de proyección horizontal: 0; a = g v = 0; v = v a =x y oy ox o Desplazamiento horizontal : x = vox t Desplazamiento vertical: y = gt 1 2 2
  • 10. Cálculo de velocidad para proyección horizontal (Cont.): Para cualquier aceleración v f = vo + at constante: Para el caso especial de un proyectil: ax = 0; a y = g voy = 0; vox = vo Velocidad horizontal: vx = vox Velocidad vertical: v y = vo + gt
  • 11. Ejemplo 1: Una bola de béisbol se golpea con una rapidez horizontal de 25 m/s. ¿Cuál es su posición y velocidad después de 2 s? x +50 m 25 m/s y -19.6 m Primero encuentre los desplazamientos horizontal y vertical : x = vox t = (25 m/s)(2 s) x = 50.0 m x = 50.0 m y = gt = (−9.8 m/s )(2 s) 1 2 2 1 2 2 2 y = -19.6 m y = -19.6 m
  • 12. Ejemplo 1 (Cont.): ¿Cuáles son los componentes de la velocidad después de 2 25 m/s vx v0x = 25 m/s v0y = 0 vy Encuentre la velocidad horizontal y vertical después de 2 s: vx = vox = (25 m/s) vxx = 25.0 m/s v = 25.0 m/s v y = voy + at = 0 + (−9.8 m/s )(2 s) 2 vyy = -19.6 m/s v = -19.6 m/s
  • 13. Considere proyectil a un ángulo: Una bola roja se proyecta a un ángulo θ. Al mismo tiempo, Una bola roja se proyecta a un ángulo θ. Al mismo tiempo, una bola amarilla se lanza verticalmente hacia arriba y una una bola amarilla se lanza verticalmente hacia arriba y una bola verde rueda horizontalmente (sin fricción). bola verde rueda horizontalmente (sin fricción). vx = vox = constante voy vo v y = voy + at θ a = −9.8 m/s 2 vox Note los movimientos vertical y horizontal de las bolas
  • 14. Cálculos de desplazamiento para proyección general: Los componentes del desplazamiento en el tiempo t son: x = vox t + axt 1 2 2 y = voy t + a y t 1 2 2 Para proyectiles: ax = 0; a y = g ; voy = 0; vox = vo Por tanto, los x = vox t componentes x y y para proyectiles son: y = voy t + gt 1 2 2
  • 15. Cálculos de velocidad para proyección general: Los componentes de la velocidad en el tiempo t son: vx = vox + ax t v y = voy + a y t Para proyectiles: ax = 0; a y = g ; voy = 0; vox = vo Por tanto, los componentes de vx = v0x constante velocidad vx y vy para vy = v0y + gt proyectiles son:
  • 16. Estrategia para resolución de problema 1. Descomponer la velocidad inicial vo en componentes: vo voy θ vox = vo cos θ ; voy = vo sin θ vox 2. Encuentre componentes de posición y velocidad final: Desplazamiento: Velocidad: x = vox t vx = v0x y = voy t + gt 1 2 2 vy = v0y + gt
  • 17. Estrategia para el problema (Cont.): 3. La posición y velocidad finales se pueden encontrar a partir de los componentes. R y y θ R= x +y ; 2 2 tan θ = x x voy vo vy θ v = v +v ; 2 x 2 y tan θ = vx vox 4. Use los signos correctos. Recuerde: g es negativo o positivo dependiendo de su elección inicial.
