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EXPRESIONES
ALGEBRAICAS
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TEMA 3.4 * 1º BCS
DIVISIÓN DE
POLINOMIOS
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DIVISIÓN DE POLINOMIOS
• El resultado de dividir monomios o polinomios ...
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• DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS
• Las reglas operativas son :
• 1.- Red...
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• ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
• Se divide el primer término del dividendo ...
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Ejemplo_1 de división de polinomios
• Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 5
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• x3 + 4.x2 - 5 x + 5
• x2
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• - x3 - 5. x2 x2
• - x2 - 5
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• 5.- Como el resto ( - 30) es de grado menor que
el divisor (x + 5) se...
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• Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 2.x + 5
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• x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5
• - x3 - 5.x x
• 4.x2 - 7.x + 5
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  1. 1. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 1 TEMA 3 EXPRESIONES ALGEBRAICAS
  2. 2. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 2 TEMA 3.4 * 1º BCS DIVISIÓN DE POLINOMIOS
  3. 3. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 3 DIVISIÓN DE POLINOMIOS • El resultado de dividir monomios o polinomios entre sí no siempre va a ser un monomio o un polinomio. • Ejemplos: • 6.x4 : 2.x = (6/2).x3 = 3.x3 , que es un monomio. • 6.x : 3.x2 = 2 / x , que no es un monomio. • (6.x4 - 2.x) : 2.x = 3.x3 - 1, que es un polinomio • (4.x - 6.x4 ) : 3.x = (4/3) – 2.x3 , que es un polinomio • (6.x4 - 2.x) : x2 = 6.x2 - 2/x, que no es un polinomio
  4. 4. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 4 • DIVISIÓN ENTERA DE POLINOMIOS • Las reglas operativas son : • 1.- Reducir dividendo y divisor. • 2.- Ordenador dividendo y divisor de forma decreciente. • 3.- Si el dividendo es incompleto, dejar huecos. • 4.- Aplicar el algoritmo correspondiente para dividir. • 5.- Terminar cuando el grado del resto sea menor que el grado del divisor. • 6.- Comprobar el resultado,pues siempre se cumplirá: • D(x) = d(x).c(x) + r(x). DIVISIÓN ENTERA
  5. 5. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 5 • ALGORITMO DE LA DIVISIÓN • Se divide el primer término del dividendo entre el primer término del divisor. Lo que da es el primer término del cociente. • Se multiplica el primer término del cociente hallado por todo el divisor. Lo que da hay que restárselo al dividendo. • Obtenemos así un nuevo dividendo. • Y se repiten las anteriores operaciones para conseguir los restantes términos del cociente. • DIVISIÓN EXACTA • Si el resto se anula, es cero, la división se llama exacta. • El polinomio dividendo habrá quedado factorizado: D(x) = d(x) . c(x) ALGORITMO DE LA DIVISIÓN
  6. 6. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 6 Ejemplo_1 de división de polinomios • Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 5 • y Q(x) = x + 5 • Hallemos P(x) : Q(x) • 1.- Están ya ambos reducidos. • 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente. • 3.- El dividendo es incompleto, luego hay que dejar hueco en el término de x. • 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:
  7. 7. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 7 • x3 + 4.x2 - 5 x + 5 • x2 • Pues x3 : x = x2 • x3 + 4.x2 - 5 x + 5 • - x3 - 5.x2 x2 • Pues se multiplica x2. (x +5) • Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.