  • 18. Ejemplo 2: Una bola tiene una velocidad inicial de 160 ft/s a un ángulo de 30o con la horizontal. Encuentre su posición y velocidad después de 2 s y de 4 s. voy 160 ft/s vox = (160 ft/s) cos 30 = 139 ft/s 0 30o v voy = (160 ft/s) sin 30 = 80.0 ft/s 0 ox Dado que vx es constante, los desplazamientos horizontales después de 2 y 4 segundos son: x = vox t = (139 ft/s)(2 s) x = 277 ft x = 277 ft x = vox t = (139 ft/s)(4 s) x = 554 ft x = 554 ft
  • 19. Ejemplo 2: (continuación) voy 160 ft/s 2 4 s s 30o v ox 277 ft 554 ft Nota: SÓLO se conoce la ubicación horizontal después de 2 y 4 s. No se sabe si va hacia arriba o hacia abajo. x22 = 277 ft x = 277 ft x44 = 554 ft x = 554 ft
  • 20. Ejemplo 2 (Cont.): A continuación encuentre los componentes verticales de la posición después de 2 s y 4 s. voy= 80 ft/s g = -32 ft/s2 160 ft/s y2 y4 θ 0 1 2 3 4 s s s s s Desplazamiento vertical como función del tiempo: y = voy t + gt = (80 ft/s)t + (−32 ft/s )t 1 2 2 1 2 2 2 Observe unidades y = 80t − 16t 2 consistentes.
  • 21. (Cont.) Los signos de y indicarán la ubicación del desplazamiento (arriba + o abajo – del origen). voy= 80 ft/s g = -32 ft/s2 160 ft/s 96 ft y2 16 ft y4 θ 0 1 2 3 4 s s s s s Posición vertical: y = 80t − 16t 2 y2 = 80(2 s) − 16(2 s) 2 y4 = 80(4 s) − 16(4 s) 2 Cada una arriba del y2 = 96 ft y4 = 16 ft origen (+)
  • 22. (Cont.): A continuación encuentre los componentes horizontal y vertical de la velocidad después de 2 y voy 160 ft/s vox = (160 ft/s) cos 300 = 139 ft/s 30 o vox voy = (160 ft/s) sin 300 = 80.0 ft/s Dado que vxxes constante, vxx= 139 ft/s en todos los tiempos. Dado que v es constante, v = 139 ft/s en todos los tiempos. La velocidad vertical es la misma que si se proyectara verticalmente: vy = v0y + gt; donde g = -32 ft/s2 En cualquier tiempo t: vx = 139 ft/s v y = voy − (32 ft/s)t
  • 23. Ejemplo 2: (continuación) vy= 80.0 ft/s v2 g = -32 ft/s2 160 ft/s v4 θ 0 1 2 3 4 s s s s s En cualquier tiempo t: vx = 139 ft/s v y = voy − (32 ft/s)t v y = 80 ft/s − (32 ft/s)(2 s) v2y = 16.0 ft/s v2y = 16.0 ft/s v y = 80 ft/s − (32 ft/s)(4 s) v4y = -48.0 ft/s v4y = -48.0 ft/s
  • 24. Ejemplo 2: (continuación) vy= 80.0 ft/s v2 g = -32 ft/s2 160 ft/sSe mueve arriba Se mueve +16 ft/s abajo -48 ft/s v4 θ 0 1 2 3 4 s s s s s Los signos de vy indican si el movimiento es arriba (+) o abajo (-) en cualquier tiempo t. A 2 s:: v2x = 139 ft/s; v2y = + 16.0 ft/s A 2 s v2x = 139 ft/s; v2y = + 16.0 ft/s A 4 s:: v4x = 139 ft/s; v4y = -- 48.0 ft/s A 4 s v4x = 139 ft/s; v4y = 48.0 ft/s
  • 25. (Cont.): El desplazamiento R2,θ se encuentra a partir de los desplazamientos componentes x2 y y2 t=2s y R= x +y 2 2 tan θ = x R2 y2 = 96 ft θ 0 x2= 277 ft 2 4 s s s 96 ft R = (277 ft) 2 + (96 ft) 2 tan θ = 277 ft R22 = 293 ft R = 293 ft θ22 = 19.100 θ = 19.1
  • 26. (Cont.): De igual modo, el desplazamiento R4,θ se encuentra a partir de los desplazamientos componen x4 y y4. t=4s y R= x +y 2 2 tan θ = x R4 y4 = 64 ft θ 0 x4= 554 ft 4 s s 64 ft R = (554 ft) + (64 ft) 2 2 tan θ = 554 ft R44 = 558 ft R = 558 ft θ44 = 6.5900 θ = 6.59
  • 27. (Cont.): Ahora se encuentra la velocidad desp de 2 s a partir de los componentes vx y vy. voy= 80.0 ft/s v2 g = -32 ft/s2 160 ft/s Se mueve v2x = 139 ft/s arriba +16 ft/s v2y = + 16.0 ft/s θ 0 2 s s 16 ft v2 = (139 ft/s) + (16 ft/s) 2 2 tan θ = 139 ft v22 = 140 ft/s v = 140 ft/s θ22 = 6.5600 θ = 6.56
  • 28. (Cont.) A continuación, encuentre la velocidad después de 4 s a partir de los componentes v4x y v voy= 80.0 ft/s g = -32 ft/s2 160 ft/s v4x = 139 ft/s v4y = - 48.0 ft/s v4 θ 0 4 s s 16 ft v4 = (139 ft/s) 2 + ( −46 ft/s) 2 tan θ = 139 ft v44 = 146 ft/s v = 146 ft/s θ22 = 341.700 θ = 341.7
  • 29. Ejemplo 3: ¿Cuáles son la altura máxima y el rango de un proyectil si vo = 28 m/s a 300? voy 28 m/s vox = 24.2 m/s vy = 0 ymax voy = + 14 m/s 30o v ox vox = (28 m/s) cos 30 = 24.2 m/s 0 v0y = (28 m/s) sen 30° = 14 m/s La máxima coordenada y ocurre cuando vy = 0: v y = voy + gt = 14 m/s + (−9.8 m/s )t = 0 2 ymax ocurre cuando 14 – 9.8t = 0 o t = 1.43 s
  • 30. Ejemplo 3(Cont.): ¿Cuál es la altura máxim del proyectil si v = 28 m/s a 30 0? voy 28 m/s vox = 24.2 m/s vy = 0 ymax voy = + 14 m/s 30o v ox La máxima coordenada y ocurre cuando t = 1.43 s: y = voy t + gt = 14(1.43) + (−9.8)(1.43) 1 2 2 1 2 2 y = 20 m − 10 m ymax= 10.0 m ymax= 10.0 m
  • 31. Ejemplo 3(Cont.): A continuación, encuentr el rango del proyectil si v = 28 m/s a 30 0. voy 28 m/s vox = 24.2 m/s voy = + 14 m/s 30o vox Rango xr El rango xr se define como la distancia horizontal que coincide con el tiempo para el regreso vertical. El tiempo de vuelo se encuentra al hacer y = 0: y = voy t + gt = 0 1 2 2 (continúa)
  • 32. Ejemplo 3(Cont.): Primero se encuentra el tiempo de vuelo tr, luego el rango xr. voy 28 m/s vox = 24.2 m/s voy = + 14 m/s 30o vox Rango xr y = voy t + gt = 0 1 2 2 (Divida por t) voy 2(14 m/s) voy + gt = 0; 1 t= = ; t = 2.86 s 2 − g -(-9.8 m/s ) 2 xr = voxt = (24.2 m/s)(2.86 s); xrr = 69.2 m x = 69.2 m
  • 33. Ejemplo 4: Una bola rueda desde lo alto de una mesa a 1.2 m de altura y aterriza en el suelo a una distancia horizontal de 2 m. ¿Cuál fue la velocidad cuando dejó la mesa Nota: x = voxt = 2 m R 0 1.2 m y = voyt + ½ayt2 = -1.2 m 2m Primero encuentre t a partir y = gt = −1.2 m 1 2 2 de la ecuación y: 2(−1.2) ½(-9.8)t2 = -(1.2) t= −9.8 tt = 0.495 s = 0.495 s