  8. 8. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 8 • x3 + 4.x2 - 5 x + 5 • - x3 - 5. x2 x2 • - x2 - 5 • Se repite las operaciones: • x3 + 4.x2 - 5 x + 5 • - x3 - 5. x2 x2 – x + 5 • - x2 - 5 • x2 + 5.x - 5 • 5.x - 5 • - 5.x - 25 • - 30
  9. 9. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 9 • 5.- Como el resto ( - 30) es de grado menor que el divisor (x + 5) se habrá terminado la división. • c(x) = x2 - x + 5 • r(x) = - 30 • 6.- Se comprueba que • D(x) = d(x).c(x)+r(x) • x3 + 4.x2 - 5 = (x + 5).(x2 - x + 5) + (-30) • x3 + 4.x2 - 5 = x3 - x2 + 5.x + 5.x2 - 5.x + 25 -30 • x3 + 4.x2 - 5 = x3 + 4.x2 - 5
  10. 10. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 10 Ejemplo 2 de división de polinomios • Sea P(x) = x3 + 4.x2 - 2.x + 5 • y Q(x) = x2 + 5 • Hallemos P(x) : Q(x) • 1.- Están ya ambos reducidos. • 2.- Están ya ambos ordenados decrecientemente. • 3.- Ambos son polinomios completos, luego no hay que dejar huecos. • 4.- Aplicamos el algoritmo para dividir:
  11. 11. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 11 • x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 • x • Pues x3 : x2 = x • x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 • - x3 - 5.x x • Pues se multiplica x. (x2 +5) • Y como vamos a restar lo que nos dé se cambia de signo.
  12. 12. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 12 • x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 • - x3 - 5.x x • 4.x2 - 7.x + 5 • Se repite las operaciones: • x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 • - x3 - 5.x x + 4 • 4.x2 - 7.x + 5 • - 4.x2 - 20 • - 7.x - 15
  13. 13. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 13 • x3 + 4.x2 - 2.x + 5 x2 + 5 • - x3 - 5.x x + 4 • 4.x2 - 7.x + 5 • - 4.x2 - 20 • - 7.x - 15 • 5.- Como el resto ( -7.x – 15) es de grado menor que el dividor (x2 + 5) se habrá terminado la división. • C(x) = x+4 • R(x) = - 7.x – 15 • 6.- Se comprueba que D(x) = d(x).C(x)+R(x)
  14. 14. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 14 Problemas • PROBLEMA 1 • Hallar el valor de a para que la siguiente división sea exacta: • 2.x3 + 4.x2 - 5.x + a : x2 + x • 2.x3 + 4.x2 - 5.x + a x2 + x • - 2x3 - 2x2 2.x + 2 • 2.x2 -5.x • - 2.x2 - 2.x • - 7.x + a • Para a = 0 el resto es R(x) = - 7.x • Para a <> 0 el resto es R(x) = - 7.x + a • Luego no hay ningún valor de a que haga R(x) = 0
  15. 15. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 15 Problemas • PROBLEMA 2 • Hallar el valor de a para que la siguiente división sea exacta: • 2.x3 + 4.x2 - 5.x + a : x + 5 • 2.x3 + 4.x2 - 5.x + a x + 5 • - 2x3 – 10.x2 2x2 – 6.x + 25 • - 6.x2 - 5.x • + 6.x2 +30.x • 25.x + a • - 25.x - 125 • a – 125 • Para a = 125 el resto es R(x) = 0  División exacta
  16. 16. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 16 Problemas • PROBLEMA 3 • Hallar el valor de a para que la siguiente división sea exacta: • x3 + 4.x2 - a.x + 5 : x2 + 5 • x3 + 4.x2 - a.x + 5 x2 + 5 • - x3 - 5.x x + 4 • 4.x2 - (5+a).x + 5 • - 4.x2 - 20 • - (5+a).x - 15 • Para a = - 5 el resto es R(x) = - 15 • Para a <> - 5 el resto es R(x) = - (5+a).x - 15 • Luego no hay ningún valor de a que haga R(x) = 0
  17. 17. @ Angel Prieto Benito Matemáticas Aplicadas CS I 17 Problemas • PROBLEMA 4 • Hallar el valor de a y de b para que la siguiente división sea exacta: • x3 + 4.x2 - b.x + a : x – 1 • x3 + 4.x2 – b.x + a x – 1 • – x3 + x2 x2 + 5.x + (5 – b) • 5.x2 – b.x • – 5.x2 + 5.x • (5 – b).x + a • – (5 – b).x + (5 – b) • a + 5 – b • R(x) = 0  División exacta  a – b + 5 = 0  b – a = 5

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