  • 34. Ejemplo 4 (Cont.): Ahora use la ecuación horizontal para encontrar vox al salir de lo al de la mesa. Nota: x = voxt = 2 m R 1.2 m y = ½gt2 = -1.2 m 2m Use t = 0.495 s en la ecuación x: vox t = 2 m 2m v ox (0.495 s) = 2 m; vox = 0.495 s La bola deja la mesa v = 4.04 m/s v = 4.04 m/s con una rapidez:
  • 35. Ejemplo 4 (Cont.): ¿Cuál será su rapidez cuando golpee el suelo? Nota: t = 0.495 s vx = vox = 4.04 m/s 1.2 m 0 2m vx vy = vy + gt vy vy = 0 + (-9.8 m/s2)(0.495 s) vy = -4.85 m/s −4.85 m v = (4.04 m/s) + ( −4.85 m/s) 2 2 tan θ = 4.04 m v44 = 146 ft/s v = 146 ft/s θ22 = 309.800 θ = 309.8
  • 36. Ejemplo 5. Encuentre el “tiempo colgado” para el balón cuya velocidad inicial es 25 m/s, 60 0. y = 0; a = -9.8 m/s2 Inicial vo: vo =25 m/s vox = vo cos θ Tiempo de 600 vuelo t voy = vo sin θ Vox = (25 m/s) cos 600; vox = 12.5 m/s Voy = (25 m/s) sen 600; vox = 21.7 m/s Sólo los parámetros verticales afectan al tiempo de vuelo. y = voy t + 1 at 2 ; 0 = (21.7)t + 1 (−9.8)t 2 2 2
  • 37. Ejemplo 5 (Cont.) Encuentre el “tiempo de vuelo” para el balón cuya velocidad inicial es 25 m/s, 60 0 y = 0; a = -9.8 m/s2 Inicial vo: vo =25 m/s vox = vo cos θ Tiempo de 600 vuelo t voy = vo sen θ y = voy t + at ; 0 = (21.7)t + (−9.8)t 1 2 2 1 2 2 4.9 t2 = 21.7 t 4.9 t = 21.7 21.7 m/s t= tt = 4.42 s = 4.42 s 4.9 m/s 2
  • 38. Ejemplo 6. Un perro que corre salta con velocidad inicial de 11 m/s a 300. ¿Cuál es el rango? Dibuje figura y voy = 11 sen 300 encuentre v = 11 m/s componentes: vox = 9.53 m/s θ =300 voy = 5.50 m/s vox = 11 cos 300 Para encontrar el rango, primero encuentre t cuando y = 0; a = -9.8 m/s2 y = voy t + at ; 0 = (5.50)t + (−9.8)t 1 2 2 1 2 2 4.9 t2 = 5.50 t 5.50 m/s t= 2 tt = 1.12 s = 1.12 s 4.9 t = 5.50 4.9 m/s
  • 39. Ejemplo 6 (Cont.) Un perro salta con velocidad inicial de 11 m/s a 300. ¿Cuál es el rango? voy = 10 sen 310 El rango se encuentra a partir del componente x: v = 10 m/s vx = vox = 9.53 m/s θ =310 x = vxt; t = 1.12 s vox = 10 cos 310 La velocidad horizontal es constante: vx = 9.53 m/s x = (9.53 m/s)(1.12 s) = 10.7 m Rango: x = 10.7 m Rango: x = 10.7 m
  • 40. Resumen de proyectiles: 1. Determine los componentes x y y de v0 v0x = v0 cosθ y v0y = v0 senθ 2. Los componentes horizontal y vertical del desplazamiento en cualquier tiempo t están dados por: x = vox t y = voy t + gt 1 2 2
  • 41. Resumen (continuación): 3. Los componentes horizontal y vertical de la velocidad en cualquier tiempo t están dados por: vx = vox ; v y = voy + gt 4. Luego, si se desea, se pueden encontrar el desplazamiento vectorial o la velocidad a partir de los componentes: y R = x +y2 2 tan θ = x
  • 42. CONCLUSIÓN: Movimiento de proyectiles